2019-2020学年贵州省铜仁市思南中学高二下学期期末数学试卷(理科) (解析版)

贵州省铜仁地区2019-2020学年数学高二第二学期期末达标检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知i 为虚数单位，则复数21ii+= （） A ．1i +B ．1i --C ．1i -+D ．1i -2．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ） A ．10种B ．20种C ．25种D ．32种3．在复平面内，复数211(1)i --的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．经过椭圆22x 2y 2+=的一个焦点作倾斜角为45的直线l ，交椭圆于M ，N 两点，设O 为坐标原点，则OM ON ⋅等于( ) A ．3-B ．13±C ．13-D ．12-5．—个物体的运动方程为21s t t =-+其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在5秒末的瞬时速度是（ ） A ．6米/秒B ．7米/秒C ．8米/秒D ．9米/秒6．已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>上的四点A ，B ，C ，D 满足AC AB AD =+，若直线AD 的斜率与直线AB 的斜率之积为2，则双曲线C 的离心率为( ) ABCD．7．已知数列{}n a 满足110,n a a +==11g(1)1n a n +-+,则100a =( ) A ．1g101-B ．2-C ．1g101D ．28．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线20x y -=上，则3sin()2cos(5)2sin()sin()2πθπθπθπθ++-=---（ ）A ．3B ．3-C ．0D ．139．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且函数()f x 在(),0-∞上是减函数，若()1a f =-，142log b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.32c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．a b c <<10．若实数，x y 满足条件1230x x y y x≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则1yz x =+的最小值为A ．13B ．12C ．34D ．111．复数1323ii+的共轭复数为（ ） A ．32i +B ．32i -C ．23i +D ．23i -12．已知点F 为抛物线 C ：24y x = 的焦点. 若过点F 的直线 l 交抛物线C 于A ， B 两点， 交该抛物线的准线于点M ，且1MA AF λ=，2MB BF λ=，则12λλ+=（ ）A ．12-B ．0C ．1D ．2二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．数列{}n a 的通项公式是1n a n n =++n 项和为20，则项数n 为__________.14．712x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，x 项的系数是__________．（用数字作答） 15．设向量a 与b ，共线，且()3,a k =，()11b =-,，则k =________．16．若()80a x a x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为5670，则展开式中各项系数的和为____． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知数列{}n a 满足()()*11142n n n a a a n +++=-∈N ，且12a=.（Ⅰ）求2a ，3a 的值；（Ⅱ）是否存在实数a ，b ，使得1132n na ab =+⎛⎫-- ⎪⎝⎭，对任意正整数n 恒成立？若存在，求出实数a 、b 的值并证明你的结论；若不存在，请说明理由.18．某大型高端制造公司为响应《中国制造2025》中提出的坚持“创新驱动、质量为先、绿色发展、结构优化、人才为本”的基本方针,准备加大产品研发投资,下表是该公司2017年5~12月份研发费用(百万元)和产品销量(万台)的具体数据：（1)根据数据可知y 与x 之间存在线性相关关系 (ⅰ)求出y 关于x 的线性回归方程(系数精确到0.001);(ⅱ)若2018年6月份研发投人为25百万元，根据所求的线性回归方程估计当月产品的销量；（2）为庆祝该公司9月份成立30周年,特制定以下奖励制度:以z(单位:万台)表示日销量,[)0.18,0.2z ∈,则每位员工每日奖励200元；[)0.2,0.21z ∈,则每位员工每日奖励300元；[)0.21,z ∈+∞,则每位员工每日奖励400元现已知该公司9月份日销量z （万台）服从正态分布()0.2,0.0001N ,请你计算每位员工当月(按30天计算)获得奖励金额总数大约多少元. 参考数据:81347i ii x y==∑，8211308i i x ==∑.参考公式:对于一组数据()()()1122,,,,,n n x y x y x y ,其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为: 1221ˆni ii nii x y nxybxnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-.若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ,则()0.6826P X μσμσ-<≤+=，()220.9544P X μσμσ-<≤+=.19．（6分）已知函数2()6f x x x =--.（1）求不等式()0f x <的解集；（2）若对于一切1x >，均有()(3)10f x m x m ≥+--成立，求实数m 的取值范围.20．（6分）某企业有A 、B 两个岗位招聘大学毕业生，其中第一天收到这两个岗位投简历的大学生人数如下表：（1）根据以上数据判断是有97.5%的把握认为招聘的A 、B 两个岗位与性别有关？（2）从投简历的女生中随机抽取两人，记其中投B 岗位的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：21．（6分）已知椭圆1C ：2221(0)8x y b b+=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点2F 也为抛物线2C ：28y x=的焦点．（1）若M ，N 为椭圆1C 上两点，且线段MN 的中点为(1,1)，求直线MN 的斜率；（2）若过椭圆1C 的右焦点2F 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A ，B 和C ，D ，设线段AB ，CD 的长分别为m ，n ，证明11m n+是定值． 22．（8分）已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且当12x x <时，()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，设:p “()()231280f m f m ++-<”.（1）若p 为真，求实数m 的取值范围；（2）设:q 集合()(){}|140A x x x =+-≤与集合{}|B x x m =<的交集为{}|1x x ≤-，若p q ∧为假，p q ∨为真，求实数m 的取值范围.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，即可求解，得到答案. 【详解】由复数的运算，可得复数()()()2121111i i i i i i i ⋅-==++++，故选A. 【点睛】本题主要考查了复数的基本运算，其中解答中熟记的除法运算方法，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．D 【解析】每个同学都有2种选择，根据乘法原理，不同的报名方法共有5232=种，应选D. 3．A 【解析】 【分析】 先化简复数21111(1)2i i -=--，然后求其共轭复数，再利用复数的几何意义求解. 【详解】 因为复数21111(1)2i i -=--，其共轭复数为112i +，对应的点是11,2⎛⎫⎪⎝⎭，所以位于第一象限. 故选：A 【点睛】本题主要考查复数的概念及其几何意义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 4．C 【解析】 【分析】椭圆化标准方程为2212x y +=，求得,,a b c ，设直线方程为1y x =-，代入椭圆方程，求得交点坐标41(0,1),(,)33M N --，由向量坐标运算求得OM ON ⋅． 【详解】椭圆方程为2212x y +=，1,1a b c ===，取一个焦点(1,0)F ,则直线方程为1y x =-，代入椭圆方程得2340x x -=，41(0,1),(,)33M N --， 所以OM ON ⋅13=-，选C.【点睛】本题综合考查直线与椭圆相交问题，及向量坐标运算，由于本题坐标好求所以直接求坐标，代入向量坐标运算．一般如果不好求坐标点，都是用韦达定理设而不求． 5．D 【解析】分析：求出运动方程的导数，据对位移求导即得到物体的瞬时速度，求出导函数在t=3时的值，即为物体在3秒末的瞬时速度详解：∵物体的运动方程为s=1﹣t+t 2 s′=﹣1+2t s′|t=5=9. 故答案为：D.点睛：求物体的瞬时速度，只要对位移求导数即可． 6．A 【解析】很明显，A ，B ，C ，D 四点组成平行四边形ABDC ，如图所示，设()()(),,,0,,0A x y B a C a -，则：2222222212AB ADy y y x y k k x a x a x a a a⨯=⨯==⇒=+-+-， 点A 在双曲线上，则：2222222211x y x y a b a b -=⇒=+，据此可得：22222211,22y y b a a b+=+∴=，结合222c a b =+可得双曲线的离心率为==ce a. 本题选择A 选项.点睛：求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e 的关系式求e 或e 的范围；另一种是建立a ，b ，c 的齐次关系式，将b 用a ，e 表示，令两边同除以a 或a 2化为e 的关系式，进而求解． 7．B 【解析】分析：首先根据题中所给的递推公式1n a += 11g(1)1n a n +-+，推出11lg(1)lg lg(1)1n n a a n n n +-=-=-++，利用累求和与对数的运算性质即可得出结果 详解：由1n a += 11g(1)1n a n +-+， 可得11lg(1)lg lg(1)1n n a a n n n +-=-=-++， 即21321lg1lg 2,lg 2lg3,,lg(1)lg n n a a a a a a n n --=--=-⋯-=--， 累加得1lg1lg 2lg 2lg3+lg(1)lg n a a n n -=-+-+⋯--lg n =-， 又10a =，所以lg n a n =-，所以有100lg1002a =-=-，故选B.点睛：该题考查的是有关利用累加法求通项的问题，在求解的过程中，需要利用题中所给的递推公式，可以转化为相邻两项差的式子，而对于此类式子，就用累加法求通项，之后再将100代入求解. 8．A 【解析】 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系求出tanθ的值，原式利用诱导公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系变形，将tanθ的值代入计算即可求出值．【详解】解：由已知可得，tanθ＝2， 则原式231cos cos cos sin tan θθθθθ---===--1．故选A ． 【点睛】此题考查了诱导公式的作用，三角函数的化简求值，以及直线斜率与倾斜角的关系，熟练掌握诱导公式是解本题的关键． 9．B 【解析】 【分析】利用函数奇偶性和单调性可得，距离y 轴近的点，对应的函数值较小，可得选项. 【详解】因为函数()f x 满足()()f x f x -=，且函数()f x 在(),0-∞上是减函数，所以可知距离y 轴近的点，对应的函数值较小；2221log log 224-==-，0.30221>=且0.31222<=，所以b c a >>，故选B. 【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用，侧重考查数学抽象和直观想象的核心素养. 10．B 【解析】分析：作出约束条件的平面区域，易知z=1yx +的几何意义是点A （x ，y ）与点D （﹣1，0）连线的直线的斜率，从而解得．详解：由题意作实数x ，y 满足条件1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩的平面区域如下，z=1yx +的几何意义是点P （x ，y ）与点D （﹣1，0），连线的直线的斜率，由1x y x =⎧⎨=⎩，解得A （1，1）故当P 在A 时，z=1yx +有最小值， z=1yx +=12．故答案为：B ．点睛：（1）本题主要考查线性规划和斜率的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想方法.(2)2121y y x x --表示两点1122(,),(,)x y x y 所在直线的斜率.11．B 【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：由复数的运算法则可知：()()()23231323322323i i i i i i i i i+-==-=+++， 则复数1323ii+的共轭复数为32i -. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12．B 【解析】 【分析】将长度利用相似转换为坐标关系，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理求得答案. 【详解】易知：焦点F 坐标为(1,0)，设直线方程为：(1)y k x =- 1122(,),(,)A x y B x y22222124(44)01(1)y xk x k x k x x y k x ⎧=⇒-++=⇒=⎨=-⎩ 如图利用AFGANQ ∆∆和FBP FHM ∆∆ 相似得到：111111x MAMA AF AF x λλ+=⇒=-=--， 222211x MB MB BF BF x λλ+=⇒==- 12121212121122011(1)(1)x x x x x x x x λλ++-+=-+==---- 【点睛】本题考查了抛物线与直线的关系，相似，意在考查学生的计算能力. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．440 【解析】 【详解】由数列的通项公式可得：111n n n a n n n n -+===+++则：()(((213243111n S n n n =+++++=+，结合前n 1120n +=，解得：440n =.点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 14．560- 【解析】分析：先求出二项式712x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式，令x 的指数等于1，求出r 的值，即可求得展开式中x 项的系数.详解：712x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式的通项为()()()71772177212rrrr r r r r T C x x C x ----+=-=-，7213r r -=⇒=，展开式x 项的系数为()334712560C -⨯=-故答案为560-.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 15．-3 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】()3,a k =，()11b =-,,且a ，b 共线，31k ∴⨯=-即3k =-． 故答案为：3- 【点睛】本题主要考查了向量共线的坐标运算，属于容易题. 16．256 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式求得a ，再用赋值法求出各项系数的和. 