最新-高中数学《幂函数》同步练习1 湘教版必修1 精品

3 42.4 幂函数一、选择题:1. 下列函数中是幂函数的是 （ ） A. 23y x = B. 1()2x y =C. y x =1y x =+2. 函数2-=x y 在区间]2,21[上的最大值是 （ ） A ．41B ．1-C ．4D ．4- 3. 设有四个幂函数①13y x =, ②2y x =, ③13y x -=, ④2y x -=, 其中y 随x 的增大而增大的函数有（ ）A. 0个B.1个C.2个D.3个 4.若a 21＜a21－，则a 的取值范围是 （ ）A ．a ≥1B ．a ＞0C ．1＞a ＞0D ．1≥a ≥0 5. 下列命题中正确的是 （ ） A ．当0=α时函数αx y =的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点C ．若幂函数αx y =是奇函数，则αx y =是定义域上的增函数D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限6. 图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象，已知n 取±2，±21四个值，则相应于曲线c 1，c 2，c 3，c 4的n依次是 ( )A.－2，－21,21，2B.2，21,21-，－2C.－21，－2，2，21D.21，2，－2，－21二、填空题:7. 已知幂函数)(x f y =的图象过点)2,2(，则()f x = ． 8. 942--=a ax y 是偶函数，且在),0(+∞是减函数，则正整数a 的值是 .9. 幂函数),*,,,()1(互质n m N k n m x y mnk∈=-图象在一、二象限，不过原点，则n m k ,,的奇偶性为 .10. 设a ，b ，c 都是正数，且3a ＝4b ＝6c ，则a ，b ，c 间的关系式可以为 . 二、解答题:11. 下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.1231233322123456.y x y x y x y x y x y x ---======（）；（）；（）；（）；（）；（）（A ） （B ） （C ） （D ） （E ） （F ）12. 利用幂函数图象，叙述作函数53(2)1y x -=--的图象的变换步骤.13. 利用幂函数图象，叙述作函数222221x x y x x ++=++的图象的变换步骤.14. 设函数f （x ）＝x 3，（1）求它的反函数；（2）分别求出f －1（x ）＝f （x ），f －1（x ）＞f （x ），f －1（x ）＜f （x ）的实数x 的范围．15. 已知函数y ＝42215x x －－．（1）求函数的定义域、值域；（2）判断函数的奇偶性；（3）求函数的单调区间．拓展创新——练能力16. 对于幂函数54)(x x f =，若210x x <<，则)2(21x x f +，2)()(21x f x f +大小关系是（ ） A ．)2(21x x f +>2)()(21x f x f + B ． )2(21x x f +<2)()(21x f x f + C ． )2(21x x f +=2)()(21x f x f + D ． 无法确定 17.在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率R 与管道半径r 的四次方成正比．（1）写出函数解析式；（2）若气体在半径为3cm 的管道中，流量速率为400cm 3/s ，求该气体通过半径为r 的管道时，其流量速率R 的表达式；（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm ，计算该气体的流量速率．参考答案:1. C2. C3. B4. C5. D6. B7. 设幂函数)(x f y =为ay x = , 代入)2,2(可得12a =, 故函数的解析式12()f x x = .8. 5 9. k m ,为奇数，n 是偶数10. 令3a ＝4b ＝6c ＝k 可得346log ,log ,log a k b k c k ===,即111log 3,log 4,log 6k k k a b c===,而2log 3log 4log 362log 6k k k k +==,∴b 1a 2c 2+=11. 解析：六个幂函数的定义域，奇偶性，单调性如下：（1）323x x y ==定义域[0，+∞)，既不是奇函数也不是偶函数，在[0，+∞)是增函数；132[0,)y x R ==+∞（），是奇函数，在是增函数； 233[0,)y x R ==+∞（），是偶函数，在是增函数；2214(0,)y x R UR x -+-==+∞（）定义域是偶函数，在是减函数；3315(0,)y x R UR x-+-==+∞（）定义域是奇函数，在是减函数；126(0,)y x R-+==+∞（）既不是奇函数也不是偶函数，在上是减函数. 通过上面分析，可以得出（1）↔（A ），（2）↔（F ），（3）↔（E ），（4）↔（C ），（5）↔（D ），（6）↔（B ）.12. 53(2)1y x -=--的图象可以由53y x -=图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位而得到.13.解析：由 22222211112121(1)x x y x x x x x ++==+=++++++ 可得只需把函数21y x =的图象向左平移1个单位，得21(1)y x =+的图象,再向上平移1个单位可以得到函数122222++++=x x x x y 的图象.14. 解析：（1）由y ＝x 3两边同时开三次方得x ＝3y ，∴f －1（x ）＝x 31．（2）∵函数f （x ）＝x 3和f －1（x ）＝x 31的图象都经过点（0，0）和（1，1）． ∴f －1（x ）＝f （x ）时，x ＝±1及0；在同一个坐标系中画出两个函数图象，由图可知f －1（x ）＞f （x ）时，x ＜－1或0＜x ＜1；f －1（x ）＜f （x ）时，x ＞1或－1＜x ＜0．15. 解析：这是复合函数问题，利用换元法令t ＝15－2x －x 2，则y ＝4t ，（1）由15－2x －x 2≥0得函数的定义域为［－5，3］， ∴t ＝16－（x －1）2∈［0，16］．∴函数的值域为［0，2］． （2）∵函数的定义域为［－5，3］且关于原点不对称， ∴函数y ＝42215x x －－既不是奇函数也不是偶函数． （3）∵函数的定义域为［－5，3］，对称轴为x ＝1，∴x ∈［－5，1］时，t 随x 的增大而增大；x ∈（1，3）时，t 随x 的增大而减小． 又∵函数y ＝4t 在t ∈［0，16］时，y 随t 的增大而增大，∴函数y ＝42215x x －－的单调增区间为［－5，1］，单调减区间为（1，3］． 16. 由54)(x x f =在第一象限的图象可得其函数图象为增函数,由121202x x x x +<<< , 且12120()()()2x xf x f f x +<<<, 而函数54)(x x f =在第一象限的图象上凸,可得)2(21x x f +>2)()(21x f x f + ,故选A . 17.解析: (1) 由题意可得4R kr = (k >0) ,(2) 当3,400r R ==, 时440081R k r == , 则得流量速率R 的表达式为440081R r =, (3) 当5r =时, 该气体的流量速率为440025000053086.48181R =⨯=≈ .。

