物理：匀变速直线运动应用——追及和相遇问题

《追及与相遇问题》知识清单一、追及问题追及问题是指两个物体在同一直线上运动，速度不同，后面的物体追赶前面的物体。

解决追及问题的关键在于找出两个物体之间的位移关系和速度关系。

1、速度小者追速度大者（1）类型一：两者速度相等时，若追者位移仍小于被追者位移，则永远追不上，此时二者间有最小距离。

例如，一辆慢车以速度 v1 行驶，后面一辆快车以速度 v2（v2 ＞ v1）追赶。

在某一时刻，两车速度相等，如果此时快车的位移小于慢车的位移，那么快车就追不上慢车，并且两者之间的距离会达到最小值。

（2）类型二：若速度相等时，追者位移恰好等于被追者位移，则刚好追上，也是二者相遇时避免碰撞的临界条件。

假设慢车先行驶了一段距离 s0，然后快车开始追赶。

当两车速度相等时，如果快车的位移刚好等于慢车的位移加上 s0，那么快车刚好追上慢车。

（3）类型三：若速度相等时，追者位移大于被追者位移，则会追上并超过被追者。

之后被追者还可能再次追上追者，二者速度相等时的距离最大。

比如，快车在速度相等时超过了慢车，但慢车可能会因为速度逐渐增大，在之后的某个时刻再次追上快车。

此时，两车速度相等时的距离是最大的。

2、速度大者追速度小者（1）当两者速度相等时，如果还没追上，那么就追不上了，此时二者间有最大距离。

例如，快车速度 v2 ，慢车速度 v1（v2 ＞ v1），在速度相等之前，两车的距离一直在拉大，当速度相等时，距离达到最大值。

如果此时还没追上，之后就再也追不上了。

（2）当追上时，两者的位移关系为追者位移等于被追者位移加上初始的距离。

假设慢车先出发，与快车相距 s0，当快车追上慢车时，快车的位移就等于慢车的位移加上 s0 。

二、相遇问题相遇问题是指两个物体从不同的地点出发，相向而行，在某一时刻相遇。

1、相向运动的相遇两物体相向运动，相遇时它们的位移之和等于两物体出发时的距离。

比如，A 物体从甲地以速度 v1 向乙地运动，B 物体从乙地以速度v2 向甲地运动，它们出发时相距 s ，经过时间 t 相遇，则有 v1t ＋ v2t＝ s 。

高中物理追击、追及和相遇问题一、追击问题追和被追的两物体的速度相等（同向运动）是能追上、追不上，两者距离有极值的临界条件：1、做匀减速直线运动的物体追赶同向做匀速直线运动的物体.（1）两物体的速度相等时，追赶者仍然没有追上被追者，则永远追不上，这种情况下当两者的速度相等时，它们间的距离最小.（2）两物体的速度相等时，如它们处在空间的同一位置，则追赶者追上被追者，但两者不会有第二次相遇的机会.（3）若追赶者追上被追者时，其速度大于被追者的速度，则被追者还可以再追上追赶者，两者速度相等时，它们间的距离最大.2、初速度为零的匀加速直线运动追赶同向做匀速直线运动的物体.（1）追上前，两者的速度相等时，两者间距离最大.（2）后者与前者的位移大小之差等于它们初始位置间的距离时，后者追上前者.二、相遇问题1、同向运动的两物体追及即相遇.2、相向运动的物体，当各自发生位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇.例1、两辆车同时同地同向做直线运动，甲以4m/s的速度做匀速运动，乙由静止开始以2m/s2的加速度做匀加速直线运动. 求：（1）它们经过多长时间相遇？相遇处离原出发地多远？（2）相遇前两物体何时距离最大？最大距离多少？解析：（1）经过t时间两物体相遇，位移为s，根据各自的运动规律列出方程：代入数据可得t=4s，s=16m.（2）甲乙经过时间t＇它们之间的距离最大，则从上面分析可知应该满足条件为：，，解得：此时它们之间最大距离为什么当时，两车间的距离最大？这是因为在以前，两车间距离逐渐变大，当以后，，它们间的距离逐渐变小，因此当时，它们间的距离最大.例2、羚羊从静止开始奔跑，经过50m的距离能加速到最大速度为25m/s，并能保持一段较长的时间；猎豹从静止开始奔跑，经过60m的距离能加速到最大速度30m/s，以后只能维持这一速度4.0s. 设猎豹距羚羊x时开始攻击，羚羊在猎豹开始攻击后1.0s才开始奔跑，假定羚羊和猎豹在加速阶段分别做匀加速运动，且均沿同一直线奔跑，则：（1）猎豹要在减速前追到羚羊，x值应在什么范围？（2）猎豹要在其加速阶段追到羚羊，x值应在什么范围？解析：解决这类题目，关键是要读懂题目，比如：猎豹在减速前一共用了多长时间，减速前的运动是何种运动等等.（1）由下图可知，猎豹要在减速前追到羚羊：对猎豹：，对羚羊同理可得：，即；当x≤55m时，猎豹能在减速前追上羚羊（2）猎豹要在其加速阶段追到羚羊，则：对猎豹：对羚羊：则：即：当x≤31.9m时，猎豹能在加速阶段追上羚羊.。

