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特约论文解决车辆路径问题及其变体的混合粒子群算法综述杨观富蔡延光（广东工业大学自动化学院，广东广州510006）摘要：通过对车辆路径问题的分析总结，得出启发式算法在解决车辆路径问题具有优越性的结论，并以混合粒子群算法为代表，详细阐述混合粒子群在不同车辆路径变形问题中的应用。
最后指出车辆路径问题和混合粒子群算法研究的不足与趋势，强调该问题与算法具良好的扩展性，在物流领域有广阔的应用前景。
关键词：车辆路径；启发式算法；混合粒子群中图分类号：TP18;TP311.13文献标识码：A文章编号：1674-2605(2021)02-0002-07 DOI：10.3969/j.issn.1674-2605.2021.02.0020引言21世纪以来，随着科学技术与电子商务的快速发展，物流行业已逐渐成为国家经济增长的重要支柱，也成为提高人民生活水平与生活质量的重要保障。
同时，物流行业发展的瓶颈——车辆路径问题（vehicle routing problem,VRP）备受研究人员关注。
VRP由DANTZING和RAMSER于1959年提出[1]，本意是优化亚特兰大炼油厂的运输路径。
经过60多年的发展与历代研究人员的研究，其研究目的、对象和限制条件等都有极大扩充。
目前，VRP已从最初的简单车辆安排调度逐步演变为运筹学中一类经典的组合优化问题，是物流管理与运输组织优化中的核心问题，也是一个典型的NP难题。
随着VRP复杂程度不断增加，传统的优化方法在解决该问题时捉襟见肘。
研究人员从自然界的一些现象得到启发，利用自然界的规律设置算法，形成一系列的启发式算法，如粒子群算法、人工鱼群算法和共生生物算法等。
这些算法结构相对简单，不需要研究人员具备太多相关的专业知识，调节参数较少，容易实现。
但也存在计算效率低、通用性差或全局搜索能力不足等问题。
随着VRP模型规模越来越大，约束条件越来越多，将算法合并得到的新算法，能较好解决这类问题，且具有较好的鲁棒性、智能性、适应性以及良好的全局搜索能力。
基于粒子群算法的路径规划优化研究路径规划是人工智能领域中一项重要的技术，它在自动驾驶、机器人导航和无人机飞行等领域具有广泛的应用。
粒子群算法（Particle Swarm Optimization, PSO）是一种模拟鸟群觅食行为的优化算法，被广泛应用于路径规划问题的求解。
本文将基于粒子群算法对路径规划进行优化研究，旨在提高路径规划的效率和准确性。
1. 引言路径规划问题可以描述为在给定环境下，找到一条从起点到终点的最优路径，使得路径的长度最短或者到达终点所需时间最短。
路径规划在现实生活中有着广泛的应用，如物流配送、交通导航和智能机器人等。
由于路径规划问题的复杂性，传统的算法难以快速准确地求解，因此需要借助优化算法进行解决。
2. 粒子群算法原理粒子群算法是一种基于群体智能的优化算法，受到鸟群觅食行为的启发而提出。
算法的基本原理是通过模拟鸟群中个体的协作行为，在搜索空间中寻找最优解。
每个个体被称为粒子，它们通过跟随当前群体中最优解的轨迹，来更新自己的位置和速度。
在路径规划中，将每个粒子对应到一条路径，并通过不断迭代来优化路径的长度或时间。
3. 路径规划优化模型为了对路径规划进行优化，需要定义适当的优化模型。
以路径长度最短为目标，路径规划问题可以描述为一个多维度的优化问题。
假设有N个粒子，每个粒子对应一个候选路径，路径上的每个点都有对应的位置和速度信息。
优化模型的目标是找到最优的路径集合，使得路径的长度最短。
4. 路径规划优化过程基于粒子群算法的路径规划优化过程可以分为初始化、目标函数计算、速度更新和位置更新四个步骤。
4.1 初始化在算法开始之前，需要初始化粒子群的位置和速度。
将每个粒子的位置初始化为起点，并随机生成速度向量。
4.2 目标函数计算根据路径长度作为目标函数，计算每个粒子对应路径的长度。
