点到抛物线的距离公式

标题：深度解析：点到曲线的最短距离公式拉格朗日在数学问题中，求解点到曲线的最短距离是一个非常经典的问题。

而其中用到的最短距离公式与拉格朗日乘数法紧密相关。

本文将深入探讨这一问题，从简单到复杂，逐步解析点到曲线的最短距离公式，并结合拉格朗日乘数法，带您领略这一数学奥妙。

一、点到曲线的距离概念我们首先来理解一下点到曲线的距离概念。

假设有一条曲线C，以及平面上的一个点P(x0, y0)，我们希望求解这个点到曲线C的最短距离。

为了方便起见，我们将曲线C表示为函数形式y=f(x)，那么点P到曲线C的距离可以表示为d(x)=(x-x0)^2+(f(x)-y0)^2的开方。

二、最短距离公式的推导接下来，我们将通过数学推导来得出点到曲线的最短距离公式。

我们希望最小化距离函数d(x)，因此需要求解d(x)的极值点。

根据极值点的性质，我们知道极值点的导数为0。

对d(x)求导可得d'(x)=0，进而得出f'(x)*(f(x)-y0)+(x-x0)=0。

这是一个方程，我们可以通过求解这个方程来得到最短距离的点。

三、拉格朗日乘数法的应用当我们面对多个约束条件进行最优化时，拉格朗日乘数法就能够派上用场。

在点到曲线的最短距离求解中，我们有一个显而易见的约束条件，那就是点P的坐标(x0, y0)必须在曲线C上。

我们可以建立拉格朗日函数L(x, y, λ)=d^2(x)-λ(g(x, y)), 其中λ为拉格朗日乘数，g(x, y)=0为约束条件。

通过对L(x, y, λ)进行偏导数运算，我们可以得出极值点的方程组，进而求解出最短距离的点。

四、结合实例分析为了更好地理解点到曲线的最短距离公式和拉格朗日乘数法，我们来看一个具体的例子。

假设曲线C为y=x^2，点P为(1, 2)。

我们可以按照上述方法，首先求出距离函数d(x)，再求出极值点的方程，最后应用拉格朗日乘数法来求解。

通过计算，我们得出最短距离的点为(1, 1)。

两点间距离公式是用来计算两点间直线距离的公式。

在中考试题中，常用于计算两点间直线距离，如计算两点间距离，计算两点间直线距离等。

例如，在平面直角坐标系中，两点间距离公式为：d = √((x2-x1)²+(y2-y1)²)。

在中考试题中，还可以用两点间距离公式来解决一些几何问题，比如：
求三角形中两边长度之和与第三边长度的关系
求线段中点到端点距离的关系
求圆心距离
求抛物线焦点到顶点距离
两点间距离公式是中考几何中的基础公式，学好它对于中考考试是很有帮助的。

此外，两点间距离公式在中考试题中还可以用于解决以下问题：
求两点之间最短路径
求两点之间最短距离
求两点之间最短时间
求两点之间距离最短的路径
在数学中，两点间距离公式是一种常用的计算两点间距离的方法，在现实生活中也有很多应用。

