与抛物线的焦点有关的六个性质的多种证明方法

证明抛物线焦点弦的18个结论重庆市开县临江中学张帮军2011.08/复习备考【内容摘要】关于抛物线的焦点弦到底有哪些结论呢？总结一下有四大类共18个结论，第一类是常见的基本结论；第二类是与圆有关的结论；第三类是由焦点弦得出有关直线垂直的结论；第四类是由焦点弦得出有关直线过定点的结论。

【关键词】证明抛物线焦点弦现在通过下面的例题来证明这些结论。

例：过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点F 的一条直线AB 和此抛物线相交于A ，B 两点（α是直线AB 的倾斜角），准线l 的方程：x =-p 2，设点A （x 1,y 1），B（x 2,y 2），则有关抛物线的焦点弦有以下八个基本结论：（1）x 1x 2=p 24；（2）y 1y 2=-p 2；（3）|AF |=x 1+p 2；|BF |=x 2+p2（4）|AB |=x 1+x 2+p ；（5）|AB |=2p sin α；（6）|AF||BF|=p 2sin 2α；（7）;1|AF |+1|BF |=2p（8）S △AOB =p22sin α证明：如图若α≠π2，则k =tan α因为点F(p 2,0)，所以设直线AB 的方程为y =k (x -p 2)由y =k (x -p 2)y 2=2p px得k 2x 2-p (k 2+2)x +k 2p 24=0由根与系数的关系得：x 1x 2=p 24;x 1+x 2=p (k 2+2)k2∴（1）式得证∵A ，B 两点都在直线y 2=2px 上∴y 12=2px 1；y 22=2px 2∴(y 1y 2)2=4p 2x 1x 2=p 4∵y 1y 2<0，∴y 1y 2=-p 2即(2)式得证过点A ，B 分别作AA 1，BB 1与直线l 垂直，垂足为A 1，B 1即A 1(-p 2,y 1)，B 1(-p 2,y 2)由抛物线定义知|AF |=|AA 1|=x 1+p 2;|BF |=|BB 1|=x 2+p 2即(3)式得证∵|AB |=|AF |+|BF |=x 1+x 2+p ∴(4)式得证∵x 1+x 2=p (k 2+2)k2，k =tan α∴|AB |=x 1+x 2+p =2p (k 2+1)k 2=2p (tan 2α+1)tan 2α=2p sin 2α即(5)式得证∵|AF ||BF |=(x 1+p 2)·(x 2+p 2)=x 1·x 2+p 2(x 1+x 2)+p 24=p 2(x 1+x 2+p )=p 2·2p sin 2α=p 2sin 2α∴(6)式得证∵1|AF |+1|BF |=|AF |+|BF ||AF |·|BF |=|AB ||AF |·|BF |=2psin 2α·sin 2αp 2=2p∴(7)式得证∵点O 到直线AB 的距离d 就是△AOB 的高∴h =d =p|k|21+k2姨=p sin α2∴S △AOB =12|AB|·h =12·2psin 2αp sin α2=p 22sin α∴(8)式得证下面来探究焦点弦与圆有关的四条结论：（1）以AB 为直径的圆M 与准线相切；（2）以AF 为直径的圆C 与y 轴准线相切；（3）以BF 为直径的圆D 与y 轴准线相切；（4）分别以AB ，AF ，BF 为直径的圆关系有：圆C 与圆D 外切；圆C 与圆D 既与y 轴相切又圆M 相内切。

抛物线勾股定理的深入探索一、引言勾股定理，作为数学领域中最古老且最重要的定理之一，自公元前6世纪被毕达哥拉斯学派发现以来，一直在几何学和代数学中发挥着重要的作用。

然而，当我们将视线转向更为复杂的几何图形——抛物线时，我们会发现，勾股定理依然在其中找到了新的应用。

抛物线勾股定理不仅揭示了抛物线上点、焦点和准线之间的特殊关系，还在多个领域中展现出了广泛的应用价值。

本文将详细探讨抛物线勾股定理的内涵、证明、应用及其背后的数学原理，以期为读者展现这一古老定理在新的领域中的独特魅力。

二、抛物线勾股定理的内涵抛物线勾股定理，也被称为抛物线的焦准距性质，是描述抛物线上任意一点到焦点和准线的距离之和等于常数（即焦距）的定理。

这一性质在抛物线的定义和性质中占据了重要的地位。

具体来说，对于任意一个抛物线，我们都可以找到一个焦点和一个准线。

对于抛物线上的任意一点P，我们可以分别计算它到焦点F的距离PF和到准线的距离PQ。

根据抛物线勾股定理，这两段距离之和PF+PQ等于一个常数，这个常数就是抛物线的焦距。

抛物线勾股定理的内涵远不止于此。

通过深入探索，我们还可以发现它与传统的勾股定理有着深刻的联系。

在传统的勾股定理中，直角三角形的三边关系被简洁地表达为a²+b²=c²，其中a和b是直角三角形的两条直角边，c是斜边。

而在抛物线勾股定理中，我们同样可以找到一个类似的表达式：PF²=PQ²+QF²，其中PF是抛物线上点到焦点的距离，PQ是到准线的距离，QF是焦点到准线的距离（即焦距）。

