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文章标题：探讨13.4最短路径问题的教学设计一等奖1. 引言最短路径问题是图论中的一个重要问题，其在各种领域都有着广泛的应用。
本文将结合教学设计的思路，探讨如何在教学中更好地教授13.4最短路径问题，并共享我的个人观点和理解。
2. 概念解释13.4最短路径问题是指在一个有向图中，寻找两个顶点之间的最短路径的问题。
在教学中，首先需要对最短路径的概念进行清晰的解释，引导学生理解路径长度的定义和最短路径的意义。
3. 教学方法针对13.4最短路径问题的教学设计，我认为可以采用“由浅入深”的方式进行教学。
可以从简单的无向图和有向图开始，引导学生理解图的基本概念和表示方法。
可以介绍Dijkstra算法和Floyd算法，让学生了解具体的最短路径求解方法。
可以通过实际案例和应用场景，引导学生理解最短路径问题在实际生活中的重要性和应用。
4. 教学案例以城市道路规划为例，可以设计一个教学案例来帮助学生理解最短路径问题。
通过引导学生分析不同城市之间的道路网络，让他们应用所学的最短路径算法，找出两个城市之间的最短路径，并解释该路径在实际中的意义。
5. 总结与回顾通过上述教学设计，我们可以帮助学生全面、深刻地理解13.4最短路径问题。
我个人认为教学设计应该注重理论与实践的结合，让学生在实际问题中应用所学知识，从而更好地掌握知识点。
6. 总结在13.4最短路径问题的教学设计中，我们可以通过“由浅入深”的教学方法，结合具体案例，帮助学生深入理解最短路径的概念和应用。
教学设计应该注重理论与实践的结合，培养学生的问题解决能力和创新思维。
结尾语：希望本文的教学设计能够帮助您更好地教授13.4最短路径问题，并对学生的知识学习起到积极的引导作用。
也欢迎各位老师共享自己在教学设计中的经验和理解，让我们共同进步。
13.4最短路径问题是图论中一个非常有趣和实用的问题，它在现实生活中有着广泛的应用。
在教学中，我们需要引导学生深入理解这一问题，并掌握相关的求解方法和技巧。
第十三章轴对称 13.4 课题学习最短路径问题【教材分析】【教学流程】前面我们研究过一些关于“两点的所有连线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”探索最短路径问题相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其地出发，到一条笔直的河边地．到河边什么地方饮马可精通数学、物理学的海伦稍加思索，你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？从A地出发，到河边l饮马，然(2)在河边饮马的地点有无穷多把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地，再回到地的路程之和；(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线为直线上的一个动点，上面的问题当点C在l的什么位置时，(如图)．对于问题2，如何将点处，满足直线l上的任意一点CB′的长度相等？：你能利用轴对称的有关知识，到上问中符合条件的点B′吗？作法：关于直线l的对称点，与直线l交于点即为所求．你能用所学的知识证明展示点评：从A到B要走的路线是，如图所示，而MN是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．a上取任意一点M′，作AM，使点M′移动到点移动到点A′的位置，连接，过点N作MN⊥a于点最短．理由如下：如图，点M′为直线重合)，N′是线段AM平移得到的MN′，A′N′＝AMMN′＋BN′＝A′N′＋AA′平行AA′且MN＝AA′2.如图，牧童在A处放马，其家在B处，AB到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是米.P点就是所求做的点4、如图所示，M、N是△ABC边AB与AC上两本节课你有什么收获？①学习了利用轴对称解决最短路径问题②感悟和体会转化的思想教材第91页复习题13第15题.。
八年级数学上册 13.4 课题学习最短路径问题教学设计（新版）新人教版一. 教材分析“课题学习最短路径问题”是人教版八年级数学上册第13.4节的内容。
这部分内容主要让学生了解最短路径问题的实际应用，学会使用图论中的最短路径算法来解决实际问题。
教材通过引入一个实际问题，引导学生探讨并找出解决问题的方法，从而培养学生解决问题的能力和兴趣。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了图论的基本知识，如图的定义、图的表示方法等。
但是，对于图的最短路径问题，学生可能还没有直观的理解和认识。
因此，在教学过程中，教师需要结合学生的已有知识，通过实例讲解、动手操作等方式，帮助学生理解和掌握最短路径问题。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生了解最短路径问题的实际应用，学会使用图论中的最短路径算法来解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过探讨实际问题，培养学生解决问题的能力和兴趣。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的热爱，提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：最短路径问题的实际应用，图论中的最短路径算法。
2.教学难点：如何引导学生从实际问题中抽象出最短路径问题，并运用图论知识解决。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。
2.实例讲解法：通过具体的实例，讲解最短路径问题的解决方法，帮助学生理解和掌握。
3.动手操作法：让学生亲自动手操作，加深对最短路径问题的理解。
六. 教学准备1.教学素材：准备一些实际问题的案例，以及相关的图论知识介绍。
2.教学工具：多媒体教学设备，如PPT等。
