中点模型构造
中点模型的构造中点专题——看到中点该想到什么？
1．两条线段相等，为全等提供条件
2．中线平分三角形的面积，并尝试做倍长中线
3．等腰三角形的底边中垂线
4．中位线
5．斜边上的中线是斜边的一半
例题1、（尝试用倍长中线和中位线两种方法）
【例2】如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PGPC。若∠ABC＝∠BEF＝60°，
的值。
⑴探究PG与PC的位置关系及PG
PC
⑵将上图中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线
BF恰好与菱形ABCD的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不
变(如图)。你在⑴中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并
加以证明。
练习1、如图所示，在△ABC中，AC＞AB，M为BC的中点，AD是∠BAC的平分线，若CF⊥AD且交AD的延长线于F，
(AC－AB)。
求证：MF＝1
2
【例3】如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，ME⊥AD且交AC的延长线于E，CD＝2CE，
求证：∠ACB＝2∠B。
练习2、
中点专题小结——看到中点该想到什么？
1．两条线段相等，为全等提供条件
2．中线平分三角形的面积
3．倍长中线和类倍长中线
4．中位线
5．斜边上的中线是斜边的一半
课后练习
1、已知直角三角形ABC和直角三角形CDF，ABC和CDF都是直角，且B,C,D三点在一条直线上，联结AF，点M为AF的重点，分别联结BM，DM.试证明：BM=DM
M F
A
B D
C
2、已知两个共一个顶点的等腰直角三角形ABC 和CEF, ＜ABC 和＜CEF 都是直
角,连接AF,M 是AF 的中点,连接ME,MF.证明：ME=MF 。
3、已知如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，AD 平分∠线于E ，M 是BC 的中点，求证：ME=)(2
1
AC AB -
4、已知如图，△ABC 的中线BD 、CE 相交于点O ，F 、G 分别是OB 、OC 的中
点，（1）判断EF 和DG 有何关系并证明；（2）求证：ABC OGD S S △△12
1
=
。 B
E
D M
C
A
F
O
E
D A
5、已知如图，在四边形ABCD 中，EF 分别为AB 、CD 的中点；
（1）求证：EF ＜)(2
1
BD AC
（2）四边形ABCD 的周长不小于EF 的四倍
（3）EF 交BD 、AC 分别于P 、Q ，若AC=BD ，求证：△OPQ 为等腰三角形。
4、在梯形ABCD 中，A D ∥BC ，AB=AD+BC ，E 为CD 的中点，求证：AE ⊥BE 。
5、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，AB ＜AC ，在AC 上截取CE=AB ，M 、N 分别为BC 、AE 的中点。 求证：M N ∥AD
6、如图，以△ABC 的AB 、AC 边为斜边向形外作Rt △ABD ，和Rt △ACE ，且使∠ABD=∠ACE=α，M 是BC 的中点，（1）求证：DM=ME ；（2）求∠DME 的度数。
7、如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，B N
AB=10，BC=15，MN=3，求△ABC 的周长。
8、如图，平行四边形
ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，BD=2AD ，E 、F 、G 分别是OC 、OD 、AB 的中点。 求证：（1）BE ⊥AC （2）EG=EF
9、如图，在△ABC 中，AB=AC ，延长AB 到D ，使得
点，连接CE 、CD 求证：CD=2EC 。
10、点O
是△ABC 所在平面内一动点，连结OB 、OC ，并把AB 、OB 、OC 、CA 的中点D 、E 、F 、G 顺次连结起来，设DEFG 能构成四边形。
（1）如图，当点O 在△ABC 内时，求证：四边形DEFG 是平行四边形； （2）当O 点移动到△ABC 外时，（1）的结论是否成立？画出图形，说明理由；
（3）若四边形DEFG 是矩形，则点O 所在的位置满足什么条件？试说明理由。
11、如图，在梯形ABCD 中，A D ∥BC ，AB=AD=DC ，∠C=60°，AE ⊥BD 于点E ，F 是CD 的中点，DG 是梯形的高。
（1）求证：四边形AEFD 是平行四边形；
（2）设AE=x ，四边形DEFG 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式。
12、（1）如图1，已知正方形ABCD和正方形CGEF（CG＞BC），B、C、G在同一条直线上，M为线段AE的中点，探究：线段MD、MF的关系。
（2）若将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°，使得正方形CGEF的对角线CE
在正方形
1）中探究的结图1
图2
13、已知：在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O，AF为∠BAC的平分线，交BD于E，BC于F．
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