对数与对数运算ppt课件

值域；
③当a>1时，函数y＝af(x)与函数f(x)的单调性相同；当0<a<1时，函 数y＝af(x)与函数f(x)的单调性相反．
2.求函数y＝22x－x2的单调区间．
【解析】 由题意得，函数的定义域是R，
令u＝2x－x2，则y＝2u， ∵u＝2x－x2＝－(x－1)2＋1在(－∞，1]上是增函数，
2．1.2 指数函数及其性质(第2课时 指数函数及其性质的应用)
1．指数函数是形如 y＝ax 的函数．
2．指数函数的定义域为R，值域为(0，＋∞) 且过 (0,1) 点． 增函数 3．当a>1时，指数函数在R上为 ；当底数0<a<1时，指数
函数在R上为 减函数 ．
1．已知am>an(a>0，且a≠1)，如果m>n，则a的取值范围是 a>1 ； 如果m<n，则a的取值范围是 0<a<1 . 2．复合函数y＝af(x)单调性的确定： 当a>1时，单调区间与f(x)的单调区间相同； 当0<a<1时，f(x)的单调增区间是y的单调 减区间 ．f(x)的单调减 区间是y的单调增区间 ．
பைடு நூலகம்
∴函数 f(x)在[1，＋∞)上是减函数．
对于形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)一类的函数，有以下结论：
①函数y＝af(x)的定义域与f(x)的定义域相同，如y＝21/x与y＝1/x的
定义域都是{x|x≠0}； ②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的单调性确定y＝af(x)的
1．复合函数y＝af(x)的单调性应注意哪些问题？
【提示】 复合函数y＝af(x)单调性的判定需注意： (1)函数定义域；
(2)底数a的大小．

时间：2024年9月1日
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
人教B版（2019）
课标要点
核心素养
1.理解对数的运算法则
数学抽象
2.掌握换底公式的应用
逻辑推理
3.了解对数简化运算的作用
数学运算
尝试与发现
（1）你知道 log63 与 log62 的值吗？你能算出 log63＋log62 的值吗？如果设 x＝log63，y＝log62，则 6x＝______，6y＝______，怎样由这两个式子得到 x＋y？（2）由指数运算的运算法则 aα aβ＝aα＋β 能得出对数运算具有什么运算法则？
换底公式
计算器和计算机在计算任意对数的值时，是使用换底公式转化为常用对数或自然对数来计算的．
练习提升
C
B
D
B
C
ABD
2
60
1．对数运算法则2．换底公式
课堂小结：本节课学习了哪些知识点呢？
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
授课老师：
3
2
log66=1
－3
log66=1
对在不求出对数值的前提下 ，算出一些含对数的代数式的值.
情境与问题
大家可能已经看出，对数值的计算并不容易，比如 lg3，lg5，log35 等，事实上，在没有计算器的时代，人们曾花费了大量的精力，求出一些常用对数的近似值，制成表格以供大家查询使用．这样一来，大家就可以根据已知的值和对数运算法则，求出另一些对数的值，例如，lg3 ≈ 0.477 1，lg5 ≈ 0.699 0 可得出 lg15＝lg3＋lg5 ≈ 0.477 1＋0.699 0 ≈ 1.176 1. 但是我们知道，对数的底可以是任意不等于1的正数，那么知道常用对数的值，能不能求出任意对数的值呢？比如，能不能借助 lg3，lg5 的值算出 log35 的值呢？

例2:求下列各式中x的值 ：
2 (1) log 64 x 3 (3) lg100 x
(2) log x 8 6
2
(4) ln e x 2 （1）解： ∵ log 64 x 3 2 2 2 3 3 64 3 =x x 64 3Βιβλιοθήκη ( ) 4求真数
2
2. 设 loga2 = m, loga3 = n, 求a2m+3n 的值(a>0, a≠1).
课堂小结
= N b = logaN 其中, a>0, a≠1, N>0, b∈R
b a
负数和零没有对数
求下列各式中 x的范围. (1) log2 ( x 10); (2) log2 x 1 ( x 2); (3) log( x 1) ( x 1) .
2
对数的性质
计算下列各式的值，尝试归纳一些结论： (1) log0.1 0.1 ( 2) log (3) l g1 (5) log3 9 (7 )3
对 数 x loga N , (a 0; a 1);
（不能，这是因为a>0,ax=N>0）
结论：对数式中真数要大于零。
（也就是说零和负数没有对数！）
真数大于零
两个重要对数：
1、常用对数： 以10为底的对数
log10 N
简记为
lg N
(e≈2.71828…) 你记住了吗？
2、自然对数： 以e为底的对数
问题剖析

上述有关国民生产总值的实际问题，其本质就 是从方程1.08x=2中求出未知数“x”的值.
即已知“底数”和“幂”的值，求“指数”.