第4章 幂函数、指数函数和对数函数4.1 实数指数幂和幂函数4.1.1 有理数指数幂 4.1.2 无理数指数幂必备知识基础练1.(天津滨海新区高一期中)下列运算正确的是( ) A.a 2·a 3=a 6 B.(3a)3=9a 3 C.√a 88=aD.(-2a 2)3=-8a 62.若a<0,则化简a √-1a得( ) A.-√-a B.√-a C.-√aD.√a3.(福建福州三中高一期中)已知x 2+x -2=3,则x+x -1的值为( ) A.√5B.1C.±√5D.±14.(112)0-(1-0.5-2)÷(278)23的值为( )A.-13B.13C.43D.735.若√4a 2-4a +1=1-2a,则a 的取值范围是 .关键能力提升练6.(河北张家口张垣联盟高一联考)将根式√a √a √aa(a>0)化简为指数式是( ) A.a -18B.a 18C.a -78D.a -347.已知x 2+x -2=2√2,且x>1,则x 2-x -2的值为( ) A.2或-2 B.-2 C.√6D.28.(多选题)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ) A.-√x =(-x )12B.√y 26=y 12(y<0)C.x-13=√x3(x≠0)D.[√(-x )23]34=x 12(x>0)9.若a>0,b>0,则化简√b 3a√a2b6的结果为 .10.化简:(2-a)[(a-2)-2(-a )12]12= . 11.化简求值:(1)0.125-13−(98)0+[(-2)2]32+(√2×√33)6;(2)(5116)0.5+√(-10)2-2√3×√276-4π0÷(34)-1.学科素养创新练12.(黑龙江大庆实验中学高一期末)已知实数x 满足3×16x +2×81x =5×36x ,则x 的值为 . 答案：1.D a 2·a 3=a 5,故A 错误;(3a)3=27a 3,故B 错误;√a 88=|a|={a ,a ≥0,-a ,a <0,故C错误;(-2a 2)3=-8a 6,故D 正确.故选D.2.A ∵a<0,∴a √-1a=-√a 2×√-1a=-√a 2(-1a)=-√-a .故选A.3.C 由(x+x -1)2=x 2+x -2+2=5,可得x+x -1=±√5.故选C.4.D 原式=1-(1-22)÷(32)2=1-(-3)×49=73.故选D.5.(-∞,12] ∵√4a 2-4a +1=√(2a -1)2=|2a-1|=1-2a,∴2a-1≤0,即a≤12.6.A√a √a √aa=a 12+14+18-1=a -18,故选A.7.D (方法1)∵x>1,∴x 2>1. 由x -2+x 2=2√2,可得x 2=√2+1, ∴x 2-x -2=√2+1-√2+1=√2+1-(√2-1)=2.(方法2)令x 2-x -2=t,① ∵x -2+x 2=2√2,②∴由①2-②2,得t 2=4.∵x>1,∴x 2>x -2, ∴t>0,于是t=2,即x 2-x -2=2,故选D. 8.CD 对于选项A,因为-√x =-x 12(x≥0), 而(-x )12=√-x (x≤0),所以A 错误;对于选项B,因为√y 26=-y 13(y<0),所以B 错误; 对于选项C,x-13=√x3(x≠0),所以C 正确;对于选项D,[√(-x )23]34=x 2×13×34=x 12(x>0),所以D 正确.9.1 √b 3a√a 2b 6=√b 3a(a 2b 6)12=√b 3a ab 3=1. 10.(-a )14由已知条件知a≤0, 则(a-2)-2=(2-a)-2,所以原式=(2-a)[(2-a)-2·(-a )12]12=(2-a)(2-a)-1(-a )14=(-a )14.11.解(1)根据指数幂与根式的运算,化简可得0.125-13−(98)0+[(-2)2]32+(√2×√33)6=[(2)-3]-13−(98)0+(22)32+(212×313)6=2-1+8+(212)6(313)6=2-1+8+8×9 =81.(2)由分数指数幂及根式的运算,化简可得(5116)0.5+√(-10)2-2√3×√276-4π0÷(34)-1=[(32)4]0.5+10-2√3×(33)16-4×34=94+10-2√3×√3-3 =94+10-6-3=134.12.0或12因为3×16x +2×81x =5×36x ,所以3×24x +2×34x =5×(2×3)2x ,则3×24x +2×34x =5×22x ×32x ,所以3×24x +2×34x -5×22x ×32x =0,即(3×22x -2×32x )(22x -32x )=0,所以3×22x -2×32x =0,或22x -32x =0,解得x=12或x=0.。