这个表达式在形式上与传统的勾股定理非常相似，只是其中的边被替换为了距离。

三、抛物线勾股定理的证明为了证明抛物线勾股定理，我们可以采用几何方法和代数方法两种途径。

1.几何证明：首先，我们作点P到准线的垂线，垂足为Q。

然后，连接点P和焦点F。

由于抛物线的定义，我们知道PQ=PF。

接着，过点F作准线的垂线，垂足为M。

抛物线的定义与性质抛物线是由平面上一点P到一个定点F的距离与点P到一条直线L的距离相等的轨迹。

在平面直角坐标系中，抛物线的方程可以表示为y = ax² + bx + c，其中a、b、c是常数，a ≠ 0。

抛物线具有许多有趣的性质，下面将逐一介绍。

性质一：焦点和直线L抛物线的焦点是定点F，直线L是平行于y轴的直线，距离焦点F的垂直距离是h。

根据抛物线的定义，对于任意一点P(x, y)在抛物线上，我们可以得到以下关系：PF = PL√[(x - p)² + (y - q)²] = |y - h|其中，(p, q)是抛物线的顶点。

性质二：焦半径焦半径是从焦点F到抛物线上任意一点P的线段。

根据性质一中的等式，我们可以得到焦点与抛物线上的任意一点之间的距离PF与抛物线切线的夹角θ满足以下关系：PF = |PC|cosθ其中，切线的斜率可以通过抛物线的方程求出。

性质三：对称轴抛物线的对称轴是直线x = p，其中p是抛物线的顶点的横坐标。

对称轴将抛物线分成两个对称的部分，具有关于对称轴的对称性。

性质四：焦点的坐标对于抛物线y = ax² + bx + c，焦点的横坐标可以通过以下公式计算：p = -b / (2a)焦点的纵坐标可以通过以下公式计算：q = c - b² / (4a)性质五：切线与法线抛物线上的任意一点P的切线与该点的法线垂直，并且共线。

对于抛物线y = ax² + bx + c，点P(x0, y0)处的切线的斜率可以通过以下公式计算：m = 2ax0 + b点P处的切线的方程可以表示为：y - y0 = m(x - x0)该切线的法线与切线斜率的乘积为-1。

性质六：焦点的几何意义抛物线的焦点F到任意一点P的线段PF的长度与FP的长度相等。

这说明，焦点是抛物线上各点到抛物线的一条对称轴的距离之差的等分点。

性质七：离心率离心率是抛物线焦点到抛物线对称轴的距离与焦点到抛物线上任意一点P的距离之比的绝对值。

解析几何中的抛物线方程抛物线是一种特殊的曲线，它在解析几何中起着重要的作用。

在二维平面上，抛物线是一条非直线的曲线，由于它具有一些独特的性质，因此在物理学、数学、天文学等领域中都有广泛的应用。

一、抛物线的定义与性质抛物线是由平面上的一点（焦点）和一条直线（准线）共同确定的一条平面曲线。

其定义可以采用以下几种方式：（1）一个点到直线的距离等于另一个点到同一直线的距离，其中一个点为焦点。

（2）准线上一点到焦点的距离等于该点到抛物线的距离。

（3）一条过焦点且垂直于准线的直线与抛物线的交点和该点到焦点的距离成正比。

抛物线还有一些重要的性质：（1）对称性：抛物线与其准线关于焦点对称。

（2）焦距：焦点到准线的距离被称为焦距，记为2p。

（3）方程：抛物线的一般方程为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c 为常数。

二、求解抛物线方程的方法对于给定的焦点和准线，我们需要求出抛物线的具体方程。

在解析几何中，有几种求解抛物线方程的方法：（1）几何法：通过画图作图的方式来求解。

（2）代数法：通过利用抛物线的性质，利用代数方法求解方程。

（3）微积分法：通过对抛物线进行微积分分析，求解方程。

其中，代数法是最为常用的一种方法。

在解析几何中，可以通过已知点和方程中的参数来求出方程。

例如，当给定抛物线的焦点为F(x1,y1)和准线为y=k时，我们可以根据抛物线的性质列出该方程如下：y = 1/4p(x-x1)²+y1其中，p为焦距，即p=(y1-k)/2，由此可以求出抛物线的具体方程。

