下载文档原格式
人教版初中数学八年级下册《勾股定理》教学设计一. 教材分析人教版初中数学八年级下册《勾股定理》是本册教材中的重要内容，主要让学生了解勾股定理的内容，学会运用勾股定理解决实际问题。
本节课的内容是在学生已经掌握了三角形性质、平方根等知识的基础上进行学习的，为后续学习相似三角形、解直角三角形等知识打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了三角形性质、平方根等知识，具备了一定的逻辑思维能力和数学运算能力。
但部分学生对抽象的数学概念理解不够深入，对数学的实际应用能力有待提高。
因此，在教学过程中，要注重引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，掌握勾股定理，提高解决问题的能力。
三. 教学目标1.了解勾股定理的内容，掌握勾股定理的应用。
2.培养学生的观察能力、操作能力、思考能力和解决问题的能力。
3.激发学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神和合作意识。
四. 教学重难点1.重点：勾股定理的内容及其应用。
2.难点：勾股定理的证明和灵活运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例，引导学生观察、思考，激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法：教师提问，引导学生主动探究，培养学生的问题解决能力。
3.合作学习法：分组讨论，让学生在合作中交流，提高学生的团队协作能力。
4.实践操作法：让学生动手操作，加深对勾股定理的理解。
六. 教学准备1.准备相关的生活实例和图片，用于导入和新课呈现。
2.准备课件，展示勾股定理的证明过程。
3.准备练习题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如房屋建筑、家具摆放等，引导学生观察、思考，引出勾股定理。
展示勾股定理的图片，让学生初步了解勾股定理。
2.呈现（10分钟）介绍勾股定理的内容，讲解勾股定理的证明过程。
引导学生通过观察、操作、思考，理解并掌握勾股定理。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，运用勾股定理解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
勾股定理【教学目标】1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
【教学重难点】1．勾股定理的内容及证明。
2．勾股定理的证明。
【教学过程】一、课堂引入目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。
我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。
这个事实可以说明勾股定理的重大意义。
尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。
让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。
”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5．再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。
你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2．对于任意的直角三角形也有这个性质吗？二、例习题分析1．已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A．∠B．∠C的对边为a．b．C．求证：a2＋b2=c2．分析：（1）让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。
（2）拼成如图所示，其等量关系为：4S △+S 小正=S 大正4×ab ＋（b －a ）2=c 2，化简可证。
21（3）发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。
（4）勾股定理的证明方法，达300余种。
这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。
课题勾股定理的应用课型复习课课题勾股定理的应用---折叠问题课时 3 日期2022.4.21.教学内容解析:勾股定理是第十七章的内容，它指出了直角三角形三边之间的数量关系，这就搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁，从而发挥了重要的作用。
勾股定理不仅在平面几何中是重要的定理，而且在三角形、解析几何、微积分中都是理论基础，没有勾股定理，就难以建立起整个数学的大厦。
因此，勾股定理不仅被认为是平面几何中最重要的定理之一，也被认为是数学中最重要的定理之一。
课程标准（2011年版）指出，要想培养学生的空间观念，关键是要让学生会描述图形的运动和变化。
图形的运动有平移、旋转、折叠等。
由于折叠问题题型多样，变化灵活，在解决有关的折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质、考查学生的空间想象能力和动手操作能力，所以是近几年中考试题的热点题型。
在勾股定理的学习过程中，应用勾股定理求线段长度则是勾股定理章节学习的重点，而求折叠问题中线段长度则是勾股定理章节中的难点，为此对勾股定理应用---折叠专题的深度学习，就尤为重要，本专题蕴含了大量的数学思想，如转化思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想，因而本节课能够培养学生的数学思想，为学生后续学习数学奠定基础。
2.学情分析：在本节课之前同学们已经系统地学习了轴对称性质、勾股定理，因此学生具备了应用勾股定理求解在折叠问题中线段长度的知识基础。
.但学生们对于勾股定理应用---折叠问题，仅限于纸上谈兵。
在这里本节课将进一步加深学生对折叠的认识。
加强应用勾股定理求线段长度的能力以及解决问题的能力。
3.目标确定：1. 我能正确地运用勾股定理建立方程求解折叠问题中线段的长度。
（重点、难点）2.我能在探索勾股定理解决折叠问题的方法中，体会数形结合、转化和方程的思想方法，进一步发展说理和简单推理的意识及能力。
3. 我能通过先独立思考再合作交流的过程，培养独立思考以及合作交流能力。
17.1.3 勾股定理的作图及典型计算（导学案）一、导学目标1.理解勾股定理的概念和原理；2.学会使用勾股定理解决实际问题；3.掌握勾股定理的作图方法。
二、知识回顾勾股定理是数学中一个重要的几何定理，它描述了直角三角形中两条直角边的长度关系。
勾股定理表达式如下：c2=a2+b2其中，c 为直角边，a 和 b 分别为另外两条直角边。
在实际问题中，我们常常需要使用勾股定理来求解未知边长或边长之间的关系，这就需要我们学会正确作图并运用勾股定理进行计算。
