几何概型说课课件

P1
1 • 2r • r 2
r2
1
P2
3 8
13
练习
3.射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环.从外向内 为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色,金色靶 心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122cm,靶 心直径为12.2cm.运动员在70m外射箭,假设每箭都 能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的,那么射 中黄心的概率是多少?
如果每个事件发生的概率只与构 成该事件区域的长度（面积或体 积）成比例，则称这样的概率模 型为几何概型（Geometric models of probability）
6
几何概型:
在几何概型中,事件A的概率计算公式 如下 :
P(A)
构成事件 A的区域长度 （ 面积或体积 ） 试验的全部结果所构成 的区域长度 （ 面积或体积
他打开收音机，想听电台整点报时， 求他等待的时间不多于10分钟的概率。
练习一：从区间[1，6]上随机地选取一个数， 取到区间[2,3]上 的数的概率是多少？
解：设 A=｛等待的时间不多于10分钟｝ 设事件 设 A=｛取到区间[2,3]上的数 ｝
所有基本事件对应[0，60]的时间段，
我们关心的事件A发生恰好是打开收 判区域 音机的时刻位于[50，60]时间段内，
解. 记 “ 射 中 黄 心 ” 为 事件 B,由 于 中 靶 点 随 机 落 在
面积为1 π 1222 cm2的大圆内而, 当中靶点落在面 4
积为1 π 12.22 cm2的黄心内时事, 件B发生.
4
1 π12.22
事件B发生的概率为P(B)
4 1
π1222
0.01
4
14
定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域

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23
4.已知地铁列车每10min一班，在车站停1min， 则乘客到达站台立即乘上车的概率为______．
解析：由于地铁列车每10min一班， 则两班列车停靠车站之间时间可用长度为 10的线段表示．
而列车在车站停1min，乘客到达站台立即 乘上车的时间可用长度为1的线段表示．
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20
解：
分析： 试验的基本事件是:
金币的中心投在由若干个小正
方形组成的阶砖面里. 3
S A
设事件A={金币不与小正方形 边相碰}
不妨先考虑金币与一块阶砖的关系.
3
Ａ={金币的中心要投在绿色小正方形内}
由几何概型的定义知：参加者获奖的概率为:
P( A)
n个A的面积 n个S的面积
A的面积 S的面积
则乘客到达站台立即乘上车的概率
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3.在半径为1的半圆内，放置一个边长为1/2的 正方形ABCD，向半圆内任投一点，该点落在 正方形内的概率为___________.
解析：本题只与面积有关
由几何概型的计算公式得
全优86页限时规范训练
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15
2．如图所示的矩形，长为5，宽为2.在矩形内 随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄 豆数为138颗．则我们可以估计出阴影部分的 面积约为________．
在哪个房间，甲壳虫停留在黑砖上的概率大？
卧室
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卧室
书房
4
（1）甲壳虫每次飞行,
停留在任何一块方砖上
的概率是否相同?
（2）图中共有10X10=100
块方砖，其中有10X2=20

思考6 古典概型和几何概型有什么相同点和不同点？
答 相同点：两者基本事件发生的可能性都是相等的； 不同点：古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个.
例1 判断下列试验中事件A发生的概型是古典概型，还是几何概型． (1)抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；(2)思考3中，求甲获胜的概率．
解 (1)抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6＝36种，且它们都是等可能的，因 此属于古典概型； (2)游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部 分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因 此属于几何概型．
反思与感悟 判断一个概率是古典概型还是几何概型的步骤：(1)判断一次试验中每 个基本事件发生的概率是否相等，若不相等，那么这个概率既不是古典概型也不是 几何概型；(2)如果一次试验中每个基本事件发生的概率相等，再判断试验结果的有 限性，当试验结果有有限个时，这个概率是古典概型；当试验结果有无限个时，这 个概率是几何概型．
思考1 计算随机事件发生的概率，我们已经学习了哪些方法？
答 (1)通过做试验或计算机模拟，用频率估计概率； (2)利用古典概型的概率公式计算．
思考2 某班公交车到终点站的时间可能是11：30～12：00之间的任何一个时刻；往 一个方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上．这两个试验可能出 现的结果是有限个，还是无限个？若没有人为因素，每个试验结果出现的可能性 是否相等？
构成事件A的区域长度面积或体积 答 P(A)＝ . 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积
例2 某公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的， 求乘客候车时间不超过6分钟的概率．
解 如下图所示，设上辆车于时刻T1到达，而下辆车于时刻T2到达，则线段T1T2 的长度为10，设T是线段T1T2上的点，且TT2的长为6，记“等车时间不超过6分 钟”为事件A，则事件A发生即当点t落在线段TT2上，即D＝T1T2＝10，d＝TT2＝6. d 6 3 所以P(A)＝D＝10＝5.

