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常微分方程的基本概念常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODE）是数学中的一个重要概念，广泛应用于物理学、工程学、生物学等领域。
本文将对常微分方程的基本概念进行讨论，并介绍其解法和应用。
一、概述常微分方程是关于未知函数及其导数的方程，通常用x表示自变量，y表示因变量，y'表示y关于x的导数。
常微分方程可以分为一阶和二阶常微分方程，一阶常微分方程中只涉及一阶导数，而二阶常微分方程则涉及二阶导数。
一阶常微分方程可以写成如下形式： F(x, y, y') = 0二、解法常微分方程的解法可以分为解析解和数值解两种方法。
1. 解析解解析解是指能够用解析函数表示的常微分方程的解。
解析解的求解需要运用数学分析方法，常见的解法包括分离变量法、齐次方程法、一阶线性方程法等。
一些简单的常微分方程，如y'=x，y''+y=0等，可以直接得到解析解。
2. 数值解数值解是指使用数值计算方法求解常微分方程的近似解。
常见的数值解法包括欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法等。
这些方法将连续的微分方程转化为离散的差分方程，并通过迭代求解逼近真实解。
数值解适用于无法得到解析解或解析解过于复杂的情况。
三、应用常微分方程在各个学科中都有广泛的应用，下面介绍几个典型的应用领域。
1. 物理学常微分方程在物理学中有重要应用，可以描述运动学、动力学、场论等。
例如，牛顿第二定律F=ma可以转化为二阶常微分方程。
常微分方程在天体力学、电动力学、流体力学等领域起着关键作用。
2. 工程学常微分方程在工程学中的应用十分广泛，例如弹簧振子的自由振动、电路中的RLC系统等都可以用常微分方程进行建模和求解。
工程学中的常微分方程解法通常需要结合实际问题进行求解和分析。
3. 生物学生物学中许多现象都可以用常微分方程进行建模和解释。
如生物种群的增长与衰减、化学反应动力学等都与常微分方程密切相关。
求常微分方程的数值解一、背景介绍常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是描述自然界中变化的数学模型。
常微分方程的解析解往往难以求得，因此需要寻找数值解来近似地描述其行为。
求解常微分方程的数值方法主要有欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法等。
二、数值方法1. 欧拉法欧拉法是最简单的求解常微分方程的数值方法之一。
它基于导数的定义，将微分方程转化为差分方程，通过迭代计算得到近似解。
欧拉法的公式如下：$$y_{n+1}=y_n+f(t_n,y_n)\Delta t$$其中，$y_n$表示第$n$个时间步长处的函数值，$f(t_n,y_n)$表示在$(t_n,y_n)$处的导数，$\Delta t$表示时间步长。
欧拉法具有易于实现和理解的优点，但精度较低。
2. 改进欧拉法（Heun方法）改进欧拉法又称Heun方法或两步龙格-库塔方法，是对欧拉法进行了精度上提升后得到的一种方法。
它利用两个斜率来近似函数值，并通过加权平均来计算下一个时间步长处的函数值。
改进欧拉法的公式如下：$$k_1=f(t_n,y_n)$$$$k_2=f(t_n+\Delta t,y_n+k_1\Delta t)$$$$y_{n+1}=y_n+\frac{1}{2}(k_1+k_2)\Delta t$$改进欧拉法比欧拉法精度更高，但计算量也更大。
3. 龙格-库塔法（RK4方法）龙格-库塔法是求解常微分方程中最常用的数值方法之一。
它通过计算多个斜率来近似函数值，并通过加权平均来计算下一个时间步长处的函数值。
RK4方法是龙格-库塔法中最常用的一种方法，其公式如下：$$k_1=f(t_n,y_n)$$$$k_2=f(t_n+\frac{\Delta t}{2},y_n+\frac{k_1\Delta t}{2})$$ $$k_3=f(t_n+\frac{\Delta t}{2},y_n+\frac{k_2\Delta t}{2})$$ $$k_4=f(t_n+\Delta t,y_n+k_3\Delta t)$$$$y_{n+1}=y_n+\frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)\Delta t$$三、数值求解步骤对于给定的常微分方程，可以通过以下步骤求解其数值解：1. 确定初值条件：确定$t=0$时刻的函数值$y(0)$。
常微分方程解析解常微分方程是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
对于一个常微分方程，寻找它的解析解是我们研究和解决问题的关键。
