数学建模作业求解常微分方程和人口模型问题

2022-2022数学建模题数学建模试题一、传染病模型医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。

社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。

一般把传染病流行范围内的人群分成三类：S类，易感者(Suceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；I类，感病者(Infective)，指染上传染病的人，它可以传播给S类成员；R类，移出者(Removal)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。

要求：请建立传染病模型，并分析被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？二、一阶常微分方程模型—人口模型与预测下表列出了中国1982-1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（t0），N0101654万人，Nm200000万人。

198219831984198519861987198819891990年人口101654103008104357105851107507109300111026112704114333（万）19911992199319941995199619971998年人口115823117171118517119850121121122389123626124810（万）要求：（1）建立中国人口的指数增长模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。

（2）建立中国人口的Logitic模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。

（3）利用MATLAB图形，标出中国人口的实际统计数据，并画出两种模型的预测曲线。

（4）利用MATLAB图形，画出两种预测模型的误差比较图，并分别标出其误差。

【注】常微分方程一阶初值问题的MATLAB库函数为：ode45。

应用微分方程求解世界各国人口发展问题近年来，人口问题成为世界关注的热点之一。

不同国家的人口增长率不同，人口老龄化、人口减少等问题也开始受到世界各国的重视。

但是，应用微分方程求解人口问题的方法似乎比较少见。

本文将探讨如何应用微分方程解决世界各国人口发展问题。

一、人口增长率的微分方程模型首先，我们需要知道人口增长率的微分方程模型是什么。

假设一个国家的人口数量为P，其增长率为r（单位为人/人年），则有：dP/dt = rP其中，dP/dt表示P对t的导数，即人口数量随时间变化的速率。

由于r是为常数，我们可以将其写成：dP/P = rdt对上述式子两边同时求积分，得到：ln(P) = rt + C其中，C为积分常数。

解出P，得到：P = e^(rt+C)由于e^C是一个常数，我们可以将其表示为K，即：P = Ke^(rt)这个式子被称为人口数量的微分方程模型。

通过这个模型，我们可以预测一个国家在未来的某个时间点的人口数量。

二、应用微分方程预测人口数量根据上面的式子，我们可以计算未来某个时间点的人口数量。

例如，我们可以应用这个式子预测中国未来10年的人口数量。

首先，我们需要知道中国目前的人口数量和增长率。

根据联合国的统计数据，中国在2019年的人口数量为13.91亿人，增长率为0.44%。

因此，我们可以将r和P代入上面的式子，得到：P = Ke^(0.0044t)假设我们要预测中国10年后的人口数量，即t=10，则有：P = Ke^(0.044)我们可以通过以下方式计算K值：K = P/e^(rt)将t=0、P=13.91亿代入上面的式子，得到：K = 13.91亿/e^0 = 13.91亿因此，代入上面的式子，我们可以计算出中国未来10年的人口数量为：P = 13.91亿*e^(0.044*10) = 15.92亿通过微分方程模型，我们得出了中国未来10年的人口增长情况。

类似地，我们也可以预测其他国家的人口增长情况。

人口增长问题数学模型人口增长问题是一个复杂的社会现象，它涉及到众多因素，如生育率、死亡率、移民、出生性别比等。

为了更好地理解和预测人口增长趋势，人们常常建立数学模型来描述人口变化的规律。

下面是一个简单的人口增长问题数学模型的示例。

假设人口数量为P(t)，时间t为以年为单位。

则人口增长可以用以下微分方程表示：dP(t)/dt = rP(t)其中，r是人口自然增长率，是一个常数。

这个微分方程描述了人口数量随着时间的变化情况，即人口数量呈指数增长。

然而，实际情况要复杂得多。

以下是一个更复杂的人口增长模型，考虑到生育率、死亡率和移民等因素：dP(t)/dt = (b - d)P(t) + I其中，b是每单位时间的出生率，d是每单位时间的死亡率，I是每单位时间的移民人数。

