抛物线最值点与增减性

函数的最值与单调性函数的最值与单调性对于数学领域来说是非常重要和常见的概念。

在本文中，我将详细介绍函数的最值和单调性，并讨论它们在数学问题中的应用。

一、函数的最值函数的最值是指函数在定义域内取得的最大值和最小值。

一个函数可能有多个最大值和最小值，也可能没有最大值或最小值。

在求解一个函数的最值时，我们可以通过以下步骤进行：1. 找到函数的定义域。

2. 求解函数的导数，并找到导数为零的点和导数不存在的点。

3. 将这些点代入函数中，得到对应的函数值。

4. 比较这些函数值，找到最大值和最小值。

举例来说，考虑函数 f(x) = 2x^2 - 3x + 1。

首先，我们需要找到函数的定义域。

由于这是一个二次函数，它的定义域是整个实数集。

然后，我们求解 f(x) 的导数 f'(x) = 4x - 3，并找到导数为零的点 x = 3/4。

将这个点代入原函数，得到 f(3/4) = 1/8。

由于这个函数是一个开口向上的抛物线，它的最小值就是 f(3/4) = 1/8。

因此，这个函数的最值是 f(3/4) = 1/8。

另外一个例子是函数 g(x) = sin(x)。

对于这个函数，它的定义域是整个实数集。

由于正弦函数的取值范围在 [-1, 1] 之间，所以 g(x) 的最大值是 1，最小值是 -1。

函数的最值在数学中经常用来确定问题的极限、最优解和最不利情况等。

二、函数的单调性函数的单调性是指函数的增减性质。

一个函数可以是递增的、递减的或是既递增又递减。

要判断一个函数的单调性，我们可以通过以下方法：1. 求解函数的导数。

2. 研究导数的符号。

如果导数在定义域内始终大于零，那么函数是递增的；如果导数在定义域内始终小于零，那么函数是递减的。

如果导数既大于零又小于零，那么函数既递增又递减。

比如考虑函数 h(x) = x^2 - 3x + 2。

我们求解 h(x) 的导数 h'(x) = 2x - 3。

通过分析导数的符号，我们可以发现当 x < 3/2 时，导数为负，说明函数 h(x) 在这个区间上是递减的；当 x > 3/2 时，导数为正，说明函数h(x) 在这个区间上是递增的。

初中数学二次函数知识点总结1. 二次函数的定义：二次函数是指形如 $y=ax^2+bx+c$ 的函数，其中$a≠0$。

2. 二次函数的图像：二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。

当 $a>0$ 时，抛物线开口向上；当 $a<0$ 时，抛物线开口向下。

3. 二次函数的对称轴：二次函数的对称轴是抛物线的中心线，一定经过抛物线的顶点。

对称轴的方程为 $x=-\frac{b}{2a}$。

4. 二次函数的顶点（最值点）：当 $a>0$ 时，抛物线的顶点是最小值点；当$a<0$ 时，抛物线的顶点是最大值点。

顶点的坐标为$\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)$。

5. 二次函数的零点：二次函数的零点是函数图像与 $x$ 轴交点的横坐标。

可以通过求根公式来求得二次函数的零点。

求根公式为 $x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。

6. 二次函数的判别式：判别式是指 $b^2-4ac$ 的值，用于判断二次函数的零点个数及其性质。

当判别式 $b^2-4ac>0$ 时，函数有两个不相等的实数根；当判别式$b^2-4ac=0$ 时，函数有两个相等的实数根；当判别式 $b^2-4ac<0$ 时，函数没有实数根。

7. 二次函数的增减性：当 $a>0$ 时，二次函数是增函数；当 $a<0$ 时，二次函数是减函数。

10. 二次函数在平面直角坐标系中的表示：二次函数在平面直角坐标系中的图像，以抛物线的形式展现。

其中，参数 $a$ 决定了抛物线的开口方向和大小，参数 $b$ 决定了抛物线在 $x$ 轴上的位置，参数 $c$ 决定了抛物线在 $y$ 轴上的位置。

二次函数图像与性质分析引言：二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在数学和实际生活中都有着广泛的应用。

本文将对二次函数的图像和性质进行详细的分析，帮助读者更好地理解和应用二次函数。

一、二次函数的定义和一般形式二次函数是指形式为y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。

二次函数的图像通常是一个抛物线，其开口方向取决于a的正负。

二、二次函数的图像特征1. 抛物线的开口方向当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

这是因为二次函数的一次导数是一次函数，其斜率为常数，因此二次函数的图像是平滑的曲线。

2. 抛物线的顶点二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，其横坐标为-x轴对称的点，纵坐标为函数值最大或最小的点。

