常微分方程模型及其求解问题(一)

常微分方程的多种解法白洁（安康学院数学与统计学院）摘要：对一道常微分方程问题，运用3种不同解法求解。

问题一（①：化为一阶可分离方程求解；②：化为一阶恰当微分方程求解；③：化为一阶线性微分方程求解）；问题二（①：待定系数法求解；②：常数变异法求解；③：矩阵解法求解）。

关键词：可分离、恰当、线性、待定系数、常数变异、矩阵问题一：求微分方程：yx dx dy 22+=的通解1、化为一阶可分离方程解：将原方程化为：()022=-+ydy dx x ，显然该方程是可分离的 对方程两端同时积分，有：()⎰⎰=-+c ydy dx x 22 （c 为任意常数） 即：c y x x =-+2221231得到隐式解：k x x y ++=43232，这里k= - 2c 故得解：k x x y ++=43231 k x x y ++-=43232 2、化为一阶恰当微分方程解：将原方程化为：()022=-+ydy dx x这里：()2,2+=x y x M ，()y y x N -=, 显然：0=∂∂=∂∂xNy M ，则该方程是恰当的 所以，存在()c y x g =,（c 为任意常数），使得N ygM x g =∂∂=∂∂, 应用偏积分法，有：()⎰+=y h Mdx g ()()⎰++=y h dx x 22 ()y h x x ++=2313 则：()N y h yg==∂∂' 于是，()()⎰⎰==Ndy dy y h y h ' =⎰-ydy221y -=所以，()c y x x y x g =-+=2321231,，此即为方程的隐式解故可得解：k x x y ++=43231 k x x y ++-=43232，这里k= - 2c 3、一阶线性微分方程解：将原方程化为：()12'2-+=y x y 即为伯努利方程形式，这里p(x)=0 进一步化为：22'+=x yy ，即()()222'2+=x y令2y z =，则()222'+=x z 由此易得：⎰=dx z z '()d x x ⎰+=222c x x ++=4323（c 为任意常数）于是：c x x y ++=43232 故可得解：k x x y ++=43231 k x x y ++-=43232，这里k= - 2c问题二：求微分方程：x y y y =+-96'''的通解 1、待定系数法 解：令096'''=+-y y y则其特征方程为：0962=+-λλ 解得：321==λλ 所以x x h xe c e c y 3231+=这里，方程右端()x x =ϕ是一次多项式 可设01A x A y p +=于是，0,''1'==p p y A y代入原方程得：()x A x A A =++-011960 比较系数，得：272,9101==A A 所以27291+=x y p 所以，通解为：272913231+++=+=x xe c e c y y y x x p h （21,c c 为任意常数） 2、常数变异法解：令096'''=+-y y y则其特征方程为：0962=+-λλ 解得：321==λλ所以x x h xe c e c y 3231+=这里，方程右端()x x =ϕ，方程的阶数2=n 可设x x p xe v e v y 3231+=则有()()()()⎩⎨⎧=++=+x xe e v e v xe v e v xx x x x 33'23'13'23'1330 得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=xxe x v e x v 3'232'1于是，xx e x x dx e x dx v v 3232'112729231-⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-==⎰⎰⎰⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛--===x x e x dx e x dx v v 33'229131将上式代入p y ，得：27291+=x y p 所以，通解为：272913231+++=+=x xe c e c y y y x x p h （21,c c 为任意常数） 3、矩阵解法解：这个微分方程等价于标准矩阵微分方程：()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x y x y x y 21，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=6910A ，()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x x f 0 则，()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=x x x xAxe x xe xe e x e 333331931 故，()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=-----x x x x Axe x xexe e x e333331931 于是，()()()[]()[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=x x x xx Axe k x k k e k x k k k k e x xexe xe x k e 3221312121333393319331 ()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=-------x x x xx xAxe x x e x x e x xexe e x x f e323233333031931()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=-----⎰⎰⎰x x xxAxe x x e x x dx e x x dx e x dx xf e32323232913127292313 ()()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=---⎰9127291913127292313193132323333x e x x e x x e x xexe e x dx x f eex x x xx xAxAx且()()()[]()[]⎰⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++-++++-=+=-913927291332213121xxAx Ax Ax e k x k k x e k x k k dx x f e e k e x y 故()()()[]27291331211+++-==x e k x k k x y x y x()27291331+++=x e x k k x这里，2133k k k +-= （21,k k 为任意常数）参考文献：[1]赵临龙、张明波，等常微分方程第一版。

