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第六单元
实数
勾股定理
定理内容直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
如果a，b分别表示直角三角形的两直角边，用c表示斜边，那么：a²+b²=c²
探索勾股定理
拼图法
直角三角形的判别条件
勾股定理逆定理
看三边长是否满足
a²+b²=c²（c为最长边）
勾股数
a、b、c是三个正整数满足：a²+b²=c²
勾股定理的应用
在直角三角形中，已知两边长求第三边长
分类按定义分
有理数
正有理数
0负理数无理数
正无理数
负无理数
按性质符号分
正实数0负实数
运算
实数的大小比较实数的混合运算
性质
实数的绝对值、相反数、倒数实数与数轴上的点一一对应
开方
算术平方根
定义
性质
双重非负性
a≥0
√a≥0
确定√a的整数部分、小数部分
根据算术平方根的定义，有m²<a<n²，其m，n是连续的非负整数，则m<√a<n，则√a的整数部分为m，√a的小数部分为√a-m
开平方
平方根
定义
性质
一个正数有两个互为相反数的平方根
0的平方根是0负数没有平方根
求法开立方
立方根定义
性质正数的立方根是正数
0的立方根是0负数的立方根是负数
求法
有限小数或循环小数
无限不循环小数
七年级下册数学
制
作工具：
知犀思维
导
图。
第十一章三角形
第十二章全等三角形
全等三角形的对应边相等
第十三章轴对称
第十四章整式的乘法与因式分解
第十五章分式
第十六章 二次根式
二次根式
定义：式子(a ≥0)叫做二次根式
(a ≥0)是一个非负数
(a ≥0)
运算二次根式的乘法二次根式的除法
二次根式的混合运算二次根式的加减
二次根式加减是，可以先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式
满足下列两个特点的二次根式，叫最简二次根式.
（1）被开方数不含分母，分母
中不含二次根式；
（2）被开方数中不含开得尽方
的因数或因式.
最简二次根式
性质
(a ≥0,b ≥0)(a ≥0,b ＞0)
(a ≥0,b ＞0)
第十七章勾股定理
第十八章平行四边形
第十九章一次函数
第二十章数据的分析。
学习必备 欢迎下载 表3-1 主题单元教学设计模板 (填写说明:文档内所有斜体字均为提示信息,在填写后请删除提示信息)
主题单元标题 勾股定理 作者姓名 刘永 学科领域 （在内打√ 表示主属学科，打+ 表示相关学科） 思想品德 音乐 化学 信息技术 劳动与技术 语文 美术 生物 科学 √数学 外语 历史 社区服务 体育 物理 地理 社会实践
其他（请列出）： 适用年级 八年级 所需时间 课内共用7课时
主题单元学习概述(说明：简述主题单元在课程中的地位和作用、单元的组成情况，单元的学习重点和难点、解释专题的划分和专题之间的关系，单元的主要学习方式和预期的学习成果，字数300-500。)
勾股定理是人教版义务教育课程标准实验教科书八年级下册第十八章的内容。勾股定理是几何中几个重要定理之一。它解释了直角三角形三遍之间的数量关系。他在数学发展中起着重要作用。在现实生活中的地位也有举足轻重的作用。学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解，也是后续学习的基础。因此本节内容在知识体系中起着重要作用。 本章主要研究勾股定理与其逆定理，包括它们的发现、证明和应用.首先让学生通过观察得出直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论并加以证明，从而得到勾股定理，然后运用勾股定理解决问题.在此基础上，引入勾股定理的逆定理，并结合此项内容介绍逆命题、逆定理的概念。 本章的重点为勾股定理及其逆定理的探索与运用.本章的难点为勾股定理的证明，勾股定理及其逆定理的运用。 学生对几何图形的观察，几何图形的分析能力已初步形成。部分学生解题思维能力比较高，能够正确归纳所学知识，通过学习小组讨论交流，能够形成解决问题的思路。现在的学生已经厌倦教师单独的说教方式，希望教师设计便于他们进行观察的几何环境，给他们自己探索、发表自己见解和展示自己才华的机会；更希望教师满足他们的创造愿望。
主题单元规划思维导图（说明：将主题单元规划的思维导图导出为jpeg文件后，粘贴在这里；如果提交到平台，则需要使用图片导入的功能，具体操作见《2013学员教师远程研修手册》。） 学习必备 欢迎下载 主题单元学习目标（说明：依据新课程标准要求描述学生在本主题单元学习中所要达到的主要目标） 知识与技能：1、了解勾股定理的证明方法。 2、掌握勾股定理的内容； 初步学会用勾股定理解决直角三角形的有关计算问题。 过程与方法：1、培养学生观察、比较、猜想、探究等能力，提高思维水平和用数学语言归纳概括的能力；培养学生探索问题、解决问题的逻辑推理能力及数学的应用意识。 2、通过实际分析、拼图等活动，使学生获得较为直观的印象；通过联系和比较，理解勾股定理，以利于正确的进行运用。 情感态度与价值观：1、让学生体验自己努力得到结论的成就感,体验数学充满探索和创造,体验数学的美感,从而了解数学,喜欢数学。以学生身边的实例解决来激发学生探究数学的兴趣，培养学生的合作意识； 2、通过有关勾股定理的知识了解激发学生爱国热情,进行爱国主义教育，培养民族自豪感。