复习回顾 新课铺垫
创设情景 引入新课
归纳探索 形成概念
例题分析 推广应用
回顾小结 提高认识
布置作业 能力升华
问题1：家润多商场进行有奖销售活动，购物满500元可 问题 ：家润多商场进行有奖销售活动，购物满 元可
设计意图:通过试验发现指针可能停在转 设计意图: 1)若你是商家，你怎样设定电视机中奖区域？ 若你是商家， 若你是商家 你怎样设定电视机中奖区域？ 盘的任何位置， 盘的任何位置，从而得出基本事件有无限 个且等可能， 你希望抽到什么？ 个且等可能， 你希望抽到什么？抽到每 2）你若作为顾客，并发现电视机中奖概率与扇 ）你若作为顾客， 一种奖品的概率相同吗?为什么？若转盘改成 为什么？ 一种奖品的概率相同吗，探究出结论。让学生初 形圆弧长度有关，探究出结论。 形圆弧长度有关 为什么 若转盘改成2 呢？ 步感受几何概型的特点， 步感受几何概型的特点，并激发学生探究 热情。 热情。 3）抽中电视机的概率能用古典概型的方法来 ）
数学3(必修) 数学3(必修) 3(必修
第三章概率
几何概型
长沙市稻田中学 孙密莲
一．教学内容的分析
几 何 概 型
二．教学目标的确定 三．教法学法的选择 四．教学过程的设计 五．教学板书的设计 六．教学评价的说明
一 教 学 内 容 的 分 析
1.从教材的地位和作用来看 从教材的地位和作用来看
本课选自人教A版（必修3）第三章《概率》 本课选自人教 版 必修 ）第三章《概率》 中3.3几何概型的第一课时，是在学习古典概型情 几何概型的第一课时， 几何概型的第一课时 况下教学的。它是对古典概型内容的进一步拓展， 况下教学的。它是对古典概型内容的进一步拓展， 使等可能事件的概念从有限向无限延伸，此节内 使等可能事件的概念从有限向无限延伸， 容也是新课本中增加的，反映了《新课标》对数 容也是新课本中增加的，反映了《新课标》 学知识在实际应用方面的重视．同时也暗示了它 学知识在实际应用方面的重视． 在概率论中的重要作用，以及在高考中的题型的 在概率论中的重要作用， 转变。 转变。

合起来，可以创造出更富表现
力的作品。
结论和总结
应用广泛
造型优美
发展迅速
几何概型在设计、建筑、
几何概型具有简洁、明了、
通过不断的创新与拓展，
自动化等多个领域都有应
富表现力的特点，能够设

几何概型正在向更多领域
用。
计出精美优雅的作品。
渗透，应用范围不断扩大。
3
多样性
几何图形非常灵活，可以具有多种效果，根据不同的设计思路展示完全不同的效果。
基本几何概念
直线
三角形
这是一个无限延伸的长度为0的图形。它由
这是由三条线段组成的图形，可以组合出各
两个端点连接而成，可以与其他图形组成不
种各样的三角形类型，例如等边三角形、等
同的几何概型。
腰三角形等。
正方形
圆
这是一种四条相等线段组成的方形图形。它
度之和、直线延伸之类的常
用于建筑设计、计算机图形
见概念。
学等领域。
几何概型的应用
1
建筑设计
通过使用高效、可靠的几何概型工具，设计师可以大大减少设计错误的发生，并
加快设计的进度。
2
自动化设计
自动化设计通过将几何概型应用于设计软件中，可以帮助工程师设计出更加精确、
高效、复杂的设计。
3
特效制作
电影、广告等特效往往离不开几何概型的运用，通过将特效和现实完美地结合，
这是一个无限延伸的相同曲线轨迹，由圆心
具有对称性、稳定性等特点，常用于图形设
和半径共同决定。常用于图形设计中。
计中。
几何概型的分类
基础几何概型
非欧几何概型
三维几何概型
包含我们熟知的直线、三角

