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2023年中考数学专练--二次函数最值问题的综合

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2023年中考数学专练--二次函数最值问题的综合

1．（1）解方程：（x+1）（x﹣3）＝2x﹣5；

（2）在体质检测时，初三某男生推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是y＝﹣ 112 x2+x+2，求铅球行进的最大高度是多少？

2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC=2OA．

（1）试求抛物线的解析式；

（2）直线y=kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m=

PMDM ，试求m的最大值及此时点P的坐标．

3．某商品的进价为每台20元，当售价为每台30元时，每月可卖出180台，该商品每台售价x元与月销量y台的函数关系如图所示，已知该商场计划涨价销售，但每件售价不高于35元．

（1）求y与x之间的函数关系式； 2 / 24 （2）当售价定为多少元时，商场每月销售该商品所获得的利润最大？最大利润是多少？

4．某超市以每次20元的价格新进一批商品，经市场调研发现该商品每天的销售量 (y 件 ) 与销售价格 (x 元 / 件 )2060x 的关系如图所示．

（1）试确定y与x之间的函数表达式（写出自变量的取值范围）；

（2）若超市一天销售该商品的利润为 W （元），写出W与商品的售价 x （元 / 件）之间的函数表达式；

（3）在（2）的条件下，当销售价格x定为多少时，一天的利润W最大，最大利润是多少？

5．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），连结0A，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．

（1）求点B的坐标；

（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；

（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．（注意：本题中的结果如果有根号均保留根号）

6．某公司购进一种商品的成本为30元/kg，经市场调研发现，这种商品在未来90天的销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的相关信息如图，销售量y（kg）与时间t（天）之间满足一次函数关系，且对应数据如表，设第t天销售利润为w（元）

时间t（天） 10 30

每天的销售量 180 140 3 / 24 y（kg）

（1）分别求出售单价p（元/kg）、销售量y（kg）与时间t（天）之间的函数关系式；

（2）问：销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；

7．如图，抛物线 2yaxbxc 与x轴交于点 (10)A， ，B两点，与y轴交于点 (03)C， ，抛物线的顶点在直线 1x 上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P为第一象限内抛物线上的一个动点，过点P做 PQy 轴交BC于点Q，求线段PQ长度的最大值，及此时点P的坐标；

（3）点M在x轴上，点N在抛物线的对称轴上，若以点M，N，C，B为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．

8．新冠疫情期间，某网店销售的消毒用紫外线灯很畅销，该网店店主结合店铺数据发现日销量 y

（件）是售价 x （元/件）的一次函数，其售价、日销售量、日销售纯利润 W （元）的四组对应值如表：

售价 x （元/件） 150 160 170 180

日销量 y （件） 200 180 160 140

日销售纯利润 W （元） 8000 8800 9200 9200

另外，该网店每日的固定成本折算下来为 2000 元．

注：日销售纯利润=日销售灵  （售价-进价）-每日固定成本

（1）该商品进价是 元/件； 4 / 24 （2）求 y 关于 x 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）当售价 x （元/件）定为多少时，日销售纯利润 W （元）最大，求出最大纯利润．

9．如图，一次函数 122yx 分别交y轴、x 轴于A、B两点，抛物线 2yxbxc 过A、B两点．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t 取何值时，MN有最大值？最大值是多少？

10．用长为20cm的铁丝，折成一个矩形，设它的一边长为xcm，面积为ycm2．

（1）求出y与x的函数关系式．（不写自变量的取值范围）

（2）当边长x为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少？

11．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0），B（1，0）两点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值.

12．随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水 5 / 24 平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米．

（1）请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；

（2）求出水柱的最大高度的多少？

13．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）三点，直线l是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△ACM的周长最短？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

14．2022年玉溪市政府工作报告提出，今后五年玉溪将深入实施“绿色发展、工业强市、共同富裕”核心战略，全力打造滇中嘴起增长极、打造乡村振兴示范区、探索建设共同富裕示范区，奋力普写玉深社会主义现代化建设新篇章．为全面推进乡村振兴，加快农业农村现代化，加快推动农业产业转型升级，市政府加大了种植某经济作物的执持力度．每亩土地每年发放该作物的种植补贴1000元，某农户计划今年承租部分土地种植该作物，经过调查发现．每亩土地种植该作物的成本y（单位：元）与种植面积x（单位：亩）的函数关系如图所示： （1）求y与x的函数解析式（解析式也称关系式）；

（2）受区域位置的限制，该农户承租土地的面积不得超过80亩．若该农户今年销售该作物每亩 6 / 24 的销售额能达到3100元，当种植面积为多少亩时，该农户今年种植该作物的总利润W最大？最大利润是多少？（每亩种植利润＝每亩销售额－每亩种植成本＋每亩种植补贴）

15．某超市以20元/千克的进货价购进了一批绿色食品，如果以30元/千克销售这些绿色食品，那么每天可售出400千克.由销售经验可知，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）（x≥30）存在如图所示的一次函数关系.

