2.2 第四节 正态分布及标准误
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标准误、t 分布
教 学 内 容 标准误 t分布
二、 t 分布： 三)、应用： 2、t 检验--- 3)、两样本均数的比较： A)、两小样本比较： 检验步骤： 1、建立假设，确定检验水准α 及单双侧 H0：无效假设：(两总体相同)该地急性克山病患者和健康人 的血磷值是否相同， μ 1= μ 2 H1：备择假设：(两总体不同) μ 1 ≠ μ 2 α =0.05 (双侧) 2、选择和计算统计量值： SX1-X2 = t = ( X1-X2 )/SX1-X2 [SC2(1/n1+1/n2)]1/2 = (1.521-1.085)/0.1729 =2.522 3、确定P值：按 v = v1+v2 = n1+n2-2 = 11+13-2 = 22 查t界值 表，得： P < 0.02 4、判断结果： P < 0.05 (α )， 故H1成立， 即该地急性克山病患者和健康人 的血磷值不同。
教 学 内 容 标准误 t分布
二、 t 分布： 三)、应用： 2、t 检验： 3)、两样本均数的比较： A)、两小样本比较： t = (X1-X2)/SX1-X2 B)、两大样本比较： t = (X1-X2)/SX1-X2
v=n1+n2-2 v=n1+n2-2
SX1-X2 = ( S12/n1+S22/n2 )1/2 例： 抽查了25--29岁正常人群的RBC数(mmol/L) 其中男性156人，得均数为4.561，标准差为0.548 ；女性74人，得均数为4.222，标准差为0.442。问 该人群男、女的RBC数有无不同？ 已知样本1 已知样本2 问题： 两样本所属总体 均数是否相同？(μ 1= μ 是否成立 ？)
教 学 内 容 标准误 t分布
二、 t 分布： 三)、应用： 2、t 检验--- 1)、样本均数与总体均数比较：
正态分布 标准偏差
正态分布标准偏差正态分布是统计学中非常重要的一种概率分布，它具有许多重要的特性和应用。
在正态分布中，标准偏差是一个关键的概念，它对于理解和分析正态分布具有重要意义。
本文将重点介绍正态分布和标准偏差的相关知识，帮助读者更好地理解和运用这些概念。
正态分布是一种连续概率分布，其曲线呈钟形，两侧尾部逐渐减小，中间最高。
正态分布的曲线呈对称分布，均值、中位数和众数重合，且均值处为曲线的中心。
在正态分布中，68%的数据落在均值加减一个标准偏差范围内，95%的数据落在均值加减两个标准偏差范围内，99.7%的数据落在均值加减三个标准偏差范围内。
这些特性使得正态分布在实际应用中具有广泛的适用性，特别是在自然科学、社会科学和工程技术等领域。
标准偏差是衡量一组数据离散程度的重要指标，它表示数据偏离均值的程度。
标准偏差越大，说明数据的离散程度越高；标准偏差越小，说明数据的离散程度越低。
在正态分布中，标准偏差的大小直接影响着曲线的宽窄，标准偏差越大，曲线越宽；标准偏差越小，曲线越窄。
因此，标准偏差不仅可以帮助我们理解数据的分布情况，还可以帮助我们比较不同数据集的离散程度。
在实际应用中，我们经常会遇到需要计算正态分布和标准偏差的情况。
例如，在质量控制中，我们可以利用正态分布来分析产品的质量状况，通过计算标准偏差来衡量产品质量的稳定程度；在市场营销中，我们可以利用正态分布来分析消费者的购买行为，通过计算标准偏差来评估市场需求的波动程度。
因此，对于正态分布和标准偏差的理解和应用，不仅可以帮助我们更好地理解数据，还可以帮助我们做出更准确的决策。
总之，正态分布和标准偏差是统计学中非常重要的概念，它们在各个领域都具有广泛的应用价值。
通过深入理解正态分布和标准偏差的特性和应用，我们可以更好地分析和解释数据，为实际问题的解决提供有力的支持。
希望本文能够帮助读者更好地理解和运用正态分布和标准偏差的知识，为他们的学习和工作带来帮助。
正态分布 标准差
正态分布标准差
正态分布是统计学中非常重要的一个概念，它是一种连续概率分布，也被称为
高斯分布。
正态分布的标准差是指在正态分布曲线上，数据点与均值之间的平均距离。
标准差越大，数据点越分散；标准差越小，数据点越集中。
正态分布的曲线呈钟形，两头低，中间高，左右对称。
在正态分布曲线上，均
值为中心，标准差决定了曲线的宽窄。
标准差越大，曲线越宽；标准差越小，曲线越窄。
对于正态分布来说，大约68%的数据点落在均值加减一个标准差的范围内；大约95%的数据点落在均值加减两个标准差的范围内；大约99.7%的数据点落在均值加减三个标准差的范围内。
标准差的大小对于正态分布的理解和分析非常重要。