追及和相遇问题主讲：黄冈中学教师郑成引入：两个物体在同一直线上运动，往往涉及追及、相遇和避免碰撞问题．本节课我们就应用前面所学的匀变速直线运动的规律来解决追及和相遇问题．一、追及问题：追和被追的两物体同向运动，当速度相等是能否追上或两者距离有最大值、最小值的临界条件．常见情形有三种：①同时同地出发：初速为零的匀加速直线运动物体甲追匀速运动的物体乙：一定能追上，当v甲=v乙时，两者之间有△s max．②同时不同地：速度大的匀速运动物体甲追赶同方向匀加速运动的物体乙．（v甲>v乙）A．当v乙=v甲时，s甲=s0＋s乙，甲恰好追上乙B．当v乙=v甲时，s甲<s0＋s乙，甲永远追不上乙，此时两者有最小间距△s minC．当v乙<v甲时，s甲>s0＋s乙，甲追上了乙，由于乙作匀加速运动，以后v乙>v甲，则乙还有一次追上甲的机会，其间两者速度相等时两者距离有一个较大值③同地不同时：二、相遇问题：相遇问题分为追及相遇和相向相遇问题，上面三种常见问题属于追及相遇问题．至于相向相遇问题，我们通过例题来进行说明，本节课重点解决追及相遇问题．对于追及相遇问题，我们解题过程中要弄清物体的运动过程，挖掘题中隐含的临界条件，在解题方法上常常用到解析法、数学法、图象法、相对运动等方法．例、火车以速度v1匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距s处有另一火车沿同方向以速度v2(对地，且v1>v2)做匀速运动，司机立即以加速度a紧急刹车，要使两车不相撞，a应满足什么条件？分析：后面火车刹车后虽然做匀减速运动，但在其速度减小至与v2相等之前，两车的距离将逐渐减小；当后车速度减为前车速度后，两车距离将逐渐增大．可见，当两车速度相等，两车距离最近．若后车减速的加速度过小，则会出现后车速度减为与前车速度相等之前，已追上前车，发生撞车事故；若后车加速度过大，则会出现后车速度减为与前车速度相等时未追上前车，不会发生撞车事故；若后车加速度大小等于某值时，恰能使两车在速度相等时后车追上前车，这正是两车不相撞的临界条件，此加速度即为两车不相撞的最小加速度．解法一（解析法）设经时间t，当v1－at=v2时，后车恰好追上前车而不相撞，则v1t－v2t＋s时两车不会相撞解法二（数学法）：要使两车不相撞，其位移关系满足：v1t－v2t＋s即＋(v2－v1)t＋s0对任意时间t上述不等式成立△=(v1－v2)2－2as0解法三（图象法）：两火车的v－t图象如图所示，使两车不相撞，则当后车速度减小至等于v2时，后车比前车多走位移小于开始刹车时两车间距s，就不会相撞．解法四（相对运动法）：以前车为参考系，刹车后，后车相对前车做初速为v0=v1－v2，加速度大小为a的匀减速直线运动．当后车相对前车的速度减为零时，若相对位移≥s，则不会相撞．由．。