顶点的坐标可以通过求导数或使用顶点公式来确定。

3. 抛物线的对称轴二次函数的对称轴是通过顶点的垂直线，对称轴方程的形式为x=h，其中h为顶点的横坐标。

4. 抛物线的焦点和准线当抛物线开口向上时，焦点在对称轴上方，准线在对称轴下方；当抛物线开口向下时，焦点在对称轴下方，准线在对称轴上方。

焦点和准线的计算可以使用焦点公式和准线公式。

三、二次函数的性质分析1. 零点和因式分解二次函数的零点是函数值为0的横坐标，可以通过求解二次方程来求得。

而二次函数可以因式分解为两个一次因子的乘积形式，这在求解零点和分析函数性质时非常有用。

2. 增减性和极值二次函数的增减性取决于二次项系数a的正负。

当a>0时，函数在对称轴两侧递增；当a<0时，函数在对称轴两侧递减。

二次函数的极值即为顶点，当a>0时，函数有最小值；当a<0时，函数有最大值。

3. 零点和系数的关系二次函数的零点与系数之间存在着重要的关系。

对于形式为y=ax^2+bx+c的二次函数，其零点的和为-x轴对称点的横坐标的相反数，即x1+x2=-b/a；而零点的乘积等于常数项c的相反数，即x1*x2=c/a。

二次函数知识点总结一、二次函数的定义1. 二次函数的定义：一般的形如c bx ax y ++=2（其中0,,≠a c b a 是常数且）的函数叫做二次函数. 注：c bx ax y ++=2不一定是二次函数，只有当0≠a 时，c bx ax y ++=2才是二次函数. 二、二次函数y ＝ax ²的图像与性质1. 2ax y =的图像性质：一般的，当0>a 时，抛物线2ax y =的开口向上，对称轴是y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；当0<a 时，抛物线2ax y =的开口向下，对称轴是y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大.2. 2ax y =的增减性：如果a >0，当x <0时，y 随着x 的增大而减小，当x >0时y 随着x 的增大而增大；如果a <0，当x <0时，y 随着x 的增大而增大，当x >0时，y 随着x 的增大而减小. 三、二次函数y ＝a （x －h ）²＋k 的图像与性质1. k h x a y +-=2)(的图像与性质：一般的，当0>a 时，抛物线k h x a y +-=2)(的开口向上，对称轴是h x =，顶点是),(k h ，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；当0<a 时，抛物线k h x a y +-=2)(的开口向下，对称轴是h x =，顶点是),(k h ，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大.2. k h x a y +-=2)(的增减性：如果a >0，当x <h 时，y 随着x 的增大而减小，当x >h 时y 随着x 的增大而增大；如果a <0，当x <h 时，y 随着x 的增大而增大，当x >h 时，y 随着x 的增大而减小. 四、二次函数的平移1. 二次函数的平移：任意抛物线k h x a y +-=2)(可由2ax y =平移得到，k h x a y +-=2)(是由2ax y =向上平移k 个单位，向右平移h 个单位得到（k ，h 为正数时）.2. 平移原则：左加右减，上加下减.五、二次函数y ＝ax ²＋bx ＋c 的图像与性质1. c bx ax y ++=2的图像与性质：一般的，当0>a 时，抛物线c bx ax y ++=2的开口向上，对称轴是ab x 2-=，顶点是)44,2(2a b ac a b --，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；当0<a 时，抛物线c bx ax y ++=2的开口向下，对称轴是a b x 2-=，顶点是)44,2(2a b ac a b --，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大.2. c bx ax y ++=2的增减性：如果a >0，当a b x 2-<时，y 随着x 的增大而减小，当ab x 2->时y 随着x 的增大而增大；如果a <0，当a b x 2-<时，y 随着x 的增大而增大，当ab x 2->时，y 随着x 的增大而减小. 3. 二次项系数a 的特性：a 的大小决定抛物线的开口大小，a 越大抛物线的开口越小，a 越小抛物线的开口越大.4. 左同右异：当a 、b 符号相同时，对称轴在y 轴的左面；当a 、b 符号不同时，对称轴在y 轴的右面.5. 常数项c 的意义：c 是抛物线与y 轴交点的纵坐标，即x=0时y=c.6. 一般式的赋值：判断c b a c b a c b a c b a ++++++2-424-、、、值的正负时，令x=1、-1、2、-2时y 值的正负.六、二次函数的最值 1. 形如c bx ax y ++=2的最值：当a >0时抛物线在a b x 2-=时取到最小值a b ac y 442min -=，当a <0时抛物线在ab x 2-=时取到最大值a b ac y 442max -=七、待定系数法求二次函数解析式1. 一般式（三点式）：一般的，所给的条件是三个点的坐标是时可以设解析式为c bx ax y ++=2，再将三个点带入解析式解三元一次方程组来求解。

抛物线及其性质知识点大全推荐文档1. 抛物线的定义：抛物线是一个平面曲线，其定义式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a不等于0。

