中考数学复习几何模型专题讲解4---中点模型(解析版)

中点四大模型解题策略模型1倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形模型分析如图1，AD 是△ABC 的中线，延长AD 至点E 使DE =AD ，易证：△ADC ≌△EDB (SAS )如图2，D 是BC 中点，延长FD 至点E 使DE =FD ,易证：△FDB ≌△EDC (SAS )模型2已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”.模型分析等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到：“边等、角等、三线合一”.图1AABCD EB CD倍长中线ABCDEF ABCDF 倍长类中线构造全等图2ABCDABCD连接中线模型3已知三角形一边的中点，可考虑中位线定理模型分析：在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理：DE ∥BC ，且DE =12BC 来解题，中位线定理中既有线段之间的位置关系又有数量关系，该模型可以解决角问题，线段之间的倍半、相等及平行问题.模型4已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线模型分析：在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD =12BC ，来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形；△ACD 和△BCD ，该模型经常会与中位线定理一起综合应用。

A BCD A BC D E 取另一边中点构造中位线ABCDABCD构造直角三角形斜边上的中线经典例题【例1】(2022·江苏·南通市通州区育才中学八年级阶段练习)已知，在△ABC中，∠ACB=90°，AC= BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．(1)如图1，求证：AD=CE；(2)如图2，点O为AB的中点，连接OD，OE．请判断△ODE的形状？并说明理由．【答案】(1)见解析(2)△DOE等腰直角三角形，理由见解析【分析】(1)根据垂直的定义及直角三角形中两个锐角互余得出∠EBC=∠DCA，再由全等三角形的判定和性质即可证明；(2)连接OC，根据等腰直角三角形的性质及斜边上的中线的性质得出AO=BO=CO，∠CAB=∠CBA=45°，CO⊥AB，再由全等三角形的判定得出△DCO≌△EBO(SAS)，△ADO≌△CEO，最后结合图形证明即可．【详解】(1)证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E=∠ADC=90°，∴∠EBC+∠BCE=90°．∵∠BCE+∠ACD=90°，∴∠EBC=∠DCA．在△CEB和△ADC中，∠E=∠D，∠EBC=∠DCA，BC=AC，∴△CEB≌△ADC(AAS)，∴AD=CE．(2)△DOE等腰直角三角形，理由如下：连接OC，如图所示：∵AC=BC，∠ACB=90°，点O是AB中点，∴AO=BO=CO，∠CAB=∠CBA=45°，CO⊥AB，∴∠AOC=∠BOC=∠ADC=∠BEC=90°，∵∠BOC+∠BEC+∠ECO+∠EBO=360°，∴∠EBO +∠ECO =180°，且∠DCO +∠ECO =180°，∴∠DCO =∠EBO ，且DC =BE ，CO =BO ，∴△DCO ≌△EBO (SAS )，∴EO =DO ，∠EOB =∠DOC ，同理可证：△ADO ≌△CEO ，∴∠AOD =∠COE ，∠AOD +∠DOC =90°，∴∠DOC +∠COE =90°，∴∠DOE =90°，且DO =OE ，∴△DOE 是等腰直角三角形．【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．【例2】(2022·重庆市合川中学九年级阶段练习)在△ABC 中，∠ABC =45°，D 为BC 上一动点．(1)如图1，当∠ADC =75°时，若AB =3+3，求AD 的长；(2)如图2，当AC =AD 时，点P 为AB 的中点，且AB =2CD ，求证：AC =PC ；(3)如图3，在(2)的条件下，将△BCP 绕点P 旋转180°，得到△AC P ，连接DC ，直接写出CC 'C 'D的值．【答案】(1)AD =23(2)见解析(3)102【分析】(1)过点D 作DH ⊥AB 于点H ．由三角形外角的性质易求∠DAH =30°．根据题意可求∠DBH =∠BDH =45°，即得出BH =DH ．设BH =DH =x ，则AD =2x ，根据勾股定理可求出AH =AD 2-DH 2=3x ．从而可列出关于x 的方程，解出x ，即可求出AD 的长；(2)连接DP ，过点A 作AQ ⊥BC 于点Q ．易得出AQ =BQ ，根据勾股定理可得出AB =2AQ =2BQ ．结合题意又可得出CD =AQ =BQ ．设CD =AQ =BQ =2a ．根据等腰三角形的性质可得CQ =DQ =12CD =a =BD ，即点D 为BQ 中点．结合题意利用三角形中位线定理可得PD ∥AQ ，PD =12AQ =a ，从而可证PD ⊥BC ，最后根据勾股定理可求出PC =5a =AC ；(3)在(2)的基础上，过点C 作C T ⊥BC 交CB 的延长线于点T ，由旋转的性质可知AC =BC =3a，∠AC P=∠PCB，即易证四边形AC TQ是矩形，得出TQ=AC =3a，C T=AQ=2a，进而可求出BT=TQ-BQ=a，DT=TQ-DQ=2a=C T，CT=TQ+CQ=4a，最后根据勾股定理求出C C和C D的长，作比即可．【详解】(1)如图，过点D作DH⊥AB于点H．∵∠ADC=∠ABC+∠BAD，∠ABC=45°，∠ADC=75°，∴∠BAD=30°，即∠DAH=30°．∵DH⊥AB，∴∠DBH=∠BDH=45°，∴BH=DH．设BH=DH=x，则AD=2x，∴AH=AD2-DH2=3x．∴AB=AH+BH=x+3x=3+3，解得：x=3，∴AD=23；(2)如图，连接DP，过点A作AQ⊥BC于点Q．∵∠ABC=45°，∴∠BAQ=∠ABC=45°，∴AQ=BQ，∴AB=2AQ=2BQ．∵AB=2CD，∴CD=AQ=BQ．设CD=AQ=BQ=2a．∵AD=AC，AQ⊥CD，∴CQ=DQ=12CD=a=BD，即点D为BQ中点．∵点P为AB的中点，即AP=BP，∴PD∥AQ，PD=12AQ=a，∴PD⊥BC，∴PC=PD2+CD2=a2+4a2=5a，AC=AQ2+CQ2=4a2+a2=5a，∴PC=AC；(3)如图，在(2)的基础上，过点C 作C T⊥BC交CB的延长线于点T，由旋转的性质可知AC =BC=3a，∠AC P=∠PCB，∴AC ∥CT ．∵C T ⊥BC ，AQ ⊥BC ，∴四边形AC TQ 是矩形，∴TQ =AC =3a ，C T =AQ =2a ，∴BT =TQ -BQ =3a -2a =a ，DT =TQ -DQ =3a -a =2a =C T ，CT =TQ +CQ =3a +a =4a ，∴C D =2DT =22a ，C C =C T 2+CT 2=2a2+(4a )2=25a ，∴C C C D =25a 22a=102．【点睛】本题考查三角形外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，矩形的判定和性质等知识，综合性强，较难．正确的作出辅助线是解题关键．【例3】(2022·河南·嵩县教育局基础教育教学研究室一模)如图，Rt △ABC 的中，∠BAC =90°，AB =4cm ，AC =3cm ，点G 是边AB 上一动点，以AG 为直径的⊙O 交CG 于点D ，E 是边AC 的中点，连接DE ．(1)求证：DE 与⊙O 相切；(2)填空：①当AG =___________cm 时，⊙O 与直线BC 相切；②当点G 在边AB 上移动时，△CDE 面积的最大值是___________cm 2【答案】(1)见解析(2)①3，②98【分析】(1)证明DE 是圆的切线，即连接OD ，再由直径AG 和中点E 想到连接AD 、OE ，则可知DE =AE ，最后证明ΔODE ≌ΔOAE 即可求证；(2)①由⊙O 与BC 相切，故结合ΔABC 的面积等于ΔAOC 的面积与ΔBOC 的面积之和即可求解；②结合(1)中分析可知CE =12AC =32，再结合三角形的面积公式，即可分析求解．【详解】(1)连接OE ，OD ，AD ∵AG 是⊙O 的直径，∴∠ADG =∠ADC =90°，即ΔADC 是直角三角形．∵E 是斜边AC 的中点，∴DE =AE ．在ΔODE 和ΔOAE 中，OD =OADE =AEOE =OE∴△ODE ≌△OAE SSS ∴∠ODE =∠BAC =90°．∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 与⊙O 相切．(2)①设⊙O 与BC 相切与点F ，⊙O 的半径为r 连接OC 则OF =OA =r =12AG ∵AB =4，AC =3，∠BAC =90°∴BC =32+42=5，S ΔAOC =12×AC ×OA =12×3×r =32r ，S ΔABC =12×AB ×AC =12×4×3=6∵⊙O 与BC 相切与点F ∴S ΔBOC =12×BC ×OF =12×5×r =52r ∵S ΔABC =S ΔAOC +S ΔBOC ∴6=32r +52r ，即r =32∴AG =2r =32×2=3故答案是：3．②由(1)可知DE =CE =12AC =32，设CE 边上的高为h ，则S ΔCDE =12×CE ×h =34h ∴当h 取最大值时，S ΔCDE 的值最大结合题意可知，当h =DE =32时最大，即DE ⊥AC 时，∴S ΔCDE 的最大值为34h =34×32=98故答案是：98．【点睛】本题主要考查圆的性质、切线的证明、直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、面积最值问题、线段长度问题等知识点，属于综合几何证明题，具有一定难度．解题的关键是熟练掌握圆和直角三角形的相关性质，并根据题意画出辅助线，即线段OD ，AD ．【例4】(2021·广西·南宁二中八年级期中)在平面直角坐标系中有一等腰三角形ABC ，点A 在y 轴正半轴上，点B 在x 轴负半轴上．(1)如图1，点C 在第一象限，若∠BAC =90°，A 、B 两点的坐标分别是A (0,4)，B (-2,0)，求C 点的坐标；(2)如图2，点C 在x 正半轴上，点E 、F 分别是边BC 、AB 上的点，若∠AEF =∠ACB =2∠OAE ．求证：BF =CE ；(3)如图3，点C 与点O 重合时点E 在第三象限，BE ⊥AE ，连接OE ，求∠BEO 的度数．【答案】(1)C 4，2 ；(2)见解析；(3)135°．【分析】(1)过点C 作CM ⊥OA ，垂足为M ，则∠AMC =90°，求出∠ABO =∠CAM ，证明△ABO ≌△CAM AAS ，得出MC =AO =4，AM =BO =2，则可得出答案；(2)证明∠BEF =∠EAC ，∠FAE =∠AFE ，可得AE =EF ，利用AAS 证明△AEC ≌△EFB ，则可得出BF =CE ；(3)过点O 作OG ⊥AE 于点G ，OH ⊥BE 交BE 的延长线于点H ，AE 与OB 交于点M ，证明△AOG ≌△BOH AAS ，由全等三角形的性质得出OG =OH ，证明EO 平分∠AEH ，求出∠OEH =∠AEO =45°，则可得出答案．【详解】(1)解：如图1中，过点C 作CM ⊥OA ，垂足为M ，则∠AMC =90°，∵∠BAC =∠AOB =90°，∴∠BAO +∠CAM =90°，∠BAO +∠ABO =90°，∴∠ABO =∠CAM ，∵△ABC 是等腰三角形，∠BAC =90°，∴AB =CA ，在△ABO 和△CAM 中，∠ABO =∠CAM ∠AOB =∠CMA AB =CA，∴△ABO ≌△CAM AAS ，∴MC =AO ，AM =BO ，∵A (0,4)，B (-2,0)，∴AO =4，BO =2，∴MC =4，AM =2，∴MO =AO -AM =2，∴C 4，2 ；(2)证明：设∠OAE =α，则∠AEF =∠ACB =2α，∵∠AEF +∠BEF +∠AEC =180°，∠ACB +∠EAC +∠AEC =180°，∴∠BEF =∠EAC ，由图2可知，等腰三角形ABC 中，AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ，∵OA ⊥BC ，∴∠BAO =∠CAO ，∵∠FAE =∠FAO +∠OAE =∠OAC +α=α+∠EAC +α=2α+∠EAC ，∠AFE =∠FBE +∠BEF =2α+∠BEF ，∴∠FAE =∠AFE ，∴AE =EF ，∴△AEC ≌△EFB AAS ，∴BF =CE ；(3)解：∵点C 与点O 重合，∠AOB =90°，∴OA =OB ，如图3，过点O 作OG ⊥AE 于点G ，OH ⊥BE 交BE 的延长线于点H ，AE 与OB 交于点M ，∵BE ⊥AE ，∴∠AEB =90°，∵∠AOB =90°，∠AMO =∠BME，∴∠MAO=∠OBH，又∵∠AGO=∠BHO=90°，OA=OB，∴△AOG≌△BOH AAS，∴OG=OH，又∵OG⊥AE，OH⊥BE，∴EO平分∠AEH，∴∠OEH=∠AEO=45°，∴∠BEO=∠AEB+∠AEO=90°+45°=135°．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的判定，三角形内角和定理，坐标与图形的性质等知识，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．培优训练一、解答题1.(2021·湖北武汉·九年级阶段练习)△ABC中，BC=4，AC=6，∠ACB=m°，将△ABC绕点A顺时针旋转n°得到△AEF，E与B是对应点，如图1．(1)延长BC、EF，交于点K，求证：∠BKE=n°；(2)当m=150，n=60时，求四边形CEFA的面积；(3)如图3．当n=150时，取BE的中点P和CF的中点Q，直接写出PQ2的值．【答案】(1)见解析；(2)12+93；(3)8-43【分析】(1)根据旋转的性质可得∠AEF=∠B，利用三角形的外角性质可得∠BKE=∠KPA-∠AEF，从而得到∠BKE=∠BAE=n°；(2)连CF，作FH⊥AC于H，根据条件得到ΔACF是等边三角形，则∠EFC=90°，从而根据S四边形CEFA=SΔCEF+SΔACF计算即可；(3)取CE中点G，连接PG，QG，构造△GPQ为等腰三角形，并结合中位线定理以及旋转的性质求解∠PGQ=30°，再作CN⊥FA于N点，结合旋转的性质求解出sin15°=6-24，最后在△GPQ中运用“三线合一”的性质求解出PQ的长度得出结论．