数形结合法在函数零点问题中的应用
高三数学组 2017年3月15日
【教学目标】函数的零点一直是近年来全国各地高考卷上的热点，因其综合性强，让很多同学感到困难。本文通过对高考试卷中有关零点问题的研究，来说明如何将数形结合思想运用于函数零点的问题中，使零点问题变得直观形象，从而有效地将问题解决。
【教学思想、方法】数形结合分类讨论转化与化归函数与方程
【考向洞察】
1、针对题型
(1) 确定零点的大致范围，多出现在选择题中；
(2) 确定零点的个数问题，多出现在选择题中；
(3) 利用已知零点的个数求参数的范围，多出现在选择题、填空题、解答题中均有可能出现。
2、解决方案
(1) 直接画出函数图像，观察图像得出结论。
(2) 不能直接画出函数图像的，可以等价地转化为两个函数图像的交点，通过判断交点的个数得出函数零点的个数或要求的参数范围。
【例题讲解】
例1、设函数
1
()ln
3
f x x x
=-，则函数()
y f x
=（ D ）
A. 在区间
1
(,1)
e
，(1,)e内均有零点
B. 在区间
1
(,1)
e
，(1,)e内均无零点
C. 在区间
1
(,1)
e
内有零点，(1,)e内无零点
D. 在区间
1
(,1)
e
内无零点，(1,)e内有零点
解1：113'()33x f x x x -=-=，()f x 在1(,)e e 单调递减，11()103f e e
=+>，1(1)03f =>，()103e f e =-<，由零点存在定理知，区间1(,1)e
内无零点，(1,)e 内有零点。
解2：令()0f x =，得1ln 3x x =，作出函数13
y x =和ln y x =的图象，如右图，显然在区间1(,1)e
内无零点，(1,)e 内有零点。
例2、设1()2,0()222,0
x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪->⎩，则()y f x x =-的零点个数是__2____。
解：作出函数()y f x =和y x =的图象，如右图，由图可知直线
y x =与函数()f x 的图象有两个交点，所以()y f x x =-有2个零点。
例3、已知函数2,0()ln(1),0
x ax x f x x x ⎧+≤=⎨+>⎩，()2()F x f x x =-有2个零点，则实数a 的
取值范围是_______________。1(,]2
-∞ 解1： 0x >时，()2()2ln(1)F x f x x x x =-=+-，则21'()111x F x x x
-=-=++ ∴当01x <<，()F x 单调递增；当1x >，()F x 单调递减；
而max (0)0,()(1)0F F x F ==>，(4)2ln540F =-<，此时有1个零点；
0x ≤时，()F x ，只有1个零点 ，则222x ax x +=的根为0或正数，
由22(21)0x a x +-=解得1202a x x -==或，120a ∴-≥，解得12
a ≤。
解2：令()0F x =，得()2x f x =
，作出()y f x =和2
x y =的图象 ∴当0x <时，22x x ax +>恒成立，12a x ∴<-，12a ∴≤
例4、若函数1,0()ln ,0
kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则当0k >时，函数[()]1y f f x =+的零点个数为( D )
A.1
B.2
C.3
D.4
解：令()f x t =，若[()]10y f f x =+=，则
()1f t =-则1()(,0)f x t =∈-∞，2()(0,1)f x t =∈
对于1()f x t =存在两个零点；
对于2()f x t =存在两个零点；
综上可知，函数[()]1y f f x =+有4个零点。
例5、设2()(2)x x f x x e ae -=-+，()22g x a x =-（e 为自然对数的底数），若关于x 的方程()()f x g x =有且仅有6个不同的实数解，则实数a 的取值范围是（ D ）
A. 2
(,)21
e e +∞- B. (,)e +∞ C. (1,)e D. 2(1,)21e e - 解：由()()
f x
g x =得2(2)22x x x e ae a x --+=-
即22(2)220x x x e a x e a ---+=
令2()x t x e h x =-=，则2
20t at a -+= (2),2()(2),2x x x e x h x x e x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，(1),2'()(1),2
x x x e x h x x e x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩ ()h x 的大致图象如右图：
∴方程220t at a -+=在(0,)e 上有两个不同的解12,t t 时可以满足题意
则224400()20
a a t a e t e e ae a ⎧∆=->⎪<=<⎨⎪=-+>⎩对解得2
121e a e <<-