而这个过程，就是“对数”定义产生的依据.

)
12 解析：原式＝log6 12－log62＝log6 ＝log6 3. 2
答案：C
• 4．若logab·log3a＝4，则b的值为________． • • • • • 答案：81 5．已知a2＝m，a3＝n，求2logam＋logan. 解：由a2＝m，a3＝n， 得logam＝2，logan＝3， ∴2logam＋logan＝2×2＋3＝7.
(3)在使用换底公式时， 底数的取值不唯一， 应根 据实际情况选择． (4)重视以下结论的应用： ① logac· ca ＝ 1 ； ② logab· bc· ca ＝ 1 ； ③ log log log m loganb ＝ logab. n
m
思考感悟 m nbm＝ logab(a>0 (1)loga n ∈N*)成立吗？ (2)(logax)n＝logaxn 正确吗？ 提示：(1)成立．由换底公式可得 loganbm＝ mlgb m ＝ log b. nlga n a 且 a≠1，b>0，m、n
n个
(2)不正确． ∵(logax)n＝(logax· ax· logax)， logaxn log „· 而 ＝nlogax＝logax＋logax＋„＋logax，∴一般两式不相等．
互 动 课 堂
典 例 导 悟
类型一 对数运算性质的运用 [例 1] 求下列各式的值． 1 (1)4lg2＋3lg5－lg ； 5 1 1＋ lg9－lg240 2 (2) ； 2 36 1－ lg27＋lg 3 5 3 (3)lg ＋lg70－lg3； 7 (4)lg22＋lg5· lg20－1.
n个
自 我 检 测 1．若 a>0，a≠1，x>0，y>0，x>y，下列式子 中正确的个数是( )

作业：
P７４习题2.２A组：1,２,3,4.
记为： 2 16
4
（3）由2，16得到数4的运算是 对数运算！
记为：log216 4
定义： 一般地，如果 的b次幂等于N, 就是
b
aa 0, a 1
，那么数 b叫做
a N
以a为底 N的对数，记作 loga N b a叫做对数的底数，N叫做真数。
例如：
4 2 16
102
4
1 2
102
100 2 0.01
log4 16 2
log10 100 2
1 log 4 2 2
log10 0.01 2
探究： ⑴负数与零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ） ⑵ loga 1 0, loga a 1
0 a 0 且 a 1 都有 a 1 loga 1 0 对任意
1 log 2 1 2
2 32 1 1 （3） 2 2
（4）
27

1 3
1 1 1 log 27 3 3 3
练习 2 将下列对数式写成指数式： （1）
log3 9 2
3 9
2
（2） log5 125 3
5 125
3
1 （3） log 2 2 4 1 4 （4） log 3 81
（1）
4
讲解范例 例2 将下列对数式写成指数式： （1） log1 27 3
1 3 （2） log 5 125
（3） ln 10 2.303 （4） lg 0.01 2
3
1 27 3 1 3 5 125
e

无关键词 yrk513sqz 彻底清醒过来，拿出定位，发现已经到了翁达。巴车依旧行进在317国道上，停车休息，有人上厕所。长安叫醒长青，下车走走，长时 间坐着会很难受。 他们站在路边吹风，不远处有自驾游的一家人，也在停车休息。车身上全是行进时被附着的细沙和泥浆，一家老小，看着对面山上的白 塔与经幡交谈。男人在一旁沉默地抽烟，眼神里有长时间驾车的疲惫，也有甘愿的幸福。 许多人开始拍照留念，前方路标上写着到色达的距离，那是他们今天中午之前的目的地。 天顶天葬台和喇荣佛学院是今天最终的目的地。 短暂的休息之后再次启程。
2 - log2 5
3
2log9 5
____; 2
____
六、练习巩固
(1)对数的定义； (2)指数式和对数式的互换； (3)求值.
思考题：
(1) 对数式
log ( 2 x -1) 1 - x
2
中x的取值范围是______ (2) 若log5[log3(log2x)]=1， x=_______
解：
1 (1) 16 2
-4
( 2) 2 128
7
(3) 10 0.01
-2
( 4) e
2.303
10
例3．求下列各式的值：
(1) log 9 27 (3) log (2
例4.计算：
(2) log 4 3 81
5
(2 3 ) (4) lБайду номын сангаасg 625 3 4 3)
一、学习目标
1. 在熟悉指数的基础上充分理解对数 的定义； 2. 熟练掌握指数式和对数式的互换； 3. 能够求出一些特殊的对数式的值.
二、知识铺垫
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔 （ Napier ， 1550 年 ~1617 年） . 他发明了供天 文计算作参考的对数，并于 1614 年在爱丁堡 出版了《奇妙的对数定律说明书》，公布了 他的发明.恩格斯把对数的发明与解析几何的 创始，微积分的建立并称为 17 世纪数学的三 大成就.

