专题13 隐圆(含阿氏圆)求最值问题-2022中考数学之二次函数重点题型专题(全国通用版)(解析版)
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专题13 隐圆（含阿氏圆）求最值问题
1．（2020·北京市中考模拟预测）如图，抛物线2815yxx与x轴交于A、B两点，对称轴与x轴交于点C，点(0,2)D，点(0,6)E，点P是平面内一动点，且满足90DPE，M是线段PB的中点，连结CM．则线段CM的最大值是（ ）．
A．3 B．412 C．72 D．5
【答案】C
【分析】
解方程x2−8x＋15＝0得A（3，0），利用抛物线的性质得到C点为AB的中点，再根据圆周角定理得到点P在以DE为直径的圆上，圆心Q点的坐标为（−4，0），接着计算出AQ＝5，⊙Q的半径为2，延长AQ交⊙Q于F，此时AF的最大值为7，连接AP，利用三角形的中位线性质得到CM＝12AP，从而得到CM的最大值．
【详解】
解方程x2−8x＋15＝0得x1＝3，x2＝5，则A（3，0），
∵抛物线的对称轴与x轴交于点C，
∴C点为AB的中点，
∵∠DPE＝90°，
∴点P在以DE为直径的圆上，圆心Q点的坐标为（−4，0），
AQ＝2234＝5，⊙Q的半径为2，
延长AQ交⊙Q于F，此时AF最大，最大值为2＋5＝7，
连接AP，
∵M是线段PB的中点，
∴CM为△ABP为中位线，
∴CM＝12AP， ∴CM的最大值为72．
故选：C．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和圆周角定理．
2．（2021·天津河北·中考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2134yxbx的对称轴是直线2x，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（I）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（II）M为第一象限内抛物线上的一个点，过点M作MNx轴于点N，交BC于点D，连接CM，当线段CMCD时，求点M的坐标；
（III）以原点O为圆心，AO长为半径作O，点P为O上的一点，连接BP，CP，求23PCPB的最小值．
【答案】（I）21(2)44yx，抛物线的顶点坐标为(2,4)；（II）点M的坐标为(2,4)；（III）23PCPB的最小值为285．
【分析】
（1）根据对称轴公式可求得抛物线的解析式，再写出顶点坐标即可
（2）先写出A、B、C的坐标再写出直线BC的解析式，利用两点之间的距离公式列方程即可求解; (3)先证明POGCOP∽，再由当B，P，G三点共线时，PBPG的值最小，最小值即为BG的值，利用勾股定理即可
【详解】
（I）∵22bxa ，14a，
∴1b．
∴抛物线的解析式为2134yxx ．
∴22113(2)444yxxx，
∴抛物线的顶点坐标为(2,4)；
（II）连接CM，过点C作CEMN于点E，
∵2134yxx，令0x，则3y，
∴(0,3)C．
令0y，即21304xx，
解得16x，22x．
∴(2,0)A，(6,0)B．
设直线BC的解析式为ykxb，
将(6,0)B，(0,3)C代入ykxb，
得603kbb，解得123kb，
∴直线BC的解析式为132yx．
∵点M在抛物线上，点D在BC上，MNx轴，
∴设点M的坐标为21,34mmm，点D坐标为1,32mm，
∴2113342MDmmm21342mm． ∵CMCD，3OCEN，
∴122332MDEDmm，
又∵21342MDmm，
∴21342mmm，即(2)0mm，
解得2m或0m（不合题意，舍去），
∴2m，
当2m时，2122344y，
∴点M的坐标为(2,4)．
（III）如图，连接OP，在OC上截取OG，
使得23OGOPOPOC，
连接PG，BG，此时43OG，40,3G．
∵OGOPOPOC，POGCOP，
∴POGCOP∽．
∴23PGOGPCOP，即23PGPC．
∴22333()3PCPBPCPBPBPG．
∴当B，P，G三点共线时，PBPG的值最小，最小值即为BG的值．
∴22224285633BGOGOB，
∴23PCPB的最小值为285．
【点睛】 本题考查抛物线解析式及顶点坐标、有抛物线的对称轴，相似三角形、最值问题、勾股定理，一元二次方程，熟练进行等角的转换是关键
3．（2021·河南·中考试题研究）如图，直线l：33yx与x轴，y轴分别相交于A、B两点，抛物线22yxxb过点B．
（1）该抛物线的函数解析式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M．
