江苏省高考数学二轮复习第3讲平面向量课件

2009年高考第二轮热点专题复习：平面向量考纲指要：重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。

考点扫描：1．向量的概念：①向量；②零向量；③单位向量；④平行向量（共线向量）；⑤相等向量。

2．向量的运算：（1）向量加法；（2）向量的减法；（3）实数与向量的积。

3．基本定理：（1）两个向量共线定理；（2）平面向量的基本定理。

4．平面向量的坐标表示。

5．向量的数量积：（1）两个非零向量的夹角；（2）数量积的概念；（3）数量积的几何意义；（4）向量数量积的性质；（5）两个向量的数量积的坐标运算；（6）垂直：如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直，记作a ⊥b 。

6．向量的应用：（1）向量在几何中的应用；（2）向量在物理中的应用。

考题先知：例1． 已知二次函数f （x ）＝x 2－2x ＋6，设向量a ＝（sin x ，2），b ＝（2sin x ，21）， c ＝（cos2x ，1），d ＝（1，2）．当x ∈[0，π]时，不等式f （a·b ）>f （c ·d ）的解集为___________．解：a ·b ＝2sin 2x ＋1≥1， c ·d ＝cos 2x ＋1≥1 ，f （x ）图象关于x ＝1对称，∴f （x ）在（1，＋∞）内单调递增． 由f （a ·b ）>f （c ·d ）⇒a ·b >c ·d ，即2sin 2x ＋1>2cos 2x ＋1，又∵x ∈[0，π] ，∴x ∈（434ππ,）．故不等式的解集为（434ππ,）．例2．求函数y =.分析：由于向量沟通了代数与几何的内在联系，因此本题利用向量的有关知识求函数的值域。

解:因为y =所以构造向量21(2p x =+,21(2q x =-,则y p q =-,而(1,0)p q -=, 所以1y p q p q =-<-=,得11y -<<,另一方面:≥得0y ≥,所以原函数的值域是[0,1).点评：在向量这部分内容的学习过程中，我们接触了不少含不等式结构的式子，如||||||||||||||||||a b a b a b a b a b a b a b +≥-+≤+⋅≤⋅≤⋅，；等。

B．-3
3 C． 5 1 D． 7
b＝ 【跟踪练习】 【江苏省扬州中学月考） 】已知向量 a =(3,4)， （2， －1） ,
2 如果向量 a ＋x b 与－ b 垂直，则实数 x＝ ____. 5
考点 3
【例 3】 【无锡市市北高中 2014 届高三期初考试】已知 a, b, c
1 x 2
.
考点 5 平面向量和三角函数的综合应用问题
【例 5】
tan A 则 tan B ＝
【江苏盐城高三中期】在△BAC
7 3
中，若 (CA CB) AB
2 | AB |2 ， 5
【跟踪练习】 【 江 苏 扬 州 中 学 2013 — 2014 期 中 考 试 模 拟 】 设 向 量 b (cos , sin ) ， a (cos , sin ) ， 其中 0 ，
若 | 2a b || a 2b | ，则 Nhomakorabea.
2
考点 6
平面向量和平面几何的综合问题
【例 6】 【河北衡水中学 2013－2014 学年度上学期二调高三】 在△ABC 所在平面上 有三点 P 、 Q 、 R ，满足 PA PB PC AB , QA QB QC BC ，
RA RB RC CA ， 则△PQR 的面积与△ABC 的面积之比为 （
B
）
A．1：2
B．1：3
C．1：4
D．1：5
P
A
Q
C R B
【跟踪练习】 如图， 矩形 ORTM 内放置 5 个大小相同的正方形， 其中
BD x AE y AF ，则 x 2 y 2

()
A．点 C 在线段 AB 上
B．点 C 在线段 AB 的延长线上且点 B 为线段 AC 的中点
C．点 C 在线段 AB 的反向延长线上且点 A 为线段 BC 的中点
D．以上情况均有可能
uuur uuur [解析] 据题意由于A，B，C三点共线，故由 OC ＝－ OA·x2
－
uuur OB
·2x，可得－x2－2x＝1，解得x＝－1，即
－b 的夹角等于
()
A．－π4
π B.6
π
3π
C.4
D. 4
解析：2a＋b＝(3,3)，a－b＝(0,3)，则 cos〈2a＋b，a－b〉＝ |22aa＋＋bb|··|aa－－bb|＝3 29×3＝ 22，故夹角为π4.
答案：C
4．(2011·辽宁高考)若 a，b，c 均为单位向量，且 a·b＝0，(a－
5．(2011·江西高考)已知两个单位向量 e1，e2 的夹角为π3，若向量 b1 ＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则 b1·b2＝________.
解析：由题设知|e1|＝|e2|＝1，且 e1·e2＝12，所以 b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1 ＋4e2)＝3e21－2e1·e2－8e22＝3－2×12－8＝－6
c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为
()
A. 2－1
B．1
C. 2
D．2
解析：由已知条件，向量a，b，c都是单位向量可以 求出，a2＝1，b2＝1，c2＝1，由a·b＝0，及(a－c)(b－ c)≤0，可以知道，(a＋b)·c≥c2＝1，因为|a＋b－c|2＝ a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c， 所以有|a＋b－c|2＝3－2(a·c＋b·c)≤1， 故|a＋b－c|≤1. 答案：B

所以 c＝ma＋b＝(m＋4,2m＋2)，|a|＝ 5，|b|＝2 5，
所以 a·c＝5m＋8，b·c＝8m＋20.
因为 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，
所以|cc|··a|a|＝|cc|··b|b|，
所以5m＋8＝8m＋20，解得 5 25
m＝2.
(2) 设单位向量 e1，e2，对于任意实数 λ 都有e1＋12e2≤|e1－λe2|成立，则向量 e1， e2 的夹角为________．
3. 在平面四边形 ABCD 中，O 为 BD 的中点，且 OA＝3，OC＝5.若A→B·A→D＝－7， 则B→C·D→C的值是________． 9 解析：B→C·D→C＝(O→C－O→B)·(O→C－O→D)＝(O→C＋O→D)·(O→C－O→D)＝OC2－OD2，类 似地，A→B·A→D＝AO2－OD2＝－7，所以B→C·D→C＝OC2－OD2＝OC2－AO2－7＝9. 思想根源：极化恒等式：a·b＝a＋2 b2－a－2 b2.在△ABC 中，若 M 是 BC 的中点， 则A→B·A→C＝AM2－MC2.其作用是：用线段的长度来计算向量的数量积．
课 后时 作 业
一、 填空题 1. 已知向量 a＝(1，－1)，b＝(6，－4)．若 a⊥(ta＋b)，则实数 t 的值为________．
－5 解析： 因为 a＝(1，－1)，b＝(6，－4)，且 a⊥(ta＋b)，所以 a·(ta＋b)＝0， 即 2t＋10＝0，解得 t＝－5.
2. 已知向量 a＝(1， 3)，b＝( 3，1)，则 a 与 b 夹角的大小为________．
6 解析：(1) 由题意， 2＝A→B·A→C＝A→E＋2E→D·A→E－2E→D＝A→E2－4E→D2， 5＝A→D·A→F＝A→E＋E→D·A→E－E→D＝A→E2－E→D2， 解得A→E2＝6，即|A→E|＝ 6.