常微分方程的初值问题及其解法常微分方程是自然界中各种变化的基础模型，广泛应用于物理、工程、生物、经济学等领域。

初值问题是其中最基本的问题之一。

本文将从初值问题的意义入手，介绍几种不同的数值解法，并评价其优缺点。

1. 初值问题的意义首先，我们来看一个简单的例子。

假设有一个人从一楼的窗户往下跳，忽略空气阻力，我们可以列出他下落的物理规律：$$\frac{d^2h}{dt^2}=g$$其中$h$是跳下来后距离地面的高度，$t$是时间，$g$是常数，表示重力加速度。

上面这条式子就是一个二阶常微分方程。

我们的问题是，如果知道了他的初速度$v_0$和起始高度$h_0$，能否求得他下落到地面时的时间和高度。

这个例子中，$h$和$t$都是连续的量，但是我们并不能解析地求出$h(t)$的解析式，因此需要用数值方法去近似求解。

这就是初值问题的意义。

通常，初值问题是指某一初始时刻$t_0$的初值：$$y'(t_0)=f(y(t_0),t_0),\ y(t_0)=y_0$$其中$y$是未知函数，而$f$则是已知函数。

对于一阶常微分方程，这个条件是充分的，可以唯一地决定一个解。

但是对于更高阶的常微分方程，则需要多个初始条件才能确定一个解。

然而，这已经超出了本文的范畴，这里只讨论一阶常微分方程的初值问题。

2. 数值解法下面将介绍几种常见的数值解法。

2.1. 欧拉法欧拉法是最简单的数值解法之一，其思路是将初值问题离散化。

具体来说，我们可以将时间$t$分成若干个小段，每段的长度为$\Delta t$。

于是，我们可以将初始时刻$t_0$的初始值$y(t_0)=y_0$，并通过欧拉法近似计算下一个时间点$t_0+\Delta t$的值$y_1$：$$y_1=y_0+f(y_0,t_0)\Delta t$$同理，我们可以通过已知的$y_1$和$t_1=t_0+\Delta t$，计算下一个时间点$t_2=t_0+2\Delta t$的值$y_2$：$$y_2=y_1+f(y_1,t_1)\Delta t$$依此类推，直到我们得到一个目标时间$t_m$的值$y_m$。

常微分方程的求解及其应用常微分方程是微积分中十分重要的一个分支。

通过解决微分方程，我们可以得到模型在不同情况下的变化，进而为实际问题的解决提供了关键性所在。

本文将介绍常微分方程的求解及其应用。

一、常微分方程的基础知识在介绍常微分方程的求解之前，我们先来了解一些常微分方程的基础知识。

常微分方程是指只有一个自变量的微分方程，即形如：$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$其中y是自变量，x是因变量，f(x,y)是一个已知函数。

上述方程也可以写成以下形式：$$y'=f(x,y)$$其中y'表示y对x的导数。

二、常微分方程的求解方法1.可分离变量法可分离变量法是常微分方程最常用的求解方法。

该方法的主要思想是将变量y和x分离，即将f(x,y)拆分为g(x)h(y)，使得原方程可写成以下形式：$$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$$然后将上式两边分别积分即可。

以求解一阶线性微分方程为例，其形式为：$$y'+p(x)y=q(x)$$首先，将右式中的q(x)移到左边，得到：$$y'+p(x)y-q(x)=0$$然后，应用一个分离变量法的思想，令p(x)=P'(x)，即可将该方程写成：$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$然后，我们使用降阶的方法将该一阶方程转换为首阶方程。

