高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3-2复数的四则运算自主练习苏教版选修1_2

3.2 复数的四则运算[学习目标] 1.理解复数代数形式的四则运算法则.2.能运用运算法则进行复数的四则运算．[知识链接]1．复数加法的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？答实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类似于实数运算中的合并同类项．2．若复数z1，z2满足z1－z2>0，能否认为z1>z2?答不能，如2＋i－i>0，但2＋i与i不能比较大小．3．复数的乘法与多项式的乘法有何不同？答复数的乘法与多项式的乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1. 4．z·z与|z|2和|z|2有什么关系？答z·z＝|z|2＝|z|2.[预习导引]1．复数加法与减法的运算法则(1)设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i是任意两个复数，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.(2)对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．2．复数的乘法法则：设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.3．复数乘法的运算律对任意复数z1、z2、z3∈C，有4.共轭复数：把实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数，复数z＝a＋b i的共轭复数记作z，即z＝a－b i.5．复数的除法法则：设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(c＋d i≠0)，则z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i ＝(a ＋b i)(c －d i)(c ＋d i)(c －d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i.要点一 复数加减法的运算 例1 计算：(1)(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)； (2)1＋(i ＋i 2)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)． 解 (1)原式＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i ＝－11i. (2)原式＝1＋(i －1)＋(－1＋2i)＋(－1－2i) ＝(1－1－1－1)＋(1＋2－2)i ＝－2＋i.规律方法 复数的加减法运算，就是实部与实部相加减作实部，虚部与虚部相加减作虚部，同时也把i 看作字母，类比多项式加减中的合并同类项． 跟踪演练1 计算：(1)(2＋4i)＋(3－4i)； (2)(－3－4i)＋(2＋i)－(1－5i)． 解 (1)原式＝(2＋3)＋(4－4)i ＝5.(2)原式＝(－3＋2－1)＋(－4＋1＋5)i ＝－2＋2i. 要点二 复数乘除法的运算例2 计算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)； (2)(3＋4i)(3－4i)；(3)(1＋i)2.解 (1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i) ＝－20＋15i.(2)(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25. (3)(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i.规律方法 复数的乘法可以按照多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等． 跟踪演练2 计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2. 解 (1)(2＋i)(2－i)＝4－i 2＝4－(－1)＝5. (2)(1＋2i)2＝1＋4i ＋(2i)2＝1＋4i ＋4i 2＝－3＋4i. 例3 计算：(1)(1＋2i)÷(3－4i)； (2)(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i .解 (1)(1＋2i)÷(3－4i)＝1＋2i 3－4i ＝(1＋2i)(3＋4i)(3－4i)(3＋4i)＝－5＋10i 25＝－15＋25i. (2)原式＝[(1＋i)22]6＋(2＋3i)(3＋2i)(3)2＋(2)2＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.规律方法 复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)． 跟踪演练3 计算：(1)7＋i 3＋4i ；(2)(－1＋i)(2＋i)－i .解 (1)7＋i 3＋4i ＝(7＋i)(3－4i)(3＋4i)(3－4i)＝25－25i25＝1－i.(2)(－1＋i)(2＋i)－i ＝－3＋i －i ＝(－3＋i)·i－i·i ＝－1－3i.要点三 共轭复数及其应用例4 已知复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z . 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i 且|z |＝a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝1.①因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(3b ＋4a )i ，而(3＋4i)z 是纯虚数，所以3a －4b ＝0，且3b ＋4a ≠0.② 由①②联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b ＝35，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－45，b ＝－35.所以z ＝45－35i ，或z ＝－45＋35i.规律方法 本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点． 跟踪演练4 已知复数z 满足：z ·z ＋2i z ＝8＋6i ，求复数z 的实部与虚部的和． 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ·z ＝a 2＋b 2， ∴a 2＋b 2＋2i(a ＋b i)＝8＋6i ， 即a 2＋b 2－2b ＋2a i ＝8＋6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－2b ＝8，2a ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，∴a ＋b ＝4，∴复数z 的实部与虚部的和是4.1．复数z 1＝2－12i ，z 2＝12－2i ，则z 1＋z 2＝________.答案 52－52i解析 z 1＋z 2＝(2＋12)－(12＋2)i ＝52－52i.2．若z ＋3－2i ＝4＋i ，则z ＝________. 答案 1＋3i解析 z ＝4＋i －(3－2i)＝1＋3i. 3．复数z ＝i －21＋2i ＝________.答案 i 解析i －21＋2i ＝(i －2)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝5i5＝i. 4．已知复数z ＝1＋a i(a ∈R ，i 是虚数单位)，zz ＝－35＋45i ，则a ＝________. 答案 －2解析 由题意可知：1－a i 1＋a i ＝(1－a i)2(1＋a i)(1－a i)＝1－2a i －a21＋a2＝1－a 21＋a 2－2a 1＋a 2i ＝－35＋45i ，因此1－a 21＋a 2＝－35，化简得5a 2－5＝3a 2＋3，a 2＝4，则a ＝±2，由－2a 1＋a 2＝45可知a ＜0，仅有a ＝－2满足，故a ＝－2.1.