对数与对数运算PPT

名师微博 这是关键步．
＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5 ＝12lg2＋12lg5 ＝12(lg2＋lg5)＝12lg10＝12.12 分
【名师点评】 (1)对于同底的对数的化简常用方 法是：①“收”将同底的两对数的和(差)收成积(商) 的对数；②“拆”将积(商)的对数拆成对数的和 (差)． (2)对于常用对数的化简要创设情境，充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题．
(3)对于含有多重对数符号的对数的化简，应从内 向外逐层化简求值．
题型四 对数换底公式的应用
例4 计算下列各式的值：
(1)(log43＋log83)log32； 1
(2) 2log52·log79 ； 13
log53·log7 4
(3)log 22＋log279.
【解】 (1)原式＝log134＋lo1g38log32
题型一 对数式与指数式的互化
例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)2－7＝1128；(2)10－1＝0.1；
(3)log132＝－5；(4)lg0.001＝－3.
2
【解】 (1)log21128＝－7；(2)lg0.1＝－1；
(3)21
－
5＝32；(4)10－3＝0.001.
【名师点评】 将指数式化为对数式，只需要将 幂作为真数，指数当成对数值，而底数不变即可； 而将对数式化为指数式则反其道而行之．指数式 与对数式的互化是一个重要内容，应熟练掌握．
【思路点拨】 由题目可知(1)式中是以 2 为底的 对数，(2)式中都是常用对数，同时两式中含有根 号以及对数的加减运算，可利用对数运算性质进行 计算．
【解】 12.…6 分
ห้องสมุดไป่ตู้

.
(2)logaMN＝ logaM－logaN .
(3)logaMn＝nlogaM (n∈R)．
换底公式 【问题导思】 计算log832的值，你能分析一下，其与log28同log232的关系 吗？ 【提示】 设log832＝x，∴8x＝32， ∴23x＝25， ∴x＝53，又log28＝3，log232＝5， ∴log832＝lloogg22382.
忽略真数大于0致误 已知lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，求xy的值． 【错解】 因为lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，所以xy＝(x－2y)2， 即x2－5xy＋4y2＝0，即(x－y)(x－4y)＝0，解得x＝y或x＝4y，所 以xy＝1或yx＝4.
【错因分析】 错解中，lgx＋lgy＝2lg(x－2y)与xy＝(x－ 2y)2对x，y的取值范围要求是不相同的，即求解过程不等价， 因此，得出解后要代入原方程验证，这是求解过程中最易忽略 的地方．
【自主解答】 设物质的原有量为a，经过t年，该物质的
剩余量是原来的13，由题意可得a·0.75t＝13a，
∴
3 4
t＝
1 3
，两边取以10为底的对数得lg
3 4
t＝lg
1 3
.∴t(lg3－
2lg2)＝－lg3，
∴t＝lg3－－lg23lg2≈2×0.300.1407－710.4771≈4(年)．
当xy＝4时，将x＝4y代入已知条件，符合题意，所以yx＝4.
2．计算lg10、lg100、lg1000及lg104的值，你能发现什么 规律？
【提示】 lg10＝1，lg100＝lg102＝2，lg1000＝lg103＝ 3，lg104＝4，
可见lg10n＝n＝nlg10.

(D)(2) (3) (4)
课 堂 互 动 探 究
【解析】选B.由对数定义可知(1)(2)(4)均正确，而(3)中
对数的底数不等于1.
基 础 自 主 演 练 课 后 巩 固 作 业
课 前 新 知 初 探
2.(2011·海口高一检测)设a>0,a≠1,x∈R,下列结论错误的 是( ) (B)logax2=2logax (D)logaa=1
2
(3)lg 0.01 2
1 4 解：(1)( ) 16 2
(4)ln10 2.303
(2)27 128
(3)10 0.01
2
(4)e2.303 10
求下列各式的值 （1）log0.5 1 （4） log3 243 （5） lg 4 64 （6）log
2
log （2） 9 81
是2010年的2倍？
a 1 8%
x=


x
2a
x 2 即 1.08
小结：
这是已知底数和幂的值，求指数的问题。 即指数式ab=N中，已知a 和N，求b的问题。
这里( a 0且a 1 ）
你能看得出来吗？怎样求呢？
对数的定义
如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对
特的方法构造出对数方法。1614年6月在爱丁堡出版的
第一本对数专著》《奇妙的对数表的描述》中阐明了 对数原理，后人称为纳皮尔对数。
假设2010年我国的国民生产总值为a亿元，如果每年 平均增长8%，那么经过多少年后国民生产总值
是2010年的2倍？
假设2010年我国的国民生产总值为a亿元，如果每年
平均增长8%，那么经过多少年后国民生产总值
（3）log25 625 解： （1）log0.5 1