【基础】4.1.3幂函数优质练习一．单项选择1．已知，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．已知定义在上的函数满足，且当时，，若，，，则（ ） A ． B ． C ．D ．3．已知，则的大小关系正确的为（ ）A ．B ．C ．D ． 4．下列结论正确的是（ ） A ．若，则B ．若，则C ．若，，则D ．若，，，则5．幂函数经过点，则是（ ）A ．偶函数，且在上是增函数B ．偶函数，且在上是减函数C ．奇函数，且在上是增函数D ．奇函数，且在上是减函数6．如图为函数的部分图象，则下列判断可能正确的是（ ）1122(52)(1)m m -<-m 2,52,2⎛⎤ ⎥⎝⎦(),2-∞[)1,2R ()f x ()()f x f x -=0x <()31x f x =+432a =254b =1325c =()()()f a f b f c <<()()()f b f c f a <<()()()f b f a f c <<()()()f c f a f b <<111,,,a b a M a N a P b a b <<===,,M N P N M P <<P M N <<M P N <<P N M <<0a b >>ac bc >0a b <<3311a b ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0a b >>0c >a c ab c b +>+0a >0b >1a b +=()2log 2ab >-()y f x =()27,3()f x ()0,∞+()0,∞+()0,∞+()0,∞+()()20,,ln a x b y x a b x +=≠∈ZA ．，B ．，C ．，D ．， 7．已知幂函数，，对任意，，且，都有，则，，的大小关系是（ ） A ． B ． C ．D ．8．函数，其中，，为奇数，其图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知幂函数的图象经过点，则的值等于（ ） A ．16 B ． C ．2D ．1a =1b =-1a =1b =2a =1b =-2a =1b =()()22644m m f x m m x--=-+()m R ∈1x ()20,x ∈+∞12x x ≠()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦()3f -()1f -()f π()()()π31f f f <-<-()()()13πf f f -<-<()()()31πf f f -<-<()()()3π1f f f -<<-()n xf x x a =1a >1n >n ()fx ⎛ ⎝⎭()4f 1161210．已知幂函数在上单调递减，则实数m 的值为（ ）A ．B ．C ．1D ．或111．已知，，，则（ ） A ． B ． C ． D ．12．已知是幂函数，则（ ）A ．0B ．1C ．2D ．-213．已知a ＝0.50. 8，b ＝0.80. 5，c ＝0.80. 8，则（ ） A ．c<b<a B ．c<a<b C ．a<b<c D ．a<c<b 14．已知幂函数在上是减函数，则（ ）A ．B ．C ．或D ．或15．若幂函数的图象过点，则函数的递减区间为（ ） A ． B ．和 C ．D ．()221()1m f x m m x +=+-()0,∞+2-1-2-0.40.3a =0.40.4b =0.30.3c -=a c b <<b a c <<b c a <<a b c <<()()1mf x m x =-m =()()22231mmf x m m x +=--⋅()0,∞+m =21-21-2-1()fx 12⎫⎪⎪⎝⎭()()e x f x g x =()0,2(),0-∞()2,+∞()2,0-()(),02,-∞+∞参考答案与试题解析1．【答案】B【解析】分析：由幂函数的性质，可得，解不等式组可得答案 详解：解：因为，所以， 解得， 故选：B 2．【答案】D【解析】分析：根据指数与幂函数的单调性，得到；再由题中条件，得到函数在上单调递减，进而可得出结果.详解：因为，则； 因为定义在上的函数满足，所以为偶函数；又当时，显然单调递增，所以当时，单调递减；因此.故选：D.3．【答案】B【解析】分析：根据指数函数与幂函数的单调性即可求解.详解：解：，，指数函数在上单调递减，，即，又幂函数在上单调递增，，即，，故选：B.0521m m ≤-<-1122(52)(1)m m -<-0521m m ≤-<-522m <≤1b a c <<<()f x ()0,∞+24415533142225<=<==1b a c <<<R ()f x ()()f x f x -=()f x 0x <()31x f x =+0x >()f x ()()()f b f a f c >>111a b <<01b a ∴<<<∴xy a =R b a a a ∴>N M >ay x =()0,∞+a a a b ∴>M P >N M P ∴>>4．【答案】B【解析】分析：法一：A ．B 项，结合不等式性质可知；C 项，将分式不等式转化为整式不等式分析；D 项，利用基本不等式； 法二：特殊值排除法. 详解：法一：对A ，当或时，，A 错误；对B ，由，得，由是增函数，得，B 正确；对C ，，，又，两边同除以得，，C 错误；对D ，由，，，得，所以，D 错误. 法二：特殊值排除法，若取，则，A 错误；若取，，，则，C 错误； 若取，则，D 错误．故选：B ． 【点睛】（1）解决比较大小类题目常用方法有：不等式性质直接应用．作差（商）比较法．函数单调性法．中间量法．等价转化法等. （2）几个常用不等式结论：；；若，，则；若，，则（真分数不等式性质）；若，，则. 5．【答案】C【解析】分析：根据幂函数的定义，求得，再由幂函数的图象与性质，即可0c0c <ac bc ≤0a b <<110b a <<3y x =()x R ∈3311a b ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()0ab bc ab ac bc ac c b a +-+=-=-<()()b a c a b c ∴+<+()0b b c +>()b b c +a c ab c b +<+0a >0b >1a b +=2124a b ab +⎛⎫≤=⎪⎝⎭()2log 2ab ≤-0c0ac bc ==3a =2b =1c =4332<12a b ==()2log 2ab =-22a b a b >⇔>33a b a b >⇔>a b >0ab >11a b <0a b >>0c >b c ba c a +>+0a >0b>2222ab a b a b +≤≤≤+()13f x x=求解，得到答案.详解：依题意，设，将点代入上式，则，得到，即，所以该函数为奇函数，且在上是增函数，故选：C. 6．【答案】D【解析】分析：由题意结合函数图象的特征及选项中．的值，逐项排除即可得解. 详解：由题意该图象中虚线为，当时，由可得，再由可得，所以，故排除A ．B ；当．时，由可得，再由可得，所以，故排除C.故选：D.【点睛】本题考查了由函数图象确定参数的取值，考查了逻辑推理能力，属于基础题. 7．【答案】A【解析】分析：由幂函数的定义即可求解析式，进而可知其奇偶性，并结合单调性即可比较，，的大小.详解：对任意，，且，都有，即在上单调减，又是幂函数，知：，解得或（舍去）， ∴，是偶函数，∴，，而，即，()f x xα=()27,3327α=13α=()13f x x=()0,∞+a b 1x =±1x <-21x >()2ln 0x >()20ln a x by x +=>0a x b +>1a ≠11x -<<2a =201x <<()2ln 0x <()20ln a x by x +=<20x b +>1b ≠-()f x ()3f -()1f -()f π1x ()20,x ∈+∞12x x ≠()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦()f x 0,()f x 2244160m m m m ⎧-+=⎪⎨--≠⎪⎩1m =3m =6()f x x -=()f x (1)(1)f f -=(3)(3)f f -=(1)(3)()f f f π>>(1)(3)()f f f π->->故选：A 8．【答案】B 【解析】分析：分析在．上的函数值符号，及该函数在上的单调性，结合排除法可得出合适的选项.详解：对任意，，由于，为奇数，当时，，此时，当时，，此时，排除AC 选项；当时，任取．且，则，，所以， 所以，函数在上为增函数，排除D 选项.故选：B. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象. 9．【答案】D【解析】分析：设幂函数，再将代入，求出函数的解析式，即可得答案； 详解：设幂函数，将点代入得：，所以， 故．故选：D. 【点睛】本题考查求幂函数的函数值，考查运算求解能力，属于基础题.10．【答案】A 【解析】由于为幂函数，所以或；又函数在()f x ()0,∞+(),0-∞()0,∞+x ∈R 0x a >1n >n 0x <0n x <()0f x <0x >0n x >()0f x >0x >1x ()20,x ∈+∞12x x >120x x a a >>120n n x x >>()()12f x f x >()f x ()0,∞+()f x x α=⎛ ⎝⎭()f x x α=2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭22a =12a =-()142=f ()f x 2112m m m +-=⇔=-1m =()f x上单调递减，故当时符合条件，故选：A11．【答案】D【解析】分析：利用指数函数的单调性比较．与的大小关系，利用幂函数的单调性比较．与的大小关系，由此可得出结论.详解：指数函数为上的减函数，则，即， 幂函数在上为增函数，则，即. 因此，.故选：D.12．【答案】C【解析】分析：根据幂函数的概念可得结果. 详解：因为是幂函数，所以，即.故选：C 【点睛】关键点点睛：掌握幂函数的概念是解题关键. 13．【答案】D【解析】分析：利用指数函数．幂函数的单调性即可比较大小.详解：因为指数函数为减函数，且，所以，即；因为幂函数为增函数，且， 所以，即，所以， 故选：D 14．【答案】B【解析】分析：根据函数是幂函数，由求得m ，然后再由在上是减函数确定即可.详解：因为函数是幂函数，所以，解得或 ，()0,∞+2m =-a c 1a b 10.3x y =R 0.400.30.310.30.3-<=<1a c <<0.4y x =()0,∞+0.40.40.40.30.411<<=1a b <<a b c <<()()1mf x m x =-11m -=2m =0.8xy =0.50.8<0.50.80.80.8>b c >0.8y x =0.50.8<0.80.80.50.8<a c <a c b <<()f x 211m m --=()f x ()0,∞+()f x 211m m --=2m =1m =-当时，；当时，，又在上是减函数，所以-1 故选：B 15．【答案】B【解析】分析：根据条件先求解出的解析式，然后利用导数求解出的单调递减区间.详解：因为为幂函数，且过点，所以设，所以，所以，所以， 所以，则，当或时，；当时，，所以的递减区间为和，故选：B.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是求解完的解析式之后，根据去分析的单调递减区间.2m =()14f x x =1m =-()1f x x -=()f x ()0,∞+m =()f x ()()e x f x g x =()fx 122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭()f x xα=1=22α⎛ ⎝⎭2α=()2f x x =2()e xx g x =(2)()e xx x g x '-=2x >0x <()0g x '<02x <<()0g x '>()()e x f x g x =(),0-∞()2,+∞()f x ()0f x '<()f x。