在实际应用中，我们经常
会用到标准差来衡量数据的离散程度。
如果一组数据的标准差较大，说明数据点较为分散；如果标准差较小，说明数据点较为集中。
这对于我们分析数据的特征和规律非常有帮助。
在实际生活中，正态分布和标准差的概念也有着广泛的应用。
比如在质量控制中，我们可以利用正态分布的特性来判断产品的合格率；在市场营销中，我们可以利用正态分布的特性来分析消费者的行为规律；在金融领域，我们可以利用正态分布的特性来评估投资的风险等等。
总之，正态分布的标准差是一个非常重要的概念，它不仅在统计学中有着重要
的意义，也在实际应用中有着广泛的应用价值。
通过对正态分布和标准差的深入理解，我们可以更好地分析和解释数据，从而为决策提供更加可靠的依据。
希望本文能够帮助读者更好地理解正态分布和标准差的概念，为他们在实际应用中提供一些帮助。
抽样分布和七种理论分布
抽样分布与理论分布一、抽样分布总体分布：总体中所有个体关于某个变量的取值所形成的分布。
样本分布：样本中所有个体关于某个变量大的取值所形成的分布。
抽样分布：样品统计量的概率分布，由样本统计量的所有可能取值和相应的概率组成。
即从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本最多可抽取m 个样本，m 个样本统计值形成的频率分布，即为抽样分布。
样本平均数的抽样分布：设变量X 是一个研究总体，具有平均数μ和方差σ2。
那么可以从中抽取样本而得到样本平均数x ，样本平均数是一个随机变量，其概率分布叫做样本平均数的抽样分布。
由样本平均数x 所构成的总体称为样本平均数的抽样总体。
它具有参数μx 和σ2x ，其中μx 为样本平均数抽样总体的平均数，σ2x 为样本平均数抽样总体的方差，σx 为样本平均数的标准差，简称标准误。
统计学上可以证明x 总体的两个参数 μx 和σ2x 与X 总体的两个参数μ和σ2有如下关系：μx = μ σ2x = σ2 /n由中心极限定理可以证明，无论总体是什么分布，如果总体的平均值μ和σ2都存在，当样本足够大时（n>30），样本平均值x 分布总是趋近于N （μ，n2)分布。
但在实际工作中，总体标准差σ往往是未知的，此时可用样本标准差S 估计σ。
于是，以nS估计σx ，记为X S ，称为样本标准误或均数标准误。
样本平均数差数的抽样分布：二、正态分布2.1 正态分布的定义：若连续型随机变量X 的概率密度函数是⎪⎭⎫ ⎝⎛--=σμπσx ex f 22121)( （-∞＜x ＜+∞）则称随机变量X 服从平均数为μ、方差为σ2的正态分布，记作X~N （μ，σ2）。
相应的随机变量X 概率分布函数为 F （x ）=⎰∞-x dx x f )(它反映了随机变量X 取值落在区间（-∞，x ）的概率。
2.2 标准正态分布当正态分布的参数μ=0，σ2=1时，称随机变量X 服从标准正态分布，记作X~N （0,1）。
正态分布参考值抽样误差
数值变量的参数估计
一、均数的抽样分布与抽样误差
抽样研究的目的就是要用样本信息来推断 总体特征。由于存在个体变异，样本均数 （X）往往不等于总体均数（），因此抽 样后各个样本均数也往往不等于总体均数， 且各个样本均数间也不一定都相等。这种 由抽样造成的样本均数与总体均数的差异 或各样本均数之间的差异称为抽样误差， 抽样误差是不可避免的。
100个样本均数频数分布直方图
样本均数的抽样分布具有以下特点：
1. 各样本均数未必等于总体均数；
2. 样本均数之间存在差异；
3. 样本均数的分布很有规律，围绕着总体 均数，中间多、两边少，左右基本对称， 也服从正态分布；
4. 样本均数的变异较之原变量的变异大大 缩小。
抽样，样 本量为n
总体均数为μ，标准差σ
频率密度 f(x)=(fi/n)/i
0.1
（i＝0.1）
0.08
0.06
0.04
0.02
0
3.8
4 4.2 4.4 4.6 4.8
5 5.2 5.4 5.6 5.8
这条所描述的分布，便近似于我们通常所说 的正态概率分布，简称正态分布。
正态分布是自然界最常见的一 种分布，例如，测量的误差、 人体的身高、体重、许多生化 指标的值（例如血压、血红蛋 白含量、红细胞数等等）等都 属于正态分布或近似正态分布。 还有些偏态资料可经数据转换 成正态或近似正态分布，例如 抗体滴度、血铅值等。
用 X 表示，或SE、SEM。
x
n
4.09 1.29(cm) 10
由于在实际抽样研究中往往未知，通
常用某一样本标准差s来替代，得标准误
的估计值 sX (通常也简称为标准误)，其计
算公式为：
概率统计中的正态分布与标准正态分布分析
