[初二数学《简析勾股定理》的知识点归纳]勾股定理思维导图

初二的数学思维导图欣赏学生数学思维能力的培养可以同过让学生制作思维导图。

下面小编精心整理了，供大家参考，希望你们喜欢!初二的数学思维导图北师大版初二数学知识点：勾股定理1、勾股定理直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2。

2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c有这种关系，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股数满足的三个正整数，称为勾股数。

常见的勾股数组有：(3，4，5);(5，12，13);(8，15，17);(7，24，25);(20，21，29);(9，40，41);……(这些勾股数组的倍数仍是勾股数)人教版初二数学知识点：三角形1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，13.公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.⑶多边形内角和公式：边形的内角和等于·180°⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.⑸多边形对角线的条数：①从边形的一个顶点出发可以引条对角线，把多边形分成个三角形.②边形共有条对角线.。

勾股定理主题单元教学设计适用年级八年级所需时间课内3课时，课外1课时主题单元学习概述《勾股定理》有着悠久的历史，在世界数学史上有着重要的地位，其证明过程中所体现出来的“形数结合”思想更具有科学创新的意义;勾股定理在解决直角三角形边长相关问题的数据计算和判断直角方面有不可替代的作用，许多与直角三角形有关的问题的解决大都离不开勾股定理.本单元的学习重点;探索发现并验证勾股定理及定理的应用。

学习难点：1．"割补法"探究直角三角形斜边为边长的正方形的面积计算。

2．通过拼图验证勾股定理。

本单元有三部分组成：探索勾股定理、能得到直角三角形吗、蚂蚁怎样走最近。

可划分为两个专题。

专题一：勾股定理及逆定理的证明；专题二：勾股定理的应用。

各专题之间是平行关系，专题一是理论，基础，专题二是实践，应用。

本单元主要的学习方式：教师指导下的学生自学即探究性学习。

学过本单元，学生能充分理解并掌握勾股定理及逆定理的证明，能进行简单的应用。

主题单元规划思维导图主题单元学习目标知识技能：了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用多种方法验证勾股定理，，应用勾股定理进行简单的计算和证明。

，掌握直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理），并能进行简单应用。

过程与方法：体会数形结合的的数学思想及数学知识间的内在联系。

培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

经历探索并证明三角形（多边形）内角和定理、外角和定理的过程，体会并掌握转化等数学思想方法．情感态度与价值观：了解我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，树立民族自豪感，培养热爱祖国的精神。

对应课标了解勾股定理的数学价值及东西方数学文化；运用面积法证明勾股定理，培养创造性思维；认识勾股数及其构造方法。

体会数形结合的思想并能利用勾股定理及逆定理进行计算和解决实际问题。

主题单元问题设计1、勾股定理的起源及内容2、勾股定理及逆定理的证明3、利用定理及逆定理进行计算和证明并能解决最短路程的实际问题。

勾股定理知识点归纳稿子一嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊超有趣的勾股定理哟！啥是勾股定理呢？其实呀，就是在一个直角三角形里，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

比如说，一个直角三角形的两条直角边分别是 3 和 4，那斜边就是 5 啦，因为 3 的平方加上 4 的平方等于 5 的平方，是不是还挺神奇的？勾股定理用处可大着呢！如果我们知道了两条边的长度，就能算出第三条边的长度。

像盖房子的时候，工人叔叔就能用它来确定角度和长度，保证房子稳稳当当的。

还有哦，勾股定理也能帮我们解决好多数学题。

比如说求三角形的面积，或者判断一个三角形是不是直角三角形。

而且呀，勾股定理还有好多常见的勾股数，像 3、4、5；5、12、13；6、8、10 等等。

记住这些勾股数，做题的时候说不定能省不少时间呢！怎么样，小伙伴们，勾股定理是不是很有意思呀？稿子二嗨嗨，朋友们！今天咱们一起走进勾股定理的奇妙世界！勾股定理就像是数学王国里的一把神奇钥匙，能打开好多难题的大门。