【详解】(1)设CK、AE交于点P，∵ΔAEF是ΔABC旋转所得，∴ΔAEF≅ΔABC，∴∠AEF=∠B，∵∠BKE=∠KPA-∠AEF，∠BAE=∠KPA-∠B，∴∠BKE=∠BAE=n°；(2)连CF，作FH⊥AC于H，∵ΔAEF≅ΔABC，∴EF=BC=4，AF=AC=6，∠AFE=∠ACB=150°，∴ΔACF是等边三角形，∴∠AFC=60°，∴∠EFC=∠AFE-∠AFC=150°-60°=90°，∴SΔCEF=12CF⋅EF=12×6×4=12，∵AH=12AC=3，FH=AF2-AH2=36-9=33，∴SΔACF=12AC⋅FH=12×6×33=93，=SΔCEF+SΔACF=12+93；∴S四边形CEFA(3)如图，取CE中点G，连接PG，QG，则PG，QG为△BCE和△FCE的中位线，∴PG=12BC=2，QG=12EF=2，△GPQ为等腰三角形，根据中位线定理可得：∠BCE=∠PGE，∠CEF=∠CGQ，∴∠PGQ=∠PGE+∠CGQ-180°=∠BCE+∠CEF-180°，又∵∠BCE+∠CEF=∠BCE+∠CEA+∠AEF=∠BCE+∠CEA+∠ABC，∴在四边形ABCE中，∠BCE+∠CEA+∠ABC=360°-∠BAE=360°-150°=210°，∴∠BCE+∠CEF=210°，∠PGQ=∠PGE+∠CGQ-180°=210°-180°=30°，作CN⊥FA于N点，根据旋转可知，∠CAF=150°，AC=AF=6，∠AFC=15°，∴∠CAN=30°，在Rt△CAN中，AC=6，∠CAN=30°，∴CN=3，AN=33，∴NF=AN+AF=6+33由勾股定理得：FC=CN2+NF2=36+32，∴sin∠CFN=CNCF=336+32=6-24，即：sin15°=6-2 4，此时，作GM⊥PQ，则根据“三线合一”知GM平分∠PGQ，∠MGQ=15°，PM=QM，∴MQ=GQ·sin15°=2×6-24=6-2 2，∴PQ=2MQ=6-2，∴PQ2=6-22=8-43．【点睛】本题考查图形旋转的综合问题，包括全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，以及运用三角函数解直角三角形等，熟练根据题意灵活构造辅助线是解题关键．2.(2022·四川·石室中学八年级期中)已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题：(1)如图1，若点P在线段AB上，且AC=6+2，PA=2，求PB的长度；(2)在(1)的条件下，猜想PA、PB、PQ三者之间的数量关系并证明；(3)如图2，若点P在AB的延长线上，求证：PA2+PB2=PQ2．【答案】(1)23(2)PA2+PB2=PQ2，证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)在Rt△ABC中，利用勾股定理可求得AB，由PB=AB-PA可求得PB；(2)过C作CD⊥AB于点D，则△ADC是等腰直角三角形，则可求得AD=CD=12AB=1+3，进而得出PD的长，在Rt△PCD中利用勾股定理可求得PC的长，进而求出PQ的长即可得到结论；(3)过C作CD⊥AB于点D，把PA2和PB2都用PC和CD表示出来，在Rt△PCD中，由勾股定理得到PC和PD、CD的关系，从而可证得结论；【详解】(1)解：∵△ABC是等腰直角三角形，AC=6+2，∴AB=AC2+BC2=6+22=23+2，2+6+2∵PA=2，∴PB=AB-PA=23+2-2=23，(2)解：PA2+PB2=PQ2，证明如下：如图1，过C作CD⊥AB于点D，则△ADC是等腰直角三角形，∴AD=CD=12AB=1+3，∴PD=AD-PA=3-1，在Rt△PCD中，PC=CD2+PD2=3+12=22，2-3-1∵△PCQ是等腰直角三角形，∠PCQ=90°，∴PC=QC=22，∴PQ=PC2+QC2=4，∵PA2=4,PQ2=16，PB2=12，∴PA2+PB2=PQ2；(3)证明：如图2，过C作CD⊥AB于点D，∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，∴CD=AD=DB，∵PA2=AD+PD2=CD2+2CD⋅PD+PD2，2=CD+PDPB2=PD-BD2=CD2-2CD⋅PD+PD2，2=PD-CD∴PA2+PB2=2CD2+2PD2=2CD2+PD2，在Rt△PCD中，由勾股定理可得PC2=CD2+PD2，∴PA2+PB2=2PC2，∵△PCQ为等腰直角三角形，且∠PCQ=90°，∴PQ2=PC2+CQ2=2PC2，∴PA2+PB2=PQ2．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．3.(2022·广东·惠州市惠阳区朝晖学校九年级阶段练习)阅读理解：如图，等腰直角△ABC中，∠ABC =90∘，AB=BC，点A，B分别在坐标轴上．(1)如图①，过点C作CG⊥y轴于点G，若点C的横坐标为5，求点B的坐标．(2)如图②，将△ABC摆放至x轴恰好平分∠BAC，BC交x轴于点M，过点C作CD⊥x轴于点D，求CDAM的值．(3)如图③，若点A坐标为(-4,0)，分别以OB，AB为直角边在第一、第二象限作等腰Rt△OBF与等腰Rt△ABE，连接EF交y轴于点P．当B点在y轴正半轴上移动时，PB的长度是否会发生改变？若改变，请说明理由，若不改变，请直接写出PB的长度．【答案】(1)(0，5)(2)12(3)2【分析】(1)过点C作CG⊥y轴于点G，根据余角的性质，得出∠ABO=∠BCG，证明△ABO≌△BCG，得出BO=CG=5，即可得出答案；(2)分别延长AB，CD相交于点H，根据“AAS”证明△ABM≌△CBH，得出AM=CH，根据等腰三角形的性质，得出CD=DH，即可得出答案；(3)作EG⊥y轴于G，证明△BAO≌△EBG，得到BG=AO=4，EG=OB，证明△EGP≌△FBP，得到PB=PG，得到答案．【详解】(1)解：∵∠ABC=90∘，CG⊥y轴，∴∠1+∠ABO=90∘，∠1+∠BCG=90∘，∴∠ABO=∠BCG(同角的余角相等)，∵∠ABC=90∘，CG⊥y轴，∠ABO=∠BCG，AB=BC，∴△ABO≌△BCG(两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等)，∴BO=CG(全等三角形的对应边相等)，∵C点的横坐标为5，∴CG=5，∵CG=5，BO=CG，B点在y轴上，∴B点的坐标是0,5．(2)解：分别延长AB，CD相交于点H，如图所示：∵∠ABC=90∘，CH⊥x轴，∴∠1+∠A MB=90∘，∠3+∠CMD=90∘，∠CBH=90∘，∵∠A MB=∠CMD，∴∠1=∠3(等角的余角相等)，∵∠ABC=∠CBH=90∘，∠1=∠3，AB=BC，∴△ABM≌△CBH(两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等)，∴AM=CH(全等三角形的对应边相等)，∵AD平分∠BAC，CH⊥x轴，∴∠1=∠2，∠ADH=∠ADC=90°，∵AD=AD，∴△ADH≅△ADC，∴DH=DC，∴AM=CH=2CD，∴CD AM=1 2．(3)解：PB的长度不变，作EG⊥y轴于G，如图所示：∵点A的坐标为-4,0，∴OA=4，∵∠BAO+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBG=90°，∴∠BAO=∠EBG，在△BAO 和△EBG 中∠AOB =∠BGE∠BAO =∠EBG AB =BE，∴△BAO ≌△EBG AAS ，∴BG =AO =4，EG =OB ，∵OB =BF ，∴BF =EG ，在△EGP 和△FBP 中∠EPG =∠FPB∠EGP =∠FBP EG =FB，∴△EGP ≌△FBP AAS ，∴PB =PG ，∴PB =12BG =2．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．4.(2022·河北·八年级期中)如图，在△ABC 中，已知AB =AC ，∠ABC =∠ACB =45°，AH 是△ABC 的高，BC =10cm ，射线CM ⊥BC ，动点D 从点C 开始沿射线CB 的方向以每秒2厘米的速度运动，动点E 也同时从点C 开始在射线CM 上以每秒1厘米的速度运动，连接AD 、AE ，设运动时间为t t >0 s ．(1)请直接写出CD 、CE 的长度(用含有t 的式子表示)：CD =______cm ，CE =______cm ；(2)当点D 到点H 的距离为2cm 时，求t 的值；(3)请直接写出当t =103s 时，△ABD 与△ACE 是否全等？【答案】(1)2t ，t (2)32s 或72s (3)全等，理由见解析【分析】(1)直接根据路程=速度×时间可得结论；(2)分当点D 位于点H 右边时；当点D 位于点H 左边时，两种情况进行讨论即可；(3)分别求出BD ,CD 的长度，然后根据“SAS ”证明全等即可．【详解】(1)解：根据题意可得CD =2t cm ，CE =t cm ，故答案为：2t ，t ；(2)解：∵AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∵AH是△ABC的高，BC=10cm，∴BH=CH=5，当点D位于点H右边时，CD=CH-HD=5-2=2t，解得：t=3 2；当点D位于点H左边时，CD=CH+DH=5+2=7=2t，解得：t=7 2，综上所示：当点D到点H的距离为2cm时，t的值为32s或72s；(3)解：△ABD与△ACE全等，理由如下：当t=103s时，CD=2t=2×103=203cm，CE=t=103cm，∴BD=BC-CD=10-203=103cm，∴BD=CE，∵CM⊥BC，∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ACE=45°，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠B=∠ACEBD=CE，∴△ABD≌△ACE(SAS)．【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质，一元一次方程的应用，等腰直角三角形的性质，灵活运用相关知识点列方程求解是关键．5.(2022·江苏徐州·八年级期中)如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是斜边AB的中点，点E、F分别在边AC、BC上，且DE⊥DF，垂足为D．(1)如图1，当DE⊥AC时，DE、DF的大小关系是______；(2)如图2，将∠EDF绕点D点旋转，(1)中的关系还成立吗？请说明理由；(3)如图3，连接EF，试探究AE、BF、EF之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】(1)DE=DF(2)成立，理由见解析(3)EF2=AE2+BF2，证明见解析【分析】(1)连接CD，由DE⊥AC，得∠DEC=90°=∠ACB=∠EDF，可得DF⊥BC，而AC= BC，D为AB中点，知CD是∠ACB的平分线，即得DE=DF；(2)过D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，同(1)可得DM=DN，由∠DMC=∠DNC=∠ACB= 90°，可得∠MDN=90°=∠EDF，从而∠MDE=∠NDF，可证△DME≌△DNF(AAS)，故DE= DF；(3)过D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，由(2)知△DME≌△DNF，可得ME=NF，DE=DF，DM=DN，即可得EF2=2DE2，而AC=AB，∠ACB=90°，有∠A=∠B=45°，从而AM=DM= DN=BN，设ME=NF=x，则AM=AE-x=DM，BN=BF+x=DN，由AM=BN，得AE-x=BF+x，x=AE-BF2，即ME=AE-BF2，DM=AE-x=AE+BF2，又DE2=DM2+ME2，即可得EF2=2DE2=AE2+BF2．【详解】(1)解：DE=DF，理由如下：连接CD，如图：∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°=∠ACB=∠EDF，∴∠DFC=90°，即DF⊥BC，∵AC=BC，D为AB中点，∴CD是∠ACB的平分线，∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE=DF(角平分线上的点到两边的距离相等)；故答案为：DE=DF；(2)将∠EDF 绕点D 点旋转，(1)中的关系还成立，理由如下：过D 作DM ⊥AC 于M ，DN ⊥BC 于N ，如图：同(1)可得DM =DN ，∵∠DMC =∠DNC =∠ACB =90°，∴∠MDN =90°=∠EDF ，∴∠MDN -∠EDN =∠EDF -∠EDN ，即∠MDE =∠NDF ，∵∠DME =90°=∠DNF ，∴△DME ≌△DNF (AAS )，∴DE =DF ；(3)EF 2=AE 2+BF 2，证明如下：过D 作DM ⊥AC 于M ，DN ⊥BC 于N ，如图：由(2)知△DME ≌△DNF ，∴ME =NF ，DE =DF ，DM =DN ，∵∠EDF =90°，∴DE 2+DF 2=EF 2，∴EF 2=2DE 2，∵AC =AB ，∠ACB =90°，∴∠A =∠B =45°，∵DM ⊥AC 于M ，DN ⊥BC 于N ，∴AM =DM =DN =BN ，设ME =NF =x ，则AM =AE -x =DM ，BN =BF +x =DN ，∵AM =BN ，∴AE -x =BF +x ，∴x =AE -BF 2，即ME =AE -BF 2，∴DM =AE -x =AE +BF 2，∵DE 2=DM 2+ME 2=AE +BF 2 2+AE -BF 2 2=AE 2+BF 22，∴EF 2=2DE 2=AE 2+BF 2．【点睛】本题考查等腰直角三角形中的旋转问题，涉及三角形全等的判定与性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．6.(2022·湖北·武汉市黄陂区教学研究室八年级期中)如图，点D ，E 在△ABC 的边BC 上，AB =AC ，AD =AE ．(1)如图1，求证：BD =CE ；(2)如图2，当AD =CD 时，过点C 作CM ⊥AD 于点M ，如果DM =2，求CD -BD 的值．【答案】(1)见解析(2)4【分析】(1)过A 作AH ⊥BC 于点H ，根据三线合一可得：BH =CH ，DH=EH ，即可证明；(2)过A 作AH ⊥BC 于点H ，易证△AHD ≌△CMD ，可得MD =DH ，即可求解．