概率统计中的正态分布与标准正态分布分析正态分布是概率统计学中最重要的分布之一，因其广泛应用于自然科学、社会科学和工程技术等领域，成为了统计学的基石之一。
本文将对正态分布及标准正态分布进行分析，并探讨其在概率统计中的重要性。
正态分布，又称高斯分布，是指在概率论和统计学中常见的一种连续概率分布。
它的特点是具有对称性，其概率密度曲线呈钟形，两侧的尾部渐进于x轴。
正态分布可以由两个参数来决定：均值μ和方差σ^2。
其中，均值决定了曲线的位置，方差决定了曲线的形状。
正态分布的概率密度函数为：f(x) = (1 / (σ√(2π))) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))正态分布在实际应用中非常广泛，尤其在大样本量下，许多变量都呈现出近似正态分布的特征。
根据中心极限定理，当样本量足够大时，无论原始数据服从何种分布，其样本均值的分布都接近于正态分布。
这使得正态分布成为统计推断的基础。
例如，在假设检验中，我们常使用正态分布来计算拒绝域和P值。
此外，正态分布还常用于构建置信区间、回归分析和因子分析等统计方法中。
标准正态分布是正态分布的一种特殊形式，也被称为单位正态分布。
它具有均值μ=0和方差σ^2=1的特点，其概率密度函数为：φ(x) = (1 / √(2π)) * e^(-x^2 / 2)标准正态分布的特殊性在于，其所有的分位数和累积概率都可以通过查表得到，这是因为标准正态分布的累积分布函数不依赖于具体的均值和方差。
相关的Z分数表可以用来计算标准正态分布中的分位数。
我们可以利用标准正态分布的特性，将其他服从正态分布的随机变量转换为标准正态分布，并通过查表计算分位数和计算概率。
标准正态分布在实际应用中也非常重要。
例如，在统计推断中，我们经常使用标准正态分布对样本均值和样本比例进行推断。
具体来说，我们根据样本均值与总体均值之间的差异，以及样本比例与总体比例之间的差异，来做出统计推断。
通常情况下，我们会将样本均值或样本比例标准化为Z分数，然后利用标准正态分布的性质进行概率计算或假设检验。
《正态分布》说课稿
《正态分布》说课稿正态分布是统计学中非常重要的一个概念，它描述了大量随机变量的分布规律，被广泛应用于各个领域的数据分析和预测中。
本文将介绍正态分布的基本概念、性质、应用以及如何利用正态分布进行统计推断。
一、正态分布的基本概念1.1 正态分布的定义：正态分布又称高斯分布，是一种连续概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线，左右对称，中间最高。
1.2 正态分布的特点：正态分布具有唯一的均值和标准差，均值决定了曲线的中心位置，标准差决定了曲线的宽度。
1.3 正态分布的标准化：通过标准化可以将正态分布转化为标准正态分布，即均值为0，标准差为1的正态分布。
二、正态分布的性质2.1 正态分布的均值和中位数相等：正态分布的均值和中位数相等，即曲线对称中心位置处的值。
2.2 正态分布的68-95-99.7法则：约68%的数据落在均值附近的一个标准差范围内，约95%的数据落在两个标准差范围内，约99.7%的数据落在三个标准差范围内。
2.3 正态分布的线性组合仍然是正态分布：对于正态分布的线性组合，如两个正态分布的和或差，仍然是正态分布。
三、正态分布的应用3.1 在自然科学中的应用：正态分布常用于测量误差、实验数据分析等领域，如物理学、化学等。
3.2 在社会科学中的应用：正态分布被广泛应用于人口统计、心理学研究、经济学分析等领域。
3.3 在工程技术中的应用：正态分布在质量控制、可靠性分析、风险评估等方面有重要应用。
四、利用正态分布进行统计推断4.1 正态分布的参数估计：通过样本数据估计总体的均值和标准差，得到对总体的估计。
4.2 正态分布的假设检验：利用正态分布进行假设检验，判断总体参数是否符合某种假设。
4.3 正态分布的置信区间估计：通过正态分布的性质，构建总体参数的置信区间，对总体参数进行估计。
五、结语正态分布作为统计学中重要的概念，具有丰富的性质和广泛的应用。
通过深入理解正态分布的基本概念和性质，我们可以更好地应用正态分布进行数据分析和推断，为各个领域的研究和实践提供有力支持。
正态分布偏度和峰度标准误计算公式 知乎
正态分布偏度和峰度标准误计算公式1. 正态分布的基本概念在统计学中，正态分布也被称为高斯分布，它是一种非常重要且常见的概率分布。
正态分布的概率密度函数呈钟型曲线，左右对称，由两个参数μ和σ^2决定。
在正态分布中，均值为μ，方差为σ^2。
2. 偏度的概念及计算公式偏度是描述数据分布形态的统计量，用于衡量分布偏离正态分布的程度。
偏度为0表示数据分布形态与正态分布完全对称。