三、抛物线的一些应用抛物线具有多种实际应用，以下就是一些典型的应用场景：（1）物理学：在自由落体、抛射运动等物理学问题中，都可以利用抛物线进行模拟和计算。

（2）工程学：在建筑工程中，抛物线可以用于设计拱形和圆顶。

（3）计算机图形学：在计算机图形学中，抛物线可以用于生成曲线和表面，以及模拟自然物体的形态等。

（4）天文学：在天文学中，抛物线可以用于描述行星和彗星的轨道。

抛物线焦点弦的八大结论推导过程抛物线焦点弦是一个重要研究课题，它可以帮助我们理解抛物线的切线、焦点、双曲线、点到弦距离等微积分概念。

抛物线焦点弦推导过程通常被认为是一个好方向，它具有很多有益的特点，例如微积分知识的运用。

该过程包括以下步骤：一、首先，要确定抛物线的方程，它可以是一元二次方程，也可以是一般的双曲线方程。

二、然后，求解出抛物线的焦点和弦长，可以利用不同的函数求解方法来求解，或者可以利用几何的推导原理。

三、然后，可以运用微积分来求解抛物线的切线，可以利用极限的方法来求解抛物线的切线，同时也可以利用微分形式来求解抛物线的切线。

四、然后，可以利用数学分析的方法，用一元二次型或者双曲线型去绘制抛物线的切线，来求解抛物线焦点弦。

五、接着可以利用微积分中的定义来计算抛物线焦点弦的弧长，可以利用定积分的方法来计算抛物线弦的长度。

六、然后，利用向量的知识来求解抛物线焦点弦的方向，即利用向量的几何性质，推导出抛物线焦点弦的方向。

七、最后，可以利用抛物线焦点弦的方向和弦长，来进一步检验焦点弦是否符合抛物线的法则。

八、完成全部推导后，可以得到抛物线焦点弦的八个结论：1）抛物线的焦点和弦长可以用一元二次方程或者双曲线函数来求解。

2）抛物线的切线可以通过极限的方法和微分来求解。

3）焦点弦的长度可以通过定积分的方法来求解。

4）焦点弦的方向可以通过向量的几何性质来求解。

5）焦点弦的长度与抛物线的焦点和切线总是垂直。

6）距离抛物线在不同点上的距离是固定的，与抛物线的焦点和弦长相关。

7）抛物线在每个焦点点处均有弦，其长度总是相等的。

8）抛物线的弦长和焦点会满足正弦和余弦函数方程的要求。

证明抛物线焦点弦的18个结论
抛物线是一种椭圆形的函数图形，它是由抛物线焦点弦决定的。

抛物线焦点弦是指抛物线的两个焦点和连接它们的弦段。

围绕抛物线焦点弦可以建立18个结论。

1. 两个焦点之间的距离与抛物线弦段长度相同，即它们之间的距离等于抛物线弦段的1倍。

2. 弦段连接抛物线的两个焦点，因此，任何一点的垂直距离都等于其焦点的距离。

3. 对抛物线的焦点取中对称，则其两点之间的距离一定是直线的1倍．
5. 相对于一个焦点而言，另一个焦点总是处于弦段的同一边，而且位于弦段上面。

6. 抛物线是对称的，即抛物线的对称轴是连接两个焦点的直线段。

8. 抛物线准线与切线交于抛物线的焦点。

12. 对任意点A而言，从A点向任意点B连线便构成一条直线，此直线连接A点和B 点的距离有正有负，正值表示线段到抛物线焦点的距离是它的弦段长度所乘以2倍的直线段距离，负值则表示抛物线焦点到线段的距离也是它的弦段长度乘以2倍的直线段距离。