考点三：追及和相遇问题1.“追及”、“相遇”的特征“追及”的主要条件是：两个物体在追赶过程中处在同一位置。

两物体恰能“相遇”的临界条件是两物体处在同一位置时，两物体的速度恰好相同。

2.解“追及”、“相遇”问题的思路（1）根据对两物体的运动过程分析，画出物体运动示意图（2）根据两物体的运动性质，分别列出两个物体的位移方程，注意要将两物体的运动时间的关系反映在方程中（3）由运动示意图找出两物体位移间的关联方程（4）联立方程求解1. 分析“追及”、“相遇”问题时应注意的问题（1） 抓住一个条件：是两物体的速度满足的临界条件。

如两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等；两个关系：是时间关系和位移关系。

（2） 若被追赶的物体做匀减速运动，注意在追上前，该物体是否已经停止运动2. 解决“追及”、“相遇”问题的方法（1） 数学方法：列出方程，利用二次函数求极值的方法求解（2） 物理方法：即通过对物理情景和物理过程的分析，找到临界状态和临界条件，然后列出方程求解习题21. 关于位移和路程的下列说法中，正确的是A. 物体沿直线朝某一方向运动时，通过的路程就是位移B. 几个运动物体有相同位移时，它们的路程也一定相同C. 几个运动物体通过的路径不等，但它们的位移可能相同D. 物体通过的路程不等于零，其位移也不等于零2. 如图是A 、B 两个物体做直线运动的速度图象，下列说法正确的是A. 物体A 做加速直线运动B. 物体B 做减速直线运动C. 物体A 的加速度为正值，B 的加速度为负值，所以A 的加速度大于B 的加速度D. 物体B 的速度变化比A 的速度变化快3. 甲、乙两车同时同向沿直线驶向某地。

甲在前一半时间内以速度1v 匀速运动，后一半时间内以速度2v 匀速运动；而乙车在前一半路程上以速度1v 匀速运动，后一半路程上以速度2v 匀速运动。

试问：哪辆车先到达目的地？4. 一物体做匀变速直线运动，某时刻速度的大小为4s m /，1 s 后速度的大小变为10s m /，在这1 s 内该物体的A. 速度变化的大小可能小于4s m /B. 速度变化的大小可能大于10s m /C. 加速度的大小可能小于4 2/s mD. 加速度的大小可能大于102/s m5. 天空有近似等高的浓云层，为了测量云层的高度，在水平地面上与观测者的距离为d ＝3.0km 处进行一次爆炸，观测者听到由空气直接传来的爆炸声和由云层反射来的爆炸声时间上相差t ＝6.0s.试估算云层下表面的高度。

追及、相遇问题一、问题实质讨论追及、相遇问题，其实质就是分析讨论两物体在同一时刻能否到达相同的空间位置。

二、关注两个关系和一个条件1.两个关系：时间关系和位移关系。

2.一个条件：两者的速度相等，它往往是物体间能否追上、追不上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点。

三、解决追及、相遇问题的思路和方法1.思路：（1）分析两物体的运动过程；（2）画运动示意图；（3）找两物体位移关系；找两物体速度关系；（4）列相关方程求解。

2.方法：（1）物理分析法：通过对物理情景和物理过程的分析，找到临界状态和临界条件，然后列出方程求解。

（2）数学解析法：因为在匀变速直线运动的位移表达式中有时间的二次方，我们可以列出方程，利用二次函数求极值的方法求解。

（3）图像法：利用v-t图像分析。

利用v-t图像的图线与时间轴所围成的面积表示物体对应的位移来判断两物体的位移差值，结合两物体的初位置间的距离来判断相遇的情况。

【典型例题】题型一、匀加速追匀速1.一辆汽车在十字路口等信号灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始行驶。

恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。

试求：(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远，此时距离是多少。

(2)什么时候汽车追上自行车，此时汽车的速度是多少。

题型二、匀减速追匀速1.火车A以v1=20m/s的速度匀速直线行驶，司机发现前方同轨道上相距100m处有另一列火车B正以v2=10m/s的速度匀速行驶，A车立即做加速度大小为a的匀减速直线运动。

要使两车不相撞，a应满足什么条件？题型三、匀减速追匀减速1.有甲、乙两汽车正沿同一平直马路同向匀速行驶，甲车在前，乙车在后，若甲、乙两车均以15m/s的速度驶向路口，当两车快要到十字路口时，甲车司机看到黄灯闪烁(黄灯闪烁时间为3s)。

此时甲车车头距停车线L=30m，已知甲车紧急刹车时的加速度大小为5m/s2.(反应时间内视为匀速运动)请问：(1)要避免闯红灯，甲车司机的反应时间△t1不能超过多少？(2)乙车司机看到甲车刹车后也紧急刹车，乙车司机的反应时间△t2=0.4s，紧急刹车时的加速度大小为6m/s2，为保证两车在紧急刹车过程中不相撞，甲、乙两车刹车前的距离X0至少多大？练习题1.一辆汽车在十字路口等绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开使行驶，恰在这时一辆自行车在汽车后方相距20m的地方以6m/s的速度匀速行驶，则自行车能否追上汽车？若追不上，两车间的最小间距是多少？2.现检测汽车A的制动性能：以标准速度20m/s在平直公路上行驶时，制动后40s停下来.若A在平直公路上以20m/s的速度行驶时发现前方180m处有一货车B以6m/s 的速度同向匀速行驶，司机立即制动，能否发生撞车事故？3.为了安全，在公路上行驶的汽车之间应保持必要的距离．已知某高速公路的最高限速v＝120km／h．假设前方车辆突然停止，后车司机从发现这一情况，经操纵刹车，到汽车开始减速所经历的时间（即反应时间）t＝0.50s．刹车时汽车的加速度为a=4m／s2．该高速公路上汽车间的距离s至少应为多少？(取重力加速度g=10m／s2．)4.某地出现雾霾天气，能见度只有200m，即看不到200m以外的情况，A、B两辆汽车沿同一公路同向行驶，A车在前，速度v A=10m/s,B车在后，速度v B=30m/s，B车在距A车200m 处才发现前方的A车，这时B车立即以最大加速度a=0.8m/s2刹车，求：(1)B车撞上A车时的速度。

微专题一运动图象和追及相遇问题运动学图象1．x。

t图象与v。

t图象的比较x。

t图象v。

t图象图象示例图线含义图线①表示质点做匀速直线运动(斜率表示速度v)图线①表示质点做匀加速直线运动(斜率表示加速度a）图线②表示质点静止图线②表示质点做匀速直线运动图线③表示质点向负方向做匀速直线运动图线③表示质点做匀减速直线运动交点④表示此时三个质点相遇交点④表示此时三个质点有相同的速度点⑤表示t1时刻质点位移为x1（图中阴影部分的面积没有意义）点⑤表示t1时刻质点速度为v1(图中阴影部分的面积表示质点在0~t1时间内的位移）2。

三点说明（1)x.t图象与v。

t图象都只能描述直线运动,且均不表示物体运动的轨迹；(2）分析图象要充分利用图象与其所对应的物理量的函数关系；(3）识图方法:一轴、二线、三斜率、四面积、五截距、六交点。

