山西省三区八所重点中学2016-2017学年高三(上)第一次适应性数学试卷(实验班)(解析版)

2024届山西省高考三模数学试题姓名_____________准考证号_____________秘密å启用前试题类型:A注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm 的黑色笔迹签字笔写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ，B 均为集合U 的子集，则()UA B ⋂ð表示的区域为（）A.①B.②C.③D.④【答案】A 【解析】【分析】根据韦恩图及补集、交集的定义判断即可.【详解】由韦恩图可知U A ð包含区域①④，所以()U A B ⋂ð表示的区域为①.故选：A2.向量,a b在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则a b ⋅=（）A.-7B.-1C.1D.7【答案】C 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，写出两向量的坐标，求出数量积.【详解】如图，建立平面直角坐标系，则()()()()1,2,4,31,13,2a b =-=-=，则()()1,23,2341a b ⋅=-⋅=-+=.故选：C 3.抛物线214y x =的焦点坐标为（）A.()1,0B.()0,1 C.1,016⎛⎫⎪⎝⎭D.10,16⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】将抛物线方程化为标准方程，再求焦点坐标即可.【详解】由214y x =可得24x y =，其焦点坐标为()0,1，故选：B4.设函数22()log ||f x x x -=-，则不等式(2)(22)f x f x -≥+的解集为（）A.[4,0]-B.[4,0)-C.[4,1)(1,0]--⋃- D.[4,1)(1,0)--⋃-【答案】C 【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.【详解】函数22()log ||f x x x -=-的定义域为{}|0x x ≠，且()()()2222log ||log ||f x x x x x f x -------===，所以22()log ||f x x x -=-为偶函数，当0x >时()22log f x x x -=-，因为2log y x =与2y x -=-在()0,∞+上单调递增，所以()22log f x x x -=-在()0,∞+上单调递增，则()f x 在(),0∞-上单调递减，不等式(2)(22)f x f x -≥+，即()()222f x f x -≥+，等价于22220220x x x x ⎧-≥+⎪-≠⎨⎪+≠⎩，解得41x -≤<-或10-<≤x ，所以不等式的解集为[4,1)(1,0]--⋃-.故选：C 5.若()36sin 236αβα=-=，且π3π,π,π,42αβ⎡⎤⎡⎤∈∈⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦，则()cos αβ+=（）A.6+B.6C.63D.6【答案】D 【解析】【分析】根据3sin 23α=结合α的范围分析可得ππ,42α⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，6cos 23α=-，再根据()6sin 6βα-=结合β的范围分析可得()30cos 6βα-=-，由()2αβαβα+=+-结合两角和差公式分析求解.【详解】因为π,π4α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则π2,2π2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且3sin 203α=>，则π2,π2α⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，可得ππ,42α⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，6cos 23α=-，又因为3ππ,2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则π5π,24βα⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦，且()sin 06βα-=>，可得π,π2βα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，()30cos 6βα-==-，所以()()cos cos 2αβαβα⎡⎤+=+-⎣⎦()()cos 2cos sin 2sin αβααβα=---36366⎛⎫⎛⎫=-⨯--⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.6.某次趣味运动会，设置了教师足球射门比赛:教师射门，学生守门.已知参与射门比赛的教师有60名，进球数的平均值和方差分别是3和13，其中男教师进球数的平均值和方差分别是4和8，女教师进球数的平均值为2，则女教师进球数的方差为（）A.15B.16C.17D.18【答案】B 【解析】【分析】设参加射门比赛的男教师人数为k ，根据总体的平均数求出k ，设女教师进球数的方差为2s ，根据方差公式计算可得.【详解】设参加射门比赛的男教师人数为k ，则全部参赛教师进球数的平均数()4602360k k +-⨯=，解得30k =，即参赛的男女教师各有30人，设女教师进球数的方差为2s ，依题意可得()()222303013843236060s ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-⎣⎦⎣⎦，解得216s =.故选：B7.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,.a b c 已知222π,24,3A b c ABC =+= 的外接圆半径R D =是边AC 的中点，则BD 长为（）A.1+ B. C.D.【答案】D 【解析】【分析】首先利用正弦定理求得a ，再利用余弦定理列方程求得,b c ，进而求角B ，从而利用()12BD BA BC =+可得BD 的长度.【详解】由2π,3A ABC =的外接圆半径R =2sin 262a R A ==⨯=，由2222cos abc ab A =+-和2224b c +=得12ab =，又222412b c bc ⎧+=⎨=⎩，解得b c ==，所以12πππ236B C ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭.因为ABC 中，D 是边AC 的中点，所以()12BD BA BC =+ ,于是BD =====故选：D.8.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，,E F 分别为111,A D BB 的中点，O 为底面ABCD 的中心，则三棱锥O EFC -的体积是（）A.6B.56C.34D.2【答案】B 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求解平面法向量，利用向量法求解点面距离，即可根据体积公式求解.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()1,0,2,2,2,1,0,2,0,1,1,0E F C O ,()()()0,1,2,1,1,0,2,0,1OE OC FC =-=-=--,设平面OFC 法向量为(),,m x y z =，则020m OC x y m FC x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ ，取1x =，则()1,1,2m =- ，故E 到平面OFC的距离为OE m d m ⋅==，而222,OC OF FC OC OF CF OC OF ===+=∴⊥ ,故11222OFC S OF OC =⋅=⨯ ,故11653326O EFC OFC V S d -==⨯= ，二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知i 是虚数单位，若(13i)42i z -=-+，则（）A.1z +为纯虚数B.复数z 的虚部为i -C.|2i |z +=D.当112m <<时，复数(12i)z m ++对应的点在第二象限【答案】ACD 【解析】【分析】根据复数的除法运算化简可得1i z =--，即可求解AB ，根据模长公式以及复数的几何意义即可求解CD.