勾股定理思维导图+题型总结精编版

勾股定理主题单元教学设计适用年级八年级所需时间课内3课时，课外1课时主题单元学习概述《勾股定理》有着悠久的历史，在世界数学史上有着重要的地位，其证明过程中所体现出来的“形数结合”思想更具有科学创新的意义;勾股定理在解决直角三角形边长相关问题的数据计算和判断直角方面有不可替代的作用，许多与直角三角形有关的问题的解决大都离不开勾股定理.本单元的学习重点;探索发现并验证勾股定理及定理的应用。

学习难点：1．"割补法"探究直角三角形斜边为边长的正方形的面积计算。

2．通过拼图验证勾股定理。

本单元有三部分组成：探索勾股定理、能得到直角三角形吗、蚂蚁怎样走最近。

可划分为两个专题。

专题一：勾股定理及逆定理的证明；专题二：勾股定理的应用。

各专题之间是平行关系，专题一是理论，基础，专题二是实践，应用。

本单元主要的学习方式：教师指导下的学生自学即探究性学习。

学过本单元，学生能充分理解并掌握勾股定理及逆定理的证明，能进行简单的应用。

主题单元规划思维导图主题单元学习目标知识技能：了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用多种方法验证勾股定理，，应用勾股定理进行简单的计算和证明。

，掌握直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理），并能进行简单应用。

过程与方法：体会数形结合的的数学思想及数学知识间的内在联系。

培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

经历探索并证明三角形（多边形）内角和定理、外角和定理的过程，体会并掌握转化等数学思想方法．情感态度与价值观：了解我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，树立民族自豪感，培养热爱祖国的精神。

对应课标了解勾股定理的数学价值及东西方数学文化；运用面积法证明勾股定理，培养创造性思维；认识勾股数及其构造方法。

体会数形结合的思想并能利用勾股定理及逆定理进行计算和解决实际问题。

主题单元问题设计1、勾股定理的起源及内容2、勾股定理及逆定理的证明3、利用定理及逆定理进行计算和证明并能解决最短路程的实际问题。

完整版)勾股定理知识点与常见题型总结勾股定理复勾股定理是指直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，表示为a^2 + b^2 = c^2，其中a、b为直角三角形的两直角边，c为斜边。

勾股定理的证明常用拼图的方法。

通过割补拼接图形后，根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。

常见的证明方法有以下三种：1.通过正方形的面积证明，即4ab + (b-a)^2 = c^2，化简可证。

2.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积，即4ab + c^2 = 2ab + c^2，化简得证。