17. 抛物线的对称轴与它的弦段垂直，因此它的弦段将对称轴分为2个相等的距离。

以上就是抛物线焦点弦的十八个结论，也是其对称性规律、准确性和完整性的总结。

抛物线焦点弦的这些结论，既给抛物线函数提供了数学化的更直观的解释，又为描述抛物线的属性提供了一定的参考依据。

高中抛物线性质总结高中数学中，抛物线是一种重要的二次曲线，具有许多重要的性质。

在学习和理解抛物线的过程中，我们需要研究和掌握这些性质。

本文将总结和介绍高中抛物线的一些重要性质。

首先，抛物线的定义对于理解它的性质至关重要。

抛物线是由一系列平面上满足特定关系的点组成的图形。

它的定义方程可以写成y=ax^2+bx+c的形式，其中a、b和c是实数，且a不等于零。

根据a的正负和b的零或非零，抛物线可以有不同的形状。

第一个要介绍的性质是抛物线的焦点和准线。

抛物线上的所有点到焦点的距离与到准线的距离相等。

这个性质被称为焦准性质，是抛物线最重要的性质之一。

焦点和准线的位置可以通过抛物线的定义方程来确定，其中焦点的坐标可以用a和b表示，准线的方程是x=-b/2a。

第二个要介绍的性质是抛物线的对称性。

抛物线的定点坐标是它的开口朝上或者朝下的端点，被称为顶点。

抛物线以顶点为中轴线对称，也就是说，如果点P(x, y)在抛物线上，那么点P'(-x, y)也在抛物线上。

这个性质可以用定义方程来证明。

第三个要介绍的性质是抛物线的切线和法线。

抛物线上的任意一点P(x, y)处的切线是过点P且与抛物线相切的直线。

切线的斜率等于抛物线在该点的导数。

法线是与切线垂直的直线，它的斜率等于切线的斜率的负倒数。

第四个要介绍的性质是抛物线的拐点。

抛物线在顶点处有一个拐点，也就是说，抛物线在开口朝上或者朝下端点处的切线是水平的。

第五个要介绍的性质是抛物线的焦直径性质。

对于抛物线上的任意一点P(x, y)，它到焦点的距离等于它到准线的距离的二倍。

这个性质可以用定义方程和几何性质来证明。

第六个要介绍的性质是抛物线的判别式。

通过判别式可以判断给定的二次方程是否表示一条抛物线，并且可以确定抛物线的开口朝上还是朝下。

判别式的符号取决于二次方程的系数。

如果判别式大于零，那么抛物线开口朝上；如果判别式小于零，那么抛物线开口朝下；如果判别式等于零，那么二次方程表示一条抛物线。

抛物线的焦点弦问题作者：王野来源：《课程教育研究·中》2014年第06期【摘要】抛物线中有关焦点弦有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路，而且能够节省很多时间。

例如：若AB是抛物线y2=2px(p＞0)的焦点弦（过焦点F的弦），且A(x1，y1)，B(x2,y2),则：结论一：x1x2=■，y1y2=-p2。

结论二：■+■=■。

结论三：若AB是抛物线y2=2px(p＞0)的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则AB=■结论四：焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。

结论五：以抛物线焦点弦AB为直径的圆与准线相切。

结论六：过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足A1B1为直径端点的圆与焦点弦相切。

结论七：以AF，BF为直径的圆与y轴相切。

我在做13年高考题中，发现了一个新的结论：以焦点弦为直径的圆与准线相切，切点与焦点连线垂直于焦点弦。

【关键词】焦点弦抛物线问题高考【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）06-0148-01全国大纲卷（11）已知抛物线C：y2=8x与点M(-2，2)，过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若■·■=0，则k=（）（A）■ （B）■ （C）■ （D）2标准答案：【解析】设直线AB方程为y=k(x-2)，代入y2=8x得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=■，x1x2=4（?鄢）∵■·■=0∴(x1+2，y1-2)·(x2+2，y2-2)=0即(x1+2)(x2+2)+(y1-2)(y2-2)=0即x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2-2(y1+y2)+4=0①∵y1=k(x1-2)y2=k(x2-2)∴y1+y2=k(x1+x2-4)②y1y2=k2(x1-2)(x2-2)=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]③由（?鄢）及①②③得k=2，故选D标准答案的计算量非常的大，主要考察学生的计算能力。

抛物线焦点弦的八大结论分别是？
第一类是常见的基本结论；
第二类是与圆有关的结论；
第三类是由焦点弦得出有关直线垂直的结论；
第四类是由焦点弦得出有关直线过定点的结论。

过抛物线y^2=2px的焦点F的弦AB与它交于点
A(x1,y1),B(x2,y2)则
|AB|=x1+x2+p
证明：设抛物线的准线为L，从点A、B分别作L的垂线垂足是C、D。

由于L 的方程是x＝-p/2，所以
|AC|=x1+p/2，|BD|=x2+p/2
根据抛物线的定义有：|AF|=|AC|，|BF|=|BD|
所以：|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p
扩展资料：
抛物线的一个描述涉及一个点（焦点）和一条线（准线）。

焦点并不在准线上。

抛物线是该平面中与准线和焦点等距的点的轨迹。

抛物线的另一个描述是
作为圆锥截面，由圆锥形表面和平行于锥形母线的平面的交点形成。

第三个描述是代数。

抛物线具有这样的性质，如果它们由反射光的材料制成，则平行于抛物线的对称轴行进并撞击其凹面的光被反射到其焦点，而不管抛物线在哪里发生反射。

相反，从焦点处的点源产生的光被反射成平行（“准直”）光束，使抛物线平行于对称轴。

声音和其他形式的能量也会产生相同的效果。

这种反射性质是抛物线的许多实际应用的基础。

抛物线的简单几何性质【初稿】湖镜抛物线的简单几何性质：对称轴：直线：；顶点:对称轴与抛物线的交点D；焦点:F(，)；准线：直线：；设对称轴交准线于点E，则焦顶距:F D=，顶准距:D E=，焦准距:E F=;弦：连接抛物线上任意两点的线段叫做抛物线的弦（如A B），过焦点的弦叫做“焦点弦”（如P Q）；焦半径：抛物线上任意一点和焦点的连线段叫做“焦半径”（如F P、F Q）；抛物线的切线：坐标平面内，不平行于对称轴，且与抛物线有且仅有一个交点的直线叫抛物线的切线；内接三角形：连接抛物线上任意三点形成的三角形叫做抛物线的内接三角形；性质一：抛物线上任意一点（P、Q）到焦点的距离（P F、Q F）等于其到准线的距离（P H、Q N），即P F=P H，Q F=Q N；证：性质二：共线焦半径的倒数和为定值：=、；证：性质三：∠H F N=90°；证：性质四：焦点弦P Q的中垂线M A交对称轴于点A，则F A=；证：性质五：F H、F N的中垂线（P G、Q T）是抛物线的切线；证：性质一证明：设P（x，y），则H（x，）练习：1、抛物线C1：y=，则C1的对称轴为，顶点坐标为，焦点为，准线为；2、如右图，抛物线y=-，直线l:y=a，点F（3，b），P为抛物线上任意一点，P H⊥l于H，连接P F，若P H=P F恒成立，求a、b的值（不允许用焦点和准线的概念及相关计算公式）。