《勾股定理》复习课教学设计一、教学目标：1、理解本章节知识构建过程，进一步理解勾股定理及其逆定理，掌握常见的勾股定理题型，能熟练进行常规题型通性通法的运算。
2、在观察、比较、分析、概括、猜想、验证等学习活动过程中，有条理、有根据地思考、探究问题，渗透数形结合的数学思想，并培养学生的抽象概括能力。
3、感受主动参与、合作交流的乐趣，培养学生自主探索的学习习惯，乐于探究的学习态度。
二、教学重点：勾股定理及其逆定理的特征和计算。
教学难点：运用转化思想构造所需要的直角三角形。
三、教学准备教师准备：课件（图片资料、视频等）、勾股定理直观演示教具；学生准备：练习本。
四、教学过程：教学引入：勾股定理描述了直角三角形三边之间的数量关系，是沟通了几何图形与数的运算一个重要桥梁，同时又蕴含了多种数学思想，如：数形结合、分类讨论、转化、方程等，所以本单元在中考中从思想方法和计算能力上要求都比较高。
学习目标展示：设计目的：让学生学习有目标，努力有方向。
素养小题抢答：1、勾股定理的内容是什么？2、若直角三角形的两条边长分别为3cm，4cm，另外一条边长为多少.3、如果一个直角三角形的两直角边分别为6，8，则斜边上的是多少.4、勾股定理逆定理的内容是什么？5、给出下列4组数据：(1) 9、12、15 ；（2）7、24、25；（3）32、42、52；（4）3a、4a、5a （a>0）；其中可构成直角三角形的有______________ (填序号）。
6、勾股定理有什么作用？学习过程：让各组学生抢答，根据抢答情况分组加分，同时组织学生纠错。
教师活动：针对易出错问题进行及时强调。
思维导图扬帆：学习过程：教师检查小组长的学案，然后让小组长检查纠错。
设计目的：进一步形成知识网络题型分类助航：教师活动：为学生展示美丽的“勾股树”，引出勾股定理的证明，并为学生展示动图证明勾股定理，激发学习的学习欲望和爱国热情。
题型一、“勾股树”问题典型例题1 —（同步学习33页，练习1）如下图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A,B,C,D的边长分别为3,5,2，3，则正方形E的面积为（）A. 13B. 26C. 47D. 94活动设计：自主思考，举手回答，到屏幕处讲解。
勾股定理主题单元设计 主题单元标题 勾股定理 作者姓名 : : 学科领域（在□内打V表示主属学科，打+表示相关学科） □思想品德 □音乐 □化学 口信息技术 □劳动与技术
□其他（请列出）：
□语文 □美术 □生物 □科学 日数学 □外语 □历史 □社区服务 □体育 □物理 □地理 □社会实践
适用年级 八年级 所需时间 课内5课时，课外1课时 主题单元学习概述
勾股定理是初中数学中的一个重要定理， 它从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征， 学习 勾股定理及其逆定理是进一步理解和认识直角三角形的需要， 也是后续有关几何度量运算和代数 学习必要的基础，再数学的学习和发展中起着重要的作用， 在日常生活中也有着广泛的应用。 它 将为学生学习数学和开拓思维打下基础。勾股定理主题单元包括：“探索勾股定理”、“能得到直 角三角形吗”、“蚂蚁怎样走最近”三部分内容。本单元的重点是勾股定理的探究验证、直角三角 形的判定条件、勾股数、综合应用勾股定理及其逆定理解决实际问题。
主题单元规划思维导图 L 昨竝甘也 ft! -HU'SfeKli. TB. M=VU二 n5*fc-Hnrr.i. ：髦对咽梱弓环恤ngn瓠~m：F甘恫也髦卞尸■便nxn
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主题单元学习目标 知识与技能： 1、 用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三 角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用.
2、 掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题。 3、 通过对几种常见的勾股定理验证方法的分析和欣赏，理解数学知识之间的内在联系；经历综 合运用已有知识解决问题的过程，加深对勾股定理、整式运算、面积等的认识。 4、 理解勾股定理逆定理的具体内容及勾股数的概念；能根据所给三角形三边的条件判断三角形 是否是直角三角形。 5、 学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念及应用意识. 过程与方法： 1、 让学生经历“观察---猜想---验证”的探索过程，了解勾股定理的各种探究方法及其内在联系, 并体会数形结合和特殊到一般的方法. 2、 经历不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题方法的多样性，进一步体会勾 股定理的文化价值； 3、 通过验证过程中数与形的结合，体会数形结合的思想以及数学知识之间的内在联系。 4、 通过丰富有趣的拼图活动，经历观察、比较、拼图、计算、推理交流等过程，发展空间观念 和有条理地思考和表达的能力，获得一些研究问题的方法与经验。 5、 在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思 想.