偏度大于0表示数据分布形态偏向于左侧，偏度小于0表示数据分布形态偏向于右侧。
计算偏度的公式为：\[ Skewness = \frac{n}{(n-1)(n-2)} \cdot \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^3}{s^3} \]其中，n为样本容量，\( x_i \)为第i个观测值，\( \overline{x} \)为样本均值，s为样本标准差。
3. 峰度的概念及计算公式峰度是描述数据分布尖峭程度的统计量，用于衡量数据分布的尖峭或平缓程度。
峰度为0表示数据分布相对于正态分布具有相同的尖峭程度。
峰度大于0表示数据分布相对于正态分布更尖峭，峰度小于0表示数据分布相对于正态分布更平缓。
计算峰度的公式为：\[ Kurtosis = \frac{n(n+1)}{(n-1)(n-2)(n-3)} \cdot \sum_{i=1}^n\frac{(x_i - \overline{x})^4}{s^4} - \frac{3(n-1)^2}{(n-2)(n-3)} \]4. 正态分布偏度和峰度标准误计算公式正态分布的偏度和峰度标准误计算公式可以帮助我们对样本偏度和峰度进行显著性检验，从而确定样本的偏度和峰度是否显著地不同于零，进而判断数据分布是否具有偏斜和尖峭特征。
偏度标准误的计算公式为：\[ SE(Skewness) = \sqrt{\frac{6n(n-1)}{(n-2)(n+1)(n+3)}} \]峰度标准误的计算公式为：\[ SE(Kurtosis) = \sqrt{\frac{24n(n-1)^2(n-2)(n-3)(n+5)(n+3)}{n(n-2)(n+3)(n+5)(n+7)(n+9)}} \]5. 个人观点和理解正态分布的偏度和峰度标准误计算公式为我们提供了在统计学研究中对数据分布形态进行检验的重要工具。
正态分布 课件
在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度 以及降雨量等，水文中的水位；
总之，正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的许多领域中。
正态分布在概率和统计中占有重要地位。
4、正态曲线的性质
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.
（μ－σ，μ＋σ]
0.6826
（μ－2σ，μ＋2σ]
0.9544
（μ－3σ，μ＋3σ]
0.9974
（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
（4）曲线与x轴之间的面积为1.
（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)
（5）若 固定, 随 值的变化而沿x轴平移, 故 称为位置参数
（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定 .σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
5、特殊区间的概率:
m-a
m+a
x=μ
若X~N ,则对于任何实数a>0,概率 为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和 而言，该面积随着 的减少而变大。这说明 越小, 落在区间 的概率越大，即X集中在 周围概率越大。
4
0.04
[0.5,1)
8
0.08
[1,1.5)
15
0.15
[1.5,2)
22
0.22
[2,2.5)
25
0.25
[2.5,3)
14
0.14
[3,3.5)
6
0.06
[3.5,4)
4
0.04
[4,4.5)
2
0.02
11
高尔顿钉板实验的 频率分布直方图
这条曲线具有 “中间高，两头低” 的特征，像这种类型的曲线, 就是（或近似地是）以下函数的图像:
总之，正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的许多领域中。
正态分布在概率和统计中占有重要地位。
4、正态曲线的性质
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.
（μ－σ，μ＋σ]
0.6826
（μ－2σ，μ＋2σ]
0.9544
（μ－3σ，μ＋3σ]
0.9974
（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
（4）曲线与x轴之间的面积为1.