例如，在地图导航系统中，两点间距离公式可以用来计算两点之间的距离，帮助我们找到最短路径和最短时间。

最后，记住两点间距离公式是中考几何考试中重要公式，需要熟练掌握应用。

探秘抛物线：如何求抛物线的法线方程抛物线是一种常见的曲线，它的形状类似于一条平衡的弧线。

在很多物理学、数学和工程学的领域中，抛物线都扮演着非常重要的角色。

在本文中，我们将介绍如何求抛物线的法线方程，并探讨抛物线的一些基本性质。

什么是抛物线？抛物线是一种二次函数曲线，它的标准方程为 y = ax^2 + bx + c （其中，a ≠ 0）。

抛物线上的每一个点都满足这条方程，且所有点的 x 坐标都是相同的。

抛物线是由一条直线上的点到一个定点的距离等于这条直线上的点到另一个定点的距离所产生的几何形状。

如何求抛物线的法线方程？在求抛物线的法线方程之前，我们需要明确什么是法线。

法线是指在曲线上某一点的切线的垂线，也就是与切线垂直的直线。

抛物线的法线方程是指在其上任意一点处的一条垂直于该点处切线的直线的方程。

假设抛物线的标准方程为 y = ax^2 + bx + c。

我们首先需要求出该抛物线在某一点 x = s 处的切线斜率 k。

切线斜率的公式为 k = 2as + b。

接着，我们可以通过求出斜率的倒数，即法线斜率（即切线的负倒数）来得到法线方程。

法线斜率的公式为 nk = -1/k = -1/(2as + b)。

然后，我们可以通过将法线斜率代入标准点斜式方程，结合已知点的坐标（s，as^2 + bs + c），得到抛物线在 x = s 处的法线方程。

该法线方程的形式为 y - (as^2 + bs + c) = nk(x - s)。

抛物线的性质抛物线有许多有趣的性质，这里简单介绍几点。

首先，抛物线具有对称性。

抛物线的一个特定点（焦点）到所有抛物线上的其他点的距离相等。

例如，对于下面这个标准抛物线方程：y = x^2，其焦点为原点，其顶点为（0，0）。

所有位于抛物线上的其他点都与这个点到原点的距离相等。

其次，抛物线是平滑的曲线。

它在任何一点都有一条切线，并且在任何一点都没有尖点或拐点。

第三，抛物线在四个象限中均有部分。

高中数学-抛物线焦半径公式及应用
概述
抛物线是高中数学中的一个重要概念，它在物理学、工程学和
自然科学中应用广泛。

本文将介绍抛物线焦半径公式及其应用。

焦点和焦半径
抛物线是一个特殊的几何曲线，由平面上到一个定点（焦点）
和定直线（准线）的距离相等的所有点组成。

焦半径是从焦点到抛
物线上任意点的距离。

抛物线焦半径公式
抛物线的方程一般形式是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是常数。

根据焦半径定义，我们可以得到焦半径公式：
r = |2a| / (4a^2 + 1)
其中，r表示焦半径，a表示抛物线的系数。

应用示例
1. 镜面反射
抛物面镜是一种应用抛物线形状的透镜。

当光线从无穷远处射到抛物面镜的表面上时，会聚到焦点上。

抛物线焦半径公式可以帮助我们计算光线在抛物面镜上的反射和折射。

2. 轨迹预测
在物理学中，抛物线常用于描述物体在受重力和空气阻力作用下的运动轨迹。

通过抛物线焦半径公式，我们可以计算出物体在不同速度和角度下的最大射程和最大高度。

总结
抛物线焦半径公式是高中数学中重要的工具之一，它可以应用于物理学、工程学等领域。

通过理解公式的含义和应用示例，我们可以更好地理解抛物线的性质和特点。

参考文献：
以上为800字的文档内容。

抛物线公式抛物线的标准式是 $y=ax^2+bx+c$，其中 $a,b,c$ 是常数。

下面将详细介绍如何得到抛物线公式。

一、点坐标式先来看一个问题：如果已知三个不在同一直线上的点 $(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$ 和 $(x_3,y_3)$，如何求解过这三个点的抛物线方程？我们可以设抛物线方程为 $y=ax^2+bx+c$，然后代入三个点的坐标，即$$\\begin{cases}y_1=ax_1^2+bx_1+c \\\\y_2=ax_2^2+bx_2+c\\\\y_3=ax_3^2+bx_3+c\\end{cases}$$这是一个含有三个未知数 $a,b,c$ 和三个方程的线性方程组，可以通过线性代数的方法求解。

首先，将上式简化，得到$$\\begin{cases}a{x_1}^2+b{x_1}+c=y_1\\\\a{x_2}^2+b{x_2}+c=y_2 \\\\a{x_3}^2+b{x_3}+c=y_3\\end{cases}$$然后用高斯消元或其他方法解方程组，得到 $a,b,c$ 的值，进而得到抛物线方程。

二、焦点式我们知道，平面内的所有抛物线都有一个焦点和一条直线作为对称轴。

如果已知抛物线的焦点 $(F_x,F_y)$ 和对称轴的方程（通常为 $x=k$，$k$ 是常数），那么可以通过一系列推导得到抛物线的公式。

先设抛物线的焦点为 $(F_x,F_y)$，对称轴的方程为 $x=k$。

假设抛物线上任意一点 $(x,y)$ 的到焦点的距离为 $d$，那么有$$d=\\sqrt{(x-F_x)^2+(y-F_y)^2}$$由于抛物线的几何定义是所有到焦点距离等于到对称轴距离的点的集合，因此有$$d=\\left| x-k \\right|$$将上式代入前面的式子，得到$$\\sqrt{(x-F_x)^2+(y-F_y)^2}=\\left| x-k \\right|$$平方后化简：$$(x-F_x)^2+(y-F_y)^2=(x-k)^2$$展开并将 $y$ 提出，得到$$y=\\frac{(F_y-k)^2}{2(F_x-k)}+\\frac{F_x+k}{2}(x-k)$$这就是抛物线的焦点式，其中 $F_x$、$F_y$ 和 $k$ 是常数。

关于抛物线的知识点总结抛物线是数学中的一种二次曲线，其形状类似于一个开口朝下的弧形。

它在物理学、工程学、建筑学等领域中有广泛应用。

本文将对抛物线的知识点进行总结，包括定义、性质、公式以及应用等方面。

一、定义抛物线是一个平面曲线，它的定义可以通过以下两种方式进行：1. 通过焦点和直线的定义：抛物线是到定点（称为焦点）距离等于到定直线（称为准线）距离的所有点的轨迹。