三、作图方法在求解直角三角形问题时，我们常常需要先作图，确保理解清楚图形关系。
以下是一些勾股定理的典型作图方法：1. 已知两边，求斜边若已知直角三角形的两条直角边的长度 a 和 b，我们可以按照以下步骤作图：（1）在纸上画出一条水平直线段 AB，长度为 a；（2）在 A 点上方作一条垂直直线段 AC，长度为 b；（3）连结 B 点和 C 点，得到直角三角形 ABC；（4）测量线段 BC 的长度，即为直角三角形的斜边。
2. 已知斜边和一条直角边，求另一条直角边若已知直角三角形的斜边 c 和一条直角边 a，我们可以按照以下步骤作图：（1）在纸上画出一条水平直线段 AB，长度为 a；（2）在 B 点上方作一条垂直直线段 BC，长度为 c；（3）连结 A 点和 C 点，得到直角三角形 ABC；（4）测量线段 AC 的长度，即为直角三角形的另一条直角边。
注意事项：•在作图过程中，应保持尺子与直线平行，以保证测量的准确性；•作图时尽量使用剩余的空白纸面，以便更好地测量线段长度。
四、典型计算例题 1已知一个直角三角形，其中一条直角边的长度为 3 cm，斜边的长度为 5 cm，请计算另一条直角边的长度。
解题步骤：1.根据已知条件，作图，画出直角三角形 ABC；2.连结 A 点和 C 点；3.测量线段 AC 的长度。
解答：根据作图，连接 A 和 C 点后，我们测量线段 AC 的长度为 4 cm。
1第十七章 勾股定理教材简析本章的内容包括：勾股定理、勾股定理的逆定理．本章的内容包括：勾股定理、勾股定理的逆定理．本章主要研究并揭示直角三角形三边之间的关系的勾股定理与勾股定理的逆定理．勾股定理是一个著名的几何定理，在西方也被称为毕达哥斯拉定理．勾股定理有几百种证明方法，本章主要介绍的是我国古代数学家赵爽的证明方法，这种方法利用直角三角形的面积与正方形的面积关系，数形结合，直观、简洁．勾股定理在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用．本章是直角三角形相关知识的延续，同时也让学生进一步认识无理数，充分体现了数学知识的紧密相关性、连续性．在中考中，主要考查勾股定理及三角形判别条件的应用，常与三角形的其他知识结合考查．三角形的其他知识结合考查．教学指导【本章重点】勾股定理，勾股定理的逆定理．勾股定理，勾股定理的逆定理． 【本章难点】勾股定理的证明，勾股定理的应用．勾股定理的证明，勾股定理的应用． 【本章思想方法】1．体会转化思想，体会转化思想，如：如：如：应用勾股定理将实际问题转化成数学模型，应用勾股定理将实际问题转化成数学模型，应用勾股定理将实际问题转化成数学模型，从而构造直角三角形从而构造直角三角形求解．求解．2．体会和掌握方程思想，如：利用勾股定理求线段长时，往往需要列方程求解．．体会和掌握方程思想，如：利用勾股定理求线段长时，往往需要列方程求解．课时计划17.1 勾股定理3课时课时17.2 勾股定理的逆定理1课时课时17.1 勾股定理第1课时 勾股定理及其证明教学目标一、基本目标 【知识与技能】1．了解勾股定理的发现过程．．了解勾股定理的发现过程． 2．掌握勾股定理的内容．．掌握勾股定理的内容． 3．会用面积法证明勾股定理．．会用面积法证明勾股定理． 【过程与方法】经历观察—猜想—归纳—验证等一系列过程，体会数学定理发现的过程；在观察、猜想、归纳、验证等过程中培养学生的数学语言表达能力和初步的逻辑推理能力．归纳、验证等过程中培养学生的数学语言表达能力和初步的逻辑推理能力．【情感态度与价值观】通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习兴趣；在探究活动中，体验解决问题的方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神．问题的方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神．二、重难点目标 【教学重点】勾股定理的探究及证明．勾股定理的探究及证明． 【教学难点】掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题．掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题．教学过程环节1 自学提纲，生成问题自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P22～P24的内容，完成下面练习．的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2.2．(1)教材P23“探究”，如图，每个方格的面积均为1，请分别算出图中正方形A 、B 、C 、A ′、B ′、C ′的面积．′的面积．解：A的面积＝4；B的面积＝9；C的面积＝52－4×12×(2×3)＝13；所以A＋B＝C.A′＝9；B′＝25；C′＝82－4×12×(5×3)＝34；所以A′＋B′＝C′所以直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方．(2)阅读、理解教材P23～P24“赵爽弦图”证明勾股定理．“赵爽弦图”证明勾股定理．解：朱实＝12ab；黄实＝(a－b)2；正方形的面积＝4朱实＋黄实＝(a－b)2＋12ab×4＝a2＋b2－2ab＋2ab＝a2＋b2.又正方形的面积＝c2，所以a2＋b2＝c2，即直角三角形两直角边的平方和等于第三边的平方．环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再作三个边长分别为a、b、c的正方形，将它们像下图所示拼成两个正方形．的正方形，将它们像下图所示拼成两个正方形．证明：a2＋b2＝c2.图1 图2【互动探索】(引发学生思考)从整体上看，这两个正方形的边长都是a＋b，因此它们的面积相等．我们再用不同的方法来表示这两个正方形的面积，即可证明勾股定理． 【证明】由图易知，这两个正方形的边长都是a＋b，∴它们的面积相等．又∵左边的正方形面积可表示为a2＋b2＋12ab×4，右边的正方形面积可表示为c2＋12ab×4，∴a2＋b2＋12ab×4＝c2＋12ab×4，∴a2＋b2＝c2.【互动总结】(学生总结，老师点评)通过对拼接图形的面积的不同表示方法，建立相等关系，从而验证勾股定理．【例2】 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b为两直角边，c为斜边．为斜边．(1)若a＝3，b＝4，则c2＝____，c＝____；(2)若a ＝6，b ＝8，则c2＝____，c ＝____；(3)若c ＝41，a ＝9，则b ＝____； (4)若c ＝17，b ＝8，则a ＝____.【互动探索】(引发学生思考)根据勾股定理求解．【分析】(1)c 2＝a 2＋b 2＝32＋42＝25，则c ＝5.(2) c 2＝a 2＋b 2＝62＋82＝100，则c ＝10.(3) 因为c 2＝a 2＋b 2，所以b ＝c 2－a 2＝412－92＝40.(4)因为c 2＝a 2＋b 2，所以a ＝c 2－b 2＝172－82＝15.