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第五章 频域响应法5-1 频率特性一． 频率特性的基本概念1. 所谓频率特性，即在零初始条件下，系统输入在正弦信号的控制下，其稳态输出C(t) 的被控制量信号的幅值A(ω)和相角ψ（ω）随r(t)信号的角频率ω变化的规律，记为G(j ω)。
G(j ω)=G(S)| s=j ω C(j ω) C(s)G(j ω)== R(j ω) R(s)| s=j ωb 0(j ω) m +b 1(j ω) 1+m +……+b 1-m (j ω)+b m G(j ω)=( j ω) n +a 1(j ω) 1-n +……a 1-n (j ω)+a n2、G(j ω)的数模表达式有两种标准式: （1）Nyquist 标准式：G(j ω)=︱G(j ω)︱e)(jw G j ∠=u(ω)+jv(ω)其中A(j ω)= ︱G(j ω)︱称为幅频特性，是ω的偶函数。
ψ(ω)= ∠G(j ω) 称为相频特性，是ω的奇函数。
u(ω)=Re [G(j ω)]为实部； v(ω)=Im [G(j ω)]为虚部。
（2）Bode 表达式：L (ω)=20lg [A(j ω) ] 称为对数幅频，ψ(ω)= ∠G(j ω) 称为对数相频。
二． 频率特性的图解表示法在工程分析和设计中，通常把频率特性画成曲线，从这些频率特性曲线出发研究。
现以RC 网络为例。
如图5-2。
其频率特性为G(j ω)=)(11jw T +（T=RC ）。
A(ω)= G(j ω)=2)(11TW +；ψ(ω)=-arctg(T ω)1.极坐标图----Nyquist图当ω=0→∞变化时,A(ω)和φ(ω)随ω而变,以A(ω)作幅值,φ(ω)作相角的端点在s平面上形成的轨迹,称Nyquist曲线（幅相频率特性曲线）简称幅相曲线即Nyquist图，是频率响应法中常用的一种曲线。
2、对数坐标图----Bode图对数频率特性曲线又称Bode曲线，包括对数幅频和对数相频两条曲线。
《自动控制原理》第五章线性系统的频域分析与校正西北工业大学自动化学院1.频率特性的基本概念2. 幅相频率特性（Nyquist图）3. 对数频率特性（Bode图）4.频域稳定判据5. 稳定裕度6. 利用开环频率特性分析系统的性能7.利用闭环频率特性分析系统的性能8.频率法串联校正频域分析法特点（1）研究稳态正弦响应的幅值和相角随输入信号频率的变化规律（2）由开环频率特性研究闭环系统的性能（3）图解分析法（4）有一定的近似性5.1 频率特性的基本概念RC 电路如图所示，u r (t )=A sin ωt , 求u c (t )=?建模[]r c=+CR 1U s U ()1()()CR 1c r U s G s ==U s s +例1 r c=+R u i u c=C i u r c c=+CR u u u 频率响应()()()c r s s =====+++T CR 111T CR 1T 11TU G s U s s s 0122222()c +=⋅=+++++1T 1T 1T C A ωC s C U s s s s s ωω02222lim →−==++1T T T 1T s A A C s ωωωω222=+1T A C ωω122-=+T 1T A C ωω222222222222()c ⎡⎤=⋅+⋅−⋅⎢⎥+++++++⎣⎦T 11T 1T 1T 1T 1T 1T A A s U s s s s ωωωωωωωωωRC 电路如图所示，u r (t )=A sin ωt , 求u c (t )=?例1 []T 2222T ()sin cos cos sin 1T 1Tt c A A u t e t t ωωαωαωω−=+⋅−⋅++22−=++T T 1Tt A e ωω频率响应：线性系统稳态正弦响应的幅值、相角随输入频率的变化规律。
22()sin(-arctan T)1T s A c t t ωωω=+()sin r t A tω=RC 电路频率特性G (j ω)的定义：()()()=∠j j j G G G ωωω()sin r t A t ω=22()sin(-arctan T)1T s A c t t ωωω=+22()()()==+s 1j 1T c t G r t ωωs ()()()arctan ∠=∠−∠=−j T G c t r t ωω幅频特性相频特性频率特性的获取方法：()()==j j s G G s ωω=−221arctan T 1T ωω∠+=∠++111j T 1j T ωω1=1+j T ωj 1T 1s ωs =+()sin r t A t ω=22()sin(-arctan T)1T s A c t t ωωω=+系统模型间的关系总结()()()=∠j j j G G G ωωωs 22()()()==+1j 1T c t G r t ωωs ()()()∠=∠−∠=−j arctan T G c t r t ωωG(j ω)的定义：G(j ω)的获取方法：()()==j j s G G s ωω感谢聆听，下节再见。
·145·第5章 线性系统的频域分析法重点与难点一、基本概念 1. 频率特性的定义设某稳定的线性定常系统，在正弦信号作用下，系统输出的稳态分量为同频率的正弦函数，其振幅与输入正弦信号的振幅之比)(ωA 称为幅频特性，其相位与输入正弦信号的相位之差)(ωϕ称为相频特性。
系统频率特性与传递函数之间有着以下重要关系：ωωj s s G j G ==|)()(2. 频率特性的几何表示用曲线来表示系统的频率特性，常使用以下几种方法：（1）幅相频率特性曲线：又称奈奎斯特（Nyquist ）曲线或极坐标图。
它是以ω为参变量，以复平面上的矢量表示)(ωj G 的一种方法。
（2）对数频率特性曲线：又称伯德（Bode ）图。
这种方法用两条曲线分别表示幅频特性和相频特性。
横坐标为ω，按常用对数lg ω分度。
对数相频特性的纵坐标表示)(ωϕ，单位为“°”（度）。
而对数幅频特性的纵坐标为)(lg 20)(ωωA L =，单位为dB 。
（3）对数幅相频率特性曲线：又称尼柯尔斯曲线。
该方法以ω为参变量，)(ωϕ为横坐标，)(ωL 为纵坐标。
3. 典型环节的频率特性及最小相位系统 （1）惯性环节：惯性环节的传递函数为11)(+=Ts s G 其频率特性 11)()(+===j T s G j G j s ωωω·146·对数幅频特性 2211lg20)(ωωT L +=(5.1)其渐近线为⎩⎨⎧≥-<=1 )lg(2010)(ωωωωT T T L a (5.2) 在ωT =1处，渐近线与实际幅频特性曲线相差最大，为3dB 。
对数相频特性)(arctg )(ωωϕT -= (5.3)其渐近线为⎪⎩⎪⎨⎧≥︒-<≤+<=10 90101.0 )lg(1.0 0)(ωωωωωϕT T T b a T a (5.4)当ωT =0.1时，有b a b a -=+=1.0lg 0 (5.5)当ωT =10时，有b a b a +=+=︒-10lg 90 (5.6)由式（5.5）、式（5.6）得︒=︒-=45 45b a因此：⎪⎩⎪⎨⎧≥︒-<≤︒-<=10 90101.0 )10lg(451.0 0)(ωωωωωϕT T T T a (5.7)（2）振荡环节：振荡环节的传递函数为10 121)(22<<++=ξξTs S T s G·147·其频率特性)1(21|)()(22ωωξωωT j Ts s G j G j s -+=== 对数幅频特性2222224)1(lg 20)(ωξωωT T L +--= (5.8)其渐近线为⎩⎨⎧≥-<=1)lg(4010)(ωωωωT T T L a (5.9) 当707.0<ξ时，在221ξω-=T 处渐近线与实际幅频特性曲线相差最大，为2121lg20ξξ-。
