构造法解题与数学思想方法的渗透

Җ㊀江苏㊀陆昌荣㊀㊀数学是高中的基础学科,如何高效解题是高中数学学习的关键问题．高中数学解题的方法有许多,构造法是一种常见的方法．构造法将抽象的问题具体化,根据题目中的已知条件,以及结论相关的性质㊁特点,构造数学结构或者数学模型,从而快速有效地解决数学问题．利用构造法,将未知量转化为已知量,结合题干中显性和隐性的条件,从一个新的角度出发,进行逆向思维解题．结合结论,以及题目中包含的信息,对解决问题的必要条件进行推导,从而有针对性地寻求解决思路．构造法可以引导学生寻找更合理的解题思路,提升学生的解题能力,解决思维定式所产生的影响．合理应用构造法,可以发展学生的敏捷性思维,培养学生的创造性思想,提高解题效率．１㊀构造函数法函数是高中数学的重要内容,利用构造法解决函数问题,可以将抽象的函数转化为具体的问题,为学生提供新的解题思路,降低解题难度,提高学生解题能力．尤其在几何和代数问题中,深入挖掘题干信息,可以使复杂的题目更加直观㊁简单．在解题中,激发学生的数学思想,让学生掌握基本的解题方法,通过构造函数,丰富学生的解题技巧,锻炼学生的解题思维,从而顺利求解,也可以提升解题的准确率．例１㊀假设有正整数m ,n ,a ,并且n ＜m ,证明:n m ＜n ＋am ＋a．分析㊀用变量x 表示a ,由此,n m ＜n ＋am ＋a 变为n m ＜n ＋x m ＋x ．可将n ＋xm ＋x 看成是以x 为变量的函数．通过构造新的函数,提供解题思路,提升解题效率．如果采用传统的解题方法,不使用构造函数法,很难利用高中数学知识解题．解㊀用变量x 表示a ,进行函数构造,则有f (x )＝n ＋x m ＋x ＝n －m m ＋x ＋１．因为n －mm ＋x 是单调递增函数,并且当x ȡ０时,易证得n m ＜n ＋am ＋a．２㊀构造方程法高中学生比较熟悉数学方程式,在高中数学解题中,常用方程构造法．构造方程是高中数学的重要内容之一,也是学生容易掌握且能普遍应用的方法．构造方程一般与函数密切相关,大部分题目是方程与函数结合．依据题目的数量特征㊁结构关系,可以构建等式,分析未知量之间的关系,然后变换恒等式,使复杂的题目简单化．从而可以更好地理解题目,简化解题步骤,快速解题．例２㊀已知方程(m －n )２－４(n －x )(x －m )＝０,证明m ,x ,n 为等差数列．分析㊀如果使用传统的解题思路,该题计算非常复杂,难度较高．通过分析题目,根据结论m ,x ,n 为等差数列,将其作为已知条件,利用构造法解题比较简单,使抽象的问题具象化,与方程相结合,可以更好地解决此类问题．解㊀(n －x )t ２＋(m －n )t ＋(x －m )＝０为构造方程,令F (t )＝(n －x )t ２＋(m －n )t ＋(x －m )．根据题目已知条件,可得F (１)＝０．由此,(n －x )t ２＋(m －n )t ＋(x －m )＝０有相等的实数根．因此,方程的实数根均为１,t ＝１．依据根与系数关系,有m ＋n ＝２x ,即m ,x ,n 为等差数列．３㊀构造数列法数列是高考中的热门考点．等比数列㊁等差数列是高中阶段主要涉及的数列内容,其中包含的数学知识较多．在一些特殊的题型中,可以使用构造数列法,构造等比数列㊁等差数列,拓展解题思路．学生需要进行联想或替换,明确题目的考查要点,分析题干中的要求,进行合理的数列构造,从而有效解题．例３㊀已知数列的前n 项和为S n ．且S ４＝４．当n ȡ２时,a n ＝１２(S n ＋S n －１)．求S n 的表达式．分析㊀此题是常见的数列问题,已知递推公式,求S n ．数列{a n }的通项公式已经给出,并且前n 项的和已知,可以对表达式进行直接推算．但这种解题方法比较繁杂．通过构造数列法可以使解题更加简便,使表达式的求解过程更加简化．解㊀根据已知条件和数列性质,当n ȡ２时,可知a n ＝S n －S n －１,所以１２(S n ＋S n －１)＝(S n )２－(S n －１)２,即１２＝S n －S n －１．设b n ＝S n ,则数列{b n }是公差为１２的等差数列,S ４＝４,则S ４＝２,７S n ＝n ２,因此S n ＝n ４(n ȡ２)．４㊀构造向量法高考中向量是必考内容之一,也是高中学生学习的重点和难点．向量不仅在向量问题中有应用,对于其他内容的解题也有重要的作用．构造向量法解题可以使题目更加直观,将代数问题转化为几何问题．基于构造法的思想,用构造向量解题,不再需要复杂的论证过程,可以帮助学生有效解决高度抽象的问题．例４㊀假设x ,y 满足x －y ＋２ȡ０,x －５y ＋１０ɤ０,x ＋y －８ɤ０,ìîíïïïï求函数z ＝３x －４y 的最小值和最大值．分析㊀此题是经典的一类函数求最值问题．如果使用传统解题方法,计算步骤很多,并且容易产生计算错误．对函数z ＝３x －４y 进行变形,使其成为x １x ２＋y １y ２的结构,应用构造法思维,构造向量法,有a ＝(３,－４),b ＝(x ,y ),可以有效降低解题难度,求a b 的最值即可．解㊀如图１所示,在平面直角坐标系x O y 中,根据线性约束条件,作出可行域图１构造平面向量,O M ң＝(x ,y ),O P ң＝(３,－４),易知|O P ң|＝５．在可行域әA B C 中,M (x ,y )在O P ң上,使O M ң在O P ң上的投影|O M ң|c o s ‹O P ң,O M ң›在点A ,点B 上取得最值．M 在点A 时,投影为负值,在点B 时,投影为正值．点A ,B 与M 重合时,可知点A 坐标为(３,５),点B坐标为(５,３)．由此可得,最小值为－１１,最大值为３．总之,数学具有复杂性㊁抽象性,对高中学生来说是重点,也是难点．在高中数学解题中,学生可以采取构造法,根据已知条件及结论,构造向量㊁函数㊁方程等,将复杂的题目简单化,培养学生的解题思维能力,提升解题效率．(作者单位:江苏省扬中高级中学)Җ㊀山东㊀刘㊀群㊀㊀同构思维是数学中代数处理的一种重要思维,其关键在于发现代数式子结构的相似性,对其进行代数变形的统一构造处理．其实,同构思维在解析几何中的应用更为精妙,它可以实现形与数的完美结合,其中２０１１年和２０１８年浙江卷中的２１题(解析几何问题)就是其应用的经典案例．笔者一直以来想总结归纳解析几何中同构法的使用标志和基本步骤,借本文与广大读者共同探讨．１㊀问题的提出例１㊀(２０１８年浙江卷２１,节选)如图所示,已㊀图１知点P 是y 轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C :y ２＝４x 上存在不同的两点A ,B 满足P A ,P B 的中点均在C 上．设A B 中点为M ,证明:P M 垂直于y 轴．设A (x １,y １),B (x ２,y ２),P (x ０,y ０),则P A ,P B 的中点分别是D (x ０＋x １２,y ０＋y １２),E (x ０＋x ２２,y ０＋y ２２),因为点D 在抛物线上,则(y ０＋y １２)２＝４ x ０＋x １２,y ２１＝４x １,ìîíïïï化简可得y ２１－２y ０y １＋８x ０－y ２０＝０．同理可得y ２２－２y ０y ２＋８x ０－y ２０＝０,所以y １,y ２是方程y ２－２y ０y ＋８x ０－y ２０＝０的两根,y １＋y ２＝２y ０,即y ０＝y １＋y ２２．题后反思㊀本题采用设点,发现直线P A 与直线P B 具有对等性,即解题中研究直线P A 与P B 其实是一样的,这就是形上的对等,列式求得其中一个式８。