通过计算每个粒子的适应度值，可以评估候选路径的优劣程度。
4.3 速度更新根据当前粒子的最优位置、全局最优位置和经验因子来更新粒子的速度。
基于粒子群优化算法的货物递送路径优化研究货物递送路径优化是现代物流管理中一项重要的研究课题。
随着货物运输规模不断增大，如何合理安排货物的传输路径，提高运输效率，降低运输成本，成为许多物流公司和企业关注的焦点。
在过去的几十年里，学者们提出了许多方法和算法来解决这个问题。
其中，基于粒子群优化算法的货物递送路径优化算法被广泛应用并取得了较好的效果。
粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization, PSO）是一种模拟自然界鸟群觅食行为的优化算法。
它通过模拟鸟群在搜索食物的过程中的合作与竞争关系，寻找最优解。
粒子群优化算法具有收敛速度快、全局搜索能力强等优点，在货物递送路径优化问题中具有广泛的应用前景。
货物递送路径优化问题实质上是一个典型的旅行商问题（Traveling Salesman Problem, TSP）。
TSP是指在确定的一组城市之间寻找一条最短路径，使得旅行商能够仅访问每个城市一次，并最终回到起始城市。
在货物递送路径优化问题中，旅行商变为货物的运输车辆，城市变为货物的收发点，目标是寻找最短路径和最优方案。
基于粒子群优化算法的货物递送路径优化研究可以分为以下几个步骤：首先，对问题进行定义和建模。
确定收发货物的地点和数量，以及货物之间的距离和运输成本。
将问题转化为TSP问题，并定义适当的目标函数。
例如可以以总运输成本最低为目标，或以运输时间最短为目标，根据实际情况进行选择。
其次，设计合适的粒子群模型和算法参数。
粒子群模型是指定义粒子的位置和速度，并设计适当的更新规则。
算法参数包括种群规模、最大迭代次数、惯性权重等，需要根据问题的复杂程度和精度要求进行调整。
然后，编写程序实现粒子群优化算法。
利用编程语言，如MATLAB、Python等，实现算法的核心部分。
在编写程序时，需要考虑算法的效率和可扩展性，以应对复杂的货物递送路径优化问题。
接着，进行算法的参数优化和实验验证。
通过对算法参数进行调整和优化，提高算法的准确性和鲁棒性。
基于改进粒子群算法的路径优化问题研究路径优化问题是指在给定的网络或图中找到最短路径或最优路径的问题。
而基于改进粒子群算法（Improved Particle Swarm Optimization，IPSO）的路径优化问题研究，主要是通过引入一些改进策略，提高传统粒子群算法的能力和优化效果，以更快、更准确地找到最优路径。
首先，IPSO算法通过优化粒子的初始化方式，提高了算法的能力。
传统粒子群算法的粒子初始化往往是随机的，而IPSO算法可以根据问题的特点进行设计，使得粒子初始位置更接近最优解，减少空间，提高算法的收敛速度。
其次，IPSO算法引入了改进的粒子更新策略，以提高收敛性。
传统粒子群算法中，粒子的速度更新是通过全局最优和个体最优位置进行计算的，而IPSO算法中，除了考虑全局最优和个体最优位置外，还引入了历史最优位置和当前最优位置，通过综合考虑多个位置信息，更好地引导粒子朝着最优解靠近，提高算法的收敛性。
另外，IPSO算法还采用了多个种群的策略，以增加算法的多样性和能力。
传统粒子群算法只有一个种群，而IPSO算法通过划分多个种群，每个种群中的粒子按照特定规则进行，可以从多个方向同时，增加了算法的全局能力，避免陷入局部最优解。
最后，IPSO算法还引入了自适应的惯性权重机制，以进一步提高算法的收敛性和优化效果。
传统粒子群算法中，惯性权重往往是固定的，而IPSO算法中，根据算法的过程动态调整惯性权重，使得算法在初期注重全局，在后期注重精确局部，提高了算法的优化效果。
综上所述，基于改进粒子群算法的路径优化问题研究，通过优化粒子初始化、改进粒子更新策略、引入多个种群和自适应的惯性权重等策略，可以更快、更准确地找到最优路径。