2. 通过二次方程的定义：抛物线是二次方程y=ax²+bx+c（a≠0）图像所表示的曲线。

二、性质1. 抛物线对称性：对于任意一条抛物线，它都具有关于其顶点对称的性质。

2. 抛物线顶点：抛物线上最高或最低点称为顶点，该点位于准线上方或下方，并且满足y轴方向上没有其他极值。

3. 抛物线切线斜率：在任意一点处，抛物线切线斜率等于该处导数值。

4. 抛物线焦距：焦距是指准线到焦点的距离，用f表示。

对于标准形式的抛物线y=x²，其焦距为1/4。

5. 抛物线离心率：离心率是指焦距与顶点到准线的距离之比，用e表示。

对于标准形式的抛物线y=x²，其离心率为1。

6. 抛物线方程：抛物线的一般方程为y=ax²+bx+c（a≠0），其中a控制开口方向和大小，b控制左右移动，c控制上下移动。

三、公式1. 抛物线顶点坐标公式：对于一般形式的抛物线y=ax²+bx+c（a≠0），其顶点坐标为(-b/2a, c-b²/4a)。

2. 抛物线切线斜率公式：在任意一点处，抛物线切线斜率等于该处导数值，即dy/dx=2ax+b。

3. 抛物线焦距公式：对于一般形式的抛物线y=ax²+bx+c（a≠0），其焦距为f=1/(4a)。

4. 抛物线离心率公式：对于一般形式的抛物线y=ax²+bx+c（a≠0），其离心率为e=sqrt(1+4a²/b²)。

四、应用抛物线在物理学、工程学、建筑学等领域中有广泛应用，以下是其中的几个例子：1. 抛物线运动：当一个物体在重力作用下运动时，其轨迹为一条抛物线。

抛物线的标准方程公式
抛物线是一种非常常见的曲线形状，它在物理学、数学和工程学中都有着广泛
的应用。

在本文中，我们将讨论抛物线的标准方程公式，以及如何通过这个公式来描述抛物线的形状和特征。

首先，让我们来看一下抛物线的定义。

抛物线是一种平面曲线，其在一个平面
上对称，且其轨迹上任意一点到定点的距离与该点到直线的距离成比例。

在数学上，抛物线可以用标准方程来描述，其一般形式为：
y = ax^2 + bx + c。

在这个方程中，a、b和c分别代表了抛物线的形状和位置。

其中，a决定了抛
物线的开口方向和大小，b决定了抛物线在x轴上的平移，c则决定了抛物线在y
轴上的平移。

接下来，让我们来看一些具体的例子，来说明如何使用标准方程公式来描述抛
物线。

假设我们有一个抛物线，其标准方程为：
y = 2x^2 + 3x + 1。

通过这个方程，我们可以得到很多关于这个抛物线的信息。

首先，由于a的值
为2，所以这个抛物线是向上开口的。

其次，由于b的值为3，所以这个抛物线在
x轴上向左移动了3个单位。

最后，由于c的值为1，所以这个抛物线在y轴上向
上移动了1个单位。

除了描述抛物线的形状和位置外，标准方程公式还可以帮助我们求解抛物线的
焦点、直径和焦距等重要参数。

这些参数对于抛物线在物理学和工程学中的应用具有重要意义。

总之，抛物线的标准方程公式是描述抛物线形状和特征的重要工具，通过这个公式，我们可以清晰地了解抛物线的开口方向、位置和其他重要参数。

希望本文对你理解抛物线有所帮助。

抛物线的知识点高二抛物线的知识点抛物线是一种经典的曲线形状，它在数学、物理和工程等领域都有广泛的应用。

本文将介绍抛物线的基本定义、性质和公式，以及一些与抛物线相关的重要知识点。

一、抛物线的定义抛物线是由一个定点（焦点）和一个定直线（准线）确定的曲线。

定义中的焦点和准线的位置关系决定了抛物线的形状。

当焦点位于准线之上时，抛物线开口朝上；当焦点位于准线之下时，抛物线开口朝下。

二、抛物线的性质1. 对称性：抛物线具有轴对称性，即关于准线对称。

2. 焦点和准线的距离相等性：抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的垂直距离。

3. 点的坐标：设焦点为F，准线为x轴，抛物线上任意一点P的坐标为（x，y），则有y² = 2px，其中p是焦距。

4. 切线与焦准关系：抛物线上任意一点P处的切线与焦准线之间的夹角等于切线和准线之间的夹角。

三、抛物线的公式1. 基本形式：对于抛物线的基本形式y²= 2px，焦点在原点处，准线为x轴。

2. 平移形式：对于平移后的抛物线，坐标平移量为(a, b)，则公式变为（y - b）² = 2p（x - a）。