1 024个？
多少次分裂可以得到个细胞呢？8=2x 1 024=2x
x=
例3.计算：（1）lo g 9 2 7
（2）log 4 3 81
思考： a 0且a 1
a loga n ?
a loga n n
loga an ? loga an n
loga 1 ? loga 1 0 loga a ? loga a 1
课后作业：
1.(1)若 log(x1)(3 x)有意义，则x的取值
范围 _____________
(2)若(lg x)2 2 lg x 3 0,则x _____
(3)若
log2
log 1
(log2
x)
0, 求x
____
2
2.计算
1
（1） 3log3 5 3 log3 5
a (2)
loga b•logb c•log c N
１．关系：
底数对底数
指数对以a为底N的对数
指数式
a x= N
x = log a N
对数式
幂值对真数
2.特殊对数：1）常用对数 — 以10为底的对数；lg N
2）自然对数— 以 e 为底的对数；ln N
3.重要结论：
loga a 1 loga 1 0
aloga n n loga an n
a 0,且a 1时
对数的文化意义
恩格斯说，对数的发明与解析几何的创立、 微积分的建立是17世纪数学史上的3大成 就。
伽利略说，给我空间、时间及对数， 我可以创造一个宇宙。
布里格斯（常用对数表的发明者）说，对数 的发明，延长了天文学家的寿命。
对数的概念
一般地，如果 a x N (a 0, 且a 1), 那么数x叫做以a为底N的对数， 记作 x loga N , 其中a叫做对数的底数， N叫做真数

优游 优游
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车间，也有露天大罐发酵。”说着就到了一幢二层高的楼前。一迈进二楼，就看见车间内的几只大锅，围绕操作台依次排开，空间显得有点拥 挤。走近一看糊化锅、糖化锅竟然是铜制的，经过时间的打磨，锅表面的铜已经变成了紫黑色。因为马启明毕业前在南京啤酒厂和西安啤酒厂 实习过，对啤酒厂设备有一些了解，所以他估摸糖化锅大概只有五六吨的糖化能力，煮沸锅应在十二吨左右。他没有想到现在竟还有容积这么 小、这么老的糖化生产设备，像是走到了啤酒历史博物馆一样。车间东面的麦汁过滤槽旁边有一个长方形麦汁收集槽，上面一排排铜考克正往 下流着金黄色清亮的麦汁。当有的考克麦汁流量变小时，就有操作工马上过来把考克调一下，马启明脑海里突然闪现出母亲在家里做醋时过滤 醋的情景。再一抬头扭身，恰好看到有操作工用麻袋正直接往糖化锅里倒粉碎好的麦芽粉，马启明诧异地问张钢铁：“怎么是往锅里直接倒料？ 太落后了!”便露出了不屑的神情，好像看见原始人用石器割东西一样。张钢铁脸上的笑容立刻消失了，背着双手，眼神像锥子一样在马启明的 身上很剜一下，咬牙切齿地回了句：“望神尼东丝啊！”什么意思？莫名奇妙的回答让马启明一下子蒙了，愣了几秒钟。张钢铁铁青着脸说道： “这是最老的糖化，下半年马上要停了。我们去看新糖化工段，是抽风机吸料。”说着就急匆匆地往外走，看也不看马启明一眼。他在想，马 启明你别昂，虽然你是个大学生，对啤酒还是个门外汉，是小弟，我才是祖师爷。马启明心想，是不是刚才说错了话？是不是刚才的言行伤着 张钢铁的感情了？看来张钢铁是张飞穿针－粗中有细。一出车间门，张钢铁便边走边介绍：“新糖化是刚建起来的，用吸风机吸料，全部操作 都通过控制屏进行，自动化程度很高，每锅生产45吨麦汁。”说到“用吸风机吸料”时语气很重，脸上始终没有笑容，像是碰到了阶级敌人似 的。没走几步路便来到了一幢白色、第二层屋沿上面镶一圈蓝边、顶部有一大一小不锈钢半圆球的两层半建筑物前，马启明突然想到“二球”， 笑着说：“这就是新糖化楼。”猛地一转头，马启明立刻被门东侧两棵粗壮、直插云霄的古树吸引住了，有生以来他还是第一次看到这么大的、 这么高的树，两个人合拢抱都抱不住，不由提声惊讶地说道：“好大好高的两棵树，张主任，这是什么树？”“这是白果树，就是银杏树，它 的年纪比你大得多，你得叫它太祖爷爷。据说有500的历史了，解放前拿它还做过飞机的导航树呢！在厂子西面还有个古龙王庙呢，历史可以上 溯到康熙年间，它历经千年，几经兴衰，这个地方说不定要形成神佛并尊的独特景观呢！”马启明没有想到张钢铁居然会说出这么文雅的词句 来。“哎呀，哎呀，哎呀呀！我还是第一次见这么