错误!(多选)如图所示，图甲为质点a和b做直线运动的位移—时间图象,图乙为质点c和d做直线运动的速度—时间图象，由图可知（）甲乙A．若t1时刻a、b两质点第一次相遇,则t2时刻两质点第二次相遇B．若t1时刻c、d两质点第一次相遇,则t2时刻两质点第二次相遇C．t1到t2时间内，四个质点中只有b和d两个质点的运动方向发生改变D．t1到t2时间内，四个质点中只有b和d两个质点的速率先减小后增大思路点拨：解此题关键有两点：（1)明确图象所反映的运动规律.（2)区分两类图象中“交点”“斜率"“截距”的物理意义。

AD[在位移—时间图象中，两图线的交点表示两质点在同一时刻位置相同而相遇,由甲图可知，若t1时刻a、b两质点第一次相遇，则t2时刻两质点第二次相遇，故A正确；t1到t2时间内，根据v.t图象的“面积”表示位移知c的位移大于d的位移，若t1时刻c、d两质点第一次相遇，则t2时刻两质点不能相遇，故B错误；只有b运动方向改变，a、c、d质点的运动方向未发生改变，故C错误；根据x。

t图象的斜率表示速度,知t1到t2时间内,a质点的速率不变，b质点的速率先减小后增大，由v。

追及与相遇问题知识详解及典型例题〔精品〕知识要点追及和相遇问题主要涉及在同一直线上运动的两个物体的运动关系，所应用的规律是匀变速直线运动的相关规律。

追及、相遇问题常常涉及到临界问题，分析临界状态，找出临界条件是解决这类问题的关键。

速度相等是物体恰能追上或恰不相碰、或间距最大或最小的临界条件。

在两物体沿同一直线上的追及、相遇或防止碰撞问题中关键的条件是：两物体能否同时到达空间某位置。

因此应分别对两物体研究，列出位移方程，然后利用时间关系、速度关系、位移关系解出。

解答追及、相遇问题时要特别注意明确两物体的位移关系、时间关系、速度关系，这些关系是我们根据相关运动学公式列方程的依据。

1. 追及追和被追的两者的速度相等常是能追上、追不上、二者距离有极值的临界条件。

如匀减速运动的物体追从不同地点出发同向的匀速运动的物体时，假设二者速度相等了，还没有追上，则永远追不上，此时二者间有最小距离。

假设二者相遇时〔追上了〕，追者速度等于被追者的速度，则恰能追上，也是二者防止碰撞的临界条件；假设二者相遇时追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的时机，其间速度相等时二者的距离有一个较大值。

再如初速度为零的匀加速运动的物体追从同一地点出发同向匀速运动的物体时，当二者速度相等时二者有最大距离，位移相等即追上。

“追上”的主要条件是两个物体在追赶过程中处在同一位置，常见的情形有三种：一是初速度为零的匀加速运动的物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙时，一定能追上，在追上之前两者有最大距离的条件是两物体速度相等，即v甲=v乙；二是匀速运动的物体甲追赶同方向做匀加速运动的物体乙时，存在一个恰好追上或恰好追不上的临界条件：两物体速度相等，即v甲＞v乙，此临界条件给出了一个判断此种追赶情形能否追上的方法，即可通过比较两物体处在同一位置时的速度大小来分析，具体方法是：假定在追赶过程中两者能处在同一位置，比较此时的速度大小，假设v甲＞v乙，则能追上去，假设v甲＜v乙，则追不上，如果始终追不上，当两物体速度相等时，两物体的间距最小；三是匀减速运动的物体追赶同方向的匀速运动的物体时，情形跟第二种相类似。

专题02 追及与相遇问题一、有关匀变速直线运动的基本公式：①速度公式：at v v t +=0；（此公式也可以用来求加速度或者时间） ②位移公式：2021at t v s +=；（注意：当00=v 时，221at s =） ③速度-位移公式：as v v t 2202=-；（公式可以变形为：s v v a t 2202-=，从而用于求解加速度） 二、匀变速直线运动的常用推论： ①中间时刻瞬时速度公式：ts v v v v t t =+==202； ②位移中点瞬时速度公式：22202t t v v v +=； ③两个相邻相等时间间隔内的位移差：2aT s =∆。