启迪思维 点拨方法 开发潜能 直线提分3.3幂函数同步练习一、单选题1．若函数21()(22)m f x m m x -=--是幂函数，且()y f x =在(0,)+∞上单调递增，则f （2）(=) A ．14B ．12C ．2D ．42．若幂函数223()(265)m f x m m x -=-+没有零点，则()f x 的图象关于( )对称 A ．原点B ．x 轴C ．y 轴D ．没有3．设232()3a =，231()3b =，131()3c =，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>4．幂函数的图象经过点1(,2)2，若01a b <<<，则下列各式正确的是( )A ．11()()()()f a f b f f b a <<<B ．11()()()()f f f b f a a b <<<C ．11()()()()f a f b f f a b<<<D ．11()()()()f f a f f b a b<<<5．幂函数223()mm y x m Z --=∈的图象如图所示，则m 的值为( )A ．13m -<<B ．0C ．1D ．26．已知函数()1(0,1)x f x a a a =+>≠的图象经过定点P ，且点P 在幂函数()h x 的图象上，则()h x 的表达式为( ) A ．2()h x x =B ．1()h x x -=C ．2()h x x -=D ．3()h x x =7．有四个幂函数：①2()f x x -=；②1()f x x -=； ③3()f x x =；④13()f x x =．某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是{|y y R ∈，且0}y ≠；（3）在(,0)-∞上是增函数．如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是( ) A ．④B ．③C ．②D ．①8．已知幂函数2242()(1)m m f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2x g x t =-，对于任意1[1x ∈，5)时，总存在2[1x ∈，5)使得12()()f x g x =，则t 的取值范围是( )A ．∅B ．7t 或1tC ．7t >或1t <D ．17t二、多选题9．设11,,1,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数y x α=的定义域是R ，且为奇函数的α值可以是( )A ．1-B ．12C ．1D ．310．已知幂函数()y x R αα=∈的图象过点(2,8)，下列说法正确的是( )A ．函数y x α=的图象过原点B ．函数y x α=是偶函数C ．函数y x α=是单调减函数D ．函数y x α=的值域为R11．下列关于幂函数y x α=的性质，描述正确的有( ) A ．当1α=-时函数在其定义域上是减函数B ．当0α=时函数图象是一条直线C ．当2α=时函数是偶函数D ．当3α=时函数有一个零点0 12．下列幂函数中满足条件121212()()()(0)22x x f x f x f x x ++<<<的函数是( )A ．()f x x =B ．2()f x x =C ．()f x =D ．1()f x x=三、填空题13．已知幂函数()y f x =的图象经过(8,2)，则1()8f = ．14．已知幂函数221(55)m y m m x +=--在(0,)+∞上为增函数，则实数m = ．15．已知幂函数12()f x x =，若(1)(102)f a f a +<-，则a 的取值范围是16. 若1133(1)(32)a a --+<-，则a 的取值范围 ．四、解答题17．已知幂函数21()*()()mm f x x m N -+=∈，经过点，试确定m 的值，并求满足条件(2)(1)f a f a ->-的实数a 的取值范围．18．已知m 是整数，幂函数22()m m f x x -++=在[0，)+∞上是单调递增函数．（1）求幂函数()f x 的解析式；（2）作出函数()|()1|g x f x =-的大致图象；（3）写出()g x 的单调区间，并用定义法证明()g x 在区间[1，)+∞上的单调性．19．已知幂函数221()(1)m f x m m x --=--在(0,)+∞上单调递增，又函数()22x xm g x =+． （1）求实数m 的值，并说明函数()g x 的单调性；（2）若不等式(13)(1)0g t g t -++恒成立，求实数t 的取值范围． 20．已知幂函数221()(1)m f x m m x --=--在(0,)+∞上单调递增． （1）求实数m 的值；（2）若(1)(32)m m k k +<-，求实数k 的取值范围．3.3幂函数同步练习答案1．解：因为函数21()(22)m f x m m x -=--是幂函数， 所以2221m m --=，解得1m =-或3m =．又因为()y f x =在(0,)+∞上单调递增，所以10m -，所以3m =，2()f x x =，从而f （2）224==， 故选：D ．2．解：幂函数223()(265)m f x m m x -=-+中， 令22651m m -+=，化简得2320m m -+=，解得1m =或2m =；当1m =时，1()f x x -=没有零点，且()f x 的图象关于原点对称； 当2m =时，()f x x =有零点，不满足题意． 故选：A ．3．解：由于函数23y x = 是R 上的增函数，2133>，223321()()33∴>，即a b >．由于函数1()3x 是R 上的减函数，2133>，213311()()33∴<，即b c <，又232()3a ==c =a c ∴>，固有a c b >>， 故选：B ．4．解：设幂函数解析式为：y x α= (α为常数）， 幂函数的图象经过点1(,2)2，∴1()22α=，解得1α=-，∴幂函数解析式为：11y x x-==， ∴幂函数1y x=在(0,)+∞上单调递减， 01a b <<<，1101a b b a∴<<<<<， 又幂函数1y x=在(0,)+∞上单调递减， f ∴（a ）f >（b ）11()()f f b a>>，故选：B ．5．解：根据幂函数的图象可知函数在第一象限内单调递减，且为偶函数． 则2230m m --<， 即13m -<<， m Z ∈，0m ∴=，或1m =，或2m =．若0m =，则331y x x -==为奇函数，不满足条件． 若1m =，则441y x x -==为偶函数，满足条件． 若2m =．则331y x x -==为奇函数，不满足条件． 1m ∴=．故选：C ．6．解：函数()1x f x a =+中，令0x ，解得x此时11y f ==+=所以函数()f x 的图象过定点P ．设幂函数()y h x x α==．则α=3α=，所以3()h x x =． 故选：D ．7．解：对于①，2()f x x -=，是定义域(-∞，0)(0⋃，)+∞上的偶函数，值域是{|0}y y >，且在(,0)-∞上是单调增函数，满足条件；对于②，1()f x x -=，是定义域(-∞，0)(0⋃，)+∞上的奇函数，值域是{|y y R ∈，且0}y ≠，且在(,0)-∞上是单调减函数，不满足条件；对于③，3()f x x =，是定义域R 上的奇函数，值域是R ，且在(,0)-∞上是单调增函数，不满足条件；对于④，13()f x x =，是定义域R 上的奇函数，值域是R ，且在(,0)-∞上是单调增函数，不满足条件． 故选：D ．8．解：幂函数2242()(1)mm f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，∴22(1)1420m m m ⎧-=⎨-+>⎩，解得0m =，2()f x x ∴=，当1[1x ∈，5)时，1()[1f x ∈，25)，设集合[1A =，25)，又当2[1x ∈，5)时，2()[2g x t ∈-，32)t -，设集合[2B t =-，32)t -， 由题意得：A B ⊆，∴213225t t -⎧⎨-⎩，解得：17t ，故选：D ．9．解：对于A ，1α=-时，1y x -=，定义域为(-∞，0)(0⋃，)+∞，不满足题意； 对于B ，12α=时，12y x =，定义域为[0，)+∞，不满足题意；对于C ，1α=时，y x =，定义域为R ，且为奇函数，满足题意；对于D ，3α=时，3y x =，定义域为R ，且为奇函数，满足题意． 故选：CD ．10．解：幂函数y x α=的图象过点(2,8)， 所以28α=，解得3α=， 所以幂函数为3y x =；所以所以幂函数3y x =的图象过原点，A 正确；且幂函数3y x =是定义域R 上的奇函数，B 错误；幂函数3y x =是定义域R 上的增函数，C 错误；幂函数3y x =的值域是R ，所以D 正确． 故选：AD ．11．解：对于A ，1α=-时幂函数1y x -=在(,0)-∞和(0,)+∞是减函数，在其定义域上不是减函数，A 错误；对于B ，0α=时幂函数01(0)y x x ==≠，其图象是一条直线，去掉点(0,1)，B 错误；对于C ，2α=时幂函数2y x =在定义域R 上是偶函数，C 正确；对于D ，3α=时幂函数3y x =在R 上的奇函数，且是增函数，有唯一零点是0，D 正确． 故选：CD ．12．解：由题意知，当0x >时，()f x 的图象是凹形曲线； 对于A ，函数()f x x =的图象是一条直线，则当210x x >>时，有1212()()()22x x f x f x f ++=，不满足题意；对于B ，函数2()f x x =的图象是凹形曲线，则当210x x >>时，有1212()()()22x x f x f x f ++<，满足题意；对于C ，函数()f x =则当210x x >>时，有1212()()()22x x f x f x f ++>，不满足题意；对于D ，在第一象限内，函数1()f x x=的图象是一条凹形曲线，则当210x x >>时，有1212()()()22x x f x f x f ++<，满足题意． 故选：BD ．13．解：设幂函数()(f x x αα=为常数），幂函数()y f x =的图象经过(8,2)，82α∴=，解得13α=， ∴幂函数13()f x x =，13111()()882f ∴==，故答案为：12．14．解：由221(55)m y m m x +=--是幂函数，得2551m m --=， 化简得2560m m --=， 解得6m =或1m =-；当6m =时，13y x =，是(0,)+∞上的增函数，满足题意；当1m =-时，1y x -=，不是(0,)+∞上的增函数，舍去． 综上知，实数6m =． 故答案为：6．15．解：幂函数12()f x x =，其定义域为[0，)+∞，且在定义域上是单调增函数； 所以不等式(1)(102)f a f a +<-，等价于1010201102a a a a +⎧⎪-⎨⎪+<-⎩，解得13a -<，所以a 的取值范围是[1-，3)． 故答案为：[1-，3)．16.解：幂函数13y x -=有两个单调区间，∴根据1a +和32a -的正、负情况，有以下关系10320132a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩①或10320132a a a a+<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩②或10320a a +<⎧⎨->⎩③； 解三个不等式组：①得2332a <<，②无解，③得1a <-； a ∴的取值范围是(-∞，21)(3-⋃，3)217．解：幂函数()f x经过点，∴21()2mm -+，即211()222mm -+=22m m ∴+=．解得1m =或2m =-．又*m N ∈，1m ∴=．12()f x x ∴=，则函数的定义域为[0，)+∞，并且在定义域上为增函数． 由(2)(1)f a f a ->-得201021a a a a -⎧⎪-⎨⎪->-⎩解得312a <．a ∴的取值范围为[1，3)2． 18．解：（1）由()f x 在[0，)+∞上单调递增可得：220m m -++>，12m ∴-<<， 又m Z ∈，0m ∴=或1m =，2()f x x ∴=；（2）由于2()f x x =，所以2()|1|g x x =-．如图所示：（3）根据函数的图象：函数的单调减区间为：[-∞，1]-和[0，1]． 函数的单调增区间为[1-，0]和[1，)+∞．证明：设121x x <，所以221210,10x x -->．所以212121()()()()0g x g x x x x x -=-+>．所以函数在区间[1，)+∞上为增函数．19．解：（1）因为()f x 是幂函数，所以211m m --=，解得1m =-或2m =，又因为()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以210m -->，即12m <-，即1m =-，则1()22x x g x =-， 因为2x y =与12xy =-均在R 上单调递增， 所以函数()g x 在R 上单调递增．（2）因为11()2(2)()22x x x x g x g x ---=-=--=-， 所以()g x 是奇函数，所以不等式(13)(1)0g t g t -++可变为(13)(1)(1)g t g t g t --+=--，由（1）知()g x 在R 上单调递增，所以131t t ---，解得1t ．故实数t 的取值范围是(-∞，1]． 20．解：（1）因为()f x 是幂函数，所以211m m --=，解得1m =-，或2m =， 又因为()f x 在(0,)+∞上单调递增．所以210m -->，即12m <-， 所以1m =-．（2）由于1y x=在区间(,0)-∞，(0,)∞上都是减函数，且11(1)(32)k k --+<-． 分三种情况讨论：①当1032k k +<<-，即1k <-时，原不等式成立；②当10k +<，且320k -<时，有132k k +>-，即13223k k k ⎧⎪<-⎪⎪>⎨⎪⎪>⎪⎩，解集为空集． ③当10k +>，且320k ->时，有132k k +>-，解得2332k <<．综上所述：k 的取值范围是(-∞，20)(3⋃，3)2．。