这些改进策略不仅提高了算法的能力和收敛性，而且增加了算法的多样性和全局能力，是路径优化问题研究领域具有潜力的一种算法方法。
基于粒子群优化算法的路径规划研究路线规划是一个复杂且历史悠久的问题，它涉及到众多领域的知识与技术，如运筹学、数学、计算机科学、交通工程等等。
随着科学技术的不断发展，人们提出了许多有效的路线规划方法，目前粒子群优化算法在路线规划方面具有重要的应用。
一、粒子群优化算法粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization，PSO）是源于社会心理学的一种演化算法。
一般适用于解决多维的优化问题，本质上是通过模拟鸟群捕食行为而对每个解决方案进行更新，使得粒子寻找到全局最优解或接近最优解。
该算法具有简单、易实现、收敛速度快等特点，已被广泛应用于多领域的优化问题上。
二、基于粒子群优化算法的路径规划基于粒子群优化算法的路径规划将问题相应地转化为了粒子的位置更新，并利用群体智能来实现有限制的优化。
在这一领域，常用的方法为系统动力学和模拟退火算法。
然而，这些方法存在着一些缺陷，如易受初始化的影响，容易陷入局部最优解等问题。
而粒子群优化算法能有效地解决这些问题。
首先，需要定义问题空间的解空间和适应度函数，通过设计正确的目标函数与限制条件将路径规划问题量化。
然后，将每个粒子看作一个解的候选者，并通过粒子学习并适应上一代的信息，根据当前最优解来更新自己的速度和位置。
最终，寻找到最优解或接近最优解的粒子将表示路径规划问题的最终结果。
三、优点与展望与传统的路径规划算法相比，基于粒子群优化算法的路径规划方法具有如下优点：一是可以在很短时间内得到良好的关键路径和可行路径；二是更加适用于高维、复杂的非线性优化问题；三是不需要过多的假设和先验知识。
因此，这种方法在物流领域、智慧城市建设等领域有着重要的应用前景。
不过，粒子群优化算法也存在着一些问题，如易受参数等干扰。
未来，我们需要进一步改进算法，减少其对于参数的敏感性，以及更好地处理实际问题中的复杂性。
四、结语基于粒子群优化算法的路径规划方法在多领域的应用上得到了广泛的关注和研究。
粒子群优化算法计算车辆路径问题摘要粒子群优化算法中，粒子群由多个粒子组成，每个粒子的位置代表优化问题在□维搜索空间中潜在的解。
根据各自的位置，每个粒子用一个速度来决定其飞行的方向和距离,然后通过优化函数计算出一个适应度函数值(fitness)。
粒子是根据如下三条原则来更新自身的状态：(1)在飞行过程中始终保持自身的惯性；(2) 按自身的最优位置来改变状态;(3)按群体的最优位置来改变状态。
本文主要运用运筹学中粒子群优化算法解决车辆路径问题。
车辆路径问题由Dan tzig 和Ramser于1959年首次提出的,它是指对一系列发货点(或收货点),组成适当的行车路径，使车辆有序地通过它们，在满足一定约束条件的情况下，达到一定的目标(诸如路程最短、费用最小，耗费时间尽量少等)，属于完全NP问题，在运筹、计算机、物流、管理等学科均有重要意义。
粒子群算法是最近出现的一种模拟鸟群飞行的仿生算法，有着个体数目少、计算简单、鲁棒性好等优点，在各类多维连续空间优化问题上均取得非常好的效果。
本文将PSO应用于车辆路径问题求解中，取得了很好的效果。
针对本题，一个中心仓库、7个需求点、中心有3辆车，容量均为1,由这三辆车向7个需求点配送货物，出发点和收车点都是中心仓库。
k = 3,q = q2 = q3 =〔,1 = 7. 货= 0.89, g? = 0.14,g3 = 0.28,g4 = 0.33,g5 = 0.21,g6 = O/lg? = 0.57 ，且m g i a q k。
利用matlab编程，求出需求点和中心仓库、需求点之间的各个距离，用q表示。
求满足需求的最小的车辆行驶路径，就是求m i nz八7 7 C j X i。
经过初始化粒子群，将初始的适应值作为每个粒子的个i j k体最优解，并寻找子群内的最优解以及全局的最优解。
重复以上步骤，直到满足终止条件。