复数的四则运算：(1)复数的加减法和乘法类似于多项式的运算，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．(2)在进行复数的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化． 2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题． 3．复数问题实数化思想：复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等的充要条件转化．一、基础达标1．已知复数z 满足(3＋4i)z ＝25，则z ＝________. 答案 3－4i解析 方法一 由(3＋4i)z ＝25， 得z ＝253＋4i ＝25(3－4i)(3＋4i)(3－4i)＝3－4i. 方法二 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(3＋4i)(a ＋b i)＝25，即3a －4b ＋(4a ＋3b )i ＝25，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a －4b ＝25，4a ＋3b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－4，故z ＝3－4i.2．已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z ＝________.答案 －2i解析 设z ＝b i(b ∈R ，b ≠0)，则z ＋21－i ＝b i ＋21－i ＝(b i ＋2)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2－b ＋(b ＋2)i 2＝2－b 2＋b ＋22i 是实数，所以b ＋2＝0，b ＝－2，所以z ＝－2i. 3.5＋i1－i的值等于________． 答案 2＋3i4．8＋6i 的平方根是________． 答案 ±(3＋i)解析 方法一 设8＋6i 的平方根是x ＋y i(x ，y ∈R )， 则(x ＋y i)2＝8＋6i ，即x 2－y 2＋2xy i ＝8＋6i.由复数相等，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 2＝8，2xy ＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－1.方法二 ∵8＋6i ＝9＋6i ＋i 2＝(3＋i)2，∴8＋6i 的平方根是±(3＋i)． 5．若复数z 1＋z 2＝3＋4i ，z 1－z 2＝5－2i ，则z 1＝________. 答案 4＋i解析 两式相加得2z 1＝8＋2i ，∴z 1＝4＋i. 6．计算：(1)(－7i ＋5)－(9－8i)＋(3－2i)； (2)(13＋12i)＋(2－i)－(43－32i)；(3)(2＋2i)12(－1＋3i)9＋(－23＋i)100(1＋23i)100. 解 (1)(－7i ＋5)－(9－8i)＋(3－2i)＝－7i ＋5－9＋8i ＋3－2i ＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i ＝－1－i.(2)(13＋12i)＋(2－i)－(43－32i)＝13＋12i ＋2－i －43＋32i＝(13＋2－43)＋(12－1＋32)i ＝1＋i. (3)(2＋2i)12(－1＋3i)9＋(－23＋i)100(1＋23i)100 ＝212(1＋i)1229·(－12＋32i)9＋(i －23)100[－i(i －23)]100＝212·(2i)629·[(－12＋32i)3]3＋(i －23)100(－i)100(i －23)100＝23·26·i 613＋1i100＝－29＋1＝－511. 7．设m ∈R ，复数z 1＝m 2＋m m ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，若z 1＋z 2是虚数，求m 的取值范围．解 ∵z 1＝m 2＋mm ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，∴z 1＋z 2＝(m 2＋mm ＋2－2)＋[(m －15)＋m (m －3)]i＝m 2－m －4m ＋2＋(m 2－2m －15)i.∵z 1＋z 2为虚数，∴m 2－2m －15≠0且m ≠－2，解得m ≠5，m ≠－3且m ≠－2(m ∈R )． 二、能力提升8．复数2i－1＋3i 的虚部是________．答案 －12解析 原式＝2i(－1－3i)1＋3＝23－2i 4＝32－12i ，∴虚部为－12.9．设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝________.答案 2＋3i解析 由(z －2i)(2－i)＝5，得z ＝2i ＋52－i ＝2i ＋5(2＋i)(2－i)(2＋i)＝2i ＋2＋i ＝2＋3i.10．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝________. 答案 3＋4i解析 由题意知a －i ＝2－b i ，∴a ＝2，b ＝1，∴(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i.11．已知z ＝1＋i ，a ，b ∈R ，若z 2＋az ＋bz 2－z ＋1＝1－i ，求a ，b 的值．解 ∵z ＝1＋i ，∴z 2＝2i ，∴z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝2i ＋a ＋a i ＋b 2i －1－i ＋1＝(a ＋2)i ＋(a ＋b )i＝a ＋2－(a ＋b )i ＝1－i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＝1，a ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.12．已知复数z 满足z 2＝5－12i ，求1z.解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z 2＝x 2－y 2＋2xy i. 又z 2＝5－12i ，所以x 2－y 2＋2xy i ＝5－12i.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝5，2xy ＝－12.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝2.所以z ＝3－2i 或z ＝－3＋2i.所以1z ＝13－2i ＝313＋213i 或1z ＝1－3＋2i ＝－313－213i.所以1z ＝313＋213i 或1z ＝－313－213i.三、探究与拓展13．已知1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根(b ，c 为实数)． (1)求b ，c 的值；(2)试说明1－i 也是方程的根吗？ 解 (1)∵1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的根， ∴(1＋i)2＋b (1＋i)＋c ＝0，即(b ＋c )＋(2＋b )i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝0，2＋b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝2.∴b ，c 的值为b ＝－2，c ＝2.(2)由(1)得方程为x 2－2x ＋2＝0.把1－i 代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i 也是方程的一个根.。