4 .解决几何概型的关键是构造随机事件对应的几何图形.
七、 作业
1.课本142 A组1、2、3题. 2.预习教材137-140页.
概率. 2.在区间[1，4]随机取出1个数，求这个数大于2的概率. 3.在区间[1，4]随机取出2个数，求这两个数的和小于3的概率. 4.在1000mL的水中有一个草履虫，现从中任取出2mL水样放到
显微镜下观察，发现草履虫的概率.
解决疑问：某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现， 红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至 多需要等待15秒才出现绿灯的概率为多少？
3.3 几何概型
3.3.1 几何概型
学习目标
1.理解几何概型的定义及特点(重点）． 2.会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率（重点、难点）． 3.了解几何概型与古典概型的区别．
一、复习回顾:
1.古典概型的特征
(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件为有限个. (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等.
A事件的区域长度15
总长度40
【解析】因为红灯持续时间为40秒.所以这名行人至多需要等待15秒才 出现绿灯的概率为15 /40=3/8.
问：若至少需要等待15秒呢？
四、学以致用
（一）.与长度有关的几何概型
例1、某人午觉醒来，发现表停了，他打开收 音机，想听电台报时，求他等待的时间不多 于10分钟的概率。
极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心
对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( ).
A1
Bπ
C1
Dπ
4
8
2
4
3.有一个底面圆的半径为 1、高为 2 的圆柱，点 O 为这个圆柱底面圆

课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【变式3】在Rt△ABC中，∠A＝30°，过直角顶点C作射线CM 交线段AB于M，求使|AM|＞|AC|的概率．
解 如图所示，因为过一点作射线是均匀 的，因而应把在∠ACB内作射线CM看做 是等可能的，基本事件是射线CM落在 ∠ACB内任一处，使|AM|＞|AC|的概率只与∠BCC′的大小 有关，这符合几何概型的条件． 设事件D为“作射线CM，使|AM|＞|AC|”． 在 AB 上取点 C′使|AC′|＝|AC|，因为△ACC′是等腰 三角形，所以∠ACC′＝180°－2 30°＝75°， μA＝90－75＝15，μΩ＝90，所以 P(D)＝1950＝16.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
特别提示 在使用几何概型中，事件 A 的概率计算公式
P(A)＝试验的构全成部事结件果A所的构区成域的长区度域面长积度或面体积积或 体积时，公式中 分子和分母涉及的几何度量一定要对等．即若一个是长度，则另 一个也是长度．一个若是面积，则另一个也必然是面积，同样， 一个若是体积，另一个也必然是体积．
距离平面 ABCD 及平面 A1B1C1D1 的距离都大于a3的概率为13.
(8 分)
(3)设点 M 到平面 ABCD 的距离为 h，由题意，得13a2h＜16a3，
∴h＜a2.
∴使四棱锥 M－ABCD 的体积小于16a3 的概率为12.
(12 分)
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【题后反思】 分清题中的条件，提炼出几何体的形状， 并找出总体积是多少．以及前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
解 记 E：“A 与 C，B 与 D 之间的距离都不小于 10 米”， 把 AB 三等分，由于中间长度为 30×13＝10(米)，所以 P(E) ＝1300＝13.