【详解】由二项式的展开式的通项公式得882188rr r r r r r a T C x C a x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，则820,4r r -== 所以4485670,C a =所以481,0, 3.a a a =<∴=-所以883,a x x x x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭再令1,x =得展开式中各项系数的和()88312256.1⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭故答案为256. 【点睛】本题考查二项式展开式中的特定项和各项系数和，属于中档题. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．（Ⅰ）212a =，375a =；（Ⅱ）存在实数45a =-，15b =符合题意. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由题意可整理为142nn na a a +-=+，从而代入12a =，即可求2a ，3a 的值； （Ⅱ）当1n =时和2n =时，可得到一组a 、b 的值，于是假设该式成立，用数学归纳法证明即可. 【详解】（Ⅰ）因为()11142n n n a a a +++=-，整理得142nn na a a +-=+， 由12a =，代入得2421222a -==+，314721522a -==+. （Ⅱ）假设存在实数a 、b ，使得1132n na ab =+⎛⎫-- ⎪⎝⎭对任意正整数n 恒成立.当1n =时，11232a b +=⎛⎫-- ⎪⎝⎭，① 当2n =时，2111232a b +=⎛⎫-- ⎪⎝⎭，②由①②解得：45a =-，15b =. 下面用数学归纳法证明：存在实数45a =-，15b =，使11431525n na =+⎛⎫--- ⎪⎝⎭对任意正整数n 恒成立.（1）当1n =时，结论显然成立.（2）当n k =时，假设存在45a =-，15b =，使得11431525k ka =+⎛⎫--- ⎪⎝⎭成立， 那么，当1n k =+时，142kk ka a a +-=+ 141431525121431525k k⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎛⎫⎛⎫---⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦=++⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12385251232525k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 11111631431525525kk +=+=+⎛⎫⎛⎫-----⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.即当1n k =+时，存在45a =-，15b =，使得1111431525k k a ++=+⎛⎫--- ⎪⎝⎭成立.由（1）（2）得：存在实数45a =-，15b =，使1132n na ab =+⎛⎫-- ⎪⎝⎭对任意正整数n 恒成立. 【点睛】本题主要考查数学归纳法在数列中的应用，意在考查学生的计算能力，分析能力，逻辑推理能力，比较综合，难度较大.18． (1)(i)0.2440.315y x =+;(ii)6.415万台；(2)7839.3元. 【解析】分析：（1）（i)根据平均数公式可求出x 与y 的值，从而可得样本中心点的坐标，从而求可得公式1212ni n i xiyi nxyb x nx i∧==-==-∑∑中所需数据，求出0.244b ∧=，再结合样本中心点的性质可得,0.315a ∧=，进而可得y 关于x 的回归方程；（ii ）将25x =代入所求回归方程，即可的结果；（2）由题知9月份日销量z （万台)服从正态分布()0.2,0.0001N ，则20.2,0.0001,0.01μσσ===，根据正态曲线的对称性求出各区间上的概率，进而可得结果.详解：（1）（i)因为11.3x y ==所以1213478113830.244213088121340ni n i xiyi nxy b x nx i∧==--⨯⨯===≈-⨯-∑∑833110.315340a yb x ∧∧=-=-⨯≈， 所以y 关于x 的线性回归方程为0.2440.135y x =+（ii ）当25x =时，0.244250.135 6.415y =⨯+=（万台）（注：若30.244110.316,0.2440.316a y x =-⨯==+，当25x =时，0.244250.136 6.416y =⨯+=（万台）第（1）小问共得5分，即扣1分）（2）由题知9月份日销量z （万台)服从正态分布()0.2,0.0001N . 则20.2,0.0001,0.01μσσ===.日销量[)0.18,0.2z ∈的概率为0.95440.47722=. 日销量[)0.2,0.21z ∈的概率为0.68260.34132=. 日销量[)0.21,z ∈+∞的概率为10.68260.15872-=. 所以每位员工当月的奖励金额总数为()2000.47723000.3134000.1587307839.3⨯+⨯+⨯⨯=元 点睛：求回归直线方程的步骤：①依据样本数确定两个变量具有线性相关关系；②计算211,,,n niiii i x y x x y==∑∑的值；③计算回归系数,a b ；④写出回归直线方程为ˆy bx a =+； 回归直线过样本点中心(),x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势. 19．（1）{|23}x x -<<；（2）(,0]-∞. 【解析】分析：（1）直接解一元二次不等式即可；（2）将不等式转化为恒成立问题，分离参数，借助基本不等式得到m 的取值范围.详解：（1）∵()0f x <，∴260x x --<，∴()()230x x +-<，∴()0f x <的解集为{|23}x x -<<； （2）∵()26f x x x =--，∴当1x >时，()26310x x m x m --≥+--恒成立，∴()2441x x m x -+≥-，∴对一切1x >均有2441x x m x -+≤-成立，又2441122011x x x x x -+=-+-≥=--，当且仅当2x =时，等号成立. ∴实数m 的取值范围为(],0-∞.点睛：本题考查了一元二次不等式的解法，以及将不等式转化为恒成立问题，分离参数，基本不等式的应用.20． (1)有97.5%的把握认为招聘的A 、B 两个岗位与性别有关.(2)见解析. 【解析】分析：（1）根据所给公式直接计算求解作答即可；（2）先分析此分布为超几何分布，然后确定X 的取值可能，根据超几分布求解概率写分布列即可. 详解： （1）()221001256248 6.25 5.024********K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，故有97.5%的把握认为招聘的A 、B 两个岗位与性别有关. （2）X 的可能取值为0，1，2，()21222033095C P X C ===，()1112822048195C C P X C ===，()2822014295C P X C ===.∴X 的分布列为0129595955EX =⨯+⨯+⨯=. 点睛：考查独立性检验和离散型随机变量分分布列，属于基础题.21．（1）1 2-（2）8解:因为抛物线22:8C y x =的焦点为(2,0),所以284b -=,故2b =.所以椭圆222:184x y C +=. (1)设1122(,),(,)M x y N x y ,则221122221,84{1,84x y x y +=+= 两式相减得1212()()8x x x x +-+1212()()04y y y y +-=，又MN 的中点为(1,1),所以12122,2x x y y +=+=.所以212112y y x x -=--.显然,点(1,1)在椭圆内部,所以直线MN 的斜率为12-. (2)椭圆右焦点2(2,0)?F .当直线AB 的斜率不存在或者为0时, 11 mn +=+8=. 当直线AB 的斜率存在且不为0时,设直线AB 的方程为(2)y k x =-， 设1122(,),(,)A x y B x y ,联立方程得22(2),{28,y k x x y =-+=消去y 并化简得222(12)8k x k x +-2880k +-=，因为222(8)4(12)k k ∆=--+22(88)32(1)0k k -=+>，所以2122812k x x k +=+，21228(1)12k x x k-=+.所以m =22)12k k+=+同理可得22)2k n k +=+.所以11 m n +=2222122()11k k k k +++=++为定值. 【解析】分析：（1）先利用抛物线的焦点是椭圆的焦点求出284b -=，进而确定椭圆的标准方程，再利用点差法求直线的斜率；（2）设出直线的方程，联立直线和椭圆的方程，得到关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解.详解：因为抛物线22:8C y x =的焦点为()2,0，所以284b -=，故2b =.所以椭圆221:184x y C +=.（1）设()11,M x y ，()22,N x y ，则221122221,841,84x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得()()()()12121212084x x x x y y y y +-+-+=，又MN 的中点为()1,1，所以122x x +=，122y y +=.所以212112y y x x -=--.显然，点()1,1在椭圆内部，所以直线MN 的斜率为12-. （2）椭圆右焦点()22,0F .当直线AB 的斜率不存在或者为0时，11m n +==当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB 的方程为()2y k x =-， 设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程得()222,28,y k x x y ⎧=-⎨+=⎩消去y 并化简得()2222128880k xk x k +-+-=，因为()()()()222228412883210kk k k ∆=--+-=+>，所以2122812k x x k +=+，()21228112k x x k-=+. 所以)22112k m k +==+，同理可得)2212k n k +=+.所以222211122118k k m n k k ⎫+++=+=⎪++⎭为定值. 点睛：在处理直线与椭圆相交的中点弦问题，往往利用点差法进行求解，比联立方程的运算量小，另设直线方程时，要注意该直线的斜率不存在的特殊情况，以免漏解.22．（1）35m <<；（2）()(1?3]4? 5-⋃，，. 【解析】试题分析：（1）由已知可得，函数()f x 为R 上的奇函数、且为增函数，由命题p 为真，则()()()()22312803812f m f m f m f m ++-<⇒+<-，所以23812m m +<-，从而解得35m <<；（2）由集合()(){}|140A x x x =+-≤⇒{}|14x x x ≤-≥或，若q 为真，则14m -<≤，因为“p q ∧为假，p q ∨为真”等价于“p 、q 一真一假”，因此若p 真q 假，则45m <<；若p 假q 真，则13m -<≤.从而可得，实数m 的取值范围是()(13]45-⋃，，.试题解析：∵函数()f x 是奇函数，∴()()0f x f x +-=， ∵当12x x <时，()()()12120x x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦， ∴函数()f x 为R 上的增函数，∵()()231280f m f m ++-<，()()f x f x -=-，∴()()23812f m f m +<-，∴23812m m +<-，若p 为真，则28150m m -+<，解得35m << （2）{}|14A x x x =≤-≥或， 若q 为真，则14m -<≤， ∵p q ∧为假，p q ∨为真， ∴p 、q 一真一假， 若p 真q 假，则45m <<； 若p 假q 真，则13m -<≤综上，实数m 的取值范围是()(13]45-⋃，， 考点：1.函数性质的应用；2.命题的真假判断及其逻辑运算.。

2019-2020学年贵州省铜仁地区数学高二(下)期末达标检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．若关于x 的不等式20mx ->的解集是{|2}x x >，则实数m 等于（ ） A ．－1 B ．－2C ．1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】根据一元一次不等式与一元一次方程的关系，列出方程，即可求解. 【详解】由题意不等式20mx ->的解集是{|2}x x >，所以方程20mx -=的解是2，则220m -=，解得1m =，故选C. 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式与一元一次方程的关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．执行如图的程序框图，若输出的4n =，则输入的整数p 的最小值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．15【答案】A 【解析】 【分析】列举出算法的每一步循环，根据算法输出结果计算出实数p 的取值范围，于此可得出整数p 的最小值. 【详解】0S p =<满足条件，执行第一次循环，0021S =+=，112n =+=； 1S p =<满足条件，执行第二次循环，1123S =+=，213n =+=；3S p =<满足条件，执行第二次循环，2327S =+=，314n =+=. 7S p =<满足条件，调出循环体，输出n 的值为4.由上可知，37p <≤，因此，输入的整数p 的最小值是4，故选A. 【点睛】本题考查算法框图的应用，解这类问题，通常列出每一次循环，找出其规律，进而对问题进行解答，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3．ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若20a b c ++=，三角形面积为103，60A =︒，则a =( ) A ．7 B ．8C ．5D ．6【答案】A 【解析】分析：由已知及三角形的面积公式可求bc ，然后由a+b+c =20以及余弦定理，即可求a ． 详解：由题意可得，S △ABC =12bcsinA=12bcsin60° ∴12bcsin60°=103∴bc=40 ∵a+b+c=20 ∴20﹣a=b+c ．由余弦定理可得，a 2=b 2+c 2﹣2bccos60°=（b+c ）2﹣3bc=（20﹣a ）2﹣120 解得a=1． 故选A ．点睛：本题综合考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式等知识的综合应用，解题的关键是灵活利用公式．考查计算能力．4．已知命题p ：∀x∈R，2x >0；q ：∃x 0∈R，x ＋x 0＝－1．则下列命题为真命题的是( ) A ．p∧q B ．(┐p)∧(┐q)C ．(┐p)∧qD ．p∧(┐q)【答案】D 【解析】分析：分别判断p ，q 的真假即可.详解：Q 指数函数的值域为(0，＋∞)，∴对任意x∈R，y ＝2x >0恒成立，故p 为真命题； x 2＋x ＋1＝2＋>0恒成立,不存在x 0∈R，使x ＋x 0＝－1成立，故q 为假命题，则p∧q，┐p 为假命题，┐q 为真命题，┐p∧┐q ，┐p∧q 为假命题，p∧┐q 为真命题． 故选：D.点睛：本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了指数函数的性质与二次函数方面的知识.5．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（）2017 2016 2015 2014……6 5 4 3 2 14033 4031 4029…………11 9 7 5 38064 8060………………20 16 12 816124……………………36 28 20………………………A．201620172⨯B．20152⨯0182C．20152⨯0182⨯D．201620172【答案】B【解析】【分析】数表的每一行都是等差数列，从右到左，第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，第2016行只有M，由此可得结论．