【答案】(1)25 5 (2)100 10 (3)40 (4)15【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a 、b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2.a 2＋b 2＝c 2的常用变形b ＝c 2－a 2，a ＝c 2－b 2.活动2 巩固练习(学生独学)1．在△ABC 中，∠C ＝90°若 a ＝5，b ＝12，则，则c ＝13；若c ＝41，a ＝9，则b ＝40. 2．等腰△ABC 的腰长AB ＝10 cm ，底BC 为16 cm ，则底边上的高为6_cm ，面积为48_cm 2. 3．已知在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c . (1)若a ＝1，b ＝2，求c ； (2)若a ＝15，c ＝17，求b .解：(1)根据勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2＝12＋22＝5.∵c >0，∴c ＝ 5. (2)根据勾股定理，得b 2＝c 2－a 2＝172－152＝64.∵b >0，∴b ＝8. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】在△ABC 中，AB ＝20，AC ＝15，AD 为BC 边上的高，且AD ＝12，求△ABC 的周长．的周长．【互动探索】应考虑高AD 在△ABC 内和△ABC 外的两种情形．【解答】当高AD 在△ABC 内部时，如图1.在Rt △ABD 中，由勾股定理，得BD 2＝AB 2－AD 2＝202－122＝162，∴BD ＝16.在Rt △ACD 中，由勾股定理，得CD 2＝AC 2－AD 2＝152－122＝81，∴CD ＝9.∴BC ＝BD ＋CD ＝25，∴△ABC 的周长为25＋20＋15＝60.当高AD 在△ABC 外部时，如图2.同理可得，BD ＝16，CD ＝9.∴BC ＝BD －CD ＝7，∴△ABC 的周长为7＋20＋15＝42.综上所述，△ABC 的周长为42或60.图1图2【互动总结】(学生总结，老师点评)题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高AD 在△ABC 内的情形，忽视高AD 在△ABC 外的情形．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2.练习设计请完成本课时对应练习！请完成本课时对应练习！第2课时 勾股定理的应用教学目标一、基本目标 【知识与技能】能运用勾股定理解决有关直角三角形的简单实际问题．能运用勾股定理解决有关直角三角形的简单实际问题． 【过程与方法】经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用的条件．经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用的条件． 【情感态度与价值观】培养合情推理能力，体会数形结合的思维方法，激发学习热情．培养合情推理能力，体会数形结合的思维方法，激发学习热情． 二、重难点目标 【教学重点】 勾股定理的简单应用．勾股定理的简单应用．【教学难点】运用勾股定理建立直角三角形模型解决有关问题．运用勾股定理建立直角三角形模型解决有关问题．教学过程环节1 自学提纲，生成问题自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P25的内容，完成下面练习．的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．勾股定理的内容是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 2．在△ABC 中，∠C ＝90°90°..若BC ＝6，AB ＝10，则AC ＝8. 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5 cm ，BC ＝3 cm ，CD ⊥AB 于点D ，求CD 的长．的长．【互动探索】(引发学生思考)观察图形：“多直角三角形嵌套”图形→已知边长，求高CD →利用等面积法求解．【解答】∵△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，AB ＝5 cm ，BC ＝3 cm ， ∴由勾股定理，得AC ＝AB 2－BC 2＝4 cm. 又∵S △ABC ＝12AB ·CD ＝12AC ·BC ，∴CD ＝AC ·BC AB ＝4×35＝125(cm)．【互动总结】(学生总结，老师点评)由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，这个规律也称“弦高公式”，它常与勾股定理联合使用．【例2】 如图，侦察员小王在距离东西向公路400 m 处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶．他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400 m,10 s 后，汽车与他相距500 m ，你能帮小王算出敌方汽车的速度吗？你能帮小王算出敌方汽车的速度吗？【互动探索】(引发学生思考)要求敌方汽车的速度，需要算出BC的长．在Rt△ABC中利用勾股定理即可求得BC.【解答】由勾股定理，得AB2＝BC2＋AC2，即5002＝BC2＋4002，所以BC＝300 m.故敌方汽车10 s行驶了300 m，所以它1 h行驶的距离为300×6×60＝108 000(m)，即敌方汽车的速度为108 km/h.【互动总结】(学生总结，老师点评)用勾股定理解决实际问题的关键是建立直角三角形模型，再代入数据求解．活动2 巩固练习(学生独学)1．等腰三角形的腰长为13 cm，底边长为10 cm，则它的面积为( D )A．30 cm2 B．130 cm2C．120 cm2 D．60 cm260cm.2．直角三角形两直角边长分别为5 cm、12 cm，则斜边上的高为133．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达地点B 200 m，结果他在水中实际游了520 m，求该河流的宽度为多少？，求该河流的宽度为多少？解：根据图中数据，运用勾股定理，得AB＝AC2－BC2＝5202－2002＝480(m)． 即该河流的宽度为480 m.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图1，长方体的高为3 cm，底面是正方形，边长为2 cm，现有绳子从D出发，底面是正方形，边长为沿长方体表面到达B′点，问绳子最短是多少厘米？′点，问绳子最短是多少厘米？图1图2图3【互动探索】可把绳子经过的面展开在同一平面内，有两种情况，分别计算并比较，得到的最短距离即为所求．【解答】如图2，由题易知，DD ′＝3 cm ，B ′D ′＝2×2＝4(cm)．在Rt △DD ′B ′中，由勾股定理，得B ′D 2＝DD ′2＋B ′D ′ 2＝32＋42＝25； 如图3，由题易知，B ′C ′＝2 cm ，C ′D ＝2＋3＝5 (cm)．在Rt △DC ′B ′中，由勾股定理，得B ′D 2＝B ′C ′2＋C ′D 2＝22＋52＝29. 