这个模型可以更好地描述人口增长的趋势，特别是当存在外部干扰（如战争、自然灾害等）时。

除了以上两个模型，还有其他更复杂的模型，如Logistic增长模型、Malthusian模型等。

这些模型考虑的因素更加全面，可以更准确地描述人口增长的趋势。

例如，Logistic增长模型考虑了环境承载能力对人口增长的限制，而Malthusian 模型则考虑了人口增长与资源供给之间的关系。

建立数学模型有助于我们更好地理解和预测人口增长趋势。

这些模型可以帮助我们评估不同政策对人口增长的影响，如计划生育政策、移民政策等。

此外，这些模型还可以帮助我们预测未来人口数量和结构的变化情况，从而为社会发展规划提供科学依据。

然而，需要注意的是，数学模型只是对现实世界的近似描述，它可能无法完全准确地预测未来情况。

因此，在使用数学模型进行人口增长预测时，需要结合实际情况和专家意见进行综合分析。

总之，数学模型是研究人口增长问题的重要工具之一。

通过建立数学模型，我们可以更好地理解和预测人口增长的规律和趋势。

这些模型可以帮助我们评估不同政策对人口增长的影响，为社会发展规划提供科学依据。

常微分方程和人口模型实验实验8 常微分方程和人口模型实验目的:(1)了解常微分方程的基本概念。

(2)了解常微分方程的解析解。

(3)了解常微分方程的数值解。

(4)学习、掌握MATLAB软件有关的命令。

实验内容:常微分方程模型的建立及求解。

一、常微分方程的解析解调用格式:dsolve('S','s1','s2',...,'x')其中，S为方程或方程组，方程S中用D表示求导数，D2，D3，…表示二阶、三阶等高阶导数，方程间用逗号分隔;s1，s2,…为初始条件，x为自变量，初始条件和自变量都可以省略;初始条件缺省时给出带任意常数C1，C2，…的通解;自变量缺省时设定为t(表8.1给出了这个命令的基本用法，请读者运行表中的命令，并观察所得结果。

表8.1 dsolve命令用法常微分方程问题求解命令2yy'1,，y=dsolve(…Dy=1+y^2?)2,yy'1,，y=dsolve(…Dy=1+y^2?,?y(0)=1?,?x?) ,y(0)1,,txxxe''2'2，，, x=dsolve(…D2x+2*D1x+2*x=exp(t)?,?x(0)=1?,?Dx(0)=0?) 2,xyyx''3',, y=dsolve(…x*D2y-3*Dy=x^2?,?y(1)=0,y(0)=0?,?x?) ,yy(1)(0)0,,,xxy'34,，, [x,y]=dsolve(…Dx=3*x+4*y?,?Dy=-4*x+3*y?) ,yxy'43,,，,xxy',，,, yxy',,[x,y]=dsolve(…Dx=x+y,Dy=y-x?,?Dx(0)=1,Dy(0)=1?) ,,xy'(0)'(0)1,,,二、常微分方程的数值解在自然科学的众多领域都会遇到常微分方程的求解问题，然而，我们知道，只是有少数十分简单的常微分方程可用简单的方法给出解析解，大部分微分方程只能用数值解法求近似解。

微分方程模型习题解答（人口的预测和控制模型）在人口的预测和控制模型中，总和生育率β(t)和生育模式h(r,t)两种控制人口增长的手段。

试说明我国目前的人口政策,如提倡一对夫妻只生一个孩子、晚婚晚育，及生育第2 胎的一些规定，可以怎样通过这两种手段加以实施。

一、问题分析目前，我国人口总数占世界人口总数的1/5，居世界第一。

虽然在二十世纪八十年代开始就已经开始控制人口，但现在人口的增长仍然很快，人口老年化问题也越来越严重,所以现在开始提倡晚婚晚育,一对夫妻只能生一个孩子以及定下了一些关于生第二胎的政策。

所以在此我们可以考虑用微分方程中生育率和生育模式来求解问题。

二、模型的假设⑴时刻 t 年龄小于 r 的人口即人口分布函数记作F(r,t);⑵婴儿的出生率记为 p( 0, t)= f( t)；⑶时刻 t 年龄 r 的人的死亡率记为μ(r,t)⑷ μ(r,t) p(r,t)dr表示时刻 t 年龄在 [r, r +dr] 内单位时间死亡人数;⑸ p(r)是人口调查得到的已知函数;⑹婴儿的出生率记为 f(t );三模型的建立与求解由问题假设我们可以得到各个年龄的人口数,即人口分布函数为:F(r,t)=∫p(s,t)ds由于在社会安定的局面下和不太长的时间里,死亡率大致与时间无关,于是可近似的假设μ(r,t)= μ(r)因为p0(r)与μ(r)可由人口统计数据得到,所以) , μ(r,t)可由μ(r,0)粗略估计，为了预测和控制人口的发展状况,我们需要关注和可以用作控制的就是婴儿的出生率f(t)了,下面我们就来讨论f(t) 。