具体来说，将y分离出来，得到：$$\frac{dy}{dx}=-P(x)y+Q(x)$$我们令u(x)=e^{\int P(x)dx}，则上式可以写成：$$u(x)\frac{dy}{dx}-u(x)P(x)y=u(x)Q(x)$$将上式两边同时积分，得到：$$u(x)y=\int u(x)Q(x)dx+C$$其中C为常数，e^{\int P(x)dx}也可以写成常数K。

这样，我们就求解出了一阶线性微分方程。

2.参数化方法参数化方法是常微分方程的另一种常见求解方法。

该方法的核心是寻找一条曲线，使得函数y(x)可以表示为该曲线上某点的函数。

18—1 常微分方程数值解法2§1 引言§2 Euler 方法§3 Runge －Kutta 方法§4 单步法的收敛性与稳定性§5 线性多步法§6 方程组与高阶方程的情况§7 边值问题的数值解法3§1 引言微分方程：关于一个未知函数的方程，方程中含有未知函数的（偏）导数，以及自变量等，其中关于未知函数导数的最高次数称为微分方程的阶数.例如：0)()(')()(''=++−x c y x b y x a x y4实际中，很多问题的数学模型都是微分方程. 常微分方程作为微分方程的基本类型之一，在理论研究与工程实际上应用很广泛. 很多问题的数学模型都可以归结为常微分方程. 很多偏微分方程问题，也可以化为常微分方程问题来近似求解.微分方程的应用情况5对于一个常微分方程：'(,) ,[,]dy y f x y x a b dx==∈为了使解存在，一般要对函数f 施加限制条件，例如要求f 对y 满足Lipschitz 条件：1212(,)(,)f x y f x y L y y −≤−6同时，一个有解的微分方程通常会有无穷多个解例如cos() sin(),dyx y x a a R dx=⇒=+∀∈为了使解唯一，需要加入一个限定条件. 通常会在端点出给出，如下面的初值问题：(,),[,]()dyf x y x a b dx y a y ⎧=∈⎪⎨⎪=⎩7常微分方程的解是一个函数，但是，只有极少数特殊的方程才能求解出来，绝大多数是不可解的.并且计算机没有办法对函数进行运算. 一般考虑其近似解法，一种是近似解析法，如逼近法、级数解法等，另一种是本章介绍的数值解法.8§2 Euler 方法92－1 Euler 公式对常微分方程初值问题：⎩⎨⎧==00')(),(y x y y x f y 数值求解的关键在于消除其中的导数项——称为离散化. 利用差商近似逼近微分是离散化的一个基本途径.10现在假设求解节点为),,1,0(m i ih a x i "=+=，其中ma b h −=为步长，这些节点相应的函数值为)(,),(1m x y x y ". 在点n x 处，已知))(,()('n n n x y x f x y =用n x 的向前差商nn n n x x x y x y −−++11)()(近似代替)('n x y ，如§1，则得到所谓的Euler 公式1(,)n n n n y y hf x y +=+——单步、显式格式11Euler 公式的局部截断误差：假设)(n n x y y =情况下，11)(++−n n y x y 称为局部截断误差.'''2311''23()()()()()2()(,()(()))2n n n n n n n n n y x y x y y x hy x h O h y x h y x f x y x h O h ++−=+++−−=+故有)(2)(''211n n n x y h y x y ≈−++. 122－2 后退的Euler 公式同样对常微分方程初值问题，在1+n x 点，已知))(,()(111'+++=n n n x y x f x y ，如果用向后差商hx y x y n n )()(1−+代替)(1'+n x y ，则得到后退的Euler 公式：111(,)n n n n y y hf x y +++=+——单步、隐式格式13相对于以上可以直接计算1+n y 的Euler 公式（显式），上式是隐式公式. 一般来讲，显式容易计算，而隐式具有更好的稳定性.求解上述公式，通常使用迭代法：对于给定的初值)0(1+n y，计算(1)()111(,)(0,1,)k k n n n n y y f x y k ++++=+="， 如果)(1lim k n k y +∞→收敛，则其极限必满足上述后退Euler 公式.14局部截断误差：假设)(n n x y y =，则),()(111++++=n n n n y x hf x y y .