3. 顶点形式：对于抛物线的顶点形式，坐标顶点为(h, k)，则公式变为（y - k）² = 2p（x - h）。

4. 标准方程与顶点形式的关系：标准方程y² = 2px可通过平移得到顶点形式（y - k）² = 2p（x - h）。

五、与抛物线相关的重要知识点1. 抛物线的焦距：焦距p是决定抛物线形状的重要参数，它决定了抛物线的开口大小。

2. 抛物线的参数方程：抛物线的参数方程是用参数t表示抛物线上的点坐标，参数方程为x = 2at，y = at²。

3. 抛物线的平移与旋转：抛物线可以通过平移和旋转的方式进行变换，改变其位置和方向。

4. 抛物线的应用：抛物线在物理学中有广泛应用，例如在抛物运动、射击问题和天体运动等方面。

抛物线到焦点的距离公式首先，我们来定义什么是抛物线。

抛物线是一个平面曲线，它的点到一个定点（焦点）的距离与点到直线（准线）的距离之比是个定值。

这个定值被称为离心率，常用字母e表示。

抛物线的标准方程是，y^2 = 4ax，其中a是焦点到准线的距离（也称为焦距）。

抛物线的准线是一个与y轴平行的直线，它的方程是x = -a。

现在我们来推导抛物线到焦点的距离公式。

设抛物线上的一点为P(x,y)。

焦点为F(a,0)。

我们需要求解FP的距离。

根据勾股定理，我们有：FP^2=(x-a)^2+y^2我们可以利用抛物线的方程消掉y^2，将其替换为4ax：FP^2 = (x - a)^2 + 4ax展开方程，得到：FP^2 = x^2 - 2ax + a^2 + 4axFP^2 = x^2 + 2ax + a^2可以看出，FP^2的系数分别是1、2a和a^2、这三个系数符合一个重要的性质，即二次多项式的系数可以对应抛物线的焦点的坐标。

因此，我们可以得到抛物线到焦点的距离公式：FP = √(x^2 + 2ax + a^2)这个公式可以更为简洁地写为：FP=，x+a其中，x+a，表示x+a的绝对值。

这个公式是抛物线到焦点的距离公式，它可以用于计算抛物线上任意一点到焦点的距离。

在实际应用中，这个公式可以用于确定抛物线的形状和位置，还可以用于构造抛物线的焦点和准线。

此外，抛物线到焦点的距离公式还在物理学和工程学中发挥重要作用。

例如，在天体力学中，抛物线到焦点的距离公式可以用于分析天体运动的轨迹。

在电磁学中，抛物线到焦点的距离公式可以用于计算电磁场的分布。

在工程学中，抛物线到焦点的距离公式可以用于设计光学系统和天线的形状。

总结起来，抛物线到焦点的距离公式是一个非常重要的数学公式，在几何学、物理学和工程学等领域中都有广泛应用。

它不仅可以用于计算抛物线上任意一点到焦点的距离，还可以用于确定抛物线的形状和位置，以及分析物体的运动轨迹。

1抛物线专题复习一：知识总结1、抛物线的定义:平面内点到定点的距离等于点到定直线的距离：即：PF d = 其中点F 为抛物线的焦点。

2、抛物线的标准方程、几何性质标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率焦半径焦点弦公式()022>=p pxyxyO Fl()0,0x 轴⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2p 2px -=1=e02x p PF +=)(21x x p AB ++=PFQOxy23、抛物线的焦半径 ①()022>=p px y焦半径：x pPQ PF +==2； ②()022>-=p px y焦半径：x p PQ PF -==2③()022>=p py x焦半径：y pPQ PF +==2；④()022>-=p py x焦半径：y pPQ PF -==24、直线与抛物线的位置关系（1）当直线与对称轴平行时⇒有一个交点⇒相交（2）当直线与对称轴不平行时，则有① ② ③ ①当0∆>⇒两个焦点⇒相交； ②当0∆=⇒一个焦点⇒相切； ③当0∆<⇒没有焦点⇒相离；题型一：抛物线的定义应用1、抛物线y=42x 上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A. 1617 B. 1615C.87D. 02、已知点P 在抛物线x y 42=上，那么点P 到点)1,2(-Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为 。