2021年高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.2复数的四则运算课后导练苏教版选修课后导练基础达标1．(5-i)-(3-i)-5i等于（）A.5iB.2-5iC.2+5iD.2解析：原式=（5-3）+(-1+1-5)i=2-5i.答案：B2．已知复数z满足z+i-3=3-i，则z等于（）A.0B.2iC.6D.6-2i解析：z=(3-i)-(-3+i)=6-2i.答案：D3．(a+bi)(a-bi)(-a+bi)(-a-bi)等于（）A.(a2+b2)2B.(a2-b2)2C.a2+b2D.a2-b2解析：原式=（a2+b2）(a2+b2)=(a2+b2)2.答案：A4．若(z-1)2=-1,则z的值为（）A.1+IB.1±IC.2+ID.2±i解析：经验证，选B.答案：B5．已知z 1=2+i,z 2=1+2i,则复数z =z 2-z 1对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：z =z 2-z 1=（1+2i ）-(2+i)=-1+i.答案：B6．复数4+3i 与-2-5i 分别表示向量与，则向量表示的复数是_________. 解析：∵由（-2-5i ）-（4+3i ）=-6-8i,知表示的复数是-6-8i.答案：-6-8i7．（）6+()6=_________;若n 为奇数，则()4n +()4n =_________. 解析：66)231()231(i i --++- =［（-）3］2+［（）3］2=1+(-1)2=2.=［（）2］2n +［（）2］2n=i 2n +(-i)2n =(-1)n +(-1)n =-2.答案：2 -28．对于n 个复数z 1,z 2,…,z n ，如果存在n 个不全为零的实数k 1,k 2,…,k n ，使得k 1z 1+k 2z 2+…+k n z n =0,就称z 1,z 2,…,z n 线性相关.若要说明z 1=1+2i,z 2=1-i,z 3=-2线性相关，那么可取{k 1,k 2,k 3}=_________.（只要写出满足条件的一组值即可）.解析：k1(1+2i)+k2(1-i)+k3(-2)=0,∴(k1+k2-2k3)+(2k1-k2)i=0.∴不妨取k1=1,则k2=2,k3=.即{k1，k2,k3}={1，2，}.答案：{1，2，}9．设复数z=a+bi满足z2=3+4i，求z.解：∵(a+bi)2=a2-b2+2abi,z2=3+4i,∴a2-b2+2abi=3+4i.∴或∴z=2+i或z=-2-i.10．已知复平面内正方形的三个顶点所对应的复数分别是1+2i，-1+i，-2-2i，求第四个顶点所对应的复数.解：设正方形的三个顶点Z1、Z2、Z3对应的复数分别为1+2i、-2+i、-1-2i;点Z4为正方形的第四个顶点,它对应的复数为x+y i,则.∴(-2+i)-（1+2i）=(-1-2i)-(x+y i),即-3-i=(-1-x)+(-2-y)i.∴即∴第四个顶点对应的复数为2-i.综合运用11．设复数z1=a+bi，并且a2+b2=25,z2=3+4i，z1·z2是纯虚数，求z1.解：z1·z2=(a+bi)(3+4i)=(3a-4b)+(4a+3b)i.∵z1·z2是纯虚数,∴3a-4b=0且4a+3b≠0,①且a2+b2=25. ②由①和②，得∴z1=4+3i或z1=-4-3i.12．计算()12.解析：∵()3=()3+3·（）2·i+3··（i）2+(i)3==-1，∴()12=［（）3］4=(-1)4=1.13．已知z是复数,z+2i，均为实数（i为虚数单位）且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.解：设z=x+y i(x,y∈R)，z +2i=x +(y +2)i∈R 则y +2=0， ①5)2()2(22i y x y x i yi x i z ++-=-+=-∈R ， 则x +2y =0. ②解①②联立方程组得∴z =4-2i,∴(z +ai)2=(4-2i+ai)2=［4+（a-2）i ］2=16-(a-2)2+8(a-2)i.由于（z +ai ）2对应的点在第一象限,∴解得2<a<6.拓展探究14．设非零复数x 、y 满足x 2+xy+y 2=0,则代数式2 005+()2 005的值是多少？ 解：∵x 2+xy +y 2=0,∴()2++1=0,故=ω或.而当=ω时，=,则原式=200520051111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+y x x y===。

3.2 复数的四则运算课堂导学三点剖析各个击破一、复数代数形式的加减运算【例1】 计算：(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+…+(1 999-2 000i)-(2 000-2 001i). 解法一：原式=(1-2+3-4+…+1 999-2 000)+(-2+3-4+5-…-2 000+2 001)i=-1 000+1 000i. 解法二：(1-2i)-(2-3i)=-1+i,(3-4i)-(4-5i)=-1+i,……(1 999-2 000i)-(2 000-2 001i)=-1+i.将上述式子累加得原式=1 000(-1+i)=-1 000+1 000i.温馨提示复数的加减法，类似于多项式加减法中的合并同类项的过程.具体解题时，可适当地进行组合，简化运算.类题演练1设z 1=x+2i,z 2=3-yi(x 、y ∈R )，且z 1+z 2=5-6i,求x+yi.解:z 1+z 2=x +2i+3-y i=(x +3)+(2-y )i.∵z 1+z 2=5-6i,∴⎩⎨⎧-=-=+.62,53y x 解得⎩⎨⎧==.8,2y x∴x +y i=2+8i.变式提升 1已知平行四边形中，三个顶点对应的复数分别是2+i,4+3i ，3+5i,求第四个顶点对应的复数.解:如右图，设点Z 1、Z 2、Z 3分别对应复数2+i,4+3i,3+5i.(1)若Z 1Z 3为对角线， 则3241Z Z Z Z =,即z 4-z 1=z 3-z 2,∴z 4=z 3-z 2+z 1=(3+5i)-(4+3i)+(2+i)=1+3i.(2)若Z 1Z 2为对角线， 则2341Z Z Z Z =，即z 4-z 1=z 2-z 3,∴z 4=z 2-z 3+z 1=(4+3i)-(3+5i)+(2+i)=3-i.(3)若Z 2Z 3为对角线，则3142Z Z Z Z =，即z 4-z 2=z 3-z 1,∴z 4=z 3-z 1+z 2=(3+5i)-(2+i)+(4+3i)=5+7i.二、复数代数形式的乘除运算【例2】已知x 、y ∈R ,且i315i 21y i 1x +=+++，求x 、y 的值. 解：i 315i 21y i 1x +=+++可写成103i)-(1552i)-y(12i)-x(1=+, 5x(1-i)+2y(1-2i)=5-15i,(5x+2y)-(5x+4y)i=5-15i.∴⎩⎨⎧=+=+,15y 4x 5,5y 2x 5⎩⎨⎧=-=.5y ,1x 温馨提示在进行复数除法运算时，通常把(a+bi)÷(c+di)写成di c bi a ++的形式，再把分子与分母都乘复数（c-di ），并进行化简整理.类题演练2已知 z =i 1i a --(a>0)，且复数ω=z (z +i)的虚部减去它的实部所得的差等于23，求复数ω. 解：ω=i a a a ai a i i a a i a i i a i i i a i i a 2212)1)(1(2))(1(111)1(12+++=++=--+=-+⋅--=+----， ∴232122=+-+a a a , 即a 2-1=3.∵a>0,∴a=2,ω=23+3i. 变式提升 2计算:i 21i 2i)(1i)3(-162++--++. 解:5)21)(2(])1[()31(212)1()31(32363i i i i i i i i -+--++-=++--++- =5242)2()31(33+++--+-i i i i=ii i i i i 888)3()3)(1(33)1(3)1(3223-=--+-⋅+-⋅+--i=i-i=0. 三、共轭复数问题【例3】 已知复数z 满足z ·z --i （z 3）=1-（i 3），求z .思路分析：(1)将方程两边化成a+bi 的形式，根据复数相等的充要条件来解.(2)根据模的性质即|z |2=z z 和两个纯虚数的积为实数来解.解:方法一：设z =x+yi(x,y ∈R )，则x 2+y 2-i ［yi)(x 3+］=1-(i 3), 即x 2+y 2-3y-3xi=1+3i, 由复数相等得⎩⎨⎧=-=-+.3x 3,1y 3y x 22解得⎩⎨⎧=-=,0y ,1x 或⎩⎨⎧=-=.3y ,1x∴z =-1或z =-1+3i.