构造法在初中数学解题中的应用【摘要】在初中数学教学中，引导学生建立正确的数学思维是非常重要的一个环节。

在数学思维中，构造法是一种非常具有创造性、独特性的解题方法。

在复杂的数学解题过程中，通过合理运用构造法，可以将复杂难解的问题变得简单易解，构造法的解题思想充分融入所有数学思想之中。

通过采用构造法能够更加直接、快捷的将复杂繁琐的数学题正确解答。

因此，指导学生能够掌握这一个解题方法是非常必要的。

本文从构造法的概念入手，阐述了构造法的具体特点，重点就构造法在初中数学解题中的应用进行了详细介绍。

【关键词】初中数学；构造法；概念；特点；应用一、前言数学方法是解决数学问题的关键要素，其中构造法是数学解题方法中的一种，构造法在数学出现时就孕育而生了。

在数学历史中，许许多多的数学家，比如高斯、牛顿、阿基米德、柯西、欧拉等，都曾经使用过构造法成功解决了数学方面的难题。

在高深莫测的数学世界里，蕴含着美轮美奂的数学思想，其中构造法就是其中的一抹霞光，让整个解题思想如虎添翼。

尤其这几年来，构造法在初中数学解题中的地位越来越高，应用也变的更加广泛[1]。

然而合理运用构造法需要具备牢固的数学思想基础、创新发散性思维以及综合运用的能力。

在解题中使用构造法除了需要学生具备扎实的数学思维基础，还需要具有观察、分析、思考问题的能力，尤其要具备发散性思想。

在日常初中数学教学中，老师要有意识的培养学生使用构造法去解题，通过反复训练，帮助学生建立起构造法解题思想，让学生体会到数学思想之间的相互关系，在解题中能够独立构建数学模型，有效的将问题解决，从中激发学生学习的创造性和积极性，培养学生的数学核心素养与数学思维能力[2]。

二、构造法的概念与特征（一）构造法的概念构造法是结合数学问题的相关信息，将信息之间的映射关系构建起完整的数学模型，再将数学问题逐步转换为数学模型的数理机制研究，最终达到将问题解决的目的。

构造法解题思路非常灵活，并且解题形式种类繁多，老师如何引导学生能够熟练掌握构造法的解题思路，对初中数学学习尤为重要。

“构造法”在数学解题中的应用构造法是数学中常用的基本方法，其本质特征是“构造”.所谓构造法就是综合运用各种知识和方法，根据对条件和结论的观察分析，将问题中条件和结论通过适当的逻辑组合而构造一种新的形式，这种新的形式恰好是熟悉的数学模型从而使解题思路清晰，问题得以解决的一种解题方法.构造性思维方式是数学中一种重要的创造性思维方式，应用构造法解题需要有敏锐的观察、丰富的联想、灵活的构造及创造思维能力.构造法的基本特征表现为描述的直观性和实现的具体性.它对于数学理论的创造、发展和数学问题的解决具有重要的意义，对学生创造性思维素质和能力的培养具有不可忽视的作用.构造法解题大致包括两个方面的内容.其一、辅助手段.通过构造适当的辅助量转换命题加以解决.其二、利用构造法证明某些存在性问题.本文拟举几方面的例子来说明.一、构造数学模型（或对应关系）沟通条件和结论的联系用构造法解题就是要建立对应关系“f”和“s”的映象“s ”.由此得到两条思路：一条是着重构造数学模型s ；另一条是着重建立对应关系f，下面先分别就这两条思路进行讨论.构造法所要构造的数学模型是指那些反映特定问题的数学对象及其关系结构的映象系统，是具体、直观、典型的模式，其中也包括各种数学对象，例如：几何图形、复数、函数、数列、方程等.1.构造几何图形图形在解题中的重要性是人所共知的，我们在解题时经常需要利用某种图形启发思维，这就要人为地使题设条件在构造的图形中完全实现，再利用图形的性质解题.数学的抽象性的一个重要表现是能把大量的实际问题提炼、抽象成数学模型.建立数学模型就是把所要研究的问题归结到某个已知数学模型或图形来求解.其例子、方法、形式很多，由于篇幅有限在这就不再多举例了.我们来看下面几个关于构造存在性实例或反例、特例的实例.二、构造存在反例或特例.综上所述，构造法是解题的一种重要方法，构造时需要机智和灵巧，但更重要的是需要大家反复尝试、探索.在解题中重视应用构造法有利于思维的创造性，可以促进解题能力的再提高.利用构造法解题的类型很多，其应用是广泛的，这里难以一一列举.本文也仅仅列举几个方面的例子来说明构造法在数学解题中的应用，从而加强学生创造能力的培养及对数学方法的重视.。

构造性方法在高中数学解题中的应用作者：李斌来源：《教育界·中旬》2015年第07期【摘要】构造法是一种富有创造性的解题方法，对培养学生的创造性思维有着重要意义。

新一轮的课程改革增加了向量、概率、算法、微积分等知识，并强调数学知识点的相互融合，这使构造法的应用更加广泛。

综合相关文献资料发现，广大教育工作者已经对构造法解题的基本类型、构造法的功能及构造法对思维能力的培养有了广泛的研究，但针对新教材中的新内容却很少涉及。

文章通过对向量、概率、算法、微积分等七块知识点的举例研究，初步探讨构造法在高中数学解题中的应用。

【关键词】构造法高中数学新教材解题1构造思想与构造法构造思想是一种数学思想，它用构造的策略来解决问题，反映了构造法的实质。

构造法是一种数学方法，是采用构造的方法去执行这种策略的具体手段。

其实质构造思想与构造法互为表里，在数学活动中的表现形态不具备明确的界限，故统称为构造思想方法，简称构造性方法。

构造性方法的实质就是依据某些数学问题的条件或结论所具有的典型特征，用已知条件中的元素为“元件”，用已知的数学关系为“支架”，在思维中构造出一种相关的数学对象、一种新的数学形式，从而使问题转化并解决的方法。