本文将介绍常微分方程解析解的概念、求解方法和应用，以帮助读者更好地理解和应用常微分方程。
一、概念在常微分方程中，解析解指的是通过代数或初等函数表示的解。
与解析解相对的是数值解，数值解是通过数值计算方法得到的近似解。
解析解具有精确性和完整性，可以给出问题的全面解答和直观理解。
因此，寻找常微分方程的解析解是研究和应用的首要任务。
二、求解方法常微分方程的求解方法主要包括分离变量法、齐次方程法、一阶线性方程法等。
下面简要介绍这几种方法。
1. 分离变量法对于形如dy/dx = f(x)g(y)的一阶常微分方程，可以将变量分离，即将方程移项，然后两边同时积分，得到解析解y = F(x)。
2. 齐次方程法对于形如dy/dx = f(y)/g(x)的一阶常微分方程，可以通过引入新的变量转化成齐次方程。
如果f(y)和g(x)满足一定的条件，可以通过变量代换和分离变量法得到解析解。
3. 一阶线性方程法对于形如dy/dx + p(x)y = q(x)的一阶常微分方程，可以通过引入积分因子的方法将其转化成线性方程。
然后可以通过分离变量和积分得到解析解。
三、应用常微分方程的解析解在各个领域有着广泛的应用。
下面以物理和工程领域为例进行介绍。
1. 物理应用物理学中的许多现象和规律都可以通过常微分方程来描述，而解析解则可以给出这些现象和规律的精确解答。
比如经典力学中的运动方程、电磁学中的麦克斯韦方程等均可以通过常微分方程的解析解进行研究和应用。
2. 工程应用工程领域中的许多问题也可以建模成常微分方程，通过求解其解析解可以为工程设计和优化提供指导。
比如在电路设计中，通过求解电路中的微分方程可以得到电流和电压的解析解，从而分析电路中的性能和特性。
四、总结常微分方程解析解是研究和应用的重要工具，通过解析解可以给出问题的全面解答和直观理解。
常微分方程常微分方程是指只涉及一元函数和它的导数的方程，通常用来描述自然界中的各种现象。
例如，物理学中的牛顿第二定律、生物学中的人口增长模型等等。
常微分方程在各个学科都有着广泛的应用，因此掌握常微分方程的解法和相关理论非常重要。
一阶常微分方程我们先来看一阶常微分方程，形式一般如下：$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$其中$y=y(x)$，$f(x,y)$是已知的函数，我们需要求出$y=y(x)$的解。
这种形式的常微分方程也称为首次积分方程，因为我们需要对$f(x,y)$进行积分才能得到$y(x)$。
通常我们使用分离变量法。
具体步骤如下：1.把方程两边关于$x$和$y$分离，得到$\frac{dy}{f(x,y)}=dx$。
2.对两边同时积分，得到$\int\frac{dy}{f(x,y)}=\intdx+C$，其中$C$是常数。
3.解方程得到$y=y(x)$。
二阶常微分方程二阶常微分方程的一般形式为：$$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$$其中$y=x(t)$，$p(x),q(x),f(x)$的表达式已知，我们需要求解$y=x(t)$的解析表达式。
二阶常微分方程比一阶常微分方程更广泛，它可以用来描述许多自然现象，例如弹簧振动、震荡现象等等。
我们可以采用以下几种方法求解二阶常微分方程：1.常系数线性齐次方程的解法，对于形如$y''+ay'+by=0$的方程，我们可以假设$y=e^{mx}$作为解，代入方程得到特征方程$m^2+am+b=0$，然后求出$m$的值，进一步得到方程的通解。
2.变系数线性齐次方程的解法，对于形如$y''+p(x)y'+q(x)y=0$的方程，通常采用欧拉-柯西方程的方法来求解，这个方法可以将一个二阶常微分方程转化为一个一阶常微分方程。
3.非齐次方程的解法，对于形如$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$的方程，我们可以采用常数变易法或者伯努利方程的方法来求解，从而得到方程的通解。
常微分方程的常系数线性方程常微分方程是求解自然现象中变量随时间变化的数学工具。
它是描述自然现象中许多重要现象如振荡、决策、生长和衰变等的基础。
常微分方程又可分为一阶方程和高阶方程。
一般的高阶方程可以通过将其转化为同阶但有更多变量的方程来解决。
而本文所涉及的是常微分方程中的常系数线性方程，它是一类重要的高阶方程，大量实际问题都可以用常系数线性方程来描述和解决。
一、基本概念和定义常系数线性方程是指高阶形式为$y^n + a_{n-1}y^{n-1} + ... + a_1y’ + a_0y = f(x)$的方程，其中$n \in N, a_i \in R (i=0,1,...,n-1)$是常数，$f(x)$是已知函数，$y=y(x)$是要解的未知函数。
该方程中的常数称为常系数，线性指$f(x)$为一次函数，即不含有未知函数$y$的高次项。