（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)
（5）若 固定, 随 值的变化而沿x轴平移, 故 称为位置参数
（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定 .σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
5、特殊区间的概率:
m-a
m+a
x=μ
若X~N ,则对于任何实数a>0,概率 为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和 而言，该面积随着 的减少而变大。这说明 越小, 落在区间 的概率越大，即X集中在 周围概率越大。
4
0.04
[0.5,1)
8
0.08
[1,1.5)
15
0.15
[1.5,2)
22
0.22
[2,2.5)
25
0.25
[2.5,3)
14
0.14
[3,3.5)
6
0.06
[3.5,4)
4
0.04
[4,4.5)
2
0.02
11
高尔顿钉板实验的 频率分布直方图
这条曲线具有 “中间高，两头低” 的特征，像这种类型的曲线, 就是（或近似地是）以下函数的图像:
第3章 常用概率分布(田间试验与统计分析 四川农业大学)
P（“至少1粒种子出苗”） = P(x=1)+P(x=2)+…+P(x=6) = C610.6710.335 C62 0.6720.334 C66 0.6760.330 = 0.0157＋0.0799＋0.2162 ＋0.3292＋0.2672＋0.0905 = 0.9987
二项分布的应用条件：
在统计学上，把小概率事件在一次试验中 看成是实际不可能发生的事件称为小概率事件 实际不可能性原理，亦称为小概率原理(small probability principle)。
小概率事件实际不可能性原理是统计学上 进行假设检验（显著性检验）的基本依据。
第二节 概率分布
事件的概率表示了一次试验某一个结果发生的 可能性大小。
标准正态分布的概率密度函数及分布函数分别 记作ψ(u)和Φ(u)。
(u)
1
u2
e2
2
(u) 1
u 1u2
e 2 du
2
u～N(0，1)
对于任何一个服从正态分布N(μ,σ2)的随 机变量x，都可以通过标准化变换：
u x
将其变换为服从标准正态分布的随机变量u。
一、正态分布的定义及其特征
（一） 正态分布的定义 若连续型随机变 量 x 的概率分布密度函数为
其中μ为平均数，σ2为方差，则称随机变量 x 服从正 态分布(normal distribution) ， 记为x~N(μ, σ2)。
相应的概率分布函数为：
F(x) 1
e dx x
(
x) 2 2
对于样本是取自连续型随机变量的情况，这 条函数曲线将是光滑的。这条曲线排除了抽样和 测量的误差，完全反映了水稻行产量的变动规律。 这条曲线叫概率分布密度曲线，相应的函数叫概 率分布密度函数 。
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【定义】由于个体变异的存在，在抽样研究中产 生样本统计量和总体参数之间的差异，称为抽 样误差。
各种参数都有抽样误差，这里我们以均数为研究对象
二、标准误
x
n
计算公式
s
x
n
σ: 总体标准差 n：样本含量
x
s n
S : 样本标准差
意义
反映均数抽样误差大小的指标。样本均数的 标准差。标准误越小，说明样本均数与总体 均数越接近，样本均数的代表性越好
>P5
<P95
例：参考值范围的计算
某地调查了200名成年女子的平均血清总蛋白为 73.5(g/L)，标准差3.9 (g/L)，试估计该地成年女子血 清总蛋白95％的参考值范围。
由得95％参考值范围：
下限： －1.96s=73.5－1.96×3.9=65.9(g/L) X 上限： ＋1.96s=73.5＋1.96×3.9=81.1(g/L) X
3.均数的抽样误差： 由抽样而造成的样本均数与总体均数的 差异或各样本均数的差异。
抽样误差的定义
假如事先知道某地七岁男童的平均身高为119.41cm。为了估计 七岁男童的平均身高（总体均数），研究者从所有符合要求的七 岁男童中每次抽取100人，共计抽取了三次。
X 1 1 8 .2 1c m s = 4 .4 5 c m
Xi
~ N (0 ,1)
ni
t分布的演化
由于总体标准差往往是未知的，此时往往用样 本标准差代替总体标准差，
t
X s n
~ t
这里，ν为自由度，取值为n-1
由W.S. Gosset提出
t分布的图形
自由度分别为1、5、 ∞时的 t 分布
t分布的性质
t分布为一簇单峰分布曲线，高峰在0的位置上，说明 从正态总体中随机抽样所得样本计算出的t值接近0的 可能性较大。 t分布以0为中心，左右对称。 分布的高峰位置比 u 分布低，尾部高。 t分布与自由度有关，自由度越小，t分布的峰越低， 而两侧尾部翘得越高；自由度逐渐增大时，t分布逐渐 逼近标准正态分布；当自由度为无穷大时，t分布就是 标准正态分布。 每一自由度下的t分布曲线都有其自身分布规律。t界 值表 。
点估计的缺陷
区间估计
可信区间的定义 总体均数之可信区间的求解 可信区间的要素 正确理解可信区间的含义
区间估计
【例4.1】 随机抽取某地25名正常成年男子，测 得该样本的脉搏均数为73.6次/分，标准差为 6.5次/分，估计正常成年男子脉搏总体均数。
区间估计的实质