2怎样用构造法解题数学解题方法形式多样，种类繁多，构造性解题方法就是其中一种。

“构造”是一种重要而灵活的思维方式，它没有固定的模式。

要用好这一方法，需要有敏锐的观察、丰富的联想、灵活的构思、创造性的思维等能力。

构造性解题方法很好地体现了数形结合、类比、转化等数学思想，也渗透了猜想、换元、归纳概括、特殊化等重要的数学方法。

应用构造法解题的关键有以下几点：（1）要有扎实的数学基础知识。

使用构造法解题是对已有知识和方法采取分解、组合、变换、类比、限定、推广等手段进行思维的再创造，构成新的式子或图形来帮助解题。

因此已有的知识和方法必须丰富、扎实。

（2）要有明确的方向，即要明确为了解决什么问题而建立一个相关的构造。

北师大版七年级上数学教材各节所渗透的数学思想和方法结合初中学生的认知特点，在教学中要求学生理解如下几种主要的数学思想方法1．分类思想方法.2．转化的思想方法.3．数形结合思想方法.4. 函数与“方程”的思想.5．建模思想.掌握如下几种具体解题方法1、配方法2、因式分解法3、换元法4、求根公式与韦达定理5、待定系数法6、构造法7、反证法8、面积法9、几何变换法10、消元法主要观点；1.注重在平时的教学中渗透数学思想方法.2．任何数学问题的解决无不以数学思想为指导，以数学方法为手段的.3．学生明确解题的思想方法后，才能脱离题海，以不变应万变.第一章丰富的图形世界1．生活中的立体图形（一）通过比较，学会观察物体间的特征，体会几何体间的联系和区别，并能根据几何体的特征，对其进行简单分类.（分类思想方法）1．生活中的立体图形（二）创设了丰富的、有趣的现实情境（如“水立方”问题），有效的激发了学生的学习兴趣；关注了从实物中抽象几何体的过程，关注数学与现实的联系；注重了动手实践和直观感受，有效地发展了学生的空间观念.（几何变换法）2．展开与折叠（一）经历展开与折叠、模型制作等活动，发展空间观念，积累数学活动经验；在动手实践制作的过程中学会与人合作，学会交流自己的思维与方法.（建模思想）2．展开与折叠（二）通过展开与折叠的实践操作，在经历和体验图形的转换过程中，初步建立空间概念，发展几何直觉.（几何变换法）3．截一个几何体让学生参与对实物有限次的切截活动和用通过探索型课件进行的无限次的切截活动的过程，使学生经历观察用平面截一个正方体，猜想截面的形状，实际操作、验证，推理等数学活动过程，丰富学生对空间图形的几何直觉，激发学生的形象思维．（数形结合思想方法）4．从不同的方向看（一）经历“从不同方向观察物体”的活动过程，发展学生的空间概念和合理的想象.（数形结合思想方法）5．生活中的平面图形在具体的情境中认识多边形、扇形,培养学生的观察与概括能力.( 注重在平时的教学中渗透数学思想方法)第二章有理数及其运算1．数怎么不够用了培养学生对问题分析抽象概括能力，提高学生语言表达能力，培养学生的“数感”，渗透（分类讨论思想和集合思想）.2．数轴培养学生的观察、比较、分析、抽象、概括的逻辑思维能力和动手能力，渗透（数形结合的数学思想和方法）.3．绝对值通过探索求一个数绝对值的方法和两个负数比较大小方法的过程，让学生学会通过观察，发现规律、总结方法，发展学生的实践能力，培养创新意识.（任何数学问题的解决无不以数学思想为指导，以数学方法为手段的）4．有理数的加法（一）渗透分类、探索、归纳等思想方法，使学生了解研究数学的一些基本方法.（分类思想方法）4．有理数的加法（二）启发引导式教学，能够由特殊到一般、由一般到特殊，体会研究数学的一些基本方法.（分类思想方法）5．有理数的减法经历由特例归纳出一般规律的过程，培养学生的抽象概括能力及表达能力；通过减法到加法的转化，让学生初步体会（转化、化归的数学思想）．6．有理数的加法混合运算（一）使学生理解有理数的加减法可以互相转化，并了解代数和概念.（转化的思想方法）7．水位的变化经历将一些实际问题抽象成有理数的加减运算的过程，体会（数学与现实生活的联系）.8．有理数的乘法（一）经历探索有理数乘法法则的过程，发展（观察、归纳、猜想、验证能力）.8．有理数的乘法（二）经历探索有理数的乘法运算律的过程，发展（观察、归纳、猜想、验证等能力）.9．有理数的除法经历探索发现有理数除法法则的过程，发展（观察、归纳、猜想、验证、表达能力）.10．有理数的乘法（一）掌握有理数乘法的概念，能进行有理数的乘方运算.（建模思想）10．有理数的乘法（二）参与折纸操作数学活动，在具体的情境中初步掌握估算的方法，获得一些经险，为本册书第六章第一节“认识100万”的学习打基础.（注重在平时的教学中渗透数学思想方法）11．有理数的混合运算经历实验、操作、探索、等数学活动过程，发展合作交流的意识，提高有条理地、清晰地阐述自己观念的能力.（数形结合思想方法）12．计算器的使用经历运用计算器探索数学规律的活动，培养合情推理能力，能运用计算器进行实际问题的复杂运算.（建模思想）第三章字母表示数1．字母能表示什么培养学生认识事物从特殊到一般、再由一般到特殊的过程.（分类思想方法）通过对实际问题中规律的探索，体验“从特殊到一般、再到特殊”的辩证思想，激发学生的探究热情和对数学的学习热情.（分类思想方法）2．代数式通过创设实际背景和引用符号，经历观察、体验、验算、猜想、归纳等数学过程，体会数学与现实世界的联系，增强符号感，（发展运用符号解决问题和数学探究意识）.3．代数式求值经历观察、试验、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，形成解决问题的一些基本策略.（分类思想方法）4．合并同类项（一）通过尝试对项分类，培养观察、比较、（分类的数学思想）.4．合并同类项（二）通过识别同类项，培养观察、比较、分类的数学思想；通过合并同类项，体验（化繁为简的数学思想）. 5．去括号探索和寻求去括号的法则与合理解释，形成分析解决问题的一些基本策略，提高创造性解决问题的愿望与能力.（数形结合思想方法）6．探索规律（一）认识知识来源于生活，体会数学就在身边，激发学生的探究热情，体验数学活动的探索性及创造性，培养学生实事求是的科学态度.（分类思想方法）6．探索规律（二）第四章平面图形及其位置关系1．线段、射线、直线通过识图、辨析、观察、猜测验证等数学探究过程，发展几何意识、合情推理和探究意识.（数形结合思想方法）2．线段的大小比较通过思考想象、合作交流、动手操作等数学探究过程，了解线段大小比较的方法策略，学习开始使用几何工具操作方法，发展几何图形意识和探究意识.（数形结合思想方法）3．角的度量与表示通过实际操作，体会角在实际生活中的应用，培养学生的抽象思维.（建模思想）4．角的比较在解决问题的过程中体验（类比、联想等思维方法）.5．平行这课时是通过两直线的位置关系来研究问题，变换了问题研究的角度，教学中应提供大量的现实生活情境让学生在素材中归纳出“平行线段”、“平行线”的定义，并通过大量的操作活动让学生经历平行线的性质探索，发展学生的几何直觉和合情推理能力，初步体会研究数学问题的方法. （几何变换法）6.垂直通过丰富的画、折等操作活动探究并归纳垂直的性质.用类比“平行”的研究方法来研究垂直的表示和性质归纳，初步感受有条理的说明问题；强化表达能力和用数学交流的能力.（分类思想方法）7．有趣的七巧板通过七巧板的制作、拼摆等活动，丰富学生对平行、垂直及角等有关内容的认识，积累数学活动的经验。