由于)]()[,())(,(),(1111111+++++++−+=n n n y n n n n x y y x f x y x f y x f η且''''2111(,())()()()()n n n n n f x y x y x y x hy x O h +++==++15则有'2''31111(,)[()]()()()()n y n n n n n n y hf x y y x y x hy x h y x O h η++++=−++++将此式减去式2'''31()()()()()2n n n n h y x y x hy x y x O h +=+++ 可得，2''311111()(,)[()]()()2n n y n n n n h y x y hf x y x y y x O h η+++++−=−−+16考虑到21111(,)()1(,)y n y n hf x O h hf x ηη++=++−，则有22''3''11()()()()22n n n n h h y x y y x O h y x ++−=−+≈−172－3 梯形公式由于上述两个公式的局部截断误差绝对值相等，符号相反，故求其算术平均得到梯形公式：111[(,)(,)]2n n n n n n hy y f x y f x y +++=++——单步、隐式格式18梯形法同样是隐式公式，可用下列迭代公式求解：(0)1(1)()111(,)[(,)(,)]2n n n n k k n n n n n n y y hf x y h y y f x y f x y +++++⎧=+⎪⎨=++⎪⎩局部截断误差：类似于后退Euler ，可计算出)(12)('''311n n n x y h y x y −≈−++192－4 改进的Euler 公式上述用迭代法求解梯形公式虽然提高了精度，但计算量也很大. 实际上常采用的方法是，用Euler 公式求得初始值（预测），然后迭代法仅施行一次（校正）——改进的Euler 公式：1111(,)[(,)(,)]2n n n n n n n n n n y y f x y hy y f x y f x y ++++⎧=+⎪⎨=++⎪⎩20估计上式中第二式当1+n y 为准确值时的局部截断误差：''11113(3)()()(()[()()])2()12n n n n n n n hy x y y x y x y x y x hy x ++++−=−++≈−212－5 Euler 两步公式如果用中心差商hx y x y n n 2)()(11−+−代替)('n x y ，则得Euler 两步公式112(,)n n n n y y hf x y +−=+——两步、显式格式22假设1−n y 及n y 均为准确值，利用Taylor 展式容易计算Euler 两步公式的局部截断误差为：11113(3)()()(()2(,()))()3n n n n n n n y x y y x y x hf x y x h y x +++−−=−+≈23此式与梯形公式相结合，得到如下的预测－校正公式：111112(,)[(,)(,)]2n n n n n n n n n n y y hf x y hy y f x y f x y −++++⎧=+⎪⎨=++⎪⎩假设第一式中的1−n y 及n y ，以及第二式中的n y 及1+n y 均是准确值，则有，2441)()(1111−≈−−++++n n n n y x y y x y 从而可得以下的事后估计式，111111114()()51()()5n n n n n n n n y x y y y y x y y y ++++++++⎧−≈−−⎪⎪⎨⎪−≈−⎪⎩25可以期望，以上式估计的误差作为计算结果的补偿，可以提高计算精度.以n p 及n c 分别表示第n 步的预测值和校正值，则有以下的“预测－改进－校正－改进”方案（其中在1+n p 与1+n c 尚未计算出来的前提下，以n n c p −代替11++−n n c p ：26预测：'112n n n hy y p +=−+预测的改进：)(5411n n n n c p p m −−=++计算：),(11'1+++=n n n m x f m校正：)(2'1'1++++=n n n n m y hy c校正的改进：)(511111++++−+=n n n n c p c y计算：),(11'1+++=n n n y x f y27例 用Euler 方法求解初值问题2'[0,0.6](0)1y y xy x y ⎧=−−∈⎨=⎩取0.2h =，要求保留六位小数. 解：Euler 迭代格式为2210.2()0.80.2k k k k k k k k y y y x y y x y +=+−−=−因此2821000(0.2)0.80.20.8y y y x y ≈=−= 22111(0.4)0.80.20.6144y y y x y ≈=−=23222(0.6)0.80.20.461321y y y x y ≈=−=29例 用改进的Euler 方法求解初值问题2'sin 0[0,0.6](0)1y y y x x y ⎧++=∈⎨=⎩取0.2h =，求(0.2),(0.4)y y 的近似值，要求保留六位小数.解：改进的Euler 格式为212211110.2(sin )0.2(sin sin )2k k k k k k k k k k k k k y y y y x y y y y x y y x +++++⎧=+−−⎪⎨=+−−−−⎪⎩30即，222110.820.08sin 0.1(0.80.2sin )sin k k k k k k k k y y y x y y x x ++=−−−则有1(0.2)0.807285y y ≈=，2(0.4)0.636650y y ≈=31§3 Runge －Kutta 方法Def.1如果一种方法的局部截断误差为)(1+p h O ，则称该方法具有p 阶精度. 323－2 Runge —Kutta 方法的基本思想上述的Taylor 级数法虽然可得到较高精度的近似公式，但计算导数比较麻烦. 