本题的最短路径由计算可知为217.81。
关键字：粒子群算法、车辆路径、速度问题的重述一个中心仓库序号为0，7个需求点序号为1~7,其位置坐标见表1,中心有3辆车，容量均为1,由这三辆车向7个需求点配送货物，出发点和收车点都是中心仓库。
求满足需求的距离最小的车辆行驶路径。
问题假设表1仓库中心坐标和需求点坐标及需求量序号01234567坐标(18, 54)(22，60)(58，69)(71，71)(83, 46)(91 , 38)(24, 42)(18, 40)需求量00.890.140.280.330.210..410.571 •现实生活中中心仓库以及各个需求点之间军事直线连接，两点之间距离即为坐标系中两点坐标间距离。
2 •不因天气及失火等原因车辆停止运输。
3 •每个需求点由一辆车供应货物。
三、符号说明k配送货物车辆数l需求点个数四、问题分析4.1算法分析车辆路径问题(VRP可以描述为有一个中心仓库，拥有K辆车，容量分别为q'k =1,2,…，K)，负责向L个需求点配送货物，货物需求量为g i (i =1,2,…，L)，且maxg i - maxq k；c j表示从点i至U j的距离。
求满足需求的距离最小的车辆行驶路径。
将中心仓库编号为0，需求点编号为1，2，…，L。
数学模型为：min Z =、、、C j X jki j ks.t. g i Y ki Xk, — ki■- y ki ~ 1, i ~ 1,2,,Lk' X jk 二丫“ j =0,1,丄；—ki' X jk =y ki,i =0,1,丄；—kX 二（X jk ） ■ SX jk =0或 1,i, j =0,1,丄;-k y ki =0 或 1,i =0,1,丄;-k需求点i 由k 车配送 1 车k 从i 行驶驶j 否则 ，X ijk=』0 否则k = 3,q i = q 2 = q 3 = 1,1 = 7.货 物 需 求 量。
"朋禺“㈡鸟=0.289 = 0.33,g^ 0.21,g^ 0.41,g^ 0.57，利用粒子群优化算法，经过初始化粒子群，将初始的适应值作为每个粒子的个体最优解， 并寻找子群内的最优解以及全局的最优解。
重复以上步骤，直到满足终止条件。
4.2举例具体演算分析例如，设VRP 问题中发货点任务数为7,车辆数为3,若某粒子的位置向量X 为： 发货点任务号：1 2 3 4 5 6 7X v: 1 2 2 2 2 3 3 X r : 1 4 3 1 2 2 1则该粒子对应解路径为：车 1: 0 — 1 — 0车 2: 0 — 4 — 5 — 3 — 2 — 0 车 3: 0 — 7 — 6 — 0粒子速度向量V 与之对应表示为V v 和V r该表示方法的最大优点是使每个发货点都得到车辆的配送服务，并限制每个发 货点的需求仅能由某一车辆来完成，使解的可行化过程计算大大减少Z 虽然该表 示方法的维数较高，但由于PSO 算法在多维寻优问题有着非常好的特性，维数 的增加并未增加计算的复杂性，这一点在实验结果中可以看到五、模型的建立与求解在本题中，需要分别计算以下几个内容，计算需求点与中心仓库及各需求 点间距离，利用粒子群优化算法，求出函数的全局最优位置和最后得到的优化极 值。
其中, y ki =5.1需求点与中心仓库及各需求点间距离利用直角三角形勾股定理，求斜边长度。
A（x,,yJ，B（x2, y2），直角坐标系中求A,B两点之间距离AB二,（y2-力）2（X2-xJ25.2粒子群优化算法5.2.1算法实现过程步骤1初始化粒子群①粒子群划分成若干个两两相互重叠的相邻子群；②每个粒子位置向量X v的每一维随机取1〜K （车辆数）之间的整数，Xr 的每一维随机取1〜L（发货点任务数）之间的实数；③每个速度向量V v的每一维随机取-（K - 1）〜（K - 1）（车辆数）之间的整数,V r的每一维随机取-（L - 1）〜（L - 1）之间的实数；④用评价函数Eval评价所有粒子；⑤将初始评价值作为个体历史最优解P i ,并寻找各子群内的最优解P l和总群体内最优解P g步骤2重复执行以下步骤，直到满足终止条件或达到最大迭代次数①对每一个粒子，计算V v、V r；计算X v、X r,其中X v向上取整；当V、X超过其范围时按边界取值②用评价函数E va I评价所有粒子；③若某个粒子的当前评价值优于其历史最优评价值，则记当前评价值为该历史最优评价值，同时将当前位置向量记为该粒子历史最优位置Pi ;④寻找当前各相邻子群内最优和总群体内最优解，若优于历史最优解则更新P I、P g5.2.2针对本题0表示中心仓库,设车辆容量皆为q= 1. 