构造法在初中数学解题中的应用所谓构造法就是根据题设条件或结论所具有的特征和性质，构造满足条件或结论的数学对象，并借助该对象来解决数学问题的思想方法。

构造法是一种富有创造性的数学思想方法。

运用构造法解决问题，关键在于构造什么和怎么构造。

充分地挖掘题设与结论的内在联系，把问题与某个熟知的概念、公式、定理、图形联系起来，进行构造，往往能促使问题转化，使问题中原来蕴涵不清的关系和性质清晰地展现出来，从而恰当地构造数学模型，进而谋求解决题目的途径。

下面介绍几种数学中的构造法：一、构造方程构造方程是初中数学的基本方法之一。

在解题过程中要善于观察、善于发现、认真分析，根据问题的结构特征、及其问题中的数量关系，挖掘潜在已知和未知之间的因素，从而构造出方程，使问题解答巧妙、简洁、合理。

1、某些题目根据条件、仔细观察其特点，构造一个"一元一次方程" 求解，从而获得问题解决。

例1：如果关于x的方程ax+b=2（2x+7）+1有无数多个解，那么a、b的值分别是多少？解：原方程整理得（a-4）x=15-b∵此方程有无数多解，∴a-4=0且15-b=0分别解得a=4，b=152、有些问题，直接求解比较困难，但如果根据问题的特征，通过转化，构造"一元二次方程"，再用根与系数的关系求解，使问题得到解决。

此方法简明、功能独特，应用比较广泛，特别在数学竞赛中的应用。

3、有时可根据题目的条件和结论的特征，构造出方程组，从而可找到解题途径。

例3：已知3，5，2x，3y的平均数是4。

20，18，5x，-6y的平均数是1。

求的值。

分析：这道题考查了平均数概念，根据题目的特征构造二元一次方程组，从而解出x、y的值，再求出的值。

二、构造几何图形1、对于条件和结论之间联系较隐蔽问题，要善于发掘题设条件中的几何意义，可以通过构造适当的图形把其两者联系起来，从而构造出几何图形，把代数问题转化为几何问题来解决．增强问题的直观性，使问题的解答事半功倍。