高一上学期数学(必修一)《第四章幂函数、指数函数和对数函数》练习题及答案-湘教版第I卷（选择题）一、单选题1. 已知幂函数f(x)的图象过点(16,18)，则f(4)=( )A. √ 24B. √ 22C. 14D. 122. 设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则．( )A. b<a<cB. c<a<bC. c<b<aD. a<c<b3. 设a=log54，则b=log1513，c=0.5−0.2则a，b，c的大小关系是( )A. a<b<cB. b<a<cC. c<b<aD. c<a<b4. 方程√ x−lnx−2=0的根的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 35. 已知a>1，则下列命题中正确的是( )A. ∃x0，∀x>x0有a x>x a>log a x成立B. ∃x0，∀x>x0有a x>log a x>x a成立C. ∃x0，∀x>x0有x a>a x>log a x成立D. ∃x0，∀x>x0有x a>log a x>a x成立6. 果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度ℎ与其采摘后时间t(天)满足的函数关系式为ℎ=m⋅a t.若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%.那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%新鲜度(已知lg2≈0.3，结果取整数)( )A. 23天B. 33天C. 43天D. 50天7. 已知函数f(x)={a x−2,x≤−2,x+9,x>−2,(a>0,a≠1)的值域是(7,+∞)，则实数a的取值范围是( )A. 13<a<1 B. 0<a≤13C. a>1D. 0<a<138. 已知函数y=log a(x+3)−1(其中a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)=3x+b 的图象上，则f(log94)的值为( )A. 89B. 79C. 59D. 299. 利用二分法求方程log3x+x−3=0的近似解，可以取的一个区间是( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)10. 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L=L0DGG0，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.1以下(不含0.1)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据：lg2≈0.3010)( )A. 128B. 130C. 132D. 134二、多选题11. 已知幂函数f(x)=(m 2−2m −2)x m 的图象过点(2,12)，则( ) A. f(x)=x 3B. f(x)=x −1C. 函数f(x)在(−∞,0)上为减函数D. 函数f(x)在(0,+∞)上为增函数12. 下列说法正确的有( )A. 命题“∀x ∈R ，x 2+x +1>0”的否定为“∃x ∈R 。