0,由3辆车完成所有任务，初始化群体个数n= 40;惯性权重w = 0. 729;学习因子c1= c2= 1.49445; 最大代数MaxDT -50 ;搜索空间维数（未知数个数）D = 7;算法得到的最优值的代数及所得到的最优解，预计迭代次数50,共进行20次运算从实验结果分析，15次达到已知最优解，得到的最优总路径为:0—；7 —6—；0—；1一；0—；2—；3—；5—；0对应的行车路线为：车辆一：0》7》6》0车辆二：0》1》0车辆三:0 > 2 > 3 > 4 > 5 > 0行车总距离217.81粒子群优化算法达到最优路径50次的代数六、模型的评价粒子群优化算法结果分析分析PSO方法,可以看出它与GA等其他演化算法的最大不同在于1）迭代运算中只涉及到初等运算，且运算量非常少；2）每个粒子能直接获取群体历史经验和个体历史经验，比在其他方法中使用精英集（elit ism ）的方法更有效；3）整个粒子群被划分为几个的子群，且子群之间有一定重叠，从而使收敛于局部最优解的几率大大减少L正因为如此，本文将PSO应用于带时间窗车辆路径问题求解中，取得了很好的效果，有着运算速度快、解的质量与个体数目相关性小、所获得的解质量高等诸多优点七、模型的改进和推广7.1模型的改进针对粒子群优化算法存在的问题，提出了一种新的改进算法—基于粒子进 化的多粒子群优化算法。
该算法采用局部版的粒子群优化方法， 从“粒子进化” 和“多种群”两个方面对标准粒子群算法进行改进。
多个粒子群彼此独立地搜索 解空间，保持了粒子种群的多样性， 从而增强了全局搜索能力而适当的“粒子进 化”可以使陷入局部最优的粒子迅速跳出， 有效的避免了算法“早熟”， 提高了 算法的稳定性。
将基于粒子进化的多粒子群优化算法用于求解非线性方程组。
该算法求解 精度高、收敛速度快，而且克服了一些算法对初值的敏感和需要函数可导的困难， 能较快地求出复杂非线性方程组的最优解。
数值仿真结果显示了该算法的有效性 和可行性，为求解非线性方程组提供了一种实用的方法。
7.2 模型的推广 作为物流系统优化中的重要一环，合理安排车辆路径、进行物流车辆优化调度可以提高物流经济效益、 实现物流科学化。
粒子群算法在多维寻优中有着非 常好的特性，加入“邻居算子”的粒子群算法能使算法更好的全局寻优。
本文的 研究表明，改进局部办粒子群算法，能过有效地解决车辆路径问题。
八、 参考文献物资出版社 , 2001.[2] 马炫，彭芃，刘庆 . 求解带时间窗车辆路径问题的改进粒子群算法 算机工程与应用， 2009，45（27）： 200-202[3] 姜启源，《数学建模》 ，高教出版社， 2000 年[1] 李军 , 郭耀煌 . 物流配送车辆优化调度理论与方法 [M ]. 北京 : 中国.计附录需求点与中心仓库及各需求点间距离c=[]; zuobiao=[18 5422 6058 6971 7183 4691 3824 4218 40];for i=1:8for j=1:8c(i,j)=sqrt((zuobiao(j,2)-zuobiao(i,2))A2+(zuobiaoQ,1)-zuobiao(i,1)) A2);endendc粒子群优化算法求解主算法clear all;clc;format long;% ----- 