名师微博 这是关键步．
＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5 ＝12lg2＋12lg5 ＝12(lg2＋lg5)＝12lg10＝12.12 分
【名师点评】 (1)对于同底的对数的化简常用方 法是：①“收”将同底的两对数的和(差)收成积(商) 的对数；②“拆”将积(商)的对数拆成对数的和 (差)． (2)对于常用对数的化简要创设情境，充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题．
(3)对于含有多重对数符号的对数的化简，应从内 向外逐层化简求值．
题型四 对数换底公式的应用
例4 计算下列各式的值：
(1)(log43＋log83)log32； 1
(2) 2log52·log79 ； 13
log53·log7 4
(3)log 22＋log279.
【解】 (1)原式＝log134＋lo1g38log32
题型一 对数式与指数式的互化
例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)2－7＝1128；(2)10－1＝0.1；
(3)log132＝－5；(4)lg0.001＝－3.
2
【解】 (1)log21128＝－7；(2)lg0.1＝－1；
(3)21
－
5＝32；(4)10－3＝0.001.
【名师点评】 将指数式化为对数式，只需要将 幂作为真数，指数当成对数值，而底数不变即可； 而将对数式化为指数式则反其道而行之．指数式 与对数式的互化是一个重要内容，应熟练掌握．
【思路点拨】 由题目可知(1)式中是以 2 为底的 对数，(2)式中都是常用对数，同时两式中含有根 号以及对数的加减运算，可利用对数运算性质进行 计算．
【解】 12.…6 分
ห้องสมุดไป่ตู้

.
(2)logaMN＝ logaM－logaN .
(3)logaMn＝nlogaM (n∈R)．
换底公式 【问题导思】 计算log832的值，你能分析一下，其与log28同log232的关系 吗？ 【提示】 设log832＝x，∴8x＝32， ∴23x＝25， ∴x＝53，又log28＝3，log232＝5， ∴log832＝lloogg22382.
忽略真数大于0致误 已知lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，求xy的值． 【错解】 因为lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，所以xy＝(x－2y)2， 即x2－5xy＋4y2＝0，即(x－y)(x－4y)＝0，解得x＝y或x＝4y，所 以xy＝1或yx＝4.
【错因分析】 错解中，lgx＋lgy＝2lg(x－2y)与xy＝(x－ 2y)2对x，y的取值范围要求是不相同的，即求解过程不等价， 因此，得出解后要代入原方程验证，这是求解过程中最易忽略 的地方．
【自主解答】 设物质的原有量为a，经过t年，该物质的
剩余量是原来的13，由题意可得a·0.75t＝13a，
∴
3 4
t＝
1 3
，两边取以10为底的对数得lg
3 4
t＝lg
1 3
.∴t(lg3－
2lg2)＝－lg3，
∴t＝lg3－－lg23lg2≈2×0.300.1407－710.4771≈4(年)．
当xy＝4时，将x＝4y代入已知条件，符合题意，所以yx＝4.
2．计算lg10、lg100、lg1000及lg104的值，你能发现什么 规律？
【提示】 lg10＝1，lg100＝lg102＝2，lg1000＝lg103＝ 3，lg104＝4，
可见lg10n＝n＝nlg10.