(1)log3x＝－
3 4
；(2)logx2＝
78 .
1．根据需要可将指数式与对数式相互转化，从而实 现化难为易，化繁为简．
2．进行化简求值变形时，必需紧扣对数的概念与对 数的性质.
(2)以无理数e＝2.71828……为底的对数，叫自然对数，并 把自然对数logeN简记作lnN.
例如：lg 5 ，lg 3.5是常用对数；ln 10，ln 3是自然对数．
2．指数与对数的关系：设a＞0，且a≠1，则
ax＝N⇔logaN＝x.对数式与指数式的互化如下表：
logaN＝x⇔ax＝N 对数式⇔指数式 对数底数←a→幂底数 对数←x→指数 真数←N→幂数
对数的概念
求 log84 的值．
解析：令 x＝log84，∴8x＝4，即 列对数式写成指数式：
(1)
＝－4，__________；
(2)log2128＝7，__________. 答案：( 1 )－4＝16；(2)27＝128
2
求对数式中的未知量
求下列对数式中x 的值：
3.对数的性质
(1)在指数式中 N > 0，故零和负数没有对数，即式子 logaN中N必须大于零；
(2)设a＞0，a≠1，则有a0＝1 ，∴loga1＝0，即1的对数 为0；
(3)设a＞0，a≠1，则有a1＝a ，∴logaa＝1，即底数的 对数为1.
4．对数恒等式
(1)如果把ab＝N中的 b写成logaN，则有：alogaN＝N； (2)如果把x＝logaN中的N 写成ax，则有logaax＝x.
对数与对数运
1．如果ax＝N(a＞0，a≠1)，那么数 x叫做以a为底 N的对 数．记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．对 数式的书写格式：

思考:
在指数式 ax N和对数式 x= loga N中， a，x ，N 各自的地位有什么不同？
指数式 ax N 对数式 x= loga N
a Nx
指数的底 幂 幂指数 数
对数的底 真 对数 数数
对数式与指数式的互换
42 16 化为对数式 log4 16 2
102 100 化为指数式 log10 100 2
1
4 2 2 化为对数式
102 0.01 化为指数式
1 log 4 2 2
log10 0.01 2

对数的运算
对数运算的三条基本性质
（1）loga M loga N loga (M N)
（2）loga
M
loga
N
loga
M N
（3）loga M n n loga M
对数运算的三个常用结论
ax N x= loga N
介绍两种特殊的对数：
1．常用对数：以10作底 log10 N写成 lg N
例如：log10 3简记作lg 3，log10 2.3简记作lg 2.3 ；
2．自然对数：以无理数e = 2.71828…作
底 log e N 写成 ln N
例如：loge 3 简记作 ln 3，loge 7.1简记作ln 7.1 ；
（1）loga a 1; （2） loga 1 0;
（3） aloga N N.
课堂练习
试用 loga x，loga y ，loga z表示下式：
（1） loga
x2 y
（2）loga yz2
小结：
1°对数的定义
2°互换(对数与指数会互化)
3 °对数的运算性质
课后延续
1、认真复习；

解析 由 alog34＝2 可得 log34a＝2，所以 4a＝9，所以 4－a＝19，故选 B．
解析 答案
2．已知 a>0，a≠1，函数 y＝ax 与 y＝loga(－x)的图象可能是( )
解析 若 a>1，则 y＝ax 是增函数，y＝loga(－x)是减函数；若 0<a<1， 则 y＝ax 是减函数，y＝loga(－x)是增函数，故选 B．
且 a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线 10 ___y_＝__x___对称．
1．对数的性质(a＞0 且 a≠1) (1)loga1＝0；(2)logaa＝1；(3)alogaN＝N. 2．换底公式及其推论 (1)logab＝llooggccba(a，c 均大于 0 且不等于 1，b＞0)； (2)logab·logba＝1，即 logab＝log1ba(a，b 均大于 0 且不等于 1)； (3)logambn＝mn logab； (4)logab·logbc·logcd＝logad.
增区间．
∵当 x∈(4，＋∞)时，函数 t＝x2－2x－8 为增函数，
∴函数 f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．故选 D．
解析 答案
6．计算：log23×log34＋( 3)log34＝________. 答案 4 解析 log23×log34＋( 3)log34 ＝llgg 32×2llgg32＋3 log34＝2＋3log32＝2＋2＝4.
8 5
＜lg152·lg
3＋lg 2
82＝
lg
3＋lg 2lg 5
82＝llgg
22452＜1，∴a＜b.由
b＝log85，得
8b＝5，由
55＜84，得
85b
＜84，∴5b＜4，可得 b＜45.由 c＝log138，得 13c＝8，由 134＜85，得 134＜135c，