记女性的性别函数为k(r,t)即时刻t 年龄在 [r, r +dr] 的女性人数为k(r,t)μ(r,t)dr将这些女性在单位时间内平均每人的生育数记作b(r,t)则育龄区间为[r1,r2]则:f(t)= ∫b(r,t)k(r,t)p(r,t)dr再将 b( r,t) 定义为b(r,t)=β(t)h(r,t)其中h(r,t)满足∫ h(r,t)dr=1于是就有β(t)= ∫B(r,t)drf(t)=β(t) ∫b(r,t)k(r,t)dr可以看出β(t)就是时刻t 单位时间内平均每个育龄女性的生育率。

常微分方程数学建模案例分析常微分方程是运用微积分中的概念与理论研究变化率的方程。

它是数学建模中常用的方法之一，可用于描述各种实际问题，如经济增长、生物扩散、化学反应等。

本文将通过一个关于人群传染病的数学建模案例，分析常微分方程在实际问题中的应用。

假设地有一种传染病，病毒的传播速度与感染者的接触频率有关。

现在我们要研究传染病的传播速度以及控制措施对传染病传播的影响。

为此，我们可以建立如下的数学模型：设N(t)表示时间t时刻的总人口数，而I(t)表示感染者的人口数，S(t)表示易感者的人口数。

根据该模型，易感者的人数随时间的变化率可表示为：dS/dt = -βSI其中，β表示感染率，即感染者每接触到一个易感者，会使其发病的概率。

感染者的人数随时间的变化率可表示为：dI/dt = βSI - γI其中，γ表示恢复率，即感染者每天被治愈的人数。

总人口数随时间的变化率可以通过易感者和感染者的变化率求和得到：dN/dt = dS/dt + dI/dt通过对该方程进行求解，我们可以得到感染者和易感者的人数随时间变化的解析解。

进一步，我们可以通过调节β和γ来研究不同的传播速度和控制措施对传染病传播的影响。

例如，如果β较大，表示感染率较高，此时传染速度会加快，可能导致传染病扩散的速度加快。

反之，如果β较小，表示感染率较低，传染病传播的速度会减慢。

另外，如果γ较大，表示恢复率较高，此时感染者的人数会快速减少，传染病传播的速度会减慢。

相反，如果γ较小，传染病传播的速度会加快。

通过对这些参数的调节，我们可以研究不同的控制措施对传染病传播的影响。

例如，我们可以通过降低感染率β或增加恢复率γ来减缓传染病传播的速度，从而控制疫情的爆发。

在实际应用中，常微分方程数学建模方法可以用于预测传染病的传播趋势，评估各种干预措施的效果。

此外，还可以通过引入更多的变量和参数，建立更复杂的模型，以更好地解释实际问题。

总之，常微分方程是数学建模中常用的方法之一，可以用于描述各种实际问题，如传染病的传播、经济增长等。

摘要:人口的增长是当前世界上引起普遍关注的问题作为世界上人口最多的国家，我国的人口问题是十分突出的由于人口基数大尽管我国已经实行了20多年的计划生育政策人口的增长依然很快，巨大人口压力会给我国的社会 政治经济医疗就业等带来了一系列的问题。

因此研究和解决人口问题在我国显得尤为重要。

我们经常在报刊上看见关于人口增长预报，说到本世纪，或下世纪中叶，全世界的人口将达到多少亿。

你可能注意到不同报刊对同一时间人口的预报在数字商场有较大的区别，这显然是由于用了不同的人口整张模型计算出来的结果。

人类社会进入20世纪以来，在科学和技术和生产力飞速发展的同时世界人口也以空前的规模增长。

人口每增加十亿的时间，有一百年缩短为十几年。

我们赖以生存的地球已经携带着他的60亿子民踏入下一个世纪。

长期以来，人类的繁殖一直在自然地进行着，只是由于人口数量的迅速膨胀和环境质量的急剧恶化，人们才猛然醒悟，开始研究人类和自然的关系、人口数量的变化规律以及如何惊醒人口控制等问题。

本文件里两个模型： （1）：中国人口的指数增长模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。

（2）：中国人口的Logistic 图形，标出中国人口的实际统计数据进行比较。

而且利用MATLAB 图形 ，标出中国人口的实际统计数据，并画出两种模型的预测曲线和两种预测模型的误差比较图，并分别标出其误差。

关键词：指数增长模型 Logistic 模型 MATLAB 软件 人口增长预测1.问题的提出下表列出了中国1982-1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（0=t ），1016540=N 万人，200000=m N 万人。