假设某个总体的均数为µ，需要找到两个量A 和B，使得在一个比较高的可信度下(如95%)， 区间(A,B)能包含µ。即
P(A<µ<B)=0.95
可信区间的定义
按一定的概率或可信度(1-α)用一个区间 来估计总体参数所在的范围，该范围通常 称为参数的可信区间或者置信区间 (confidence interval，CI),预先给定的概 率(1-α)称为可信度或者置信度 (confidence level),常取95%或99%。 可信区间(CL, CU )是一开区间 CL、CU 称 为可信限
参考值范围的估计方法：正态分布法
2.5% 95% 2.5%
-1.96
+1.96
参考值范围的估计方法：百分位数法
P2.5
P97.5
95%参考值范围的估计方法
方法 正态分布法 百分位数法
双侧
单侧下限
单侧上限
X 1 .9 6 s X 1 .6 4 s X 1 .6 4 s
P2.5～P97.5
是绝大多数正常人的某观察指标所在的范围。 绝大多数：90%，95%，99%等等。 用于判断正常与异常。
确定参考值范围的意义：
–
“正常人”的定义：
–
排除了影响所研究的指标的疾病和有关因素的同质 的人群。
参考值范围确定的原则
选定足够例数的同质的正常人作为研究对象 控制检测误差 判断是否分组(性别,年龄组) 单、双侧问题 选择百分界值(90%,95%) 确定可疑范围
第四节 正态分布及标准误
本次课要点：
1、熟悉正态分布、标准正态分布的概念；掌 握其主要特征及其应用； 2、掌握医学参考值的概念及其范围的制定方 法。 3、了解均数标准误的意义及计算 4、掌握总体均数可信区间的概念பைடு நூலகம்计算方法
第四节 正态分布 （normal distribution）
一、正态分布的概念 1. 图形 正态分布
标准误 抽样误差 可信区间 抽样分布
作业：
简述标准差和标准误的区别和联系 简述参考值范围与均数的可信区间的区别和联 系
谢谢 再见
99%
0.5%
0.5%
-2.58
+2.58
三、正态分布的应用
1. 2. 3. 4.
估计参考值范围； 估计总体参数的可信区间； 差异显著性检验； 质量控制。
1、估计频数分布
出生体重低于2500g为低体重儿，某市婴儿出 生体重均数3200g，标准差为s=350g。设该资 料服从正态分布，试求该地低体重儿占该地所 有出生婴儿的比例。
（1012/L）
标准误的意义
反映了样本统计量（样本均数，样本率）分布 的离散程度，体现了抽样误差的大小。 标准误越大，说明样本统计量（样本均数，样 本率）的离散程度越大，即用样本统计量来直 接估计总体参数越不可靠。反之亦然。 标准误的大小与标准差有关，在例数n一定时， 从标准差大的总体中抽样，标准误较大；而当 总体一定时，样本例数越多，标准误越小。说 明我们可以通过增加样本含量来减少抽样误差 的大小。
t界值表
单侧： P(t <=-tα,ν)= α或 P(t >=tα,ν)= α 双侧： P(t <=-tα,ν)+ P(t >=tα,ν)= α 即:P(-tα,ν<t <tα,ν)= 1-α [例] 查t界值表得t值表达式 t 0.05,10=2.228 (双侧） t 0.05,10=1.812 (单侧）
此可作为判断该地区成年女子血清总蛋白含 量正常与否的参考值。
单侧与双侧参考值范围
根据医学专业知识确定！
–
–
双侧：白细胞计数，血清总胆固醇， 单侧：上限: 转氨酶，尿铅，发汞 …… 下限: 肺活量，IQ，
第五节
一、概念
1.
均数的抽样误差及应用
误差：实测值与真值之差。
（1）系统误差：在收集资料过程中产生的误差，值恒定不变， 遵循一定的规律变化。 （2）随机误差：一类不恒定、随机、变化的误差。如抽样 误差。 2. 抽样：从总体中获得有代表性样本的过程。
例题：
例：对某地成年男性红细胞数的抽样调查中，随 机抽取了100名成年男性，调查得到其均数是
10
12
5.38× 10 12 /L ，标准差为0.44×10 12 /L，求其标准
误。 依题意，n=100；s=0.44×1012/L。 计算得到标准误为:
sX s n 0 . 44 100 0 . 044
-t
0
t
统计推断
所谓统计推断(statistical inference)，是指 如何抽样，以及如何用样本性质推断总 体特征。
–
参数估计(parameter estimation)
点估计 区间估计
–
假设检验(hypothesis testing)
参数估计之一：点估计
用样本统计量作为总体参数的估计 例如： 用样本均数作为总体均数的一个估计
P ( x t / 2 , s x x t / 2 , s x ) 1
均数的95%可信区间
样本含量不是很大时，
X
t 0 .0 2 5 , s X , X t 0 .0 2 5 , s X
样本含量较大时，t分布逼近u分布
X
u 0 .0 2 5 s X , X u 0 .0 2 5 s X
μ＝119.41cm
σ= 4.38cm
X 1 2 0 .1 8 c m s = 4 .9 0 c m
X 1 2 0 .8 1c m s = 4 .3 3 c m
抽样误差的定义
三次抽样得到了不同的结果，原因何在？
不同男童的 身高不同 每次抽到的 人几乎不同
个体变异
随机抽样
抽样误差
抽样误差的定义
计算：
–
首先计算标准离差：
u 2500 3200 350 2
–
–
查标准正态分布表: (-2)=0.0228 结果：估计低体重儿的比例为2.28%.