3.通过梯形的面积证明，即(a+b)×(a+b)/2 = 2ab + c^2，化简得证。

勾股定理适用于直角三角形，因此在应用勾股定理时，必须明确所考察的对象是直角三角形。

勾股定理可用于解决直角三角形中的边长计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题。

在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算。

同时，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解。

勾股定理的逆定理是：如果三角形三边长a、b、c满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。

a^2+b^2=c^2$是勾股定理的基本公式。

如果三角形ABC 不是直角三角形，我们可以类比勾股定理，猜想$a+b$与$c$的关系，并对其进行证明。

勾股定理的实际应用有很多。

例如，在图中，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B 到地面的距离为7m。

现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m。

同时梯子的顶端B下降至B′。

那么BB′的长度是小于1m的（选项A）。

又如，在图中，一根24cm的筷子置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中。

设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是7cm ≤ h ≤ 16cm（选项D）。

勾股定理中四种重要的数学思想1 方程思想1 求距离长度问题例１有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺. 如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面. 水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？分析在Rt △ABC 中，只有BC 边的长度，利用勾股定理求一边的长度，还要知道另一边的长度. 因此可以通过设立未知量，建立方程求解.解:设水的深度为AB 为x 尺，则芦苇的长度AC(AD)为（x+1）尺. 依题意可以得到如图1所示的图形∵在Rt △ABC 中，BC=5尺，根据勾股定理可得方程（x+1）2=x2+52解得x=12 ∴x+1=13则水的深度为12尺，芦苇的长度为13尺. 图12 折纸问题例2 如图所示，把一个长方形（四个角都是直角，对边相等）折叠，恰好点D 落边BC 上，交BC 与点F. 已知AB=8cm，BC=10cm，求EC 的长.A D 分析Rt △AEF, 是Rt △AED 沿边AE 边折叠的，所以就可以通过折叠中对称的性质得到许多的等量，在矩形中的折叠可以得到许多的直角三角形. 要求EC 边长，构造直角三角形，找出EC 边所E 在的直角三角形，在根据勾股定理，找出所需的量以及各个量之间的关系. 在已知量与为质量之间建立方程关系.解由题意，得AF=AD,DE=EF.C 在Rt △ABF 中，AB=8cm，AF=AD=10cm，B∴=6(cm).图2F∵BC=10cm，∴CF=10－6=4(cm).设CE=xcm，则DE=(8－x)cm ，∴EF=DE=(8－x)cm ，在Rt △CEF 中，根据勾股定理可得方程42+x2=（8－x ）2解得x=3，故EC 的长为3cm 2 数形结合思想1 方位问题方位问题是勾股定理实际运用的重要体现. 也是数形结合的典型列子.例3台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏性. 如图所示，据气象部门观测，距沿海某城市A 的正南方向220km B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20km ，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15km/h的速度沿北偏东30°方向往C 处移动，且台风中心风力不变. 若城市所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响.分析根据图形找出距离A 点最近的台风中心的位置, 求出距离就可以判断是否收到影响, 影响的风力. 根据题意可以在图形上直观得找到所受影响的范围, 构造直角三角形, 根据勾股定理就可以求出范围及影响的时间.(1)该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由；(2)若会受到台风影响，则台风影响该城市持续时间有多长. (3)该城市受到台风影响的最大风力为几级. 解（1）作AD ⊥BC 于D,AD 为城市A 距台风中心的最短距离，在Rt △ABD 中，∠B=30°，AB=220km.- 1 -∴AD=1AB=110km. 2由题意知，当点A 距离台风（12－4）×20=160（km ）时，将会受到台风的影响，故该城市会受到台风的影响.（2）由题意知，当A 点距台风中心不超过160km 时，将会受到台风的影响，则以A 点为圆心，以160km 长为半径画弧，交BC 于E 、F 两点，此时AE=AF=160km，当台风中心从E 移到F 处时，该城市都会受到台风影响，由勾股定理得==EF=2DE==h ）. （3）当台风中心位于D 时A 市受这次台风影响的风力最大，最大风力为12－110=5（级）.。

初中数学：勾股定理全章知识点总结⼤全及重点题型基础知识点1：勾股定理　直⾓三⾓形两直⾓边a、b的平⽅和等于斜边c的平⽅。

（即：a2+b2＝c2）要点诠释：勾股定理反映了直⾓三⾓形三边之间的关系，是直⾓三⾓形的重要性质之⼀，其主要应⽤：（1）已知直⾓三⾓形的两边求第三边（2）已知直⾓三⾓形的⼀边与另两边的关系，求直⾓三⾓形的另两边（3）利⽤勾股定理可以证明线段平⽅关系的问题2：勾股定理的逆定理如果三⾓形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三⾓形是直⾓三⾓形。

要点诠释：勾股定理的逆定理是判定⼀个三⾓形是否是直⾓三⾓形的⼀种重要⽅法，它通过“数转化为形”来确定三⾓形的可能形状，在运⽤这⼀定理时应注意：（1）⾸先确定最⼤边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直⾓的直⾓三⾓形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝⾓的钝⾓三⾓形；若c2<a2+b2，则△ABC为锐⾓三⾓形）。

3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直⾓三⾓形的性质定理，⽽其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直⾓三⾓形有关。

4：互逆命题的概念 如果⼀个命题的题设和结论分别是另⼀个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中⼀个叫做原命题，那么另⼀个叫做它的逆命题。

5：勾股定理的证明　勾股定理的证明⽅法很多，常见的是拼图的⽅法　⽤拼图的⽅法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，⾯积不会改变②根据同⼀种图形的⾯积不同的表⽰⽅法，列出等式，推导出勾股定理规律⽅法指导1．勾股定理的证明实际采⽤的是图形⾯积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

2．勾股定理反映的是直⾓三⾓形的三边的数量关系，可以⽤于解决求解直⾓三⾓形边边关系的题⽬。

3．勾股定理在应⽤时⼀定要注意弄清谁是斜边谁直⾓边，这是这个知识在应⽤过程中易犯的主要错误。

勾股定理知识点归纳和题型归类勾股定理是指直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可以表示为a²+b²=c²。

证明勾股定理的方法有很多种，其中常见的是拼图法。

拼图法的思路是通过割补拼接图形，使得面积不变，然后根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。

常用的拼图法有4S、四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积以及梯形面积等方法。

勾股定理只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。

因此，在应用勾股定理时，必须明确所考察的对象是直角三角形。

勾股定理可以应用于求解直角三角形的任意两边长，求解另一边的长度，或者求解已知一边长，推导出另外两边之间的数量关系。

此外，勾股定理还可以用于解决一些实际问题。

勾股定理的逆定理是指如果三角形三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。

逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法。

在运用逆定理时，可以用两小边的平方和a²+b²与较长边的平方c²作比较，若它们相等，则以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若a²+b²c²，则以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形。

2.定理中的$a,b,c$及$a^2+b^2=c^2$只是一种表现形式，不可认为是唯一的。

例如，若三角形三边长$a,b,c$满足$a^2+c^2=b^2$，那么以$a,b,c$为三边的三角形是直角三角形，但$b$为斜边。

3.勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：“当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形。