要求：（1）建立中国人口的指数增长模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。

（2）建立中国人口的Logistic 模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。

（3）利用MA TLAB 图形，标出中国人口的实际统计数据，并画出两种模型的预测曲线。

常微分方程在人口增长模型中的数学建模人口增长是一个复杂而重要的社会问题，对于解决人口问题，了解人口增长模型是十分必要的。

常微分方程是研究自然现象的重要工具，它在人口增长模型中的应用也是十分广泛的。

本文将介绍常微分方程在人口增长模型中的数学建模。

一、人口增长模型的基本假设在建立人口增长模型之前，我们需要先进行一些基本假设。

首先，我们假设人口增长是一个连续的过程，即人口数量的变化是连续的。

其次，我们假设人口增长的速率与当前人口数量成正比，即人口增长率与人口数量成正比。

最后，我们假设人口增长的速率还受到其他因素的影响，比如出生率、死亡率、迁移率等。

二、人口增长模型的建立为了建立人口增长模型，我们需要引入常微分方程。

常微分方程是描述变量之间关系的方程，它包含一个未知函数及其导数。

在人口增长模型中，我们可以将人口数量表示为一个未知函数P(t)，其中t表示时间。

根据前面的假设，我们可以得到人口增长率与人口数量的关系式：dP/dt = kP其中dP/dt表示人口数量P关于时间t的导数，k表示人口增长率。

这个关系式描述了人口数量随时间的变化规律。

三、人口增长模型的求解为了求解上述的常微分方程，我们可以使用分离变量法。

将上述方程改写为：1/P dP = k dt对上述方程两边同时积分，得到：ln|P| = kt + C其中C为常数。

进一步求解，得到：P(t) = e^(kt+C) = Ce^kt由于人口数量不能为负数，所以常数C必须为正数。

这个解表示了人口数量随时间的变化规律。

四、人口增长模型的应用通过上述的人口增长模型，我们可以对人口增长进行预测和分析。

通过调整人口增长率k和常数C的值，我们可以模拟不同的人口增长情况。

例如，如果k为正数，表示人口增长率为正，那么人口数量将会呈指数增长。

这在一些发展中国家中是比较常见的情况。

相反，如果k为负数，表示人口增长率为负，那么人口数量将会呈指数减少。

这在一些发达国家中是比较常见的情况。

常微分方程在数学建模中的应用这里介绍几个典型的用微分方程建立数学模型的例子. 一、人口预测模型由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型.例1（ 马尔萨斯 （Malthus ） 模型） 英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为r ,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型.解 设时刻t 的人口为)(t N ,把)(t N 当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨斯的假设,在t 到t t ∆+时间段内,人口的增长量为t t rN t N t t N ∆=-∆+)()()(,并设0t t =时刻的人口为0N ,于是|⎪⎩⎪⎨⎧==．，00)(d d N t N rN t N这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为)(00e )(t t r N t N -=,此式表明人口以指数规律随时间无限增长.模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为91006.3⨯,而在以后7年中,人口总数以每年2%的速度增长,这样19610=t ,901006.3⨯=N ,02.0=r ,于是)1961(02.09e1006.3)(-⨯=t t N .这个公式非常准确地反映了在1700—1961年间世界人口总数.因为,这期间地球上的人口大约每35年翻一番,而上式断定年增加一倍（请读者证明这一点）．但是,后来人们以美国人口为例,用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较,却发现有很大的差异,尤其是在用此模型预测较遥远的未来地球人口总数时,发现更令人不可思议的问题,如按此模型计算,到2670年,地球上将有36 000亿人口.如果地球表面全是陆地（事实上,地球表面还有80%被水覆盖）,我们也只得互相踩着肩膀站成两层了,这是非常荒谬的,因此,这一模型应该修改.;例2（逻辑Logistic 模型） 马尔萨斯模型为什么不能预测未来的人口呢这主要是地球上的各种资源只能供一定数量的人生活,随着人口的增加,自然资源环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著,如果当人口较少时,人口的自然增长率可以看作常数的话,那么当人口增加到一定数量以后,这个增长率就要随人口的增加而减小.