幂函数1．在函数22031,3,,y y x y x x y x x===-=中，幂函数的个数为 ( ) A ．0B ．1C ．2D ．32．若幂函数()a f x x =在()0,+∞上是增函数，则 ( ) A ．a >0 B ．a <0C ．a =0D ．不能确定3．若11221.1,0.9a b -==，那么下列不等式成立的是 ( )A ．a <l<bB ．1<a <bC ．b <l<aD ．1<b <a4．()f x 是幂函数又是反比例函数，则这个函数是y =_______________． 5．()f x 是幂函数又是二次函数，则这个函数是y =_______________．6．已知幂函数()y f x =的图象经过点(，那么这个幂函数的解析式为_______________．7．在下列函数31322532,,,,y x y x y x y x y x --=====中，定义域为R 的函数有 ( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个8．若幂函数()1m f x x -=在(0，+∞)上是减函数，则 ( ) A ．m >1 B ．m <1C ．m =lD ．不能确定9．若点(),A a b 在幂函数()n y x n Q =∈的图象上，那么下列结论中不能成立的是 ( )A ．00a b >⎧⎨>⎩ B ．00a b >⎧⎨<⎩ Ｃ．00a b <⎧⎨<⎩ D ．00a b <⎧⎨>⎩10．用不等号填空：①11221.3________1.5；②225.1________5.09--； ③()()110.21________0.27--；④11441.79________ 1.81--；⑤544________511．用不等号填空：①若54aa-<-，则________0a ；②若3.9 3.8b<，则________0b ．12．确定a 的取值范围：①当________a 时，32aa>；②当________a 时，15aae ⎛⎫> ⎪⎝⎭．13．某公司经过市场调查，某种商品在最初上市的几个月内销路很好，几乎能将所生产的产品全部销售出去。

