抛物线的知识点总结大全

抛物线知识点总结抛物线是数学函数中的基础，而相关的知识点也有一定的难度。

下面是小编推荐给大家的抛物线知识点总结，希望能带给大家帮助。

抛物线知识点总结1.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x=-b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上;当=b^2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a0时，抛物线向上开口;当a0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时(即ab0)，对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab0)，对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于(0，c)6.抛物线与x轴交点个数=b^2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。

=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

=b^2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点。

X的取值是虚数(x=-bb^2-4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a) 抛物线y = ax^2 + bx + c (a≠0)就是y等于a乘以x 的平方加上 b乘以x再加上 c置于平面直角坐标系中a > 0时开口向上a < 0时开口向下(a=0时为一元一次函数)c>0时函数图像与y轴正方向相交c< 0时函数图像与y轴负方向相交c = 0时抛物线经过原点b = 0时抛物线对称轴为y轴(当然a=0且b≠0时该函数为一次函数)还有顶点公式y = a(x+h)* 2+ k ,(h,k)=(-b/(2a),(4ac-b^2)/(4a)) 就是y等于a乘以(x+h)的平方+k-h是顶点坐标的xk是顶点坐标的y一般用于求最大值与最小值和对称轴抛物线标准方程：y^2=2px (p>0)它表示抛物线的焦点在x的正半轴上，焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2由于抛物线的焦点可在任意半轴，故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py。

抛物线及其性质1．抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质：图形参数p 几何意义 参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔.开口方向 右左上下 标 准方 程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p =>22(0)x py p =->焦 点位 置 X 正X 负Y 正Y 负焦 点坐 标 (,0)2p (,0)2p -(0,)2p(0,)2p -准 线方 程 2p x =-2p x =2p y =-2p y =范 围 0,x y R ≥∈0,x y R ≤∈0,y x R ≥∈0,y x R ≤∈对 称轴 X 轴X 轴Y 轴Y 轴顶 点坐 标 （0,0）离心率 1e =通 径 2p焦半径11(,)A x y 12p AF x =+12p AF x =-+12p AF y =+12p AF y =-+焦点弦长AB12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++焦点弦长AB 的补充11(,)A x y22(,)B x y以AB 为直径的圆必与准线l 相切若AB 的倾斜角为α，22sin p AB α=若AB 的倾斜角为α，则22cos pAB α=2124p x x = 212y y p =-112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p++===•• 3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质：(1)范围：因为p>0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧， 当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．(2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向． (3)顶点（0，0），离心率：1=e ，焦点(,0)2p F ，准线2px -=，焦准距p ． (4) 焦点弦：抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ,则p x x AB ++=21||． 弦长|AB|=x 1+x 2+p,当x 1=x 2时，通径最短为2p 。

【精编】抛物线知识点归纳总结一、什么是抛物线抛物线（Parabola）是一种具有特殊性质的二次曲线，它是几何形状中围绕直线为轴对称的曲线（Symmetric curve），也是一种普遍被人们接受的方程（Equation），它可以描述实际中大量现象，如：电磁波传播、流体通量、温度场等常见物理过程，也可以用于建筑物抗地震、工程结构分析等工程科学问题，抛物线在几何中也有重要的地位，如用抛物线去拟合一条直线或二次曲线，或者用来验证平行直线的定理。

二、抛物线的特性1、以一条抛物线为轴对称的几何形状。

抛物线的核心特性是以一条抛物线为轴对称的几何形状（Symmetric figure），确切的说，是以抛物线上ε（ε为抛物线上凸出部分点）所在的直线为轴对称的。

一条抛物线可以是一段开口向下形成一个“U”型曲线（U-bend），也可以是一段开口向上形成一个“\”型曲线（Downslope），都属于抛物线。

2、抛物线的图像为开口的梯形扇形以抛物线的凸出部分的直线（axis of symmetry）为轴对称，围绕这条轴线为轴，可以形成一块开口的梯形扇形，扇形中，越靠近抛物线上凸出部分点（ε），相对平均长度就越长，而越远离抛物线上凸出部分点（ε），相对平均长度就越短。

如果把抛物线上每一点看作射线发射出去，每一条射线都可以以ε点为中心对称，越接近ε点，中心对称出去的射线，越先到达离ε点较远的一侧。

3、抛物线的方程为一元二次方程抛物线的方程为一元二次方程，一般可以写成：y = ax2 + bx + c，其中a是不等于0的常数，b、c是任意数，a的符号决定抛物线的开口的方向。