因此,应对马尔萨斯模型中关于净增长率为常数的假设进行修改.1838年,荷兰生物数学家韦尔侯斯特(Verhulst)引入常数m N ,用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数（一般说来,一个国家工业化程度越高,它的生活空间就越大,食物就越多,从而m N 就越大）,并假设将增长率等于⎪⎪⎭⎫⎝⎛-m N t N r )(1,即净增长率随着)(t N 的增加而减小,当m N t N →)(时,净增长率趋于零,按此假定建立人口预测模型.解 由韦尔侯斯特假定,马尔萨斯模型应改为⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，，000)(1d d N t N N N N r t N 上式就是逻辑模型,该方程可分离变量,其解为,)(00e 11)(t t r m mN N N t N --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=.下面,我们对模型作一简要分析.（1）当∞→t ,m N t N →)(,即无论人口的初值如何,人口总数趋向于极限值m N ；@（2）当m N N <<0时,01d d >⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=N N N r t N m ,这说明)(t N 是时间t 的单调递增函数；（3）由于N N N N N r t N m m ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211d d 222,所以当2m N N <时,0d d 22>t N ,t N d d 单增；当2m N N >时,0d d 22<tN ,t N d d 单减,即人口增长率t Nd d 由增变减,在2m N 处最大,也就是说在人口总数达到极限值一半以前是加速生长期,过这一点后,生长的速率逐渐变小,并且迟早会达到零,这是减速生长期；（4）用该模型检验美国从1790年到1950年的人口,发现模型计算的结果与实际人口在1930年以前都非常吻合,自从1930年以后,误差愈来愈大,一个明显的原因是在20世纪60年代美国的实际人口数已经突破了20世纪初所设的极限人口.由此可见该模型的缺点之一是m N 不易确定,事实上,随着一个国家经济的腾飞,它所拥有的食物就越丰富, m N 的值也就越大；(5）用逻辑模型来预测世界未来人口总数.某生物学家估计,029.0=r ,又当人口总数为91006.3⨯时,人口每年以2%的速率增长,由逻辑模型得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=m N N r t N N 1d d 1, 即 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=m N 91006.31029.002.0, 从而得 91086.9⨯=m N ,即世界人口总数极限值近100亿. ）值得说明的是：人也是一种生物,因此,上面关于人口模型的讨论,原则上也可以用于在自然环境下单一物种生存着的其他生物,如森林中的树木、池塘中的鱼等,逻辑模型有着广泛的应用.二、市场价格模型对于纯粹的市场经济来说,商品市场价格取决于市场供需之间的关系,市场价格能促使商品的供给与需求相等(这样的价格称为(静态)均衡价格).也就是说,如果不考虑商品价格形成的动态过程,那么商品的市场价格应能保证市场的供需平衡,但是,实际的市场价格不会恰好等于均衡价格,而且价格也不会是静态的,应是随时间不断变化的动态过程.例3 试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型解 假设在某一时刻t ,商品的价格为)(t p ,它与该商品的均衡价格间有差别,此时,存在供需差,此供需差促使价格变动.对新的价格,又有新的供需差,如此不断调节,就构成市场价格形成的动态过程,假设价格)(t p 的变化率tpd d 与需求和供给之差成正比,并记),(r p f 为需求函数,)(p g 为供给函数（r 为参数）,于是()()[]⎪⎩⎪⎨⎧=-=，，0)0(,d d p p p g r p f tpα 其中0p 为商品在0=t 时刻的价格,α为正常数.若设b ap r p f +-=),(,d cp p g +=)(,则上式变为—⎪⎩⎪⎨⎧=-++-=，，0)0()()(d d p p d b p c a t pαα ① 其中d c b a ,,,均为正常数,其解为ca db c a d b p t p t c a +-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-)(0e)(α. 下面对所得结果进行讨论:（1）设p 为静态均衡价格 ,则其应满足0)(),(=-p g r p f ,即d p c b p a +=+-,于是得ca db p +-=,从而价格函数)(t p 可写为 。

常微分方程在人口模型中的应用
一、什么是常微分方程？
常微分方程是描述一类特定的动态系统变化的一种几何方程，它可以被用于描述许多不同的具体现象，如重力学、经济学、医学、计算机科学等等。