性质二证明：补充知识：已知A（x1，y1）、B（x2，y2）是直线y=k x+b上不同两点，则A B=|x1-x2|（此结论如何证明？）证：设P（x1，y1）、Q（x2，y2），F(，)，设P Q：y=k x+t练习：3、如图，抛物线y=-，直线l:y=4，直线P Q交抛物线于P、Q两点，直线P Q解析式为：y=k x-3k+1，作P H⊥l于H，作Q N⊥l于N，请问是否为定值，若是，请求出其值，若不是，请求出其取值范围。

抛物线知识点总结_高三数学知识点总结抛物线是一种常见的二次函数形式，常用的标准方程为y=ax²+bx+c (a≠0)。

一、抛物线的平移和缩放1. 平移：平移抛物线的顶点到坐标轴原点的方法是将x轴和y轴分别平移a和b个单位，即将抛物线方程中的x替换为x-a，y替换为y-b。

2. 缩放：抛物线关于顶点的对称性使得在抛物线上多取任意一点，将这点关于顶点进行对称得到的点的纵坐标与原点的纵坐标成等差数列，且公差是常量。

我们可以通过改变a来改变抛物线的形态，使得抛物线开口向上或向下，并使得抛物线的开口程度变化。

二、抛物线的顶点、焦点和直线1. 顶点：抛物线的顶点是二次函数的极值点，由公式x=-b/2a和y=f(x)得到。

顶点的坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。

2. 焦点：抛物线焦点的纵坐标是顶点的纵坐标f(-b/2a)+1/(4a)，焦点的横坐标为-b/2a。

焦点到抛物线的距离等于焦半径r=1/(4a)。

3. 直线：抛物线的准线是与抛物线平行的一条直线，其方程为y=f(-b/2a)-1/(4a)。

三、抛物线的对称轴1. 对称轴：抛物线的对称轴是通过抛物线的顶点和焦点的直线，对称轴与x轴垂直。

通过求焦差得到对称轴的方程，对称轴的方程为x=-b/2a。

四、抛物线的焦半径和离心率1. 焦半径：焦半径是焦点到抛物线上任一点的距离，焦半径的长度为r=1/(4a)。

2. 离心率：离心率是抛物线焦点到焦点所在直线的距离与抛物线到准线的距离的比值，离心率的值为e=1。

五、抛物线的判别式和根的个数抛物线的判别式为Δ=b²-4ac，根的个数与判别式的大小有关。

1. 当Δ>0时，抛物线与x轴有两个交点，即有两个实根。

2. 当Δ=0时，抛物线与x轴相切，即有一个实根。

3. 当Δ<0时，抛物线与x轴无交点，即无实根。

六、抛物线图像的性质1. 抛物线的开口方向与系数a的正负有关，a>0时开口向上，a<0时开口向下。

证明抛物线焦点弦的18个结论1. 抛物线焦点弦的两个焦点与抛物线的焦点重合。

证明：根据抛物线的定义，焦点到定点和定点到直线的距离相等。

所以，焦点到直线的距离与直线到焦点的距离相等，因此两个焦点与焦点弦重合。

2. 抛物线焦点弦的两个端点与抛物线的准线的焦点重合。

证明：由于抛物线的准线与直线平行，所以准线到焦点的距离与焦点到直线的距离相等。

因此，抛物线焦点弦的两个端点与抛物线的准线的焦点重合。

3. 抛物线焦点弦与抛物线的法线平行。

证明：由于抛物线的定义，法线通过焦点并垂直于准线。

而抛物线焦点弦是抛物线的切线，与法线平行。

4. 抛物线焦点弦的中点位于抛物线的准线上。

证明：由于抛物线的准线与抛物线的焦点重合，所以抛物线焦点弦的中点与抛物线准线的焦点重合。

5. 抛物线焦点弦的两个焦点与抛物线焦点弦的中点共线。

证明：根据抛物线的定义，焦点到定点和定点到直线的距离相等。