你看哈，直角三角形里，两条直角边分别叫“勾”和“股”，斜边叫“弦”。

勾股定理说的就是勾的平方加上股的平方等于弦的平方。

举个例子，一个直角三角形，勾是 6，股是 8，那弦就是 10 哟，因为 6 的平方 36 加上 8 的平方 64 等于 10 的平方 100。

这定理在生活里也到处能用上。

好比你要在院子里围个直角的篱笆，知道两边长度，就能算出斜边要多长的篱笆材料啦。

做题的时候，要是给了两条边，让求第三条边，那勾股定理就派上大用场啦。

还有那些特殊的直角三角形，比如等腰直角三角形，两条直角边相等，用勾股定理就能很快算出斜边长度。

呀，勾股定理是个超棒的工具，能让我们解决好多难题，是不是很厉害呢？好啦，关于勾股定理就先说到这儿，大家要好好记住哦！。

勾股定理中四种重要的数学思想1 方程思想1 求距离长度问题例１有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺. 如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面. 水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？分析在Rt △ABC 中，只有BC 边的长度，利用勾股定理求一边的长度，还要知道另一边的长度. 因此可以通过设立未知量，建立方程求解.解:设水的深度为AB 为x 尺，则芦苇的长度AC(AD)为（x+1）尺. 依题意可以得到如图1所示的图形∵在Rt △ABC 中，BC=5尺，根据勾股定理可得方程（x+1）2=x2+52解得x=12 ∴x+1=13则水的深度为12尺，芦苇的长度为13尺. 图12 折纸问题例2 如图所示，把一个长方形（四个角都是直角，对边相等）折叠，恰好点D 落边BC 上，交BC 与点F. 已知AB=8cm，BC=10cm，求EC 的长.A D 分析Rt △AEF, 是Rt △AED 沿边AE 边折叠的，所以就可以通过折叠中对称的性质得到许多的等量，在矩形中的折叠可以得到许多的直角三角形. 要求EC 边长，构造直角三角形，找出EC 边所E 在的直角三角形，在根据勾股定理，找出所需的量以及各个量之间的关系. 在已知量与为质量之间建立方程关系.解由题意，得AF=AD,DE=EF.C 在Rt △ABF 中，AB=8cm，AF=AD=10cm，B∴=6(cm).图2F∵BC=10cm，∴CF=10－6=4(cm).设CE=xcm，则DE=(8－x)cm ，∴EF=DE=(8－x)cm ，在Rt △CEF 中，根据勾股定理可得方程42+x2=（8－x ）2解得x=3，故EC 的长为3cm 2 数形结合思想1 方位问题方位问题是勾股定理实际运用的重要体现. 也是数形结合的典型列子.例3台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏性. 如图所示，据气象部门观测，距沿海某城市A 的正南方向220km B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20km ，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15km/h的速度沿北偏东30°方向往C 处移动，且台风中心风力不变. 若城市所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响.分析根据图形找出距离A 点最近的台风中心的位置, 求出距离就可以判断是否收到影响, 影响的风力. 根据题意可以在图形上直观得找到所受影响的范围, 构造直角三角形, 根据勾股定理就可以求出范围及影响的时间.(1)该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由；(2)若会受到台风影响，则台风影响该城市持续时间有多长. (3)该城市受到台风影响的最大风力为几级. 解（1）作AD ⊥BC 于D,AD 为城市A 距台风中心的最短距离，在Rt △ABD 中，∠B=30°，AB=220km.- 1 -∴AD=1AB=110km. 2由题意知，当点A 距离台风（12－4）×20=160（km ）时，将会受到台风的影响，故该城市会受到台风的影响.（2）由题意知，当A 点距台风中心不超过160km 时，将会受到台风的影响，则以A 点为圆心，以160km 长为半径画弧，交BC 于E 、F 两点，此时AE=AF=160km，当台风中心从E 移到F 处时，该城市都会受到台风影响，由勾股定理得==EF=2DE==h ）. （3）当台风中心位于D 时A 市受这次台风影响的风力最大，最大风力为12－110=5（级）.。

(一)勾股定理1：勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c,那么a 2+b 2＝c 2我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.要点诠释：2、勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b，a ）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 3：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证cbaHG F EDCBAa bcc baED CBA bacbac cabcab 弦股勾4：勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17；9,40,41等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）5、注意：（1）勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

第十七章 勾股定理单元总结【思维导图】【知识要点】知识点一 勾股定理勾股定理概念：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=变式：1）a ²=c ²- b ²2）b ²=c ²- a ²适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。

勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．c ba HG FEDC BA方法二：b ac b a cca b c a b四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证222a b c += a b ccb a E DCB A知识点二 勾股定理的逆定理勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数常见的勾股数：如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等扩展：用含字母的代数式表示n 组勾股数：1）221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2）2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）3）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）注意：每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数。