常微分方程的特点是它具有许多的可能的解，而每一个解可能表示出不同的物理或经济现象。

二、人口模型
人口模型是一种应用于社会研究的数学模型，它提供了一种计算人口变化以及诸如孕期期间人口增长率、出生率、死亡率等现象的方法。

可以通过使用常微分方程，来描述人口变化，以更好的了解和预测人口的未来发展情况。

三、人口模型的应用
（1）确定实际人口数量
人口模型常常会被用来模拟家庭成员死亡率以及孕期人口增长率。

这样可以帮助地方政府、机构和学者更好地确定某地区实际的人口数量。

（2）了解人口发展趋势
使用常微分方程，可以计算出某一区域未来几年内死亡率和出生率的变化趋势，从而可以分析未来的人口发展趋势。

（3）识别社会问题
人口模型也可以被用来分析一些社会问题，比如分析因极端贫穷而出现的疾病和不良健康状况，以及预测某些社会群体的增长趋势等。

四、总结
常微分方程可以被广泛用于人口模型中，它可以帮助用户确定实际的人口数量、了解未来的发展趋势，以及识别一些社会问题，因此是相当有用的数学工具。

论常微分方程在数学建模中的应用摘要：常微分方程的形成和发展与去多学科密切相关，诸如力学、天文学等。

如果想用数学解决实际问题，就必须建立模型。

本文重点介绍了常微分方程理论与数学建模结合起来，在人口预测中的应用。

关键词：常微分方程数学建模人口预测引言纵观微分方程的发展史，我们发现微分方程与物理、天文学以及日异月新的科学技术有着密切的联系。

牛顿在研究天体力学和机械力学的时候，就利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动的规律。

后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。

这些都证明微分方程在改造自然和认识自然方面有着巨大的力量。

微分方程是自变量、未知函数及函数的导数(或微分)组成的关系式。

在解决实际问题的过程中，我们又得出了常微分方程的概念：如果在一个微分方程中出现的未知函数中只含有一个自变量，那么这个方程则称为常微分方程，也可以简单的叫做微分方程.在反映客观现实世界运动过程的量与量之间的关系中，大量存在满足微分方程关系似的数学模型，需要我们通过求解常微分方程来了解未知函数的性质。

常微分方程是解决实际问题的重要工具。

常微分方程在数学建模中的应用举例微分方程在数学建模中的应用大体是：首先，建立数学模型，根据问题的目的、要求具体分析做出相应的简化和假设；然后按照规律列出微分方程，求出方程的解；最后将实际对象带入结果中，对问题进行描述、分析、预测和控制。

2.1人口指数增长模型最简单的人口增长模型是：记今年人口为，年后人口为，年增长率为，则(4.1)这个公式的基本前提是年增长率保持不变。

二百多年前英国人口学家马尔萨斯调查了英国一百多年的人口统计资料，得出了人口的增长率是常数的假设，并据此建立了著名的人口指数增长模型。

记时刻的人口为，当考察一个国家或一个较大地区的人口时，是一个很大的整数，为了利用微积分这一数学工具，将视为连续、可微函数。

记初始时刻的人口为，假设人口增长率为常数，即单位时间内的增量与的比例系数。

20 12 ——20 13 学年第 2 学期合肥学院数理系实验报告课程名称：数学模型实验项目：微分方程模型—人口模型与预测实验类别：综合性□设计性□验证性□专业班级：10级数学与应用数学（2）班姓名：王倩学号：1007022039 实验地点：数理系机房实验时间：2013年5月2日指导教师：闫晓辉成绩：一.实验目的：掌握常微分方程模型的建模方法，并能用数值算法或MATLAB 库函数求解。

二.实验内容：下表列出了中国1982-1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（0=t ），1016540=N 万人，200000=m N 万人。