二、解法为了求解常系数线性方程，我们首先要解其特征方程，即解形如$y^n + a_{n-1}y^{n-1} + ... + a_1y’ + a_0y = 0$的齐次方程。
特征方程的根称为特征根，常系数线性方程的解法要分三种情况：实根不同、重根和虚根。
(1)实根不同的情况当特征方程有$n$个不同实根$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$时，设对应的齐次方程的$n$个线性无关解分别为$y_1,y_2,...,y_n$，那么方程的通解为$y=c_1y_1+c_2y_2+...+c_ny_n$，其中$c_1,c_2,...,c_n$是任意常数。
(2)重根的情况当特征方程有一个重根$\lambda$时，设对应的齐次方程的两个线性无关解分别为$y_1=e^{\lambda x}$和$y_2=xe^{\lambda x}$，那么方程的通解为$y=(c_1+c_2x)e^{\lambda x}$，其中$c_1，c_2$是任意常数。
(3)虚根的情况当特征方程有$n$个对应的虚根$\alpha_1 \pm \beta_i i(1\leq i\leq m)$时，设对应的齐次方程的$n$个线性无关解分别为：$y_1=e^{\alpha_1x}cos\beta_1x,...,y_{2m-1}=e^{\alpha_1x}cos\beta_mx$$y_2=e^{\alpha_1x}sin\beta_1x,...,y_{2m}=e^{\alpha_1x}sin\beta _mx$那么方程的通解为$y=(c_1cos\beta_1x+c_2sin\beta_1x)e^{\alpha_1x}+...+(c_{2m-1}cos\beta_mx+c_{2m}sin\beta_mx)e^{\alpha_1x}$，其中$c_1,c_2,...,c_{2m}$是任意常数。
《常微分方程》知识点整理
一、定义与特点
常微分方程(ordinary differential equation)是数学中描述物理、
化学、生物等过程的重要工具，它描述物体状态及其变化的模型，可以用
来研究物体的动力、动力学、物理现象等问题。
它可以从几何角度、分析
角度以及物理角度这三个角度来看待，它是一个研究条件下物体状态和变
化的数学方程。
常微分方程有以下几个特点：
1.常微分方程是一类特殊的未知函数问题，它由一个函数及它的一阶
或多阶导数组成。
2.未知函数有可能是多元函数，也可能是单元函数，可以是实函数也
可以是复函数。
3.常微分方程的形式因微分函数种类而各异，有非线性方程、线性方程、常系数方程、变系数方程等类型。
4.常微分方程的解可以是定状态的、非定状态的、稳定的或不稳定的，它可以有解或得不到解。
5.常微分方程具有很深的理论性，可用来求解物理、化学、力学等问题，可以修正原来结论，使现象更加接近实际情况。
二、种类
1.线性常微分方程：线性微分方程是常微分方程中最简单的类型，它
的特点是多重未知函数的阶和系数形式都是定值，而不依赖于其他函数，
它的解可以直接用几何方法求解（比如可以用函数级数的展开形式求解）。
2.二次可积常微分方程：这类方程中。
第五章 常微分方程（简记ODE ）本章主要知识点●可分离变量的ODE ●一阶线性非齐次常微分方程及推广 ●二阶常系数线性齐次与非齐次常微分方程 ● 一些特殊类方程一、可分离变量的ODE1．基本型的解法 基本型：()()dy G x H y dx= 基本解法： ()()dy G x dx H y = ()()dy G x dx H y =⎰⎰例5.1．1)0(,==-y e dxdy y x 解：dx e dy e x y =⎰⎰=dx e dy e x y通解为：c e e x y += 将1,0==y x 得：1-=e c 得 1-+=e e e x y例5.2．(1)ln y y y xdx '+= 解：(1)ln y dy xdx y+= 1(1)ln dy xdx y +=⎰⎰，得：ln ||ln y y x x x C +=-+例5.3．dx y x dy y x )1()1(122+=+- 解：dx x x y dy y 2211)1(-=++，2(1)1y dy y +=+⎰ 得：()21arctan ln 12y y C ++= 例5.4．已知()f x 满足0()(1)()1x f t dt x f x +-=⎰，求()f x 。
解：由0()(1)()1xf t dt x f x +-=⎰知(0)1f =-。
方程两边对x 求导得()()(1)()0f x f x x f x '++-=，分离变量求得2()(1)c f x x =-， 将(0)1f =-代入得1c =-，21()(1)f x x =--。
2．可转化的可分离变量的齐次方程 ()x y f y'= 方法：令()y p y p x x y p xp x''=⇒=⇒=+ xdx p p f dp p f dx dp x p =-⇒=+⇒)()(。
