证 明公开课

7．1为什么要证明1．了解推理的意义，知道要判断一个数学结论是否正确，必须进行推理；(重点)2．会用实验验证、举出反例、推理等方法简单地验证一个数学结论是否正确．(难点)一、情境导入人的视觉有时候受到周围环境和自身经验的影响，会引导我们做出错误的判断．只有通过科学的方法推理论证，做出的判断才是正确的．如图，图中的四边形是正方形还是梯形？你能肯定吗？怎样来验证你的结论呢？快来学习本节知识吧！二、合作探究探究点一：数学的结论必须经过严格的论证当n＝1，2，3，4，5时，代数式n2－3n＋7的值是质数吗？你能肯定：对于所有的自然数，式子n2－3n＋7的值都是质数吗？解析：把1，2，3，4，5等自然数代入n2－3n＋7中进行验证．解：当n＝1，2，3，4，5时，n2－3n＋7的值分别是5，5，7，11，17，全是质数．而当n＝6时，n2－3n＋7＝62－18＋7＝25＝52.所以对于所有自然数，式子n2－3n＋7的值不都是质数．方法总结：判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察是不够的，必须给出严格的证明或实验验证．探究点二：检验数学结论的常用方法【类型一】实验验证先观察再验证．(1)图①中实线是直的还是弯曲的？(2)图②中两条线段a与b哪一条更长？(3)图③中的直线AB与直线CD平行吗？解析：①②用直尺量；③用三角板平推．解：观察可能得出的结论是：(1)实线是弯曲的；(2)a更长一些；(3)AB与DC不平行．而我们用科学的方法验证后发现：(1)实线是直的；(2)a与b一样长；(3)AB平行于CD.方法总结：有时视觉受周围环境的影响，往往误导我们，让我们得出错误的结论，所以仅靠经验、观察是不够的，只有通过科学的实验进行严格的推理，才能得出最准确的结论．【类型二】举出反例当n 为正整数时，代数式(n 2－5n ＋5)2的值都等于1吗？解析：对于代数式(n 2－5n ＋5)2，n 的取值为正整数，要判断(n 2－5n ＋5)2的值是否为1，可以先取值分别求出代数式的值．解：当n ＝1时，(n 2－5n ＋5)2＝12＝1；当n ＝2时，(n 2－5n ＋5)2＝(－1)2＝1；当n ＝3时，(n 2－5n ＋5)2＝(－1)2＝1；当n ＝4时，(n 2－5n ＋5)2＝12＝1；当n ＝5时，(n 2－5n ＋5)2＝52＝25≠1.所以当n 为正整数时，(n 2－5n ＋5)2不一定等于1.方法总结：验证特例是判断一个结论错误的最好方法．【类型三】推理证明如图，从点O 出发作出四条射线OA 、OB 、OC 、OD ，已知OA⊥OC，OB ⊥OD.(1)若∠BOC＝30°，求∠AOB 和∠COD 的度数；(2)若∠BOC＝54°，求∠AOB 和∠COD 的度数；(3)由(1)、(2)你发现了什么？(4)你能肯定上述的发现吗？解析：图中∠AOB 、∠COD 均与∠BOC 互余，根据角的和、差关系，可求得∠AOB 与∠COD 的度数．通过计算发现∠AOB ＝∠COD ，于是可以归纳∠AOB ＝∠COD.解：(1)∵OA⊥OC，OB ⊥OD ，∴∠AOC ＝∠BOD＝90°.∵∠BOC ＝30°，∴∠AOB ＝∠AOC －∠BOC＝90°－30°＝60°，∠COD ＝∠BOD －∠BOC＝90°－30°＝60°.(2)∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝90°－54°＝36°，∠COD ＝∠BOD－∠BOC＝90°－54°＝36°.(3)由(1)、(2)可发现：∠AOB＝∠COD.(4)∵∠AOB＋∠BOC＝∠AOC＝90°，∠BOC ＋∠COD＝∠BOD＝90°，∴∠AOB ＋∠BOC＝∠BOC＋∠COD.∴∠AOB＝∠COD.方法总结：检验数学结论具体经历的过程是：观察、度量、实验→猜想归纳→结论→推理→正确结论．三、板书设计为什么,要证明)⎩⎪⎨⎪⎧推理的意义：数学结论必须经过严格的论证检验数学结论的常用方法⎩⎪⎨⎪⎧实验验证举出反例推理证明经历观察、验证、归纳等过程，使学生对由这些方法得到的结论产生怀疑，以此激发学生的好奇心，从而认识证明的必要性，培养学生的推理意识，了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理论证等．7.3 平行线的判定第一环节：情景引入活动内容：回顾两直线平行的判定方法师：前面我们探索过直线平行的条件．大家来想一想：两条直线在什么情况下互相平行呢？生1：在同一平面内，不相交的两条直线就叫做平行线．生2：两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行．生3：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行．师：很好．这些判定方法都是我们经过观察、操作、推理、交流等活动得到的．上节课我们谈到了要证实一个命题是真命题．除公理、定义外，其他真命题都需要通过推理的方法证实．我们知道：“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”是定义．“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”是公理．那其他的三个真命题如何证实呢？