问题2：你能推出loga （M·N ）(M>0，N>0)的表达式吗？ 提示：能． 令am＝M，an＝N，∴MN＝am＋n. 由对数的定义知 logaM＝m，logaN＝n，logaMN＝m＋n， ∴logaMN＝logaM＋logaN.
1．对数的运算性质
若 a>0，且 a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝ logaM＋logaN ， (2)logaMN＝ logaM－logaN ， (3)logaMn＝ nlogaM (n∈R)．
(6 分)
(2)1z－1x＝log16k－log13k＝logk6－logk3＝logk2 ＝12logk4＝21y，
∴1z－1x＝21y.
(12 分)
[一点通] 对数式的证明和对数式的化简的基本 思路是一致的，就是根据对数的运算性质和换底公式 对对数式化简．
1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化. 该公式既可正用，又可逆用.使用时，关键是选择底数. 换底的目的是利用对数的运算性质对对数式进行化简．
问题1：若2x＝8，(13)x＝27，x的值分别为多少？ 提示：3 －3
问题2：若2x＝0，(13)x＝－1，这样的x存在吗？ 提示：不存在． 问题3：若2x＝3，(13)x＝4，如何求指数x?
提示：利用对数求解．
1．对数的概念 (1)定义： 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数 x叫做以 a为 底 N 的对数，记作 x＝logaN ．其中， a 叫做对数 的底数， N 叫做真数．
法二：原式＝lg472－lg 4＋lg 7
5＝lg4
2×7 7×4
5
＝lg( 2· 5)＝lg 10＝12. (3)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2

logcb logab＝_lo_g_c_a___ (a>0，b>0，c>0，a≠1，c≠1)．
问题探究
1 ． 若 M 、 N 同 号 ， 则 式 子 loga(M·N) ＝ logaM ＋ logaN成立吗？ 提 示 ： 不 一 定 ． 当 M>0 ， N>0 时 成 立 ； 当 M<0 ， N<0时不成立． 2．对数式logapNq如何化简？(a＞0，a≠1，N＞0) 提示：可用换底公式化简： logapNq＝llooggaaNapq＝qlopgaN＝qplogaN.
即2x＋1y＝1.
【名师点拨】 法一，通过指数式化对数式求出 x，y，再代入所求式子中进行对数运算，注意 化同底． 法二，对等式两边取对数，是一种常用的技巧．
自我挑战 2 已知 x、y、z 为正数，3x＝4y＝6z＝k，
求证：1z－1x＝21y. 证明：1z－1x＝lo1g6k－log13k＝logk6－logk3＝logk2 ＝12logk4＝21y，
• ②发展方向：研制
的
新型农药。
• 二、化学是社会可持续发展的基础
• 1．现代科学技术的发展离不开化学
• (1)化学与人类的密切关系
• ①化学与人们的生活有着密切的联系。 • ②化学与信息、生命材、料 、环境、能、源 地 球 、
空间和核科学等新兴学科密切联系。 • ③化学 合成和分离 技术为其他技术的发明
失误防范
1．应用对数运算性质时应注意保证每个对数 都有意义．
要注意底数和真数的取值范围．例如，
log5[(－5)×(－5)]是有意义的，但是不能用公 式 计 算 ， 否 则 会 得 到 如 下 结 果 ： log5[( － 5)×(－5)]＝log5(－5)＋log5(－5)，即无意义 了．