【详解】由题意，数表的每一行都是等差数列，从右到左，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，故从右到左第1行的第一个数为：2×2﹣1，从右到左第2行的第一个数为：3×20，从右到左第3行的第一个数为：4×21，…从右到左第n行的第一个数为：（n+1）×2n﹣2，第2017行只有M，则M=（1+2017）•22015=2018×22015故答案为：B．【点睛】本题主要考查归纳与推理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.6．利用独立性检验来考虑两个分类变量X与Y是否有关系时，通过查阅下表来确定“X和Y有关系”的可信度．如果k>5.024，那么就有把握认为“X和Y有关系”的百分比为()k 0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.83A ．25%B ．95%C ．5%D ．97.5%【答案】D 【解析】∵k ＞5.024，而在观测值表中对应于5.024的是0.025，∴有1-0.025=97.5%的把握认为“X 和Y 有关系”， 故选D ．7．甲、乙、丙三人每人准备在个旅游景点中各选一处去游玩，则在“至少有个景点未被选择”的条件下，恰有个景点未被选择的概率是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】设事件A 为：至少有个景点未被选择，事件B 为：恰有个景点未被选择,计算和,再利用条件概率公式得到答案. 【详解】设事件A 为：至少有个景点未被选择，事件B 为：恰有个景点未被选择故答案选A 【点睛】本题考查了条件概率，意在考查学生对于条件概率的理解和计算.8． “1x >”是“复数2(1)()z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义结合复数与复平面内点的对应关系，从而得到答案． 【详解】若复数()()21z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限，则20,10x x x ⎧->⎨->⎩解得1x >，故“1x >”是“复数()()21z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限”的充要条件. 故选C. 【点睛】本题考查了充分必要条件，考查了复数的与复平面内点的对应关系，是一道基础题． 9．甲、乙、丙三位同学站成一排照相，则甲、丙相邻的概率为（ ） A ．16B ．15C ．23D ．13【答案】C 【解析】分析：通过枚举法写出三个人站成一排的所有情况，再找出其中甲、丙相邻的情况，由此能求出甲、丙相邻的概率.详解：三人站成一排，所有站法有：（甲乙丙）、（甲丙乙）、（乙甲丙）、（乙丙甲）、（丙甲乙）、（丙乙甲）共6种，其中甲、丙相邻有4种， 所以，甲、丙相邻的概率为4263P ==. 故选C.点睛：本题考查古典概型的概率的求法，解题时要注意枚举法的合理运用.10．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)...(2018)f f f f ++++=（ ）A ．50B ．2C ．0D ．-2018【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得()00f =，()f x 为周期为4的函数，分别求得一个周期内的函数值，计算可得所求和． 【详解】解：()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数， 可得()()f x f x -=-，()()11f x f x -=+即有()()2f x f x +=-，即()()2f x f x +=-，进而得到()()()42f x f x f x +=-+=，()f x 为周期为4的函数，若()12f =，可得()()()3112f f f =-=-=-，()()200f f ==，()()400f f ==，则()()()()123420200f f f f +++=+-+=， 可得()()()()123...2018f f f f ++++5040202=⨯++=.故选：B ． 【点睛】本题考查抽象函数的函数值的求和，注意运用函数的周期性，考查转化思想和运算能力，属于中档题． 11．已知复数2()(1)z m m m i =-+-是纯虚数，m R ∈，则21(1)z =+（） A ．2i -B ．2i C ．iD ．i -【答案】B 【解析】 【分析】根据纯虚数定义，可求得m 的值；代入后可得复数z ，再根据复数的除法运算即可求得21(1)z +的值.【详解】复数2()(1)z m m m i =-+-是纯虚数，则2010m m m ⎧-=⎨-≠⎩，解得0m =，所以z i =-， 则221111(1)(1)22i z i i ===+--， 故选：B. 【点睛】本题考查了复数的概念，复数的除法运算，属于基础题.12．在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()3a b c a b c ab +-++=，且4c =，则ABC V 面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D 【答案】B 【解析】 【分析】本题考察的是解三角形公式的运用，可以化简()()3a b c a b c ab +-++=得出角C 的大小以及ab 的最大值，然后得出结果． 【详解】()()3a b c a b c ab +-++=()223a b c ab +-=222a b c ab +-=2221cos 22a b c c ab +-==，C=60︒222a b ab c +-=22c ab ab ≥-，解得16ab ≤所以1sin 2ABC S ab C =≤n 【点睛】在解三角形过程中，要对一些特定的式子有着熟练度，比如说222a b c +-、ab 等等，根据这些式子就要联系到我们的解三角形的公式当中去．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13． “2x x >”是“1x >”的_______条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中一个） 【答案】必要不充分 【解析】 【分析】解出2x x >的解集，根据对应的集合之间的包含关系进行判断. 【详解】2x x >Q ，∴ 1x > 或0x <(1,)Q +? n (,0)(1,)-∞⋃+∞“2x x >”是“1x >”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 【点睛】本题考查充分、必要条件 充分、必要条件的三种判断方法: (1)定义法：根据p q qp 揶，进行判断．(2)集合法：根据p q ，成立对应的集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断． 14．—个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(0,0,0)、(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)，则该四面体的体积为________. 【答案】16【解析】分析：满足条件的四面体为正方体的一个角O ABC -，利用三棱锥的体积计算公式即可得出结果. 详解：如图所示，满足条件的四面体为正方体的一个角O ABC -，∴该四面体的体积211111326V ⨯⨯⨯=，故答案为16.点睛：本题主要考查空间直角坐标系与三棱锥的体积计算公式，考查了空间想象力、推理能力与计算能力，属于中档题. 15．若211(2)3ln 2mx dx x+=+⎰，则实数m 的值为____________. 【答案】1 【解析】 【分析】 先求12mx x+的原函数()F x ,再令(2)(1)3ln 2F F -=+即可. 【详解】易得12mx x+的原函数2()ln F x x mx =+,所以211(2)(2)(1)3ln 2mx dx F F x +=-=+⎰,即ln 243ln 2m m +-=+,故1m = 故答案为：1 【点睛】本题主要考查定积分的基本运算,属于基础题型.16．已知正三棱锥底面边长为2，侧棱长为3，则它的侧面与底面所成二面角的余弦值为________. 【答案】6【解析】 【分析】先做出二面角的平面角，再运用余弦定理求得二面角的余弦值． 【详解】取正三棱锥S ABC -的底边AC 的中点，连接SD 和BD ,则在底面正ABC ∆中，BD AC ⊥，且边长为2，所以3BD =， 在等腰SAC ∆中，边长为3,2SA SC AC ===， 所以SD AC ⊥且22SD =，所以SDB ∠就是侧面SAC 与底面ABC 所成二面角的平面角，所以在SDB ∆中，2226cos 2SD DB BD SDB SD DB +-∠==⨯⨯， 故得解.【点睛】本题考查二面角，属于基础题.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．在某中学高中某学科竞赛中，该中学100名考生的参赛成绩统计如图所示．（1）求这100名考生的竞赛平均成绩（同一组中数据用该组区间中点作代表）；（2）记70分以上为优秀，70分及以下为合格，结合频率分布直方图完成下表，并判断是否有99%的把握认为该学科竞赛成绩与性别有关？ 合格 优秀 合计 男生 18 女生 25 合计100附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．()20P K k ≥ 0.0500.0100.0050k3.841 6.635 7.879【答案】 (1) 68.5 (2)填表见解析，不能判断有99%的把握认为该学科竞赛成绩与性别有关 【解析】 【分析】（1）由每一组数据的中点值乘以该组的频率求和得答案；（2）计算70分以上的频率和频数，由此填写列联表，由表中数据计算观测值，对照临界值得出结论． 【详解】（1）由频率分布直方图，计算平均数为450.1550.15650.2750.3850.15950.168.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）由题意，70分以上的频率为()0.0300.0150.010100.55++⨯=， 频数为1000.5555⨯=， ∴70分及以下为1005545-=， 由此填写列联表如下； 合格 优秀 合计 男生183048女生 27 25 52 合计4555100由表中数据，计算()()()()()()2221001825273048524555n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯≈2.098＜6.635；不能判断有99%的把握认为该学科竞赛成绩与性别有关． 【点睛】本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是基础题．因为条形分布直方图的面积表示的是概率值，中位数是位于最中间的数，故直接找概率为0.5时 横坐标即可，平均数是每个长方条的中点乘以间距再乘以长方条的高，之后将以上计算得到的每一个数值相加得到值.18．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率23e a =，该椭圆中心到直线1x y a b +=的距离为324e .（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在过点(0,2)M -的直线l ，使直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过定点(1,0)N ？若存在，求出所有符合条件的直线方程；若不存在，请说明理由.【答案】 (1) 2213x y +=.(2) 存在直线l ：0x =或l ：726y x =-，使得以AB 为直径的圆经过点(1,0)N . 【解析】 分析：由23e a =，该椭圆中心到直线1x y a b +=的距离为324e ，222a b c =+求出椭圆方程；（2）先假设存在这样的直线，设出直线方程（注意考虑斜率），与椭圆联立，考虑∆然后设()11,A x y ，()22,B x y ，利用韦达定理，利用AB 为直径的圆过定点()1,0N ，转化0NA NB ⋅=u u u v u u u v，转化坐标构造方程进行求解．详解：（1）直线1x ya b+=的一般方程为0bx ay ab +-=， 依题意得222222332322c e a a a e a b a b c⎧==⎪⎪⎪==⋅⎨+⎪=+⎪⎪⎩，解得312a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， 所以椭圆C 的方程为2213x y +=.（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 即为y 轴，此时A ，B 为椭圆C 的短轴端点，以AB 为直径的圆经过点()1,0N .当直线l 的斜率存在时，设其斜率为k ，由22233y kx x y =-⎧⎨+=⎩， 得()22131290kxkx +-+=.所以()()221236130k k∆=--+>，得21k>.设()11,A x y ，()22,B x y ，则1221221213913k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，①而()()212121222y y kx kx k x x =--= ()1224k x x -++.因为以AB 为直径的圆过定点()1,0N ，所以AN BN ⊥，则0NA NB ⋅=u u u v u u u v，即()()1212110x x y y --+=. 所以()()()2121212150k x x k x x +-+++=.②将①式代入②式整理解得716k =>. 综上可知，存在直线l ：0x =或l ：726y x =-，使得以AB 为直径的圆经过点()1,0N . 点晴：本题考查直线与椭圆的位置关系，这类题目一般涉及设直线方程，然后和椭圆联立，设点，考虑∆，然后利用韦达定理，接下来就是对题干的转化啦，本题中典型的垂直问题，主要转化方向就是向量点乘，因为斜率的话还需要考虑斜率是否存在．19．国内某知名大学有男生14111人，女生11111人，该校体育学院想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取121人，统计他们平均每天运动的时间，如下表：（平均每天运动的时间单位：小时，该校学生平均每天运动的时间范围是）.男生平均每天运动时间分布情况：女生平均每天运动时间分布情况：（1）请根据样本估算该校男生平均每天运动的时间（结果精确到1.1）；（2）若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生为“非运动达人”.①请根据样本估算该校“运动达人”的数量；②请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表，并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过1.15的前提下认为“是否为‘运动达人’与性别有关？”参考公式：，其中.参考数据：1．11 1.15 1.125 1.111 1.115 1.1112.7163.841 5.124 6.635 7.879 11.828 【答案】（1）1.5；（2）①4111；②在犯错误的概率不超过1.15的前提下不能认为“是否为‘运动达人’与性别有关”．【解析】试题分析：（1）由分层抽样计算得男生抽人，女生抽人，故，由此求得男生平均运动事件为小时；（2）计算，故在犯错误的概率不超过的前提下不能认为“是否为‘运动达人’与性别有关”.试题解析：（1）由分层抽样得：男生抽取的人数为人，女生抽取人数为人，故，则该校男生平均每天运动时间为：故该校男生平均每天运动的时间约为1.5小时；（2）①样本中“运动达人”所占比例是，故估计该校“运动达人”有人；②由表可知：故的观测值故在犯错误的概率不超过1.15的前提下不能认为“是否为‘运动达人’与性别有关”考点：1.频率分布直方图；2.独立性检验.20．已知向量，.（1）若，求的值；（2）记在中角的对边分别为，且满足，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：(1)∵·＝1，即sin cos＋cos2＝1，即sin＋cos＋＝1，∴sin(＋)＝.∴cos(－x)＝cos(x－)＝－cos(x＋)＝－[1－2sin2(＋)]＝2·()2－1＝－.(2)∵(2a－c)cosB＝bcosC，由正弦定理得(2sinA －sinC)cosB ＝sinBcosC. ∴2sinAcosB －cosBsinC ＝sinBcosC ， ∴2sinAcosB ＝sin(B ＋C)，∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C)＝sinA ，且sinA≠0， ∴cosB ＝，B ＝，∴0＜A ＜.∴＜＋＜ ＜sin(＋)＜1.又∵f(x)＝·＝sin(＋)＋，∴f(A)＝sin(＋)＋.故函数f(A)的取值范围是(1，)．考点：本题综合考查了向量、三角函数及正余弦定理点评：三角与向量是近几年高考的热门题型,这类题往往是先进行向量运算,再进行三角变换 21．函数()1x f x x=-0x <（），令1()=()f x f x ，*1()=(())n n f x f f x n N +∈． （1）求23()()f x f x ，并猜想()n f x 的表达式（不需要证明）； （2）()()n g x f x =与250x y n --=相切，求n 的值． 【答案】（1）见解析；（2）4 【解析】 【分析】（1）分别求出()2f x 和()3f x 的解析式，结合函数()1f x 的解析式归纳出函数()n f x 的解析式； （2）设切点()00,P x y ，由函数()y g x =在点P 处的切线斜率等于直线250x y n --=，以及点P 为直线250x y n --=与函数()y g x =图象的公共点，利用这两个条件列方程组求出n 的值。