例5.5．yx y x dx dy +-= 解：x yx ydx dy +-=11 令pp dx dp x p xp p y px y x y p +-=+⇒+=⇒=⇒=11'', pp p p p p dx dp x +--=-+-=⇒121112x dx p p dp p =--+⇒221)1( xdx p dp p =+-+⇒⎰2)1(2)1( C x p p +=---⇒ln 21ln 212， 将xy p =代入即可。
常微分方程的格式随着科学技术的不断发展，微分方程在各个领域中得到了广泛应用。
微分方程是一种描述自然现象的数学模型，它可以用来描述物理、化学、生物等领域中的很多现象。
其中，常微分方程是一种最为基本和重要的微分方程，它的解法和应用都十分广泛。
在本文中，我们将介绍常微分方程的格式及其相关知识。
一、常微分方程的定义常微分方程是指只包含一个自变量和其导数的一阶或高阶微分方程，即形如y' = f(x,y) 或y'' = f(x,y,y')的微分方程。
其中，y表示未知函数，x表示自变量，f(x,y)表示已知函数。
常微分方程是一种描述自然现象的数学模型，它可以用来描述很多物理、化学、生物等领域中的现象。
二、常微分方程的基本形式常微分方程可以写成一般形式y^(n) =f(x,y,y',y'',...,y^(n-1))，其中y^(n)表示y的n阶导数。
根据方程的阶数，可以将常微分方程分为一阶和高阶两类。
1、一阶常微分方程一阶常微分方程的一般形式为y' = f(x,y)，其中y'表示y对x 的一阶导数，f(x,y)表示已知函数。
一阶常微分方程可以进一步分类为可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程等几种类型。
（1）可分离变量方程可分离变量方程的一般形式为dy/dx = f(x)g(y)，其中f(x)和g(y)是已知函数。
这种类型的方程可以通过分离变量的方法解出。
（2）齐次方程齐次方程的一般形式为dy/dx = f(y/x)，其中f(y/x)是已知函数。
这种类型的方程可以通过变量代换的方法解出。
（3）一阶线性方程一阶线性方程的一般形式为dy/dx + p(x)y = q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数。
这种类型的方程可以通过积分因子的方法解出。
2、高阶常微分方程高阶常微分方程的一般形式为y^(n) =f(x,y,y',y'',...,y^(n-1))，其中y^(n)表示y的n阶导数。
一、方程的阶与次数（1）阶：微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶.2)1(x dxdy= 0 (2)=-ydx xdy 是一阶微分方程； 0 )3(322=+⎪⎭⎫⎝⎛+x dt dx tx dt x d 是二阶微分方程；sin 35 )4(2244t x dtxd dt x d =++是四阶微分方程.（2）次数：最高阶导数的乘幂次数称为该方程的次数0 )3(322=+⎪⎭⎫⎝⎛+x dt dx tx dt x d 为二阶一次的sin 35 )4(222t x dt dxdt x d =++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛为二阶二次的 二、方程的线性与非线性线性微分方程：若微分方程中各项关于未知函数及其各阶导数都是一次的则称为线性微分方程，否则为非线性2 )1(x dx dy = 0 (2)=-ydx xdy sin 35 )4(2244t x dtxd dt x d =++是线性微分方程.0 )3(322=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+x dt dx tx dt x d 1)5(=∂∂+∂∂y u x u u 是非线性微分方程 三、柯西问题即求解微分方程的满足初值条件的解的问题通常记为问题的解的初值问题也称满足条件阶微分方程求,)(,,)(,)(,0),,,,(:)1(010)1()1(0000Cauchy y dxx y d y dx x dy y x y dx y d dx dy y x F n n n n n n ---==== 0),,,,(=n n dx y d dx dy y x F ，)1(010)1()1(0000)(,,)(,)(---===n n n y dxx y d y dx x dy y x y 四、反例设xoy 平面上的圆簇为()()为任意常数其中r b a r b y a x ,,,222=-+-，试求它所满足的微分方程 解求一阶导数有：()0)(=-'+-b y y a x()()()0201)3(2='''+-+'''='+-''+y y y b y y y y b y y 继续求导有：即有：消去)(b y -()()()031232='''-'+y