2.抛物线的图像：抛物线的图像呈现出对称性，它的开口方向由抛物线的系数a的正负决定。

当a大于0时，抛物线向上开口；当a小于0时，抛物线向下开口。

3.抛物线的顶点：抛物线的顶点为曲线上的最低点（向上开口）或最高点（向下开口）。

顶点的横坐标为x=-b/(2a)，纵坐标为y=f(-b/(2a))，其中f(x)为抛物线的函数。

4. 抛物线的焦点：抛物线的焦点是曲线上与直线y = mx + n相交的点的轨迹，其中m、n为常数。

焦点的横坐标为x = -b/(2a)，纵坐标为y = c - (b^2 - 1)/(4a)。

5.抛物线的对称轴：抛物线的对称轴是通过顶点和焦点的垂直平分线。

对称轴的方程为x=-b/(2a)。

6. 抛物线的判别式：抛物线的判别式为Δ = b^2 - 4ac，其中Δ的值决定了抛物线的性质。

若Δ大于0，则抛物线与x轴有两个交点，即开口向上或向下的抛物线。

若Δ等于0，则抛物线与x轴有一个交点，即开口向上或向下的抛物线。

若Δ小于0，则抛物线与x轴没有交点，即开口向上或向下的抛物线。

7.抛物线的焦距：焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到对称轴的距离，即焦距等于对称轴到顶点的距离。

8.抛物线的切线：抛物线上任意一点处的切线与该点的切线斜率相等，切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0)，其中f'(x)为抛物线函数的导数。

9.抛物线的性质：抛物线是一条连续曲线，它具有对称性、单调性（a的符号决定）、可导性（除去顶点的地方都可导）、增减性（导数的符号决定）、可微性（除去顶点的地方都可微）、凸凹性（a的符号决定）等性质。

10.抛物线的应用：抛物线在物理学中常用于描述自由落体、抛体运动等；在工程学中常用于设计桥梁、铁轨等；在经济学中常用于描述成本、收益等。

初三数学函数的增减区间判断方法函数是数学学科中一个重要的概念，它描述了一种依据特定规则对每一个输入值产生输出值的关系。

而函数的增减性质则是函数分析中的一个重要部分。

在初三数学学习中，我们需要学会判断函数的增减区间，以便更好地理解和应用函数。

本文将介绍一些简单而实用的方法来判断函数的增减区间。

一、导数判断法导数是函数增减性质的重要判断工具之一。

我们可以通过函数的导数来判断函数在某一区间上的增减情况。

首先，需要明确函数的导数表示函数的变化趋势。

当导数大于0时，函数递增；当导数小于0时，函数递减。

其次，我们需要求出函数的导数。

对于多项式函数或者其他简单的函数，我们可以直接求导。

如果函数表达式比较复杂，我们可以利用导数的性质和求导法则进行化简，或者使用计算工具进行求导。

最后，利用导数的符号来判断函数的增减区间。

通过求导得到的导数函数可以根据导数的符号变化判断函数的增减区间。

举例来说，对于函数f(x)=x^2，我们首先求导得f'(x)=2x，然后我们可以绘制出函数f'(x)的符号图，通过观察符号变化来判断函数f(x)的增减区间。

二、函数值判断法函数值判断法是另一种简单而有效的判断函数增减区间的方法。

首先，我们选取函数图像上的几个关键点，包括函数的极值点、拐点等。

对于一次函数、二次函数等简单的函数，我们可以直接通过求解函数的极值点来得到关键点的横坐标。

其次，我们需要计算这些关键点对应的函数值。

通过计算得到的函数值，我们可以观察函数值的变化情况判断函数的增减区间。

举例来说，对于函数f(x)=x^3+2x^2+x，我们可以通过求解f'(x)=0得到函数的极值点x=-1/3。

然后我们可以计算f(x)在x=-1/3以及其他关键点处的函数值。

根据函数值的变化情况，我们可以得到函数f(x)的增减区间。

三、二次函数判断法对于二次函数，我们可以通过观察其二次项的系数来判断函数的增减区间。

首先，我们需要找出二次项的系数。

一、研究函数的图象和性质：二次函数的图象是抛物线。

（1）研究抛物线的图象特点主要包括：开口方向、顶点坐标、对称轴.（2）研究抛物线的图象性质主要包括：增减性以及最大（小) 值．1、二次函数y=ax²的图象及性质：2、二次函数y=ax²+k的图象及性质：抛物线y=ax²+k是由顶点在原点的抛物线y=ax²向上（下）平移个单位得到的.3、二次函数y=a（x-h）²的图象及性质：抛物线y=a(x—h)2是由顶点在原点的抛物线y=ax²向右(左)平移个单位得到的.4、二次函数y=a（x-h）²+k 的图象及性质：抛物线y=a(x—h)2+k是由顶点在原点的抛物线y=ax²先向上（下）平移个单位.再向右(左)平移个单位得到的.当k>0时,向平移；当k<0时,向平移.当h>0时,二次函数知识点归纳5.二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象及性质：条件图象特点性质开口对称轴顶点增减性最大(小)值a＞0a＜0二、配方法的步骤：（1）提取a（每一项除以a）；（2）在提取a后的括号内加上一次项系数绝对值一半的平方再减去它；（3）配方；（4）整理形式y=a（x-h）²+k.三、有关抛物线与坐标轴交点的问题：1.求抛物线y=ax²+bx+c与y轴的交点：把x＝0代入求y，得（0，c）；2.求抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点：把y＝0代入求x.交点个数由一元二次方程ax²+bx+c=0的根决定,而方程ax²+bx+c=0的根由△(即b²-4ac )决定.分三种情况:①当△＞0时，方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数解x1,x2，此时抛物线y=ax²+bx+c与x轴有两个不同的交点（x1，0）（x2，0），②当△=0时，方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数解x1=x2，此时抛物线y=ax²+bx+c与x轴只有一个交点（即顶点在x轴上）；③当△＜0时，方程ax²+bx+c=0没有实数解，此时抛物线y=ax²+bx+c与x轴无交点。