练习
(1) log15 15 (2) 2log2 5
(3) 10lg3 10 ln1 log 2
提高训练
1.求下列各式中 x 的值
(1) log2(log5 x) 0
(2) log3(lg x) 1
提高训练
（1）已知 loga 2 m, loga 3 n 求下列各式的值
(1) a 2m , (2) a 3n , (3) a 2m3n
对数与对数运算
创设情景，引入新课
情景1：
情景2： 设2014年我国的国民生产总值为 亿元， 如果每年平均增长8%，那么经过多少年国 民生产总值是2014年的2倍？
解：设经过x年国民生产总值是2014年的 2倍，则有
x?
问题1：2 = 26
问题2：
=? =?
共同特征：
已知底数和幂的值，求指数的问题。
对数的起源
——（Napier，1550-1617）
恩格斯把对数的发明称为17世纪数学的三大成就 之一。今天，随着计算机的迅猛发展，对数表就 像过时的法律一样被废弃了，但对数已成为数学 的精髓部分，是每一个中学生必学的内容。
例1：将下列指数式化为对数式， 对数式化为指数式。
两种特殊的对数： ①常用对数：以10为底的对数
作业
课本：P74 1，2
当你的才华还撑不起你的野心时，你就该努力。心有猛虎，细嗅蔷薇。我TM竟然以为我竭尽全力了。能力是练出来的，潜能是逼出来的，习惯是养成的，我的 成功是一步步走出来的。不要因为希望去坚持，要坚持的看到希望。最怕自己平庸碌碌还安慰自己平凡可贵。
脚踏实地过好每一天，最简单的恰恰是最难的。拿梦想去拼，我怎么能输。只要学不死，就往死里学。我会努力站在万人中央成为别人的光。行为决定性格， 性格决定命运。不曾扬帆，何以至远方。人生充满苦痛，我们有幸来过。如果骄傲没有被现实的大海冷冷拍下，又怎么会明白要多努力才能走到远方。所有的 豪言都收起来，所有的呐喊都咽下去。十年后所有难过都是下酒菜。人生如逆旅，我亦是行人。驾驭命运的舵是奋斗，不抱有一丝幻想，不放弃一点机会，不 停止一日努力。失败时郁郁寡欢，这是懦夫的表现。所有偷过的懒都会变成打脸的巴掌。越努力，越幸运。每一个不起舞的早晨，都是对生命的辜负。死鱼随 波逐流，活鱼逆流而上。墙高万丈，挡的只是不来的人，要来，千军万马也是挡不住的既然选择远方，就注定风雨兼程。漫漫长路，荆棘丛生，待我用双手踏 平。不要忘记最初那颗不倒的心。胸有凌云志，无高不可攀。人的才华就如海绵的水，没有外力的挤压，它是绝对流不出来的。流出来后，海绵才能吸收新的 源泉。感恩生命，感谢她给予我们一个聪明的大脑。思考疑难的问题，生命的意义；赞颂真善美，批判假恶丑。记住精彩的瞬间，激动的时刻，温馨的情景， 甜蜜的镜头。感恩生命赋予我们特有的灵性。善待自己，幸福无比，善待别人，快乐无比，善待生命，健康无比。一切伟大的行动和思想，都有一个微不足道 的开始。在你发怒的时候，要紧闭你的嘴，免得增加你的怒气。获致幸福的不二法门是珍视你所拥有的、遗忘你所没有的。骄傲是胜利下的蛋，孵出来的却是 失败。没有一个朋友比得上健康，没有一个敌人比得上病魔，与其为病痛暗自流泪，不如运动健身为生命添彩。有什么别有病，没什么别没钱，缺什么也别缺 健康，健康不是一切，但是没有健康就没有一切。什么都可以不好，心情不能不好；什么都可以缺乏，自信不能缺乏；什么都可以不要，快乐不能不要；什么 都可以忘掉，健身不能忘掉。选对事业可以成就一生，选对朋友可以智能一生，选对环境可以快乐一生，选对伴侣可以幸福一生，选对生活方式可以健康一生。 含泪播种的人一定能含笑收获一个有信念者所开发出的力量，大于个只有兴趣者。忍耐力较诸脑力，尤胜一筹。影响我们人生的绝不仅仅是环境，其实是心态 在控制个人的行动和思想。同时，心态也决定了一个人的视野、事业和成就，甚至一生。每一发奋努力的背后，必有加倍的赏赐。懒惰像生锈一样，比操劳更 消耗身体。所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，都是微不足道。所有的失败，与失去自己的失败比起来，更是微不足道挫折其实就是迈向成功所应缴的学 费。在这个尘世上，虽然有不少寒冷，不少黑暗，但只要人与人之间多些信任，多些关爱，那么，就会增加许多阳光。一个能从别人的观念来看事情，能了解 别人心灵活动的人，永远不必为自己的前途担心。当一个人先从自己的内心开始奋斗，他就是个有价值的人。没有人富有得可以不要别人的帮助，也没有人穷 得不能在某方面给他人帮助。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫幼稚。不要总在过去的回忆里缠绵，昨天的太阳，晒不干今天的衣裳。今天做别人不 愿做的事，明天就能做别人做不到的事。到了一定年龄，便要学会寡言，每一句话都要有用，有重量。喜怒不形于色，大事淡然，有自己的底线。趁着年轻， 不怕多吃一些苦。这些逆境与磨练，才会让你真正学会谦恭。不然，你那自以为是的聪明和藐视一切的优越感，迟早会毁了你。无论现在的你处于什么状态， 是时候对自己说：不为模糊不清的未来担忧，只为清清楚楚的现在努力。世界上那些最容易的事情中，拖延时间最不费力。崇高的理想就像生长在高山上的鲜 花。如果要搞下它，勤奋才能是攀登的绳索。行动是治愈恐惧的良药，而犹豫、拖延将不断滋养恐惧。海浪的品格，就是无数次被礁石击碎又无数闪地扑向礁 石。人都是矛盾的，渴望被理解，又害怕被看穿。经过大海的一番磨砺，卵石才变得更加美丽光滑。生活可以是甜的，也可以是苦的，但不能是没味的。你可