（1）试求出y与x的函数关系式；

（2）设该超市销售该绿色食品每天获得利润w元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？

16．如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2.

（1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围；

（2）要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？

（3）当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？

17．如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分c1与经过点A、D、B的抛物线的一部分c2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣ 32 ），点M是抛物线C2：y=mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．

（1）求A、B两点的坐标； （2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的 7 / 24 最大值；若不存在，请说明理由；

（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．

18．某公司对办公大楼一块墙面进行如图所示的图案设计.这个图案由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成的大正方形，设小正方形的边长 m ，直角三角形较短边长 n ，且

24nm ，大正方形的面积为 S .

（1）求 S 关于 m 的函数关系式.

（2）若小正方形边长不大于3，当大正方形面积最大时，求 m 的值.

19．某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．

（1）求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；

（2）应怎样确定销售价，使该品种苹果的每天销售利润最大？最大利润是多少？

20．如图，已知：关于x的二次函数 2yxbxc 的图象与x轴交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)，抛物线的对称轴与x轴交于点D.

（1）求二次函数的表达式； （2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形.若存在，请求出点P的坐标； 8 / 24 （3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积.

9 / 24 答案解析部分

1．【答案】（1）解：整理得，x2﹣4x+2＝0，

a＝1，b＝﹣4，c＝2，

Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×2＝8，

x＝ 422222 ，

∴x1＝2+ 2 ，x2＝2﹣ 2 ．

（2）解：y＝﹣ 112 x2+x+2

＝﹣ 112 （x2﹣12x）+2

＝﹣

112 （x2﹣12x+36﹣36）+2

＝﹣ 112 （x2﹣12x+36）+3+2

＝﹣ 112 （x﹣6）2+5，

∴铅球行进的最大高度是5米．

2．【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，

∴设y=a（x+2）（x﹣4），

∵OC=2OA，OA=2，

∴C（0，4），

代入解析式得到a=﹣ 12 ，

∴y=﹣ 12 （x+2）（x﹣4），

即y=﹣ 12 x2+x+4；

（2）解：如图，作PE△x轴于E，交BC于F，

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2023年九年级数学下册中考数学专题训练：角度问题(二次函数综合)【含答案】

2023年九年级数学下册中考数学专题训练：角度问题(二次函数综合)【含答案】

试卷第1页，共8页2023年九年级数学下册中考数学专题训练：角度问题（二次函数综合）

一、解答题

1．如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y

＝x2+bx+c经过B、C，且与x轴另一交点为4

9

A，连接AC．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点E在抛物线上，连接EC，当∠ECB+∠ACO＝45°时，求点E的横坐标；

(3)点M从点A出发，沿线段AB由A向B运动，同时点N从点C出发沿线段CA由C向A运动，M，N的运动速

度都是每秒1个单位长度，当N点到达A点时，M，N同时停止运动，问在坐标平面内是否存在点D，使M，N

运动过程中的某些时刻t，以A，D，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理

由．

2．已知抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-6，0）、B（2，0）和C（0，3），点D是该抛物线在第四象限上的一个点，

连接 AD、AC、CD，CD 交x轴于E．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）当S△DAE=S△ACD时，求点 D的坐标；1

4

（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得△PAD中的一个角等于2∠BAD?若存在，直接写出点P 的

坐标；若不存在，请说明理由．

3．如图1，直线y=ax²+4ax+c与x轴交于点A（-6，0）和点B，与y轴交于点C，且OC=3OB试卷第2页，共8

页(1)直接写出抛物线的解析式及直线AC的解析式；

(2)抛物线的顶点为D，F为抛物线在第四象限的一点，直线AF解析式为，求∠CAF-∠CAD

的度数．1

2

3yx

(3)如图2，若点P是抛物线上的一个动点，作PQ⊥y轴垂足为点Q，直线PQ交直线AC于E，再过点E作x轴的

垂线垂足为R，线段QR最短时，点P的坐标及QR的最短长度．

4．已知顶点为A(2，一1)的抛物线与y轴交于点B，与x轴交于C、D两点，点C坐标(1，O)；

(1)求这条抛物线的表达式；

(2)连接AB、BD、DA，求cos∠ABD的大小；

中考数学二次函数专题复习超强整理

中考数学二次函数专题复习超强整理

初三——二次函数归类复习

一、二次函数与面积

面积的求法：①公式法：S=1/2*底*高 ②分割法/拼凑法

1、说出如何表示各图中阴影部分的面积？

x y

O M

E

N

A

图五 O x y

D C

图四 x y

O D C

E B

图六 P

x y

O A B

D

图二 E

x y

O A B

C 图一 x y

O A B

图三

2、抛物线322xxy与x轴交与A、B（点A在B右侧），与y轴交与点C， D为抛物线的顶点，连接BD，CD，

（1）求四边形BOCD的面积.