”6.勾股数是能够构成直角三角形的三边长的三个正整数，即$a^2+b^2=c^2$中，$a,b,c$为正整数时，称$a,b,c$为一组勾股数。

记住常见的勾股数可以提高解题速度，例如$3,4,5$；$6,8,10$；$5,12,13$；$7,24,25$等。

勾股定理知识点归纳和题型归类一．知识归纳１．勾股定理 ：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 222a ，b ，斜边为c ，那么 a b c２ .勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一： 4 SS正方形 EFGHS 正方形 ABCD ，4 1 ab (ba) 2c 2，化简可证．2DCbaAaDHacbcbEGcFcbabcac EcBaAabBbC方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S 41ab c 2 2ab c 22大正方形面积为 S ( a b)2 a 2 2ab b 2 ，所以 a 2 b 2 c 2方法三：S 梯形1 ( a b) (a b)，S 梯形 2S ADES ABE2 1 ab 1 c 2，化简得证 22 2３ .勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形， 对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征， 因而在应用勾股定理时， 必须明了所考察的对象是直角三角形４ .勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在 ABC 中， C 90 ，则 ca 2 b 2 ， b c 2 a 2 ， ac 2 b 2②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５ .勾股定理的逆定理如果三角形三边长 a ， b ， c 满足 a 2 b 2 c 2 ，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为 斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形 ”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和 a 2 b 2 与较长边的平方 c 2 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若a 2 b2 c2，时，以 a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若 a 2 b2 c2，时，以 a ，b ，c为三边的三角形是锐角三角形；②定理中 a ， b ， c 及a2 b 2 c2 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 a ， b ， c 满足 a2 c2 b2，那么以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形，但是 b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６ .勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 a 2 b 2 c2中， a ，b ，c 为正整数时，称 a ， b ， c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25 等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：丢番图发现的：式子m 2 n 2 ,2mn, m 2 n 2 (m n 的正整数）毕达哥拉斯发现的： 2n 1,2n2 2 ,2n2 2 1（ n 1的整数）n n柏拉图发现的： 2 , 2 1,n 2 1（ n 1的整数）n n７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９ .勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．题型一：直接考查勾股定理例 1.在ABC中， C 90 ．⑴已知 AC 6 ， BC 8．求 AB 的长⑵已知 AB 17， AC 15，求BC的长题型二：应用勾股定理建立方程例 2.⑴在ABC 中，ACB 90 ， AB 5 cm， BC 3 cm， CD AB 于 D ，CD＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3: 4 ，斜边长为 15 ，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30 cm ，斜边长为 13 cm ，则这个三角形的面积为例 3.如图ABC 中，C90，1 2，CD ， BD 2.5 ，求AC的长CD1A 2BE例 4.如图 Rt ABC ，C 90 AC 3,BC 4 ,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积CAB题型三：实际问题中应用勾股定理例 5.如图有两棵树，一棵高 8 cm ，另一棵高 2 cm ，两树相距 8 cm ，一 只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了m 。

AB Ca b c弦股勾勾股定理（知识点）【知识要点】1. 勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。

3. 勾股数：①满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。

）②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）4.命题、定理、证明⑴ 命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。

理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。

⑵ 命题的分类（按正确、错误与否分） 真命题（正确的命题） 命题假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。

所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。

⑶ 公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。

⑷ 定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。

⑸ 证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。

⑹ 证明的一般步骤 ① 根据题意，画出图形。

② 根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。

③ 经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。

5.判断直角三角形：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

勾股定理复习一．知识归纳１．勾股定理：直角三角形两直角边旳平方和等于斜边旳平方；表达措施：假如直角三角形旳两直角边分别为，，斜边为，那么a b c 222a b c +=２.勾股定理旳证明，常见旳是拼图旳措施　①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会变化②根据同一种图形旳面积不一样旳表达措施，列出等式，推导出勾股定理常见措施如下：措施一：，4EFGH S S S ∆+=正方形正方形A B C D 2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．措施二：四个直角三角形旳面积与小正方形面积旳和等于大正方形旳面积．四个直角三角形旳面积与小正方形面积旳和为 221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为因此222()2S a b a ab b =+=++222a b c +=措施三：，，化简得证1()()2S a b a b =+⋅+梯形2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形３.勾股定理旳合用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在旳数量关系，它只合用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察旳对象是直角三角形４.勾股定理旳应用：勾股定理可以协助我们处理直角三角形中旳边长旳计算或直角三角形中线段之间旳关系旳证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形旳前提条件，理解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（一般作垂线），构造直角三角形，以便对旳使用勾股定理进行求解．①已知直角三角形旳任意两边长，求第三边。

在中，，则，ABC ∆90C ∠=︒c =b =，a =②懂得直角三角形一边，可得此外两边之间旳数量关系cba HG FEDCBAbacbac cabcab a bccb aE D CBA③可运用勾股定理处理某些实际问题５.勾股定理旳逆定理　假如三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边。

(一)勾股定理1：勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c,那么a 2+b 2＝c 2我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.要点诠释：2、勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b，a ）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 3：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证cbaHG F EDCBAa bcc baED CBA bacbac cabcab 弦股勾4：勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17；9,40,41等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）5、注意：（1）勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。