【详解】(1)证明：如图过A 作AH ⊥BC 于点H ，∵AB =AC ，AH ⊥BC ，∴BH =CH ，∵AD =AE ，∴DH =EH ，∴BD =CE ；(2)解：过A 作AH ⊥BC 于点H ，在△AHD 和△CMD 中，∠CDM =∠ADH∠CMD =∠AHD =90°CD =AD∴△AHD ≌△CMD AAS ，∴DH =MD ，∴CD -BD =CH +DH -BH -DH =2DH =2MD =4．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质“三线合一”，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．7.(2022·浙江·杭州市大关中学九年级期中)如图，在△ABC 中，AB =AC ,∠A =30°,AB =10，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，交AC 于点E ，连接DE ，过点B 作BP 平行于DE ，交⊙O 于点P ，连接CP ,OP ．(1)求证：点D 为BC的中点；(2)求AP 的长度．【答案】(1)见解析(2)5π2【分析】(1)连接AD ，可得AD ⊥BC ，再由等腰三角形的性质，即可求证；(2)由等腰三角形的性质，可得∠ABC =75°，再根据四边形ABDE 为⊙O的内接四边形，可得∠EDC =∠BAC =30°，然后根据BP ∥DE ，可得∠PBC =∠EDC =30°，从而得到∠OBP =∠ABC -∠PBC =45°，然后根据圆周角定理可得∠AOP =90°，再根据弧长公式计算，即可求解．【详解】(1)证明：如图，连接AD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，即AD ⊥BC ，∵AB =AC ，∴BD =CD ，即点D 为BC 的中点；(2)解：∵∠BAC =30°，AB =AC ，∴∠ABC =12×180°-30° =75°，∵四边形ABDE 为⊙O 的内接四边形，∴∠EDB +∠BAC =180°，∵∠EDB +∠EDC =180°，∴∠EDC =∠BAC =30°，∵BP ∥DE ，∴∠PBC =∠EDC =30°，∴∠OBP =∠ABC -∠PBC =45°，∵OB =OP ，∴△OBP 为等腰直角三角形，∴∠BOP =90°，∴∠AOP =90°，∵AB =10，∴半径OA =5，∴AP 的长度为90π×5180=5π2．【点睛】本题主要考查了求弧长，圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握弧长公式，圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．8.(2022·湖北黄石·九年级期中)如图，△ABC 中，AB =AC ，AH ⊥BC 于H ，BD ⊥AC 于D ，AH ，BD 相交于点O ，以O 为圆心、OD 为半径的⊙O 交BC 于点E 、F ，已知AD =6，BD =8．(1)求证：AB 是⊙O 的切线；(2)求⊙O 的半径；(3)求弦EF 的长．【答案】(1)见解析；(2)3；(3)4．【分析】(1)过点O 作OM ⊥AB 于点M ，利用角平分线的性质得到OM=OD ，即可；(2)利用勾股定理求得AC =AB =10，从而得到CD =4，再由勾股定理求得BC =45，则BH =CH =25，再由勾股定理得到AH =45，由△AOD ∽△ABH 得到AD AH=OD BH ，即可求解；(3)连接OE ，求得OH ，利用勾股定理得到EH ，即可求解．【详解】(1)证明：过点O 作OM ⊥AB 于点M ，如图∵AH ⊥BC ，AB =AC∴AH 平分∠BAC又∵OM ⊥AB ，OD ⊥AC∴OM =OD∴AB 是⊙O 的切线；(2)解：由勾股定理可得，AB =AD 2+BD 2=10，AC =10，则CD =4，由勾股定理可得：BC =BD 2+CD 2=45，由题意可得：AH 为中线，∴BH =CH =25由勾股定理可得：AH =AB 2-BH 2=45由(1)可得∠BAH =∠OAD ，又∵∠ADB =∠AHB =90°∴△AOD ∽△ABH ，∴AD AH =OD BH ，即645=OD 25解得：OD =3，即半径为3．(3)连接OE ，如下图：由题意可得：OE =3，OH ⊥EF∴EH =HF在Rt △AOD 中，由勾股定理可得：AO =OD 2+AD 2=35∴OH =AH -AO =5，在Rt△OEH中，由勾股定理可得：EH=OE2-OH2=2∴EF=2EH=4【点睛】此题考查了切线的判定，垂径定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质．9.(2022·江苏·泰州中学附属初中八年级阶段练习)按要求作图．(1)如图(1)，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，AC=BC,AE是△ABC的中线．①在AD取一点F使得EF∥CD；(仅使用无刻度的直尺画图)．②画出△ABC的高CH．(仅使用无刻度的直尺画图)．(2)如图(2)，四边形ABCD是平行四边形，在线段CD找一点E，使得BE平分∠AEC．(仅使用圆规画图)【答案】(1)①见解析；②见解析(2)见解析【分析】(1)①连接BD交AC于O点，则OB=OD，则OE为△BCD的中位线，可得OE∥CD，延长EO交AD于F，则EF满足条件；②设BD交AE于P点，则P点为△ABC的三条中线的交点，然后延长CP交AB于H，CH为AB边上的中线，再由AC=BC，根据等腰三角形的性质得到CH⊥AB；(2)以A点为圆心，AB为半径画弧交DC于E点，则AE=AB，可得∠AEB=∠ABE，再根据CD∥AB，可知∠ABE=∠CEB，从而得到∠CEB=∠AEB，即可．【详解】(1)解：①如图1，连接BD交AC于O点，并延长EO交AD于F，F点即为所作；理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，∵AE是△ABC的中线．∴OE为△BCD的中位线，∴OE∥CD，即EF∥CD；②如图1，设BD交AE于P点，延长CP交AB于H，CH即为所作；理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，∵AC=BC,AE是△ABC的中线．∴P点为△ABC的三条中线的交点，∴CH为AB边上的中线，∴CH⊥AB，即CH是△ABC的高；(2)解：如图2，以A点为圆心，AB为半径画弧交DC于E点，则线段BE为所作．理由：根据作法得：AE=AB，∴∠AEB=∠ABE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABE=∠CEB，∴∠CEB=∠AEB，即BE平分∠AEC．【点睛】本题考查了作图--复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，等腰三角形的性质以及平行线的性质．10.(2022·湖南长沙·九年级期中)如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O，与AB边相交于点D，与BC边相交于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F．(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)求证：点E是CD的中点；(3)若⊙O的直径为18，BC=12，求AD的长．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)AD的长为14．【分析】(1)连接OE，利用等腰三角形的性质，证明OE∥AB即可证明；(2)利用圆周角定理以及等腰三角形三线合一的性质即可证明；(3)连接AE、CD，利用直径所对的圆周角是直角、等腰三角形三线合一以及证明△ABE∽△CBD，即可解答．【详解】(1)证明：连接OE，∵EF⊥AB，∴∠EFD=∠EFB=90°，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵OC=OE，∴∠C=∠OEC，∴∠OEC =∠B ，∴OE ∥AB ，∴∠OEF =∠EFB =90°，∵OE 是⊙O 的半径，∴EF 是⊙O 的切线；(2)证明：如图，连接AE ，∵AC 是直径，∴AE ⊥BC ，∵AB =AC ，∴∠BAE =∠CAE ，∴DE =CE ，∴点E 是CD 的中点；(3)解：连接AE 、CD ，∵AC 是⊙O 的直径，AB =AC ，BC =12，∴∠CDB =∠AEC =∠AEB =90°，BE =CE =6，∵∠B =∠B ，∴△ABE ∽△CBD ，∴AB CB=BE BD ，即1812=6BD ，解得：BD =4，∴AD =AB -BD =18-4=14，故AD 的长为14．【点睛】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．11.(2022·广东·广州市白云区白云实验学校八年级期中)在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，BD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ．(1)如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；(2)点M是AC边上一个动点(不与点D重合)，以BM为一边，在BM的下方作∠BMG=60°，MG 交射线DE于点G．请画出完整图形，探究MD，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．【答案】(1)见详解(2)画图见详解，当分M点在线段AD上时，AD+MD=DG；当M点在线段DC上时，AD-MD= DG．【分析】(1)根据含30°角的直角三角形的性质可得∠ABC=60°，BC=12AB，根据BD是△ABC的角平分线，可得∠ABD=∠CBD=30°，即有可得△ABD是等腰三角形，结合DE⊥AB和DE是△ABD的中线，可得AE=BE=12AB，问题随之得解；(2)分M点在线段AD上和M点在线段DC上两种情况来补全图形：当分M点在线段AD上时，延长BD至N点，使得MD=ND，连接MN，先证明△MND是等边三角形，再证明△MNB≌△MDG ASA，即可得解；当M点在线段DC上时，延长GD至H，使得DH=MD，连接HM，BD与MG交于点Q，先证明△MDH是等边三角形，再证明△HMG≌△D MB AAS，即可得解．【详解】(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°，BC=12AB，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠CBD=30°，∴∠ABD=∠A，∴AD=BD，∴△ABD是等腰三角形，∵DE⊥AB，∴DE是△ABD的中线，∴AE=BE=12AB，∵BC=12AB，∴BC=BE，∵∠ABC=60°，∴△EBC是等边三角形；(2)补全图形如下：(分M点在线段AD上和M点在线段DC上两种情况)当分M点在线段AD上时，延长BD至N点，使得MD=ND，连接MN，如图，在(1)中求得：∠ABD=∠CBD=30°=∠A，∵∠DEA=∠DEB=90°，∴∠EDA=∠EDB=60°，∵∠BMG=60°，∴∠EDA=∠EDB=60°=∠BMG，∴∠NDM=180°-∠EDB-∠EDA=60°，∵MD=ND，∴△MND是等边三角形，∴MD=ND=MN，∠NMD=60°=∠N，∴∠N MB=∠NMD+∠D MB=∠G MB+∠D MB=∠GMD，∵∠ADE=60°=∠N，MD=MN，∴△MNB≌△MDG ASA，∴NB=DG，∴DB+ND=DG，根据(1)可知AE=BE=12AB，DE⊥AB，∴DG是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∵MD=ND，∴AD+MD=DG；当M点在线段DC上时，延长GD至H，使得DH=MD，连接HM，BD与MG交于点Q，如图，∵∠EDA=∠EDB=60°=∠BMG，∴∠HDM=∠EDA=60°，∠MDB=180°-∠EDA-∠EDB= 60°，∵DH=MD，∴△MDH是等边三角形，∴DM=HM，∠H=60°，∵∠EDB=60°=∠BMG，∠DQG=∠BQM，∴∠DGQ=∠QBM，∵∠H=∠MDB，DM=HM，∴△HMG≌△D MB AAS，∴HG=BD，∵HD=MD，AD=BD，∴AD=BD=HG=HD+DG=MD+DG，∴AD-MD=DG；综上：当分M点在线段AD上时，AD+MD=DG；当M点在线段DC上时，AD-MD=DG．【点睛】此题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，根据已知正确作出辅助线是解题关键．12.(2022·福建·上杭县教师进修学校八年级期中)数学活动课上老师出示如下问题，供同学们探究讨论：如图，在△DEF中，DE=DF，点B在EF边上，且∠EBD=60°，C是线段BD上的一个动点(不与点B重合，且BC≠BE)，在线段BE上截取BA=BC，连接AC．试探究线段AE,BF,CD之间的数量关系．小敏与同桌小聪经过深入的思考讨论后，进行了如下探究：特殊入手，探索结论：(1)①如图，若点C与点D重合，即线段CD=0，观察此时线段AE,BF之间的数量关系是AE=BF，即有：AE=BF+CD，请你说明AE=BF的理由；特例启发，猜测结论：②若点C不与点D重合，猜测线段AE,BF,CD之间的数量关系是___________，并给予证明；完成上面的问题后，老师继续提出下列问题，请同学们探究讨论：深入探究，拓展结论：(2)在上面的问题中，若把“点C是线段BD上的一个动点”改为“点C是射线BD上的一个动点，其它条件都不变．”，则当点C在线段BD的延长线上时，请你用等式表示线段AE,BF,CD之间的数量关系(自行画图探究，直接写出结果，不需要证明)．【答案】(1)①见解析，②AE=BF+CD，见解析(2)当BC<BE时，数量关系是：BF=AE+CD，当BC>BE时，数量关系是：CD=AE+BF，见解析【分析】(1)①过D作DG⊥EF于G，利用等腰和等边三角形的性质，即可得证；②在BE上截取BG =BD，连接DG，利用等腰和等边三角形的性质，即可得证；(2)分BC<BE和BC>BE两种情况分类讨论，求解即可．【详解】(1)证明：①∵BA=BC，∠EBD=60°，∴△ABC是等边三角形过D作DG⊥EF于G，则有：EG=FG；AG=BG∴EG-AG=FG-BG，∴AE=BF；②数量关系为：AE=BF+CD，证明如下：在BE上截取BG=BD，连接DG，∵BA=BC∴BG-BA=BD-BC，∴AG=CD∵∠EBD=60°，BG=BD，∴△GB D是等边三角形∴由①的结论可得：EG=BF∴AE=EG+AG=BF+CD。