因为29>25，所以第一种情况绳子最短，最短为5 cm.【互动总结】(学生总结，老师点评)此类题可通过侧面展开图，将要求解的问题放在直角三角形中，问题便迎刃而解．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)勾股定理的简单运用：(1)由直角三角形的任意两边的长度，可以应用勾股定理求出第三边的长度．(2) 用勾股定理解决实际问题的关键是建立直角三角形模型，再代入数据求解．用勾股定理解决实际问题的关键是建立直角三角形模型，再代入数据求解．练习设计请完成本课时对应练习！请完成本课时对应练习！第3课时 利用勾股定理表示无理数教学目标一、基本目标 【知识与技能】进一步熟悉勾股定理的运用，掌握用勾股定理表示无理数的方法．进一步熟悉勾股定理的运用，掌握用勾股定理表示无理数的方法． 【过程与方法】通过探究用勾股定理表示无理数的过程，锻炼了学生动手操作能力、分类比较能力、讨论交流能力和空间想象能力．论交流能力和空间想象能力．【情感态度与价值观】让学生充分体验到了数学思想的魅力和知识创新的乐趣，体会数形结合思想的运用． 二、重难点目标 【教学重点】探究用勾股定理表示无理数的方法．探究用勾股定理表示无理数的方法． 【教学难点】会用勾股定理表示无理数．会用勾股定理表示无理数．教学过程环节1 自学提纲，生成问题自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P26～P27的内容，完成下面练习．的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．勾股定理的内容是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 2．教材P27，利用勾股定理在数轴上画出表示1，2，3，4，…的点．，…的点．3.13的线段是直角边为正整数3,2的直角三角形的斜边．的直角三角形的斜边．环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是( )A．5＋1 B．－5＋1C．5－1 D． 5【互动探索】(引发学生思考)先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A点的坐标．【分析】图中的直角三角形的两直角边为1和2，∴斜边长为12＋22＝5，∴－1到A的距离是5，那么点A所表示的数为5－1.故选C．【答案】C【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A 的位置，再根据A 的位置来确定a 的值．活动2 巩固练习(学生独学)1．小明学了利用勾股定理在数轴上找一个无理数的准确位置后，小明学了利用勾股定理在数轴上找一个无理数的准确位置后，又进一步进行练习：又进一步进行练习：首先画出数轴，先画出数轴，设原点为点设原点为点O ，在数轴上的2个单位长度的位置找一个点A ，然后过点A 作AB ⊥OA ，且AB ＝3.以点O 为圆心，OB 为半径作弧，设与数轴右侧交点为点P ，则点P 的位置在数轴上( C )A ．1和2之间之间B ．2和3之间之间C ．3和4之间之间D ．4和5之间之间2．如图，OP ＝1，过P 作PP 1⊥OP 且PP 1＝1，根据勾股定理，得OP 1＝ 2 ；再过P 1作P 1P 2⊥OP 1且P 1P 2＝1，得OP 2＝ 3；又过P 2作P 2P 3⊥OP 2且P 2P 3＝1，得OP 3＝2；….依此继续，得OP 2018＝2019，OP n ＝n ＋1(n 为自然数，且n ＞0)．3．利用如图4×4的方格，作出面积为8平方单位的正方形，然后在数轴上表示实数8和－8.解：面积为8平方单位的正方形的边长为8，8是直角边长为2,2的两个直角三角形的斜边长，画图如下：活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，每个小格的顶点叫做格点，以以格点为顶点分别按下列要求画三角形．格点为顶点分别按下列要求画三角形．(1)在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数； (2)在图2中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数；中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数； (3)在图3中，画一个正方形，使它的面积是10.【互动探索】(1)利用勾股定理，找长为有理数的线段，画三角形即可；(2)先找出几个能构成勾股数的无理数，再画出来即可，如画一个边长2，22， 10的三角形；(3)画一个边长为10的正方形即可．【解答】(1)直角三角形的三边分别为3,4,5 ，如图1. (2)直角三角形的三边分别为2，22， 10，如图2. (3)画一个边长为10的正方形，如图3.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了格点三角形的画法，需仔细分析题意，结合图形，利用勾股定理和正方形的性质即可解决问题．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评) 利用勾股定理表示无理数．利用勾股定理表示无理数．练习设计请完成本课时对应练习！请完成本课时对应练习！17.2 勾股定理的逆定理教学目标一、基本目标【知识与技能】掌握勾股定理的逆定理，并能进行简单运用；理解互逆命题的有关概念．掌握勾股定理的逆定理，并能进行简单运用；理解互逆命题的有关概念． 【过程与方法】经历探索直角三角形的判定条件过程，理解勾股定理的逆定理．经历探索直角三角形的判定条件过程，理解勾股定理的逆定理． 【情感态度与价值观】激发学生解决问题的愿望，体会勾股定理逆向思维所获得的结论，明确其应用范围和实际价值．际价值．二、重难点目标 【教学重点】掌握勾股定理的逆定理，勾股数，理解互逆命题的有关概念．掌握勾股定理的逆定理，勾股数，理解互逆命题的有关概念． 【教学难点】利用勾股定理的逆定理解决问题．利用勾股定理的逆定理解决问题．教学过程环节1 自学提纲，生成问题自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P31～P33的内容，完成下面练习．的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．(1)勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2＝c 2. (2)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2＋b 2＝c 2；那么这个三角形是直角三角形．2．能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．3．两个命题的题设、两个命题的题设、结论整好相反，结论整好相反，结论整好相反，我们把像这样的两个命题叫做我们把像这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立．4．