方法二：∵z z -i(z 3)=1-(i 3),∴z z -1=3i+3i z ,即|z |2-1=3i(z +1)∈R , ∴z +1是纯虚数或0， 可令z =-1+ai(a ∈R ),∴|-1-ai|2-1=3i(ai),即a 2=-3a ⇒a=0或a=-3, ∴z =-1或z =-1-3i,故z =-1或z =-1+3i.类题演练3设a 、b 为共轭复数，且(a+b)2-3abi=4-6i,求a 和b.解:设a=x +y i ，则b=x -y i ，（x ,y ∈R ）,由条件得：(x +y i+x -y i)2-3(x +y i)(x -y i)i=4-6i,即4x 2-3(x 2+y 2)i=4-6i,由复数相等的充要条件，得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=.6)(3,44222y x x解得：⎩⎨⎧±=±=.1,1y x∴⎩⎨⎧+=-=⎩⎨⎧-=+=.1,11,1i b i a i b i a 或 变式提升 3计算(-i 2321+)n +(-i 2321-)n (n ∈N ). 解:设ω=-i 2321+，分以下三种情况： ①当n=3k 时，原式=ω3k +k 3ω=1+1=2； ②当n=3k+1时，原式=ω3k+1+13+k ω=ω+ω=-1； ③当n=3k+2时，原式=ω3k+2+23+k ω=ω2+2ω=-1. 综上，原式=⎩⎨⎧≠-=k n k n 3,13,2(k∈Z).。

3.2 复数的四则运算课后导练基础达标1．(5-i)-(3-i)-5i 等于（）A.5iB.2-5iC.2+5iD.2解析：原式=（5-3）+(-1+1-5)i=2-5i.答案：B2．已知复数z 满足z +i-3=3-i ，则z 等于（）A.0B.2iC.6D.6-2i解析：z =(3-i)-(-3+i)=6-2i.答案：D3．(a+bi)(a-bi)(-a+bi)(-a-bi)等于（）A.(a 2+b 2)2B.(a 2-b 2)2C.a 2+b 2D.a 2-b 2解析：原式=（a 2+b 2）(a 2+b 2)=(a 2+b 2)2.答案：A4．若(z -1)2=-1,则z 的值为（）A.1+IB.1±IC.2+ID.2±i解析：经验证，选B .答案：B5．已知z 1=2+i,z 2=1+2i,则复数z =z 2-z 1对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：z =z 2-z 1=（1+2i ）-(2+i)=-1+i.答案：B6．复数4+3i 与-2-5i 分别表示向量与，则向量表示的复数是_________. 解析：∵,OA OB AB -=由（-2-5i ）-（4+3i ）=-6-8i,知表示的复数是-6-8i. 答案：-6-8i7．（2i31+-）6+(2i31--)6=_________;若n 为奇数，则(2i1+)4n +(2i1-)4n=_________. 解析：66)231()231(i i --++- =［（-i 2321+）3］2+［（i 2321+）3］2 =1+(-1)2=2.n n ii44)21()21(-++=［（21i +）2］2n +［（21i -）2］2n =i 2n +(-i)2n =(-1)n +(-1)n =-2.答案：2 -28．对于n 个复数z 1,z 2,…,z n ，如果存在n 个不全为零的实数k 1,k 2,…,k n ，使得k 1z 1+k 2z 2+…+k n z n =0,就称z 1,z 2,…,z n 线性相关.若要说明z 1=1+2i,z 2=1-i,z 3=-2线性相关，那么可取{k 1,k 2,k 3}=_________.（只要写出满足条件的一组值即可）.解析：k 1(1+2i)+k 2(1-i)+k 3(-2)=0,∴(k 1+k 2-2k 3)+(2k 1-k 2)i=0.∴⎩⎨⎧==-+.2,0221321k k k k k不妨取k 1=1,则k 2=2,k 3=23. 即{k 1，k 2,k 3}={1，2，23}. 答案：{1，2，23} 9．设复数z =a+bi 满足z 2=3+4i ，求z .解：∵(a+bi)2=a 2-b 2+2abi,z 2=3+4i,∴a 2-b 2+2abi=3+4i. ∴⎩⎨⎧==-,42,322ab b a ⎩⎨⎧==1,2b a 或⎩⎨⎧-=-=.1,2b a∴z =2+i 或z =-2-i.10．已知复平面内正方形的三个顶点所对应的复数分别是1+2i ，-1+i ，-2-2i ，求第四个顶点所对应的复数.解：设正方形的三个顶点Z 1、Z 2、Z 3对应的复数分别为1+2i 、-2+i 、-1-2i;点Z 4为正方形的第四个顶点,它对应的复数为x +y i,则3421Z Z Z Z =.∴(-2+i)-（1+2i ）=(-1-2i)-(x +y i),即-3-i=(-1-x )+(-2-y )i.∴⎩⎨⎧--=---=-,21,13y x 即⎩⎨⎧-==.1,2y x∴第四个顶点对应的复数为2-i.综合运用11．设复数z 1=a+bi ，并且a 2+b 2=25,z 2=3+4i ，z 1·z 2是纯虚数，求z 1.解：z 1·z 2=(a+bi)(3+4i)=(3a-4b)+(4a+3b)i.∵z 1·z 2是纯虚数,∴3a -4b=0且4a+3b≠0, ①且a 2+b 2=25. ②由①和②，得⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==.3,43,4b a b a 或 ∴z 1=4+3i 或z 1=-4-3i.12．计算(i 2321+)12. 解析：∵(i 2321+)3 =(21)3+3·（21）2·23i+3·21·（23i ）2+(23i)3 =i i 8338983381--+ =-1， ∴(i 2321+)12=［（i 2321+）3］4 =(-1)4=1.13．已知z 是复数,z +2i ，i2z -均为实数（i 为虚数单位）且复数(z +ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围.解：设z =x +y i(x ,y ∈R )，z +2i=x +(y +2)i∈R 则y +2=0， ①5)2()2(22i y x y x i yi x i z ++-=-+=-∈R ， 则x +2y =0. ②解①②联立方程组得⎩⎨⎧-==.2,4y x∴z =4-2i,∴(z +ai)2=(4-2i+ai)2=［4+（a-2）i ］2=16-(a-2)2+8(a-2)i.由于（z +ai ）2对应的点在第一象限,∴⎩⎨⎧>->--.0)2(8,0)2(162a a 解得2<a<6.拓展探究14．设非零复数x 、y 满足x 2+xy+y 2=0,则代数式)yx x (+ 2 005+(y x y +)2 005的值是多少？ 解：∵x 2+xy +y 2=0,∴(y x)2+y x+1=0, 故y x=ω或ω. 而当y x=ω时，x y =ω,则原式=200520051111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+y x x y =20052005)11()11(+++ωω =20052005)1()1(ωω-+- =.111=--=--ωωωω。

3.2 复数的四则运算（一）学习目标 1.掌握复数代数形式的加减运算.2.理解复数乘法运算法则，能进行复数的乘法运算.3.理解共轭复数的概念及应用．知识点一复数的加减法已知复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)．思考1 多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？思考2 复数的加法满足交换律和结合律吗？1．复数的加法、减法法则(1)条件：z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(其中a，b，c，d均为实数)．(2)加法法则：z1＋z2＝__________________，减法法则：z1－z2＝__________________.2．运算律(1)交换律：z1＋z2＝____________.(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝________________.知识点二复数的乘法思考如何规定两个复数相乘？1．复数的乘法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝____________________. 2．