3.学生活动：让学生提前预习相关内容，了解图论的基本知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入最短路径问题，激发学生的学习兴趣。
例如，讲解从一个城市到另一个城市，如何找到最短的路线。
2.呈现（15分钟）讲解最短路径问题的定义，以及图论中最短路径算法的基本原理。
通过PPT等教学工具，展示相关的知识点，让学生直观地了解最短路径问题。
13.4《最短路径问题（2）》教案 第 2 页 第 3 页 第 4 页 【数学思想】分类讨论，数形结合 【思路点拨】直线AB上有一点P，此时点P与线段AB的位置关系有两种：①如图1，点在线段AB上；②如图2和图3，点在线段BA的延长线上或点在直线AB的延长线上. 【解题过程】⑴当点P在线段AB上时，如图1，PA+PB=AB即PA+PB最小值
为AB的值；⑵当点P在线段BA的延长线上时，如图2，PB-PA=AB；⑶当点P在线段AB的延长线上时，如图3，PA - PB =AB； 【答案】⑴线段AB上；⑵线段BA的延长线上；⑶线段AB的延长线上. ⑷如图，点 A、B在直线l的同侧，在直线l上能否找到一点P，使得｜PB－PA｜的值最大？ 【知识点】两点之间线段最短，三角形两边的差小于第三边 【思路点拨】当点P、点A、点B不共线时，根据“三角形任意两边的差小于第三边” ，则｜PB－PA｜＜AB； 当点P与A、B共线，点P在线段BA的延长线上时，即点P为直线AB与直线l的交点，则｜PB－PA｜=AB. 【解题过程】⑴当点P在直线l上且点P、点A、点B不共线时｜PB－PA｜＜AB；⑵当点P在线段BA的延长线与直线l的交点时，如图，PB-PA=AB，即 ｜PB－PA｜=AB； 【答案】如图，连接BA并延长交直线l 于P，此时｜PB－PA｜的值最大. （二）课堂设计 1.知识回顾 ⑴在平面内，一个图形沿一定方向、移动一定的距离，这样的图形变换称为平
移变换（简称平移）. 平移不改变图形的形状和大小. ⑵三角形三边的数量关系：三角形两边的差小于第三边 2.问题探究 探究一 运用轴对称解决距离之差最大问题 ●活动①回顾旧知，引入新知
师：上节课我们认识了精通数学、物理学的学者海伦，解决了数学史中的经典问题——“将军饮马问题”，但善于观察与思考的海伦在解决“两点（直线同侧）一线”的最短路径问题时他从另一角度发现了“最大值”的情况： 第 5 页
●活动②整合旧知，探究新知 例1. 如图， A、B两点在直线l的异侧，在直线l上求作一点C，使｜AC－BC｜的值最大． 【知识点】轴对称变换，三角形三边的关系 【思路点拨】根据轴对称的性质、利用三角形三边的关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法.此题的突破点是作点A(或点B)关于直线l的对称点A′(或B′)，利用三角形任意两边之差小于第三边，再作直线A′B(AB′)与直线l交点C. 【解题过程】如图1所示，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B的延长线交l于点C，则点C即为所求． ●活动③类比建模，证明新知 师：回忆我们是怎么利用轴对称的知识证明“两点（直线同侧）一线型”时AC +BC最小的吗？试类比证明“｜AC－BC｜最大”的作法是否正确性？ 理由：在直线l上任找一点C ′ (异于点C )，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′，所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.又在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B＜CA－CB. 练习 点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直
角坐标系，如图所示.若P是x轴上使得|PA－PB|的值最大的点，Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点，请在图中画出点P与点Q. 【知识点】两点之间线段最短，三角形任意两边的差小于第三边，三角形任意两边的和大于第三边 【思路点拨】当点P与A、B共线时，即在线段AB的延长线上，点P为直线AB与x轴的交点，则此时P是x轴上使得|PA－PB|的值最大的点，即｜PA－PB｜=AB. 将点A、B看成y轴同侧有两点：在y轴上求一点Q，使得QA+QB最小 【解题过程】⑴延长线段AB，AB与x轴交于点P，则此时P是x轴上使得|PA－PB|的值最大的点，即｜PA－PB｜=AB；⑵作点A关于x轴的对称点A′，A′B的连线交y轴于点Q，则点Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点. 【答案】如图，点P与点Q即为所求： 第 6 页
探究二 利用平移解决造桥选址问题★▲ ●活动①结合实际，难点分解 师：常说“遇山开路，遇水搭桥”，生活中的建桥问题与我们所学习的轴对称有什么关系呢？ 如图，在笔直河岸CD上的点A处需建一座桥，连接河岸EF，且CD∥EF.显然当桥AB垂直于河岸时，所建的桥长最短. ●活动②生活中的实际问题 例2. 如图，A、B两地位于一条河的两岸，现需要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直） 【知识点】平移知识，两点之间线段最短 【思路点拨】需将实际问题抽象成数学问题：从点A到点B要走的路线是A→M→N→B，如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．如图1，此时两线段AM、BN应在同一平行方向上，平移MN到A A′，则A A′=MN，AM+NB= A′N+NB，这样问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？如图2，连接A′，B两点的线中，线段 A′B最短，因此，线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN，所得路径A→M→N→B是最短的.