实验要求：1、建立中国人口的指数增长模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。

2、建立中国人口的Logistic 模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。

3、绘图，在图中标出中国人口的实际统计数据，并画出两种模型的预测曲线。

三. 实验方案（程序设计说明）模型一：指数增长模型（马尔萨斯（Malthus ）模型）假设：人口净增长率r 是一常数符号：x(t )t --时刻时的人口，可微函数00x t --=时的人口 则()()()x t t x t r x t t+∆-=∆于是x （t ）满足如下微分方程：00()dxrxdt x x ⎧=⎪⎨⎪=⎩解为：0()rt x t x e = 模型二：Logistic 模型人口净增长率应当与人口数量有关，即： r =r (x )从而有：00()()dxr x xdt x x ⎧=⎪⎨⎪=⎩对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项），令 r (x )=r -ax 此时得到微分方程：()dxr ax x dt=-或(1)m dx x r x dt x =-可改写成：()m mdx rx x x dt x =- 分离变量：11m dx rdt x x x ⎛⎫+= ⎪-⎝⎭两边积分并整理得： 1mrtx x Ce-=+ 令x (0)=0x ，求得： 0001m mx x x C x x -==- 满足初始条件x (0)=0x 的解为： 011()()mrtm x x t xe x -=+-易见： lim ()m t x t x →+∞=四. 实验步骤或程序（经调试后正确的源程序）1、matlab 源程序%以1982-1998年共计17个数据为例进行拟合： t=0:16; %输入数据s=[101654 103008 104357 105851 107507 109300 111026 112704 114333 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124810];y=log(s); p=polyfit(t,y,1)2、matlab 源程序 t=0:16;s=101654*(1+0.0131).^t; plot(t,s,'r') hold on t=0:16;s=[101654 103008 104357 105851 107507 109300 111026 112704 114333 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124810]; plot(t,s,'o') hold on t=0:16;s=200000./(1+(200000/101654-1)*exp(-0.029*t)); plot(t,s,'c')五．程序运行结果1、运行结果p = 0.0131 11.534200131115342..y t =+001153421021502451ln ..x x ∴=⇒= 0013110215024514.().t x t e ∴=预测公式预测1991--1998年的人口数量可得，1998年的由指数增长模型预测出的人口数于实际人口数相差最小，而其他年份的真实值与预测值之间有差别：由1991年开始，指数增长模型预测的结果很好的反映了实际情况。