这节课我们就来探讨．活动目的：回顾平行线的判定方法，为下一步顺利地引出新课埋下伏笔．教学效果：由于平行线的判定方法是学生比较熟悉的知识，教师通过对话的形式，可以使学生很快地回忆起这些知识．第二环节：探索平行线判定方法的证明活动内容：①证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．师：这是一个文字证明题，需要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言．所以根据题意，可以把这个文字证明题转化为下列形式：如图，已知，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补，求证：a ∥b．如何证明这个题呢？我们来分析分析．师生分析：要证明直线a与b平行，可以想到应用平行线的判定公理来证明．这时从图中可以知道：∠1与∠3是同位角，所以只需证明∠1=∠3，则a与b即平行．因为从图中可知∠2与∠3组成一个平角，即∠2+∠3=180°,所以：∠3=180°－∠2．又因为已知条件中有∠2与∠1互补，即：∠2+∠1=180°,所以∠1=180°－∠2,因此由等量代换可以知道：∠1=∠3．师：好．下面我们来书写推理过程，大家口述，老师来书写．（在书写的同时说明：符号“∵”读作“因为”，“∴”读作“所以”）证明：∵∠1与∠2互补（已知）∴∠1+∠2=180°（互补定义）∴∠1=180°－∠2（等式的性质）∵∠3+∠2=180°（平角定义）∴∠3=180°－∠2（等式的性质）∴∠1=∠3（等量代换）∴a∥b（同位角相等，两直线平行）这样我们经过推理的过程证明了一个命题是真命题，我们把这个真命题称为：直线平行的判定定理．这一定理可简单地写成：同旁内角互补，两直线平行．注意：（1）已给的公理，定义和已经证明的定理以后都可以作为依据．用来证明新定理．（2）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理，已经学过的定理．在初学证明时，要求把根据写在每一步推理后面的括号内．②证明：内错角相等,两直线平行．师：小明用下面的方法作出了平行线，你认为他的作法对吗？为什么？（见相关动画）生：我认为他的作法对．他的作法可用上图来表示：∠CFE=45°,∠BEF=45°．因为∠BEF 与∠FEA组成一个平角，所以∠FEA=180°－∠BEF=180°－45°=135°．而∠CFE与∠FEA是同旁内角．且这两个角的和为180°，因此可知：CD∥AB．师：很好．从图中可知：∠CFE与∠FEB是内错角．因此可知：“内错角相等，两直线平行”是真命题．下面我们来用规范的语言书写这个真命题的证明过程．师生分析：已知，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角，且∠1=∠2．求证：a∥b证明：∵∠1=∠2（已知）∠1+∠3=180°（平角定义）∴∠2+∠3=180°（等量代换）∴∠2与∠3互补（互补的定义）∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）．这样我们就又得到了直线平行的另一个判定定理：内错角相等，两直线平行．③借助“同位角相等，两直线平行”这一公理，你还能证明哪些熟悉的结论呢？生1：已知，如图，直线a⊥c,b⊥c．求证：a∥b．证明：∵a⊥c,b⊥c（已知）∴∠1=90°∠2=90°（垂直的定义）∴∠1=∠2（等量代换）∴b∥a（同位角相等，两直线平行）生2：由此可以得到：“如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行”的结论．师：同学们讨论得真棒．下面我们通过练习来熟悉掌握直线平行的判定定理．活动目的：通过对学生熟悉的平行线判定的证明，使学生掌握平行线判定公理推导出的另两个判定定理，并逐步掌握规范的推理格式．教学效果：由于学生有了以前学习过的相关知识，对几何证明题的格式有所了解，今天的学习只不过是将原来的零散的知识点以及学生片面的认识进行归纳，学生的认识更提高一步．第三环节：反馈练习活动内容：课本第231页的随堂练习第一题活动目的：巩固本节课所学知识，让教师能对学生的状况进行分析，以便调整前进．教学效果：由于此题只是简单地运用到平行线的判定的三个定理（公理），因此，学生都能很快完成此题．第四环节：学生反思与课堂小结活动内容：①这节课我们主要探讨了平行线的判定定理的证明．同学们来归纳一下完成下表：②由角的大小关系来证两直线平行的方法，再一次体现了“数”与“形”的关系；而应用这些公理、定理时，必须能在图形中准确地识别出有关的角．③注意：证明语言的规范化．推理过程要有依据．活动目的：通过对平行线的判定定理的归纳，使学生的认识有进一步的升华，再一次体会证明格式的严谨，体会到数学的严密性．教学效果：学生充分认识到证明步骤的严密性，对平行线判定的三个定理有了更进一步的认识．课后作业：课本第232页习题6.4第1，2，3题思考题：课本第233页习题6.4第4题（给学有余力的同学做）教学反思平行线是众多平面图形与空间图形的基本构成要素之一，它主要借助角来研究两条直线之间的位置关系，即通过两条直线与第三条直线相交所成的角来判定两条直线平行与否，在教学中，要紧紧围绕这些角（同位角、内错角、同旁内角）与平行线之间的关系展开。