所以焦点与抛物线焦点弦的中点共线。

6. 抛物线焦点弦与抛物线的切线平行。

证明：抛物线焦点弦是抛物线的切线，而抛物线的切线与准线平行。

7. 抛物线焦点弦在抛物线的对称轴上。

证明：由于抛物线的对称轴与准线重合，而抛物线焦点弦与准线重合，所以抛物线焦点弦在抛物线的对称轴上。

8. 抛物线焦点弦是抛物线的一个特殊弦，它经过焦点，并且与抛物线的对称轴垂直。

证明：由抛物线的定义可知，焦点到定点和定点到直线的距离相等。

所以抛物线焦点弦经过焦点。

另外，抛物线的对称轴与准线垂直，而抛物线焦点弦与准线重合，所以抛物线焦点弦与抛物线的对称轴垂直。

9. 抛物线焦点弦是抛物线的一条切线，且与抛物线的直径垂直。

证明：由抛物线的定义可知，抛物线的焦点到直线和焦点到定点的距离相等，所以抛物线焦点弦是抛物线的切线。

另外，根据抛物线的性质可知，直径与对称轴垂直，而抛物线焦点弦与对称轴重合，所以抛物线焦点弦与抛物线的直径垂直。

10. 抛物线焦点弦与抛物线的切线平行，并且经过抛物线的焦点。

抛物线知识点总结一、抛物线的定义抛物线是一种特殊的二次曲线，它的数学定义是平面上一点到定点和直线的距离相等，这个定点就是抛物线的焦点，直线就是抛物线的准线。

在直角坐标系中，抛物线的标准方程为：y=ax2+bx+c，其中a≠0。

二、抛物线的性质1. 焦点和准线：抛物线的焦点和准线是抛物线的两个重要属性。

焦点是定点，准线是直线，它们共同决定了抛物线的形状和特性。

2. 对称性：抛物线是关于x轴对称的。

3. 切线和法线：抛物线上的任意一点，它的切线和法线都是经过这个点，且与x轴垂直。

4. 定理一：抛物线的焦点到准线的距离等于焦点到抛物线上任意一点的距离。

5. 定理二：抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。

6. 焦距：抛物线上所有点到焦点的距离的最小值称为抛物线的焦距。

7. 平行于准线的矩形，被含在抛物线内部并且对称。

8. 定理三：抛物线的离心率等于1。

三、抛物线的方程1. 标准方程：y=ax2+bx+c，其中a≠0。

2. 顶点坐标：抛物线的顶点坐标为（-b/2a, c-b2/4a）。

3. 焦点坐标：抛物线的焦点坐标为（-b/2a, c-b2/4a+1/4a）。

4. 焦距：抛物线的焦距为1/|4a|。

四、抛物线的应用抛物线作为一种重要的数学曲线，在各种应用中都有着广泛的应用，如物理、工程、建筑等领域。

1. 物理：在物理学中，抛物线曲线被广泛应用于描述抛体运动的轨迹。

比如，抛体在空中的飞行轨迹、抛物线发射器等都涉及到抛物线的运动规律。

2. 工程：在建筑工程和土木工程中，抛物线曲线常常被用于设计拱形结构或者桥梁的曲线轨迹。

抛物线的弧形轨迹具有良好的支撑性能和稳定性，因此在工程设计中得到了广泛应用。

3. 航天航空：在航天航空技术中，抛物线曲线也被用于设计火箭轨迹和飞行器的运动路径。

比如，抛物线曲线可以描述卫星的发射和轨道运行规律。

4. 光学：在光学中，抛物线曲线也被应用于设计反射镜和折射镜的形状。

抛物线反射镜可以将平行光线汇聚到一个焦点上，因此在光学仪器和望远镜中得到了广泛应用。

有关抛物线焦点弦的十条性质—————从一道高考题的八种证法谈起本文对2009年湖北省高考数学理科第20题第（Ⅰ）问给出八种解法，同时总结有关抛物线焦点弦的十条性质。

