2023年中考数学高频考点-二次函数的最值问题

试卷第1页，共7页 2023年中考数学高频考点-二次函数的最值问题

1．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级新疆师范大学附属中学校考期中）用一根长20 cm的铁丝围矩形．

(1)若围成的矩形的面积是16 cm2，求该矩形的长和宽；

(2)当长和宽分别为多少时，该矩形的面积最大？最大面积是多少？

2．（2022秋·广西柳州·九年级统考阶段练习）如图，根据防疫的相关要求，学生入校需晨检，体温超标的同学须进入临时隔离区进行留观．我校要建一个长方形临时隔离区，隔离区的一面利用学校边墙（墙长4.5米），其它三面用防疫隔离材料搭建，与墙垂直的一边还要开一扇1米宽的进出口（不需材料），共用防疫隔离材料8米，

（1）若面积为10平方米，隔离区的长和宽分别是多少米？

（2）隔离区的面积有最大值吗？最大为多少平方米？

3．（2022秋·湖北襄阳·九年级统考期末）某商家出售一种商品的成本价为20元/千克，市场调查发现，该商品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：280yx．设这种商品每天的销售利润为w元．

(1)求w与x之间的函数关系式；

(2)该商品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

(3)如果物价部门规定这种商品的销售价不高于每千克28元，该商家想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？

4．（2022·山东日照·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx+3m，点A（3，0）． 试卷第2页，共7页

(1)当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；

(2)证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；

(3)在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设S=S△PAM－S△BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．

5．（2022春·四川绵阳·八年级校联考期末）大学生小张利用暑假50天在一超市勤工俭学，被安排销售一款成本为40元/件的新型商品，此类新型商品在第x天的销售量y件与销售的天数x的关系如表：

(x天) 1 2 3  50

y 118 116 114  20

销售单价(m元/件)与x满足：当124x时，60mx；当2450x时，85m．

(1)直接写出销售量y与x的函数关系．

(2)这50天中，该超市第几天获得利润最大？最大利润为多少元？

(3)若超市每卖一件商品就捐赠(10)aa元给希望工程，实际上，前24天扣除捐赠后的日销售利润随x的增大而增大，求a的取值范围．

6．（2022秋·北京·九年级校考期中）在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线230yaxbxa. 试卷第3页，共7页

(1)若抛物线过点43，.

①求该抛物线的对称轴；

①已知0m，当222mxm时，15y，求a的值.

(2)若14Ay，，22By，，31Cy，在抛物线上，且满足312yyy，当抛物线对称轴为直线xt时，直接写出t的取值范围.

7．（2023秋·天津河西·九年级校考期末）已知抛物线243yxx

(1)求这条抛物线与x轴的交点的坐标；

(2)当0y时，直接写出x的取值范围；

(3)当13x时，直接写出y的取值范围．

8．（2022·广东·模拟预测）如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数kyx（x＞0）的图象交于点A（m，3）和B（3，1）．

（1）填空：一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ；

（2）请直接写出不等式组kx≤﹣x+b的解集是 ；

（3）点P是线段AB上一点，过点P作PD①x轴于点D，连接OP，若①POD的面积为S，求S的最大值和最小值． 试卷第4页，共7页

9．（2022·辽宁抚顺·统考中考真题）某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？

10．（2021秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）某水果超市经销一种高档水果，进价每千克40元．

(1)若按售价为每千克50元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，超市决定采取适当的涨价措施，但超市规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该超市希望每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？

(2)在（1）的基础上，利用函数关系式求出每千克水果涨价多少元时，超市每天可获得最大利润？最大利润是多少？

11．（2022·辽宁锦州·中考真题）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现．，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．

(1)求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；

(2)若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？ 试卷第5页，共7页 (3)设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？

12．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期末）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．

(1)求出每天的销售利润y（元）与降价x（元）之间的函数关系式；

(2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少?

13．（2023秋·吉林长春·九年级统考期末）用长为6米的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，设矩形窗框的宽为x米，窗框的透光面积为S平方米.（铝合金型材宽度不计）

(1)求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围．

(2)直接写出S的最大值．

14．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）某商店销售一种成本为40元千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500kg，销售价每涨价1元，月销售量就减少10kg．

(1)当销售单价为55元时，计算月销售量和销售利润；

(2)当售价定为多少元时，会获得最大利润?求出最大利润．

15．（2022春·江苏·九年级期末）已知二次函数222(0)yaxaxa．

(1)二次函数图象的对称轴是 ；

(2)当21x时，y的最大值与最小值的差为3，求该二次函数的表达式．

试卷第6页，共7页 16．（2022秋·湖北黄石·九年级黄石市有色中学校考开学考试）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+px+q的图象过点（－2，4），（1，－2）．

(1)求该二次函数的解析式；

(2)当－1≤x≤3时，求y的最大值与最小值的差；

(3)若一次函数y=（2－m）x+2－m的图象与二次函数y=x2+px+q的图象交点的横坐标分别为a和b，且a<3

17．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）如图，已知抛物线2yaxbxc（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．

(1)若直线y＝mx+n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使MA+MC的值最小，求点M的坐标；

(3)设P为抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，求使①BPC为直角三角形的点P的坐标．

18．（2023秋·河北保定·九年级校考期末）已知y是x的二次函数，该函数的图像经过点0,5A、1,2B、3,2C；

(1)求该二次函数的表达式；

(2)结合图像，回答下列问题：

①当14x时，y的取值范围是_____；

①当3mxm时，求y的最大值（用含m的代数式表示）；

①是否存在实数m、n（其中2mn＜＜），使得当mxn时，myn若存在，请求出m、n；若不存在，请说明理由．

19．（2022秋·广东中山·九年级统考期中）为进一步落实“双减增效”政策，某校增设活动拓展课程——开心农场．如图，准备利用现成的一堵“L”字形的墙面（粗线ABC表示墙面，已知ABBC，3AB米，1BC米）和总长为14试卷第7页，共7页 米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场DBEF（细线表示篱笆，小型农场中间GH也是用篱笆隔开），点D可能在线段AB上（如图1），也可能在线段BA的延长线上（如图2），点E在线段BC的延长线上．

(1)当点D在线段AB上时，

①设DF的长为x米，请用含x的代数式表示EF的长；

①若要求所围成的小型农场DBEF的面积为12平方米，求DF的长；

(2)DF的长为多少米时，小型农场DBEF的面积最大?最大面积为多少平方米?

20．（2022·湖北武汉·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2=23yxx的顶点为A，与y轴交于点C，线段CBx∥轴，交该抛物线于另一点B．

(1)求点B的坐标及直线AC的解析式：

(2)当二次函数2=23yxx的自变量x满足2mxm时，此函数的最大值为p，最小值为q，且2pq．求m的值：

(3)平移抛物线2=23yxx，使其顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围．