4.3 对数函数4.3.1 对数的概念 A 级必备知识基础练1.方程2log 3x =14的解是( )A.19B.√3C.√33D.92.(多选题)下列结论正确的是( ) A.log 24=2 B.2.10.5>2.1-1.8 C.3log 32=2D.-log 55=13.813+log 122等于( )A.0B.1C.2D.34.若a>0,a 2=49,则lo g 23a= . 5.解答下列各题.(1)计算:log 2164;log 3.12(log 1515).(2)已知log 4x=-32,log 3(log 2y)=1,求xy 的值.6.求下列各式的值:(1)lo g 1162;(2)log 7√493;(3)log 2(log 93).B 级关键能力提升练7.若log a 3=m,log a 5=n(a>0且a≠1),则a 2m+n 的值是( ) A.15 B.75C.45D.2258.已知f(x 6)=log 2x,则f(8)=( ) A.43B.8C.18D.129.(多选题)下列函数与y=x 相等的是( ) A.y=√x 33B.y=√x 2C.y=log 77xD.y=7log 7x10.已知f(x)={1+log 2(2-x ),x <1,2x -1,x ≥1,则f(-2)+f(2)的值为( )A.6B.5C.4D.311.已知lo g 12(log 2x)=lo g 13(log 3y)=1,则x,y 的大小关系是( ) A.x<y B.x=y C.x>yD.不确定12.若log 3(a+1)=1,则log a 2+log 2(a-1)= .C 级学科素养创新练13.已知二次函数f(x)=(log 3a)x 2+2x+4log 3a(a>0)的最大值是3,求a 的值. 答案：1.A ∵2log 3x =14=2-2,∴log 3x=-2,∴x=3-2=19.2.ABC log 24=2,故A 正确;根据函数y=2.1x 是增函数可知2.10.5>2.1-1.8,故B 正确;根据指对恒等式可知3log 32=2,故C 正确;-log 55=-1,故D 不正确.故选ABC. 3.B 813=23×13=2.设lo g 122=x,则(12)x=2,即2-x =2,则-x=1,x=-1,即lo g 122=-1.故813+lo g 122=2-1=1.故选B.4.1 ∵a 2=49且a>0,∴a=23,∴lo g 2323=1.5.解(1)因为2-6=164,所以log 2164=-6.log 3.12(log 1515)=log 3.121=0. (2)因为log 4x=-32,所以x=4-32=2-3=18.因为log 3(log 2y)=1, 所以log 2y=3. 所以y=23=8. 所以xy=18×8=1.6.解(1)设lo g 1162=x,则(116)x =2,即2-4x =2,∴-4x=1,x=-14,即lo g 1162=-14.(2)设log 7√493=x,则7x=√493=723. ∴x=23,即log 7√493=23.(3)设log 93=x,则9x =3,即32x =3,∴x=12.设log 212=y,则2y =12=2-1,∴y=-1.∴log 2(log 93)=-1.7.C 由log a 3=m,得a m =3,由log a 5=n,得a n =5, 则a 2m+n =(a m )2·a n =32×5=45. 8.D 令x 6=8,则x 2=2,因为x>0,所以x=√2,故f(8)=log 2√2.设log 2√2=y,则2y=√2,即2y=212,则y=12,故f(8)=12.9.AC 函数y=√x 33=x 的定义域为R,故与y=x 相等;函数y=√x 2=|x|≥0,与y=x 对应关系不同,故不是同一个函数;函数y=log 77x =x,且定义域为R,对应关系相同,故与y=x 相等;y=7log 7x =x 的定义域为(0,+∞),与函数y=x 的定义域不相同,故不是同一个函数.故选AC. 10.B 由题意得f(-2)+f(2)=(1+log 24)+2=5,故选B. 11.A 因为lo g 12(log 2x)=1,所以log 2x=12.所以x=212=√2.又因为lo g 13(log 3y)=1,所以log 3y=13.所以y=313=√33.因为√2=√236=√86<√96=√326=√33,所以x<y.故选A. 12.1 由log 3(a+1)=1得a+1=3,即a=2, 所以log a 2+log 2(a-1)=log 22+log 21=1+0=1. 13.解因为二次函数f(ax =16log 32a -44log 3a=4log 32a -1log 3a=3,所以4lo g 32a-3log 3a-1=0. 所以log 3a=1或log 3a=-14.因为log 3a<0,所以log 3a=-14.所以a=3-14.。