一、原题再现 过抛物线22(0)y px p =>对称轴上一点(,0)A a(0)a >的直线与抛物线相交于M 、N 两点，自M 、N分别向直线:l x a =-作垂线，垂足分别为1M 、1N .（Ⅰ）当2pa =时，求证：11AM AN ⊥.二、一题多证证法１：设11(,)M x y 、22(,)N x y ，则11(,)2p M y -、12(,)2pN y -，则11(,)AM p y =-12(,)AN p y =-．显然直线ＭＮ的斜率不为０，故可设直线ＭＮ的方程为：2p x ty =+． 由222p x ty y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得2220y pty p --=, 因为1y 、2y 是方程2220y pty p --=的两根， 由韦达定理得212y y p =-，从而可证得2111212(,)(,)0AM AN p y p y p y y ⋅=-⋅-=-+=，即证得11AM AN ⊥．证法２： 设211(,)2y M y p 、222(,)2y N y p ，因为M 、A 、N 三点共线，所以//AM AN，所以221221()()02222y y p p y y p p ---=，得212y y p =-，从而可证得2111212(,)(,)0AM AN p y p y p y y ⋅=-⋅-=-+=，即证得11AM AN ⊥．证法3：由抛物线定义可得：11MN MA AN MM NN =+=+，设211(,)2y M y p 、222(,)2y N y p，则11(,)2p M y -、12(,)2p N y -，将MN MA AN =+222122y y p p p++，化简得：2212()0y y p +=， 所以212y y p =-，从而可证得2111212(,)(,)0AM AN p y p y p y y ⋅=-⋅-=-+=，即证得11AM AN ⊥．证法4：设A 点内分MN 的比为λ，221212221201y y p p p y yλλλλ⎧+⎪⎪=⎨+⎪+⎪=+⎩，消去λ得：212y y p =-， 从而可证得2111212(,)(,)0AM AN p y p y p y y ⋅=-⋅-=-+=，即证得11AM AN ⊥．证法5：设211(,)2y M y p 、222(,)2y N y p ，则11(,)2P M y -，12(,)2P N y -∴211(,)2y OM y p= ，12(,)2P ON y =- ,由21122111()2222y y y P Py y y y p p --=+， 由性质1 212y y p =-，可得2121()022y P y y p --=，所以M 、O 、1N 三点共线,可求出，221p y y =-，即可得212y y p =-，从而可证得2111212(,)(,)0AM AN p y p y p y y ⋅=-⋅-=-+=，即证得11AM AN ⊥．证法6：设抛物线的参数方程为222x pt y pt⎧=⎨=⎩（t 为参数），于是可设211(2,2)M pt pt ，222(2,2)N pt pt ，因为M 、N 为两个不同点，则12t t ≠，由M 、A 、N 三点共线，所以//AM AN，可得方程221212()(4)0t t p t t p -+=，所以221240p t t p +=，得1214t t =-， 所以22121212224y y pt pt p t t p =⋅==-，从而可证得2111212(,)(,)0AM AN p y p y p y y ⋅=-⋅-=-+=，即证得11AM AN ⊥．证法7:以抛物线焦点为极点则其极坐标方程为1c o spρθ=-,则(,)M ρθ、(,)N ρπθ+，所以212sin (sin )1cos 1cos p py y p θθθθ=⋅-=--+，从而可证得2111212(,)(,)0AM AN p y p y p y y ⋅=-⋅-=-+=，即证得11AM AN ⊥．证法8：由抛物线定义得：1MM MA =、1NN NA =， 所以11MM A MAM ∠=∠、11NN A NAN ∠=∠， 因为11//MM NN ，所以11M MA N NA π∠+∠=， 即11(2)()MAM NAN πππ-∠+-∠=， 可得112MAM NAN π∠+∠=，所以112M AN π∠=，即证得11AM AN ⊥．四、引出性质性质1：已知抛物线y 2=2px(p ＞0)焦点弦AB 的坐标分别为(x 1,y 1)、B(x 2,y 2),则y 1y 2=-p 2，4221p x x =.性质2：以抛物线y 2=2px(p ＞0)焦点弦AB 端点向准线作垂线，垂足分别为M 、N ，则FM ⊥FN.(其中F 为焦点).性质3：以抛物线焦点弦在准线上的射影为直径的圆必与焦点弦相切于焦点。

与抛物线有结论抛物线中有一些常见、常2()22py k x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。

结论一：若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：2124p x x =，212y y p =-。

证明：因为焦点坐标为F(2p ,0),当AB 不垂直于x 轴时，可设直线AB 的方程为： ()2py k x =-， 由得: 2220ky py kp --= ∴212y y p =-，2242121222244y y p p x x p p p =⋅==。

当AB ⊥x 轴时，直线AB 方程为2px =，则1y p =，2y p =-，∴212y y p =-，同上也有：2124p x x =。

例：已知直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，求证：11AF BF+为定值。

证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线的定义知：12p AF x =+，22pBF x =+，又AF +BF =AB ，所以1x +2x =AB -p ，且由结论一知：2124p x x =。

则：212121211()()()2224AF BF AB AB p p AFBFAF BFx x x x x x ++===⋅+++++ =222()424AB p p p p AB p =+-+（常数） 结论二：（1）若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则22sin PAB α=（α≠0）。

（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。

证明：（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线AB:()2py k x =-由2()22p y k x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得:,2220ky py kp --= ∴122p y y k +=，212y y p =-，∴12AB y =-222222(1)2(1tan )2tan sin p k p P k ααα++===。