如果a为正，抛物线开口向下，如果a为负，抛物线开口向上；b、c决定抛物线离原点的距离。

4、关于抛物线的几何量轨迹抛物线有一些几何量与它有关，如果一条抛物线有另一条抛物线共i点，则这两条抛物线叫做共点抛物线，如果当中有两个抛物线各自有3个共点，则他们有共同的轨迹，这个轨迹叫做共椭圆轨迹（elliptic trajectory）；另外，如果把抛物线每一段的半长轴的和加起来相等，就可以形成一项十分有趣的定理，叫做蕴含定理（implicit theorem），这也是验证抛物线多重性质的方法之一。

抛物线知识点公式大全抛物线是二次函数的图像形状，由于其独特的特征和广泛的应用，它是初等数学中一个重要的概念。

在本文中，我将介绍抛物线的知识点、公式和相关内容。

1.抛物线的定义：抛物线是平面解析几何中，距形是点到给定直线距离与点到给定点距离之差保持不变的点轨迹，这个点轨迹是一个曲线。

2.抛物线的方程：一般式方程：y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)，其中a、b、c为常数。

顶点推导式方程：(x-h)^2=4a(y-k)或(y-k)^2=4a(x-h)，其中(h,k)为顶点坐标。

3.抛物线的顶点：顶点是抛物线的最高或最低点，在一般式方程中顶点坐标为：(-b/2a，f(-b/2a))。

顶点坐标也可以由顶点推导式方程中的参数(h，k)得到。

4.抛物线的焦点：焦点是指点到抛物线到定点的距离与点到抛物线到定直线的距离相等时的点。

抛物线的焦点坐标为(F，0)，其中F=1/4a。

5.抛物线的对称轴：对称轴是指抛物线的形状关于其中一直线对称。

抛物线对称轴的方程为x=-b/2a。

6.抛物线的辅轴：辅轴是与抛物线的顶点相垂直并通过焦点的直线。

辅轴的方程为y=k。

7.抛物线的几何性质：a)抛物线是上下对称的；b)对于一条抛物线，顶点是最低点或最高点，且对称轴上没有其他点；c)抛物线开口方向由二次项系数a的正负决定，a>0代表向上开口，a<0代表向下开口；d)抛物线在顶点处达到最值，最值为k的值；8.抛物线的图像与平移：抛物线的图像可以通过平移来改变其位置。

给定抛物线y = ax^2 +bx + c，当把抛物线沿x轴平移h单位，y = a(x-h)^2 + b(x-h) + c；当把抛物线沿y轴平移k单位，y = a(x-h) + b(x-h)^2 + c。

9.抛物线的图像与缩放：抛物线的图像可以通过缩放来改变其形状。

给定抛物线y = ax^2 +bx + c，当把抛物线在x轴方向上缩放r倍，y = a(rx)^2 + b(rx) + c；当把抛物线在y轴方向上缩放r倍，y = a(x^2) + b(x) + rc。

抛物线的所有知识点一、抛物线的定义。

平面内，与一定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。

二、抛物线的标准方程。

1. 当抛物线的焦点在x轴正半轴上时，设其方程为y^2=2px(p>0)，焦点坐标为((p)/(2),0)，准线方程为x = -(p)/(2)。

2. 当抛物线的焦点在x轴负半轴上时，方程为y^2=-2px(p>0)，焦点坐标为(-(p)/(2),0)，准线方程为x=(p)/(2)。

3. 当抛物线的焦点在y轴正半轴上时，方程为x^2=2py(p>0)，焦点坐标为(0,(p)/(2))，准线方程为y = -(p)/(2)。

4. 当抛物线的焦点在y轴负半轴上时，方程为x^2=-2py(p>0)，焦点坐标为(0,-(p)/(2))，准线方程为y=(p)/(2)。

三、抛物线的性质。

1. 对称性。

- 对于抛物线y^2=2px(p>0)，关于x轴对称；对于x^2=2py(p>0)，关于y轴对称。

2. 顶点。

- 四种标准方程下的抛物线顶点都为坐标原点(0,0)。

3. 离心率。

- 抛物线的离心率e = 1。

4. 范围。

- 对于y^2=2px(p>0)，x≥slant0，y∈ R；对于y^2=-2px(p>0)，x≤slant0，y∈R；对于x^2=2py(p>0)，y≥slant0，x∈ R；对于x^2=-2py(p>0)，y≤slant0，x∈ R。