参考值范围(reference interval)
参考值范围又称正常值范围(normal range)。 什么是参考值范围：
– –
-2
-1
0
1
2
下列说法正确吗？
算得某95%的可信区间，则： 总体参数有95%的可能落在该区间。 有95%的总体参数在该区间内。 该区间包含95%的总体参数。 该区间有95%的可能包含总体参数。 该区间包含总体参数，可信度为95%。
概念辨析
标准差 个体变异 参考值范围 变量分布
u=(X- )/
标准正态分布
高峰位于中央（均数所在处）、两侧逐渐降低且左右对称、不与横轴 相交的光滑曲线。正态分布是一种重要的连续型分布。
各种参数都有抽样误差，这里我们以均数为研究对象
二、标准误
x
n
计算公式
s
x
n
σ: 总体标准差 n：样本含量
x
s n
S : 样本标准差
意义
反映均数抽样误差大小的指标。样本均数的 标准差。标准误越小，说明样本均数与总体 均数越接近，样本均数的代表性越好
>P5
<P95
例：参考值范围的计算
某地调查了200名成年女子的平均血清总蛋白为 73.5(g/L)，标准差3.9 (g/L)，试估计该地成年女子血 清总蛋白95％的参考值范围。
由得95％参考值范围：
下限： －1.96s=73.5－1.96×3.9=65.9(g/L) X 上限： ＋1.96s=73.5＋1.96×3.9=81.1(g/L) X
3.均数的抽样误差： 由抽样而造成的样本均数与总体均数的 差异或各样本均数的差异。
抽样误差的定义
假如事先知道某地七岁男童的平均身高为119.41cm。为了估计 七岁男童的平均身高（总体均数），研究者从所有符合要求的七 岁男童中每次抽取100人，共计抽取了三次。
X 1 1 8 .2 1c m s = 4 .4 5 c m
Xi
~ N (0 ,1)
ni
t分布的演化
由于总体标准差往往是未知的，此时往往用样 本标准差代替总体标准差，
t
X s n
~ t
这里，ν为自由度，取值为n-1
由W.S. Gosset提出
t分布的图形
自由度分别为1、5、 ∞时的 t 分布
t分布的性质
t分布为一簇单峰分布曲线，高峰在0的位置上，说明 从正态总体中随机抽样所得样本计算出的t值接近0的 可能性较大。 t分布以0为中心，左右对称。 分布的高峰位置比 u 分布低，尾部高。 t分布与自由度有关，自由度越小，t分布的峰越低， 而两侧尾部翘得越高；自由度逐渐增大时，t分布逐渐 逼近标准正态分布；当自由度为无穷大时，t分布就是 标准正态分布。 每一自由度下的t分布曲线都有其自身分布规律。t界 值表 。
点估计的缺陷
区间估计
可信区间的定义 总体均数之可信区间的求解 可信区间的要素 正确理解可信区间的含义
区间估计
【例4.1】 随机抽取某地25名正常成年男子，测 得该样本的脉搏均数为73.6次/分，标准差为 6.5次/分，估计正常成年男子脉搏总体均数。
区间估计的实质
假设某个总体的均数为µ，需要找到两个量A 和B，使得在一个比较高的可信度下(如95%)， 区间(A,B)能包含µ。即
P(A<µ<B)=0.95
可信区间的定义
按一定的概率或可信度(1-α)用一个区间 来估计总体参数所在的范围，该范围通常 称为参数的可信区间或者置信区间 (confidence interval，CI),预先给定的概 率(1-α)称为可信度或者置信度 (confidence level),常取95%或99%。 可信区间(CL, CU )是一开区间 CL、CU 称 为可信限
参考值范围的估计方法：正态分布法
2.5% 95% 2.5%
-1.96
+1.96
参考值范围的估计方法：百分位数法
P2.5
P97.5
95%参考值范围的估计方法
方法 正态分布法 百分位数法
双侧
单侧下限
单侧上限
X 1 .9 6 s X 1 .6 4 s X 1 .6 4 s
P2.5～P97.5
是绝大多数正常人的某观察指标所在的范围。 绝大多数：90%，95%，99%等等。 用于判断正常与异常。
确定参考值范围的意义：
–
“正常人”的定义：
–
排除了影响所研究的指标的疾病和有关因素的同质 的人群。
参考值范围确定的原则
选定足够例数的同质的正常人作为研究对象 控制检测误差 判断是否分组(性别,年龄组) 单、双侧问题 选择百分界值(90%,95%) 确定可疑范围
第四节 正态分布及标准误
本次课要点：
1、熟悉正态分布、标准正态分布的概念；掌 握其主要特征及其应用； 2、掌握医学参考值的概念及其范围的制定方 法。 3、了解均数标准误的意义及计算 4、掌握总体均数可信区间的概念பைடு நூலகம்计算方法
第四节 正态分布 （normal distribution）
一、正态分布的概念 1. 图形 正态分布
标准误 抽样误差 可信区间 抽样分布
作业：
简述标准差和标准误的区别和联系 简述参考值范围与均数的可信区间的区别和联 系
谢谢 再见
99%
0.5%
0.5%
-2.58
+2.58
三、正态分布的应用
1. 2. 3. 4.