曲线函数知识点总结一、曲线函数的概念函数是数学中的一个基本概念，它描述了一个自变量和因变量之间的关系。

曲线函数是一种特殊的函数，它描述了图像呈曲线形状的函数。

通常情况下，曲线函数可以用一个二元方程表示，例如y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量，f(x)表示函数关系。

二、曲线函数的图像特征1. 增减性曲线函数的增减性是指在定义域内，函数值随自变量的增减而增减的特性。

通常情况下，可以通过一阶导数的正负来确定函数的增减性。

若在开区间I上，对任意x1,x2∈I且x1<x2，有f(x1)<f(x2)，则称f(x)在区间I上是增函数；若在开区间I上，对任意x1,x2∈I且x1<x2，有f(x1)>f(x2)，则称f(x)在区间I上是减函数。

2. 极值点曲线函数在其定义域上的最大值和最小值称为极值点。

极值点可能是一个局部极值点，也可能是一个全局极值点。

通常情况下，可以通过一阶导数和二阶导数的信息来确定函数的极值点。

3. 凹凸性曲线函数的凹凸性描述了曲线在图像上的弯曲特性。

当曲线函数在其定义域上处处凹时，称为凹函数；当曲线函数在其定义域上处处凸时，称为凸函数。

通常情况下，可以通过二阶导数的正负来确定函数的凹凸性。

4. 渐近线曲线函数的渐近线是指曲线在无穷远处的行为。

常见的渐近线包括水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线。

水平渐近线是指曲线在无穷远处趋近于水平轴；垂直渐近线是指曲线在无穷远处趋近于垂直轴；斜渐近线是指曲线在无穷远处趋近于一条斜线。

通常情况下，可以通过曲线函数的分母项和分子项的次数关系来确定渐近线的类型。

5. 图像的对称性曲线函数的对称性描述了曲线在图像上的对称特性。

常见的对称性包括轴对称和中心对称。

轴对称是指曲线关于某条直线对称；中心对称是指曲线关于某点对称。

三、曲线函数的方程求解曲线函数的方程求解是曲线函数研究的重要内容之一。

下面将介绍几种常见的曲线函数方程求解方法。

1. 一元二次方程一元二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c为常数且a≠0。

1练习一 二次函数1、 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s （米）与时间t （秒）的数据如下表：写出用t 表示s 的函数关系式： 2、 下列函数：① y =()21y x x x =-+；③ ()224y x x x =+-；④ 21y x x =+； ⑤ ()1y x x =-，其中是二次函数的是 ，其中a = ，b = ，c = 3、当m 时，函数()2235y m x x =-+-（m 为常数）是关于x 的二次函数 4、当____m =时，函数()2221mm y m m x --=+是关于x 的二次函数5、当____m =时，函数()2564mm y m x-+=-+3x 是关于x 的二次函数6、若点 A ( 2, m ) 在函数 12-=x y 的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿.7、在圆的面积公式 S ＝πr 2 中，s 与 r 的关系是（ ）A 、一次函数关系B 、正比例函数关系C 、反比例函数关系D 、二次函数关系8、正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子． (1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积．9、如图，矩形的长是 4cm ，宽是 3cm ，如果将长和宽都增加 x cm ，那么面积增加 ycm 2， ① 求 y 与 x 之间的函数关系式. ② 求当边长增加多少时，面积增加 8cm 2.10、已知二次函数),0(2≠+=a c ax y 当x=1时，y= -1；当x=2时，y=2，求该函数解析式.11、富根老伯想利用一边长为a 米的旧墙及可以围成24米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的平面图是一排大小相等的长方形.（1） 如果设猪舍的宽AB 为x 米，则猪舍的总面积S （米2）与x 有怎样的函数关系？（2） 请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为32米2，应该如何安排猪舍的长BC 和宽AB 的长度？旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？练习二 函数2ax y =的图象与性质21、填空：（1）抛物线221x y =的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ； （2）抛物线221x y -=的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ；2、对于函数22x y =下列说法：①当x 取任何实数时，y 的值总是正的；②x 的值增大，y 的值也增大；③y 随x 的增大而减小；④图象关于y 轴对称.其中正确的是 . 3、抛物线 y ＝－x 2 不具有的性质是（ ）A 、开口向下B 、对称轴是 y 轴C 、与 y 轴不相交D 、最高点是原点4、苹果熟了，从树上落下所经过的路程 s 与下落时间 t 满足 S ＝12gt 2（g ＝9.8），则 s 与 t 的函数图像大致是（ ）A B C D5、函数2ax y =与b ax y +-=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6、已知函数24mm y mx--=的图象是开口向下的抛物线，求m 的值.7、二次函数12-=m mx y 在其图象对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，求m 的值.8、二次函数223x y -=，当x 1＞x 2＞0时，求y 1与y 2的大小关系. 9、已知函数()422-++=m mx m y 是关于x 的二次函数，求：（1） 满足条件的m 的值；（2） m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时x 为何值时，y 随x 的增大而增大； （3） m 为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？ 10、如果抛物线2y ax =与直线1y x =-交于点(),2b ，求这条抛物线所对应的二次函数的关系式.练习三 函数c ax y +=2的图象与性质1、抛物线322--=x y 的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,当x 时, y随x 的增大而增tttt3大, 当x 时, y 随x 的增大而减小. 2、将抛物线231x y =向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ,再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为 ,并分别写出这两个函数的顶点坐标 、 .3、任给一些不同的实数k ，得到不同的抛物线k x y +=2，当k 取0，1±时，关于这些抛物线有以下判断：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状相同；④都有最底点.其中判断正确的是 .4、将抛物线122-=x y 向上平移4个单位后，所得的抛物线是 ，当x= 时，该抛物线有最 （填大或小）值，是 .5、已知函数2)(22+-+=x m m mx y 的图象关于y 轴对称，则m ＝________；6、二次函数c ax y +=2()0≠a 中，若当x 取x 1、x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则当x 取x 1+x 2时，函数值等于 .