乘法运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有交换律z1z2＝__________结合律(z1z2)z3＝__________乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝____________知识点三共轭复数思考复数z1＝a＋b i与z2＝a－b i(a，b∈R)有什么关系？试求z1·z2的积．1．定义：实部相等，虚部互为相反数的两个复数，即复数z＝a＋b i的共轭复数是z＝____________.2．关系：若z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1，z2互为共轭复数⇔________________ 3．当复数z＝a＋b i的虚部b＝0时，z＝z，也就是说实数的共轭复数仍是它本身．类型一复数的加减法运算例1 已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．设z＝z1－z2且z＝13－2i，求z1，z2.反思与感悟(1)复数的加减法可以推广到多个复数连续加减．(2)把i看成一个字母，复数的加减法可以类比多项式的合并同类项．跟踪训练1 (1)计算：(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2 011－2 012i)．(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z.类型二 复数的乘法运算例2 (1)若复数(m 2＋i)(1＋m i)是实数，则实数m ＝________.(2)若(1＋i)(2＋i)＝a ＋b i ，其中a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则a ＋b ＝________.反思与感悟 (1)复数的乘法运算可以把i 看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i 2化为－1，进行最后结果的化简．第(2)题利用复数相等条件求a ，b .(2)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．跟踪训练 2 (1)已知复数z 1＝4＋8i ，z 2＝6＋9i ，则复数(z 1－z 2)i 的实部与虚部分别为________．(2)(－12＋32i)(32＋12i)(1＋i)＝________. 类型三 共轭复数例3 复数z 满足z ·z ＋2i z ＝4＋2i ，求复数z 的共轭复数．反思与感悟 (1)紧紧抓住复数相等的充要条件，把复数问题转化成实数问题是解决本题的关键．(2)有关复数z及其共轭复数的题目，注意共轭复数的性质：①设z＝a＋b i，则z·z＝a2＋b2，②z∈R⇔z＝z.跟踪训练3 若把例题中复数z满足的条件改为“3z＋(z－2)i＝2z－(1＋z)i”，试求复数z.1．若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2＝____________.2．复数z＝1＋i，z为z的共轭复数，则z·z－z－1＝________.3．设复数z1＝x＋2i，z2＝3－y i(x，y∈R)，若z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝____________. 4．计算：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)；(2)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)．1．复数的加减法中规定，两复数相加减，是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，复数的加减法可推广到多个复数相加减的情形．2．复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数．3．理解共轭复数的性质：(1)z∈R⇔z＝z.(2)当a，b∈R时，有a2＋b2＝(a＋b i)(a－b i)，这是虚数问题实数化的一个重要依据．答案精析问题导学知识点一思考1 两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i.思考2 满足．1．(2)(a ＋c )＋(b ＋d )i (a －c )＋(b －d )i2．(1)z 2＋z 1 (2)z 1＋(z 2＋z 3)知识点二思考 类似于多项式的乘法，相当于把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，运算过程中要把i 2换成－1，然后把实部与虚部分别合并．1．(ac －bd )＋(ad ＋bc )i2．z 2z 1 z 1(z 2z 3) z 1z 2＋z 1z 3知识点三思考 两复数实部相等，虚部互为相反数；z 1·z 2＝a 2＋b 2，积为实数．1．a －b i2．a ＝c 且b ＝－d .题型探究例1 解 z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i]＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ，又∵z 1－z 2＝13－2i ，∴(5x －3y )＋(x ＋4y )i ＝13－2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－1.∴z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i ，z 2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.跟踪训练1 解 (1)原式＝(1－2＋3－4＋…＋2 009－2 010＋2 011)＋(－2＋3－4＋5＋…＋2 011－2 012)i ＝1 006－1 007i.(2)由z ＋1－3i ＝5－2i ，得z ＝(5－2i)－(1－3i)＝(5－1)＋(－2＋3)i ＝4＋i. 例2 (1)－1 (2)4解析 (1)∵(m 2＋i)(1＋m i)＝m 2－m ＋(m 3＋1)i ， 又∵(m 2＋1)(1＋m i)是实数，∴m 3＋1＝0，则m ＝－1.(2)∵a ＋b i ＝(1＋i)(2＋i)＝1＋3i ，∴a ＝1，b ＝3.∴a ＋b ＝4.跟踪训练2 (1)1，－2 (2)－3＋12＋1－32i 解析 (1)由题意得，z 1－z 2＝－2－i ，则(z 1－z 2)i ＝(－2－i)i ＝－2i －i 2＝1－2i ，∴(z 1－z 2)i 的实部是1，虚部是－2.(2)原式＝[(－34－34)＋(34－14)i](1＋i) ＝(－32＋12i)(1＋i) ＝(－32－12)＋(12－32)i ＝－3＋12＋1－32i. 例3 解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＝x －y i. ∵z ·z ＋2i z ＝4＋2i ，∴x 2＋y 2＋2i(x ＋y i)＝4＋2i ，因此(x 2＋y 2－2y )＋2x i ＝4＋2i ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2y ＝4，2x ＝2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－1，∴z ＝1＋3i 或z ＝1－i.因此z 的共轭复数z ＝1－3i 或z ＝1＋i.跟踪训练3 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i. ∵3z ＋(z －2)i ＝2z －(1＋z )i ，∴3(a ＋b i)＋(a －2－b i)i ＝2(a －b i)－(1＋a ＋b i)i ， ∴3a ＋b ＋(3b ＋a －2)i ＝2a ＋b －(2b ＋a ＋1)i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋b ＝2a ＋b ，3b ＋a －2＝－2b －a －1，解得a ＝0且b ＝15，故所求的复数z ＝i 5. 达标检测1．4＋2i解析 z 1·z 2＝(1＋i)(3－i)＝4＋2i.2．－i解析 ∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ，∴z ·z ＝(1＋i)(1－i)＝2，∴z ·z －z －1＝2－(1＋i)－1＝－i.3．－1＋10i解析 ∵z 1＋z 2＝x ＋2i ＋(3－y i)＝(x ＋3)＋(2－y )i ， ∴(x ＋3)＋(2－y )i ＝5－6i(x ，y ∈R )，由复数相等定义，得x ＝2，且y ＝8，∴z 1－z 2＝2＋2i －(3－8i)＝－1＋10i.4．解 (1)原式＝1－i 2＋(－1)＋i ＝1＋i.(2)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i) ＝－20＋15i.。