贵州省名校2019-2020学年数学高二第二学期期末质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．函数3()x xx f x e e-=+ 在[6,6]-的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．2．一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次是,,a b c ，当且仅当a b c b >>且时称为“凹数”，若{},,1234a b c ∈，，，，从这些三位数中任取一个，则它为“凹数”的概率是A ．13B ．532C ．732D ．7123．我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为14圆周，则该不规则几何体的体积为（ ）A ．12π+B ．136π+ C ．12π+D ．1233π+ 4．定积分的值为A ．B ．3C ．D ．5．已知集合{|2}M x x =>，集合{|13}N x x =<≤，则M N =（ ）A ．(2,3]B ．(1,2)C ．(1,3]D ．[2,3]6．小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A =“4个人去的景点彼此互不相同”，事件B =“小赵独自去一个景点”，则(|)P A B =（ ） A ．59B ．49C ．13D ．297．25(2)x x +-的展开式中含3x 项的系数为（ ） A ．-160B ．-120C ．40D ．2008．函数2()sin ln(1)f x x x =⋅+的部分图像可能是 （ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数32()682f x x x x =-+-的图象上，有且只有三个不同的点，它们关于直线2y =-的对称点落在直线2y kx =-上，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(1,)-+∞ B ．(1,8)(8,)-⋃+∞ C ．(,1)-∞D ．(,8)(8,1)-∞-⋃-10．已知点P 的极坐标是π2,6⎛⎫⎪⎝⎭，则过点P 且平行极轴的直线方程是( ) A ．ρ1=B ．ρsin θ=C ．1ρsin θ=-D ．1ρsin θ=11．有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X 表示取得次品的次数，则(2)P X ≤=（ ）A ．38B ．1314C ．45D ．7812．若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞上单调递增，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞-B ．(],1-∞-C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．设各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若52378,13a a S -==,则数列{}n a 的通项公式为n a =____________.14．若复数z 满足i 13i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为______．15．调查了某地若干户家庭的年收入x （单位：万元）和年饮食支出y （单位：万元），调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：^y =0.245x+0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加_______万元. 16．540的不同正约数共有______个． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．张华同学上学途中必须经过A B C D ，，，四个交通岗，其中在A B ，岗遇到红灯的概率均为12，在C D ，岗遇到红灯的概率均为13．假设他在4个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，X 表示他遇到红灯的次数．（1）若3x ≥，就会迟到，求张华不迟到的概率； （2）求EX ．18．已知椭圆()222210y x a b a b +=>>，且22a b =.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l ：0x y m -+=与椭圆交于A ，B 两点，是否存在实数m ，使线段AB 的中点在圆225x y +=上，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．19．（6分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆C 的长轴长为直径的圆与直线20x y +-=相切．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过椭圆右焦点且不重合于x 轴的动直线与椭圆C 相交于A 、B 两点，探究在x 轴上是否存在定点E ，使得EA EB ⋅为定值？若存在，试求出定值和点E 的坐标；若不存在，请说明理由．20．（6分）为了响应党的十九大所提出的教育教学改革，某校启动了数学教学方法的探索，学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班40人，甲班按原有传统模式教学，乙班实施自主学习模式.经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数，两个班学生的平均成绩均在[]50,100，按照区间[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100进行分组，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分（百分制）为优秀.()20P K k ≥ 0.10 0.05 0.0250k2.7063.841 5.024()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ （1）完成表格，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”；甲班 乙班 合计 大于等于80分的人数 小于80分的人数 合计（2）从乙班[)70,80，[)80,90，[]90,100分数段中，按分层抽样随机抽取7名学生座谈，从中选三位同学发言，记来自[)80,90发言的人数为随机变量x ，求x 的分布列和期望.21．（6分）某小组有7个同学，其中4个同学从来没有参加过天文研究性学习活动，3个同学曾经参加过天文研究性学习活动．（1）现从该小组中随机选2个同学参加天文研究性学习活动，求恰好选到1个曾经参加过天文研究性学习活动的同学的概率；（2）若从该小组随机选2个同学参加天文研究性学习活动，则活动结束后，该小组有参加过天文研究性学习活动的同学个数X 是一个随机变量，求随机变量X 的分布列和数学期望EX ． 22．（8分）设a ，k ∈R ，已知函数()2f x x x a ka =--+.（I ）当1a =时，求()f x 的单调增区间；（Ⅱ）若对于任意10,6a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 至少有三个零点，求实数k 的取值范围.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】 【分析】利用定义考查函数的奇偶性，函数值的符号以及()2f 与1的大小关系辨别函数()y f x =的图象． 【详解】()()()33x x x x x x f x f x e e e e----==-=-++，所以，函数()y f x =为奇函数，排除D 选项；当0x >时，30x >，则()0f x >，排除A 选项；又()322222821f e e e e--==>++，排除B 选项．故选C ． 【点睛】本题考查函数图象的辨别，在给定函数解析式辨别函数图象时，要考查函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及特殊值，利用这五个要素逐一排除不符合要求的选项，考查分析问题的能力，属于中等题． 2．C 【解析】 【分析】先分类讨论求出所有的三位数，再求其中的凹数的个数，最后利用古典概型的概率公式求解. 【详解】先求所有的三位数，个位有4种排法，十位有4种排法，百位有4种排法，所以共有44464⨯⨯=个三位数.再求其中的凹数，第一类：凹数中有三个不同的数，把最小的放在中间，共有3428C ⨯=种，第二类，凹数中有两个不同的数，将小的放在中间即可，共有2416C ⨯=种方法，所以共有凹数8+6=14个，由古典概型的概率公式得P=1476432=. 故答案为：C 【点睛】本题主要考查排列组合的运用，考查古典概型的概率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.3．B 【解析】 【分析】根据三视图知该几何体是三棱锥与14圆锥体的所得组合体，结合图中数据计算该组合体的体积即可． 【详解】解：根据三视图知，该几何体是三棱锥与14圆锥体的组合体， 如图所示；则该组合体的体积为21111111212323436V ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+； 所以对应不规则几何体的体积为136π+．故选B ．【点睛】本题考查了简单组合体的体积计算问题，也考查了三视图转化为几何体直观图的应用问题，是基础题． 4．C 【解析】 【分析】直接利用微积分基本定理求解即可． 【详解】由微积分基本定理可得，，故选C ．【点睛】本题主要考查微积分基本定理的应用，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题． 5．A 【解析】 【分析】直接求交集得到答案. 【详解】集合{|2}M x x =>，集合{|13}N x x =<≤，则(2,3]M N =.故选：A . 【点睛】本题考查了交集的运算，属于简单题. 6．D 【解析】分析：这是求小赵独自去一个景点的前提下，4 个人去的景点不相同的概率，求出相应基本事件的个数，即可得出结论．详解：小赵独自去一个景点，则有3个景点可选，其余3人只能在小赵剩下的3个景点中选择，可能性为33327⨯⨯= 种所以小赵独自去一个景点的可能性为427108⨯=种因为4 个人去的景点不相同的可能性为432124⨯⨯⨯= 种，所以242|.1089PA B ==（） ． 故选：D ．点睛：本题考查条件概率，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键． 7．B 【解析】分析：将()522x x +-化为()()5512,x x -+含3x 由()51x -展开式中的3x ，2,,x x 常数项与()52x +中展开式中的常数项，2,,x x 3x 分别对应相乘得到.分别求出相应的系数，对应相乘再相加即可. 详解：将()522x x +-化为()()5512,x x -+含3x 由()51x -展开式中的3x ，2,,x x 常数项与()52x +中展开式中的常数项，2,,x x 3x 分别对应相乘得到. ()51x -展开式的通项为()551,rr r C x -- 3x ，2,,x x 常数项的系数分别为()()()()3245324555551,1,1,1,C C C C ----()52x +展开式的通项为552,r rr C x-常数项，2,,x x 3x 的系数分别为5544332255552,2,2,2,C C C C 故()522x x +-的展开式中含3x 项的系数为()()()()32453552444335225555555512121212120,C C C C C C C C -⋅+-⋅+-⋅+-⋅=-故选B.点睛：本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了利用展开式的通项公式求指定项的系数，是基础题目． 8．B 【解析】 【分析】先判断函数奇偶性，再根据sin x 存在多个零点导致()f x 存在多个零点，即可判断出结果. 【详解】∵22()sin()ln(1)(sin ln(1))()f x x x x x f x -=-+=-+=-，∴()f x 为奇函数，且sin x 存在多个零点导致()f x 存在多个零点，故()f x 的图像应为含有多个零点的奇函数图像.故选B. 【点睛】本题主要考查函数图像的识别，熟记函数性质即可，属于常考题型. 9．D 【解析】 【分析】可先求2y kx =-关于2y =-的对称直线，联立对称直线和32()682f x x x x =-+-可得关于x 的函数方程，采用分离参数法以及数形结合的方式进行求解即可 【详解】设直线2y kx =-关于2y =-的对称函数为()g x ，则()2g x kx =--，因为()g x 与()f x 有三个不同交点，联立()32()6822f x x x x g x kx ⎧=-+-⎪⎨=--⎪⎩，可得3268x x k x x -+-=，当0x =时显然为一解， 当0x ≠时，有268k x x =-+-，0,8x k ≠∴≠-画出268y x x =-+-的图像，可知满足y k =与268y x x =-+-有两交点需满足1k <综上所述，实数k 的取值范围是(,8)(8,1)-∞-⋃- 答案选D 【点睛】本题考察了直线关于对称直线的求法，函数零点中分离参数、数形结合、分类讨论等基本知识，对数学思维转化能力要求较高，特别是分离参数与数形结合求零点问题，是考察重点 10．D 【解析】分析：把点P 的极坐标化为直角坐标，求出过点P 且平行极轴的直线直角坐标方程，再把它化为极坐标方程．详解：把点P 的极坐标π2,6⎛⎫⎪⎝⎭化为直角坐标为31（，）， 故过点P 且平行极轴的直线方程是1y = ， 化为极坐标方程为1sin ρθ=， 故选D ．点睛：本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标，把直角坐标方程化为即坐标方程的方法，属于基础题． 11．D 【解析】 【分析】首先把取一次取得次品的概率算出来，再根据离散型随机变量的概率即可算出． 【详解】因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为4182=．从中取3次，X 为取得次品的次数，则13,2XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭, ()3102323331(2)(2)(1)0111722228P X P X P X P X C C C ⎛⎫⎛⎫≤==+=+==⎛⎫+= ⎪⎝⎭⨯⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,选择D 答案． 【点睛】本题考查离散型随机变量的概率,解题时要注意二项分布公式的灵活运用.属于基础题． 12．D 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：，∵函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞单调递增，∴在区间()1,+∞上恒成立．∴，而在区间()1,+∞上单调递减，∴．∴的取值范围是[)1,+∞．故选D ． 考点：利用导数研究函数的单调性.