一般地，一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，那么它也是一个定理，那么它也是一个定理，称这两个称这两个定理互为逆定理．环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】判断满足下列条件的三角形是否是直角三角形．判断满足下列条件的三角形是否是直角三角形． (1)在△ABC 中，∠A ＝20°，∠B ＝70°； (2)在△ABC 中，AC ＝7，AB ＝24，BC ＝25；(3)△ABC 的三边长a 、b 、c 满足(a ＋b )(a －b )＝c 2.【互动探索】(引发学生思考)分别已知三角形的边和角，如何判定一个三角形是直角三角形呢？【解答】(1)在△ABC 中，∵∠A ＝20°，∠B ＝70°， ∴∠C ＝180°－∠A －∠B ＝90°， 即△ABC 是直角三角形．是直角三角形．(2)∵AC 2＋AB 2＝72＋242＝625，BC 2＝252＝625， ∴AC 2＋AB 2＝BC 2.根据勾股定理的逆定理可知，△ABC 是直角三角形．是直角三角形． (3)∵(a ＋b )(a －b )＝c 2， ∴a 2－b 2＝c 2， 即a 2＝b 2＋c 2.根据勾股定理的逆定理可知，△ABC 是直角三角形．是直角三角形．【互动总结】(学生总结，老师点评)判断直角三角形的常用方法有两种：(1)两锐角互余的三角形是直角三角形(即有一个角等于90°的三角形是直角三角形)；(2)利用勾股定理的逆定理判断三角形的三边是否满足a 2＋b 2＝c 2(c 为最长边)．【例2】写出命题“等腰三角形两腰上的高线长相等”的逆命题，写出命题“等腰三角形两腰上的高线长相等”的逆命题，判断这个命题的真假，判断这个命题的真假，并说明理由．并说明理由．【互动探索】(引发学生思考)原命题的题设为等腰三角形，结论为腰上的高相等，然后交换题设与结论得到其逆命题；可根据三角形面积公式判断此命题的真假．【解答】命题“等腰三角形两腰上的高线长相等”的逆命题是两边上的高相等的三角形为等腰三角形，此逆命题为真命题．如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，且CD ＝BE .∵BC ＝BC ，∴△CBD ≌△BCE (HL)， ∴∠DBC ＝∠ECB ， ∴△ABC 为等腰三角形．为等腰三角形．【互动总结】(学生总结，老师点评)两个命题的题设、结论整好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题．一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立．【例3】某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口1.5小时后相距30海里．海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，如果知道“远航”号沿东北方向航行，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？号沿哪个方向航行吗？【互动探索】(引发学生思考)根据“路程＝速度×时间”分别求得PQ 、PR 的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形PQR 是直角三角形，从而求解．【解答】根据题意，得PQ ＝16×1.5＝24(海里)，PR ＝12×1.5＝18(海里)，QR ＝30海里． ∵242＋182＝302， ∴PQ 2＋PR 2＝QR 2，∴∠QPR ＝90°90°.. 由“远航”号沿东北方向航行可知，∠QPS ＝45°， ∴∠SPR ＝45°，即“海天”号沿西北方向航行．即“海天”号沿西北方向航行．【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查路程、速度、时间之间的关系，勾股定理的逆定理、方位角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．活动2 巩固练习(学生独学)1．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是( C ) A ．5,6,7 B ．10,8,4C ．7,25,24D ．9,17,152．下列各命题都成立，写出它们的逆命题，这些逆命题成立吗？．下列各命题都成立，写出它们的逆命题，这些逆命题成立吗？(1)同旁内角相等，两直线平行；同旁内角相等，两直线平行；(2)如果两个角是直角，那么这两个角相等．如果两个角是直角，那么这两个角相等．解：(1)“同旁内角相等，两直线平行”的逆命题是两直线平行，同旁内角相等，逆命题不成立．(2)“如果两个角是直角，那么这两个角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么两个角是直角，逆命题不成立．是直角，逆命题不成立．3．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m 表示大于1的整数，a ＝2m ，b ＝m 2－1，c ＝m 2＋1，那么a 、b 、c 为勾股数．你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？你能利用这个结论得出一些勾股数吗？ 解：对．因为a 2＋b 2＝(2m )2＋(m 2－1)2＝4m 2＋m 4－2m 2＋1＝m 4＋2m 2＋1＝(m 2＋1)2，且c 2＝(m 2＋1)2，所以a 2＋b 2＝c 2，即a 、b 、c 是勾股数．m ＝2时，勾股数为4、3、5；m ＝3时，勾股数为6、8、10；m ＝4时，勾股数为8、15、17.4．如图，已知在四边形ABCD 中，∠A ＝90°，AB ＝2 cm ，AD ＝ 5 cm ，CD ＝5 cm ，BC ＝4 cm ，求四边形ABCD 的面积．的面积．解：如图，连结BD ∵∠A ＝90°，AB ＝2 cm ，AD ＝ 5 cm ，∴根据勾股定理，得BD ＝3cm.又∵CD ＝5 cm ，BC ＝4 cm ，∴CD 2＝BC 2＋BD 2，∴△BCD 是直角三角形，∴∠CBD ＝90°，∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝ 12AB ·AD ＋12BC ·BD ＝ 12×2×5＋12×4×3＝ ()5＋6cm 2.活动3 拓展延伸(学生对学)【例4】在正方形ABCD 中，F 是CD 的中点，E 为BC 上一点，且CE ＝14CB ，试判断AF 与EF 的位置关系，并说明理由．的位置关系，并说明理由．【互动探索】观察图形，猜测AF ⊥EF .证明△AEF 为直角三角形可得AF ⊥EF .【解答】AF ⊥EF .理由如下：设正方形的边长为4a .∵F 是CD 的中点，CE ＝14CB ，∴EC ＝a ，BE ＝3a ，CF ＝DF ＝2a .在Rt △ABE 中，由勾股定理，得AE 2＝AB 2＋BE 2＝16a 2＋9a 2＝25a 2.在Rt △CEF 中，由勾股定理，得EF 2＝CE 2＋CF 2＝a 2＋4a 2＝5a 2.在Rt △ADF 中，由勾股定理，得AF 2＝AD 2＋DF 2＝16a 2＋4a 2＝20a 2.∴AE 2＝EF 2＋AF 2，∴△AEF 为直角三角形，且AE 为斜边．为斜边．∴∠AFE ＝90°，即AF ⊥EF .【互动总结】(学生总结，老师点评)利用三角形三边的数量关系来判定直角三角形，从而推出两线的垂直关系．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2－b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形．是直角三角形．2．能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．．能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．3．两个命题的题设、结论整好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题． 练习设计请完成本课时对应练习！请完成本课时对应练习！。