竭诚为您提供优质的服务，优质的文档，谢谢阅读/双击去除关于抛物线的十个最值问题本文用初等方法讨论了与抛物线有关的若干几何最值问题,得到了十个有趣的结论.为方便读者摘用,现用定理形式叙述如下:定理1.抛物线的所有焦半径中,以过顶点的焦半径为最短.证明:不妨设抛物线的极坐标方程为ρ= ,则显然有ρ≥ ,其中等号成立当且仅当θ=2kπ+π(k∈Z)即焦半径通过抛物线的顶点时.证毕.定理2.抛物线的过焦点的所有弦中,以抛物线的通径为最短.证明:设抛物线极坐标方程为ρ= ,焦点弦为Ab,且设A(ρ1,θ),b(ρ2,θ+π),则有│Ab│=ρ1+ρ2= + = ≥2p=通径长,其中等号成立当且仅当θ=kπ+π/2(k∈Z)即弦Ab为通径时.证毕.定理3.设A(a,0)是抛物线y2=2px(p＞0)的对称轴上的定点,m(x,y)是抛物线上的动点,则│mA│min=证明:由│mA│2=(x-a)2+y2=(x-a)2+2px=x2-2(a-p)x+a2 =[x-(a-p)]2+p(2a-p),并且注意到x∈[0,+∞),立知结论成立.证毕.定理4.设A(a,b)是抛物线y2=2px(p＞0)内一定点,F是焦点,m是抛物线上的动点,则(│mA│+│mF│)min=a+p/2.Q m A(a,b)证明:如图1所示,作AQ⊥准线L:x=-p/2于Q,则知o F x(│mA│+│mF│)min=│AQ│=a-(-p/2)=a+p/2.证毕. 图1定理5.设线段Ab是抛物线y2=2px(p＞0)的过焦点的弦,分别以A、b 为切点的抛物线的两条切线相交于点m,则三角形Abm的面积的最小值为p2.证明:设A(x1,y1),b(x2,y2),则由A、F、b三点共线可得:x1y2-x2y1=p/2.(y2-y1) (1)于是利用(1)式由两切线方程yAm:y1y=p(x+x1),Abm:y2y=p(x+x2),m F x易得m的坐标(x,y)适合: b∵kmF·kAF=-1,∴mF⊥Ab,即│mF│是△mAb的Ab边上的高. 图2∵│mF│≥│FK│(焦点F到准线x=-p/2的距离)=p,又由定理2知│Ab│≥2p(通径长),∴s△mAb=1/2·│Ab│·│mF│≥1/2·2p·p=p2,因其中等号当且仅当Ab⊥x轴时成立,故三角形mAb的最小值为p2.证毕.定理6.过抛物线y2=2px的顶点o引两条互相垂直的动弦oA和ob,则三角形oAb的面积的最小值为4p2. y证明:设A(x1,y1),b(x2,y2),则由oA⊥ob得Ax1x2+y1y2=0 (1)o x将y12=2px1,y22=2px2代入(1)立得:x1x2=4p2 (2)于是b(s△oAb)2=1/4·│oA│2·│ob│2图3=1/4·(x12+y12)·(x22+y22)=1/4·(x12+2px1)·(x22+2px2)=1/4·[(x1x2)2+2px1x2(x1+x2)+4p2x1x2]≥1/4.[(x1x2)2+2px1x2(2√x1x2)+4p2x1x2] (3)将(2)式代入(3)则得(s△oAb)2≥16p4,从而s△oAb≥4p2,因其中等号当x1=x2=2p时取到,故三角形oAb的面积的最小值为4p2。

直角坐标系中抛物线的性质直角坐标系是数学中常用的一种坐标系，通过平面上的两个垂直的坐标轴，我们可以描述点的位置。

在直角坐标系中，抛物线是一种常见的曲线形状。

本文将重点介绍抛物线的性质，以帮助中学生更好地理解和应用这一概念。

一、抛物线的定义和基本形式抛物线是指平面上所有到一个定点（焦点）的距离与到一条直线（准线）的距离相等的点所组成的曲线。

在直角坐标系中，抛物线的基本方程可以表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a不等于零。

二、抛物线的对称性抛物线具有关于y轴对称和关于焦点的对称性。

对于一条抛物线，如果将其中的点(x, y)关于y轴取负，得到的点(-x, y)仍在抛物线上。

同时，抛物线的焦点也是它的对称中心，即焦点关于抛物线上的任意一点(x, y)的对称点也在抛物线上。

三、抛物线的顶点抛物线的顶点是曲线的最高点或最低点。

对于一条抛物线的标准方程y = ax^2 + bx + c，顶点的横坐标可以通过公式x = -b/2a计算得到。

将这个横坐标代入方程中即可求得顶点的纵坐标。

四、抛物线的开口方向抛物线的开口方向取决于参数a的正负。

当a大于零时，抛物线开口向上；当a小于零时，抛物线开口向下。

这一性质可以通过观察抛物线的图像来判断。

五、抛物线的焦点和准线抛物线的焦点和准线是抛物线的两个重要特征。

焦点是抛物线上到焦点距离与到准线距离相等的点所组成的点集。

准线是与焦点相对称的直线，位于抛物线的开口方向上，与抛物线不相交。

六、抛物线的拟合问题抛物线在实际问题中的应用非常广泛，例如物体的抛射运动、喷泉的喷水轨迹等。

通过已知的数据点，我们可以利用最小二乘法来拟合一条抛物线，从而预测未知数据的趋势。

七、抛物线的优化问题抛物线的性质在优化问题中也有重要应用。

例如，给定一段固定长度的材料，我们希望用这段材料制作一个具有最大面积的矩形。

通过分析，我们可以发现，这个问题可以转化为求解一个抛物线的顶点坐标的问题。