构造法在高中数学解题中的应用方法
构造法是一种常用的解题方法，特别适用于高中数学解题。

它通过巧妙地构造某种条件来解决问题，促使问题更加清晰明了，简化复杂的计算和推理过程，提高问题的解决效率。

构造法有以下几种常见的应用方法：
1.构造等式法：通过构造等式或方程来解决问题。

在解决一次方程问题时，可以通过构造等式建立各个未知数之间的关系，从而求得解。

在解决多项式问题时，可以通过构造等式来简化计算过程，找到问题的解。

2.构造图形法：通过构造几何图形来解决问题。

在解决几何问题时，可以通过构造一些辅助线、平行线、垂直线等来简化问题，将复杂的几何问题转化为简单的几何问题。

在解决三角函数问题时，可以通过构造三角形来简化计算，找出问题的解。

5.构造推理法：通过构造推理过程来解决问题。

在解决证明问题时，可以通过构造合适的逻辑推理和论证过程来推导出结论，从而解决问题。

在解决数学推理问题时，可以通过构造直接证明、间接证明等来推导出结论。

通过构造法，在解决高中数学问题时可以提高问题解决的效率，加深对数学知识的理解和掌握。

通过构造过程，可以培养学生的思维能力、观察力和创造力，提高学生的解决问题的能力和创新意识。

构造法是一种非常有用的解题方法，在高中数学学习中应予以充分应用。

构造法在数学解题中的应用陕西省丹风中学曹飞摘要：构造和创新是数学教育一直培养的综合目标，也是遨游数学知识海洋的最高境界之一，构造法解题既具有一定的独立性，又具有一定的灵活性和综合性.因而在数学教育中，构造法是数学解题中一种十分重要和基本的方法，有着广泛的用途和生命力.根据问题所给的条件不同或者结论不同，可构造与之相应的合适函数、图形、向量、例子、复数、数列等，使原问题得到解决，本文主要探究了这六种类型的具体构造，并从多个角度举例说明应用构造法解题的基本构思途径，最后总结出构造法解题过程的大致模式.关键词：构造；构造法；创造性的思想；构造法解题；应用一代数学宗师乔治波利亚（George 说Polya1887.12.3——1985.9.7）：，而这一重要的思维活动就是我们“构造一个辅助问题是一项重要的思维活动”通常所说的构造法，那么何为构造法？所谓构造法就是运用数学的基本思想，经过认真的观察和分析，深入的思考，把所要解决的问题转化为一个等价的问题，把原问题化归为一个已知解决的问题，去考虑一个可能相关的问题，或者去先解决一个更特殊更一般的问题，最终使数学问题得到解决的方法. 根据马克思主义哲学原理知，任何事物都有其本质的一面.而构造法的本质就是——依据某些数学问题的条件或结论所具有的典型特征，用已知条件中的元素为“元件”，用已知数学关系为“支架”，在思维过程中构造出一系列相关的数学对象、一系列新的数学形式；或利用问题的特殊性，为待解决问题构造一个合理的数学框架，从而使数学问题成功解决. 在数学解题中，恰当地、合理地运用构造法，不仅能够收到简洁明快、出奇制胜的效果，同时还有利于培养我们的抽象思维能力和发散思维能力，因而这种数学解题方法具有独特的数学价值和解题意义：构造法体现了化归的思想.在构造法运用过程中，常常把一个个零散的知识点（构造元素）由表及里，由浅入深地集中和联系，通过恰当的方法加以处理化归为已有的认识，从而形成了一种构造法解题的手段. 构造法体现了创造性的思想.乔治波利亚作为一名教育家，他的教育思想的宗旨是“教会年轻人去思考”，培养学生的“独立性、能动性和创新精神”，而构造法恰恰就是一种创造性的解题方法.所以在数学发展的过程中，构造法一直伴随着这门基础学科. 构造法体现了数学美的思想.数学家庞加莱等曾说：数学的优美感，不过就是问题的解答适合我们心灵需要而产生的一种满足.而我们每一次成功运用构造法解题，在精美数学问题的伴随下，都在寻求优美的解题思路，运用完美的数学形式，绘制精美的数学王国. 除此之外，构造法在数学解题中的应用还渗透着猜想、发现、归纳、数形结合等数学思想.因此，掌握和运用构造法解决问题，对我们学好数学，提高解决问题能力是十分必要和有益的. 用构造法解题的巧妙之处在于不是直接去解决所给的原问题，而是构造一个与原问题有关的辅助新问题，这里引出的新问题并非为了它本身，而是希望通过它的解决来帮助解决原问题.如果构造的新问题比原问题更简单、更直观，那么这种思考问题的方法就会成功.一、构造函数在解决某些数学问题时，构造一个适当的函数，把问题转化为研究这个辅助函数性质的思想叫做构造函数思想.函数是数学知识的一个中心和基础，方程可以看作是函数值为零的情况，不等式可以看作是两个函数之间的不等关系，函数图象可以作为研究函数性质的工具，进而解决一类有关问题. 构造函数法是运用函数概念和性质构造辅助函数解题，构造函数的前提是熟悉函数的概念，牢固掌握各类初等函数的性质.构造函数的过程就是要求我们敏锐地观察、正确的判断、合理的选择恰当的函数，并且准确地运用函数性质.有些数学问题只要将其中某些变化的量建立起联系、构造出函数，在利用函数性质就能解决问题.有些问题实质上与函数的某些性质有关，可以归结为研究相关的函数，便可通过构造函数来解决.1.1 构造一次函数对于某些数学问题，观察其题设和结论，特别是含有关于一次未知数的式子，不妨采用构造一次函数的方法去尝试解决. 例1．设0 lt x lt 1 ，0 lt y lt 1 0 lt z lt 1 ，求证：x1 y y 1 z z 1 x lt 1. 分析：可构造一次函数试解本题. 证明：构造一次函数f x x1 y y 1 z z 1 x 整理，得： f x 1 y z x y z yz 0 lt x lt 1 ∵0 lt x lt 1 ，0 lt y lt 1 0 lt z lt 1 ∴1 lt 1 y z lt 1 . 1 当0 lt 1 y z lt 1 时 f x 在01 上是增函数，于是f x lt f 1 yz lt 1 1 2当1 lt 1 y z lt 0 时 f x 在 1 0 上是减函数，于是f x lt f 0 y z yz 1 1 y 1 z lt 1 3当1 y z 时，即y z 时 f x y z yz 1 yz lt 1 . 0 1综上所知，所证不等式成立. 小结: 1为了利用所构造的一次函数的单调性，将1 lt 1 y z lt 1 分成“ 0 lt 1 y z lt 1 1 lt 1 y z lt 0 1 y z ”三种情况进行了讨论，使问题得0以解决. 2解决本题有两个关键的地方，其一是将证式构造成一次函数，其二是对一次项系数进行逻辑划分. 3本题也可以构造关于y 或z 的一次函数，这就需要真正理解函数的实质含义. 1.2 构造二次函数一元二次方程根的判别式原本是用来讨论一元二次方程的实根情况，然而它的作用远不止此.在有些证明中，将题目或结论适当变形，再依据变形后的式子构造二次函数来解决问题. 例2.设a1 a2 a3 an 都是正整数证明对任意的自然数n 下面不等式成立a1 a2 an 2 ≤ na12 a2 2 an 2 . 分析：可用构造二次函数试解本题. 证明:因为下面对任意的x ∈R n ∈N 都成立：a12 a2 2 an 2 x 2 2a1 a2 an x n ≥ 0 . 即a1 x 1 2 a2 x 1 2 an x 1 2 ≥ 0 .构造二次函数 f x a12 a2 2 an 2 x 2 2a1 a2 an x n 其中ai ≥ 0i12 n .由于 f x ≥ 0故其判别式4a1 a2 an 2 4a12 a2 2 an 2 n ≤ 0 由此，得：a1 a2 an 2 ≤ na12 a2 2an 2 . 1.3 构造高次函数对于构造高次函数，它的构造常常与根的存在性定理、极限思想等联系起来. n 1 例 3 证明代数方程a0 a1 x a2 x 2 a2 n 1 x 2 0 a2 n 1 ≠ 0 n 3 4 至少有一个实根. 分析:只要证明高次函数 f xa0 a1 x a2 x 2 a2 n 1 x 2 n 1 至少有一个零点即可.因为当x 充分大时，函数 f x 的符号取决于a2 n1 x 2 n1 ，由此易知，x → ∞ 当时的函数值与x → - ∞ 时的函数值是异号的，根据根的存在性定理即可得证. 证明:不妨设a2 n 1 gt 0 构造函数f x a0 a1 x a2 x 2 a2 n 1 x 2 n 1 ，则lim f x ∞ ，lim f x ∞ ，x →∞ x →∞故存在x1 gt 0 x2 lt 0 使得 f x1 gt 0 f x2 lt 0 .因为 f x 在x2 x1 上连续，故由根的存在性定理知，存在x0 ∈x2 x1 ，使得 f x00 ，即代数方程a0 a1 x a2 x 2 a2 n 1 x 2 n 1 a2 n1 ≠ 0，n 3，4，）至少有一0（个实根. 1.4 构造三角函数对于在题设和结论中如果涉及三角形的边、角及其边角关系时，可通过构造三角函数，利用三角函数特有的性质和概念解决问题. 例4 在锐角三角形中，求证: sin A sin B sin C gt cos A cos B cos C . 