3.2 复数的四则运算第1课时复数的加减与乘法运算已知复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)．问题1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．问题2：复数的加法满足交换律和结合律吗？提示：满足．1．复数的加法、减法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i．即两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．2．复数加法的运算律(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1；(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，(a，b，c，d∈R)问题1：如何规定两复数相乘？提示：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．即z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝ac＋bc i＋ad i＋bd i2＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.问题2：试验复数乘法的交换律．提示：z 1z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i ，z 2z 1＝(c ＋d i)(a ＋b i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i.故z 1z 2＝z 2z 1.1．复数的乘法设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么它们的积(a ＋b i)(c ＋d i)＝ac ＋bc i ＋ad i ＋bd i 2＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i(a ，b ，c ，d ∈R )．2．复数乘法的运算律 对于任意z 1、z 2、z 3∈C ，有问题：复数3＋4i 与3－4i ，a ＋b i 与a －b i(a ，b ∈R )有什么特点？ 提示：两复数的实部相等，虚部互为相反数．1．把实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数． 2．复数z ＝a ＋b i 的共轭复数记作z －，即z －＝a －b i.3．当复数z ＝a ＋b i 的虚部b ＝0时，z ＝z －，也就是说，实数的共轭复数仍是它本身．1．复数加、减法的规定：实部与实部相加(减)、虚部与虚部相加(减)．两个复数的和或差仍是一个复数．2．复数的乘法与多项式的乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i 2换成－1，再把实部，虚部分别合并、两个复数的积仍是一个复数，可推广到任意多个复数，任意多个复数的积仍然是一个复数．[例1] 计算：(1)(3＋5i)＋(3－4i)；(2)(－3＋2i)－(4－5i)；(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．[思路点拨] 解答本题可根据复数加减运算的法则进行．[精解详析] (1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i.(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i.(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋[－5＋(－2)－3]i＝－10i.[一点通] 复数加减运算法则的记忆方法：(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．1．(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)＝________．解析：(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i＝－4－10i.答案：－4－10i2．若(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋y i)＝2，则x＋y＝________. 解析：(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋y i)＝(5－9＋x)＋(－7＋8＋y)i＝(x－4)＋(y＋1)i.∴(x－4)＋(y＋1)i＝2，即x－4＝2，y＋1＝0.∴x＝6，y＝－1.∴x＋y＝5.答案：53．计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]．解：(1)原式＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i；(2)原式＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.[例2] 计算：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.[思路点拨] 应用复数的乘法法则及乘法运算律来解．[精解详析] (1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i＝(－2＋11i＋5)(3－4i)＋2i＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.[一点通] (1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．(2)平方差公式，完全平方公式等在复数范围内仍然成立．一些常见的结论要熟记：i2＝－1，(1±i)2＝±2i.4．(浙江高考改编)已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝________．解析：(－1＋i)(2－i)＝－2＋i＋2i－i2＝－1＋3i.答案：－1＋3i5．若(1＋i)(2＋i)＝a＋b i，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a＋b＝________．解析：∵(1＋i)(2＋i)＝1＋3i＝a＋b i，∴a＝1，b＝3，故a ＋b ＝4. 答案：46．计算下列各题． (1)(1＋i)2；(2)(－1＋3i)(3－4i)； (3)(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)．解：(1)(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i.(2)(－1＋3i)(3－4i)＝－3＋4i ＋9i －12i 2＝9＋13i. (3)法一：(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＋12i －32i 2(1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12＋3＋12i (1＋i)＝3－12＋3＋12i ＋3－12i ＋3＋12i 2＝－1＋3i.法二：原式＝(1－i)(1＋i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i＝(1－i 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝－1＋3i.