中点四大模型专题知识解读【专题说明】线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行等的应用。

【方法技巧】模型1 ：倍长中线法如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线.当题中出现中线时，我们经常根据需要将AD延长，使延长部分和中线相等，这种方法叫做“倍长中线”.如下图：此时，易证△ACD≌EDB，进而得到AC=BE且AC//BE.模型2：平行线夹中点如图，AB//CD，点E是BC的中点.可延长DE交AB于点F.模型3：中位线如图，在△ABC中，点D是AB边的中点.可作另一边AC的中点，构造三角形中位线.如下图所示：由中位线的性质可得，DE//BC且DE=1/2BC.模型4：连接直角顶点，构造斜中定理【典例分析】【模型1 倍长中线法】【典例1】【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）求得AD的取值范围是．A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC ＝BF．【变式1-1】（1）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．（2）受到（1）启发，请你证明下面的问题：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．求证：BE+CF＞EF.【变式1-2】如图，在△ABC中，已知：点D是BC中点，连接AD并延长到点E，连接BE．（1）请你添加一个条件使△ACD≌△EBD，并给出证明．（2）若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．【变式1-3】阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证明AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中两种对原题进行证明．（1）延长DE到F，使得EF＝DE；（2）作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延长线于F；（3）过点C作CF∥AB交DE的延长线于F．【模型2 平行线夹中点】【典例2】如图，已知AB＝12，AB⊥BC，垂足为点B，AB⊥AD，垂足为点A，AD＝5，BC ＝10，点E是CD的中点，求AE的长．【变式2-1】如图，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝1，BC＝4，CD＝3，取AD的中点E，连结BE，则BE＝．【变式2-2】如图，公园有一条“Z”字形道路AB﹣BC﹣CD，其中AB∥CD，在E、M、F 处各有一个小石凳，且BE＝CF，M为BC的中点，连接EM、MF，请问石凳M到石凳E、F的距离ME、MF是否相等？说出你推断的理由．【变式2-3】如图：已知AB∥CD，BC⊥CD，且CD＝2AB＝12，BC＝8，E是AD的中点，①请你用直尺（无刻度）作出一条线段与BE相等；并证明之；②求BE的长．【模型3 中位线】【典例3】如图，△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC中点，AD⊥BD，AC＝7，AB＝4，则DE的值为（）A．1B．2C．D．【变式3-1】如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为．【变式3-2】如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使，连接CD和EF．（1）求证：CD＝EF；（2）四边形DEFC的面积为．【变式3-3】如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC的延长线上，CE＝DE＝2BC．CD 的中点为F，DE的中点为G，连接AF，FG．（1）求证：四边形AFGD为菱形；（2）连接AG，若BC＝2，，求AG的长．【模型4 连接直角顶点，构造斜中定】【典例4】用三种方法证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，∠BCA ＝90°，AD＝DB．求证：CD＝AB．【变式4-1】直角三角形斜边上的中线长为10，则该斜边长为（）A．5B．10C．15D．20【变式4-2】如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，D是边AB的中点，延长线段DE 交边BC于点F，点F是边BC的中点．若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（）A．7B．C．8D．9【变式4-3】用两种方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．求证：CD＝AB．证法1：如图2，在∠ACB的内部作∠BCE＝∠B，CE与AB相交于点E．∵∠BCE＝∠B，∴．∵∠BCE+∠ACE＝90°，∴∠B+∠ACE＝90°．又∵，∴∠ACE＝∠A．∴EA＝EC．∴EA＝EB＝EC，即CE是斜边AB上的中线，且CE＝AB．又∵CD是斜边AB上的中线，即CD与CE重合，∴CD＝AB．请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．专题02 中点四大模型在三角形中应用（知识解读）【专题说明】线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行的应用。

2022年中考几何模型一、角平分线模型知识精讲1. 过角平分线上一点向角的两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边的距离相等的性质来解决问题2. 若题目中已经有了角平分线和角平分线上一点到一边的垂线段（距离），则作另一边的垂线段，例：已知：AD是的平分线，，过点D于点E，则.3. 在角的两边上取相等的线段，结合角平分线构造全等三角形（角边等，造全等），已知：点D是平分线上的一点，在OA、OB上分别取点E、F，且，连接DE、DF4. 过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，例：已知：点D是平分线上的一点，过点D作三角形，即.5. 有角平分线时，过角一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边所在直线于一点，也可构造等腰三角形，例：已知：OC平分，点D是OA上一点，过点D作交OB的反向延长线于点E，则.6. 从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的另一边相交，则可得到一个等腰三角形，例：已知：OE平分∠AOB，点D在OA上，DE⊥OE，则可延长DE交OB于点F，则DE＝EF，OD＝OF，∠ODF＝∠OFD.7. 有角平分线时，可将等角放到直角三角形中，构造相似三角形，也可以另加一对相等的角构造相似三角形，例：4321DA4231EFCB（1）已知：OC 平分，点E 、F 分别在OA 、OB 上，过点E M ，过点F N（2）已知：OC 平分，点E 、F 在OC 上，于点M ，于点N ，则（3）已知：OC 平分，点E 、F 在OC ，8. 利用“在同圆或等圆中，相等的圆周角（圆心角）所对的弦相等”可得相等线段，例：已知：∠BAC 是圆O 的圆周角，∠DOE 是圆O 的圆心角，AF 平分∠BAC ，OG 平分∠DOE ，连接BF 、CF 、DG 、EG ，则BF ＝CF ，DG ＝EG .9. 【内内模型】如图，两个内角平分线交于点D ，则.10. 【内外模型】如图，的一个内角平分线和一个外角平分线交于点D ，则.11. 【外外模型】如图，交于点D ，则.二、中点模型知识精讲1. 在等腰三角形中有底边中点或证明底边中点时，可以作底边的中线，利用等腰三角形的“三线合一”性质来解决问题.例：已知：在△ABC中，AB＝AC，取BC的中点D，连接AD，则AD平分∠BAC，AD是边BC上的高，AD是BC边上的中线.【说明】应用等腰三角形“三线合一”的性质是证明两条直线垂直的重要方法.2. 在直角三角形中，有斜边中点或有斜边的倍分关系线段时，可以作斜边的中线解决问题，例：（1）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，连接CD，则CD＝AD＝BD.（2）如图，在Rt△ABC中，AB＝2BC，作斜边AB上的中线CD，则AD＝BD＝CD＝BC，△BCD是等边三角形.【总结】在直角三角形中，若遇到斜边的中点，则连接直角顶点与斜边的中点是解决问题的基本方法，作这条辅助线的目的是得到三条相等的线段及两对相等的角. 3. 将三角形的中线延长一倍，构造全等三角形或平行四边形（倍长中线），例：（1）如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，则△ADC≌△EDB.（2）如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，则四边形ABEC是平行四边形.4. 将三角形中线上的一部分延长一倍，构造全等三角形或平行四边形，例：如图，已知点E是△AD上的一点，延长AD至点F，使得DE＝DF，连接BF、CF，则四边形BFCE为平行四边形或△BDF≌△CDE或△BED≌△CFD.【总结】证明两条线段相等常用的方法：①当要证明的两条线段是两个三角形的边时，一般通过证明这两条线段所在的两个三角形全等，通过三角形全等的对应边相等来证明两条线段相等；②当两条线段是同一个三角形的两条边时，一般证明这两条边所对的角相等，利用等角对等边证明两条线段相等.5. 有以线段中点为端点的线段时，可以倍长此线段，构造全等三角形或平行四边形，例：如图，已知点C边AE上一点，O为AB的中点，延长CO至点D，使得，连接AD、BD，四边形ADBC为平行四边形.6. 有三角形中线时，可过中点所在的边的两端点向中线作垂线，构造全等三角形，例：如图，AF为△ABC的中线，作BD⊥AF交AF延长线于点D，作CE⊥AF于点E，则△BDN≌△CEN.7. 在三角形中，有一边的中点时，过中点作三角形一边的平行线或把某条线段构造成中位线，利用已知的条件可求线段长，例：如图，D为AB的中点，过点D作DE∥BC，则DE为△ABC的中位线；过点B作BF∥DC 交AC的延长线于点F，则DC为△ABF的中位线.8. 有两个（或两个以上）中点时，连接任意两个中点可得三角形的中位线，例：如图，D、E、F分别为△ABC三边中点，连接DE、DF、EF，则.9. 有一边中点，并且在已知或求证中涉及线段的倍分关系时，可以取另一边的中点，构造三角形的中位线，例：如图，点E是△ABC边BC的中点，取AC的中点F，连接EF，则EF∥AB，10. 当圆心与弧（或弦）的中点，可以利用垂径定理解决问题，例：（1）如图，，连接AC、OB，则OB⊥AC，OB平分AC.（2）如图，点C为弦AB的中点，连接OC，则OC⊥AB.三、平行模型知识精讲在一些有平行线却没有截线的问题中，通常需要添加辅助线构造“三线八角”，再运用平行线的有关知识解题，常见的辅助线添加方式如下：如果遇到两条平行线之间夹折线，一般应过折点作出与已知平行线平行的直线.1. 如图，已知AB∥CD，点E为AB、CD间的一点，过点E作EF∥AB，则∠A＋∠C＝∠AEC.2. 如图，已知AB∥CD，则∠A＋∠AEC＋∠C＝360°.3. 如图，AB∥CD，则∠B＝∠D＋∠E.4. 如图，AB∥CD，则∠BEG＋∠D＋∠F＝180°.5. 如图，AB∥CD，则∠ABE＝∠D＋∠E.四、垂直模型1. 在三角形中，若题目中已经有一边的高了，常作另一边上的高，然后用同角的余角相等证明角相等.例：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC交AC于点E，交AD于点F，则∠CBE＝∠CAD，∠AFE＝∠C＝∠BFD.除了能得到角度间的关系外，还可以通过构造相似三角形来证明线段成比例或者用于求线段的长度.2. 在四边形中，如果有高线，可以再作垂线，构造特殊的四边形或者直角三角形.例：如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，则四边形BCDE为矩形，△ADE为直角三角形.3. 在直角三角形中，常作斜边上的高，利用同角（等角）的余角相等，可得到相似三角形.例：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB于点D，则∠A＝∠DCB，∠B＝∠ACD，△ABC∽△CBD∽△ACD.4. 若题中已有直线的垂线时，可再作已知直线的垂线，得到两条平行线.例：如图，在△ABC中，AF⊥BC于点F，过AB上一点D作DE⊥BC于点E，则DE∥AF，∠BDE＝∠BAF，∠ADE＋∠BAF＝180°，△BDE∽△BAF.5. 若存在过一条直线上两点同时向另一条直线作垂线，可以再作一条垂线，构造一组平行线，利用平行线等分线段定理解决问题.6. 当两条互相垂直的弦的交点恰好在圆上，构成90°的圆周角，可构造直径.例：如图，点A在圆O上，∠BAC＝90°，连接BC，则BC就是圆O的直径.7. 当圆中有互相垂直的弦时，经常作直径所对的圆周角，可以得到垂直于同一条直线的两条直线，利用平行弦所夹的弧相等来解决问题.例：在圆O中，弦AB⊥CD于点E，连接CO并延长交圆O于点F，连接DF，则FD⊥CD，FD∥AB，.8. 当圆中有和弦垂直的线段时，作直径所对的圆周角，可以得到直角三角形，通过相似三角形来解决问题.例：如图，△ABC内接于圆O，CD⊥AB于点D，连接CO并延长交圆O于点E，连接AE，则△ACE∽△DCB.五、对角互补模型知识精讲1. 全等型—90º如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB.则可以得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③2. 如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90º，OC 平分∠AOB.则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③.3. 全等型—60º和120º如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120º，OC平分∠AOB.则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.4. 全等型—和如图，已知∠AOB＝，∠DCE＝，OC平分∠AOB.则可以得到以下结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝2OC·cos，③.5. 相似型—90º如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，∠BOC＝.结论：CE＝CD·.六、半角模型知识精讲1. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则BE＋DF＝EF.2. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则AE平分∠BEF，AF平分∠DFE.3. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则4. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，过点A作AH⊥EF交EF于点H，则AH＝AB.简证：由上述结论可知AE平分∠BEF，又∵AB⊥BC，∴AH＝AB.5. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，. 简证：由结论1可得EF＝BE＋DF，CE＋CF＋EF＝CE＋CF＋BE＋DF＝2AB.6. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.简证：如图，将△AND绕点A顺时针旋90º得到△AGB，连接GM.通过证明△AMG≌△AMN得MN＝MG，DN＝BG，∠GBE＝90º，即可证.7. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则△BME△DFN△AMN△BAN△DMA△AFE.简证：通过证明角相等得到三角形相似，要善于使用上述结论.8. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则简证：连接AC，∵∠DAF＝∠EAC，∠ADB＝∠ACB，∴△ECA△NDA，又∵△AMN△AFE，∴.【补充】通过面积比是相似比的平方比亦可得到9. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.简证：由结论7可得△DAM△BNA，∴，即.10. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.简证：设，在Rt△CEF中，，化简得，.11. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则当BE＝DF时，EF.证明：如图，作△AEF的外接圆，点P为EF的中点，连接OA、OE、OF、PC，过点A作AH⊥EF.∵∠EAF＝45º，∴∠EOF＝90º，设，则，∴当点A、O、P、C四点共线时，即BE＝DF，、EF大值.12. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N简证：由结论8可得△△ECA△NDA，同理可得补充：等腰直角三角形与“半角模型”如图所示，在等腰直角三角形ABC中，若∠DCE＝45º，则.证明：如图，将△ACD绕着点C顺时针旋转90º得到△，连接.∵旋转，∴△ACD≌△，∴AD＝，在△DCE与△中，ED＝，∵∠BE＝∠BC＋∠EBC＝∠DAC＋∠EBC＝90º，∴，.七、倍半角模型知识精讲一、二倍角模型处理方法1. 作二倍角的平分线，构成等腰三角形.例：如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，作∠ABC的平分线交AC于点D，则∠DBC＝∠C，DB＝DC，即△DBC是等腰三角形.2. 延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形.例：如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，延长CB到点D，使得BD＝AB，连接AD，则△ABD、△ADC都是等腰三角形.二、倍半角综合1. 由“倍”造“半”已知倍角求半角，将倍角所在的直角三角形相应的直角边顺势延长即可.如图，若，则（）2. 由“半”造“倍”已知半角求倍角，将半角所在的直角三角形相应的直角边截取线段即可.如图，在Rt△ABC（∠A＜45º）的直角边AC上取点D，当BD＝AD时，则∠BDC＝2∠A，设，则，在Rt△BCD中，由勾股定理可得，解得，故有.三、一些特殊的角度1. 由特殊角30º求tan15º的值如图，先构造一个含有30º角的直角三角形，设BC＝1，，AB＝2，再延长CA至D，使得AD＝AB＝2，连接BD，构造等腰△ABD，则∠D＝∠BAC＝15º，.2. 由特殊角45º求tan22.5º的值由图可得，.3. “345”三角形（1）如图1，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，，；（2）如图2，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，，；（3）如图3，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，，.八、全等模型知识精讲一、几何变换中的全等模型1. 平移全等模型，如下图：2. 对称（翻折）全等模型，如下图：3. 旋转全等模型，如下图：二、一线三等角全等模型4. 三垂直全等模型，如图：5. 一线三直角全等模型，如图：6. 一线三等角与一组对应边相等全等模型，如图：三、手拉手全等模型7. 等腰三角形中的手拉手全等模型如图，△ABC与△ADE均为等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，连接BD、CE，则△ABD ≌△ACE.8. 等边三角形中的手拉手全等模型如图，△ABC与△CDE均为等边三角形，点B、C、E三点共线，连接AE、BD，则△BCD≌△ACE.9. 一般三角形中的手拉手全等模型如图，在任意△ABC中，以AB为边作等边△ADB，以AC为边作等边△ACE，连接DC、BE，则△ADC≌△ACE.10. 正方形中的手拉手全等模型如图，在任意△ABC中，以AB为边作正方形ABDE，以AC为边作正方形ACFG，连接EC、BG，则△AEC≌△ABG.九、相似模型知识精讲1. A字型与反A字型相似2. 8字型与反8字型相似3. 蝴蝶型相似4. 共角共边相似模型5. 一线三等角6. 旋转相似模型拓展讲解：1. 射影定理（1）双垂直，如图：结论①△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC；②△ADC∽△ACB，AC2＝AD·AB；③△CDB∽△ACB，CB2＝BD·BA.（2）斜射影相似结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.2. 对角互补相似如图，在Rt△ABC中，∠C＝90º，点O是AB的中点，若∠EOF＝90º，则.证明：过点O作OD⊥AC于点D，OH⊥BC于点H，如图所示：通过△ODE∽△OHF即可得到3. 三平行相似如图，AB∥EF∥CD，若，则.证明：∵EF∥AB，∴△DEF∽△DAB，∴，即①同理△BEF∽△BCD，∴，即②①＋②，得，.4. 内接矩形相似如图，四边形DEFG是△ABC的内接矩形，EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，则△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，.十、倍长中线模型知识精讲1. 如图，在矩形ABCD中，若BD＝BE，DF＝EF，则AF⊥CF.2. 如图，四边形ABCD是平行四边形，BC＝2AB，M为AD的中点，CE⊥AB于点E，则∠DME＝3∠AEM.3. 如图，△ADE与△ABC均为等腰直角三角形，且EF＝CF，求证（1）DF＝BF；（2）DF⊥BF.4. 如图，△OAB∽△ODC，∠OAB＝∠ODC＝90º，BE＝EC，求证：（1）AE＝DE；（2）∠AED＝2∠ABO.十一、弦图模型知识精讲1. 证法一以a、b为直角边（b＞a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2. 证法二以a、b为直角边（b＞a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于3. 证法三以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于4. 证法四如图所示，分别以a、b为直角边，以c为斜边的四个直角三角形全等，图中3个正方形的边长分别为a、b、c，整个图形的面积为S5. 证法五分别以a、b为直角边，以c为斜边的四个直角三角形全等，将它们按如图所示拼成一个多边形，并延长AC交DF于点P.。