【详解】由(13i)42i z -=-+可得()()()()42i 13i 42i 1i 13i 13i 13i z -++-+=----+==，故1i z +=-，故A 正确，B 错误，|2i |1i i z +=-+=+2C 正确，()()(12i)121i z m m m ++--=+，当112m <<时，则10,m -<210m ->，故复数(12i)z m ++对应的点在第二象限，D 正确，故选：ACD10.将一个直径为10cm 的铁球磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是（）A.底面直径为8cm ，高为6cm 的圆柱体B.底面直径为8cm ，高为8cm 的圆锥体C.底面直径为7cm ，高为9cm 的圆锥体D.各棱长均为8cm 的四面体【答案】ACD【分析】根据球的几何性质，结合勾股定理，即可结合选项逐一求解.【详解】对于A,若圆柱的底面直径为8，则半径为4，3=，故圆柱的高可以为6，A 符合，对于B ，若圆锥的底面直径为8，则半径为4，3=，故圆锥的高最大时为358+=，B 符合，对于C ，若圆锥的底面直径为7，则半径为72，8422=<=，故圆锥的高最大时为51592+<，C 不符合，对于D ,若将各棱长均为8cm 的四面体放入到棱长为的正方体中，此时正方体的外接球直径为10=<，故D 符合，故选：ACD11.已知函数()cos f x m x x ωω=+，若π22f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且π()4f x f ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则ω的取值可能是（）A.83B.163 C.403D.323【答案】BC 【解析】【分析】依题意可得直线π4x =是函数()f x 的一条对称轴，即可得到()02f =，从而求出m 的值，再由两角和的正弦公式将函数化简，由π4x =时函数取得最小值求出ω.【详解】因为π()4f x f ⎛⎫≥⎪⎝⎭，所以π4x =时函数取得最小值，即直线π4x =是函数()f x 的一条对称轴，又因为π22f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以()02f =，即()0cos 002f m =+=，所以2m =，所以()13π2cos 4cos sin 4sin 226f x x x x x x ωωωωω⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ3π2π,Z 462k k ω+=+∈，解得168,Z 3k k ω=+∈，当0k =时163ω=，当1k =时403ω=.故选：BC【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是根据对称性得到()02f =，从而确定m 的值.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.清明小长假期间，某学校打算安排甲、乙、丙等6位教师值班.从4月4日至4月6日每天的上、下午各需要安排一名教师到学校值班，每位教师只安排半天值班.已知甲只能值上午班，乙、丙二人只能值下午班，其他三人上下午均可值班，则不同的值班安排方式共有____________种(请用数字作答).【答案】108【解析】【分析】根据分步乘法计数原理，结合排列组合即可求解.【详解】从三个上午班中选择一个安排甲，再从下午的三个班中选择两个安排乙丙，剩余三个人安排在剩余的班位上，故一共有123333A A A 108=,故答案为：10813.已知函数12,0()e ,0x x x f x xx ⎧+>⎪=⎨⎪≤⎩，若函数()()()g x f x x m m =-+∈R 恰有一个零点，则m 的取值范围是____________.【答案】21m -<≤-【解析】【分析】根据对勾函数的性质以及导数求解函数的最值，即可作出函数的图象，根据()f x x m -=-只有一个交点，即可结合图象求解.【详解】1,0()e ,0x x x f x x xx x ⎧+>⎪-=⎨⎪-≤⎩，由于()10y x x x=+>为对勾函数，最小值为2，而()e 0,e 10x x y x x y ='=-≤-≤，所以e x y x =-在(),0∞-单调递减，故e 1x x -≤，作出()f x x -的大致图象如下：故要使()()()g x f x x m m =-+∈R 恰有一个零点，只需要()f x x m -=-只有一个交点，故12m ≤-<，即21m -<≤-，故答案为：21m -<≤-14.双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别为12,l l ，经过C 的右焦点F 的直线分别交12,l l 于,A B 两点，已知O 为坐标原点，,FA FB反向，若4||||OA OB +的最小值为9a ，则C 的离心率为____________.【答案】2【解析】【分析】联立渐近线与直线的方程，可得,A B 坐标，继而根据点点距离公式可得2112a OA OB c+=，即可利用基本不等式求解最值得2992c a a=求解.【详解】设渐近线,OA OB 的方程分别为by x a=，b y x a =-，设直线AB 的方程为x my c =+，联立x my c =+与b y x a =可得ac x a mb =-，bc y a mb =-，故,acbc A a mb a mb ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，同理联立x my c =+与b y x a =-可得,acbc B a mb a mb -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，由于,FA FB反向，所以,A B 位于一四象限，故0,0a mb a mb +>->，故2222222112a mb a mb aOA OB c c c ac bc ac bc a mb a mb a mb a mb -++=+=+=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2224119445222OB OA c c c OA OB OA OB a OA OB a OA OB a ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当4OB OA OAOB=,即2OA OB =时等号成立，故最小值为292c a ，因此2992c a a=，故2222c a e =⇒=，故答案为：2【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知等差数列{}n a 的公差0d >，前n 项和为n S ，且365a a =-，816S =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()*,212,2n n na n kb k n k=-⎧=∈⎨=⎩N ，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .【答案】（1）211n a n =-（2）12442113n n n +--+【解析】【分析】（1）依题意得到关于1a 、d 的方程组，解得1a 、d ，即可求出通项公式；（2）由（1）可得()*211,212,2n nn n k b k n k-=-⎧=∈⎨=⎩N ，利用分组求和法计算可得.【小问1详解】因为365a a =-，816S =-，所以()()()1112558818162a d a d a d ⎧++=-⎪⎨⨯-+=-⎪⎩，解得192a d =-⎧⎨=⎩或152a d =⎧⎨=-⎩，因为0d >，所以192a d =-⎧⎨=⎩，则()11211n a a n d n =+-=-；【小问2详解】由（1）可得()*,21211,212,22,2n n n na n k n n kb k n k n k=--=-⎧⎧==∈⎨⎨==⎩⎩N ，所以()()22462951374132222nn T n =---++++-+++++⎡⎤⎣⎦ ()()2222129413212n n n --+-⎡⎤⎣⎦=+-12442113n n n +-=-+.16.如图三棱锥,3,,,A BCD AB CD AB CD E F -==⊥分别在线段AB ，CD上，且满足2,2,,AE EB CF FD EF AB EF CD EF ===⊥⊥.（1）求证:平面ABC ⊥平面ADB ;（2）求AD 与平面BCD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）427【解析】【分析】（1）根据垂直关系，结合勾股定理可得ED EC ==即可求证ED EC ⊥，根据线线垂直可得AB ⊥平面CED ，进而可得AB CE ^，进而可得CE ⊥平面ADB ，即可求证面面垂直，（2）根据勾股定理以及线线垂直可证明FA ⊥平面BCD ,即可得ADF ∠为直线AD 与平面BCD 所成的角，即可求解.