练习四 函数()2h x a y -=的图象与性质1、抛物线()2321--=x y ，顶点坐标是 ,当x 时,y 随x 的增大而减小， 函数有 最 值 .2、试写出抛物线23x y =经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标. （1）右移2个单位；（2）左移32个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位. 3、请你写出函数()21+=x y 和12+=x y 具有的共同性质（至少2个）.4、二次函数()2h x a y -=的图象如图：已知21=a ，OA=OC ，试求该抛物线的解析式.5、抛物线2)3(3-=x y 与x 轴交点为A ，与y 轴交点为B ，求A 、B 两点坐标及⊿AOB 的面积.6、二次函数2)4(-=x a y ，当自变量x 由0增加到2时，函数值增加6.（1）求出此函数关系式.（2）说明函数值y 随x 值的变化情况.7、已知抛物线9)2(2++-=x k x y 的顶点在坐标轴上，求k 的值.练习五 ()k h x a y +-=2的图象与性质1、请写出一个二次函数以（2, 3）为顶点，且开口向上.＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.2、二次函数 y ＝(x －1)2＋2，当 x ＝＿＿＿＿时，y 有最小值.3、函数 y ＝12(x －1)2＋3，当 x ＿＿＿＿时，函数值y 随 x 的增大而增大.4、函数y=21(x+3)2-2的图象可由函数y=21x 2的图象向 平移3个单位，再向 平移2个单位得到. 5、 已知抛物线的顶点坐标为()2,1，且抛物线过点()3,0，则抛物线的关系式是6、 如图所示，抛物线顶点坐标是P （1，3），则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是（ ）A 、x>3B 、x<3C 、x>1D 、x<1 7、已知函数()9232+--=x y .（1） 确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2） 当x= 时，抛物线有最 值，是 .（3） 当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小. （4） 求出该抛物线与x 轴的交点坐标及两交点间距离； （5） 求出该抛物线与y 轴的交点坐标；（6） 该函数图象可由23x y -=的图象经过怎样的平移得到的？ 8、已知函数()412-+=x y .（1） 指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2） 若图象与x 轴的交点为A 、B 和与y 轴的交点C ，求△ABC 的面积； （3） 指出该函数的最值和增减性；（4） 若将该抛物线先向右平移2个单位，在向上平移4个单位，求得到的抛物线的解析式； （5） 该抛物线经过怎样的平移能经过原点.（6） 画出该函数图象，并根据图象回答：当x 取何值时，函数值大于0；当x 取何值时，函数值小练习六 c bx ax y ++=2的图象和性质 1、抛物线942++=x x y 2、抛物线251222+-=x x y 的开口方向是 ，顶点坐标是 .3、试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=-2，且与y 轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 .4、将 y ＝x 2－2x ＋3 化成 y ＝a (x －h)2＋k 的形式，则 y ＝＿＿＿＿.5 5、把二次函数215322y x x =---的图象向上平移3个单位，再向右平移4个单位，则两次平移后的函数图象的关系式是6、抛物线1662--=x x y 与x 轴交点的坐标为_________； 7、函数x x y +-=22有最____值，最值为_______；8、二次函数c bx x y ++=2的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为122+-=x x y ，则b 与c 分别等于（ ）A 、6，4B 、－8，14C 、－6，6D 、－8，－149、二次函数122--=x x y 的图象在x 轴上截得的线段长为（ ） A 、22 B 、23 C 、32 D 、3310、通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标： （1）12212+-=x x y ； （2）2832-+-=x x y ； （3）4412-+-=x x y 11、把抛物线1422++-=x x y 沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由.12、求二次函数62+--=x x y 的图象与x 轴和y 轴的交点坐标 13、已知一次函数的图象过抛物线223y x x =++的顶点和坐标原点 1） 求一次函数的关系式；2） 判断点()2,5-是否在这个一次函数的图象上14、某商场以每台2500元进口一批彩电.如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？练习七 c bx ax y ++=2的性质1、函数2y x px q =++的图象是以()3,2为顶点的一条抛物线，这个二次函数的表达式为 2、二次函数2224y mx x m m =++-的图象经过原点，则此抛物线的顶点坐标是 3、如果抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点A (0,2)，它的对称轴是1x =-，那么acb= 4、抛物线c bx x y ++=2与x 轴的正半轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且线段AB 的长为1，△ABC 的面积6 为1，则b 的值为______.5、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则a___0，b___0，c___0，ac b 42-____0；6、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，则直线bc ax y +=的图象不经过第 象限. 7、已知二次函数2y ax bx c =++（0≠a ）的图象如图所示，则下列结论：1）,a b 同号；2）当1x =和3x =时，函数值相同；3）40a b +=；4）当2y =-时，x 的值只能为0；其中正确的是 （第5题）（第6题） （第7题） （第10题） 8、已知二次函数2224m mx x y +--=与反比例函数xm y 42+=的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是-2，则m= 9、二次函数2y x ax b =++中，若0a b +=，则它的图象必经过点（ ）A ()1,1--B ()1,1-C ()1,1D ()1,1-10、函数b ax y +=与c bx ax y ++=2的图象如上图所示，则下列选项中正确的是（ ） A 、0,0>>c ab B 、0,0><c ab C 、0,0<>c ab D 、0,0<<c ab 11、已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则函数b ax y +=的图象是（ ）12、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，那么abc 、2a+b 、a+b+c 、a-b+c 这四个代数式中，值为正数的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个13、抛物线的图角如图，则下列结论： ①＞0；②；③＞；④＜1.其中正确的结论是（ ）.（A ）①② （B ）②③ （C ）②④ （D ）③④14、二次函数2y ax bx c =++的最大值是3a -，且它的图象经过()1,2--，()1,6两点， 求a 、b 、c 的值。