5. 焦半径公式。

- 对于抛物线y^2=2px(p>0)，抛物线上一点P(x_0,y_0)到焦点F((p)/(2),0)的距离| PF|=x_0+(p)/(2)。

- 对于y^2=-2px(p>0)，抛物线上一点P(x_0,y_0)到焦点F(-(p)/(2),0)的距离| PF|=-x_0+(p)/(2)。

- 对于x^2=2py(p>0)，抛物线上一点P(x_0,y_0)到焦点F(0,(p)/(2))的距离|PF|=y_0+(p)/(2)。

抛物线的知识点抛物线是数学中的一种曲线形状，具有独特的性质和应用。

以下是关于抛物线的知识点：1. 定义：抛物线是平面上与一个固定点（焦点）和一条直线（准线）的距离相等的所有点的轨迹。

焦点和准线之间的距离被称为焦距。

2. 方程形式：抛物线的一般方程形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c都是实数，且a不等于0。

这是一个二次方程的标准形式。

如果抛物线开口向上，a的值为正；如果抛物线开口向下，a的值为负。

3. 性质1：对称性。

抛物线以准线为轴对称。

准线上的点到焦点的距离与焦点对称的另一个点到准线的距离相等。

4. 性质2：焦点。

焦点是抛物线上的一个点，具有特殊的性质。

抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的垂直距离。

5. 性质3：直线方程。

焦点和准线确定了抛物线，也可以通过准线和焦点的坐标来表示抛物线的方程。

6. 性质4：顶点。

抛物线的最高或最低点被称为顶点，它是对称轴上的焦点。

顶点的坐标可以通过求解二次方程的顶点公式得到。

7. 性质5：应用。

抛物线在物理学、工程学、生物学等领域中有广泛的应用。

例如，抛物线在物体的抛射运动中描述了物体的轨迹；位于抛物线上的反射式望远镜可以收集入射光线并将其聚焦在焦点上。

8. 规范方程：除了一般方程形式外，抛物线还可以用规范方程表示。

规范方程是将抛物线的焦点放在原点上的方程形式。

对于开口向上的抛物线，规范方程为y = 4ax；对于开口向下的抛物线，规范方程为x = 4ay。

9. 宽度和高度：抛物线的宽度是两个对称点之间的水平距离。

抛物线的高度是焦点到准线的垂直距离。

10. 弧长和面积：根据抛物线的参数方程可以计算出抛物线上某一段的弧长。

抛物线所围成的面积也可以通过积分计算得到。

总结：抛物线是一种具有独特性质与广泛应用的曲线。

它的方程形式、对称性、焦点、准线、顶点等重要性质可以通过数学分析来理解。

抛物线的广泛应用使其在科学和工程领域中具有重要意义。

了解和掌握抛物线的知识点，不仅有助于我们更好地理解数学原理，还有助于将其应用于实际问题的解决中。

高三网抛物线知识点抛物线是高中数学中一个重要的曲线形状，具有许多独特的性质和应用。

在高三网的学习中，对于抛物线的理解和掌握是至关重要的。

本文将介绍一些关于抛物线的基本知识点，帮助你更好地理解和应用抛物线。

一、抛物线的定义和性质抛物线可以通过焦点和直线的定义来描述。

对于一个给定焦点F 和直线直径 L，抛物线定义为到焦点 F 的距离等于到直径 L 的距离的所有点的集合。

抛物线可表示为一般方程 y = ax² + bx + c，其中 a、b、c 分别是实数常数，并且a ≠ 0。

抛物线有许多重要的性质，包括：1. 抛物线是对称的：关于焦点 F 所在的直线是对称轴。

对称轴将抛物线分成两个相等的部分。

2. 焦点和直径的关系：焦点到对称轴的距离等于焦距的一半，即 PF = PD。

3. 焦点和顶点的关系：顶点是抛物线上的最高点，它位于抛物线的对称轴上。

4. 焦点和直线的关系：对于任意点 P(x, y) 在抛物线上，焦点到点 P 的距离等于点 P 到直线的距离。

二、抛物线的方程抛物线的一般方程为 y = ax² + bx + c，其中 a、b、c 是实数常数。

根据 a 的取值不同，抛物线可以向上开口或向下开口。

- 当 a > 0 时，抛物线向上开口，顶点是最小值点。

- 当 a < 0 时，抛物线向下开口，顶点是最大值点。

为了确定抛物线的方程，我们需要知道顶点的坐标和另一个点的坐标。

顶点的坐标可以通过对称轴的方程和焦点的性质来获得。

另一个点的坐标可以通过代入其他已知的点的坐标，或通过焦点和顶点的距离关系来求得。

三、抛物线的应用抛物线在生活和工程领域有着广泛的应用。