初中几何“中点问题”七大模型
模型一多个中点出现或平行＋中点（中点在平行线上）时，常考虑或构造三角形中位线
练一练
答案：
模型二直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线等于斜边的一半”
练一练
答案：
模型三等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质
练一练
答案：
模型四遇到三角形一边垂线过这边中点时，可以考虑用垂直平分线的性质
练一练
答案：
模型五中线等分三角形面积
练一练
答案：
模型六圆中弦（或弧）的中点，考虑垂径定理及圆周角定理
练一练
答案：
模型七遇到三角形一边上的中点（中线或与中点有关的线段），考虑倍长中线法构造全等三角形
练一练
答案：。

2024中考数学核心几何模型重点突破专题01线段的中点模型模型分析【理论基础】如图，已知点M 是线段AB 的中点⇒AB BM AM 21==【模型变式1】双中点求和型如图已知点M 是线段AB 上任意一点，点C 是AM 的中点，点D 是BM 的中点⇒AB CD 21=【证明】点C 是AM 的中点，点D 是BM 的中点MB MD AM CM 21,21==∴MD CM CD +=AB MB AM CD 212121=+=∴AB CD 21=∴【模型变式2】双中点求差型如图点M 是线段AB 延长线上任意一点，点C 是线段AM 的中点，点D 是线段BM 的中点⇒AB CD 21=【证明】点C 是线段AM 的中点，点D 是线段BM 的中点MB MD AM CM 21,21==∴MDCM CD -=)(212121MB AM MB AM CD -=-=∴AB CD 21=∴【模型总结】两中点之间的线段，等于原线段的一半。