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．13n - 【解析】分析：根据基本量直接计算详解：因为数列{}n a 为等比数列，52378,13a a S -==所以()41131781131a q a q a q q⎧-=⎪-⎨=⎪-⎩解得：113a q =⎧⎨=⎩ 所以13n n a -=点睛：在等比数列问题中的未知量为首项和公比，求解这两个未知量需要两个方程，所以如果已知条件可以构造出来两个方程，则一定可以解出首项和公比，进而可以解决其他问题，因此基本量求解是这类问题的基本解法. 14．3 【解析】 【分析】由复数除法求得复数z ，再求得复数实部． 【详解】 由题意可得13(3)3iz i i i+==--=-，所以z 的实部为3，填3. 【点睛】本题主要考查复数的除法以及复数的实部辨析，属于简单题. 15．0.245 【解析】当x 变为1x +时，y ∧=0.245(x+1)+0.321=0.245x+0.321+0.245，而0.245x+0.321+0.245-（0.245x+0.321）=0.245.因此家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.245万元，本题填写0.245. 16．24 【解析】 【分析】将540进行质因数分解为23540235=⨯⨯，然后利用约数和定理可得出540的不同正约数个数. 【详解】将540进行质因数分解为23540235=⨯⨯，因此，540的不同正约数共有()()()12131124+⨯+⨯+=. 故答案为：24. 【点睛】本题考查合数的正约数个数的计算，一般将合数质因数分解，并利用约数和定理进行计算，也可以采用列举法，考查计算能力，属于中等题.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．（1）2936（2）53【解析】【分析】【详解】（1）2221122111121(3)?····232336P X C C⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；22111(4)2336P X⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯．故张华不迟到的概率为29 (2)1(3)(4)36P X P X P X≤=-=-==．（2）X的分布列为X0 1 2 3 4P19131336161360123493366363EX∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．18．（1）；（2）实数不存在，理由见解析．【解析】试题分析：（1）运用椭圆的离心率公式和的关系，解方程可得，进而得到椭圆方程；（2）设，，线段的中点为．联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，求得的坐标，代入圆的方程，解方程可得，进而判断不存在．试题解析：（1）由题意得，解得故椭圆的方程为；（2）设，，线段的中点为联立直线与椭圆的方程得，即，即，，所以，即．又因为点在圆上，可得，解得与矛盾．故实数不存在．考点：椭圆的简单性质．19．（1）2212x y +=；（2）定点为5,04⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】分析：（1）根据一个焦点与短轴两端点的连线相互垂直，以椭圆C 的长轴为直径的圆与直线20x y ++=相切，结合性质222a b c =+ ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b 、c ，即可得结果；(2) 设直线()()10y k x k =-≠联立()22121x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()22222124220,880k x k x k k +-+-=∆=+>. 假设x 轴上存在定点()0,0E x ，由韦达定理，利用平面向量数量积公式可得()()2220002241212x x k x EA EB k -++-⋅==+，要使EA EB ⋅为定值，则EA EB ⋅的值与k 无关，所以()2200024122x x x -+=-，从而可得结果.详解：（1）由题意知，2220022b c a b c a=⎧⎪+-⎪=⎨⎪⎪+=⎩，解得121b a c =⎧⎪=⎨⎪=⎩则椭圆C 的方程是2212x y +=（2）①当直线的斜率存在时，设直线()()10y k x k =-≠联立()22121x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()22222124220,880k x k x k k +-+-=∆=+>所以2222422,1212A B A B k k x x x x k k-+==++ 假设x 轴上存在定点()0,0E x ，使得EA EB ⋅为定值。

2019-2020学年铜仁市思南中学高二下学期期末数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|x2−7x+10<0}，B={x|2x−5>0}，则A∩B=()A. {x|x<2}B. {x|52<x<3} C. {x|x>5} D. {x|52<x<5}2.设复数z=−3i+1，则z的共轭复数在复平面内对应的点在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知数列{a n}的前n和为S n，若a n=2n(n∈N∗)，则数列{1S n}的前n项和为()A. nn+1B. n−1nC. n+1nD. nn−14.已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为4π3的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是()A. 6√3B. 12√3C. 18√3D. 24√35.已知下列四个命题，其中真命题的个数为()①空间三条互相平行的直线a，b，c，都与直线d相交，则a，b，c三条直线共面；②若直线m⊥平面α，直线n//平面α，则m⊥n；③平面α∩平面β=直线m，直线a//平面α，直线a//平面β，则a//m；④垂直于同一个平面的两个平面互相平行．A. 1B. 2C. 3D. 46.已知tanθ=2，则sinθ−cosθsinθ+cosθ为()A. 13B. −13C. 3D. −37.已知f(x)是定义在R上的奇函数，对任意x∈R，都有f(x+2)=−f(x)，若f(1)=2，则f(2015)=()A. −2B. 2C. 2013D. 20128.将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得的图象上的所有点向右平移2个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为()A. y=sin(2x−2)B. y=sin(2x+2)C. y=sin(12x+1) D. y=sin(12x−1)9.在平面直角坐标系下，已知 C 1：{x =mt,y =1−t (t 为参数，m ≠0且是常数)，C 2：为参数).则C 1、C 2的位置关系为( )A. 相交B. 相切C. 相离D. 相交、相切、相离都有可能10. 如图，设a ，b ，c ，d >0，且不等于1，y =a x ，y =b x ，y =c x ，y =d x 在同一坐标系中的图象如图，则a ，b ，c ，d 的大小顺序( )A. a <b <c <dB. a <b <d <cC. b <a <d <cD. b <a <c <d11. 已知函数f(x)={2x 3−ax 2−1,x <0|x −3|+a,x ≥0恰有两个零点，则a 的取值范围是( )A. (−3,0)B. (−∞,0)C. (−∞,−3)D. (0,+∞)12. 双曲线2x 2−2y 2=1的焦点坐标为( )A. (−2,0)和(2,0)B. (0,−2)和(0,2)C. (−1,0)和(1,0)D. (0,−1)和(0,1)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若函数y =cos 2ωx −sin 2ωx(ω>0)的最小正周期是π，则ω=______． 14. 在二项式的展开式中，的一次项系数是，则实数的值为15. 16.已知x ，y 满足： 则S =x 2+y 2+2x −2y +3的最小值是_________．16. 已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x −2)=−f(x)，且在区间[0,1]上是增函数，则f(−25)，f(17)，f(32)的大小关系为______ (从小到大排列) 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 数列{a n }满足a 1=−13，2a n +1=a na n+1． (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)若数列{b n}满足b1=−1，b n+1a n =b n3a n+1，求{b n}中的最大项．18.为了落实习主席提出“绿水清山就是金山银山”的环境治理要求，全国各地纷纷规定春节期间禁止燃放烟花爆竹，以减轻大量燃放烟花爆竹造成的环境污染．有关部门在除夕和初一对往年燃放严重的10万个地点测量了PM2.5的浓度，调查数据显示这些PM2.5的浓度值服从正态分布N(168,16).现从合肥地区的数据中随机抽取50个进行分析，发现这些数据都在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组[160,164)，第二组[164,168)，第六组[180,184)，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)试评估春节期间合肥地区PM2.5浓度的中位数及这50个地点PM2.5的浓度在172以上(含172)的个数；(2)在这50个数据中PM2.5浓度值在172以上(含172)中任意抽取2个，这2个PM2.5的浓度值在全国前130名(从高到低)的个数记为ξ，求ξ的数学期望．参考数据：若η～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X<μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<X<μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<X<μ+3σ)=0.997419.△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，a+bc =cosA+cosBcosC，sin(B−A)=cosC．(Ⅰ)求A，B，C；(Ⅱ)若S△ABC=3+√3，求a，c．20.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ADEF是边长为4的正方形，平面ADEF⊥底面ABCD，AB⊥AD，AB//DC，DC=4，AB=2．(Ⅰ)在棱FC上是否存在点H，使得BH⊥平面DCF？若存在，指出点H的位置；若不存在，请说明理由；(Ⅱ)若点N为线段FC上一点，并满足FN=14FC，求直线CE与平面ABN所成角的正弦值．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√154，F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意一点，且△PF1F2的周长是8+2√15．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设圆T：(x−2)2+y2=49，过椭圆的上顶点M作圆T的两条切线交椭圆于E、F两点，求直线EF的斜率．22.已知函数f(x)的定义域为(−∞,−1)∪(1,+∞)，对定义域内的任意x，满足f(x)+f(−x)=0，当x<−1时，f(x)=1+ln(−x−1)x+a(a为常)，且x=2是函数f(x)的一个极值点，(Ⅰ)求实数a的值；(Ⅱ)如果当x≥2时，不等式f(x)≥mx恒成立，求实数m的最大值；(Ⅲ)求证：n−2(12+23+34+⋯+nn+1)<ln(n+1)．【答案与解析】1.答案：D解析：解：因为A={x|(x−2)(x−5)<0}={x|2<x<5}，B={x|2x−5>0}={x|x>52}，所以A∩B={x|52<x<5}．故选：D．求出集合A，B，利用交集定义能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：解：复数z=−3i+1，则z的共轭复数：1+3i，对应点为(1,3)，在第一象限．故选：A．写出复数的共轭复数的对应点的坐标，即可判断选项．本题考查复数的基本概念以及复数的几何意义，基本知识的考查．3.答案：A解析：解：由a n=2n(n∈N∗)，∴数列{a n}是以2为首项，以2为公差的等差数列，∴数列的前n项和S n=2×n(n+1)2=n(n+1)，∴1S n =1n(n+1)=1n−1n+1，则数列{1Sn }的前n项和T n，T n=∑1S ini=1=∑(ni=11i−1i+1)=1−1n+1=nn+1，故选：A．由a n=2n(n∈N∗)，可知数列{a n}是以2为首项，以2为公差的等差数列，根据等差数列前n项和公式求得S n，由1S n =1n(n+1)=1n−1n+1，因此T n=∑1Sini=1=∑(ni=11i−1i+1)=1−1n+1=nn+1，即可求得则数列{1Sn}的前n项和．本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式，考查“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．4.答案：C解析：本题考查了球的体积，柱体表面积公式的应用；本题的解题关键是求底面边长，这是通过正三角形的内切圆与边长的关系得出的．由球的体积可以求出半径，从而得棱柱的高；由球与正三棱柱的三个侧面相切，得球的半径和棱柱底面正△边长的关系，求出边长，即求出底面正△的面积；得出棱柱的表面积．解：由球的体积公式，得43πR3=4π3，∴球的半径R=1．∴正三棱柱的高ℎ=2R=2．设正三棱柱的底面边长为a，则其内切圆的半径为13·√32a=1，∴a=2√3．∴该正三棱柱的表面积为：3a·ℎ+2×√34×a2=18√3．故选C．5.答案：C解析：解：对于①，空间三条互相平行的直线a，b，c，都与直线d相交，则a，b共面，由d与a，b都相交，得到d在a，b确定的平面内，∵c，d相交，且c与a.b都平行，∴c在a，b确定的平面内，∴a，b，c三条直线共面，故①正确；对于②，若直线m⊥平面α，直线n//平面α，则由线面垂直的性质和线面平行的性质得m⊥n，故②正确；对于③，平面α∩平面β=直线m，直线a//平面α，直线a//平面β，则由线面平行的性质得a//m，故③正确；对于④，垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故④错误．故选：C．利用空间中线线、线面、面面间的位置关系直接求解．本题考查命题真假的判断，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间思维能力等数学核心素养，是中档题．6.答案：A解析：解：由题意，sinθ−cosθsinθ+cosθ=tanθ−1tanθ+1∵tanθ=2∴sinθ−cosθsinθ+cosθ=tanθ−1tanθ+1=2−12+1=13故选：A．先利用同角三角函数的商数关系，弦化切，再代入即可求得结论．本题考查同角三角函数的商数关系，解题的关键是利用同角三角函数的商数关系，弦化切，属于基础题．7.答案：A解析：解：∵f(x+2)=−f(x)，∴f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，∴函数f(x)的周期是4，∵f(1)=2，f(x+2)=−f(x)，∴f(2015)=f(4×503+3)=f(3)=−f(1)=−2．故选：A．利用f(x+2)=−f(x)求出函数的周期，利用条件和函数的周期性求出f(2015)的值．本题考查函数周期性的判断，以及利用函数的周期性求出函数值，考查了转化思想，属于基础题．8.答案：D解析：本题主要考查三角函数解析式的求解，结合平移，坐标变换关系是解决本题的关键．根据三角函数的图象变换关系分别进行求解即可．解：将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到y=sin12x，再把所得的图象上的所有点向右平移2个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为y=sin12(x−2)=sin(12x−1)，故选：D．9.