解析： 2 2 lo g 2 5 2 2 2 lo g 2 5 4 5 2 0 . 3－2.设 a＝log310，b＝log37，则 3a-b＝( C )
10 A.49 10 C. 7
解析： 3
a b
7 B.10 49 D.10
3 3
a b

3
lo g 3 1 0 lo g 3 7
难点
准确认识指数式与对数式的关系
(1)在关系式 ax＝N 中，已知 a 和 x 求 N 的运算称为求幂运
算；而如果已知 a 和 N，求 x，就是对数运算．两个式子实质相
同而形式不同，互为逆运算． (2)指数式和对数式的关系及相应各部分的名称如下表：
式子
a 指数式
ab＝N
名称 b 指数 对数 N 幂 真数
3
1 (4)3 ＝3.
-1
思维突破：利用指数、对数式的关系 ab＝N⇔logaN＝b.
解：(1)∵log28＝3，∴23＝8.
1 (2)∵ lo g 1 9 ＝-2，∴ 3 3
2
9.
(3)∵52＝25，∴log525＝2. 1 1 (4)∵3 ＝3，∴log33＝－1.
-1
2
；
(3) a lo g b lo g c (a、b 为不等于 1 的正数，c＞0)．
思维突破：指数中含有对数值，解答本题可使用对数恒等 式 a lo g a N =N 来化简求值．
解：(1)原式＝
7
7
lo g 7 5

7 5
.
lo g 2 9 lo g 2 5
(2)原式 2
(lo g 2 9 lo g 2 5 )
2.2
对数函数

＝(llgg 23＋2llgg23)·(2llgg32＋3llgg32)
＝32llgg 23·56llgg 32＝54.
高考体验·明
探究·提知能
课后作
菜单
新课标 ·文科数学（广东专用）
1．对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因 落实·固基础此经常用到换底公式及其推论；在对含字母的对数式化 高考体验·明
在(0，＋∞)上为 ___增__函__数____
当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，___y_＜__0__．
课后作
在(0，＋∞)上为 ____减_函__数____
菜单
新课标 ·文科数学（广东专用）
4.反函数 指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数 __y_＝__lo_g_a_x____(a 落实·固基＞础 0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线______y_＝对x称．高考体验·明
|lg x| 落实·固基础－21x＋6
0＜x≤10，
x＞10，
若 a、b、c 互不相等，且 f(a)＝f(b高) 考体验·明
＝f(c)，则 abc 的取值范围是( )
A．(1，10)
B．(5，6)
C．(10，12)
D．(20，24)
【思路点拨】 (1)根据函数 y＝ax2＋bx 与 x
探究·提知能 轴的交点确定|ba|的范围．
【答案】 2
探究·提知能
课后作
菜单
新课标 ·文科数学（广东专用）
落实·固基础
(1)计算（1－log63）lo2g＋64log62·log618； (2)计算(log32＋log92)·(log43＋log83)．
高考体验·明
【思路点拨】 (1)根据乘法公式和对数运算性质进行计

对数的底数 真数 对数
底 数 ： a0且 a1 真数：N0
8
知识探究
指数式与对数式互化：
底 数 ： a0且 a1
真数：N0 负数和零没有对数
9
知识探究
对数运算的常用结论
(1)loga1__0___ax 1
(2)logaa_1___ _ ax a
(3)alogaN _N____ax N
10
例题精讲
（1） log3(x2 1)
(2) log(x1)(x 2) ．
12
例题精讲
考点三 求值：
例 3. 求下列各式中 x 的值：
（1）
log64
x
2 3
；
（3） lg100 x
（2） logx 8 6 （4） ln e2 x .
13
精彩展示
变式 1.
1）．求下列各式的值：
（1） log5 25
2．自然对数：以无理数e = 2.71828…作底
lo g e N 写成 ln N
6
讨论:
小组合作
在指数式 a x N 和对数式 x=loga N
中，a ，x ，N 各自的地位有什么不同？
a ，N 取值范围是什么？源自7探究:小组合作
指数式
ax N
对数式
x=loga N
a
Nx
指数的底数 幂 幂指数
(2) log(4x)(1 4x2) ．
14
当堂检测
1.
计算：（1） log 8 _____ 2
；（2）
2log25 log3 1 ____.
2
2. 对数式 log(a2)(5 a) b 中，实数 a 的取值范围是______.