专题八二次函数的对称轴与区间增减性及最值问题(363)1.已知二次函数y=ax2+2ax+a−1(a>0)．(1)求证：抛物线与x轴有两个交点；(2)求该抛物线的顶点坐标；(3)结合函数图象回答：当x≥1时，其对应的函数值y的最小值范围是2≤y≤6，求a的取值范围．2.已知P(m,n)为抛物线y=ax2−4ax+b(a≠0)上一动点．(1)P1(1，n1)，P2(3，n2)为点P运动所经过的两个位置，判断n1，n2的大小，并说明理由；(2)当1≤m≤4时，n的取值范围是1≤n≤4，求抛物线的函数解析式．3.平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2−2m2x+2交y轴于点A，交直线x=4于点B．(1)抛物线的对称轴为直线x=(用含m的代数式表示)；(2)记抛物线在A，B之间的部分为图象G(包含A，B两点)，若对于图象G上任意一点P(x P，y P)，y P≤2，求m的取值范围．4.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=mx2−(2m+1)x+m−5的图象与x轴有两个公共点．(1)求m的取值范围．(2)若m取满足条件的最小的整数，①写出这个二次函数的解析式；②当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是−6≤y≤4−n，求n的值；③将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数解析式为y=a(x−ℎ)2+k，当x<2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．5.已知二次函数y=(a−1)x2+2(a−1)x+2a−3,其中a−1<0.(1)求该二次函数的对称轴方程；(2)若对每一个给定的x的值，它所对应的函数值都不大于3，求a的取值范围．参考答案1(1)【答案】证明：令y=0，则ax2+2ax+a−1=0,∴Δ=4a2−4a(a−1)=4a．∵a>0,∴4a>0,∴Δ>0,∴抛物线与x轴有两个交点．(2)【答案】抛物线的对称轴为直线x=−2a2a=−1,把x=−1代入y=ax2+2ax+a−1，得y=−1，∴该抛物线的顶点坐标为(−1，−1)．(3)【答案】①把(1,2)代入y=ax2+2ax+a−1，得a=34．②把(1,6)代入y=ax2+2ax+a−1,得a=74．∴由图象可知：34≤a≤74．2(1)【答案】解：n1=n2.理由如下：由题意可得抛物线的对称轴为直线x=2.∵点P1(1，n1)，P2(3，n2)在抛物线y=ax2−4ax+b上，∴n1=n2.(2)【答案】当a>0时，抛物线的顶点为(2，1)，且过点(4，4)，∴抛物线的函数解析式为y=34x2−3x+4.当a<0时，抛物线的顶点为(2，4)，且过点(4，1)，∴抛物线的函数解析式为y=−34x2+3x+1.综上所述，抛物线的函数解析式为y=34x2−3x+4或y=−34x2+3x+1.3(1)【答案】m【解析】:抛物线的对称轴为直线x=−−2m22m=m,故答案为：m(2)【答案】解：当m>0时，如图①．∵A(0,2)，∴要使0≤x P≤4时，始终满足y P≤2，只需使抛物线y=mx2−2m2x+2的对称轴与直线x=2重合或在直线x=2的右侧，∴m≥2.当m<0时，如图②，此时，y P≤2恒成立．综上所述，m<0或m≥2.4(1)【答案】解：∵二次函数y=mx2−(2m+1)x+m−5的图象与x轴有两个公共点，∴{m ≠0，<br >[−(2m +1)]2−4m(m −5)>0， 解得m >−124且m ≠0.(2)【答案】①若m 取满足条件的最小的整数，由(1)可知m =1， ∴二次函数的解析式为y =x 2−3x −4.②二次函数图象的对称轴为直线x =32，当n ≤x ≤1<32时，函数值y 随自变量x 的增大而减小． ∵−6≤y ≤4−n ，∴当x =1时，函数值为−6，当x =n 时，函数值为4−n ， ∴n 2−3n −4=4−n ， 解得n =−2或n =4(不合题意，舍去)，∴n 的值为−2.③由①可知a =1，又函数图象经过原点，∴k =−ℎ2.∵当x <2时，y 随x 的增大而减小，∴ℎ≥2，∴k ≤−4.5(1)【答案】解：对称轴方程：x =−2(a−1)2(a−1)=−1.(2)【答案】抛物线y =(a −1)x 2+2(a −1)x +2a −3的顶点坐标是(−1,a −2)． 依题意可得{a −1<0,a −2≤3,解得{a <1,a ≤5，∴a 的取值范围是a <1.。