()022>-=p pxyxyO F l()0,0x 轴⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2p2p x =1=e 02x pPF -=)(21x x p AB +-=()022>=p pyx()0,0y 轴⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0p 2py -=1=e02y p PF +=)(21y y p AB ++=()022>-=p pyx()0,0y 轴⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,0p2p y =1=e 02y pPF -=)(21y y p AB +-=PF OQxyPFQO xy PFOQxyOxyFFOxyOxy FOxyFOxyF33、已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且||1F P 、||2F P 、||3F P成等差数列， 则有 （ ） A ．321x x x =+ B ．321y y y =+ C ．2312x x x =+ D. 2312y y y =+4、已知点),4,3(A F 是抛物线x y 82=的焦点,M 是抛 物线上的动点,当MF MA +最小时，M 点坐标是A. )0,0(B. )62,3(C. )4,2(D. )62,3(-题型二：利用抛物线定义求轨迹方程1、一动点P 到y 轴距离比到点)0,2(M 的距离小2，则此动点P 的轨迹方程;2、求与圆C ：22(2)1x y ++=外切，且与直线1x =相切的动圆圆心M 的轨迹方程；3、已知动圆M 经过点)0,3(M 且与直线3:-=x l 相切，求动圆圆心M 的轨迹方程是；4、已知抛物线的焦点是(11)F ，，准线是20x y ++=，求抛物线的方程以及顶点坐标和对称轴方程； （参考：222880x y xy x y +---=；y x =；(00)，）题型三：距离问题1、已知F 是抛物线24y x =的焦点，点Q(2,2)，在抛物线上找一点P 使PQ PF +最小，求点P 的坐标；2、抛物线28y x =的焦点为F ，(4,2)A -为一定点，在抛物线上找一点M ；（1）当||||MA MF + 为最小时，求M 点的坐标； （2）当||||||MA MF -为最大时，求M 点的坐标；43、定长为4的线段AB 的端点A B 、在抛物线22y x =上移动，求线段AB 的中点M 到y 轴的距离的最小值，并求出此时AB 的中点M 坐标；4、求抛物线22y x =上到直线03=+-y x 距离最短距离，且求出此时的点的坐标；5、在抛物线24y x =上求一点，使该点到直线45y x =-的距离为最短，求该点的坐标；（），（121）6、已知抛物线2:ax y C =（a 为非零常数）的焦点为F ，点P 为抛物线c 上一个动点，过点P 且与抛物线c 相切的直线记为l ． （1）求F 的坐标；（2）当点P 在何处时，点F 到直线l 的距离最小；题型四：焦半径和焦点弦 （一）焦半径公式①()022>=p px y 焦半径：x pPQ PF +==2； ②()022>-=p px y 焦半径：x p PQ PF -==2③()022>=p py x 焦半径：y pPQ PF +==2； ④()022>-=p py xPF OQxyPF QO x y PFQ O xyPFOQxy5焦半径：y pPQ PF -==2（二）焦点弦公式（1）若AB 是过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的弦，且直线AB 的倾斜角为a ，则apAB 2sin 2= （2）若AB 是过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的弦，且点()()1122,,,A x y B x y ，则有 ①12AB x x p =++ ②pBF AF 211=+ ③2124p x x =④221p y y -=（3）通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴）最短；当90α= ，2sin 1α=，p ap AB 2sin 22==最小1、已知抛物线2y x =上一点M 到焦点F 的距离为2，求点M 的坐标；（参考：77(,)24±） 2、过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，且621=+x x ，求||AB A 、10 B 、8 C 、6 D 、43、如果1P ，2P ，…，8P 是抛物线24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，8x ，F 是抛物线的焦点，若)(,,,21*∈N n x x x n 成等差数列且45921=+++x x x ，则||5F P =（ ）A 、5B 、6C 、7D 、94、过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于)(422R a a a ∈++，则这样的直线 （ ） A 、有且仅有一条 B 、有且仅有两条 C 、1条或2条 D 、不存在5、过抛物线()02>=a axy 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 、QF 的长分别是p 、q ，则qp 11+ （ ） A 、a 2 B 、a 21 C 、a 4 D 、a46、已知过抛物线29y x =的焦点的弦AB 长为12，则直线AB 倾斜角为 。

教学内容知识梳理1抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 2抛物线的图形和性质：①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。