情感态度与价值观： 1、 在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激 发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习. 2、 在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神；通过对勾股定理历史的了解，感受数 学文化，增强爱国情感，并通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识。
■.1■诃
A 垃 Ci< B-»|F insist :Ff^PriTfiC yUr’ $手・・■ ； f ^fB.^qSEI ■ r ■-出『h】；■*■"讣咼iw耳.•兀*羽円忙1!',甩hyjfi. 3、 通过丰富有趣的拼图活动增强对数学学习的兴趣；通过探究总结活动，让学生获得成功的体
验和克服困难的经历，增进数学学习的信心；在合作学习活动中发展学生的合作交流的意识和能 力。 4、 通过有趣的问题提高学习数学的兴趣，在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性.
对应课标 探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。
主题单元问题 设计
1、 如何探索勾股定理？
2、 如何利用边判定直角二角形？ 3、 怎样应用勾股定理及其逆定理解决相应的实际问题？
专题划分 专题一：探索勾股定理 （课内3课时+课外研究性学习） 专题二：能得到直角三角形吗 （1课时） 专题二:蚂蚁怎样走最近 （1课时）
专题一 探索勾股定理 所需课时 课内3课时+课外1课时
专题学习目标： 知识与技能目标：能用自己的语言叙述勾股定理，经历勾股定理的探索过程，理解勾股定理。 过程与方法目标：让学生经历“观察一猜想一归纳---验证”的数学探究过程，发展合情推理能力，体 会数形结合的思想方法。
情感态度与价值观目标：丰富数学学习的成功体验， 初步形成积极参与数学活动的意识， 通过冋题情 景的创设和解决，让学生体验生活中的数学，能用数学的眼光看待生活。
专题问题设计 1、 怎样用数格子和图形割补法探究勾股定理？ 2、 勾股定理的内容是什么？ 3、 用图形割补法怎样验证勾股定理？有几种常见的不同方法？ 4、 已知直角三角形的两边，怎样求第三边的平方？ 5、 用拼图法怎样验证勾股定理？各种方法的联系？ 所需教学环境和教学资源 信息化资源 几何画板课件 常规资源 作图工具（直尺，三角尺等）教参、课标。 教学支撑环境 多媒体教室、网格纸。 其 他 纸笔等 学习活动设计 第一课时探索勾股定理 活动一： 步骤(1)投影显示如下地板砖示意图，让学生初步观察:
思考：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？ 学生通过观察，归纳发现：结论 1以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和， 等于以斜边为边长的正方形的面积. 从观察实际生活中常见的地板砖入手，让学生感受到数学就在我们身边•通过对特殊情形的探究 得到结论1，为探究活动二作铺垫•探究活动一让学生独立观察，自主探究，培养独立思考的习惯和能 力；通过探索发
现，让学生得到成功体验，激发进一步探究的热情和愿望 (2) 填表:
A的面积 (单位面积) B的面积 (单位面积) C的面积 (单位面积) 左图 右图 (3) 你是怎样得到正方形 C的面积的？与同伴交流•(学生可能会做出多种方法，教师应给予
【技术应用】应用几何画板(或利用方格纸)演示说明，形象直观。 (4 )分析填表的数据，你发现了什么?
活动二： 内容：由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢?
(1)观察下面两幅图:
(2)引导学生从面积角度观察图形: 八兀 学生通过分析数据，归纳出：结论 2以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等 于以斜边为边长的正方形的面积. 探究活动二意在让学生通过观察、计算、探讨、归纳进一步发现一般直角三角形的性质•由于正 方形C的面积计算是一个难点，为此设计了一个交流环节 •学生通过充分讨论探究，在突破正方形 C 的面积计算这一难点后得出结论 2. 活动三：内容:(1)你能用直角三角形的边长 a、b、c来表示上图中正方形的面积吗？
(2) 你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？ (3) 分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度. 2中发现的规 律对这个三角形仍然成立吗？ 意在让学生在结论 2的基础上，进一步发现直角三角形三边关系， 得到勾股定理•让学生归纳表述 结论，可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力 第二课时：用图形面积割补验证勾股定理 活动1 : 教师导入，小组拼图•
今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个全等的直角三角形，拼 出一个以斜边为边长的正方形 •(请每位同学用2分钟时间独立拼图，然后再 4人小组讨论.) 为了让学生在活动中体会图形的构成，既为勾股定理的验证作铺垫，同时也培养学生的动手、创 新能力•
活动2:层层设问,，完成验证一. 学生通过自主探究，小组讨论得到两个图形：
图2 问：(1)如图1你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？(学生先独立思考，再 4人小组交 流);(2)你能由此得到勾股定理吗？为什么？ 从而利用图1验证了勾股定理•
活动3 :自主探究，完成验证二.
我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，联系整式运算的有关知识，从理论上验 证了勾股定理，你还能利用图2验证勾股定理吗？(学生先独立探究，再小组交流，最后请一个小组