典例分析【例1】已知线段AB=10cm ，点C 是直线AB 上一点，BC=4cm ，若M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，则线段MN 的长度是（）A ．7cm B ．3cm C ．7cm 或3cm D ．5cm【例2】如图，点C 是线段AB 上一点，AC <CB ，M 、N 分别是AB 和CB 的中点，8AC =，5NB =，则线段MN =__________．【例3】如图，已知点,,A B C 在同一直线上，,M N 分别是,AC BC 的中点．（1）若20,8AB BC ==，求MN 的长；（2）若,8AB a BC ==，求MN 的长；（3）若,AB a BC b ==，求MN 的长；（4）从（1）（2）（3）的结果中能得到什么结论？模型演练一、单选题1．（2021·内蒙古·中考真题）已知线段4AB =，在直线AB 上作线段BC ，使得2BC =．若D 是线段AC 的中点，则线段AD 的长为（）A ．1B ．3C ．1或3D ．2或32．点C 在线段AB 上，下列条件中不能确定点C 是线段AB 中点的是（）A ．AC BC =B ．AC BC AB +=C ．2AB AC =D ．12BC AB =3．如图，C 、D 是线段AB 上的两点，且D 是线段AC 的中点．若AB=10cm ，BC=4cm ，则BD 的长为（）A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm4．如图，C ，D 是线段AB 上的两点，E 是AC 的中点，F 是BD 的中点，若EF ＝8，CD ＝4，则AB 的长为（）A ．10B ．12C ．16D ．18二、填空题5．如图，点D 是线段AB 的中点，C 是线段AD 的中点，若AB ＝8cm ，则CD ＝___cm ．6．在直线上取A ，B ，C 三点，使得AB ＝9cm ，BC ＝4cm ，如果O 是线段AC 的中点，则线段OA 的长为_____．7．如图所示，B 、C 是线段AD 上任意两点，M 是AB 的中点，N 是CD 的中点，若MN ＝7cm ，BC ＝3cm ，则AD 的长为_____cm ．8．如图，C ，D 两点将线段AB 分为三部分，AC ∶CD ∶DB ＝3∶4∶5，且AC ＝6．M 是线段AB 的中点，N 是线段DB 的中点．则线段MN 的长为____________．三、解答题9．（2022·安徽·宣城市第六中学一模）如图所示，已知C ，D 是线段AB 上的两个点，点M 、N 分别为AC 、BD 的中点(1)若AB =16cm ，CD =6cm ，求AC +BD 的长和M ，N 的距离；(2)如果AB =m ，CD =n ，用含m ，n 的式子表示MN 的长10．已知线段AB 如图所示，延长AB 至C ，使BC ＝AB ，反向延长AB 至D ，使AD ＝BC ．点M 是CD 的中点，点N 是AD 的中点．(1)依题意补全图形；(2)若AB 长为10，求线段MN 的长度．11．已知点B 、D 在线段AC 上，（1）如图，若20AC =，8AB =，点D 为线段AC 的中点，求线段BD 的长度；（2）如图，若1134BD AB CD ==，AE BE =，13EC =，求线段AC 的长度．12．如图，点C 为线段AB 上一点，AB =30，且AC -BC =10．（1）求线段AC 、BC 的长．（2）点P 从A 点出发，以1个单位/秒的速度在线段AB 上向B 点运动，设运动时间为t 秒（20t <），点D 为线段PB 的中点，点E 为线段PC 的中点，若CD =25DE ，试求点P 运动时间t 的值．（3）若点D 为直线AB 上的一点，线段AD 的中点为E ，且12AD BD CE -=，求线段AD 的长．13．如图，线段AB ＝20，BC ＝15，点M 是AC 的中点．（1）求线段AM 的长度；（2）在CB 上取一点N ，使得CN ：NB ＝2：3．求MN 的长．14．如图，点C 在线段AB 上，8,6AC cm CB cm ==，点,M N 分别是AC BC ，的中点．()1求线段MN 的长;()2若C 为线段AB 上任一点，满足AC CB a +=，其它条件不变，猜想MN 的长度，并说明理由;()3若C 在线段AB 的延长线上，且满足,,AC BC b M N -=分别为AC BC ，的中点，猜想MN 的长度，请画出图形，写出你的结论，并说明理由;()4请用一句简洁的话，描述你发现的结论．参考答案与详细解析典例分析【例1】已知线段AB=10cm ，点C 是直线AB 上一点，BC=4cm ，若M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，则线段MN 的长度是（）A ．7cmB ．3cmC ．7cm 或3cmD ．5cm【答案】D【分析】先根据题意画出图形，再利用线段的中点定义求解即可．【解析】解：根据题意画图如下：∵10,4AB cm BC cm ==，M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，∴1115222MN MC CN AC BC AB cm =+=+==；∵10,4AB cm BC cm ==，M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，∴1115222MN MC CN AC BC AB cm =-=-==．故选：D ．【例2】如图，点C 是线段AB 上一点，AC <CB ，M 、N 分别是AB 和CB 的中点，8AC =，5NB =，则线段MN =__________．【答案】4【分析】根据中点的性质可得BC 的长，根据线段的和差可得AB 的长，根据中点的性质可得BM 的长，再根据线段的和差可得MN 的长．【解析】由N 是CB 的中点，NB =5，得：BC =2NB =10．由线段的和差，得：AB =AC +BC =8+10=18．∵M 是AB 的中点，∴1118922MB AB ==⨯=，由线段的和差，得：MN =MB -NB =9-5=4，故答案为：4.【例3】如图，已知点,,A B C 在同一直线上，,M N 分别是,AC BC 的中点．（1）若20,8AB BC ==，求MN 的长；（2）若,8AB a BC ==，求MN 的长；（3）若,AB a BC b ==，求MN 的长；（4）从（1）（2）（3）的结果中能得到什么结论？【答案】（1）10；（2）12a ；（3）12a ；（4）线段MN 的长度等于线段AB 的一半，与B 点的位置无关.【分析】（1）先求解,AC 再利用中点的含义求解,,MC NC 再利用线段的差可得答案；（2）先利用含a 的代数式,AC 再利用中点的含义，用含a 的代数式,,MC NC 再利用线段的差可得答案；（3）先利用含,a b 的代数式,AC 再利用中点的含义，用含,a b 的代数式,,MC NC 再利用线段的差可得答案；（4）由（1）（2）（3）总结出结论即可.【解析】解：（1）20,8AB BC ==，,M N 分别是,AC BC 的中点，1128,14,4,22AB BC AC MC AC NC BC ∴+======14410.MN MC NC ∴=-=-=（2）,8AB a BC ==，,M N 分别是,AC BC 的中点，1118,4,4,222AB BC AC a MC AC a NC BC ∴+==+==+==1144.22MN MC NC a a ∴=-=+-=（3）,AB a BC b ==，,M N 分别是,AC BC 的中点，11111,,,22222AB BC AC a b MC AC a b NC BC b ∴+==+==+==1111.2222MN MC NC a b b a ∴=-=+-=（4）由（1）（2）（3）的结果中可得：线段MN 的长度等于线段AB 的一半，与B 点的位置无关.模型演练一、单选题1．（2021·内蒙古·中考真题）已知线段4AB =，在直线AB 上作线段BC ，使得2BC =．若D 是线段AC 的中点，则线段AD 的长为（）A ．1B ．3C ．1或3D ．2或3【答案】C【分析】先分C 在AB 上和C 在AB 的延长线上两种情况，分别画出图形，然后运用中点的定义和线段的和差进行计算即可．【解析】解：如图：当C 在AB 上时，AC =AB -BC =2,∴AD =12AC =1如图：当C 在AB 的延长线上时，AC =AB +BC =6,∴AD =12AC =3故选C ．2．点C 在线段AB 上，下列条件中不能确定点C 是线段AB 中点的是（）A ．AC BC=B ．AC BC AB +=C ．2AB AC =D ．12BC AB =【答案】B【分析】根据线段中点的定义，结合选项一一分析，排除答案．显然A 、C 、D 都可以确定点C 是线段AB 中点．【解析】解：A 、AC =BC ，则点C 是线段AB 中点；B 、AC +BC =AB ，则C 可以是线段AB 上任意一点；C 、AB =2AC ，则点C 是线段AB 中点；D 、BC =12AB ，则点C 是线段AB 中点．故选：B ．3．如图，C 、D 是线段AB 上的两点，且D 是线段AC 的中点．若AB=10cm ，BC=4cm ，则BD的长为（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 【答案】B【分析】利用线段和的定义和线段中点的意义计算即可．【解析】∵AB=AC+BC，且AB=10，BC=4，∴AC=6，∵D是线段AC的中点，∴AD=DC=12AC=3，∴BD=BC+CD=4+3=7，故选B．4．如图，C，D是线段AB上的两点，E是AC的中点，F是BD的中点，若EF＝8，CD＝4，则AB的长为（）A．10B．12C．16D．18【答案】B【分析】由已知条件可知，EC+FD=EF-CD=8-4=4，又因为E是AC的中点，F是BD的中点，则AE+FB=EC+FD，故AB=AE+FB+EF可求．【解析】解：由题意得，EC+FD=EF-CD=8-4=4，∵E是AC的中点，F是BD的中点，∴AE=EC，BF=DF∴AE+FB=EC+FD=4，∴AB=AE+FB+EF=4+8=12．故选：B．二、填空题5．如图，点D是线段AB的中点，C是线段AD的中点，若AB＝8cm，则CD＝___cm．【答案】2【分析】由点D是线段AB的中点，C是线段AD的中点，可得14CD AB，即可求得答案．【解析】解：∵点D是线段AB的中点，∴12AD AB=，∵C是线段AD的中点，∴12CD AD=，∴1182cm44CD AB==⨯=，故答案为：2．6．在直线上取A，B，C三点，使得AB＝9cm，BC＝4cm，如果O是线段AC的中点，则线段OA的长为_____．