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教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《几何概型（2）》教案教学目标：1．了解几何概型的基本概念、特点和意义；2．了解测度的简单含义；3．了解几何概型的概率计算公式；4．能运用其解决一些简单的几何概型的概率计算问题．教学重难点：重点：测度的简单含义，即：线的测度就是其长度，平面图形的测度就是其面积，立体图形的测度就是其体积等．难点：如何确定事件的测度(是长度还是面积、体积等)．教学过程：一、学生活动从每一个位置剪断都是一个基本事件，基本事件有无限多个.但在每一处剪断的可能性相等，故是几何概型.二、建构数学古典概型与几何概型的对比.相同：两者基本事件的发生都是等可能的；不同：古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个.2.几何概型的概率公式.积等）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积等）的区域长度（面积或体构成事件A A P =)( 三、数学运用1．例题.与面积(或体积)有关的几何概型例1 在1L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10mL ，含有麦锈病种子的概率是多少？解：取出10mL 麦种，其中“含有病种子”这一事件记为A ，则.1001为含有麦锈病种子的概率:答1001100010所有种子的体积取出种子的体积P(A)=== 变式训练：1.街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm 的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1 cm 的小 圆板.规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在正方形的边上，可重掷一次；若掷在正方形内，须再交5角钱可玩一次；若掷在或压在塑料板的顶点上，可获 1元钱.试问：(1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？(2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？解 (1)考虑圆心位置在中心相同且边长分别为7 cm 和9 cm 的正方形围成的区域内，所以概率为.8132979222=- 探究提高：几何概型的概率计算公式中的“测度”，既包含本例中的面积，也可以包含线段的长度、体积等，而且这个“测度”只与“大小”有关，而与形状和位置无关.与角度有关的几何概型例2 在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 小于AC 的概率．解：在AB 上截取AC ′＝AC ，故AM ＜AC 的概率等于AM ＜AC ′的概率．记事件A 为“AM 小于AC ”， 222)(=='==AC AC AB C A AB AC A P 答：AM ＜AC 的概率等于22．思考：在等腰直角三角形ABC 中，过点C 在∠C 内作射线CM ，交AB 于M ，求AM 小于AC 的概率．此时的测度是作角是均匀的，就成了角的比较了．P (A )＝43283'==∠∠ππACB ACC D d 例3 课本的例4．可化为几何概型的概率问题 例4 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面， 并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去. 求两人能会面的概率.思维启迪：在平面直角坐标系内用x 轴表示甲到达 约会地点的时间，y 轴表示乙到达约会地点的时间，用0分到60分表示6时到7时的时间段，则横轴0到60与纵轴0到60的正方形中A CBM C ’ A CBM C’任一点的坐标 (x ，y )就表示甲、乙两人分别在6时到7时时间段内到达的时间.而能会面的时间由|x －y |≤15所对应的图中阴影部分表示.以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x －y |≤15.在如图所示平面直角坐标系下，(x ，y )的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A “两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示．由几何概型的概率公式得： .167600302526003604560)(222=-=-==S S A P A所以，两人能会面的概率是.167 五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容： 1．适当选择观察角度，把问题转化为几何概型求解；2．把基本事件转化为与之对应的区域D ；3．把随机事件A 转化为与之对应的区域d ；4．利用几何概型概率公式计算．。
教学目标：1．了解随机数的概念和意义;2．了解用模拟方法估计概率的思想;3．了解几何概型的基本概念、特点和意义;4．了解测度的简单含义;5．了解几何概型的概率计算公式．教学方法： 谈话、启发式．教学过程：一、问题情境问题1：取一根长度为3m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于1m 的概率有多大？问题2：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环,从外向内为白色、黑色、蓝色、3m红色,靶心为金色．金色靶心叫"黄心"．奥运会的比赛靶面直径为122cm,靶心直径为12．2cm,运动员在70m 外射．假设射箭都能中靶,且射中靶面内任意一点都是等可能的,那么射中黄心的概率有多大？能用古典概型描述该事件的概率吗？为什么？（1）能用古典概型描述事件的概率吗？为什么？（2）试验中的基本事件是什么？（3）每个基本事件的发生是等可能的吗？（4）符合古典概型的特点吗？