【小问1详解】连接,ED EC ,由于3,AB CD ==2,2,AE EB CF FD ==所以2,1,2,1,AE EB CF DF ====由于2,,EF AB EF CD EF =⊥⊥，所以()()22222222213,226,ED EF DF EC EF CF =+=+==+=+=故222ED EC CD +=，即ED EC ⊥，又AB EF ⊥，AB CD ⊥，,,EF CD F EF CD =⊂ 平面CED ，故AB ⊥平面CED ，CE ⊂平面CED ,故AB CE ^,,,ED AB E AB ED ⋂=⊂平面ADB ，所以CE ⊥平面ADB ，CE ⊂平面ABC ，故平面ABC⊥平面ADB【小问2详解】由于3,AB CD ==2,2,AE EB CF FD ==所以2,1,2,1,AE EB CF DF ====由于2,,EF AB EF CD EF =⊥⊥，所以()()22222222226,213,AF EF AE FB EF BE =+=+=++故222AF BF AB +=，即AF BF ⊥，又CD EF ⊥，AB CD ⊥，,,EF CD F EF CD =⊂ 平面CED ，故CD ⊥平面ABF ，AF ⊂平面ABF ,故CD AF ⊥,,,CD BF F CD BF ⋂=⊂平面BCD ，故FA ⊥平面BCD ,故ADF ∠即为直线AD 与平面BCD 所成的角，AD ==,42sin 7AFADF AD∠===,17.袋中装有大小、形状、材质完全相同的n 个小球，其中有m 个红球.（1）若5,3n m ==，现从袋中随机摸出2个小球，其中红球的个数为随机变量X ，求X 的方差()D X （2）从袋中有放回地摸取小球N 次，每次摸出一个小球，其中摸到红球的次数为随机变量Y ，若Y 的期望()12E Y =，方差() 2.4D Y =，求N ;（3）若100n =，现从袋中有放回地摸取小球10次，每次摸出1个小球，记录颜色后将摸出的小球放回袋中.以摸出红球的频率估计袋中红球所占比例，若30m =，求红球占比估计值的误差不超过10%的概率p .参考数据:k012345678910100.30.7k k -⨯0.02820.01210.00520.00220.00100.00040.00020.00010.00000.00000.0000【答案】（1）925（2）15（3）0.708【解析】【分析】（1）根据题意X 服从超几何分布，先计算概率，再计算期望代入方差公式即可.（2）有放回的摸球，所以Y 服从二项分布，利用期望，方差公式联立求出N .（3）有放回的摸球，每次摸一个球，摸10次，红球出现的次数k 是服从二项分布的，想利用摸出红球的频率估计袋中红球所占比例，当红球有30个时，红球实际的比例为310如果红球占比估计值的误差不超过10%，31||101010k -≤，则k 只能取2、3或4.，又因为红球出现的次数k 是服从二项分布的，所以概率利用二项分布的计算可得.【小问1详解】X 的取值有0，1，2.且服从超几何分布.因此202325C C 1(0)C 10P X ===,112325C C 3(1)C 5P X ===,022325C C 3(2)C 10P X ===;分布列如下：X 012P110353101336()012105105E X =⨯+⨯+⨯=.2226163639()(0)(1(2)5105551025D X =-⨯+-⨯+-⨯=.【小问2详解】因为有放回地摸取1个小球N 次，每次摸到红球的概率是mn，所以(,)m Y B N n ()12mE Y N n ==，()(1 2.4m m D Y N n n =-= ，()11()5D Y m E Y n =-=，即45m n =，所以15N =.【小问3详解】设从袋中有放回地摸取小球10次，每次摸出1个小球中红球出现k 次，所以摸出红球的频率为10k ，当100n =，30m =红球所占比例为310，如果以摸出红球的频率估计袋中红球所占比例，且误差不超过10%，因此：31||101010k -≤，即k 只能取2、3或4.所以红球占比估计值的误差不超过10%的概率：228337446101010C 0.30.7C 0.30.7C 0.30.7p =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯450.00521200.00222100.00100.708=⨯+⨯+⨯=.18.已知椭圆E 的焦点为12(0),0)F F ，点P 在E 上，且2PF x ⊥轴，21PF =.（1）求E 的方程;（2）求与E 有公共焦点的双曲线的方程，使得以它们的交点为顶点的四边形面积最大;（3）过点(1,0)H 作斜率之积为1的两直线12,l l ，若1l 交E 于A ，B 两点，2l 交E 于C ，D 两点，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，求MNH △面积的最大值.【答案】（1）22142x y +=（2）221x y -=（3）24【解析】【分析】（1）根据已知条件求出21b a=，结合222a b =+构造方程组，确定a 、b 的值即可求出椭圆方程；（2）根据椭圆与双曲线的对称性，确定各交点确定的四边形为矩形，设出交点坐标，矩形面积10000224S x y x y =⋅=，利用基本不等式即可求出最值；（3）根据两直线过的定点及斜率和为1设出两直线方程，直曲联立，利用伟大定理即可求出12222ty y t -+=+，12232y y t -=+，342212t y y t-+=+，342312y y t -=+，由此即可确定M 、N 坐标，求出直线MN 方程，确定直线MN 过定点()2,0G ，由此可求出MNH △面积212M N S GH y y =⋅-，换元利用基本不等式求最值即可.【小问1详解】设椭圆的方程为22221x y a b +=()0a b >>，由题意知，(),1P c 在椭圆上，所以22211c a b +=，2222222211c a c b b a a a -=-==，即21b a =，所以22212b a a b ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩22142x y +=.【小问2详解】设四边形面积为1S ，其中一个交点坐标为()00,Q x y ，则2200142x y +=，由椭圆与双曲线的对称性可知，其他三个点分别为：()00,x y -，()00,x y --，()00,x y -，所以四边形为矩形，由2200142x y +=≥=，即00x y ≤，得10000224S x y x y =⋅=≤220042x y =，即0x =01y =时，四边形的面积取最大值所以)Q，设双曲线方程为2222111x y a b -=，又因为12(0),0)F F ，所以13QF =，21QF =，此时双曲线的实轴长11222a QF QF =-=，即11a =，虚半轴长11b ==，所以双曲线的方程为221x y -=.【小问3详解】根据题意，直线1l 、2l 斜率存在且不为0，且斜率不能为1±，设1:l 1x ty =+()0,1t t ≠≠±，()11,A x y ，()22,B x y ，则2:l 11x y t=+()0,1t t ≠≠±，()33,C x y ，()44,D x y联立221421x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理有：()222230t y ty ++-=，所以12222t y y t -+=+，12232y y t -=+，22122M y y t y t +-==+，2211M M x ty t =+=+，故222,12t M t t -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，联立2214211x y x y t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理有：2212230y y t t ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，所以342212t y y t -+=+，342312y y t -=+，所以2212,1122t N t t ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭，若221122t t t t--=++，即()221122t t t t ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，整理有21t =，解得1t =±不合题意，所以221122t t t t --≠++，故直线MN 的斜率不为0，设直线MN 方程为：x my n =+，M 在直线MN 上，则22222t m n t t -=⋅+++，变形得：()2210nt mt n -+-=，N 在直线MN 上，所以221211122t m t t-=⋅+++，变形得：()211210n m n t t ⎛⎫-⋅+-= ⎪⎝⎭，所以t 、1t时是关于x 的方程的()2210nx mx n -+-=的两个根，故()2111n t tn-⋅==，解得2n =，故直线MN 过定点()2,0G ，1GH =，MNH △的面积为212M N S GH y y =⋅-22111222t tt t =-++，()()33224222111222122252221t t t t t t t t t t t t --=⋅-==⋅++++++分子分母同除以2t ，上式化为22112225t t t t -⋅++22211122125418t t t t t t t t--=⋅=++-+即2211418t tS t t-=-+，令10u t t =->，则22118418244u S u u u ==≤++，当且仅当184u u =，即322u =时，MNH △的面积取最大值224，故MNH △面积的最大值为224.