[例3] 已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z . [思路点拨]设z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）―→z ＝a －b i(a ，b ∈R )―→代入等式利用复数相等的条件求解.[精解详析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z ＝a －b i(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.[一点通](1)实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔z ＝z ，利用此性质可以证明一个复数是实数． (2)若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．7．已知复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则z ·z －z －1＝ ________．解析：∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ，∴z ·z ＝(1＋i)(1－i)＝2， ∴z ·z －z －1＝2－(1＋i)－1＝2－1－i －1＝－i. 答案：－i8．复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________． 解析：设z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i.∴(1＋2i)(a －b i)＝4＋3i ，∴a －b i ＋2a i ＋2b ＝4＋3i ， 即(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解之得a ＝2，b ＝1.∴z ＝2＋i. 答案：2＋i9．已知复数 z ＝1＋i ，求实数 a ，b 使 az ＋2bz ＝(a ＋2z )2成立．解：∵z ＝1＋i ，∴az ＋2bz ＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ，(a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i.∵a ，b 都是实数，∴由 az ＋2bz ＝(a ＋2z )2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4（a ＋2）.两式相加，整理得 a 2＋6a ＋8＝0.解得 a 1＝－2，a 2＝－4，对应得 b 1＝－1，b 2＝2. ∴所求实数为 a ＝－2，b ＝－1 或 a ＝－4，b ＝2.1．复数的加减运算把复数的代数形式z ＝a ＋b i 看作关于“i ”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法，只需要“合并同类项”就行，不需要记加、减法法则．2．复数的乘法运算复数的乘法可以把虚数单位i看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．一、填空题1．计算(－i＋3)－(－2＋5i)的结果为________．解析：(－i＋3)－(－2＋5i)＝－i＋3＋2－5i＝－6i＋5.答案：5－6i2．若复数z＝1－2i，则z·z＋z的实部是________．解析：∵z＝1－2i，∴z＝1＋2i，∴z·z＝(1－2i)(1＋2i)＝5，∴z·z＋z＝5＋1－2i＝6－2i.答案：63．已知3＋i－(4＋3i)＝z－(6＋7i)，则z＝________．解析：∵3＋i－(4＋3i)＝z－(6＋7i)∴z＝3＋i－(4＋3i)＋(6＋7i)＝(3－4＋6)＋(1－3＋7)i＝5＋5i.答案：5＋5i4．(北京高考)若(x＋i)i＝－1＋2i(x∈R)，则x＝________．解析：(x＋i)i＝－1＋x i＝－1＋2i，由复数相等的定义知x＝2.答案：25．已知z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·z2是实数，则实数t＝________．解析：∵z2＝t＋i，∴z2＝t－i，∴z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i) ＝3t －3i ＋4t i －4i 2＝(3t ＋4)＋(4t －3)i ， 又∵z 1·z 2是实数， ∴4t －3＝0，即t ＝34.答案：34二、解答题6．计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2i ； (2)(3＋2i)＋(3－2)i ；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)． 解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2i ＝52－52i ； (3)(3＋2i)＋(3－2)i ＝3＋(2＋3－2)i ＝3＋3i ； (3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i) ＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i ＝8＋2i. 7．计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i (4i －6)＋2＋i ； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i)． 解：⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i (4i －6)＋2＋i ＝2i ＋6i 2－3－9i ＋2＋i ＝－7－6i.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎪⎫34－14i (1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋12i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎪⎫－32－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i＝－1＋32＋1－32i.8．(江西高考改编)z 是z 的共轭复数．若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，求z . 解：法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ， ∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1. 又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2. ∴b ＝－1. 故z ＝1－i.法二：∵(z －z )i ＝2，∴z －z ＝2i ＝－2i.又z ＋z ＝2.∴z －z ＋(z ＋z )＝－2i ＋2，∴2z ＝－2i ＋2， ∴z ＝1－i.第2课时 复数的乘方与除法运算问题1：在实数中，若a ·b ＝c (a ≠0)，则b ＝c a .反之，若b ＝c a，则a ·b ＝c .那么在复数集中，若z 1·z 2＝z 3，有z 1＝z 3z 2(z 2≠0)成立吗？提示：成立．问题2：若复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R ，c ＋d i ≠0)，则z 1z 2如何运算？ 提示：通常先把(a ＋b i )÷(c ＋d i)写成a ＋b ic ＋d i的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数c －d i ，化简后可得结果，即a ＋b i c ＋d i ＝（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ）＝（ac ＋bd ）＋（bc －ad ）ic 2＋d 2 ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)．1．