当a>0,a≠1时，ax=N
x=㏒aN
※性质
0和负数没有对数，即N > 0；
1的对数等于0，即loga1=0；
底数的对数等于1，即logaa=1；
④对数恒等式 a
log a N
N.
探究角度1 对数式与指数式的互化
[例1] 将下列对(或指)数式化成指(或对)数式.
(1)lo
x=3;
(2)logx64=-6;
对数定律说明书》中阐明了对数原理,后人称为纳皮尔对数
.
对数的主要作用是简化运算
解下列方程
(1)2 8
x
(3)1.11 2
x
(2)2
x
2
(4)1.11 3
x
一般地，
对数概念
如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N 的对数,记
作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N 叫做真数
loga N
N (对数恒等式）
对数的运算性质
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么：
（1）logaM n = n logaM (n∈R)
（2）loga(MN)=logaM+logaN
M
(3) log a
log a M log a N
N
探究点一
对数运算法则
[例1] 计算:
(2)
+
+
解:(1)由log8[log7(log2x)]=0,得log7(log2x)=1,即log2x=7,所以x=27.
(2)log2[log3(log2x)]=1.
解:(2)由log2[log3(log2x)]=1,所以log3(log2x)=2,所以log2x=9,所以x=29.

添加幻灯片小标题
[尝试解答] (1)∵3－2＝19，∴log319＝－2.
(2)∵14－2＝16，∴log
1 4
16＝－2.
(3)∵log
1 3
27＝－3，∴13－3＝27.
(4)∵log 64＝－6，∴( x)－6＝64. x
2
3.指数与对数的互化 添加幻灯片小标题
当 a＞0，a≠1 时，ax＝N⇔x＝
. 如：
∵23＝8，∴log28＝ ；∵25＝32，∴log232＝ .
4.对数的性质
(1)loga1＝ ；
(2)logaa＝ ；
(3)
和 没有对数．
5.对数恒等式
alogaN＝N(a>0，且 a≠1，N>0)．
[典例精析]
添加幻灯片小标题
求下列各式中 x 的值．
(1)logx27＝32； (3)x＝log2719；
2.2对数函数
对数与对数的运算
01 对数的概念
03 对数的运算性质
CATALOG
02 对数的性质及应用 04 换底公式
1
添加幻灯片小标题
ax b 已知a, x,求b 幂运算 已知b, x,求a 开方运算 已知a,b,求x ??运算
添加幻灯片小标题
1.定义
一般的，如果 aa 0, a 1
3
添加幻灯片小标题
6 .
[典例精析]
添加幻灯片小标题
求下列各式的值：
(1)log2(47×25)；
5
(2)lg
100；
(3)lg 14－2 lg 73＋lg 7－lg 18；
(4)lg 52＋23 lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.

loga a?1
(4) lne ___1
思考：你发现了什么？如何用对数式表示？
3、求下列各式的值：
2 (1) log23 _3__
a ? (2) 5log50.6 _0._6_
logaN
N
(3) 0.8log0.8100 1_0_0_
思考：你发现了什么？如何用式子表示？
对数恒等式
ax = N
x = loga N
一、对数的定义：
一般地,如果 axN ,(a0且 a1),那
么数 x 叫做以 a 为底 N的对数
记作： x loga N
其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数
二、两种特殊对数：
１．常用对数：我们将以10为底的对数 log10 N 叫 做常用对数，并记做 lg N ．
２．自然对数：无理数e=2.71828…,以e为底的对
1
(4)(
)m =5.73
3
4=log5625 -6=log2(1/64)
a =log327 m=log(1/3) 5.73
2.将下列对数式写成指数式
(1)log1 16=4
16= ( 1 ) 4
2
2
(2)log2128=7
128=27
(3)log100.01= -2
0.01=10-2
(4)loge10=2.303
10=e 2.303
P84《课时跟踪十六》9 （利用对数式和指数式的互化）
理论迁移
例2.求下列各式中x 的值：
（1）log 64 x
2 3
（2）logx 8 4
（3）lg1000 x
(4) lne3 x
例3 计算下列各式:
(1) log 5 25