【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线综合问题，需要直曲联立，利用韦达定理结合曲线的定义，曲线的性质进行求解.19.微分中值定理是微积分学中的重要定理，它是研究区间上函数值变化规律的有效工具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的内容如下:如果函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，在开区间(,)a b 可导，导数为()f x '，那么在开区间(,)a b 内至少存在一点c ，使得()()()f b f a f c b a-'=-，其中c 叫做()f x 在[],a b 上的“拉格朗日中值点”.已知函数22232(1)915()ln (4)e 468axa xb b f x x b x x x ++⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭.（1）若1,0a b =-=，求函数()f x 在[]1,7上的“拉格朗日中值点”0x ；（2）若1,1a b =-=，求证:函数()f x 在区间(0,)+∞图象上任意两点A ，B 连线的斜率不大于618e --；（3）若12311,1,,,,14a b x x x ⎛⎫==-∀∈ ⎪⎝⎭，且123x x x <<，求证:()()()()21322132f x f x f x f x x x x x -->--.【答案】（1）4（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，依题意()()()07171f f f x -'=-，解得即可；（2）不妨设()()44,A x f x ，()()55,B x f x ，45x x <，则()()5454AB f x f x k x x -=-，求出函数的导函数，再构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可证明()618e f x -≤'-，再结合拉格朗日中值定理证明即可；（3）由拉格朗日中值定理可知只需证明12()()f c f c ''≥，即证明()f x '在1,14⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，求出导函数，再构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可得证.【小问1详解】当1,0a b =-=时()2158f x x =，则()154f x x '=，因为0x 为函数()f x 在[]1,7上的“拉格朗日中值点，则()()()2201515717188157171f f f x ⨯-⨯-=-'==-，即()0015154f x x =='，解得04x =【小问2详解】当1,1a b =-=时()321()4e36xf x x x x -=--+，不妨设()()44,A x f x ，()()55,B x f x ，45x x <，则()()5454AB f x f x k x x -=-，又()21()5e62xf x x x x --'=-+，令()()21()5e 62x F x f x x x x -=--'=+，则()()()()6e66e 1xx F x x x x --=--+=--'，又0x >，所以e 10x --<恒成立，所以当06x <<时()0F x '>，当6x >时()0F x '<，所以()F x 在()0,6上单调递增，在()6,∞+上单调递减，所以()F x 在6x =处取得极大值，即最大值，所以()()6618e F x F -≤=-，所以()618e f x -≤'-，由拉格朗日中值定理可知必存在()45,c x x ∈使得()()5454()f x f x f c x x --'=，即()AB f c k ='，又()618e f x -≤'-，所以618e AB k -≤-，即函数()f x 在区间(0,)+∞图象上任意两点A ，B 连线的斜率不大于618e --；【小问3详解】当1,1a b ==-时23213()ln 2(4)e 64x x f x x x x x =+--+，由拉格朗日中值定理知，存在()112,c x x ∈和()223,c x x ∈，使得()()21121()f x f x f c x x --'=，()()32232()f x f x f c x x --'=，所以只需证明12()()f c f c ''≥，即证明()f x '在1,14⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，又21()ln (3)e 22xf x x x x x x '=+--+，令()21()ln (3)e 22xG x f x x x x x x ==+-+'-，则()ln (2)e 3xG x x x x -'=+-+，令()()ln (2)e 3xm x G x x x x -'==+-+，则()()11(1)e 11e x x m x x x x x ⎛⎫=+--=-- ⎪⎝⎭'，当1,14x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时10x -<，令()1e xn x x =-，1,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()21e 0xn x x =+>'，则()n x 在1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，又141e 404n ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()1e 10n =->，所以存在01,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00n x =，所以当01,4x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0n x <，则()0m x '>，即()m x 单调递增，当()0,1x x ∈时()0n x >，则()0m x '<，即()m x 单调递减，所以()m x 在0x 处取得极大值，即最大值，所以()()()0000000002ln 2e 33x x m x m x x x x x x x -≤=+--+=-+-+()2200000212420x x x x x ---+-==<，所以()0G x '<，所以()G x 在1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，即()f x '在1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，命题得证.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形；（2）构造新的函数()h x ；（3）利用导数研究()h x 的单调性或最值；（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．。

2016-2017 学年山西重点中学协作体高三（上）期末考数学试题卷（文理通用）考生注意：（ 1）本次考试满分 150 分，考试时间 120 分钟。

（ 2）本卷分为试题卷和答题卷，考生请在答题卷上作答。