①写出点M的坐标；
②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l，当直线l与直线AM重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l与线段BM交于点C，设点B，M到直线l的距离分别为1d，2d，当12dd最大时，求直线l旋转的角度（即BAC的度数）．
【答案】（1）2yx2x3；（2）21525228Sm，S的最大值为258；（3）①5(2，7)4；②45°
【分析】
（1）利用直线l的解析式求出B点坐标，再把B点坐标代入二次函数解析式即可求出b的值；
（2）设M的坐标为2(,23)mmm，然后根据面积关系将ABM的面积进行转化；
（3）①由（2）可知52m，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值；
②可将求12dd最大值转化为求AC的最小值．
【详解】
解：（1）令0x代入33yx，
3y，
(0,3)B，
把(0,3)B代入22yxxb并解得：3b，
二次函数解析式为：2yx2x3；
（2）令0y代入2yx2x3，
2023xx，
1x或3，
抛物线与x轴的交点横坐标为1和3，
M在抛物线上，且在第一象限内，
03m，
令0y代入33yx，
1x，
A的坐标为(1,0)，
由题意知：M的坐标为2(,23)mmm，
221111525312313()222228AOBOBMOAMAOBOAMBSSSSSSmmmm四边形，
当52m时，S取得最大值258．
（3）①由（2）可知：M的坐标为5(2，7)4；
②过点M作直线1//ll，过点B作1BFl于点F，
根据题意知：12ddBF，
此时只要求出BF的最大值即可，
90BFM， 点F在以BM为直径的圆上，
设直线AM与该圆相交于点H，
点C在线段BM上，
F在BMH上，
当F与M重合时，
BF可取得最大值，
此时1BMl，
(1,0)A，(0,3)B，5(2M，7)4，
由勾股定理可求得：10AB，554MB，854MA，
过点M作MGAB于点G，
设BGx，
由勾股定理可得：2222MBBGMAAG，
2285125(10)1616xx，
5108x，
2cos2BGMBGMB，
1//ll，45MBG，
90BCA，
∴45BAC．
【点睛】
本题属于二次函数的综合问题，考查待定系数求二次函数解析式，求三角形面积，圆的相关性质等知识，内容较为综合，学生需要认真分析题目．
4．已知抛物线2yx2x3与x轴交于点A、B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．
（1）如图1，点D为抛物线顶点，以点A为圆心，1为半径作⊙A，点E为⊙A上的动点，连接DE、BE，求12DEBE的最小值；
（2）如图2，若点H是直线AC与抛物线对称轴的交点，以H为圆心，以1为半径作⊙H，点Q是⊙H上一动点，求55OQAQ的最小值；
（3）如图3，点D是抛物线上的点，且横坐标为2，过点D作DEx轴于点E，点P是以O为圆心，1为半径的⊙O上的动点，连接DP、PE，求12PDPE的最大值．
【答案】（1）3054；（2）1855；（3）352
【分析】
（1）先求出3,0A，1,0B，4AB，将拋物线解析式化为顶点式为214yx，得出1,4D，先证明EAFBAE△∽△，推出14EFBE，当D、E、F三点共线时，14DEBEDEEFDF，即14DEBE取得最小值，最小值为DF的长，根据14AF，求出点E坐标为11,04，根据74PF，4DP，求出223054DFPFDP，即可得出14DEBE的最小值；
（2）先求出由直线AC的解析式为3yx，然后求出点H坐标为（1，2），连接OH，与H交于点D，在OH上截取55HNHD，过点N作NEx轴于点E，设抛物线对称轴与x轴交于点F，连接AN交H于点Q，先证明QHNOHQ△∽△，得出55QNHNOQHQ，从而得出55OQAQQNAQ，要使55OQAQ最小，则QNAQ取最小值．即点A、Q、N三点在一条直线上时，值最小，最小值为AN的长，易得直线OH的解析式为2yx，设点N横坐标为x，则其纵坐标为2x，根据5555HNHD，求出545555ONOHHN，根据NEx轴，HFx轴，得出OEONOFOH，求出45x，可得点N坐标为48,55，根据点A的坐标为（3，0），即可求出AN，可得出答案；
（3）先证明四边形OCDE为矩形，在OA上取一点H，使得12OH，连接DH并延长交O于点P，连接EP，证明POHEOP△∽△，得出12PHEP，当点P在DH的延长线上时，