②焦准距：FK p =③通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p 。

④顶点平分焦点到准线的垂线段：2p OF OK ==。

⑤焦半径为半径的圆：以P 为圆心、FP 为半径的圆必与准线相切。

所有这样的圆过定点F 、准线是公切线。

⑥焦半径为直径的圆：以焦半径 FP 为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。

所有这样的圆过定点F 、过顶点垂直于轴的直线是公切线。

⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ 为直径的圆必与准线相切。

所有这样的圆的公切线是准线。

3抛物线标准方程的四种形式：，，px y px y 2222-==。

，py x py x 2222-== 4抛物线px y 22=的图像和性质：①焦点坐标是：⎪⎭⎫⎝⎛02，p ， ②准线方程是：2px -=。

③焦半径公式：若点),(00y x P 是抛物线px y 22=上一点，则该点到抛物线C NM 1QM 2K FPoM 1QM 2KF Poyx的焦点的距离（称为焦半径）是：02p PF x =+， ④焦点弦长公式：过焦点弦长121222p pPQ x x x x p =+++=++ ⑤抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y py或2(2,2)P pt pt 或P px y y x 2),(2=其中5一般情况归纳：方程 图象 焦点 准线 定义特征 y 2=kxk>0时开口向右 (k/4,0)x=─k/4到焦点(k/4,0)的距离等于到准线x= ─k/4的距离k<0时开口向左 x 2=kyk>0时开口向上 (0,k/4)y=─k/4到焦点(0,k/4)的距离等于到准线y=─k/4的距离k<0时开口向下例题讲解例1设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( ) A ．y2＝－8x B ．y2＝8x C ．y2＝－4xD ．y2＝4x例2坐标平面内到定点F(－1，0)的距离和到定直线l ：x ＝1的距离相等的点的轨迹方程是( ) A ．y2＝2xB ．y2＝－2xC ．y2＝4xD ．y2＝－4x例3已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54 D.74例4拋物线y2＝4x 上一点M 到焦点的距离为2，则M 到y 轴的距离为________． 例5已知过抛物线y2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF|＝2，则|BF|＝________．例6根据下列条件求拋物线的标准方程．(1)拋物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；(2)拋物线焦点在x 轴上，直线y ＝－3与拋物线交于点A ，|AF|＝5.例7已知抛物线y2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P 点的坐标． 变式练习.(1)将本例中A (3，2)改为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，103，试求|P A |＋|PF |的最小值及此时P 点的坐标．(2)本例条件不变，求点P 到点B ⎝⎛⎭⎪⎫－12，1的距离与点P 到直线x ＝－12的距离之和的最小值．例7.已知探照灯的轴截面是抛物线y 2=x ，如图所示，平行于对称轴y=0的光线于此抛物线上入射点，反射点分别为P 、Q ，设点P 的纵坐标为a(a>0)，当a 取何值时，从入射光线P 到反射点Q 的光线路径最短？例8已知拋物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点A (1，－2)．(1)求拋物线C 的方程，并求其准线方程；y oFPQ(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与拋物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．课内练习1．以抛物线)0(22>=p px y 的焦半径PF 为直径的圆与y 轴位置关系为（ ）Ａ、 相交 Ｂ、 相离 Ｃ、 相切 Ｄ、 不确定 2．抛物线方程为7x ＋8y 2=0，则焦点坐标为（ ） A ．(716 ,0) B ．(－732 ,0) C ．(0,－ 732 ) D ．(0,－ 716 )3．抛物线y=－x 2上的点到直线4x ＋3y －8=0距离的最小值是 （ ） A ．43 B ．75 C ．85 D ．34．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA → ·AF → =－4，则A 点坐标为 （ ） A ．（2，±2 2 ） B ．（1，±2） C ．（1，2） D ．（2，2 2 ）5．抛物线y 2=－2px(p ＞0)上一点横坐标为-9，它到焦点的距离为10，这点的坐标为 ． 6．过抛物线x y =2的焦点F 的直线m 的倾斜角m ,4πθ≥交抛物线于A 、B 两点，且A 点在x 轴上方，则|FA|的取值范围是 ．7．一动圆Ｍ和直线:4l x =-相切，并且经过点(4,0)F ，则圆心Ｍ的轨迹方程是 ． 8．直线l 过抛物线)0(22>=p px y 的焦点且与x 轴垂直，若l 被抛物线截得的线段长为6，求p 的值．9．已知直线l ：y= 3 x ＋4被抛物线x 2=2p y(p ＞0)截得的弦长为4 3 ． （1）求抛物线的方程；（2）在该抛物线上位于直线l 下方的部分中，求一点M ，使M 到l 的距离最远．10．已知抛物线y 2=4ax(a ＞0)的焦点为A ，以B （a+4，0）为圆心，|AB|长为半径画圆，在x 轴上方交抛物线于M 、N 不同的两点，若P 为MN 的中点．（1）求a 的取值范围； （2）求|AM|+|AN|的值；（3）问是否存在这样的a 值，使|AM|、|AP|、|AN|成等差数列？课后作业1．顶点为原点，抛物线对称轴为y轴，且过点（－4，5），则抛物线的准线方程为（）A．y=－45B．y=45C．x=－45D．x=452．已知点P是抛物线22y x=上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是7(,4)2A，则||||PA PM+的最小值是（）A．112B．4 C．92D．53．过点（－1，0）作抛物线y=x2＋x＋1的切线，则其中一条切线为（）A．2x＋y＋2=0 B．3x－y＋3=0 C．x＋y＋1=0 D．x－y＋1=04．抛物线型拱桥的顶点距水面2m时，水面宽8m，若水面升1m，此时水面宽为．5．过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于A，B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则△OAB的重心的坐标为．6．求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且过点Ｐ（２，－４）的抛物线的方程．7．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴正半轴上，设A ，B 是抛物线C 上的两个动点（AB 不垂直于x 轴），且|AF|＋|BF|=8，线段AB 的垂直平分线恒经过定点Q （6，0），求此抛物线方程．8．已知抛物线x y 22=及定点),0,1(),1,1(-B A M 是抛物线上的点，设直线BM AM ,与抛物线的另一交点分别为21,M M ．求证：当点M 在抛物线上变动时（只要21,M M 存在且1M 与2M 是不同两点），直线21M M 恒过一定点，并求出定点的坐标B 组1．抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( )A ．1716B ．1516C ．78D ．02．已知两点M （－2，0），N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足|MN → |·|MP → |＋MN → ·NP → =0，则动点P （x,y ）的轨迹方程是 （ ） A ．y 2=8x B ．y 2=－8x C ．y 2=4x D ．y 2=－4x3．已知P 是抛物线y=2x 2+1上的动点，定点A （0，―1），点M 分P A → 所成的比为2，则点M 的轨迹方程是（ ）A 、y=6x 2―31B 、x=6y 2－31 C 、y=3x 2+31 D 、y=―3x 2―14．有一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2=2 3 x 上，另一个顶点在原点，则这个三角形的边长是 ．5．对正整数n ，设抛物线x n y )12(22+=，过)0,2(n P 任作直线l 交抛物线于n n B A ,两点，则数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+⋅)1(2n OB OA n n 的前n 项和公式是 ．6．焦点在x 轴上的抛物线被直线y=2x ＋1截得的弦长为15 ，求抛物线的标准方程．7．定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2=x 上移动，AB 的中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求出点M 的坐标．8．在直角坐标系中，已知点⎪⎭⎫⎝⎛0,2p F （p>0）, 设点F 关于原点的对称点为B ，以线段FA为直径的圆与y 轴相切.（1）点A 的轨迹C 的方程；（2）PQ 为过F 点且平行于y 轴的曲线C 的弦，试判断PB 与QB 与曲线C 的位置关系.21M M 是曲线C 的平行于y 轴的任意一条弦，若直线FM1与BM2的交点为M ，试证明点M 在曲线C 上．。