答案：A解析：本题考查参数方程，直线和圆的位置关系，过定点的直线系等知识，属于中档题.判断点在圆内是解题的关键．先把参数化为普通方程，利用直线恒过圆内点，我们就可以得出结论．解：C 1：{x =mt,y =1−t (t 为参数，m ≠0且是常数)，消去参数t 可得y =−1m x +1， C 2：为参数)，消去参数θ可得x 2+y 2=4．因为直线y =−1m x +1恒过P(0,1)，且点P 在圆内， 所以直线与圆恒相交． 故选A ．10.答案：C解析：试题分析：解：作辅助直线x =1，当x =1时，，y =a x ，y =b x ，y =c x ，y =d x 的函数值正好是底数a 、b 、c 、d ，直线x =1与y =a x ，y =b x ，y =c x ，y =d x 交点的纵坐标就是a 、b 、c 、d ，观察图形即可判定大小：b <a <d <c ，故选：C ． 考点：指数函数的图象与性质点评：本题主要考查了指数函数的图象与性质，同时考查了数形结合的数学思想，分析问题解决问题的能力，属于基础题．11.答案：A解析：解：由题意，a <0， x <0，f(x)=2x 3−ax 2−1，f′(x)=2x(3x −a)=0，可得x =0或a3， ∴函数在x =a3时取得极大值−a 327−1，x =0时取得极小值−1，∵函数f(x)={2x 3−ax 2−1,x <0|x −3|+a,x ≥0恰有两个零点，∴−a 327−1<0且3+a >0 ∴−3<a <0， 故选：A ．先判断a <0，再分析x <0，函数在x =a3时取得极大值−a 327−1，x =0时取得极小值−1，利用f(x)={2x 3−ax 2−1,x <0|x −3|+a,x ≥0恰有2个零点，即可得出结论． 本题考查分段函数，考查函数的零点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12.答案：C解析：利用双曲线方程为2x 2−2y 2=1，可得a 2=12，b 2=12以及焦点在x 轴上；再利用a ，b ，c 之间的关系求出c ，即可求出结论．本题主要考查双曲线的基本性质．在求双曲线的焦点时，一定要先判断出焦点所在位置，再下结论，以免出错．解：因为双曲线方程为2x 2−2y 2=1，所以a 2=12，b 2=12，且焦点在x 轴上， 所以c =1，故其焦点坐标为：(±1,0)． 故选：C13.答案：1解析：解：∵函数y =cos 2ωx −sin 2ωx =cos2ωx(ω>0)的最小正周期是π， 则2π2ω=π，求得ω=1， 故答案为：1．利用二倍角的余弦公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性求得ω的值． 本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，余弦函数的周期性及其求法，属于基础题．14.答案：1解析：试题分析：解：因为二项式的展开式中所以，(−a)3C 53=−10⇒−a 3=−10⇒a =1．故答案：1 考点：二项定理点评：本题考查二项定理的性质和应用，解题时要结合实际情况灵活地运用公式．15.答案：3.解析：由不等式组可画出可行域为三角形区域，由，可知，点(−1,1)到三角形区域距离d最小时S取得最小值，所以故最小值为3．本题主要考查利用线性规划求最值。

2019-2020学年贵州省思南中学高二上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合1}{0|A x x -≥=，{0,1,2}B =，则A B =I A ．{0} B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}【答案】C【解析】由题意先解出集合A,进而得到结果． 【详解】解：由集合A 得x 1≥, 所以{}A B 1,2⋂= 故答案选C. 【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题．2．甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为x 甲、x 乙标准差分别为σ甲、σ乙，则( )A ．x x <甲乙，σσ<甲乙B ．x x <甲乙，σσ>甲乙C ．x x >甲乙，σσ<甲乙D ．x x >甲乙，σσ>甲乙【答案】C【解析】通过读图可知甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知x x >甲乙，图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故σσ<甲乙. 【详解】由图可知，甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知x x >甲乙，图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故σσ<甲乙.故选. 【点睛】本题考查平均数及标准差的实际意义，是基础题.3．已知()()2,1,3,1,2,1a b =-=-v v ，若()a a b λ⊥-vv v ，则实数λ的值为 （ ）A ．-2B ．145C ．143-D ．2【答案】D【解析】写出a b λ-vv的坐标，利用两个向量垂直的坐标运算可得答案. 【详解】()()()2,1,3,2,2,12,3a b λλλλλλλ-=---=---v v ,()2,1,3,a =-v若()a ab λ⊥-vv v ，则()()2212330λλλ--+-+-=，解得2λ=， 故选D 【点睛】本题考查空间两个向量垂直的坐标运算，属于基础题.4．已知圆的方程为221x y +=，则在y 2的圆的切线方程为（ ）A ．2y x =+B ．2y x =-+C ．2y x =+或2y x =-+D ．1x =或2y x =+ 【答案】C【解析】先讨论斜率不存在，当斜率存在时设直线方程，利用相切圆心到直线的距离等于半径求解斜率即可． 【详解】在y 2且斜率不存在的直线显然不是切线，故设切线方程为2y kx =+2211k =+，所以1k =±，故所求切线方程为2y x =+或2y x =-+.【点睛】本题属于基础题，直线与圆相切则圆心到直线的距离等于半径． 5．已知132a -=，21log 3b=，121log 3c =，则（ ）． A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】C【解析】试题分析：因为13212112(0,1),log 0,log 1,33a b c -=∈==所以.b a c <<选C ．【考点】比较大小6．为计算11111123499100S =-+-++-…，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+ 【答案】B【解析】分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此累加量为隔项. 详解：由11111123499100S =-+-+⋯+-得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入2i i =+，选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.7．若双曲线过点(3,2)，且渐近线方程为13y x=±，则该双曲线的方程是（）．A．2219xy-=B．2219yx-=C．2219yx-=D．2219xy-=【答案】A【解析】先由渐近线方程，设双曲线方程为22(0)9xyλλ-=≠，再由题意，即可求出结果.【详解】解：因为双曲线的渐近线方程为13y x=±，所以，可设双曲线标准方程为：22(0)9xyλλ-=≠，∵双曲线过(3,2)，代入方程得1λ=-，∴双曲线方程：2219xy-=．故选A．【点睛】本题主要考查求双曲线的方程，熟记双曲线标准方程的求法即可，属于基础题型. 8．“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”的后一句中，“攻破楼兰”是“返回家乡”的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据返回家乡的前提条件是攻破楼兰，即可判断出结果.【详解】“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判定，熟记概念即可，属于基础题型.9．三棱锥S－ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A．3B38C ．D ．【答案】C【解析】根据三视图判断出SC ⊥平面ABC 并计算出BC 的长度，再根据SC 的长度以及勾股定理求解出SB 的长度. 【详解】由已知三视图可得SC ⊥平面ABC ，且底面△ABC 为等腰三角形．在△ABC 中，AC ＝4，AC 边上的高为BC ＝4.在Rt △SBC 中，由SC ＝4，可得SB ＝故选：C. 【点睛】本题考查根据几何体的三视图和直观图求解几何体的棱长，难度较易.根据三视图和直观图求解棱长时，要注意位置关系的判断，对空间想象能力要求较高. 10．方程sin()lg 3x x π+=的实数根个数为（ ）A ．3个B ．5个C ．7个D ．9个【答案】A【解析】由方程sin()lg 3x x π+=的实数根个数等价于函数sin()3y x π=+与函数lg y x =的图像的交点个数，在同一直角坐标系中作出函数sin()3y x π=+与函数lg y x =的图像，再观察图像的交点个数即可得解.【详解】 解：方程sin()lg 3x x π+=的实数根个数等价于函数sin()3y x π=+与函数lg y x =的图像的交点个数，在同一直角坐标系中，函数sin()3y x π=+与函数lg y x =的图像如图所示，由图可知，函数sin()3y x π=+与函数lg y x =的图像的交点个数为3个，则方程sin()lg 3x x π+=的实数根个数为3个，故选：A.【点睛】本题考查了方程的解的个数与函数图像的交点个数之间的相互转化，重点考查了函数思想及数形结合的数学思想方法，属中档题. 11．如果角θ满足sin cos 2θθ+=1tan tan θθ+的值是（ ） A ．-1 B ．-2C ．1D ．2【答案】D【解析】试题分析：sin cos 2θθ+=Q ()2sin cos 12sin cos 2θθθθ∴+=+=，1sin cos 2θθ∴=． 221sin cos sin cos 1tan 21tan cos sin sin cos 2θθθθθθθθθθ+∴+=+===．故D 正确． 【考点】同角三角函数基本关系式．12．已知函数()2x xe ef x --=，x ∈R ，若对任意0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，都有()()sin 10f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()0,2C ．(),1-∞D ．(]1-∞， 【答案】D【解析】试题分析：求函数f （x ）定义域，及f （﹣x ）便得到f （x ）为奇函数，并能够通过求f′（x ）判断f （x ）在R 上单调递增，从而得到sinθ＞m ﹣1，也就是对任意的0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都有sinθ＞m ﹣1成立，根据0＜sinθ≤1，即可得出m 的取值范围．详解：f （x ）的定义域为R ，f （﹣x ）=﹣f （x ）； f′（x ）=e x +e ﹣x ＞0；∴f （x ）在R 上单调递增；由f （sinθ）+f （1﹣m ）＞0得，f （sinθ）＞f （m ﹣1）； ∴sinθ＞m ﹣1； 即对任意θ∈0,2π⎛⎤⎥⎝⎦都有m ﹣1＜sinθ成立；∵0＜sinθ≤1； ∴m ﹣1≤0；∴实数m 的取值范围是（﹣∞，1]． 故选：D ．点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集.二、填空题13．若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为_____________．【答案】6【解析】首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式3122y x z =-+，之后在图中画出直线32y x =-，在上下移动的过程中，结合12z 的几何意义，可以发现直线3122y x z =-+过B 点时取得最大值，联立方程组，求得点B 的坐标代入目标函数解析式，求得最大值. 【详解】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由32z x y =+，可得3122y x z =-+， 画出直线32y x =-，将其上下移动， 结合2z的几何意义，可知当直线3122y x z =-+在y 轴截距最大时，z 取得最大值， 由220x y y --=⎧⎨=⎩，解得(2,0)B ，此时max 3206z =⨯+=，故答案为6.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.14．欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是____．【答案】14π.【解析】分析：根据几何概型的概率公式解答即可.详解：由几何概型的概率公式得2111.24P ππ⨯==⨯所以油恰好落入孔中的概率是14π.故答案为：14π. 点睛：本题主要考查几何概型的概率公式，意在考查概率的基础知识的掌握能力及基本的运算能力.15．过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>相交于,A B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为 ．【答案】2【解析】试题分析：设A ()11,x y ，B ()22,x y ，则2211221x y a b +=①，2222221x y a b+=②，∵M 是线段AB 的中点，∴12121,122x x y y ++==，∵直线AB 的方程是()1112y x =--+， ∴()121212y y x x -=--，∵过点M （1，1）作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）相交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，∴①②两式相减可得22221212220x x y y a b --+=，即2221202a c b a b ⎛⎫+-⋅=∴=∴= ⎪⎝⎭2c e a ∴==． 【考点】椭圆的简单性质16．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径.若平面SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为______． 【答案】36π【解析】三棱锥S−ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径，若平面SCA ⊥平面SCB ，SA=AC ，SB=BC ，三棱锥S−ABC 的体积为9， 可知三角形SBC 与三角形SAC 都是等腰直角三角形，设球的半径为r ，可得112932r r r ⨯⨯⨯⨯= ，解得r=3.球O 的表面积为：2436r ππ= .点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.三、解答题17．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，ABC V 的面积为S ，sin cos a B A =.（1）求角A 的大小；（2）若a =2S =，求b c +的值. 【答案】（1）3A π=（2）3【解析】（1）因为sin cos a B A =，由正弦定理得sin sin cos A B B A =，即得tan A =A （2）利用cos A 得出223b c bc +-=，由ABC S =得出2bc =，联立求b c +即可.【详解】（1）因为sin cos a B A =，由正弦定理得sin sin cos A B B A =， 化简得tan A =，0,3A A ππ<<∴=Q（2）22,33A a b c bc Q π==+-= 又1sin 23ABC S bc π==Q ，即2bc = 联立可得()29b c +=，又0b c +>Q ，3b c ∴+=.18．交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，记交通指数为T ，其范围为[]0,10，分别有五个级别：[0,2)T ∈，畅通；[)2,4T ∈，基本畅通；[)4,6T ∈，轻度拥堵；[)6,8T ∈，中度拥堵；[]8,10T ∈，严重拥堵.