17.1勾股定理全本教案（共3课时）第1课时一、教学目标【知识与技能】1.了解勾股定理的文化背景,了解利用拼图验证勾股定理的方法.2.能说出勾股定理,并能应用其进行简单的计算.【过程与方法】1.在勾股定理的探索过程中,经历观察——猜想——归纳——验证的数学发现过程.2.发展合情推理的能力,体会数形结合思想、由特殊到一般的数学思想、分类讨论思想.【情感态度与价值观】通过对勾股定理历史的了解和实例应用,体会勾股定理的文化价值;通过获得成功的经验和克服困难的经历,增强学习数学的信心,激发学生的民族自豪感和爱国情怀.二、课型新授课三、课时第1课时共3课时四、教学重难点【教学重点】探索和验证勾股定理,并能应用其进行简单的计算.【教学难点】用拼图的方法验证勾股定理.五、课前准备教师：课件、三角尺、直尺、方格纸、三角模型等.学生：三角尺、铅笔、练习本、方格纸、三角模型.六、教学过程（一）导入新课（出示课件2）引导学生观察勾股定理相关图片，引出本节要学知识（二）探索新知1.出示课件4-10，探究勾股定理的认识与证明相传两千五百年前，一次毕达哥拉斯去朋友家做客，发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系，同学们，我们也来观察一下图案，看看你能发现什么数量关系？学生1回答：直角三角形的两条直角边和斜边都是正方形的边长.学生2回答：斜边正方形的边长最大.教师问：三个正方形A，B，C的面积有什么关系？教师依次展示下列问题：看图完成下面的题目：（1）A中含有____个小方格，即A的面积是______个单位面积．（2）B的面积是_______个单位面积．（3）C的面积是________个单位面积．学生1回答：（1）A中含有9个小方格，即A的面积是9个单位面积．学生2回答：(2)B的面积是9个单位面积．学生3回答：(3)C的面积是18个单位面积．教师问：三个正方形A，B，C的面积有什么关系？学生回答：图1中三个正方形A，B，C的面积之间的数量关系是:S A+S B=S C教师问：S A+S B=S C在图2中还成立吗？学生讨论后回答：仍然成立.教师问：你是如何得到结果的呢？学生回答：A的面积是16个单位面积．B的面积是9个单位面积．C的面积是25个单位面积．教师问：你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流交流．学生回答：如下图所示：教师问：至此，我们在网格中验证了:直角三角形两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积，即S A+S B=S C.去掉网格结论会改变吗？学生回答：不会.教师问：式子S A+S B=S C能用直角三角形的三边a、b、c来表示吗?师生一起解答：如图所示：a2+b2=c2教师问：去掉正方形结论会改变吗？学生回答：不会.教师问：那么直角三角形三边a、b、c之间的关系式是什么呢？学生回答：a2+b2=c2教师：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b,斜边长为c，那么a2+b2=c2.如何利用拼图证明呢？师生一起看数学家的证明：是不是所有的直角三角形都具有这样的结论呢？光靠实验和猜想还不能把问题彻底搞清楚.这就需要我们对一般的直角三角形进行证明．下面我们就一起来探究，看一看我国古代数学家赵爽是怎样证明这个命题的．教师依次展示各种证明方法：（1）赵爽拼图证明法：以直角三角形的两条直角边a、b为边作两个正方形，把两个正方形如图1连在一起，通过剪、拼把它拼成图2的样子.你能做到吗？试试看.小组活动：仿照课本中赵爽的思路，只剪两刀，将两个连体正方形，拼成一个新的正方形.剪、拼过程展示：（出示课件11）教师问：如何进行证明呢？师生共同讨论后解答如下：证明：∵S大正方形＝c2，S小正方形＝(b-a)2,∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，ab+（b-a）2=a2+b2∴c2=4×12(2)毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.(出示课件13)教师问：观看拼图过程演示后，你能证明吗？师生共同讨论后解答如下：证明：∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2a b,S大正方形=4S直角三角形+S小正方形a b+c2=4×12=c2+2a b，∴a2+b2+2a b=c2+2a b，∴a2+b2=c2.（3）美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a 2+b 2=c 2.教师问：你能证明上边的问题吗？学生讨论后回答：证明：∵S 梯形=12（a +b ）（a +b ）, S 梯形=12a b+12a b+12c 2, ∴a 2+b 2=c 2.教师总结归纳;(出示课件16)勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a 、b,斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.表示为：Rt△ABC中，∠C=90°,则a2+b2=c2.总结点拨：（出示课件17）公式变形勾股定理给出了直角三角形三边之间的关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方.出示课件18，学生口答，教师订正。
考点1：利用勾股定理求直角三角形的边长如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.（出示课件19）（1）若a=b=5,求c;（2）若a=1,c=2,求b.师生共同讨论解答如下：解：(1)据勾股定理得(2)据勾股定理得出示课件20，学生自主练习后口答，教师订正.考点2：勾股定理和方程相结合求直角三角形的边长在Rt△ABC中，∠C=90°.（出示课件21）（1）若a：b=1：2，c=5,求a;（2）若b=15，∠A=30°,求a,c.学生独立思考后，师生共同解答.解：(1)设a=x,b=2x,根据勾股定理建立方程得x2+(2x)2=52，解得（舍去）(2)因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得(2x)2-x2=152，解得（舍去）总结点拨：（出示课件21）已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.出示课件22，学生自主练习后口答，教师订正.教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么样吧。