校级公开课证明在教育的长河中，公开课犹如一颗颗璀璨的明珠，闪耀着教师的智慧与风采。

校级公开课作为学校教学交流与提升的重要平台，不仅是教师展示教学能力的舞台，更是促进教学质量提升的有力手段。

而一份校级公开课证明，则是对教师在这一舞台上精彩表现的有力认可。

＿____老师于具体时间在校内举行了一堂题为公开课主题的公开课。

此次公开课吸引了众多教师前来观摩，课堂气氛热烈，教学效果显著。

公开课的准备阶段，＿____老师付出了大量的心血。

他/她深入研究教材，结合学生的实际情况和认知水平，精心设计教学方案。

为了使教学内容更加生动有趣，＿____老师还搜集了丰富的教学资源，包括图片、视频、案例等，力求让学生在轻松愉悦的氛围中掌握知识。

在课堂教学中，＿____老师以其独特的教学风格和扎实的教学基本功，展现出了高超的教学水平。

他/她的教学语言简洁明了，生动形象，能够有效地引导学生思考问题。

例如，在讲解具体知识点时，＿____老师通过巧妙的比喻和举例，让原本抽象难懂的知识变得通俗易懂，学生们很快就理解并掌握了。

同时，＿____老师注重与学生的互动交流，充分发挥学生的主体作用。

他/她通过提问、小组讨论、角色扮演等多种方式，激发学生的学习兴趣，培养学生的合作精神和创新能力。

在课堂上，学生们积极参与，思维活跃，发言踊跃，展现出了良好的学习风貌。

此外，＿____老师还善于运用多媒体教学手段，将现代信息技术与教学内容有机结合起来。

他/她制作的精美课件，不仅内容丰富，而且画面清晰，音效良好，为教学增色不少。

例如，在展示具体内容时，通过多媒体的展示，让学生更加直观地感受到了具体效果，增强了教学的感染力和吸引力。

在教学过程中，＿____老师还注重对学生的学习方法和学习习惯的培养。

他/她教导学生如何做好笔记，如何进行归纳总结，如何进行自主学习等。

这些方法和习惯的培养，将对学生今后的学习和发展产生深远的影响。

公开课结束后，学校组织了评课活动。

月是故乡明公开课教案第一章：课程导入教学目标：1. 引发学生对故乡的兴趣和思考。

2. 引导学生分享自己对故乡的记忆和情感。

教学内容：1. 引导学生回顾自己的故乡，思考故乡的特点和魅力。

2. 邀请学生分享自己对故乡的记忆和情感，鼓励表达内心的感受。

教学活动：1. 教师以自身的故乡为例，介绍故乡的特点和魅力，引发学生的兴趣。

2. 学生自由发言，分享自己对故乡的记忆和情感，其他学生倾听并给予反馈。

教学评价：1. 观察学生对故乡的兴趣和参与度。

2. 评估学生对故乡记忆和情感的表达和分享。

第二章：故乡的地理与环境教学目标：1. 让学生了解故乡的地理与环境特点。

2. 培养学生对故乡环境的关注和保护意识。

教学内容：1. 引导学生了解故乡的地理位置、气候、地形等地理特点。

2. 引导学生关注故乡环境的变化和保护。

教学活动：1. 教师以图片或地图等形式展示故乡的地理环境，引导学生观察和描述。

2. 学生分组讨论，研究故乡的环境问题，并提出保护建议。

教学评价：1. 观察学生对故乡地理环境的了解和描述。

2. 评估学生对故乡环境保护意识和建议的提出。

第三章：故乡的文化与传统教学目标：1. 让学生了解故乡的文化与传统。

2. 培养学生对故乡文化的认同和尊重。

教学内容：1. 引导学生了解故乡的语言、风俗、节日等文化特点。

2. 引导学生参与传统活动，体验故乡文化的魅力。

教学活动：1. 教师介绍故乡的语言、风俗、节日等文化特点，引导学生观察和描述。

2. 学生分组进行传统活动，如民间舞蹈、传统游戏等，体验故乡文化的魅力。

教学评价：1. 观察学生对故乡文化的了解和描述。

2. 评估学生对故乡文化的认同和尊重的表达。

第四章：故乡的历史与传说教学目标：1. 让学生了解故乡的历史与传说。

2. 培养学生对故乡历史的兴趣和探索精神。

教学内容：1. 引导学生了解故乡的历史背景、重要事件和传说故事。

2. 引导学生进行历史探究活动，发现故乡的历史痕迹。

教学活动：1. 教师介绍故乡的历史背景、重要事件和传说故事，引导学生思考和讨论。

校级公开课证明书恭敬的XXX校领导：我是XXX学院的XXX教师，我在此向您申请校级公开课证明书。

校级公开课是学校为了提高教学质量、促进教师专业发展而设立的一项重要制度。

本次公开课的主题是XXX（根据实际情况填写），旨在分享我在教学实践中的经验和教学方法，以及对教育教学的思量和研究成果。

一、公开课的基本信息1. 课程名称：根据实际情况填写2. 课程时间：根据实际情况填写3. 课程地点：根据实际情况填写4. 授课教师：XXX（填写授课教师姓名）5. 观摩人员：XXX（填写观摩人员姓名，可以包括校内教师、学生、家长等）二、公开课的教学目标本次公开课的教学目标是：1. 知识目标：根据教学内容，明确学生需要掌握的知识点和概念。