分析及解: 考虑到 A 、B 、C 均为锐角故可构造三角函数：xf sin x0 lt x lt 90 其中x1 A 90 B 90 C 均为定义域中的值. x2 x3∵ A B C ∴A 90 B 90 C . 180∵x1 x2 x3 均为正值，∴A gt 90 B .而在0 90 ，f x sin x 为增函数所以有sin A gt sin90 B B . cos同理可得: sin B gt cos C ，sin C gt cos A ，三个不等式同侧相加有sin A sin B sin C gt cos A cos B cos C . 1.5 构造其它函数观察问题的条件特征，联想有关函数方面的数学知识来构造函数是最奏效的构造方法.除了构造以上四类函数外，还可以构造其他函数，如指数函数或各类初等函数的复合等等. 例 5.已知: a gt b gt 0 求证: a a bb gt a bb a . a 证明:∵ a gt b gt 0 ，∴gt1 a b gt 0 . b x a构造函数 f x x ∈R 则根据指数函数的性质，得 b a b a a a bbf a b gt 1 即gt 1 .整理，得: gt 1 b abb a所以有a a bb gt a bb a .二、构造图形图形是数学关系的一种反映，在几何方面，题设给出的条件大多图形一般，解证有一定的困难，如果我们根据题设巧妙地构造出特殊的规则图形，利用所构造图形的性质解题，可以把观察、分析、联想、推理于一体，开拓解题思路. 构造图形是用来解决问题的一个重要方面，对于本身不具备图形的一些数学问题，由于它的条件中数量关系有明显的几何意义或以某种方式可以将问题转化为几何图形，借助于对几何图形性质的研究，从而获得解决，它的实质就是将“数转化为形”，借助图形来实现解题的目标. 2.1 构造三角形构造三角形是构造图形及其构造思想的一个重要应用，构造三角形就是要充分利用三角形中的边角关系，特别是构造那些特殊的三角形（如直角三角形、等腰三角形、等边三角形），更有利于解决问题. 例 6.已知如图所示，在ABC 中，∠B 2∠C ，AD ⊥BC 于 D ，求证: BD AB . CD 分析:此题在构造三角形的过程中，有A两种方法.其一就“补”，延长CB 到 E ，使DE CD ，连接AE ，构造出等腰三角 E B D F C ∠形ACE ，则∠E C .而∠ABC 2∠C ∠E ∠BAE ，∠E则有∠BAE ，即AB EB ，所以得到BD AB BD EB DE CD ；其二就是“截”，在DC 上截取DF DB ，连接AF ，则△ ABF 为等腰三角形，只要证明AF FC 即可，而这是很容易做到的.（证明略）对于某些代数问题，特别是题设中涉及到三角形的某些理论知识时（如勾股定理、正弦定理、余弦定理），经过观察和分析，也可以通过构造三角形来解决问题. 例7.证明: m 2 n 2 2mn n 2 gt mm gt n gt 0分析及证明：由于条件m gt n gt 0 及m 2 n 2 的形C 式很容易启发并构造一个a 2 b2 直角n m2 -n ABC ，使AB m ，BC n ，∠C ，90 A B m显然AC m 2 n 2 ，∴m 2 n 2 n gt m .又∵m gt n gt 0 ，∴mn gt n 2 则2mn gt 2n 2 .∴2mn n 2 gt n 2 即有2mn n 2 gt n .故有m 2 n 2 2mn n 2 gt mm gt n gt 0 . 2.2 构造四边形对于一些代数问题，特别是直接解决较为棘手甚至无从下手的代数问题，如果其形式可以转化为图形或者可以借助构造四边形等图形来解决，便可以寻找到新的解题途径，以形助数，充分利用图象的形象直观可以使我们更快地进入问题情景. 例8.已知正数a 、b 、c 、a1 、b1 、c1 ，满足条件 a a1 b b1 c c1 k ，求证: ab1 bc1 ca1 lt k 2 . 分析：此题通过构造性思维发现可以把ab1 、bc1 、ca1 均看成三个矩形的面积. k 2 可以看成边长为k 的正方形的面积，从中可以构造出前面的三个矩形.证明：构造一个特殊的四边形——边长为k 的正方形ABCD ，且令DF a ，DC1 AH b1 ，AC1 BH b ，BE c1 ， c ，CECF a1 ，并作出相应的矩形S1 、S 2 、S3 ，由于S ABCD gt S1 S 2 S3 ，故有k 2 gt ab1 bc1 ca1 . 构造图形可以增强解题的直观性，有助于问题的解决.几何中的添加辅助线、图形的补割、变换等都是构造图形的实例.在构造四边形上，当然也不例外. ∠例9.如图所示，在四边形ABCD 中，∠A ，∠B D ，BC 2 ，60 90CD 3 .求AB 的长. A F 解:过 D 作DE ⊥BC 交BC 的延长线于E ，过 A 作AF ⊥ED 交ED 的延长线于F ，构造出一个特殊的四边形——矩形ABEF .根据已知条件 D B C E ∠ADF 60 ，∠DAF 30 ，在直角三角形易知∠BCD ∠DCE ∠CDE 120 ，3 7 7DCE 中，CD 3 ，可得CE 1.5 ，DE 3 ，BE AF ，得到DF 3， 2 2 6 8 从而得到AB EF 3.3 2.3 构造其它图形除了构造三角形和四边形，还可以构造其他图形进行解决数学问题，如可以构造单位圆来研究极限等问题. sin x 例10.证明: lim 1. x →0 x B 证明:构造图形（如图所示）——单位圆，当 D π0lt xlt 时，显然可得: △ OAD 的面积lt 扇形OAD 2的面积lt △ OAB 的面积，所以有O C A1 1 1 sin x lt x lt tan x ，即有：sin x lt x lt tan x ，此式2 2 2 x tan x sin x同除以sin x ，则有1 lt lt 或cos x lt lt 1 . 由于偶函数的性质，上式sin x sin x x π sin x对lt x lt 0 也成立.由lim cos x 1 及函数收敛性定理可得lim 1. 2 x →0 x →0 x三、构造向量由于向量具有代数和几何的双重性质，所以有时构造向量能够实现代数问题和几何问题的互化，这使得构造向量法在数学解题中也有广泛的应用.向量数量积公式m n m n cos θ （θ 为m 与n 的夹角）蕴涵着重要的不等关系：2 2 2m n ≤ m n （当且仅当m 与n 共线时取等号）；以及等式关系：m m m .可利用它们来解决一类数学问题，如求值计算、不等式的证明、等式证明等，可根据题设中的条件和结论，独辟蹊径，将其化为向量形式，利用上述关系式可辟免复杂的凑配变形技巧，使解题的过程和方式变得简洁明了，问题最终得已解决. 3.1 求值计算例11.已知a 、b 、c gt 0 ab 2 a 2 b 2 c 2 bc ca 的最大值. 6 求解:构造两个向量m a b c ，n b c a ，由于m n ≤ m n cos θ ≤ m n （θ 为向量m 与n 的夹角），故可得: a b ca ≤ a 2 b 2 c 2 b 2 c 2 a 2 a 2 b 2 c 2 6 ，当且仅当m 与n同向时，a b c ，ab 2 ，即而故当且仅当 a b c 2 时取等号，所以bc ca的最大值为 4. 3.2 不等式证明把一些貌似不等式证明的问题构造为向量的问题来解决，这对某些问题，特别是对一些复杂的不等式证明问题特别有效. 3 例12.已知≤ x ≤ 5 ，证明不等式2 x 1 2 x 3 15 3 x lt 2 19 . 2 证明:设y 2 x 1 2 x 3 1 x 1 x 1 1 x 1 1 2 x 3 1 1 x ，53 53则可以构造向量m 1111 与n x 1 x 1 2 x 3 15 3 x ，于是有y mn ≤ m n 4 x 14 ≤ 2 19 . 3当≤ x ≤ 5 时，2 x 4 lt 2 19 ，故y lt 2 19 . 2 当x 5 时，2 x 4 9 ，但由于x 1 2 2x 3 15 3 x 无解，故m n lt m n ，即y lt 2 19 .因此原不等式成立，即有：2 x 1 2 x 3 15 3 x lt 2 19 .3.3 等式证明例13.已知a 、b ∈R ，且a 1 b 2 b 1 a 2 1 ，求证: a 2 b 2 1. 证明:构造向量m a 1 a 2 ，n 1 b 2 b ，则m n 1 ，且m n a 1 b 2 b 1 a 2 1 ，得m n m n ，故可知m 与n 同向且m n ，从而有 a 1 b 2 ，所以 a 2 b 2 1.四、构造例子“简洁是智慧的灵魂，冗长是肤浅的藻饰”. 解题最好单刀莎士比亚说的好：直入，直接解剖问题的核心. 而利用构造例子做题，往往可以“一招破敌”，主要表现在做选择题和判断题的应用上，有时候分析某些复杂的问题也是十分需要的. 4.1 构造特例构造符合题设中的特殊常数，巧用条件或结论的特殊常数解题，不但应用广泛，而且也是一条解题原则.运用.。