幂 函 数 周 练一、填空：1．当0>n 时，幂函数n x y =的图像都通过 ， 两点，在第一象限内，函数值随x 的增大而 。

2．当0<n 时，幂函数n x y =的图像都通过 这一点，在第一象限内，函数值随x 的增大而 。

3．)(x f y =是指数函数，假设34)32(=-f ，那么)21(-f = 。

4．函数1321-=-x y 的定义域为 。

5．310log log =+a b b a ，那么=-a b b a log log 。

6．函数)1(,11≥+-=x x y 的反函数是 。

7．函数321+=-x y 的反函数是 。

8．假设函数1+=x a y 的反函数的图像过点)1,21(，那么a = 。

9．函数]1,0[,523421∈+⨯-=-x y x x 的最小值为 。

10．假设曲线12||+=x y 与直线b y =无公共点，那么b 的取值范围是 。

11．给出以下命题:(1)函数2)1(2+-=x y 在[2,3]上的值域为[3,6]; (2)函数]1,1(,3-∈=x x y 是奇函数；(3)||2x y =在)0,(-∞上是减函数，在),0(+∞上是增函数.其中正确的命题是 。

二、选择：12．函数x e y -=的图像〔 〕 A.与x e y = 的图像关于y 轴对称； B. 与x e y = 的图像关于原点对称 C.与x e y -= 的图像关于y 轴对称； D.与x e y -= 的图像关于原点对称13．为了得到函数123-=-x y 的图像，只需要把函数x y 2=的图像上所有的点〔 〕A.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度；B.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度；C.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度；D.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度。

二、解答题：14．求以下函数的反函数〔1〕)21(,22≤≤-=x x x y ； 〔2〕x e y 2=15．函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-)0(,)0(,12)(21x x x x f x , 解不等式1)(>x f . 16．5)5.2(,5)5.12(==yx ，求证：111=-y x 17．设cb a ,,为不等于1的正数，10≠>N N 且，且ac b =2， 求证：N c N a N c N b N b N a log log log log log log =--。

幂函数1．在函数22031,3,,y y x y x x y x x===-=中，幂函数的个数为 ( ) A ．0B ．1C ．2D ．32．若幂函数()a f x x =在()0,+∞上是增函数，则 ( ) A ．a >0 B ．a <0C ．a =0D ．不能确定3．若11221.1,0.9a b -==，那么下列不等式成立的是 ( )A ．a <l<bB ．1<a <bC ．b <l<aD ．1<b <a4．()f x 是幂函数又是反比例函数，则这个函数是y =_______________． 5．()f x 是幂函数又是二次函数，则这个函数是y =_______________．6．已知幂函数()y f x =的图象经过点(，那么这个幂函数的解析式为_______________．7．在下列函数31322532,,,,y x y x y x y x y x --=====中，定义域为R 的函数有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个8．若幂函数()1m f x x-=在(0，+∞)上是减函数，则 ( )A ．m >1B ．m <1C ．m =lD ．不能确定9．若点(),A a b 在幂函数()ny x n Q =∈的图象上，那么下列结论中不能成立的是( )A ．00a b >⎧⎨>⎩ B ．00a b >⎧⎨<⎩ Ｃ．00a b <⎧⎨<⎩ D ．00a b <⎧⎨>⎩10．用不等号填空：①11221.3________1.5；②225.1________5.09--；③()()110.21________0.27--；④11441.79________ 1.81--；⑤544________511．用不等号填空：①若54a a -<-，则________0a ；②若3.9 3.8b<，则________0b ．12．确定a 的取值范围：①当________a 时，32aa>；②当________a 时，15aae ⎛⎫> ⎪⎝⎭．13．某公司经过市场调查，某种商品在最初上市的几个月内销路很好，几乎能将所生产的产品全部销售出去。