以下是一些常见的抛物线的应用示例：1. 摄像头：某些类型的摄像头使用抛物面镜头来聚焦光线，以实现更好的图像质量。

2. 物理运动：在物理学中，抛物线可以描述抛体的运动轨迹，例如投掷物体和抛出的诸如炮弹等。

3. 卫星通信：卫星通信天线往往是抛物面形状的，因为该形状可以确保信号被聚焦到一个点上，以提供更好的通信质量。

关于抛物线的知识点总结抛物线是数学中的一个重要概念，它在日常生活和科学研究中都有广泛的应用。

本文将从几个方面介绍抛物线的知识点。

一、抛物线的定义和性质抛物线是平面上的一条曲线，它的定义是到一个定点的距离与定直线的距离相等。

抛物线的形状呈现对称性，具有开口朝上或朝下的特点。

抛物线的顶点是曲线的最高点或最低点，也是抛物线的对称轴的交点。

抛物线的对称轴是垂直于抛物线的轴线，通过抛物线顶点的直线。

抛物线的焦点是到定直线距离相等的那个定点。

二、抛物线的方程抛物线的方程可以用一般形式和顶点形式来表示。

一般形式的抛物线方程是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是常数，a不等于0。

顶点形式的抛物线方程是y=a(x-h)^2+k，其中a、h、k是常数，(h,k)是抛物线的顶点坐标。

通过顶点形式的方程可以直接得到抛物线的顶点坐标和对称轴的方程。

三、抛物线的应用抛物线在物理学、工程学和经济学等领域有广泛的应用。

在物理学中，抛物线是描述自由落体运动的理想模型。

在工程学中，抛物线是设计桥梁和建筑物的重要参考。

在经济学中，抛物线可以用来描述成本、收入和利润等变量之间的关系。

四、抛物线与其他曲线的关系抛物线与直线、圆和双曲线都有密切的关系。

当抛物线的开口趋向于无限大时，抛物线可以近似为一条直线。

当抛物线的形状接近于圆时，抛物线可以看作是一个圆的一部分。

当抛物线的焦点和顶点之间的距离等于焦距时，抛物线可以近似为一个双曲线。

五、抛物线的美学价值抛物线不仅在数学中具有重要的意义，还在艺术和建筑中有着广泛的应用。

许多建筑物、雕塑和艺术品都使用了抛物线的形状，给人以美的享受和审美的愉悦。

总结起来，抛物线是数学中的一个重要概念，它具有独特的形状和性质。

抛物线在日常生活和科学研究中有广泛的应用，可以用来描述自由落体运动、设计建筑物和研究经济变量等。

抛物线与其他曲线有密切的关系，可以近似为直线、圆和双曲线。

抛物线不仅在数学中有价值，还在艺术和建筑中具有美学价值。

抛物线知识点归纳总结抛物线是高中数学中的一个重要概念，也是一种具有特殊性质的曲线。

在本文中，我们将对抛物线的定义、性质、方程及应用进行归纳总结。

一、定义抛物线是指平面上的一条曲线，它的几何定义是到定点距离与到定直线距离相等的点的轨迹。

具体来说，抛物线是以定点为焦点、定直线为准线的所有点的轨迹。

二、性质1. 对称性：抛物线关于准线对称。

2. 焦点和准线：焦点是抛物线上的凹点（开口向上的抛物线）或凸点（开口向下的抛物线），准线与抛物线相切于焦点。

3. 焦半径：抛物线上任意一点到焦点的距离称为焦半径，焦半径相等的点构成的线段称为焦径。

4. 直径：垂直于准线且通过焦点的线段称为直径。

5. 焦弦：与抛物线相交于两点且经过焦点的弦称为焦弦，焦弦的中点恰好是抛物线上的高点。

6. 切线：抛物线上任意一点处的切线与焦半径垂直。

7. 弦长公式：焦弦的弦长等于焦点到抛物线顶点的距离的两倍。

三、方程在平面直角坐标系中，一般式的抛物线方程形式为y=ax²+bx+c。

其中，参数a决定了抛物线的开口方向，当a大于0时，抛物线开口向上，当a小于0时，抛物线开口向下。

根据抛物线的特殊性质，我们可以得出以下常用的抛物线方程：1. 焦点在y轴上的抛物线方程：y²=4ax。

2. 焦点在x轴上的抛物线方程：x²=4ay。

3. 顶点在原点的抛物线方程：y²=4ax。

4. 顶点在坐标轴上的抛物线方程：x²=4ay。

四、应用抛物线在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。

以下列举了几个常见的应用场景：1. 抛物线轨迹：在自然界中，很多物体的运动轨迹都可以用抛物线来描述，例如自由落体运动、抛射运动等。

2. 抛物天线：抛物面具有聚焦的特点，因此在通信工程中常用抛物天线来进行信号的发射和接收。

3. 抛物线反射：当光线或声波垂直照射到抛物面上时，会被反射到焦点上，因此抛物面常被用于反射镜和声学聚焦器的设计。