给定初始化条件---------------------------c1=1.4962;%学习因子1c2=1.4962;%学习因子2w=0.7298;%惯性权重MaxDT=50;%最大迭代次数D=7;%搜索空间维数(未知数个数)N=40;%初始化群体个体数目% ----- 初始化种群的个体( 可以在这里限定位置和速度的范围)for i=1:Nfor j=1:Dx1(i,j)=ceil(3*rand()); % 随机初始化位置ceilx2(i,j)=ceil(7*rand());v1(i,j)=2*(2*rand()-1); % 随机初始化速度%v2(i,j)=6*(2*rand()-1);endend% ----- 先计算各个粒子的适应度，并初始化Pbest 和gbest --------------------------------for i=1:Ny1(i,:)=x1(i,:);y2(i,:)=x2(i,:);pbest(i)=fitness(y1(i,:),y2(i,:),D);end是向离它最近的大整数圆整pg1=x1(1,:); %Pg 为全局最优pg2=x2(1,:);for i=2:Nif fitness(x1(i,:),x2(i,:),D)<fitness(pg1,pg2,D)pg1=x1(i,:);pg2=x2(i,:);gbest=fitness(pg1,pg2,D);endend% ----- 进入主要循环，按照公式依次迭代，直到满足精度要求 ----------- for t=1:MaxDTfor i=1:Nv1(i,:)=w*v1(i,:)+c1*rand*(y1(i,:)-x1(i,:))+c2*rand*(pg1-x1(i,:));x1(i,:)=x1(i,:)+v1(i,:);x1(i,:)=ceil(x1(i,:));for j=1:Dif x1(i,j)<1x1(i,j)=1;endif x1(i,j)>3x1(i,j)=3;endendfor j=1:Dx2(i,j)=ceil(7*rand());endif fitness(x1(i,:),x2(i,:),D)<pbest(i)y1(i,:)=x1(i,:);y2(i,:)=x2(i,:);pbest(i)=fitness(y1(i,:),y2(i,:),D);endif pbest(i)<fitness(pg1,pg2,D)pg1=x1(i,:);pg2=x2(i,:);endendend% ----- 最后给出计算结果disp(' disp(' 函数的全局最优位置为：')Solution1=pg1Solution2=pg2 disp(' 最后得到的优化极值为：')Result=fitness(pg1,pg2,D)*************************************************************1disp('辅助算法function result=fitness(x1,x2,D);aa=[inf inf inf inf inf inf inf]; bb=[inf inf inf inf inf inf inf]; cc=[inf inf inf inf inf inf inf];for i=1:Dif x1(i)==1aa(i)=x2(i);else if x1(i)==2 bb(i)=x2(i);else cc(i)=x2(i);endend end result=f(cc)+f(bb)+f(aa); 辅助算法二function ff=f(x);load c.mat sum=0;[y ind]=sort(x); for i=1:7if y(i)==infj=i-1; break;else j=7;endendif j<1sum=inf;else if j==1 sum=sum+2*c(1,ind(j)+1);else sum=sum+c(1,ind(j)+1)+c(1,ind(1)+1); for i=1:j-1 sum=sum+c(ind(i)+1,ind(i+1)+1); endendendff=sum;11。