这里介绍不用计算导数的方法.))(,()()()('1h x y h x f h x y hx y x y n n n n n θθθ++=+=−+——平均斜率.33如果粗略地以),(n n y x f 作为平均斜率，则得Euler 公式；如果以221K K +作为平均斜率，其中),(1n n y x f K =，),(112hK y x f K n n +=+，则得改进的Euler 公式.343－3 二阶的Runge －Kutta 方法对点n x 和)10(≤<+=+p ph x x n p n ，用这两点斜率的线性组合近似代替平均斜率，则得计算公式：11122121()(,)(,)n n n n n p n y y h K K K f x y K f x y phK λλ++⎧=++⎪=⎨⎪=+⎩35现确定系数p ,,21λλ，使得公式具有二阶精度. 因为，取n y 为()n y x ，则'1(,)(,())'()n n n n n nK f x y f x y x y x y === 再把2K 在),(n n y x 处展开，有36'21(,)(,)n p n n n n K f x y phK f x ph y phy +=+=++代入可得，'2''31122()()n n n n y y hy ph y O h λλλ+=++++'2(,)(,)(,)()n n x n n y n n n f x y f x y ph f x y phy O h =+⋅+⋅+'2(')(,)()n x y n n y ph f f y x y O h =+⋅+⋅+'''2()n n y ph y O h =+⋅+37相比较二阶Taylor 展开''2'12n n n n y h hy y y ++=+，有，⎪⎩⎪⎨⎧==+211221p λλλ满足此条件的公式称为二阶Runge －Kutta 公式.38可以验证改进的Euler 公式属于二阶Runge －Kutta 公式. 下列变形的Euler 公式也是二阶Runge －Kutta 公式：12121(,)(,)22n n n n n n y y hK K f x y h h K f x y K +⎧⎪=+⎪=⎨⎪⎪=++⎩393－4 三阶Runge －Kutta 公式同二阶Runge －Kutta 公式，考虑三点,,(01)n n p n q x x x p q ++≤≤≤试图用它们的斜率321,,K K K 的线性组合近似代替平均斜率，即有如下形式的公式：1112233121312()(,)(,)(,())n n n n n n n n y y h K K K K f x y K f x ph y phK K f x qh y qh rK sK λλλ+=+++⎧⎪=⎪⎨=++⎪⎪=+++⎩40把32,K K 在),(n n y x 处展开，通过与)(1+n x y 在n x 的直接Taylor 展式比较，可确定系数s r q p ,,,,,,321λλλ，满足下式，从而使得上述公式具有三阶精度，41特别地，2,1,1,21,32,61231=−======s r q p λλλ是其一特例.123232223311213161p q p q pqs r s λλλλλλλλ++=⎧⎪⎪+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎪+=⎪⎩423－5 四阶Runge －Kutta 公式相同的方法，可以导出下列经典的四阶Runge －Kutta 公式：112341213243(22)6(,)(,)22(,)22(,)n n n n n n n n n n h y y K K K K K f x y h h K f x y K h h K f x y K K f x h y hK +⎧=++++⎪⎪=⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎪=++⎪⎩43例 用经典四阶Runge —Kutta 方法求解初值问题'83[0,0.4](0)1y y x y =−⎧∈⎨=⎩，取0.2h =，求(0.4)y 的近似值，要求保留六位小数.解：四阶Runge —Kutta 格式为44112341211123122241330.2(22)6(,)830.2(,)83(0.1) 5.6 2.120.2(,)83(0.1) 6.32 2.372(,0.2)83(0.2) 4.208 1.578k k k k k k k k k k k kk k k k ky y K K K K K f x y y K f x y K y K yK f x y K y K y K f x y K y K y ++++⎧=++++⎪⎪==−⎪⎪⎪=+=−+=−⎨⎪⎪=+=−+=−⎪⎪⎪=+=−+=−⎩则10.5494 1.2016k k y y +=+，45故12(0.2) 2.3004,(0.4) 2.4654y y y y ≈=≈=.