构造法在高中数学解题中的应用方法1. 引言1.1 介绍构造法在高中数学解题中的重要性构造法在高中数学解题中扮演着重要的角色，它是一种重要的解题方法，可以帮助学生更好地理解和解决数学问题。

构造法在高中数学学习中扮演着至关重要的角色，不仅仅是因为它可以帮助学生更好地理解和应用数学知识，更重要的是，构造法可以培养学生的逻辑思维能力和创造性思维能力。

通过构造法解题，学生需要分析问题的特点，寻找问题的根本规律，然后根据规律进行构造推导，最终达到解题的目的。

构造法的应用不仅可以让学生更好地理解和应用数学知识，还可以培养他们的逻辑思维能力和创造性思维能力，提高他们的问题解决能力和创新能力。

构造法在高中数学解题中具有重要的应用价值，对学生的数学学习和发展起着积极的促进作用。

2. 正文2.1 什么是构造法构造法是一种数学解题方法，通常用于解决几何、代数和概率等问题。

它是一种通过构造特定形状或对象来达到解题目的目的的方法。

在解决问题时，我们可以通过构造法来建立一定的几何图形或特定的代数表达式，从而找到问题的解决方案。

构造法的核心思想是通过构造特定的结构或对象，来揭示问题的本质并找到解决问题的方法。

构造法有许多种形式，比如利用平移、旋转、反射等方法来构造几何图形，利用等式变形、代数式构造等方法来解决代数问题，利用概率模型来构造概率问题的解决方法等。

构造法在数学解题中起着至关重要的作用，它能够帮助我们更好地理解问题的本质并找到解决问题的方法。

通过构造法，我们能够更加灵活地思考和处理各种数学问题，提高解题的效率和准确性。

在高中数学学习中，掌握构造法的方法和技巧对于提高数学解题能力至关重要。

2.2 构造法的基本原理构造法的基本原理是一种通过建立特定结构或模型来解决数学问题的方法。

在数学解题中，构造法通常涉及到创建或构建一些可以帮助我们理解和解决问题的图形、符号、方程式或其他形式的模型。

1. 确定问题：首先需要确切地理解题目要求和问题类型，确定需要解决的具体问题。

构造法在高中数学解题中的运用措施探讨张殷兵(上海市晋元高级中学㊀２００３３３)摘㊀要:在整个高中数学教学过程中ꎬ学生至少有一半的时间在解题ꎬ而所谓解题过程ꎬ其实就是将未知转化为已知的过程ꎬ而这个转化过程也就是解题过程ꎬ转化能力也成为了学生数学解题能力的体现之一.在高中数学解题过程中有很多种解题方法ꎬ构造法是最常用的方法之一ꎬ也是一种化繁为简㊁化难为易的有效解题方法ꎬ对提高学生数学学习兴趣和解题积极性有着巨大作用ꎬ本文就构造法在高中数学解题中的运用措施展开相关研究和探讨.关键词:构造法ꎻ高中ꎻ数学解题ꎻ运用措施ꎻ探讨中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２１)０９－００３１－０２收稿日期:２０２０－１２－２５作者简介:张殷兵(１９６８.１２－)ꎬ男ꎬ江苏省启东人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀数学是一门抽象性较强的课程ꎬ相较于初中数学ꎬ高中数学知识的难度比较大ꎬ尤其是在做习题的时候很多学生往往都摸不着头脑ꎬ从而出现了无从下笔的情况ꎬ甚至有的学生都不知道用哪种方法来解题ꎬ随着时间的推移ꎬ学生的积极性和自信心会被逐渐打击ꎬ学习兴趣也会慢慢降低ꎬ直到对数学失去学习兴趣ꎬ如果这时再开始进行解题教学为时晚矣ꎬ因此ꎬ高中数学教师需要从高一开始传授学生不同的解题方法ꎬ促进学生解题思路的形成.㊀㊀一㊁构造法的概念和运用现状构造法的形成之日便是数学的诞生之日ꎬ也就是说有数学就有构造法ꎬ构造法是一种非常实用的解题方法ꎬ本质上是指学生构造一个与题干中已知的条件或者是隐藏条件㊁待求证条件有关系的数学模型ꎬ并利用这一模型的性质特点求出题干中的未知.从狭义上来说构造法是一种解题方法ꎬ从广义上来说则是一种数学构造思想.在构造法实际应用中ꎬ学生首先需要了解构造法的形成和概念ꎬ而数学本就是一门抽象的逻辑性学科ꎬ如何让学生听懂成为了高中数学教师需要解决的问题.因此ꎬ教师需要用通俗易懂的语言为学生讲述ꎬ在引导学生通过自己的理解进行构造法解题ꎬ在实践中了解和体会ꎬ从而真正掌握构造法.调查发现ꎬ现阶段很多高中生虽然已经对构造法产生了一定认知ꎬ但是却不懂如何入手ꎬ不知道什么题型用构造法ꎬ也不知道构造法的运用意义.针对这种情况ꎬ教师在日常教学中不仅要为学生讲解构造法ꎬ还应该普及其他解题方法ꎬ并让学生了解每一种方法的优缺点以及特点ꎬ随着时间的积累学生在看到题干时便会很快知道用哪种解题方法ꎬ同时也知道构造法在哪种题目中使用.除此之外ꎬ教师还需要重视学生联想能力的培养ꎬ这样一来学生在看到某一题目时ꎬ可以快速捕捉题干信息ꎬ与所学的知识建立有效联系ꎬ比如解题思路相似?题目已知条件相似?题目未知条件相似?教师通过引导学生联想ꎬ可以帮助学生将所学的知识和解题思想进行归纳ꎬ从而形成适合自己的数学解题模型ꎬ最终实现解题的目的.㊀㊀二㊁在高中数学解题中运用构造法的作用１.有利于提高学生解题能力构造法既然是数学解题方法ꎬ那么对于学生来说掌握了构造法自然可以提高解题能力ꎬ尤其是在高中数学中学生要面对复杂的三角函数㊁指数函数㊁对数函数等各种数学难题ꎬ如何在短时间内获取解题思路成为了解题的关键ꎬ而构造法可以帮助学生将未知变为已知ꎬ将题干中隐藏的条件变成可视ꎬ这样一来可以大大激发学生的解题积极性ꎬ甚至可以消除学生对数学的畏难情绪.其实很多高中生的理论知识并不差ꎬ只是数学思想和解题思维比较薄弱ꎬ这就需要教师在夯实基础的前提下ꎬ锻炼学生的解题能力和解题思路ꎬ加大训练维度ꎬ由此来促进学生对解题方法的熟练.２.有利于培养学生思维能力数学是一门对学生思维能力要求比较高的课程ꎬ在语文学习中学生只需要会基本的听说读写就可以具备良好语文素质ꎬ但是在数学学习过程中ꎬ学生需要的不仅仅是口和手ꎬ更需要思维意识.学生通过学习构造法ꎬ可以形成良好的构造性思维ꎬ并在类比㊁归纳㊁转化等数学思想影响下实现数学模型的建立ꎬ这样一来学生的解题能１３Copyright©博看网 . All Rights Reserved.力㊁创新能力㊁构造能力㊁思维能力都会得到大大提升ꎬ同时还可以促进学生数学思维和数学思想的有效统一.３.有利于培养学生联想能力在高中数学解题中运用构造法的前提是学生具备联想能力ꎬ通过联想才能实现未知和已知的构造转化ꎬ而通过构造法解题也可以强化学生的联想能力.因此ꎬ在高中数学解题过程中ꎬ教师需要注重学生联想能力的培养ꎬ首先可以从题目中隐含条件入手ꎬ其次从题目类型联想ꎬ然后通过联想构造对已有的解题思路和方案进行验证ꎬ与此同时教师还需要培养学生的创新能力ꎬ联想能力的提升离不开创新能力.４.有利于学生促进知识转化高中数学知识点繁多ꎬ很多学生在学习时往往都是将每个知识点进行分割学习ꎬ却不知很多知识点的内在勾结关系ꎬ这样也会导致学生对数学学习完整性缺失.而构造法的运用ꎬ可以帮助学生实现相关知识点之间的有效转化ꎬ在解题过程中ꎬ学生可以用构造法解决几何问题㊁代数问题㊁函数问题ꎬ这些都可以促进学生对数学知识的转化.㊀㊀三㊁构造法在高中数学解题中的运用措施１.培养学生构造理念构造法的运用是为了完成解题目标ꎬ而解题又是令很多学生头痛的问题ꎬ那么在此背景下ꎬ教师可以利用学生迫切解题的情绪引入构造法ꎬ这可以加深学生对构造法概念的理解ꎬ从而逐步形成构造理念.例如在解决难题时ꎬ教师可以通过构造法化繁为简ꎬ使学生有一种 原来如此简单 的意识.这时教师需要鼓励学生在解题时大胆联想ꎬ打破常规将题目简单化.而构造理念不是短时间内可以形成的ꎬ需要教师在日常教学中不断渗透ꎬ并讲出构造法的优点ꎬ让学生在解题过程中灵活运用.尤其是对于一些学习能力差的学生来说ꎬ构造法可以帮助他们巩固基础ꎬ深入了解不同知识点的含义和相互关系.因此ꎬ高中数学教师在构造法教学中要运用层次化教学模式ꎬ尊重学生个体化差异ꎬ帮助学生突破解题瓶颈ꎬ提高数学解题能力ꎬ为今后的数学学习打下扎实基础.２.结合多种解题方法构造法只是众多数学解题方法之一ꎬ也是最有效的解题方法ꎬ但是这并不意味着它适合每一道题ꎬ其实在数学解题过程中学生需要不断结合多种方法才能实现解题最大效率.例如在解决函数问题时ꎬ很多时候都要用到函数极值思想ꎬ这时候便不需要再运用构造法ꎬ再比如解决方程题目可以运用两边平方法直接解决ꎬ掌握构造法的目的是培养学生的联想能力㊁思维能力㊁解题能力ꎬ而解题能力的培养方法还有很多.所以教师在实际操作中ꎬ需要帮助学生掌握多种解题方法ꎬ这样才能让学生真正了解构造法的优势ꎬ同时在解决问题过程中可以运用多元化解题思路快速解决问题ꎬ而不是一味的套用构造法.只有这样才能提高学生的思维能力ꎬ从而有效促进数学学习能力的提升.例如:试证:对任何ａ>０ꎬｂ>０ꎬｃ>０ꎬ都有ａ２－ａｂ＋ｂ２＋ｂ２－ｂｃ＋ｃ２ȡａ２－ａｃ＋ｃ２ꎬ当且仅当１ａ＝１ｂ＝１ｃ时等号成立.在学生没有学习构造法的时候ꎬ解决这道题时一般用三角知识解答ꎬ然后直接将两边平方ꎬ虽然可以解出答案ꎬ但是整个过程比较复杂ꎬ而且也不容易说明.相反如果运用余弦定理知识构造三角形ꎬ构造三个三角形分别是әＡＢＤ㊁әＣＢＤ㊁әＡＣＤꎬ然后再用余弦定理求出ＡＤ㊁ＤＣ㊁ＡＣꎬ而根据图形知道ＡＤ＋ＤＣ>ＡＣꎬ这样就可以很快证明题目.这样一来学生通过对比分析法㊁综合法㊁构造法便会知道构造法的便捷性.３.积极培养多向思维在传统数学教学中学生往往是运用固定式思维来解决问题ꎬ导致学生的数学解题能力虽然强ꎬ但是学生思维能力和实践能力却比较差ꎬ在运用构造法时往往都差强人意.因此ꎬ高中数学教师在教学活动中应该注重学生多向思维的培养ꎬ这样学生在解题过程中就不会局限一隅ꎬ而是会充分利用构造法利用已知求出未知.与此同时ꎬ教师还需要培养学生的转化思维ꎬ在数学学习逆过程中运用数形结合的思想快速找到构造法入手点ꎬ从而依此探索出题干中隐藏的关联知识点.例如在解决三角函数问题时ꎬ可以运用函数图像结合题干解决问题ꎬ这便是数形结合思想在构造法中的运用.由此可见构造法对思维能力要求比较高ꎬ所以教师不论是在课堂教学还是习题练习中都应该重视学生多向思维和转化思维的培养ꎬ只有这样才能保证构造法的有效运用.综上所述ꎬ在高中数学学习过程中学生的课业比较繁重ꎬ为了迎接高考要面对数不尽的题海ꎬ在这个过程中学生很容易失去坚持毅力ꎬ而构造法的运用可以帮助学生重塑数学学习自信心ꎬ也培养了学生的数学思维㊁数学思想㊁联想能力㊁创新能力㊁解题能力ꎬ同时也为学生今后的高阶数学学习打下了坚实基础.㊀㊀参考文献:[１]马新涛. 构造法 运用在高中数学解题中的具体策略[Ｊ].考试周刊ꎬ２０１８(８３):８０.[２]韓丹娜.构造法在高中数学解题中的运用措施探讨[Ｊ].基础教育论坛ꎬ２０１８(１３):６０－６１.[３]张晓鸥.论高中数学解题中运用构造法的措施[Ｊ].考试周刊ꎬ２０１８(２７):９３.[责任编辑:李㊀璟] ２３Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