（三）课堂练习（出示课件23-27）练习课件第23-27页题目，约用时20分钟.（四）课堂小结（出示课件28）内容勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.注意 1.在直角三角形中2.看清哪个角是直角3.已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论（五）课前预习预习下节课（17.1第2课时）的相关内容.会用勾股定理解决实际问题.七、课后作业教材第24页练习第1,2题.八、板书设计勾股定理第1课时1.探索勾股定理2.勾股定理的证明考点1 考点23.例题讲解九、教学反思成功之处：本节课从知识与方法、能力与素质的层面确定了相应的教学目标.把学生的探索和验证活动放在首位,一方面要求学生在老师的引导下自主探索,合作交流,另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识,达到培养能力的目的.整节课以“问题情境——分析探究——得出猜想——实践验证——总结升华”为主线,使学生亲身体验勾股定理的探索和验证过程,努力做到由传统的数学课堂向实验课堂转变.不足之处：在教学过程中,高估了学生证明勾股定理的能力,主要困难在于一些学生不能对图形进行正确的割补.对图形的割补过程没有给学生详细的呈现.补救措施：适当增加学生拼图的时间,通过实践操作,画图分析,独立分析证明思路,正确完成证明过程.17.1勾股定理第2课时一、教学目标【知识与技能】1.能应用勾股定理计算直角三角形的边长.2.能应用勾股定理解决简单的实际问题.3.能说出勾股定理,能运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题.【过程与方法】1.通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型,强化转化思想,培养学生解决现实问题的意识和能力.2.经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程,进一步体会勾股定理的应用方法.【情感态度与价值观】在例题分析和解决过程中,让学生感受勾股定理在实际生活中的应用.同时在学习过程中体会获得成功的喜悦,提高学生学习数学的兴趣和信心.二、课型新授课三、课时第2课时共3课时四、教学重难点【教学重点】运用勾股定理解决实际问题.【教学难点】勾股定理的灵活运用.五、课前准备教师：课件、三角尺、直尺等.学生：三角尺、铅笔、直尺、练习本、三角形模型.六、教学过程（一）导入新课（出示课件2）波平如镜一湖面，3尺高处出红莲.亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边.离开原处6尺远，花贴湖面像睡莲.请君动脑想一想，湖水在此深几尺？示意图见课件，就是求AD的长教师：这节课我们就来学习用勾股定理解决实际问题，学完本节课知识后，自己再想想怎么计算此题吧！（二）探索新知1.出示课件4-6，探究勾股定理解决线段长度问题教师问：一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？学生答：不能，因为木板的长3m大于2m，宽2.2m大于1m.教师问：木板能横着或竖着从门框通过吗？学生答：不能.教师问：这个门框能通过的最大长度是多少？学生讨论后回答：如图所示，小于线段AC的长度才可以.教师问：怎样判定这块木板能否通过木框？学生回答：求出斜边AC的长，与木板的宽比较.师生一起解答：解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC2=AB2+BC2=12+22=5．AC=√5≈2.24．因为AC大于木板的宽2.2m，所以木板能从门框内通过．出示课件7，学生自主练习后口答，教师订正.2.出示课件8-9，探究勾股定理解决线段移动问题教师问：如图，一架2.6米长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4米．求梯子的底端B距墙角O多少米？学生回答：解：（1）在Rt△AOB中，根据勾股定理，OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1.OB=1.答：梯子的底端B距墙角O为1米.教师问：如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米吗？学生回答：在Rt△COD中，根据勾股定理，OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15.OD=√3.15≈1.77．BD=OD-OB≈1.77-1=0.77答：梯子底端B也外移约0.77米.出示课件10，学生自主练习后口答，教师订正.教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么样吧。
（三）课堂练习（出示课件12-19）练习课件第12-19页题目，约用时20分钟.（四）课堂小结（出示课件20）用勾股定理计算时,要先画好图形,并标好图形,理清各边之间的关系,再灵活运用勾股定理计算.在利用勾股定理进行有关计算和证明时,要注意运用方程的思想;求直角三角形有关线段的长,有时还要运用转化的数学思想,或利用添加辅助线的方法构造直角三角形,再运用勾股定理求解.（五）课前预习预习下节课（17.1第3课时）的相关内容.知道如何在数轴上标出无理数及构造直角三角形表示出无理数.七、课后作业教材第26页练习第1,2题.八、板书设计勾股定理第2课时1.解决线段长度问题2.解决线段移动问题3.例题讲解九、教学反思成功之处：本节课运用勾股定理解决实际问题,整节课注重基础,通过分类探索,由浅入深,注重讲练结合,引导学生独立分析,自主学习,提高学生运用勾股定理解决简单问题的能力.虽然只是勾股定理的实际应用这一知识点,但是涉及生产生活的各个方面,受时间约束无法一一列举,本课中的三个例子缺乏开放性.补救措施：在问题设计上,进一步注意层次性、开放性,并增加每一类题目的变式训练题,提高学生分析问题和解决问题的能力.同时,在后续学习中加强与勾股定理的综合运用训练.17.1勾股定理第3课时一、教学目标【知识与技能】1.利用勾股定理,能在数轴上找到表示无理数的点.2.进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型,并能用勾股定理解决简单的实际问题.【过程与方法】1.经历在数轴上寻找表示无理数的点的过程,发展学生灵活运用勾股定理解决问题的能力.2.在用勾股定理解决实际问题的过程中,体验解决问题的策略,发展学生的动手操作能力和创新精神.3.在解决实际问题的过程中,学会与人合作,并能与他人交流思维过程和结果,形成反思的意识.