一．选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1． 已知全集 U ＝ R ，集合，集合 ，则( )2．设定义在上的奇函数，满足对任意都有，且 时， ，则的值等于（ ）A.B. C.D.3．设集合 M={x|0 ＜ x ≤ 3}， N={x|0 ＜ x ≤ 2}，那么 “a∈M ”是 “a∈N ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．已知命题 p ： “?x ∈R ， e x﹣ x ﹣ 1≤0”，则命题￢ p （）x x 1 ＞ 0B ． ? x R ， e x x1 0A． ? xRe﹣﹣ ?﹣﹣ ＞∈ ，x ﹣ x ﹣1≥0 D ． ? x R exx1 0C． ? xRe∈ ， ﹣﹣ ＞∈ ，5．已知，则函数 的最大值是（）A ． 2B ． 3C ． 1D ．6．函数的零点个数为 ( )7． 若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线 的斜率的取值范围是( )A.[]B.C.[D.8．2017 年“元旦”期间，山西某游乐园举行免费游园活动，免费开放一天，早晨 6 时 30 分有 2 人进入游乐园，接下来的第一个30 分钟内有 4 人进去 1 人出来，第二个30 分钟内有8 人进去 2 人出来，第三个30分钟内有 16 人进去 3 人出来，第四个 30分钟内有32 人进去 4 人出来按照这种规律进行下去，到上午 11 时园内的人数是 ()A ． 212－ 57B． 211－ 47C． 210－ 38D． 29－ 309．函数 f（ x）=﹣ |x﹣x﹣ 1的零点所在的区间是（）5|+2A．（ 0，1） B ．（ 1，2）C．（ 2， 3）D．（ 3， 4）10．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A ．B ．C．D．11．设点和点分别是函数和图象上的点，且 x1≥ 0,x2>0．若直线轴，则两点间的距离的最小值为（）A ． 1B． 2C． 3D． 412. 过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的直线，交双曲线于P、 Q，是另一焦点，若∠，则双曲线的离心率等于（）A B C D二、填空题：（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）13．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 ___________________.14．设函数 f （x） =，则不等式 f（x）＞ f （ 1）的解是．152f x fx =3x f x）的解析式为．．已知函数满足（）﹣（﹣），则（16. 给出定义：若函数f( x)在 D 上可导，即 f′(x)存在，且导函数 f ′(x)在 D上也可导，则称函数f(x)在 D 上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′若.f″(x)<0在D上恒成立，则称函数f(x)在 D 上为凸函数，以下四个函数在上是凸函数的是 _______________.( 多选 )－A ． f(x)＝sin x＋cos xB ． f(x)＝ ln x－ 2x C． f(x)＝－ x3＋ 2x－1 D ．f(x)＝－ xe x三、解答题：（本大题分必考题和选考题两部分，共 6 小题，满分75 分 .解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）（一）必考题：本部分共五大题，每题12 分，共60 分。

山西省太原市2017届高三年级模拟试题（三）数学（理科）（考试时间：下午3:00——5:00）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非择题）两部分。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题与答题卡相应的位置。

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知i 是虚数单位，复数z 满足2zi z=+，则复数z 在复平面内对应的点的坐标是 A ．11(,)22- B ．(1,1)- C ．11(,)22- D ．(1,1)-2．已知全集U R =，集合{|(2)0}A x x x =+<，{|||1}B x x =≤，则下图阴影部分表示的集合是A ．(2,1)-B ．[1,0][1,2)-C ．(2,1)[0,1]--D ．[0,1]3．已知随机变量X 服从正态分布(3,1)N ，且(4)0.1587P X ≥=，则(24)P X <<= A ．0.6826 B ．0.3413 C ．0.4603 D ．0.9207 4．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式11111+++中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11x x+=求得51x +=.3232++=A ．3B ．1312C ．6D ．22 5．执行下面的程序框图，如果输入的3a =，则输出的n =A ．2B ．3C ．4D ．56．在ABC ∆中，3AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，点 P 是ABC ∆内一点（含边界），若23AP AB AC λ=+， 则||AP 的取值范围为A ．21033+ B ．8[2,]3C ．213[0,]3 D ．13[2,37．已知某产品的广告费用x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）具有线性关系关系， 3 4 5 625304045由上表可得线性回归方程^^^y b x a =+，据此模型预报广告费用为8万元时的销售额是 A ．59.5 B ．52.5 C ．56 D ．63.5附：121^1221()())=()(n ni ii nii iii nii x y nx yb xx x y y n x x x ====-⋅---=-∑∑∑∑；^^a yb x =-8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长的棱长为 A ．33 B ．6 C 21 D ．259．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,3)n n S +*()n N ∈在函数32xy =⨯的图象上，等比数列{}n b 满足1n n n b b a ++=*()n N ∈，其前n 项和为n T ，则下列结论正确的是 A ．2n n S T = B ．21n n T b =+ C ．n n T a > D ．1n n T b +< 10．已知函数()f x 是偶函数，(1)f x +是奇函数，且对于任意1x ，2[0,1]x ∈，且12x x ≠，都有1212()[()()]0x x f x f x --<，设82()11a f =，50()9b f =-，24()7c f =，则下列结论正确的是A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c a b >>11．已知实数x ，y 满足条件480,2360,20,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩若222x y m +≥恒成立，则实数m 的最大值为A ．5B ．43C 2D ．8312．已知点P 在抛物线2y x =上，点Q 在圆221()(4)12x y ++-=上，则||PQ 的最小值为 A ．3512- B ．3312- C ．231 D 101- 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率.先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中目标，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数：7327 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为 ． 14．221(1sin )x x dx --⎰= ．15．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，90BAC ∠=︒，点D 在AB 上，点E 在CD 上，且ACB DE DEB ∠=∠=∠，则DC = ． 16．已知过点(2,0)A -的直线与2x =相交于点C ，过点(2,0)B 的直线与2x =-相交于点D ，若直线CD 与圆224x y +=相切，则直线AC 与BD 的交点M 的轨迹方程为 .