二次函数的性质二次函数是一种常见的数学函数形式，它的一般表达式为f(x) =ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。

二次函数具有许多独特的性质，下面将逐一阐述。

一、图像特征二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。

当 a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。

抛物线的顶点坐标为(-b/(2a), f(-b/(2a)))，其中f(-b/(2a))为抛物线的最值。

二、轴对称性二次函数具有轴对称性，即抛物线以垂直于x轴的线为轴对称。

轴对称线的方程为x = -b/(2a)。

三、零点与解析式二次函数的零点即为方程f(x) = 0的解。

通过求解二次方程ax^2 +bx + c = 0，可以得到二次函数的零点。

解析式为x = (-b ± √(b^2 -4ac))/(2a)。

四、判别式二次函数的判别式可以帮助我们判断二次方程的根的情况。

判别式的值为D = b^2 - 4ac，根据判别式的不同情况，可得到以下结论：1. 当D > 0时，方程有两个不相等的实数根；2. 当D = 0时，方程有两个相等的实数根；3. 当D < 0时，方程没有实数根，但有两个共轭复根。

五、函数的增减性与极值点对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，它的增减性与a的正负有关。

当a > 0时，函数在抛物线的开口上方是递增的；当a < 0时，函数在抛物线的开口下方是递增的。

同时，函数的极值点即为抛物线的顶点，极值点的纵坐标为函数的最值。

六、对称轴与对称性二次函数的对称轴是垂直于x轴的轴线x = -b/(2a)，对称轴将抛物线分为两个对称的部分。

对称性质表明，若抛物线上存在点(x, y)，那么对称轴上也存在对应的点(-x, y)。

七、二次函数与二次方程的关系二次函数与二次方程紧密相关。

二次函数y = ax^2 + bx + c的图像和性质与二次方程ax^2 + bx + c = 0的解密切相关，二者是一一对应的关系。

二次函数的图像和性质总结二次函数（Quadratic Function）是高中数学中重要的一个部分，是指一种形式为y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。

二次函数的图像是一条抛物线，其性质包括：开口方向、顶点、对称轴、最值、零点、增减性等。

下面将对二次函数的图像和性质进行详细总结。

一、图像特征：1.开口方向：-当a>0时，抛物线开口向上；-当a<0时，抛物线开口向下。

2.顶点：-对于抛物线开口向上的情况，顶点是抛物线的最低点；-对于抛物线开口向下的情况，顶点是抛物线的最高点。

3.对称轴（y轴）：- 对于一般的二次函数y=ax²+bx+c，其对称轴的方程为x=-b/2a；-对于抛物线开口向上的情况，对称轴是抛物线的最低点；-对于抛物线开口向下的情况，对称轴是抛物线的最高点。