设A(x1,y1),B(x2,y2)两点的中点为M(x0,y0),则（1）中点坐标公式：x0=(x1+x2)/2；(y0=(y1+y2)/2（2）两点间距离公式：AB=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]（本质上就是勾股定理1.点到点距离公式：设A（a，b）B（c，d），则AB=√[(a-c)^2+(b-d)^22.点到线距离公式：设直线Ax+By+C=0（一般的解析式可以先化成这个），点A（x0，y0），则A到直线的距离长度=|Ax0+By0+C|/√(A^2+B^2)3.解析式y=kx+b中，k的实质是该直线与x轴正方向夹角的正切值，当这个角大于90度时，需要用到诱导公式tan（90+a）=-tan（a）4.设直线1为y=k1x+b1，直线2为y=k2x+b2，当k1k2=-1时，直线1垂直于直线25.直线y=kx+b的平行直线系为y=kx+m6.过定点（x0，y0）的直线系为（y-y0）=k（x-x0）7.已知抛物线y=ax^2+bx+c和平行于x轴的直线y=m，则抛物线在直线上截出的距离=√（b^2-4ac+4am）/|a|，这个公式一般用于求某些线段的最值，通常可以得到一个y=根式+km的函数，这个函数的最值我们还不会求，可以设这个根式为n，反解出m来，然后得到关于n的二次函数，求二次函数的最值和相应的n值，进而求出m的值即可，这种方法叫换元法，我自己发现的，不知道高中会不会用到我也是初三的，一般有用的就是这几个，并且除非逼不得已，不然尽量别用，因为一方面计算量大，另一方面即使算对了，老师也不一定看得懂，有可能会得0分也不好说。

部分压轴题中也会在平面直角坐标系中出现圆，下面的公式是关于圆的1.圆的标准方程（x-a）^2+(y-b）^2=r^2，其中，圆心是（a，b），半径是r2.圆的一般方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，其中，圆心是（-D/2,-E/2)半径是1/2√（D^2+E^2-4F)3.过圆上定点的切线系方程，设P（x0，y0）是圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0上的一个点，过这个点的切线为xx0+yy0+D[(x+x0)/2]+E[(y+y0）/2]+F=04.过圆外一点P(x0，y0）引圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的切线，切线长为√（x0^2+y0^2+Dx0+Ey0+F）5.判断直线与圆位置关系的方法：1.知道圆心和半径的情况下，利用点到直线的距离公式，算出圆心到直线的距离，比较距离与半径，得出圆与直线的位置关系2.知道直线和圆的解析式的情况下，联立二式，组成一个二元二次方程组，消去一元，得到一个一元二次方程，算出判别式德塔，德塔大于0，证明方程有两个不等实数根，即直线与圆有两个不同交点，此时相交，相应的，德塔小于0，相离，德塔等于0，相切。

抛物线的基本知识点（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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高中抛物线知识点公式大全焦点弦AB 的几条性质11(,)A x y 22(,)B x y以AB 为直径的圆必与准线l 相切若AB 的倾斜角为α，则22sin p AB α=若AB 的倾斜角为α，则22cos pAB α= 2124p x x = 212y y p =-112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p++===•• 切线 方程 00()y y p x x =+ 00()y y p x x =-+ 00()x x p y y =+ 00()x x p y y =-+一． 直线与抛物线的位置关系 二． 直线，抛物线，三． ，消y 得：四． （1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； 五． （2）当k ≠0时，Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）ox ()22,B x yFy ()11,A x y六． 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线，)0( p① 联立方程法：⎩⎨⎧=+=pxy bkx y 22⇒0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0 ∆,以及2121,x x x x +，还可进一步求出bx x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 1. 相交弦AB 的弦长2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=ak ∆+=21 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+=ak ∆+=21 b. 中点),(00y x M , 2210x x x +=， 2210y y y += ② 点差法：设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得1212px y = 2222px y =将两式相减，可得)(2))((212121x x p y y y y -=+-2121212y y px x y y +=--a. 在涉及斜率问题时，212y y pk AB +=b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ，021*******y py p y y p x x y y ==+=--， 即0y pk AB =，同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB 的中点，则有px p x p x x k AB 0021222==+=（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）。