三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知(3,cos )33x x m =，(cos ,cos )33x xn =()f x m n =⋅. （1）若函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）若a ，b ，c 分别是ABC ∆分内角A ，B ，C 所对的边，且2a =，(2)cos cos a b C c B -=，3()2f A =，求c . 18. （本小题满分12分）网购是当前民众购物的新方式，某公司为改进营销方式，随机调查了100名市民，统计其周平均网购的次数，并整理得到如下的频数分布直方图.这100名市民中，年龄不超过40岁的有65人将所抽样本中周平均网购次数不小于4次的市民称为网购迷，且已知其中有5名市民的年龄超过40岁.（1） 根据已知条件完成下面的22⨯列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下年龄不超过40岁 网购迷 非网购迷 合计 年龄超过40岁合计（2）若从网购迷中任意选取2名，求其中年龄丑啊过40岁的市民人数ξ的分布列与期望.附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++；0.15 0．10 0.05 0.012.0722.7063.8416.63519．（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A ⊥底面ABC ，160A AC ∠=︒，124AC AA ==，点D ，E 分别是1AA ，BC 的中点.（1）证明：//DE 平面11A B C ；（2）若2AB =，60BAC ∠=︒，求直线DE 与平面11ABB A 所成角的正弦值. 20．（本小题满分12分）已知动点C 到点(1,0)F 的距离比到直线2x =-的距离小1，动点C 的轨迹为E . （1）求曲线E 的方程；（2）若直线:(0)l y kx m km =+<与曲线E 相交于A ，B 两个不同点，且5OA OB ⋅=，证明：直线l 经过一个定点.21．（本小题满分12分）已知函数2()21f x x x =-+，()2ln(1)g x a x =-()a R ∈. （1）求函数()()()h x f x g x =-的极值；（2）当0a >时，若存在实数k ，m 使得不等式()()g x kx m f x ≤+≤恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请在答题卡上把所选题目对应题号后的方框涂黑. 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）.以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （1）求曲线1C 普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线3C 的极坐标方程为(0,)R θααπρ=<<∈，点A 是曲线3C 与1C 的交点，点B 是曲线3C 与2C 的交点，且A ，B 均异于原点O ，且||42AB =α的值. 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲. 已知函数1()2||||f x x a x a=++-(0)a ≠. （1）当1a =时，解不等式()4f x <； （2）求函数()()()g x f x f x =+-的最小值.数学（理科）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1-5:BCAAC 6-10:DABDB 11、12：DA二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.0.4 14.2π 15.13416.221(0)4x y y +=≠ 三、解答题（本大题共70分）17.解：（1）2()3cos cos 333x x xf x m n =⋅=+，3212(cos 1)2323x x =++=21sin()362x π++， ∴()f x 的最小正周期为3π，令2222362x k k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，则332k x k ππππ-+≤≤+， ∴()f x 的单调递增区间为[3,3]2k k ππππ-++()k Z ∈；（2）(2)cos cos a b C c B -=，∴2sin cos A C =sin cos cos sin sin B C B C A +=，0A π<<，∴sin 0A >，∴1cos 2C =，∴3C π=， ∴213()sin()3622A f A π=++=，∴2sin()136A π+=，∴22362A k πππ+=+，k Z ∈，∴2A π=，∴sin 2sin33c a C π===18.解：（1）由题意可得列联表如下： 假设网购迷与年龄不超过40岁没有关系，则2100(2030455)65352575k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯3.297 2.706>.所以可以在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关；（2）由频率分布直方图可知，网购迷共有25名，由题意得年龄超过40的市民人数ξ的所有取值为0，1，2，网购迷 非网购迷 合计年龄不超过40岁 20 45 65 年龄超过40岁5 30 35 合计 257510022022519(0)30C P C ξ===，112052251(1)3C C P C ξ===，252251(2)30C P C ξ===，∴ξ的分布列为0 1 2∴012303305E ξ=⨯+⨯+⨯=. 19.解：（1）证明：取AC 的中点F ，连接DF ，EF ， E 是BC 的中点，∴//EF AB ， 111ABC A B C -是三棱柱，∴11//AB A B ，∴11//EF A B ，∴//EF 平面11A B C ，D 是1AA 的中点，∴1//DF A C ，∴//DF 平面11A B C ，∴平面//DEF 平面11A B C ， ∴//DE 平面11A B C ；（2）过点1A 作1A O AC ⊥，垂足为O ，连接OB ， 侧面1ACC A ⊥底面ABC ，∴1A O ⊥平面ABC ，∴1A O OB ⊥，1A O OC ⊥，160A AC ∠=︒，12AA =，∴1OA =，13OA =2AB =，60OAB ∠=︒，由余弦定理得，2222cos 3OB OA AB OA AB BAC =+-⋅∠=， ∴3OB =90AOB ∠=︒，∴OB AC ⊥，分别以OB ，OC ，1OA 为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系O xyz -，由题设可得(0,1,0)A -，(0,3,0)C ，(3,0,0)B ，13)A ，13(0,2D -，33,0)22E ，设111(,,)m x y z =是平面11ABB A 的一个法向量，则10,0,m AB n AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴111130,30,x y y z +==⎪⎩令11z =，∴(1,3,1)m =-，33(2,DE =，∴cos ,m DE <>=233055||||m DE m DE ⋅-=， ∴直线DE 与平面11ABB A 所成角的正弦值为33055. 20.解：（1）由题意可得动点C 到点(1,0)F 的距离等于到直线1x =-的距离，∴曲线E 是以点(1,0)为焦点，直线1x =-为准线的抛物线，设其方程为22(0)y px p =>，∴12p=，∴2p =， ∴动点C 的轨迹E 的方程为24y x =；（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，由2,4y kx m y x=+⎧⎨=⎩得222(24)0k x km x m +-+=，∴12242kmx x k -+=，2122m x x k ⋅=.5OA OB ⋅=，∴1212x x y y +=221212(1)()=k x x km x x m ++++2245m kmk+=， ∴22450m km k +-=，∴m k =或5m k =-.0km <，m k =舍去，∴5m k =-，满足16(1)0km ∆=->，∴直线l 的方程为(5)y k x =-， ∴直线l 必经过定点(5,0).21. 