高中数学中常见的数学建模题分析在高中数学教学中，数学建模题是一种常见的题型，旨在让学生通过抽象建模，求解实际问题。

数学建模题通常涉及到数学知识、逻辑推理、数学模型的建立与优化等方面，对学生的综合能力提出了较高的要求。

本文将分析高中数学中常见的数学建模题，探讨解题方法及相关技巧。

1. 地面坡度问题地面坡度问题是高中数学建模中的常见题型，通常涉及到直角三角形、三角函数的知识。

这类问题常常以“某一杆塔吊挂重物”，“某座桥梁建设”等为背景，要求学生根据给定条件，计算坡度、高度、距离等。

解题时，可以通过绘制坡度示意图，使用三角函数公式，建立三角形关系等方法，辅助求解。

2. 最优生产方案问题最优生产方案问题是数学建模中的经典题型，要求学生根据生产成本、需求量、利润等条件，确定最优的生产方案。

这类问题常常涉及到线性规划、最值、函数优化等知识。

解题时，可以通过建立数学模型，使用线性规划方法，求解导数等方式，寻找最优生产方案。

3. 人口增长问题人口增长问题是数学建模中的典型题型，要求学生根据给定的人口增长率、初期人口数量等条件，预测未来人口数量。

这类问题常常涉及到指数函数、常微分方程等知识。

解题时，可以通过建立微分方程模型，使用指数函数性质，求解微分方程的通解等方法，完成人口增长问题的分析和预测。

4. 购物策略问题购物策略问题是数学建模中常见的实际问题，要求学生根据购物节省、优惠券折扣等条件，确定最佳购物策略。

这类问题通常涉及到百分数、比例、折扣计算等知识。

解题时，可以通过建立优惠券折扣函数，利用比例关系，计算购物节省金额等方式，找到最佳购物策略。

通过以上对高中数学中常见的数学建模题的分析，我们可以看到数学建模题在数学教学中的重要性和广泛性。

通过解答这些建模题，学生不仅可以提升数学能力，还可以锻炼主动解决实际问题的能力。

希望学生在学习数学建模的过程中，能够灵活运用数学知识，提高解决问题的能力，为将来的学习和工作打下坚实的基础。

数学建模作业离散的Logistic方程(人口的周期性变化问题)0407139 仝虎2005.4.22摘要人口问题是当今世界最引人注目问题之一.本文在人口增长的Malthus 模型和Logistic 连续模型的基础上,建立了离散的Logistic 方程,分析并模拟了某地区的人口数周期性变化的规律.为了建立离散的Logistic 方程分析并模拟某地区的人口数周期性变化的规律,文章首先简单的回顾了一下人口增长的Malthus 模型和Logistic 连续模型,然后建立起离散的Logistic 方程,利用Matlab 工具模拟了某地区的人口周期性变化规律,并进一步讨论了各项参数的变化对周期的影响.一． 理论前提关于人口问题的研究理论和模型很多,本节简单回顾一下常用的两个关于人口增长的模型: Malthus 模型和Logistic 模型. 1. Malthus 模型影响人口增长的因素很多:人口的底数,出生率,死亡率,男女比例,年龄结构,生产水平,天灾人祸等.为了简化问题,Malthus 模型中仅考虑主要因素:增长率.人口的数量本应取离散值，但由于人口数量一般较大，为了方便理论研究,建立微分方程模型，可将人口数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量，由此引起的误差十分微小.设t 时刻人口总数为()y t ,人口增长率为[(,())]r t y t ,则[,]t t t +内人口总数()y t 的增量()()(,())()y y t t y t r t y t y t t =+-=两边同初以t ,并令0t →,得(,())()dyr t y t y t dt= Malthus 在分析人口出生和死亡情况的资料后发现,人口净增长率a 基本上是一个常数(r=b-d,b 为出生率,d 为死亡率),即: 0(,)r t y r = Malthus 模型如下:000()()dyr y t dty t y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 解得:00()0()r t t y t y e -=假设某地区的人口增长服从Malthus 模型，人口增长率r0=0.3, 设1970年该地区人口为3万，即：t0=1970,y0=3,则相应的人口增长曲线如下图所示：0.3(1970)()3t y t e -=在某一时期内，人口数量的增长很符合Malthus 模型。

实验报告课程名称：数学建模课题名称：求解常微分方程与人口模型专业：信息与计算科学姓名：胡家炜班级：123132完成日期： 2016年 6 月10 日一．求解微分方程的通解(1). dsolve('2*x^2*y*Dy=y^2+1','x')ans =(exp(C3 - 1/x) - 1)^(1/2)-(exp(C3 - 1/x) - 1)^(1/2)i-i(2). dsolve('Dy=(y+x)/(y-x)','x')ans =x + 2^(1/2)*(x^2 + C12)^(1/2)x - 2^(1/2)*(x^2 + C12)^(1/2)(3). dsolve('Dy=cos(y/x)+y/x','x')ans =(pi*x)/2-x*log(-(exp(C25 + log(x)) - i)/(exp(C25 + log(x))*i - 1))*i (4). dsolve('(x*cos(y)+sin(2*y))*Dy=1','x')ans =-asin(x/2 + lambertw(0, -(C30*exp(- x/2 - 1))/2) + 1)(5). dsolve('D2y+3*Dy-y=exp(x)*cos(2*x)','x')ans =C32*exp(x*(13^(1/2)/2 - 3/2)) + C33*exp(-x*(13^(1/2)/2 + 3/2)) + (13^(1/2)*exp(x*(13^(1/2)/2-3/2))*exp((5*x)/2(13^(1/2)*x)/2)*(2*sin(2*x) - cos(2*x)*(13^(1/2)/2 - 5/2)))/(13*((13^(1/2)/2 - 5/2)^2 +4))-(13^(1/2)*exp(x*(13^(1/2)/2+3/2))*exp((5*x)/2+(13^(1/2)*x)/2)*(2 *sin(2*x)+cos(2*x)*(13^(1/2)/2+5/2)))/(13*((13^(1/2)/2 + 5/2)^2 + 4))（6）dsolve('D2y+4*y=x+1+sin(x)','x')ans =cos(2*x)*(cos(2*x)/4 - sin(2*x)/8 + sin(3*x)/12 - sin(x)/4 + (x*cos(2*x))/4 - 1/4) + sin(2*x)*(cos(2*x)/8 - cos(3*x)/12 + sin(2*x)/4 + cos(x)/4 + (x*sin(2*x))/4 + 1/8) + C35*cos(2*x) +C36*sin(2*x)二．求初值问题的解（1）. dsolve('x^2+2*x*y-y^2+(y^2+2*x*y-x^2)*Dy=0','y(1)=1','x') ans =(x*((- 4*x^2 + 4*x + 1)/x^2)^(1/2))/2 + 1/2(2). dsolve('D2x+2*n*Dx+a^2*x=0','x(0)=x0','Dx(0)=V0')ans =(exp(-t*(n - (-(a + n)*(a - n))^(1/2)))*(V0 + n*x0 + x0*(-(a + n)*(a - n))^(1/2)))/(2*(-(a + n)*(a - n))^(1/2)) - (exp(-t*(n + (-(a + n)*(a - n))^(1/2)))*(V0 + n*x0 - x0*(-(a + n)*(a - n))^(1/2)))/(2*(-(a + n)*(a - n))^(1/2))三．给出函数f(x)=sinx+cosx在x=0点的7阶taylor展开式以及在x=1处的5阶taylor展开式。