（该推论可以用来判断物体是否做匀变速直线运动）在解决追及问题和相遇问题时，首先要对运动过程进行分析，分别抽象出追及问题或相遇问题中的研究对象是匀速直线运动、匀加速直线运动还是匀减速直线运动，例如追及问题中的追及者是匀加速直线运动，被追及者是匀速直线运动。

其次根据题意，画出运动示意图，找出它们的临界条件和位移关系，列出方程求解即可。

一、追及问题追和被追的两物体的速度相等（同向运动）是能否追上及两者距离有极值的临界条件。

第一类：速度大者减速（如匀减速直线运动）追速度小者（如匀速运动）：（1）当两者速度相等时，若追者位移仍小于被追者位移，则永远追不上，此时两者间有最小距离。

（2）若两者位移相等，且两者速度相等时，则恰能追上，也是两者避免碰撞的临界条件。

（3）若两者位移相等时，追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相等时两者间距离有一个最大值。

第二类：速度小者加速（如初速度为零的匀加速直线运动）追速度大者（如匀速运动）：（1）当两者速度相等时有最大距离。

（2）若两者位移相等时，则追上。

二、相遇问题（1）同向运动的两物体追上即相遇。

（2）相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体的距离时即相遇。

三、解决追及和相遇问题的一个条件、两个关系1．分析问题时，一定要注意抓住一个条件、两个关系：一个条件是两物体速度相等时满足的临界条件，如两物体的距离是最大还是最小，是否恰好追上等。

匀变速直线运动图像、追及与相遇问题一、本次课知识讲授知识点1：匀变速直线运动的图像问题1.应用运动图像的三点注意(1)无论是x-t图像还是v-t图像都只能描述直线运动。

(2)x-t图像和v-t图像都不表示物体运动的轨迹。

(3)x-t图像和v-t图像的形状由x与t、v与t的函数关系决定。

2.应用运动图像解题“六看”项目x-t图像v-t图像轴横轴为时间t,纵轴为位移x横轴为时间t,纵轴为速度v线倾斜直线表示匀速直线运动倾斜直线表示匀变速直线运动斜率表示速度表示加速度面积无实际意义图线和时间轴围成的面积表示位移纵截距表示初位置表示初速度特殊点拐点表示速度方向变化,交点表示相遇拐点表示加速度方向变化,交点表示速度相同1、匀变速直线运动的图像（一）直线运动的x-t图像(1)意义:反映了直线运动的物体①位移随②时间变化的规律。

(2)图线上某点切线的斜率的意义①斜率的绝对值:表示物体速度的③大小。

②斜率的正负:表示物体速度的④方向。

(3)两种特殊的x-t图像①若x-t图像是一条平行于时间轴的直线,说明物体处于⑤静止状态。

(如图中甲所示)②若x-t图像是一条倾斜的直线,说明物体在做⑥匀速直线运动。

(如图中乙所示)（二）直线运动的v-t图像(1)意义:反映了直线运动的物体⑦速度随⑧时间变化的规律。

(2)图线上某点切线的斜率的意义①斜率的绝对值:表示物体⑨ 加速度 的大小。

②斜率的正负:表示物体⑩ 加速度 的方向。

(3)两种特殊的v -t 图像①匀速直线运动的v -t 图像是与横轴 平行 的直线。

(如图中甲所示) ②匀变速直线运动的v -t 图像是一条倾斜 的直线。

(如图中乙所示)(4)图线与时间轴围成的“面积”的意义①图线与时间轴围成的“面积”表示相应时间内的位移 。

②若此面积在时间轴的上方,表示这段时间内的位移方向为 正方向 ;若此面积在时间轴的下方,表示这段时间内的位移方向为负方向 。

注意 x -t 图像与v -t 图像不是物体的运动轨迹,反映了物体位移或速度随时间变化的规律。