【答案】2.5cm或6.5cm【分析】分两种情况：①当点C在线段AB上时，②当点C在线段AB的延长线上时，线求出AC，根据线段中点的定义求出OA．【解析】解：分两种情况：①当点C在线段AB上时，∵AB＝9cm，BC＝4cm，∴AC=AB-BC=9-4=5cm，∵O是线段AC的中点，∴1 2.52OA AC cm==；②当点C在线段AB的延长线上时，∵AB＝9cm，BC＝4cm，∴AC=AB+BC=9+4=13cm，∵O是线段AC的中点，∴1 6.52OA AC cm==；故答案为：2.5cm或6.5cm．7．如图所示，B、C是线段AD上任意两点，M是AB的中点，N是CD的中点，若MN＝7cm，BC＝3cm，则AD的长为_____cm．【答案】11【分析】由已知条件可知，MN＝MB+CN+BC，又因为M是AB的中点，N是CD中点，则AB+CD＝2（MB+CN），故AD＝AB+CD+BC可求．【解析】解：∵MN＝MB+BC+CN，MN＝7cm，BC＝3cm，∴MB+CN＝7﹣3＝4cm，∵M是AB的中点，N是CD的中点，∴AB＝2MB，CD＝2CN，∴AD＝AB+BC+CD＝2（MB+CN）+BC＝2×4+3＝11cm．故答案为：11．8．如图，C，D两点将线段AB分为三部分，AC∶CD∶DB＝3∶4∶5，且AC＝6．M是线段AB的中点，N是线段DB的中点．则线段MN的长为____________．【答案】7【分析】先根据已知条件求出CD，DB的长，再根据中点的定义求出BM，BN的长，进而可求出MN的长．【解析】解：∵AC∶CD∶DB＝3∶4∶5，且AC＝6，∴CD=6÷3×4=8，∴DB=6÷3×5=10，∴AB=6+8+10=24，∵M是线段AB的中点，∴MB=12AB=12×24=12，∵N是线段BD的中点，∴NB=12DB=12×10=5，∵MN=MB-NB，∴MN=12-5=7．故答案为：7．三、解答题9．（2022·安徽·宣城市第六中学一模）如图所示，已知C，D是线段AB上的两个点，点M、N分别为AC、BD的中点(1)若AB=16cm，CD=6cm，求AC+BD的长和M，N的距离；(2)如果AB=m，CD=n，用含m，n的式子表示MN的长【答案】(1)10cm ；11cm ；(2)2m n +．【分析】（1）根据AC +BD =AB -CD 列式进行计算即可求解，根据中点定义求出AM +BN 的长度，再根据MN =AB -（AM +BN ）代入数据进行计算即可求解；（2）根据（1）的求解，把AB 、CD 的长度换成m 、n 即可【解析】(1)∵AB =16cm ，CD =6cm ，∴AC +BD =AB -CD =10cm ，∴MN =AB -（AM +BN ）=AB -12（AC +BD ）=16-5=11（cm ）；(2)∵AB =m ，CD =n ，∴AC +BD =AB -CD =m -n ，∴MN =AB -（AM +BN ）=AB -12（AC +BD ）=m -12（m -n ）=2m n +．10．已知线段AB 如图所示，延长AB 至C ，使BC ＝AB ，反向延长AB 至D ，使AD ＝BC ．点M 是CD 的中点，点N 是AD 的中点．(1)依题意补全图形；(2)若AB 长为10，求线段MN 的长度．【答案】(1)见解析(2)线段MN 的长度为10．【分析】（1）根据题意画出图形；（2）由图，根据线段中点的意义，根据线段的和与差进一步解决问题．【解析】(1)解：补全图形如图所示：；(2)解：由题意知可知AD =AB =BC ，且AB =10，∴AD =AB =BC =10，即CD =30，∵点M 是CD 的中点，点N 是AD 的中点，∴DM =12CD =15，DN =12AD =5，∴MN =DM -DN =10，∴线段MN 的长度为10．11．已知点B 、D 在线段AC 上，（1）如图，若20AC =，8AB =，点D 为线段AC 的中点，求线段BD 的长度；（2）如图，若1134BD AB CD ==，AE BE =，13EC =，求线段AC 的长度．【答案】（1）2；（2）16．【分析】（1）由20AC =，点D 为线段AC 的中点，求得AD=DC=10，由8AB =，可求BD=AD-AB=2；（2）由1134BD AB CD ==，推出34AB BD CD BD ==，，由AE BE =，可用BD 表示3=2AE BE BD =，表示EC=132BD =13，求出2BD =，再求AE=3=可求，AC=AE+EC=16．【解析】（1）∵20AC =，点D 为线段AC 的中点，∴AD=DC=11201022AC =⨯=，∵8AB =，∴BD=AD-AB=10-8=2；（2）∵1134BD AB CD ==，∴34AB BD CD BD ==，，∵AE BE =，∴13=22AE BE AB BD ==，∵EC=313422BE BD DC BD BD BD BD ++=++==13，∴2BD =，∴AE=33=2322BD ⨯=，∴AC=AE+EC=3+13=16．12．如图，点C 为线段AB 上一点，AB =30，且AC -BC =10．（1）求线段AC 、BC 的长．（2）点P 从A 点出发，以1个单位/秒的速度在线段AB 上向B 点运动，设运动时间为t 秒（20t <），点D 为线段PB 的中点，点E 为线段PC 的中点，若CD =25DE ，试求点P 运动时间t 的值．（3）若点D 为直线AB 上的一点，线段AD 的中点为E ，且12AD BD CE -=，求线段AD 的长．【答案】（1）20,10；（2）14t =或6t =；（3）AD 的长为：1609或160.【分析】（1）由30AC BC +=，10AC BC -=，再两式相加，即可得到AC ，再求解BC 即可；（2）以A 为原点画数轴，再利用数轴及数轴上线段的中点知识分别表示,,,,,A C B P D E 对应的数，由CD =25DE ，利用数轴上两点之间的距离公式建立绝对值方程，解方程可得答案；（3）以A 为原点画数轴，分三种情况讨论，当D 在A 的左侧，当D 在线段AB 上，当D 在B 的右侧，利用数轴与数轴上线段的中点知识，结合数轴上两点之间的距离分别表示,,AD BD CE ，再利用1,2AD BD CE -=建立方程，解方程即可得到答案．【解析】解：（1）AB =30，30AC BC ∴+=①又AC -BC =10②，①+②得：240,AC =20AC ∴=，10.BC ∴=（2）如图，以A 为原点画数轴，则,,,,A P C B 对应的数分别为：0,,20,30t ，点D 为线段PB 的中点，D ∴对应的数为：()1130+15,22t t =+点E 为线段PC 的中点，E ∴对应的数为：()1120+10,22t t =+1115205,22CD t t ∴=+-=-11111510151052222DE t t t ⎛⎫=+-+=+--= ⎪⎝⎭，CD =25DE ，1255,25t ∴-=152,2t ∴-=1522t ∴-=或152,2t -=-解得：14t =或6t =．由20t <，经检验：14t =或6t =都符合题意．（3）如图，以A 为原点画数轴，设D 对应的数为m ，当D 在A 的左侧时，AD BD -＜0，12AD BD CE ∴-≠，舍去，当D 在AB 上时，线段AD 的中点为E ，E ∴对应的数为：()110,22m m +=此时E 在AC 上，,30,AD m BD m ∴==-120,2CE m =-1,2AD BD CE -=()113020,22m m m ⎛⎫∴--=- ⎪⎝⎭123010,4m m ∴-=-940,4m ∴=160,9m ∴=1609AD ∴=，当D 在B 的右侧时，如图，同理：,30,AD m BD m ==-120,2CE m =-1,2AD BD CE -=()113020,22m m m ∴--=-12060,2m ∴-=120602m ∴-=或12060,2m -=-解得：80m =-（舍去），160,m =160AD ∴=，综上：AD 的长为：1609或160.13．如图，线段AB ＝20，BC ＝15，点M 是AC 的中点．（1）求线段AM 的长度；（2）在CB 上取一点N ，使得CN ：NB ＝2：3．求MN 的长．【答案】（1）52；（2）172【分析】（1）根据图示知AM ＝12AC ，AC ＝AB ﹣BC ；（2）根据已知条件求得CN ＝6，然后根据图示知MN ＝MC +NC ．【解析】解：（1）线段AB ＝20，BC ＝15，∴AC ＝AB ﹣BC ＝20﹣15＝5．又∵点M 是AC 的中点．∴AM ＝12AC ＝12×5＝52，即线段AM 的长度是52．（2）∵BC ＝15，CN ：NB ＝2：3，∴CN ＝25BC ＝25×15＝6．又∵点M 是AC 的中点，AC ＝5，∴MC ＝12AC ＝52，∴MN ＝MC +NC ＝172，即MN 的长度是172．14．如图，点C 在线段AB 上，8,6AC cm CB cm ==，点,M N 分别是AC BC ，的中点．()1求线段MN 的长;()2若C 为线段AB 上任一点，满足AC CB a +=，其它条件不变，猜想MN 的长度，并说明理由;()3若C 在线段AB 的延长线上，且满足,,AC BC b M N -=分别为AC BC ，的中点，猜想MN 的长度，请画出图形，写出你的结论，并说明理由;()4请用一句简洁的话，描述你发现的结论．【答案】()17cm ；()22aMN =，证明解解析；()32bMN =，证明见解析；()4见解析【分析】()1根据“点M 、N 分别是AC 、BC 的中点”，先求出MC 、CN 的长度，再利用MN CM CN =+即可求出MN 的长度即可；()2当C 为线段AB 上一点，且M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则存在12MN a =；()3点在AB 的延长线上时，根据M 、N 分别为AC 、BC 的中点，即可求出MN 的长度；()4根据前面的结果解答即可．【解析】解：()1,M N 分别是,AC BC 的中点，8,6AC cm CB cm ==11,22MC AC CN BC ∴==()12MN MC CN AC BC =+=+Q ()18672MN cm \=+=()22aMN =,M N 分别是,AC BC 的中点11,22MC AC CN BC ∴==又MN MC CN =+Q ()122a MN AC BC ∴=+=()32bMN =∵AC BC b -=，∴C 在点B 的右边，如图示：,M N 分别是,AC BC 的中点，AC BC b -=11,22MC AC NC BC ∴==又NM MC NC =-()122b MN AC BC ∴=-=()4只要满足点C 在线段AB 所在直线上，点M N ，分别是AC BC ，的中点．那么MN 就等于AB 的一半。