图1 【解题过程】 ⑴如图2，平移MN到 AA′（或者过点A作A A′垂直于河岸），且使AA′等于河宽．⑵连接BA′与河岸的一边b交于点N.⑶过点N作河岸的垂线交另一条河岸a于点M. 【答案】如图所示，则MN为所建的桥的位置．
图2 ●活动③几何证明 上述作图为什么是最短的？请你想想. 先让学生小组合作完成，进行展示、分享. 第 7 页
证明：由平移的性质，得 MN∥AA′， 且MN= AA′， AM=A′N， AM∥A′N，所以A、B两地的距离:AM+MN+BN= AA′+ A′N+ BN = AA′+ A′B. 如图2，不妨在直线b上另外任意取一点N′， 若桥的位置建在N′M′处，过点N′作N′M ′⊥a，垂足为M ′，连接AM ′，A′N ′，N ′B.由平行知：AM′=A′N′， AA′= N′M′，则建桥后AB两地的距离为：AM′+M′N′+N′B=A′N′+AA′+N′B=AA′+A′N′+N′B. 在△A′N′B中， ∵A′N′+N′B＞A′B，∴AA′+A′N′+N′B＞AA′+A′B ，即AM′+M′N′+N′B＞AM+MN+BN.所以桥建在MN处，AB两地的路程最短. 【设计意图】利用平移等变换把问题转化为容易解决的已知问题，从而做出最短路径的选择 . 练习 如图1，江岸两侧有A、B两个城市，为方便人们从A城经过一条大江到
B城的出行，今欲在江上建一座与两岸垂直的大桥，且笔直的江岸互相平行.应如何选择建桥的位置，才能使从A地到B地的路程最短？ 【知识点】平移的知识，两点之间线段最短 【思路点拨】从A到B要走的路线是A→M→N→B，如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN到AC，从C到B应是余下的路程，连接BC的线段即为最短的，此时不难说明点N即为建桥位置，MN即为所建的桥． 【解题过程】(1)如图2，过点A作AC垂直于河岸，且使AC等于河宽；(2)连接BC与河岸的一边交于点N；(3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M. 【答案】如图2所示，则MN为所建的桥的位置． 3. 课堂总结 知识梳理 本堂课主要知识为两个最值问题： （1）利用轴对称知识解决“线段距离之差最大”问题； （2）利用平移、两点间线段最短解决“造桥选址”问题． 重难点归纳
解决线段最值问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题． ⑴“距离之差最大”问题的两种模型：①如果两点在一条直线的同侧时，过两点 第 8 页
的直线与原直线的交点处构成线段的差最大；②如果两点在一条直线的异侧时，先作其中一点关于直线的对称点，转化为①即可. 通常求最大值或最小值的情况，常取其中一个点的对称点来解决，而用三角形三边的关系来推证说明其作法的正确性． ⑵ “造桥选址”问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题． （三）课后作业 基础型 自主突破 1.如图，A、B两点分别表示两幢大楼所在的位置，直线a表示输水总管道，直线b表示输煤气总管道．现要在这两根总管道上分别设一个连接点，安装分管道将水和煤气输送到A、B两幢大楼，要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料最短．图中，点A′是点A关于直线b的对称点，A′B分别交b、a于点C、D；点B′是点B关于直线a的对称点，B′A分别交b、a于点E、F．则符合要求的输水和输煤气分管道的连接点依次是（ ） A．F和C B．F和E C．D和C D．D和E 【知识点】最短路径问题． 【思路点拨】 图中隐含了两个“两点（同侧）一线型”的模型. 【解题过程】由轴对称的最短路线的要求可知：输水分管道的连接点是点B关于a的对称点B′与A的连线的交点F，煤气分管道的连接点是点A关于b的对称点A′与B的连线的交点C．故选A． 【答案】A 2. 如图所示，一面镜子MN竖直悬挂在墙壁上，人眼O的位置与镜子MN上沿M处于同一水平线． 有四个物体A、B、C、D放在镜子前面，人眼能从镜子看见的物体有（ ） A.点A、B、C B. 点A、B、D C. 点B、C、D D. 点A、B、C、D 【知识点】轴对称的知识 【思路点拨】物体在镜子里面所成的像就是数学问题中的物体关于镜面的对称点，人眼从镜子里所能看见的物体是它关于镜面的对称点，必须在眼的视线范围内．如下图示，分别作A、B、C、D四点关于直线MN的对称点A′、B′、C′、