估计参考值范围； 估计总体参数的可信区间； 差异显著性检验； 质量控制。
1、估计频数分布
出生体重低于2500g为低体重儿，某市婴儿出 生体重均数3200g，标准差为s=350g。设该资 料服从正态分布，试求该地低体重儿占该地所 有出生婴儿的比例。
（1012/L）
标准误的意义
反映了样本统计量（样本均数，样本率）分布 的离散程度，体现了抽样误差的大小。 标准误越大，说明样本统计量（样本均数，样 本率）的离散程度越大，即用样本统计量来直 接估计总体参数越不可靠。反之亦然。 标准误的大小与标准差有关，在例数n一定时， 从标准差大的总体中抽样，标准误较大；而当 总体一定时，样本例数越多，标准误越小。说 明我们可以通过增加样本含量来减少抽样误差 的大小。
t界值表
单侧： P(t <=-tα,ν)= α或 P(t >=tα,ν)= α 双侧： P(t <=-tα,ν)+ P(t >=tα,ν)= α 即:P(-tα,ν<t <tα,ν)= 1-α [例] 查t界值表得t值表达式 t 0.05,10=2.228 (双侧） t 0.05,10=1.812 (单侧）
此可作为判断该地区成年女子血清总蛋白含 量正常与否的参考值。
单侧与双侧参考值范围
根据医学专业知识确定！
–
–
双侧：白细胞计数，血清总胆固醇， 单侧：上限: 转氨酶，尿铅，发汞 …… 下限: 肺活量，IQ，
第五节
一、概念
1.
均数的抽样误差及应用
误差：实测值与真值之差。
（1）系统误差：在收集资料过程中产生的误差，值恒定不变， 遵循一定的规律变化。 （2）随机误差：一类不恒定、随机、变化的误差。如抽样 误差。 2. 抽样：从总体中获得有代表性样本的过程。
例题：
例：对某地成年男性红细胞数的抽样调查中，随 机抽取了100名成年男性，调查得到其均数是
10
12
5.38× 10 12 /L ，标准差为0.44×10 12 /L，求其标准
误。 依题意，n=100；s=0.44×1012/L。 计算得到标准误为:
sX s n 0 . 44 100 0 . 044
-t
0
t
统计推断
所谓统计推断(statistical inference)，是指 如何抽样，以及如何用样本性质推断总 体特征。
–
参数估计(parameter estimation)
点估计 区间估计
–
假设检验(hypothesis testing)
参数估计之一：点估计
用样本统计量作为总体参数的估计 例如： 用样本均数作为总体均数的一个估计
P ( x t / 2 , s x x t / 2 , s x ) 1
均数的95%可信区间
样本含量不是很大时，
X
t 0 .0 2 5 , s X , X t 0 .0 2 5 , s X
样本含量较大时，t分布逼近u分布
X
u 0 .0 2 5 s X , X u 0 .0 2 5 s X
μ＝119.41cm
σ= 4.38cm
X 1 2 0 .1 8 c m s = 4 .9 0 c m
X 1 2 0 .8 1c m s = 4 .3 3 c m
抽样误差的定义
三次抽样得到了不同的结果，原因何在？
不同男童的 身高不同 每次抽到的 人几乎不同
个体变异
随机抽样
抽样误差
抽样误差的定义
计算：
–
首先计算标准离差：
u 2500 3200 350 2
–
–
查标准正态分布表: (-2)=0.0228 结果：估计低体重儿的比例为2.28%.
参考值范围(reference interval)
参考值范围又称正常值范围(normal range)。 什么是参考值范围：
– –
-2
-1
0
1
2
下列说法正确吗？
算得某95%的可信区间，则： 总体参数有95%的可能落在该区间。 有95%的总体参数在该区间内。 该区间包含95%的总体参数。 该区间有95%的可能包含总体参数。 该区间包含总体参数，可信度为95%。
概念辨析
标准差 个体变异 参考值范围 变量分布
u=(X- )/
标准正态分布
高峰位于中央（均数所在处）、两侧逐渐降低且左右对称、不与横轴 相交的光滑曲线。正态分布是一种重要的连续型分布。