解：（1）由题意得2()(1)2ln(1)h x x a x =---，1x >，∴22[(1)]'()1x a h x x --=-，①当0a ≤时，则'()0h x >，此时()h x 无极值；②当0a >时，令'()0h x <，则11x a <<+'()0h x >，则1x a >+∴()h x 在(1,1]a +上递减，在(1,)a +∞上递增； ∴()h x 有极小值(1)(1ln )h a a a +=-，无极大值；（2）当0a >时，有（1）知，()h x 在(1,1]a +上递减，在(1,)a +∞上递增，且有极小值(1)(1ln )h a a a +=-，①当a e >时，(1)(1ln )0h a a a =-<，∴(1)(1f a g a <+， 此时，不存在实数k ，m ，使得不等式()()g x kx m f x ≤+≤恒成立； ②当0a e <≤时，(1)(1ln )0h a a a =-≥，2()21f x x x =-+在1x a =+(2)y ax a a =-，令()()(2)]u x f x ax a a =--，1x >，则2()[(1)]0u x x a =-+≥，∴2(2)()ax a a f x -≤，令()(2)()v x ax a a g x =--=2(2)2ln(1)ax a a a x ---，1x >，则2[(1)]'()a x a v x -+=令'()0v x <，则11x a <<'()0v x >，则1x a >+∴()(1v x v a ≥+=(1ln )0a a -≥，∴()2(2)g x ax a a ≤-， ∴()2(2)()g x ax a a f x ≤-≤，当k a =2m a a =-时，不等式()()g x kx m f x ≤+≤恒成立，∴0a e <≤符合题意；由①，②得实数a 的取值范围为(0,]e .22.解：（1）由22cos ,2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩消去参数ϕ可得1C 普通方程为22(2)4x y -+=，.4sin ρθ=，∴24sin ρρθ=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得曲线2C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=；（2）由（1）得曲线1C ：22(2)4x y -+=，其极坐标方程为4cos ρθ=， 由题意设1(,)A a ρ，2(,)B a ρ，则12||||4|sin cos |AB ρραα=-=-42sin()|424πα=-=∴sin()14πα-=±，∴42k ππαπ-=+()k Z ∈，0απ<<，∴34πα=. 23. 解：（1）1a =，∴原不等式为2|1||1|4x x ++-<，∴12214x x x <-⎧⎨---+<⎩，或11,2214,x x x -≤≤⎧⎨+-+<⎩或1,2214,x x x >⎧⎨++-<⎩∴513x -<<-或11x -≤<或∅，∴原不等式的解集为5(,1)3-.（2）由题意得()()()g x f x f x =+-=112(||||)(||||)x a x a x x a a++-+++- 222|2|4||||||a a a a ≥+=+42≥ 当且仅当12||||a a =，计2a =22x ≤≤时，()g x 取最小值42。

山西省临汾市2017届高三考前适应性训练考试（三）数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合()(){}()(){}|120,|120A x x x B x x x =+-≤=-+≤，则AB =（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．[]0,1D ．[]1,1-2. 设复数()()321i 1i z +=-，则z=（ ） A ．1i + B ．1i -+ C ．1i - D ．1i -- 3. 已知函数()(),f x g x ：则函数()()2f g =（ ）A ． 2B ．1C ．3D ．04. 已知命题：1:p 函数()x x f x e e -=-在R 上单调递增；2:p 函数()x xg x e e -=+在R 上单调递减，则在命题()112212312:,:,:q p p q p p q p p ∨∧⌝∨和()412:q p p ∧⌝中，真命题是（ ）A ．14,q qB ．23,q qC ．13,q qD ．24,q q 5. 已知数列{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1055S =，则其公差d =（ ） A ．0 B ．1 C. 1- D ．9106. 已知平面α，及直线,a b 下列说法正确的是（ ）A ．若直线,a b 与平面 α所成角都是30，则这两条直线平行B ．若直线,a b 与平面 α所成角都是30，则这两条直线不可能垂直 C. 若直线,a b 平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行 D ．若直线,a b 垂直，则这两条直线与平面 α不可能都垂直7. 已知等比数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则数列{}2n a 的前n 项和n T =（ ）A ．()221n- B ．41n- C.413n - D ．1443n +-8. 已知椭圆()2221025x y m m+=>与双曲线()222107x y n n -=>有相同的焦点，则m n +的取值范围是 （ ）A ．3B ．6 C. 18 D ．36 9. 执行如图所示的程序框图，如果输入的10x =-，则输出的y =（ ）A ．0B ．1 C. 8 D ．27 10. 已知函数()ln f x x =，若()()()0f m f n m n =>>，则2211m n +=++（ ） A ．12B ．1 C.2 D ．411. 如图，网格纸上小正方形长为1，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面为4，高为4的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原毛坯体积的比值为（ ）A ．38 B ．58 C.512 D ．71212.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ，点,M N 是椭圆C 上关于长轴对称的两点，若直线AM 与BN 相交于点P ，则点P 的轨迹方程是 （ ） A ．()0x a y =±≠ B ．()()220y b x a y =-≠C.()22220x y a b y +=+≠ D ．()222210x y y a b-=≠第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()()()2x x a f x x-+=为奇函数，则a = ．14.我市某小学三年级有甲、乙两个班，其中甲班有男生30人，女生20人，乙班有男生25人，女生25人，现在需要各班按男、女生分层抽取0020的学生进行某项调查，则两个班共抽取男生人数是 ．15.在ABC ∆中，4,6,120AC BC ACB ==∠=，若2AD BD =-，则AC CD ⋅= ．16.设函数()22f x x x ax a =---，其中0a >，若只存在两个整数x ，使得()0f x <，则a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数()21cos 22cos 2122f x x x x =++. （1）求()f x 的最小正周期； （2）当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最值. 18. 某人经营 一个抽奖游戏，顾客花费4元钱可购买一次游戏机会，每次游戏，顾客从标有1,2,3,4的4个红球，和标有2,4的2个黑球共6个球中随机摸出2个球，并根据摸出的球的情况进行兑奖.经营者奖顾客摸出的球情况分成以下类别：A:两球的颜色相同且号码相邻；B: 两球的颜色相同,但号码不相邻；C: 两球的颜色不同，但号码相邻；D: 两球的号码相同；E: 其它情况.经营者打算将以上五种类别中最不容易发生的一种类别对应一等奖，最容易发生的一种类别对应二等奖，其他类别答应三等奖.（1）一、二等奖分别对应哪一种类别（用字母表示即可）；（2）若一、二、三等奖分别获得价值10元、4元、1元的奖品，某天所有顾客参加游戏的次数共计100次，试估计经营者这一天的盈利.19.如图，梯形ABCD 中，90,2,1BAD ADC CD AD AB ∠=∠====，四边形BDEF 为正方形，且平面BDEF ⊥平面ABCD .（1）求证：DF CE ⊥；（2）若AC 与BD 相交于点O ，那么在棱AE 上是否存在点G ，使得平面//OBG 平面EFG ？并说明理由.20. 已知抛物线28y x =与垂直x 轴的直线l 相交于,A B 两点，圆22:1C x y +=分别与x 轴正、负半轴相交于,P N ，且直线AP 与BN 交于点M .