y y y五、变量分离方程 定义1形如)1.2()()(y x f dxdyϕ=的方程,称为变量分离方程.,)(),(的连续函数分别是这里y x y x f ϕ变量分离方程的求解,10分离变量写成将时当)1.2(,0)(≠y ϕ,)()(dx x f y dy=ϕ这样变量就分离开两边积分得02：)2.2()()(cdx x f y dy+=⎰⎰ϕ.)1.2(),()2.2(的解就为所确定的函数由c x y ϕ=例 ()122+=y x dxdy分离变量:dx x y dy21=+两边积分:C dx x y dy+=+⎰⎰221C x y +=331arctan 例1求微分方程)101(yy dx dy -=的所有解 解: 再积分方程两边同除以),101(yy -1)101(c dx y y dy +=-⎰⎰积分得110lnc x yy+=-得再将常数记为从上式中解出,,c y ,110xcey -+=.0≠c ,100,0)101(===-y y yy 和求出方程的常数解为由 故方程的所有解为:.0,,110=+=-y c ce y x和为任常数例2求微分方程的解23y dxdyx = 解:dx xdy y 123=-分离变量后得 两边积分得:121ln 2c x y+=-- 整理后得通解为,)(ln 4)(ln 4221cx c x y =+=1c e c =其中.,,0应补上这个解未包含在通解中此外还有解=y例3求微分方程.)(,)(的连续函数是其中的通解x x p y x p dxdy-= 解: 将变量分离后得dx x p ydy)(-= 两边积分得1)(lnc dx x p y +-=⎰, 由对数的定义有1)(c dx x p e y +-⎰=.)()(1⎰=⎰±=--dxx p dxx p c ce e e y,0,0,0也包括在上式中即知若在上式中充许也是方程的解此外===y c y故方程的通解为.,)(为任常数c ce y dxx p ⎰=-()簇原函数的整分中它代表的某一原函数，而在数只代表里它与数分中不一样，在这：不定积分记号)()(1x f x f dx x f ⎰ .,)2.2(,)1.2(,0)(,2000必须予以补上的通解中可能它不包含在方程的解也是则使：若存在注y y y y ==ϕ六、齐次方程 形如)5.2()(xyg dx dy =方程称为齐次方程，.)(的连续函数是这里u u g1齐次方程的几种形式和解法()().y ),N(,M ,,,1次）齐次函数的同次（如和都是）（其中函数：方程形式n x y x y x y x N y x M dx dy =xt 1=事实上，取()()⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==x y g x y N x y M ty tx N t ty tx M t dx dy n ,1,1,,1则 ()().,,,,2的零次齐次函数是其中：方程形式y x y x f y x f dxdy=.01),(),,(次的特殊情况皆为事实上，即==y x N y x f M解法)(,)(,)(10u dxdux dx dy x u u g dx du x y u +=-==这里由于方程化为引入新变量作变量代换解以上的变量分离方程02 .30变量还原例 求微分方程()y x dxdy-=2sin 的解. 解:,0=∆y x y b x a z -=+=11故令 则z z y dxdz22cos sin 11=-='-= c x z z +=≠tan 0cos 时有故变量还原得通解为()c x x y +=-tan ,时有0cos =z ()Z k k x y ∈⎪⎭⎫⎝⎛++=,21π七、灵活代换 例10)1()(2=++-dy x y dx y x 求解可放在微分号内，即有对解：因非线性项,,2y dy y ()()012122=++-dy x dx y x的一阶线性方程：，则有关于故令z z y =2 xxz x dx dz +-=+-1212 12)1(12212122+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰+-⎰==⎰+-+x x c c dx e x x e y z dx xdx x 从而有 例2()112-=ye x xdx dy dx dy e dx du e u y y ==则解：试令,()u u x xu x x u -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=222111即为关于u 的伯努利方程八、隐式方程（作业）0,133='-'+y x y x 求解方程()()2221,2y y y '-=-'解：的隐式方程这是不显含y 例4求解方程 ,)(12dxdy x dx dy +=:,则方程变为设dxdyp =,12p x p +=把方程表为参数形式引入参数,t 代入方程得令,22,tan