2. 技能目标：培养学生的分析、解决问题和合作能力等实践技能。

3. 情感目标：通过教学活动，培养学生的积极情感和价值观。

三、公开课的教学内容和教学设计1. 教学内容：根据教学目标，详细描述本次公开课的教学内容，包括教材、教学资源等。

2. 教学设计：根据教学内容和教学目标，详细描述教学活动的设计、教学方法和教学手段。

包括引入活动、知识点讲解、示范演示、小组合作、讨论互动等。

四、公开课的教学评价1. 评价方式：根据教学目标，确定适合的评价方式，如课堂观察、学生作品、小组讨论等。

2. 评价标准：明确评价标准，根据教学目标和教学内容，制定合理的评价标准，以便对学生的学习情况进行客观评价。

五、公开课的教学反思和改进措施1. 教学反思：描述本次公开课的教学效果和存在的问题，分析原因，并提出改进意见。

2. 改进措施：根据教学反思，提出具体的改进措施，包括教学方法、教学资源、教学环境等方面的改进。

六、公开课的参考资料附上本次公开课的参考资料，包括教案、教学课件、学生作品等。

七、其他附件附上相关的证明材料，如教师资格证、教学培训证书等。

以上是我申请校级公开课证明书的详细内容，请您审核并批准。

我将严格按照教学设计和教学目标进行公开课的授课，努力展示我在教学实践中的教学能力和教学成果。

校级公开课证明书引言概述：校级公开课证明书是一种对于教师教学水平和教学成果的认可和肯定，它不仅是教师个人的荣誉，也是学校教育质量的重要证明。

本文将从四个方面详细阐述校级公开课证明书的意义和作用。

一、提升教师教学能力1.1 增强教师的教学自信心：校级公开课证明书是对教师教学能力的认可，它能够增强教师的自信心，使其更加积极主动地投入到教学工作中。

1.2 激发教师的创新意识：通过参与校级公开课评选，教师会不断探索创新的教学方法和教学手段，提升自己的教学水平，进而激发教师的创新意识。

1.3 提高教师的专业素养：校级公开课评选过程中，教师需要深入研究教学内容，提高自己的专业素养，从而提高教学质量。

二、促进教师之间的交流与合作2.1 拓宽教师的交流渠道：校级公开课评选活动为教师提供了一个交流的平台，教师可以通过观摩他人的公开课，学习借鉴他人的教学经验，拓宽自己的教学思路。

2.2 增进教师之间的合作：在校级公开课评选活动中，教师之间可以相互交流、互相学习，形成合作共享的氛围，促进教师之间的合作与互助。

2.3 建立教师专业发展网络：校级公开课评选活动可以帮助教师建立起一个专业发展的网络，通过分享教学经验和资源，共同提高教学水平。

三、提升学校教育质量3.1 树立学校的良好形象：校级公开课证明书是学校教育质量的重要证明，它能够树立学校的良好形象，提升学校的声誉和知名度。