特征：
（1）无限性：基本事件的个数无限 （2）等可能性：基本事件出现的可能性相同
几何概型的概率公式：
P(A)=
构成事件A的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
巩固深化
例1.某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音 机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10 分钟的概率。
P( A) 30 1 . 90 3
4.在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点 M，求AM小于AC的概率。
分析：点M随机地落在线段AB上，故线段AB为 试验全部结果所构成的区域长度。当点M位于图 中的线段AC’上时，AM＜AC，故线段AC’即 为构成事件A的区域长度。
解： 在AB上截取AC’=AC，于是
复习回顾
• 1.古典概型有哪些特点？
(1)有限性： 试验中所有可能出现的基本事件的个数只有有限个
； (2)等可能性：
• 2.古每一典个概基型本的事件概发率生计的可算能公性式都是相等什。么？
P( A)
A包含的基本事件的个数 基本事件的总数
现实生活中,有没有试验的所有可能结果是
无限个的情况?相应的概率如何求?
探究生成
问题2. 在区间[0，6]上任取一个实数，恰好取在区间 [1，3]上的概率为多少？（记为事件A）
探究3:问题2中事件A的概率是如何确定的？如何计算？
P( A)
区间[1,3]的长度 区间[0,6]的长度
2 6
1 3
实质：
P( A)
构成事件 A的区域的长度 试验的全部结果构成的 区域的长度
问题3：一个人练习射箭，箭靶形状如图中的正方形.
创设情境
问题1. 在区间[0，6]上任取一个整数，恰好取在区间 [1，3]上的概率为多少？

古典概型
几何概型
相同 区别
基本事件发生 的等可能性
基本事件个数 的有限性
基本事件发生 的等可能性
基本事件个数 的无限性
求解方法
列举法
几何测度法
《几何概型》课件人教版1
《几何概型》课件人教版1
思考：在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一 点M，求AM小于AC的概率。
《几何概型》课件人教版1
A事件的区域长度10
总长度60
1 答：等待的时间不多于10分钟的概率为 6
《几何概型》课件人教版1
《几何概型》课件人教版1
例1：（2）取一个边长为2a的正方形及其内切圆， 随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概 率.
2a
解: 记“豆子落在圆内”为事件A,
P(A)
圆的面积 πa2 正方形面积 4a2
P(A)试验A全对部 应结 区果 域构 的 的成 面 面区 积 积 1域 100
2 500ml水样中有一只草履虫，从中随机取出2ml水样放
在显微镜下观察，发现草履虫的概率
P(A)试验A全 对部 应结 区果 域构 的 的成 体 体区 积 积 2域 150
3 某人在7：00-8：00任一时刻随机到达单位，此人
(3) 在1000mL的水中有一个草履虫，现从中任取出 2mL水样放到显微镜下观察，发现草履虫的概率.
0.002
《几何概型》课件人教版1
《几何概型》课件人教版1
练习
1.公共汽车在0～5分钟内随机地到达车站，求汽 车在1～3分钟之间到达的概率。
分析：将0～5分钟这段时间看作是一段长度为5 个单位长度的线段，则1～3分钟是这一线段中 的2个单位长度。
1
《几何概型》课件人教版1

相等
几何概型
无限多个
相等
构成事件A的区域长度 A包含基本事件的个数 (面积或体积) 基本事件的总数 试验的全部结果所构成的 区域长度(面积或体积)
例题剖析1
某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想 听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率. 解： 设他等待的时间不多于10分钟为 事件A，我们所关心的事件A恰好是 打开收音机的时刻位于[50,60]时间段 内，因此由几何概型的求概率公式得 P（A）=（60-50）/60=1/6 答:等待的时间不超过10分钟的概率为1/6.
温故知新
1.古典概型有哪两个基本特征？其计算公式是什 么？ （1）古典概型的特征：等可能性、有限性
（2）古典概型概率公式：
A包含的基本事件的个数 P( A) 基本事件的总数
新课引入
在现实生活中，常常会遇到试验的所有可能结果 是无穷多的情况，这时就不能用古典概型来计算事件 发生的概率.对此，我们必须学习新的方法来解决这 类问题，这就是我们本节课要学习的——几何概型. 一、几何概型：
（1）可能出现的结果有无限多个； （无限性） （2）每个结果发生的可能性相等. （等可能性） 3.概率公式：
构成事件A的区域长度（面积或体 积） P( A) 试验全部结果所构成的 区域长度（面积或体积 ）
4.古典概型与几何概型的区别：
古典概型
基本事件 的个数 基本事件 的可能性 概率公式
P(A)= 有限个
B N B N N B B B
N
B
N
1/2
3/5
2.上述每个扇形区域对应的圆弧的长度（或扇形的 面积）和它所在位置都是可以变化的，从结论来看， 甲获胜的概率与字母B所在扇形区域的哪个因素有 关？哪个因素无关？