注：由准确解382()33xy x e −=−可得(0.2) 2.300792,(0.4) 2.465871y y ==46§5 线性多步法基本思想：在计算1+i y 之前，已计算出一系列的近似值i y y ,,1"，如果充分利用这些已知信息，可以期望会获得更高精度的)(1+i x y 的近似值1+i y .基本方法：基于数值积分与基于Taylor 展开的构造方法.475－1 基于数值积分的构造方法对方程),('y x f y =两边从i x 到1+i x 积分，则得∫++=+1),()()(1i ix x i i dxy x f x y x y 设)(x P r 是f (x , y )的插值多项式，由此可得以下的一般形式的计算公式：∫++=+1)(1i ix x r i i dxx P y y 48例 取线性插值))(,())(,()(11111+++++−−+−−=i i i i ii i i i i r x y x f x x x x x y x f x x x x x P ，则得到梯形法：)],(),([2111+++++=i i i i i i y x f y x f hy y495－2 Adams 显式公式在区间],[1+i i x x 上利用r ＋1个数据点),(,),,(),,(11r i r i i i i i f x f x f x −−−−"构造插值多项式)(x P r ，由牛顿后插公式（注意到：j i j i j f f −Δ=∇）j i jrj j i r f j t th x P −=Δ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=+∑0)1()(其中!)1()1(j j s s s j s +−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛". 50可得10rj i i rj i jj y y h f αΔ+−==+∑——Adams 显式公式其中1(1)j j t dt j α−⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠∫，它可写成：∑=−++=rj ji rj i i f h y y 01β515－3 Adams 隐式公式在区间],[1+i i x x 上利用r ＋1个数据点),(,),,(),,(1111+−+−++r i r i i i i i f x f x f x "构造插值多项式)(x P r ，由牛顿后插公式101)1()(+−=+Δ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=+∑j i jrj ji r f j t th x P 可得*11rj i i rj i j j y y h f α+−+==+Δ∑——Adams 隐式公式52其中01(1)jj t dt j −−⎛⎞α=−⎜⎟⎝⎠∫，它又可写成： *11ri i rj i j j y y h f β+−+==+∑535－4 Adams 预测－校正公式以r ＝3时的Adams 显式与隐式公式为例. 此时，显式公式为)9375955(243211−−−+−+−+=i i i i i i f f f f hy y 利用Taylor 展式，容易计算局部截断误差为)(720251)5(5i x y h . 54)5199(242111−−+++−++=i i i i i i f f f f hy y 同样利用Taylor 展开可得，其局部截断误差为5(5)19()720i h y x −. 隐式公式为55⎪⎩⎪⎨⎧+−++=−+−+=−−+++−−−+)519),(9(24)9375955(24211113211i i i i i i i i i i i i i f f f y x f hy y f f f f h y y 注 利用2－5节的相同作法同样可以构造更精确的计算过程.可构造利用显式预测，隐式校正的计算公式：56§6 方程组与高阶方程的情形6－1 一阶方程组常微分方程初值问题为⎩⎨⎧==00)(),('y x y y x f y 此时T m y y y ),,(1"=，Tm f f f ),,(1"=. 此时上述的一切方法均可使用，只是注意y 与f 此时为向量.576－2 化高阶方程为一阶方程组解下列的m 阶方程()(1)'(1)(1)000000(,,',,)(),'(),,()m m m m y f x y y y y x y y x y yx y −−−⎧=⎨===⎩""令)1(21,,',−===m m y y y y y y "，则有58'12'23'1'12(,,,,)m m m m y y y y y yy f x y y y −⎧=⎪=⎪⎪⎨⎪=⎪⎪=⎩#"初始条件为：)1(00'002001)(,,)(,)(−===m m y x y y x y y x y "。