【情感态度与价值观】1.在利用勾股定理寻找数轴上表示无理数的点的过程中,体会勾股定理的重要作用,并从中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.2.在解决实际问题的过程中,形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯.二、课型新授课三、课时第3课时共3课时四、教学重难点【教学重点】能利用勾股定理在数轴上表示无理数.【教学难点】利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段.五、课前准备教师：课件、三角尺、直尺、圆规等.学生：复习尺规作图的有关知识,准备三角板、直尺、圆规、铅笔.六、教学过程（一）导入新课（出示课件2）欣赏课件中海螺的图片：在数学中也有这样一幅美丽的“海螺型”图案，如第七届国际数学教育大会的会徽.这个图是怎样绘制出来的呢？这就是今天我们探究的问题.（二）探索新知1.出示课件4-5，探究证明“HL”教师问：在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？教师展示问题：已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′．求证：△ABC≌△A′B′C′．学生讨论后回答：证明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，根据勾股定理，得BC=√AB2−AC2，B＇C＇=√A＇B＇2−A＇C＇2.∵AB=A′B′,AC=A′C′,∴BC=B′C′．∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）．2.出示课件6-8，探究利用勾股定理在数轴上确定无理数教师问：你能在数轴上表示出√2的点吗？-√2呢？师生一起解答：（出示课件6）放幻灯片，展示作图过程.教师问：用同样的方法作√3，√4，√5，√6，√7呢？学生答：如下图所示（放映幻灯片，展示作图过程）总结点拨：可以构造直角三角形作出边长为无理数的边，就能在数轴上画出表示该无理数的点.教师问：长为√13的线段是直角边的长都为正整数的直角三角形的斜边吗？教师依次展示学生的解答如下：学生1解答：学生2解答：学生3解答：教师总结如下，其中后两种符合要求.教师问：根据上面问题你能在数轴上画出表示√13的点吗？师生总结如下：步骤：1.在数轴上找到点A,使OA=3;2.作直线l⊥OA,在l上取一点B，使AB=2;3.以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示√13的点.总结点拨（出示课件9）利用勾股定理表示无理数的方法:（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正数的直角三角形的斜边.（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数.考点1：利用勾股定理在数轴上确定无理数的点在数轴上作出表示√17的点.（出示课件10）师生共同讨论解答如下：解：作法：（1）在数轴上找到点A，使OA=1；（2）过点A作直线垂直于OA，在直线上取点B,使AB=4，那么OB=√17；（3）以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于点C，则OC=√17.如图，在数轴上，点C为表示√17的点.出示课件11，学生自主练习后口答，教师订正.3.出示课件12-13，探究利用勾股定理在网格上做长度为无理数的线段教师问：在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中以A出发分别画出长度为√2，√5，√8的线段AB．教师展示答案如下：学生1回答：学生2解答：学生3解答：教师追问：如图为4×4的正方形网格,以格点与点A为端点,你能画出几条边长为√10的线段?学生讨论后回答：如图所示：总结点拨：（出示课件13）勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度.考点1：利用勾股定理在网格上作线段如图是由4个边长为1的正方形构成的田字格，只用没有刻度的直尺在这个田字格中最多可以作出多少条长度为√5的线段？（出示课件14）学生独立思考后，师生共同解答.解：如图所示，有8条.总结点拨：（出示课件14）一个点一个点地找，不要漏解.出示课件15，学生自主练习后口答，教师订正.4.利用勾股定理在折叠问题中求线段的长度如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，求AM的长.（出示课件16）学生独立思考后，师生共同解答.解：连接BM，MB′.设AM＝x，在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2.在Rt△MDB′中，MD2＋DB′2=MB′2.∵MB＝MB′，∴AB2＋AM2＝MD2＋DB′2，即92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2，解得x＝2.即AM＝2.师生共同归纳如下：（出示课件17）折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法:(1)设一条未知线段的长为x(一般设所求线段的长为x)；(2)用已知线段或含x的代数式表示出其他线段长；(3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的方程；(4)解这个方程，从而求出所求线段长.出示课件18，学生自主练习，教师给出答案.教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么样吧.（三）课堂练习（出示课件19-26）练习课件第19-26页题目，约用时20分钟.（四）课堂小结（出示课件27）师生共同回顾本节课所学主要内容:1.用勾股定理在数轴上表示无理数,构造长为无理数的线段放在直角三角形中,有时是直角边,有时是斜边.2.求不规则图形的面积,应用割补法把图形分解为特殊图形,四边形中常常通过作辅助线构造直角三角形,以利用勾股定理.（五）课前预习预习下节课（17.2第1课时）的相关内容.知道勾股定理的逆定理和原命题、逆命题的定义七、课后作业教材第27页练习第1,2题.八、板书设计勾股定理第3课时1.利用勾股定理证明HL定理2.利用勾股定理在数轴上表示无理数3.利用勾股定理在网格上做长度为无理数的线段考点14.利用勾股定理在折叠问题中求线段的长度5.例题讲解九、教学反思成功之处：本节课注重数学与生活的联系,注重数学知识的应用,从学生认知规律和接受水平出发,循序渐进地引入新课,成功地引导学生会将长为无理数的线段看成一个直角三角形的斜边,再按照尺规31/32作图的要求,在数轴上找出表示无理数的点.由于学生尺规作图的能力较差,学生在确定了作图思路之后,却难以按照尺规作图的步骤完成作图.补救措施：教师指导在数轴上找出表示无理数的点,示范作图步骤.教学中,根据学生的基础情况,适当进行复习,帮助学生解决学习中的困难.32/32。