空间直线到点的距离公式空间中的点到直线的距离公式是什么啊？求解点到直线（或面）的距离，通常三种方案【1】直接法，找直角三角形，这个点和直线都在直角三角形内。

【2】建立空间座标系，用向量法。

【3】等体积法。

希望我的回答能够帮助你空间点到直线的距离公式啊，怎么推出空间一般直线的方程是:(x-x0)/a=(y-y0)/b=(z-z0)/c,这是一条过(x0,y0,z0),方向向量为{a,b,c}的直线.假设已知点的座标是A(e,f,g),过A点,且与{a,b,c}垂直的平面是, a(x-e)+b(y-f)+c(z-g)=0,直线(x-x0)/a=(y-y0)/b=(z-z0)/c,与这个平面的交点是B,再由两点的距离公式求出AB,即得.学生，不懂可以问，满意。

空间中点到直线的距离等于点到直线的法向量的距离。

对吗？您好由两平面z=3-2xy=4-3x直执行绪：x/(-1)=(y-4)/3=(z-3)/2直线向向量(-1,3,2) 设直线点N(-t,3t+4,2t+3)MN向量(-t-1,3t+2,2t)若MN垂直于直线则(-1,3,2)*(-t-1,3t+2,2t)=0解t=-1/2MN模sqr(6)/2即所求空间点到直线的距离公式啊，怎么推出来用向量的外积来做。

沿着直线的向量随便取一个设为a在直线上任意取一个点，求出该点到已知点的向量b那么axb得到的向量的模，等于|a||b|sinθ其中|b|sinθ就是所求。

求助：点到空间任一直线的距离公式？设直线为 AX+BY+CZ+D=0距离l 定点（x1,y1,z1)l=abs(AX1+BY1+CZ1+D)/SQRT(A^2+B^2+C^2)ABS=绝对值sqrt=平方根空间向量点到直线的距离已知该点和方向向量可以写出过该点与直线平行的的另一直线，用平行线间距离公式就能求出距离，设出垂足点座标，根据点在线上，两点距离为第一步所述距离，以及两点构成直线于方向向量垂直可列出方程求解。

抛物线交点距离的公式抛物线这玩意儿，在数学里可真是个有趣又有点小复杂的存在。

咱们今儿就来好好聊聊抛物线交点距离的公式。

先给您说个我以前碰到的事儿。

有一次我去逛公园，看到一个小朋友在玩喷水枪，那水喷出来的轨迹就特别像抛物线。

小朋友可兴奋了，追着那水线跑。

我就在旁边看着，突然就想到了抛物线的各种知识。

咱们回到抛物线交点距离的公式。

这公式啊，就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们解开抛物线中的很多谜题。

对于抛物线 $y^2 = 2px$ （$p>0$），它的焦点坐标是 $(\frac{p}{2}, 0)$ 。

假设抛物线上有两点 $A(x_1, y_1)$ 和 $B(x_2, y_2)$ ，那这两点之间的距离就可以通过公式来计算。

这公式具体是怎么来的呢？咱们来一步步分析。

首先，根据抛物线的定义，点到焦点的距离等于点到准线的距离。

对于 $y^2 = 2px$ ，准线方程是 $x = -\frac{p}{2}$ 。

然后呢，咱们假设点 $A$ 到准线的距离是 $d_1$ ，点 $B$ 到准线的距离是 $d_2$ 。

那 $d_1 = x_1 + \frac{p}{2}$ ，$d_2 = x_2 +\frac{p}{2}$ 。

而 $AB$ 的距离，就等于 $d_1 + d_2$ ，也就是 $|AB| = x_1 + x_2 +p$ 。

您看，这公式是不是挺巧妙的？但要真正掌握它，还得多做几道题练练手。

比如说，给您一道题：已知抛物线 $y^2 = 8x$ 上有两点 $A(2,4)$ 和 $B(4, 4\sqrt{2})$ ，求 $AB$ 的距离。

咱们先看看 $p$ ，因为 $y^2 = 8x$ ，所以 $2p = 8$ ，$p = 4$ 。

然后 $x_1 = 2$ ，$x_2 = 4$ ，代入公式 $|AB| = x_1 + x_2 + p = 2 + 4 + 4 = 10$ 。

再比如，抛物线 $y^2 = 6x$ 上两点之间的距离是 9，其中一个点的横坐标是 3，求另一个点的横坐标。