（2）求△BCD的面积.（提示：本题中的三角形没有横向或纵向的边，可以通过添加辅助线进行转化，把你想到的思路在图中画出来，并选择其中的一种写出详细的解答过程）

3、已知抛物线4212xxy与x轴交与A、C两点，与y轴交与点B，

（1）求抛物线的顶点M的坐标和对称轴；

（2）求四边形ABMC的面积.

4、已二次函数322xxy与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，顶点为P.

（1）结合图形，提出几个面积问题，并思考解法；

（2）求A、B、C、P的坐标，并求出一个刚刚提出的图形面积；

（3）在抛物线上（除点C外），是否存在点N，使得ABCNABSS,

若存在，请写出点N的坐标；若不存在，请说明理由。

变式一：在抛物线的对称轴上是否存点N，使得ABCNABSS，若存在直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由.

A

xy

B O

C

变式一图 C

P x O A B y

变式二：在双曲线3yx上是否存在点N，使得ABCNABSS，若存在直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由.

5、抛物线322xxy与x轴交与A、B（点A在B右侧），与y轴交与点C，若点E为第二象限抛物线上一动点， 点E运动到什么位置时，△EBC的面积最大,并求出此时点E的坐标和△EBC的最大面积．

2023年中考高频数学专题突破--二次函数的最值问题(含解析)

2023年中考高频数学专题突破--二次函数的最值问题(含解析)

2023年中考高频数学专题突破--二次函数的最值问题

1．永嘉某商店试销一种新型节能灯，每盏节能灯进价为18元，试销过程中发现，每周销量y（盏）与销售单价x（元）之间关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100．（利润=售价﹣进价）

（1）写出每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间函数解析式；

（2）当销售单价定为多少元时，这种节能灯每周能够获得最大利润？最大利润是多少元？

（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于30元．若商店想要这种节能灯每周获得350元的利润，则销售单价应定为多少元？

2．经市场调查，某种商品在第x天的售价与销量的相关信息如下表；已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y元．

（1）求出y与x的函数关系式

（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？

．

3．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．

（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；

（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？

4．小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现：每月的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间的关系可近似地看作一次函数y＝－10x＋500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%.

（1）设小明每月获得利润为w(元)，求每月获得利润w(元)与销售单价x(元/件)之间的函数表达式，并确定自变量x的取值范围；

（2）当销售单价定为多少元/件时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？

5．自2020年3月开始，我国生猪、猪肉价格持续上涨，某大型菜场在销售过程中发现，从2020年10月1日起到11月9日的40天内，猪肉的每千克售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示：猪肉的进价与上市时间的关系用图2的一段抛物线

2023年九年级中考高频数学专题练习--二次函数的最值问题

2023年九年级中考高频数学专题练习--二次函数的最值问题

2023年中考高频数学专题练习--二次函数的最值问题

1．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定的价格进行试销，通过对5天的试销情况进行统计,得到如下数据：

单价x（元/件） 30 34 38 40 42

销量y（件） 40 32 24 20 16

（1）通过对上面表格中的数据进行分析，发现销量 y （件）与单价 x （元/件）之间存在一次函数关系，求

y 关于 x 的函数关系式（不需要写出函数自变量的取值范围）；

（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然存在（1）中的关系，且该产品的成本是20元/件.为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少?

2．如图，已知抛物线 23yaxbx 经过 3,0A ， 1,0B 两点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）求 DBC 的周长；

（3）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求 PBC 周长的最小值.

3．若二次函数 214yaxxb 与 224ybxxa 均有最最小值，记 1y ， 2y 的最小值分别为m，n.

（1）若 4a ， 1b ，求m，n的值.

（2）若 0mn ，求证：对任意的实数 x ，都有 120yy .

（3）若m，n均大于0，且 2mn ，记M为m，n中的较大者，求M的最小值.

4．某书店经营某出版社的同步辅导书，购进时的单价是30元，根据市场调查：销售单价是40元时，销售量是600本，而销售单价每涨1元，就会少售出10本书.

（1）设辅导书的销售单价为x元（x＞40），写出销售利润y与销售单价x之间的函数关系式；

（2）若书店获得了10000元销售利润，求该辅导书的销售单价x应定为多少元？

（3）若书店想获得最大利润，应将销售价格定为多少？

5．某商场试销一种成本为每件50元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=kx+b，且x=60时，y=50；x=70时，y=40．