ππ<<-=t t p .sin t x =由于,sin cos tan tdt tdt t pdx dy ===积分得c t dt t y +-==⎰cos sin故原方程参数形式的通解为⎩⎨⎧+-==c t y tx cos sin得通解为可以消去参数,t .1)(22=-+c y x九、一阶线性微分方程 1、（1）一阶线性方程形式0)()()(=++x c y x b dxdyx a 的区间上可写成在0)(≠x a )1()()(x Q y x P dxdy=+的连续函数在考虑的区间上是这里假设x x Q x P )(),( 变为则若)1(,0)(=x Q )2(0)(=+y x P dxdy称为一阶齐次线性方程)2(称为一阶非齐线性方程则若)1(,0)(≠x Q （2）一阶线性方程的解法-----常数变易法解对应的齐次方程010)(=+y x p dxdy得对应齐次方程解 为任意常数c dx ce y x p ,)(⎰=-常数变易法求解02))1(),((的解使它为的待定函数变为将常数x c x c 则的解为令,)1()()(⎰=-dx x p e x c y dx x p dxx p e x p x c e dxx dc dx dy ⎰-⎰=--)()()()()( 代入(1)得dx x p e x Q dxx dc ⎰=)()()(积分得~)()()(c dx e x Q x c dx x p +⎰=⎰的通解为故)1(30)3())((~)()(c dx e x Q ey dx x p dxx p +⎰⎰=⎰-)3())((~)()(c dx e x Q e y dx x p dx x p +⎰⎰=⎰-分开写即：⎰⎰⎰+⎰=--dx x p dxx p dxx p ex Q e e c y )()()(~)(注1 求(1)的通解可直接用公式(3)注2 线性非齐次方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和 例8 求解方程.0)(=-+dy x y ydx解：,),(,),(x y y x N y y x M -==这里,1),(1),(-=∂∂≠=∂∂xy x N y y x M 故方程不是恰当方程,方法1:=-∂∂-∂∂M xNy M )(因为y2- )(y ϕ= ,有关仅与y的积分因子故方程有一个仅依赖于y,1)(22)(y ee y dyy dyy =⎰=⎰=-ϕμ.011:122=-+=dy yx dy y dx y y 乘方程两边得以μ .02=+-ydyy xdy ydx 故方程的通解为: .ln c y yx=+ 方法2:方程改写为:,ydy xdy ydx -=-容易看出方程左侧有积分因子:22221111yx xy x y +=或或或μ 由此得为方程的积分因子故取,12y =μ.2ydyy xdy ydx -=- 故方程的通解为.ln c y yx=+ 方法3: 方程改写为:,11-=x ydy dx ,有关但方程右侧仅与y分方程为自变量的一阶线性微为未知函数它是以y x ,故方程的通解为:)ln ()1()())((~~~11~)()(c y y c dy yy c dy eec dy e y Q e x dy ydy ydyy p dyy p +-=+-=+⎰-⎰=+⎰⎰=⎰⎰⎰--即方程的通解为:.ln c y yx=+ 方法4: 方程改写为: xy xyy x ydx dy -=-=1 这是齐次方程, 代入方程得令x y u =,1uuu dx du x-=- 即,112dx x du u u =-故通解为: ,ln ln 1c x u u+=-- 变量还原得原方程的通解为:.ln c y yx=+ 2、积分因子：求伯努利方程的积分因子——书P38),(),(),(),(,0),(=+≠dy y x N y x dx y x M y x y x μμμ使得如果存在连续可微函数.)1(),(,的一个积分因子是方程则为恰当方程y x μ.,0)32()43(),(222并求其通解的一个积分因子是方程验证=+++=dy y x x dx xy y y x y x μ解: 对方程有332243),(),(y x y xy x M y x +=μ24332),(),(y x y x y x N y x +=μ由于xy x N y x y x y x y y x M y x ∂∂=+=∂∂),(),(126),(),(222μμ,),(后为恰当方程故所给方程乘于y x μ.),(是其积分因子所以y x μ后得对方程两边同乘以y x y x 2),(=μ0)32()43(2433322=+++dy y x y x dx y x y x把以上方程重新“分项组合”得0)34()23(2433322=+++dy y x dx y x ydy x dx y x即03423=+y dx y dx也即0)(3423=+y x y x d故所给方程的通解为: 。