常微分方程问题案例求解常微分方程是数学中一种非常重要的分支,广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。

下面我们将介绍一些常见的常微分方程问题,并给出相应的求解方法。

1. 线性方程组线性方程组是由一组线性方程组成的数学方程系统。

其中,每个方程都是关于一些未知数的线性方程。

例如,下面是一个常微分方程组:begin{cases}x" = 2x - 3y" = 4y - 5end{cases}这个方程组有两个未知量x和y,并且每个方程都是关于这两个未知数的线性方程。

我们可以通过消元法或代入法求解这个方程组。

2. 非线性方程非线性方程是对于一组非线性方程的求解。

非线性方程的解法通常是很困难的,因此需要使用一些高级的数学工具和方法。

例如,下面是一个非线性方程: begin{cases}x"" + 2x" - 3x = 0y"" + 4y" - 5y = 0end{cases}这个方程对于两个未知量x和y是非线性的,因此我们需要使用一些非线性分析工具来求解。

我们可以使用偏微分方程的数值方法,如网格法或有限元法来求解这个方程组。

3. 热传导方程热传导方程描述了热量从高温物体传递到低温物体的数学方程。

热传导方程通常用以下形式表示:$$frac{partial u}{partial t} = kfrac{partial^2 u}{partial x^2}$$ 其中,u是温度的变化率,t是时间,k是热传导系数,x是物体之间的距离。

热传导方程可以使用数值方法来求解,例如有限差分法或有限体积法。

4. 波动方程波动方程描述了声波在空间中的传播。

波动方程通常用以下形式表示:$$frac{partial^2 u}{partial t^2} + (ablacdotmathbf{u}) = 0$$其中,u是声波的速度,t是时间,$ablacdotmathbf{u}$是速度散度。

常微分方程常微分方程的基本概念和求解方法常微分方程（Ordinary Differential Equations，简称ODE）是描述自变量只有一个的未知函数及其导数之间关系的方程。