（1）求证：点M 恒在抛物线上； （2）求AMN ∆面积的最小值. 21. 已知函数()()2x f x x x e =-.（1）求()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程()y g x =,并证明()()f x g x ≥； （2）若方程()()R f x m m =∈有两个正实数根12,x x ，求证：121mx x m e-<++. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为2cos (3cos 2cos x y αααααα⎧=-⎪⎨=--⎪⎩为参数）. 以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）若曲线1C 与曲线2C 有公共点，求实数m 的取值范围. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2,f x x m m =+-∈R ，且()0f x ≤的解集为[]3,1--. （1）求m 的值；（2）设,,a b c 为正数，且a b c m ++=.山西省临汾市2017届高三考前适应性训练考试（三）数学（文）试题参考答案一、选择题1-5: DBAAB 6-10: DCBCC 11-12：CD二、填空题13. 2 14. 11 15.83 16.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦三、解答题17. 解：()21cos 22cos 212f x x x x =+11cos 44122x x +=⋅+15154cos 4sin 444264x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭. (1)242T ππ==. (2)当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，714,,sin 4,166662x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎡⎤+∈+∈- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭，则当462x ππ+=，即12x π=时，函数()f x 取到最大值74；当7466x ππ+=，即4x π=时，函数()f x 取到最小值1.所以，函数()f x 最大值74，最小值1. 18. 解：(1)将4个红球分别记为：1234R ,R ,R ,R ，2个黑球记为：24,B B .从这6个球中随机摸出2个球的基本事件有：()()()()()()()()1213141214232422R ,R ,R ,R ,R ,R ,R ,,R ,,R ,R ,R ,R ,R ,B B B ， ()()()()()()()24343234424424R ,,R ,R ,R ,,R ,,R ,,R ,,,B B B B B B B 共15个.事件A ：两球的颜色相同且号码相邻包含的基本事件有：()()()122334R ,R ,R ,R ,R ,R 共3个，所以()31155P A ==，事件B ：两球的颜色相同，但号码不相邻包含的基本事件有：()()()()13142424R ,R ,R ,R ,R ,R ,,B B 共4个，所以()415P B =，事件C ：两球的颜色不同，但号码相邻包含的基本事件有：()()()123234R ,,R ,B ,R ,B B 共3个，所以()31155P C ==，事件D ：两球的号码相同包含的基本事件有：()()2244R ,,R ,B B 共2个，所以()215P D =，于是可得()31155P E ==，所以一等奖对应的类别为D ，二等奖对应的的类别为B .(2)由（1）知获一等奖的概率为215；获二等奖的概率为415；获三等奖的概率为93155=，设经营者这一天的盈利为y 元，则24910041001010041001100151515y =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=（元）所以经营者一天 的盈利为100元.19. 解：(1)证明：连接EB .因为在梯形ABCD 中，90,1,2BAD ADC AB AD DC ∠=∠====，222,BD BC BD BC CD BC BD ∴==+=∴⊥，又因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF平面,ABCD BD BC =⊂平面,ABCD BC ∴⊥平面,BDEF BC DF ∴⊥，又因为正方形BDEF 中，DF EB ⊥且,EB BC ⊂平面,,BCE EB BC B DF =∴⊥平面BCE ，又CE ⊂平面,BCE DF CE ∴⊥.(2) 在棱AE 上存在点G ，使得平面//OBG 平面EFC ，且12AG GE =，证明如下：因为梯形ABCD 中，190,1,2,//,2AO AB BAD ADC AB DC AB DC OC DC ∠=∠===∴∴==，又1,//2AG OG CE GE =∴，又因为正方形BDEF 中，//EF OB ，且,OB OG ⊄平面,,EFC EF CE ⊂平面,//EFC OB ∴平面,//EFC OG 平面EFC ，又OB OG O =，且,OB OG ⊂平面OBG ，所以平面//OBG 平面EFC .20. 解：(1)设()()()11111,,,0A x y B x y x ->，由题可知()()1,0,1,0P N -，所以直线AP 的方程为：()()1111x y y x -=-，直线BN 的方程为：()()1111x y y x +=-+，联立()()()()11111111x y y x x y y x ⎧-=-⎪⎨+=-+⎪⎩， 解得1111x x y y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以M 点的坐标为1111,y x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()1111x x yy x y x ⎧=⎪⎪*⎨⎪=-=-⎪⎩，又因为点()11,A x y 在抛物线28y x =上，将()*式代入抛物线方程可得28y x =，所以点M 恒在抛物线上.(2)由（1）知点A 与点M 的纵坐标异号，所以()111111182AMN M y S NP y y y y x y ∆=⋅⋅+=+=+≥当且仅当1y =±A 坐标(1,±时，等号成立，所以AMN ∆面积的最小值为21. 解：(1)()()()()2'1,'1,10x f x x x e f e f =+-==,所以在点()1,0处的切线方程为：()1y e x =-.设()()()h x f x g x =-，则()()()()22,'1x x h x x x e ex e h x x x e e =--+=+--，()()2"3x h x x x e =+，令()"0h x =得3x =-或0x =.容易知道()'y h x =在()(),3,0,-∞-+∞单调递增；()3,0-单调递减，而()()35'30,'10h e h e-=-<=，所以当(),1x ∈-∞时，()()'0,h x y h x <=单调递减；当()1,x ∈+∞时，()()'0,h x y h x >=单调递增，所以()()min 10h x h ==，故()0h x ≥总成立，所以()()f x g x ≥成立. (2) 因为曲线()y f x =在0x =处的切线方程为y x =-，容易证明，当0x ≥时，()2x x x e x -≥-，依第（1）问知()()21x x x e e x -≥-，设y m =分别与y x =-和()1y e x =-的两个交点的横坐标为34,x x ，则3124x x x x <<<，所以12431mx x x x m e-<-=++. 22. 解：(1)曲线1C 的普通方程为2y x =；曲线2C 的直角坐标方程为0x y m -+=.(2)联立2y x x y m ⎧=⎨-+=⎩，消去y 得20x x m --=，因为曲线1C 与曲线2C 有公共点，所以()()2140m ∆=---≥，解得14m ≥-，所以实数m 的取值范围为1|4m m ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭.23. 解：（1） 由()0f x ≤得2x m +≤，所以022m m x m ≥⎧⎨--≤≤-⎩，又 ()0f x ≤的解集为[]3,1--，所以2321m m --=-⎧⎨-=-⎩，解得1m =.（2）由(1) 知1a b c ++=，由柯西不等式得：2≤()()2222111⋅++所以()()233318a b c ≤+++=，=13a b c ===。