构造法在高中数学解题中的运用分析摘要：构造法是指在数学解题过程中，按照题目已经给出的条件，通过一定的构造方法得出题目的结论的数学模式。

在高中数学教学中应用构造法进行数学例题的讲解，能够为学生提供快速解题的方法。

利用逆向思维的构造法解决高中数学中的难题，能够充分的提高学生的解题速度和正确率。

本文主要从利用构造法解题的三种途径入手，通过分析例题的解题步骤，讲解具体构造法在其中发挥的重要作用。

关键词：构造法；高中；数学；解题高中数学这门学科要求学生必须能够形成自己的数理思维能力。

为了适应高中数学题目的复杂性和抽象性，教师应当在解题教学中合理引入构造法。

在遇到比较复杂难解的数学试题时，高中生可以利用题目已知的条件，由结论逆推出未知的部分条件，解决题目条件不足的问题，这种逆向推导思维就是构造法。

高中解题过程利用构造法有多种形式，可以构造方程、函数、数列等等形式来解决疑难复杂的数学问题。

利用构造法解题能够简化学生的解题过程，提高高中的解题效率和正确率。

一、利用构造法构造方程解题对于一些比较复杂的高中数学问题的解题过程，常用的构造法解题形式就是构造方程法，通过分析题目中已知的变量条件，构建出一元二次或者二元二次方程，通过方程的跟与题干中系数之间的关系来解决数学题目。

高中数学老师需要重点对构造方程法向学生进行讲解，包括构造方程法使用时的注意事项，题干中出现什么条件时可以使用构造方程法？如何根据题干中出现的部分已知条件构造方程等等，通过合适的例题进行构造方程法使用全过程的演示，保证整个解题的步骤，保证每一个学生都能听懂，并学会熟练的使用构造方程法解决数学难题。

同时，高中数学老师也可以引导学生自行在题目中已有的条件上，选择合适的等量方程，简化数学题目，将已知条件和结论更直观的联系起来，进而快速而正确的解决遇到的数学难题。

例题1:已知x、y分别为实数，且满足如下关系式，(x-1)3+2022(x-1)=-1同时满足(y-1)3+2022(y-1)=1，要求求出x+y=？首先分析这道题目，大部分高中生看到题目的第一部反映就是先求出x的值，然后再求出y的值，最后两者想加，得出题目中要求的答案。