在晚高峰时段（2T ≥），从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示.(1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数；(2)用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；(3)从(2)中抽取的6个路段中任取2个，求至少有1个路段为轻度拥堵的概率. 【答案】（1）轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数分别为6，9，3；（2）从交通指数在[4,6)，[6,8)，[8,10]的路段中分别抽取的个数为2,3,1；（3）35【解析】（1）根据在频率分布直方图中，小长方形的面积表示各组的频率，可以求出频率，再根据频数等于频率乘以样本容量，求出频数；（2）根据（1）求出拥堵路段的个数，求出每层之间的占有比例，然后求出每层的个数； （3）先求出从(2)中抽取的6个路段中任取2个，有多少种可能情况，然后求出至少有1个路段为轻度拥堵有多少种可能情况，根据古典概型概率公式求出. 【详解】(1)由频率分布直方图得，这20个交通路段中， 轻度拥堵的路段有(0.1＋0.2)×1×20＝6(个)， 中度拥堵的路段有(0.25＋0.2)×1×20＝9(个)， 严重拥堵的路段有(0.1＋0.05)×1×20＝3(个). (2)由(1)知，拥堵路段共有6＋9＋3＝18(个)，按分层抽样，从18个路段抽取6个，则抽取的三个级别路段的个数分别为66218⨯=，69318⨯=，63118⨯=，即从交通指数在[4,6)，[6,8)，[8,10]的路段中分别抽取的个数为2,3,1.(3)记抽取的2个轻度拥堵路段为1A ，2A ，抽取的3个中度拥堵路段为1B ，2B ，3B ，抽取的1个严重拥堵路段为1C ，则从这6个路段中抽取2个路段的所有可能情况为：()()()()12111213,,,,,,,,A A A B A B A B()()()()()()()()()()()1121222321121311232131,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A C A B A B A B A C B B B B B C B B B C B C ，共15种，其中至少有1个路段为轻度拥堵的情况为：()()()()()()121112131121,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A C A B ()()()222321,,,,,A B A B A C ，共9种.所以所抽取的2个路段中至少有1个路段为轻度拥堵的概率为93155=. 【点睛】本题考查了频率直方图的应用、分层抽样、古典概型概率的求法.解决本题的关键是对频率直方图所表示的意义要了解，分层抽样的原则要知道，要能识别古典概型. 19．已知数列{}n a 为正项等比数列，满足34a =，且5a ，43a ，6a 构成等差数列，数列{}n b 满足221log log n n n b a a +=+. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n b 的前n 项和为n S ，数列{}n c 满足141n n c S =-，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ） 12n n a -=，21n b n =- ；（Ⅱ）21n nT n =+ 【解析】(Ⅰ)先设等比数列{}n a 的公比为q(q 0>)，根据34a =，且546,3,a a a 构成等差数列，求出q ，即可得出{}n a 的通项公式，再由221log log n n n b a a +=+，可得出{}n b 的通项公式；(Ⅱ)先由等差数列的前n 项和公式求出n S ，再由裂项相消法求出n T 即可. 【详解】解：(Ⅰ)设等比数列{}n a 的公比为q(q 0>)，由题意，得256466a a a q q +=⇒+= 解得2q =或3q =-（舍）又3141a a =⇒=所以 1112n n n a a q --==221log log 121n n n b a a n n n +=+=-+=-(Ⅱ)()()1212122n n n n n b b S n ⎡⎤+-+⎣⎦===．∴211114122121n c n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭，∴11111112335212121n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列，以及求数列的前n 项和，熟记等差数列与等比数列的通项公式即可求解，属于常考题型. 20．已知函数()()22log 1f x x ax =-+.（1）若()f x 的定义域，值域都是R ，求a 的值； （2）当2a =时，讨论()f x 在区间[]0b ，上的值域.【答案】（1）实数a 不存在在；（2）当01b <<时，值域为：()22[log 21,0]b b -+； 当12b <≤，值域为(,0]-∞；当2b >时，值域为：()22(,log 21]b b -∞-+.【解析】（1）根据对数的真数大于零，结合已知和一元二次不等式解集的性质、对数函数的单调性进行求解即可；（2）根据复合函数的单调性，结合所给的区间，分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）因为()f x 的定义域是R ，所以210x ax -+>在实数集上恒成立，故一元二次方程210x ax -+=的根的判别式22404a a ∆=-<⇒<；()f x 的值域是R ，说明21y x ax =-+能取遍所有的正实数，因此一元二次方程210x ax -+=的根的判别式22404a a ∆=-≥⇒≥，显然这与刚得到24a <矛盾，故不存在这样的实数a ；（2）因为2a =，所以()()()2222log 21log 1f x x x x =-+=-，函数的定义域为不等于1的全体实数，故区间[]0b ，的右端点不能等于1，即0b >且1b ≠，显然函数在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增.当01b <<时，函数在[]0b ，上是减函数，故函数的最大值为()20log 10f ==，函数的最小值为：()()22log 21f b b b =-+，因此函数的值域为：()22[log 21,0]b b -+； 当12b <≤，函数没有单调性，故函数的最大值为()20log 10f ==，而1x ≠，所以函数的值域为(,0]-∞；当2b >时，函数的最大值为：()()22log 21f b b b =-+，而1x ≠，所以函数的值域为：()22(,log 21]b b -∞-+.【点睛】本题考查了已知对数型函数的定义域和值域求参数问题，考查了求对数型函数在闭区间上的值域问题，考查了对数型函数的单调性，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力.21．如图，四边形ABCD 是矩形，沿对角线AC 将ACD ∆折起，使得点D 在平面ABC 上的射影恰好落在边AB 上.（1）求证：平面ACD ⊥平面BCD ；（2）当2ABAD=时，求二面角D AC B --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）14.【解析】（1）先证明BC AD ⊥. 结合AD CD ⊥，得AD ⊥平面BCD ，又AD ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BCD .（2）以点B 为原点，线段BC 所在的直线为x 轴，线段AB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，用向量法求解即可. 【详解】（1）设点D 在平面ABC 上的射影为点E ，连接DE则DE ⊥平面ABC ，所以DE BC ⊥.因为四边形ABCD 是矩形，所以AB BC ⊥，所以BC ⊥平面ABD ，所以BC AD ⊥.又AD CD ⊥，所以AD ⊥平面BCD ，而AD ⊂平面ACD ， 所以平面ACD ⊥平面BCD .（2）方法1：在矩形ABCD 中，过点D 作AC 的垂线，垂足为M ，连结ME .因为DE ⊥平面ABC DE AC ⇒⊥，又DM ∩DE=D 所以AC ⊥平面DME EM AC ⇒⊥， 所以DME ∠为二面角D AC B --的平面角. 设AD a =，则2AB a =.在ADC ∆中，易求出55a AM =，255aDM =. 在AEM ∆中，15tan 2EM aBAC EM AM =∠=⇒=所以1cos 4EM DME DM ∠==. 方法2：以点B 为原点，线段BC 所在的直线为x 轴，线段AB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.设AD a =，则2AB a =，所以()020A a -，，，()00C a -，，. 由（1）知AD BD ⊥，又2ABAD=，所以30DBA ∠=°，60DAB ∠=°，那么1cos 2AE AD DAB a =∠=，32BE AB AE a =-=，3sin DE AD DAB =∠=， 所以3302D a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，所以1302AD a u u u v ，，⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()20AC a a =-u u uv ，，.设平面ACD 的一个法向量为()m x y z =v，，，则00m AD m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，，即102220.ay az ax ay ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩， 取1y =，则2x =，3z =-，所以123m ⎛=- ⎝⎭v ，，. 因为平面ABC 的一个法向量为()001n =v，，，所以1cos 4m n m n m n⋅〈〉===-v vv vv v ，. 所以求二面角D AC B --的余弦值为14.【点睛】此题考查二面角余弦值的计算，向量坐标的运算等.22．已知圆22:(2)1M x y +-=，直线:1l y =-，动圆P 与圆M 相外切，且与直线l 相切.设动圆圆心P 的轨迹为E . （1）求E 的方程；（2）若点A ，B 是E 上的两个动点，O 为坐标原点，且16OA OB ⋅=-u u u v u u u v，求证：直线AB 恒过定点.【答案】（1）28x y =； （2）见解析【解析】（1）由抛物线定义可知动圆P 的圆心轨迹为抛物线,根据焦点及准线方程可求得抛物线的标准方程.（2）设出直线AB 的方程,联立抛物线,化简后结合韦达定理,表示出OA OB ⋅u u u r u u u r,根据等量关系可求得直线方程的截距,即可求得所过定点的坐标. 【详解】（1）由题意动圆P 与:1l y =-相切,且与定圆22:(2)1M x y +-=外切所以动点P 到(0,2)M 的距离与到直线2y =-的距离相等由抛物线的定义知,点P 的轨迹是以(0,2)M 为焦点,直线2y =-为准线的抛物线 故所求P 的轨迹方程E 为28x y =（2）证明：设直线:AB y kx b =+,()11,A x y ,()22,B x y , 将直线AB 代入到28x y =中化简得2880x kx b --=, 所以128x x k +=,128x x b =-又因为2221212121281664x x OA OB x x y y x x b b ⋅=+=+=-+=-u u u r u u u r所以4b =则直线AB 为4y kx =+恒过定点(0,4) 【点睛】本题考查了抛物线的定义及标准方程求法,直线与抛物线的位置关系及直线过定点问题,属于中档题.。

同步练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知随机变量X 的分布如下表所示，则()E X 等于（ ）X1-1P0.50.2pA ．0B ．－0.2C ．－1D ．－0.32．曲线sin 22xy x e π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在点()0,3处的切线方程是（ ） A ．230x y +-=B ．30x y -+=C ．260x y -+=D ．230x y -+=3．已知函数()33=-+f x x x m ，若方程()0f x =有两个相异实根12,x x ，且120x x +<，则实数m 的值等于（ ） A ．-2或2B ．-2C ．2D ．04．已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件5．在等差数列{}n a 中，已知14a =，数列的前5项的和为50，则10a =（ ） A ．27B ．29C ．31D ．336．已知顶点在x 轴上的双曲线实轴长为4，其两条渐近线方程为20x y ±=，该双曲线的焦点为（ ） A ．()23,0±B ．()43,0±C ．()25,0±D ．()45,0±7．设集合(){|lg 32}A x y x ==-，{|1}B y y x ==-，则A B =( )A ．[]0,1B ．(,1]-∞C ．3(,]2-∞D ．3[0,)28．若，则（ ）A ．2017B ．2018C ．2019D ．20209．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对x ∈R ，都有()()22f x f x -=+，且当[2,0]x ∈-时，()1()12x f x =-，若在区间()2,6-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>恰好有三个不同的实数根，则a 的取值范围是( )A ．()2,+∞B ．()1,2C ．)34,2D ．34,2]10．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率小于其恰好发生2次的概率，则事件A 在一次试验中发生概率的取值范围是（ ） A ．[0.4,1)B ．(0,0.6]C ．()0,0.4D ．()0.4,111．若X ～B(n ，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X ＝1)的值为( ) A ．3×2－2 B ．2－4C ．3×2－10D ．2－812．已知412(1)x a x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数为5，则202a ax x dx -⎰＝（ ）A ．2πB ．πC ．2πD ．4π二、填空题：本题共4小题13．已知向量()1,1a =，()3,2b =-，若2ka b -与a 垂直，则实数k =__________． 14．函数()y f x =在点(1,)P m 处切线方程为60x y +-=，则(1)(1)'+f f =______. 15．函数的最小正周期是_____________.16．已知,0a b >，则4b a a a b++的最小值为________. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2019-2020学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题1．已知集合A＝{x|x﹣1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝（）A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2} 2．甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为、标准差分别为σ甲、σ乙，则（）A．＜，σ甲＜σ乙B．＜，σ甲＞σ乙C．＞，σ甲＜σ乙D．＞，σ甲＞σ乙3．已知，若，则实数λ的值为（）A．﹣2 B．C．D．24．已知圆的方程是x2+y2＝1，则在y轴上截距为的切线方程为（）A．y＝x+B．y＝﹣x+C．y＝x+或y＝﹣x+D．x＝1或y＝x+5．已知a＝，b＝log2，c＝，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a6．为计算S＝1﹣+﹣+…+﹣，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（）A．i＝i+1 B．i＝i+2 C．i＝i+3 D．i＝i+47．若双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的方程是（）A．B．C．D．8．