初中数学中点模型
在初中数学中，中点模型是一种重要的几何概念。

在平面几何中，中点指的是一条线段的正中间点，并且这个点将该线段分成了两个相等的部分。

中点模型是指将一个平面图形通过连接其中点而得到的一个新
的图形。

通过中点模型可以更好地理解平面图形的对称性、相似性和等分性等性质。

例如，在一个三角形ABC中，连接AB、BC、CA的中点，我们就可以得到一个新的三角形DEF。

通过观察可以发现，三角形DEF和三角形ABC具有相同的形状，但是大小不同。

这是因为三角形DEF是三角形ABC的中点模型，它将三角形ABC等分为四个相等的小三角形，而这四个小三角形又能组成一个大小为三角形ABC四分之一的大三
角形。

除了在平面几何中使用中点模型外，在立体几何中也可以使用中点模型来构建新的几何体。

例如，通过连接一个正方体的中心点和每个顶点，我们可以得到一个新的八面体。

总之，中点模型是一个可以帮助我们更好地理解和分析平面图形和立体几何体的有用工具。

- 1 -。

初中数学中点模型
中点模型是初中数学中的一个重要概念，它在解决几何问题时经常被使用。

中点模型指的是利用线段的中点来研究线段的性质和几何图形的性质的模型。

其基本思想是：在一个线段上找到中点，从而将原本的线段分成两个相等的部分，这两个部分之间具有一些特殊的性质。

中点模型可以应用于多种几何问题，如证明线段的平分线垂直于线段、证明三角形的垂心、证明四边形的对角线相等等。

此外，中点模型还可以用来求解一些有趣的几何题目，如如何用直线把正方形分成相等的两部分、如何用直线把正六边形分成相等的三部分等。

在学习中点模型时，学生需要掌握线段的中点的定义和性质，了解如何利用中点模型解决几何问题，同时还需要掌握一些基本的几何定理和推理方法。

通过练习和实践，学生可以逐渐掌握中点模型的应用技巧，提高几何证明和问题解决的能力。

- 1 -。