在物理学、工程学、经济学等领域中，常微分方程被广泛应用于各种问题的建模与求解。

本文将介绍常微分方程的基本概念和求解方法。

一、常微分方程的基本概念常微分方程是描述未知函数及其导数之间关系的数学方程。

一般来说，常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两大类。

一阶常微分方程中未知函数的导数最高只有一阶导数，而高阶常微分方程中未知函数的导数可以是二阶、三阶，甚至更高阶的导数。

常微分方程的解是指能够满足方程条件的函数形式，解的形式可以是显式解或隐式解。

显式解是直接给出的解析表达式，而隐式解则是以方程的形式给出。

常微分方程的解集通常具有唯一性。

其中，初始值问题（Initial Value Problem，简称IVP）是对常微分方程的一种特殊求解方法。

在初始值问题中，除了给出方程本身的条件外，还需给出未知函数在某一点的值，用于确定解的具体形式。

二、常微分方程的求解方法常微分方程有多种求解方法，常见的方法包括分离变量法、二阶线性微分方程的特解法和常系数线性齐次微分方程的特征根法等。

具体求解方法选择取决于方程的形式和性质。

1. 分离变量法（Separation of Variables）分离变量法适用于可以将方程的变量分离并分别对各个变量积分的情况。

首先，将方程中的未知函数和其导数分别放在等号两边，然后对方程两边同时积分，最后解出未知函数。

2. 二阶线性微分方程的特解法对于二阶线性微分方程，可以采用特解法求解。

特解法的基本思想是假设未知函数的解具有特定形式，代入方程后求解得到特解。

特解法适用于方程的解一般形式已知的情况。

3. 常系数线性齐次微分方程的特征根法对于常系数线性齐次微分方程，可以采用特征根法求解。

特征根法的基本思想是假设未知函数的解具有指数形式，代入方程后求解得到特征根和特征向量。

常微分方程的基本概念及其求解方法常微分方程是数学中一种基础而又普遍的模型，它描述了自然界中大量的现象，例如物理运动、化学反应、生物生长等。

在科学和工程中，常微分方程的应用十分广泛，因此学习和掌握它是非常重要的。

本文将从常微分方程的基本概念和求解方法两方面，为读者介绍常微分方程。

一、常微分方程的基本概念1.1 定义常微分方程是指一个包含一个或多个未知函数及其导数的等式。

通常情况下，未知函数是一个关于一元变量的的函数。

例如，下面这个方程就是一个一阶常微分方程：y' = f(x, y)其中，y'表示y关于自变量x的导数，f(x, y)是一个已知的函数。

1.2 阶数常微分方程的阶数是指方程中导数的最高阶数。

例如，y'' + 2y' + y = 0 是一个二阶常微分方程。

1.3 初值问题常微分方程有时也被称为初值问题，因为为了求解方程，我们需要先给出初值。

初值问题指的是给定某个时刻的函数值和导数值，以及常微分方程本身，求解函数在其他时刻的值。

例如，y' = f(x, y)，y(x0) = y0 就是一个初值问题，其中y(x0) = y0表示在x = x0时函数y的值为y0。

二、常微分方程的求解方法2.1 分离变量法分离变量法是求解一阶常微分方程最基本的方法。

它的基本思路是将未知函数的导数通过分离变量的方法移到等式的一侧，将其他项移到另一侧，从而实现变量的分离。

例如，对于y' =f(x)g(y)，我们可以将其改写成dy/g(y) = f(x) dx，然后对两边积分得到：ln |g(y)| = F(x) + C其中F(x)和C是常数，|g(y)|表示g(y)的绝对值。

通过取指数，我们可以得到g(y)的表达式，从而求得未知函数。

2.2 变量代换法当分离变量法难以应用时，可以采用变量代换法。

变量代换的基本思路是将因式分解，然后进行替换。

例如，对于y' + 2y/x =x^2，我们可以将y = ux^m代入方程，其中m是一个待定的整数。

常微分方程课后习题答案常微分方程课后习题答案在学习常微分方程的过程中，课后习题是巩固知识和提高能力的重要环节。

通过解答习题，我们可以更好地理解和应用所学的概念和方法。

下面是一些常见的常微分方程习题及其答案，供大家参考。

一、一阶常微分方程1. 求解方程：dy/dx = 2x。

解：对方程两边同时积分，得到y = x^2 + C，其中C为常数。

2. 求解方程：dy/dx = x^2 - 1。

解：对方程两边同时积分，得到y = (1/3)x^3 - x + C，其中C为常数。

3. 求解方程：dy/dx = 3x^2 + 2。

解：对方程两边同时积分，得到y = x^3 + 2x + C，其中C为常数。

二、二阶常微分方程1. 求解方程：d^2y/dx^2 + 4dy/dx + 4y = 0。

解：首先求解特征方程：r^2 + 4r + 4 = 0，解得r = -2。

因此，方程的通解为y = (C1 + C2x)e^(-2x)，其中C1和C2为常数。

2. 求解方程：d^2y/dx^2 + 2dy/dx + y = x^2。

解：首先求解特征方程：r^2 + 2r + 1 = 0，解得r = -1。

因此，方程的通解为y = (C1 + C2x)e^(-x) + (1/6)x^2 - (1/2)x + (1/2)，其中C1和C2为常数。

3. 求解方程：d^2y/dx^2 + 3dy/dx + 2y = e^(-x)。

解：首先求解特征方程：r^2 + 3r + 2 = 0，解得r = -1和r = -2。

因此，方程的通解为y = (C1e^(-x) + C2e^(-2x)) + (1/3)e^(-x)，其中C1和C2为常数。

三、应用题1. 一个物体在空气中的速度满足以下方程：dv/dt = -9.8 - 0.1v，其中v为速度，t为时间。

求物体的速度随时间的变化情况。

解：这是一个一阶线性常微分方程。

将方程改写为dv/(9.8 + 0.1v) = -dt，再两边同时积分，得到ln|9.8 + 0.1v| = -t + C，其中C为常数。