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A．2B．4C．D．1610．方程的实数根个数为（）A．3个B．5个C．7个D．9个11．如果角θ满足，那么的值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．212．已知函数f（x）＝，x∈R，若对任意θ∈（0，]，都有f（sinθ）+f（1﹣m）＞0成立，则实数m的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，1]二、填空题13．若x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值为．14．欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是．15．过点M（1，1）作斜率为的直线与椭圆C：相交于A，B，则直线AB的方程；若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为．16．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，则球O的表面积为．三、解答题17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，．（1）求角A的大小；（2）若，，求b+c的值．18．交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数T．其范围为[0，10]，分别有五个级别：T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T ∈[4，6）轻度拥堵；T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵．在晚高峰时段（T≥2），从贵阳市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示．（1）求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段各有多少个？（2）用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽出6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；（3）从（2）中抽取的6个路段中任取2个，求至少一个路段为轻度拥堵的概率．19．已知数列{a n}为正项等比数列，满足a3＝4，且a5，3a4，a6构成等差数列，数列{b n}满足b n＝log2a n+log2a n+1．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}的前n项和为S n，数列{c n}满足，求数列{c n}的前n项和T n．20．已知函数．（1）若f（x）的定义域，值域都是R，求a的值；（2）当a＝2时，讨论f（x）在区间[0，b]上的值域．21．如图，四边形ABCD是矩形，沿对角线AC将△ACD折起，使得点D在平面ABC上的射影恰好落在边AB上．（1）求证：平面ACD⊥平面BCD；（2）当时，求二面角D﹣AC﹣B的余弦值．22．已知圆M：x2+（y﹣2）2＝1，直线l：y＝﹣1，动圆P与圆M相外切，且与直线l切，设动圆圆心P的轨迹为E．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且•＝﹣16，求证：直线AB 恒过定点．参考答案一、单选题1．已知集合A＝{x|x﹣1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝（）A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2} 解：∵A＝{x|x﹣1≥0}＝{x|x≥1}，B＝{0，1，2}，∴A∩B＝{x|x≥1}∩{0，1，2}＝{1，2}．故选：C．2．甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为、标准差分别为σ甲、σ乙，则（）A．＜，σ甲＜σ乙B．＜，σ甲＞σ乙C．＞，σ甲＜σ乙D．＞，σ甲＞σ乙解：甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为、标准差分别为σ甲、σ乙，由折线图得：＞，σ甲＜σ乙，故选：C．3．已知，若，则实数λ的值为（）A．﹣2 B．C．D．2解：﹣λ＝（﹣2+λ，1﹣2λ，3﹣λ）．∵，∴•（﹣λ）＝﹣2（﹣2+λ）+（1﹣2λ）+3（3﹣λ）＝0．解得实数λ＝2．故选：D．4．已知圆的方程是x2+y2＝1，则在y轴上截距为的切线方程为（）A．y＝x+B．y＝﹣x+C．y＝x+或y＝﹣x+D．x＝1或y＝x+解：在y轴上截距为且斜率不存在的直线显然不是切线，故设切线方程为y＝kx+，则＝1，∴k＝±1，故所求切线方程为y＝x+，或y＝﹣x+．故选C．5．已知a＝，b＝log2，c＝，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a解：∵0＜a＝＜20＝1，b＝log2＜log21＝0，c＝＝log23＞log22＝1，∴c＞a＞b．故选：C．6．为计算S＝1﹣+﹣+…+﹣，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（）A．i＝i+1 B．i＝i+2 C．i＝i+3 D．i＝i+4解：模拟程序框图的运行过程知，该程序运行后输出的是S＝N﹣T＝（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）；累加步长是2，则在空白处应填入i＝i+2．故选：B．7．若双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的方程是（）A．B．C．D．解：根据题意，设双曲线标准方程为：，∵双曲线过，代入方程得λ＝﹣1，∴双曲线方程：．故选：A．8．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要非充分条件．故选：B．9．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A．2B．4C．D．16解：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形，在△ABC中AC＝4，AC边上的高为2，故BC＝4，在Rt△SBC中，由SC＝4，可得SB＝4，故选：B．10．方程的实数根个数为（）A．3个B．5个C．7个D．9个解：解：方程sin（x+）＝lgx的实数解个数，即函数y＝sin（x+）的图象与直线y＝lgx的交点个数，如图所示：数形结合可得函数y＝sin（x+）的图象与直线y＝lgx的交点个数为3个，故选：A．11．如果角θ满足，那么的值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2解：∵，∴1+2sinθcosθ＝2，即sinθcosθ＝，那么＝+＝＝2，故选：D．12．已知函数f（x）＝，x∈R，若对任意θ∈（0，]，都有f（sinθ）+f（1﹣m）＞0成立，则实数m的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，1] 解：f（x）的定义域为R，f（﹣x）＝﹣f（x）；f′（x）＝e x+e﹣x＞0；∴f（x）在R上单调递增；由f（sinθ）+f（1﹣m）＞0得，f（sinθ）＞f（m﹣1）；∴sinθ＞m﹣1；即对任意θ∈都有m﹣1＜sinθ成立；∵0＜sinθ≤1；∴m﹣1≤0；∴实数m的取值范围是（﹣∞，1]．故选：D．二、填空题（5*4＝20）13．若x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值为 6 ．解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝3x+2y得y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z，由图象知当直线y＝﹣x+z经过点A（2，0）时，直线的截距最大，此时z最大，最大值为z＝3×2＝6，故答案为：614．欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是．解：正方形的面积S＝1×1＝1，铜钱的半径为2，则铜钱的面积S＝π×22＝4π，则油恰好落入孔中的概率P＝，故答案为：15．过点M（1，1）作斜率为的直线与椭圆C：相交于A，B，则直线AB的方程x+2y﹣3＝0 ；若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为．解：由题意可知：直线的点斜式方程：y﹣1＝﹣（x﹣1），整理得：x+2y﹣3＝0，解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②，∵M是线段AB的中点，∴＝1，＝1，由＝﹣∵①②两式相减可得+＝0，即+（﹣）＝0，整理得：a＝b，c＝＝b∴e＝＝＝．椭圆C的离心率．故答案为：x+2y﹣3＝0，．16．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，则球O的表面积为36π．解：三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，可知三角形SBC与三角形SAC都是等腰直角三角形，设球的半径为r，可得，解得r＝3．球O的表面积为：4πr2＝36π．故答案为：36π．三、解答题（1012*5＝70，需写出必要的推导过程和演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，．（1）求角A的大小；（2）若，，求b+c的值．解：（1）a sin B＝b cos A，由正弦定理可得sin A sin B＝sin B cos A，∵B是三角形内角，∴sin B≠0，∴tan A＝，A是三角形内角，∴A＝．（2）∵S＝bc sin A＝，∴bc＝2，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得3＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝（b+c）2﹣6，∴b+c＝3．18．交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数T．其范围为[0，10]，分别有五个级别：T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T ∈[4，6）轻度拥堵；T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵．在晚高峰时段（T≥2），从贵阳市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示．（1）求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段各有多少个？（2）用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽出6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；（3）从（2）中抽取的6个路段中任取2个，求至少一个路段为轻度拥堵的概率．解：（1）由直方图得：这20个路段中，轻度拥堵的路段有（0.1+0.2）×1×20＝6个，中度拥堵的路段有（0.25+0.2）×1×20＝9个，严重拥堵的路段有（0.1+0.2）×1×20＝3个．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）由（1）知：拥堵路段共有6+9+3＝18个，按分层抽样，从18个路段选出6个，依次抽取的三个级别路段的个数分别为，即从交通指数在[4，6），[6，8），[8，10]的路段中分别抽取的个数为2，3，1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3）记选出的2个轻度拥堵路段为A1，A2，选出的3个中度拥堵路段为B1，B2，B3，选出的1个严重拥堵路段为C1，则从这6个路段中选出2个路段的所有可能情况如下：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C1），（B2，B3），（B2，C1），（B3，C1），共15种情况．其中至少有一个轻度拥堵路段的情况有：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1），共9种．所以所选2个路段中至少一个轻度拥堵的概率是．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．已知数列{a n}为正项等比数列，满足a3＝4，且a5，3a4，a6构成等差数列，数列{b n}满足b n＝log2a n+log2a n+1．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}的前n项和为S n，数列{c n}满足，求数列{c n}的前n项和T n．解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q（q＞0），由题意，得，解得q＝2或q＝﹣3（舍），又a3＝4⇒a1＝1，所以，b n＝log2a n+log2a n+1＝n﹣1+n＝2n﹣1；（Ⅱ），∴，∴．20．已知函数．（1）若f（x）的定义域，值域都是R，求a的值；（2）当a＝2时，讨论f（x）在区间[0，b]上的值域．解：（1）∵函数的定义域为R，∴x2﹣ax+1＞0恒成立，∴△＝a2﹣4＜0，求得﹣2＜a＜2，故a的范围为（﹣2，2）．根据函数的值域为R，可得函数y＝x2﹣ax+1 能取遍所有的正实数，故有y＝x2﹣ax+1的△＝a2﹣4≥0，求得a≥2，或a≤﹣2，故a的范围为（﹣∞﹣2]∪[2，+∞）．f（x）的定义域，值域都是R，则a范围应是这两个范围的交集，显然，它们的交集为∅，故满足条件的a不存在．（2）当a＝2时，f（x）＝，在区间[0，b]上，若b≤1，则f（x）单调递减，故当x＝0时，函数最大为f（b）＝log21＝0，当x＝b时，函数的最小值为，故函数f（x）的值域为[，0]．若2≥b＞1，则f（x）在区间[0，b]上没有单调性，故当x＝0时，函数最大为f（b）＝log21＝0，当x＝1时，函数的趋于最小且不存在，故函数f（x）的值域为（﹣∞，0]．若b＞2，则f（x）在区间[0，b]上没有单调性，当x＝b时，函数的最大值为，当x＝1时，函数的趋于最小且不存在，故函数f（x）的值域为（﹣∞，]．21．如图，四边形ABCD是矩形，沿对角线AC将△ACD折起，使得点D在平面ABC上的射影恰好落在边AB上．（1）求证：平面ACD⊥平面BCD；（2）当时，求二面角D﹣AC﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）设点D在平面ABC上的射影为点E，连结DE，则DE⊥平面ABC，∴DE⊥BC，∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，∴BC⊥平面ABD，∴BC⊥AD，又AD⊥CD，∴AD⊥平面BCD，而AD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面BCD．解：（2）在矩形ABCD中，过点D作AC的垂线，垂足为M，连结ME，∵DE⊥平面ABC，∴DE⊥AC，又DM∩DE＝D，∴AC⊥平面DME，∴EM⊥AC，∴∠DMC是二面角D﹣AC﹣B的平面角，设AD＝a，则AB＝2a，在△ADC中，由题意得AM＝，DM＝a，在△AEM中，，解得EM＝a，∴cos∠DME＝＝．∴二面角D﹣AC﹣B的余弦值为．22．已知圆M：x2+（y﹣2）2＝1，直线l：y＝﹣1，动圆P与圆M相外切，且与直线l切，设动圆圆心P的轨迹为E．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且•＝﹣16，求证：直线AB 恒过定点．【解答】（Ⅰ）解：由题意动圆P与直线y＝﹣1相切，且与定圆M：x2+（y﹣2）2＝1外切所以动点P到M（0，2）的距离与到直线y＝﹣2的距离相等由抛物线的定义知，点P的轨迹是以C（0，2）为焦点，直线y＝﹣2为准线的抛物线故所求P的轨迹方程为：x2＝8y．…（Ⅱ）证明：设直线AB：y＝kx+b，A（x1，y1），B（x2，y2），将直线AB代入到x2＝8y中得x2﹣8kx﹣8b＝0，所以x1+x2＝8k，x1x2＝﹣8b…又因为•＝x1x2+y1y2＝x1x2+＝﹣8b+b2＝﹣16，∴b＝4，…∴恒过定点（0，4）．。