3.2 推动学校教育改革：校级公开课评选活动可以促使学校教师积极探索创新的教学方法和手段，推动学校教育改革，提高教学质量。

3.3 增加学生和家长的信任度：校级公开课证明书是对教师教学水平和教学成果的认可，它能够增加学生和家长对学校教育的信任度，使他们更加满意于学校的教学质量。

四、激励教师的进一步发展4.1 为教师的职称晋升提供支持：校级公开课证明书是教师教学能力的重要证明，它可以为教师的职称晋升提供有力支持。

4.2 提供继续教育的机会：校级公开课评选活动可以帮助教师不断提升自己的教学水平，提供继续教育的机会，使教师能够不断发展和成长。

校级公开课证明尊敬的各位领导、老师：大家好！为了提升教育教学质量，促进教师之间的交流与学习，我校积极组织开展了公开课活动。

本次公开课活动涵盖了各个学科，众多优秀教师参与其中，展现了出色的教学风采和专业素养。

在此，我们将对教师姓名老师的公开课进行详细的证明和评价。

教师姓名老师所讲授的公开课课程为课程名称，授课时间为具体时间，授课地点在教室地点。

此次公开课吸引了来自不同年级和学科的教师前来观摩学习。

在课程准备阶段，教师姓名老师精心设计教学方案，充分考虑了学生的学习特点和课程目标。

不仅深入研究了教材内容，还广泛查阅了相关的教学资料和前沿研究成果，力求为学生呈现丰富、准确且具有启发性的知识。

课程开始，教师姓名老师通过一个生动有趣的案例导入，迅速吸引了学生的注意力，激发了他们的学习兴趣。

在整个教学过程中，教师姓名老师始终以学生为中心，注重引导学生思考和探究。

通过巧妙的提问和小组讨论等方式，鼓励学生积极参与课堂互动，充分发挥了学生的主体作用。

在知识讲解环节，教师姓名老师条理清晰，语言简洁明了，将复杂的知识点讲解得通俗易懂。

对于重点和难点内容，教师姓名老师更是不厌其烦地进行反复强调和举例说明，确保学生能够理解和掌握。

同时，教师姓名老师还注重知识的拓展和延伸，引导学生将所学知识与实际生活相结合，培养了学生的应用能力和创新思维。

在课堂管理方面，教师姓名老师也表现出色。

始终关注着学生的学习状态和情绪变化，及时给予鼓励和指导。

对于个别学生的违纪行为，教师姓名老师能够巧妙地进行处理，既维护了课堂秩序，又保护了学生的自尊心。

在教学方法上，教师姓名老师灵活运用了多种教学手段，如多媒体教学、实验演示、模型展示等，使教学内容更加直观形象，易于学生理解和接受。

此外，教师姓名老师还善于运用现代教育技术，如在线学习平台、教学软件等，丰富了教学资源，提高了教学效率。

在课程结束时，教师姓名老师对本节课的内容进行了总结和回顾，帮助学生梳理了知识脉络，加深了记忆。