4.最值：-对于抛物线开口向上的情况，最小值为顶点的纵坐标；-对于抛物线开口向下的情况，最大值为顶点的纵坐标。

5.零点：- 零点是指二次函数y=ax²+bx+c与x轴的交点；-二次函数可能有0个、1个或2个零点；- 当判别式D=b²-4ac>0时，有两个不相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac=0时，有两个相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac<0时，无实数根。

6.增减性：-当a>0时，抛物线开口向上，函数在对称轴两侧递增；-当a<0时，抛物线开口向下，函数在对称轴两侧递减。

二、性质总结：1.函数的解析式：- 二次函数的解析式一般形式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0；-通过解析式可以得到函数的图像特征。

2.零点：-零点是指函数与x轴的交点；- 零点可以通过解二次方程ax²+bx+c=0来求解；- 当判别式D=b²-4ac>0时，有两个不相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac=0时，有两个相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac<0时，无实数根。

一元二次函数的像与性质详细解析一元二次函数是数学中常见且重要的函数类型之一。

它的形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数且a不为零。

在本文中，我们将详细解析一元二次函数的像与性质，从而帮助读者更好地理解与应用该函数类型。

一、一元二次函数的图像特点一元二次函数的图像是一个抛物线，其开口的方向取决于a的正负值。

如果a大于零，抛物线开口向上；如果a小于零，抛物线开口向下。

抛物线的顶点是抛物线的最高点（开口向下时）或最低点（开口向上时）。

顶点的横坐标可以通过求解函数f(x) = ax^2 + bx + c的导数为零的值得到。

它的纵坐标即为此时的函数值。

二、一元二次函数的对称性一元二次函数具有对称性。

对于函数f(x) = ax^2 + bx + c，其关于直线x = -b/(2a)对称。

换句话说，抛物线在经过顶点的同时，抛物线上方与下方的点也具有对称关系。

三、一元二次函数的零点一元二次函数的零点是函数f(x) = ax^2 + bx + c的根，即满足f(x) =0的x值。

常用的求零点的方法有因式分解法、配方法与求根公式法。

如果一元二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的判别式D = b^2 - 4ac大于零，那么函数将有两个不相等的实数根。

如果D等于零，函数将有两个相等的实数根。

若D小于零，函数将无实数解，只有复数解。

四、一元二次函数的增减性一元二次函数的增减性指的是函数在不同区间上的变化规律。

判断一元二次函数的增减性主要依靠函数的导数。

对于函数f(x) = ax^2 + bx + c，其导函数f'(x) = 2ax + b。

如果a大于零，二次函数呈上凸状，即函数在区间(-∞, -b/(2a))上递减，在区间(-b/(2a), +∞)上递增。

如果a小于零，二次函数呈下凹状，即函数在区间(-∞, -b/(2a))上递增，在区间(-b/(2a), +∞)上递减。

高中数学函数单调性的判定和证明方法函数的单调性判定是数学函数研究中的重要内容，它可以帮助我们更深入地理解函数的性质和特征。

本文将详细介绍高中数学中常用的函数单调性判定和证明方法。

一、函数的单调性概念在讨论函数的单调性之前，我们首先要了解函数的增减性和单调性的概念。

1.增减性设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，若对于任意的x1,x2在[a,b]上，当x1小于x2时，有f(x1)小于f(x2)，则称函数f(x)在[a,b]上为增函数；若对于任意的x1,x2在[a,b]上，当x1小于x2时，有f(x1)大于f(x2)，则称函数f(x)在[a,b]上为减函数。

2.单调性设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，若对于任意的x1,x2在[a,b]上，当x1小于x2时，有f(x1)小于等于f(x2)，则称函数f(x)在[a,b]上为递增函数；若对于任意的x1,x2在[a,b]上，当x1小于x2时，有f(x1)大于等于f(x2)，则称函数f(x)在[a,b]上为递减函数。

二、判定函数单调性的方法根据函数的定义，我们可以得出一些判定函数单调性的常用方法。

1.导数法如果函数f(x)在区间(a,b)上是单调的，那么它在该区间上的导数f'(x)恒大于0（或恒小于0），即函数的增减性与导数的正负性相同。

因此，通过求函数的导数并研究导数的正负性可以得出函数的单调性。

以f(x)为例，通过以下步骤可以判断f(x)的单调性：（1）求函数f(x)的导数f'(x)。

（2）研究f(x)的导数f'(x)在区间(a,b)上的正负性。

（3）若f'(x)在区间(a,b)上恒大于0（或恒小于0），则f(x)在(a,b)上递增（或递减）。

（4）若f'(x)在区间(a,b)上既大于0又小于0，或在一些点上为0，则f(x)在(a,b)上不是单调函数。

2.函数表和图像法函数表和图像法是直观判断函数单调性的方法。