二、学生活动问题1：射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122cm 的大圆内的任意一点．问题2：射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122cm 的大圆内的任意一点．三、建构数学几何概型的特点：(1)基本事件有无限多个;(2)基本事件发生是等可能的．一般地,在几何区域D 中随机地取一点,记"该点落在其内部一个区域d 内"为事件A ,则事件A 发生的概率：.D的测度d的测度P(A)四、数学运用1．例题． 例1 两根相距8m 的木杆上系一根拉直绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于3m 的概率．解：记"灯与两端距离都大于3m"为事件A ,由于绳长8m,当挂灯位置介于中间2m 时,事件A 发生,于是事件A 发生的概率P （A ）= 82=41． 例2 取一个边长为2a 的正方形及其内切圆,随机向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入圆内的概率．事件A,记“豆子落在圆内”为:解.a a πππ===22圆的面积P(A)正方形面积44答:豆子落入圆内的概率为4 数学拓展：模拟撒豆子试验估计圆周率．如果向正方形内撒n 颗豆子,其中落在圆内的豆子数为m ,那么当n 很大时,比值n m ,即频率应接近于 P (A ),于是有 由此可得 4πm n≈ 2．练习．（1）在数轴上,设点x ∈中按均匀分布出现,记a ∈(－1,2]为事件A ,则P （A ）=（ ）A ．1B ．0C ．12D ．13（2）在1L 高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子,从中随机取出10mL,含有麦锈病种子的概率是多少？（3）在1万平方公里的海域中有40平方公里的大陆贮藏着石油．假如在海域中任意一点钻探,钻到油层面的概率是多少？（4）如右下图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分别计算它落到阴影部分的概率．2a().m P A n≈（5）在正方形ABCD 内随机取一点P ,求∠APB ＞ 90°的概率．22)2(21)(a a D d A P π==的测度的测度解：.8π=变式：∠APB ＝90°？.00)(2===a D d B P 的测度的测度结论：概率为0的事件可能发生！五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．古典概型与几何概型的对比．相同：两者基本事件的发生都是等可能的;不同：古典概型要求基本事件有有限个,几何概型要求基本事件有无限多个．2．几何概型的概率公式．D D3．几何概型问题的概率的求解．（1）古典概型与几何概型的区别在于：几何概型是无限多个等可能事件的情况,而古典概型中的等可能事件只有有限多个;（2）D的测度不为0,当D分别是线段、平面图形、立体图形时,相应的"测度"分别是长度、面积和体积．（3）区域应指"开区域",不包含边界点;在区域D内随机取点是指：该点落在D 内任何一处都是等可能的,落在任何部分的可能性只与该部分的测度成正比而与其性状位置无关．。
但是显然不能用古典概型的方法求解
如右图,记“剪得两段的长都不小于
于是当剪断位置处在中间一段上时
1
中间一段的长度等于绳长的,
3
2
因此属于几何概型.
点评：本题考查的是几何概型与古典概型的特点,古典概型具有有限性而几何概型则是在试验中出现无限多个结果
3
分钟的概率.
分钟一班准时到达某车站
分钟的概率（假定车到来后每人都能上）解：可以认为人在任一时刻到站是等可能的.
则某人到站的一切可能时刻为Ω=(a,a+5),记
则他到站的时刻只能为g=(a+2,a+5)中的任一时刻
点评：通过实例初步体会几何概型的意义.。
3-3.3 几何概型一、教材分析在人教版高中数学教材的知识体系中，几何概型被安排在必修3的第三章第三节，是继古典概型后对另一常见概型的学习，是在古典概型基础上进一步的拓展，将等可能事件的概念从有限延伸至无限。
学好此节内容有助于学生全面系统地掌握概率知识和进一步形成辩证思想。
二、学情分析学生已经学习了概率的含义以及古典概型的计算方式，对概率有一定的了解，掌握了一定的概率求解方法，掌握了古典概型的相关知识。
通过对比分辨两种概型的区别与联系，进行几何概型的学习。
三、教学目标1、知识与技能：通过实际操练，使学生从多种维度体验几何概型的实际应用，初步体会几何概型的意义；将古典概型与几何概型进行对比，使学生明确几何概型与古典概型的区别，掌握几何概型概率计算公式的应用,能够运用线性规划等方法解决复杂的几何概型问题。
通过思维拓展，使学生初步了解随机模拟方法的使用及其实际意义。
2、过程与方法：通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯，培养学生实践能力、协调能力、创新意识和处理数据能力以及应用数学意识。
3、情感、态度与价值观：帮助学生养成合作交流的习惯，初步形成建立数学模型的能力，通过学生的实际操作，激发学生学习的兴趣，重视数学在实际生活中的作用。
四、教学重点、难点1.教学重点①正确理解几何概型的定义、特点；②会用几何概型概率公式求解随机事件的概率。
2.教学难点①根据古典概型与几何概型的区别，来判断一个试验是否为几何概型；②将实际问题抽象成几何概型,并灵活运用各类方法解决几何概型问题.五、教法选择“以学生为主体”的探究性教学，讲授法，谈话法六、教学过程本节课的教学，共分为五个部分：一、知识梳理二、情境导入三、问题探究四、思维拓展五、回顾小结七、教学设计一、知识梳理【师】：同学们，上节课我们学习了古典概型，通过以下情景我们来回顾一下。
情景一：区间[0,4]上取一整数，恰好在区间[0,1]上的概率是多少？（板书在右边）这个情境里，基本事件是什么？基本事件有哪些？每一个基本事件发生的可能性为多少？什么情况下事件A发生？【生】：所取得的整数；01234五个；1/5；0,1；2/5【师】：非常好，由此我们可以得出情景一下的概率为2/5.那么由此我们可以知道古典概型有什么特点呢？【生】：基本事件可数，发生的可能性相同。