复数范围内正整数指数幂的运算性质 对任意复数z ，z 1，z 2和m ，n ∈N *，有 (z )m ·(z )n ＝(z )m ＋n；(z m )n ＝z mn； (z 1·z 2)n ＝z n 1·z n2．2．虚数单位i n (n ∈N *)的周期性 i 4n＝1，i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ．3．复数的除法运算及法则把满足(c ＋d i)(x ＋y i)＝a ＋b i(c ＋d i ≠0)的复数x ＋y i(x ，y ∈R )叫做复数a ＋b i 除以复数c ＋d i 的商．且x ＋y i ＝a ＋b ic ＋d i ＝（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ）＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i ．由a ＋b ic ＋d i ＝（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ）＝（ac ＋bd ）＋（bc －ad ）i c 2＋d 2＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i ，可以看出复数除法的运算实质是将分母化为实数的过程即分母实数化．[例1] 求1＋i ＋i 2＋…＋i2 016的值．[思路点拨] 利用i n的性质计算，i 4n＝1，i 4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，还可以利用等比数列求和来解．[精解详析] 法一：1＋i ＋i 2＋…＋i 2 016＝1－i 2 0171－i ＝1－i 2 016·i 1－i ＝1－i 1－i ＝1.法二：∵i n ＋in ＋1＋in ＋2＋in ＋3＝0(n ∈N *)，∴1＋i ＋i 2＋…＋i2 016＝1＋(i ＋i 2＋i 3＋i 4)＋(i 5＋i 6＋i 7＋i 8)＋…＋(i2 009＋i2 010＋i2 011＋i2 012)＋(i2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016)＝1.[一点通] 等差、等比数列的求和公式在复数集C 中仍适用，i 的周期性要记熟，即i n＋in ＋1＋in ＋2＋in ＋3＝0(n ∈N *)．1．若z ＝－1－i 2，则z 2 014＋z 102＝________．解析：∵z 2＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－i 22＝－i ，∴z2 014＋z 102＝(－i)1 007＋(－i)51＝(－i)1 004·(－i)3＋(－i)48·(－i)3＝i ＋i ＝2i. 答案：2i2．设z 1＝i 4＋i 5＋i 6＋…＋i 12，z 2＝i 4·i 5·i 6·… ·i 12，则z 1与z 2的关系为z 1________z 2(用“＝”或“≠”填)．解析：∵z 1＝i 4（1－i 9）1－i ＝i 4（1－i ）1－i＝1，z 2＝i4＋5＋6＋…＋12＝i （4＋12）×92＝i 72＝(i 4)18＝1，∴z 1＝z 2. 答案：＝[例2] 计算：(1)i －231＋23i＋(5＋i 2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 22；(2)（2＋2i ）3（4＋5i ）（5－4i ）（1－i ）.[思路点拨] 解答较为复杂的复数相乘、除时，一个方面要利用复数乘、除的运算法则、运算律，另一方面要注意观察式子中数据的特点，利用题目中数据的特点简化运算．[精解详析] (1)原式＝（1＋23i ）i 1＋23i ＋(5＋i 2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 22＝i ＋5－1－i ＝i ＋4－i ＝4.(2)原式＝22（1＋i ）3（5－4i ）i（5－4i ）（1－i ）＝22（1＋i ）4i （1－i ）（1＋i ）＝22[（1＋i ）2]2i 2 ＝2·(2i)2i ＝－42i.[一点通] 复数的除法就是分子，分母同乘以分母的共轭复数，从而使分母实数化，熟悉以下结论对简化运算很有帮助．b －a i ＝(a ＋b i)(－i)，－b ＋a i ＝(a ＋b i)i.3．设复数z ＝2i －1＋i，则复数z 2的实部与虚部的和为________． 解析：∵z ＝2i －1＋i ＝2i （－1－i ）（－1＋i ）（－1－i ）＝2i （－1－i ）2＝－i ＋1，∴z 2＝(1－i)2＝1－2i －1＝－2i. 实部为0，虚部为－2. 因此，实部与虚部的和为－2. 答案：－24．若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z ＝________． 解析：∵z (2－i)＝11＋7i ，∴z ＝11＋7i 2－i ＝（11＋7i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝15＋25i5＝3＋5i.答案：3＋5i5．化简：()－1＋3i 3（1＋i ）6＋－2＋i1＋2i＝________． 解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋3i 2i 3＋（－2＋i ）（1－2i ）5＝i ＋i ＝2i. 答案：2i1．复数除法的运算技巧在实际进行的复数除法运算中，每次都按乘法的逆运算进行计算将十分麻烦．我们可以用简便方法操作：先把两个复数相除写成分式形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”，最后再化简．2．注意复数计算中常用的整体(1)i 的性质：i 4n ＝1，i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i(n ∈N *)；(2)(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i＝－i ；(3)设ω＝－12＋32i ，则ω3＝1，ω2＋ω＋1＝0，ω2＝ω，ω3＝1.一、填空题1．(新课标全国卷Ⅱ改编)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝________． 解析：z ＝2i 1－i ＝2i （1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2i （1＋i ）2＝－1＋i. 答案：－1＋i2．设i 是虚数单位，复数103－i 的虚部为________．解析：103－i ＝10（3＋i ）（3－i ）（3＋i ）＝3＋i. 答案：13．如果z 1＝－2－3i ，z 2＝3－2i （2＋i ）2，则z 1z 2＝________．解析：∵z 1＝－2－3i ，z 2＝3－i（2＋i ）2，∴z 1z 2＝（－2－3i ）（2＋i ）23－2i ＝－i （3－2i ）（2＋i ）23－2i＝－i(2＋i)2＝－(3＋4i)i ＝4－3i. 答案：4－3i4．(浙江高考)已知 i 是虚数单位，计算1－i （1＋i ）2 ＝________．解析：1－i （1＋i ）2 ＝1－i 2i ＝（1－i ）i －2＝－1－i 2＝－12－12i. 答案：－12－12i5．i 是虚数单位，i ＋2i 2＋3i 3＋…＋8i 8＝________． 解析：设S ＝i ＋2i 2＋3i 3＋…＋8i 8① 则i S ＝i 2＋2i 3＋…＋7i 8＋8i 9②①－②得(1－i)S ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 8－8i 9＝i （1－i 8）1－i －8i＝－8i.∴S ＝－8i 1－i ＝－8i （1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝－8i （1＋i ）2＝4－4i. 答案：4－4i 二、解答题6．计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋2i ）·i 100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 52－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 220. 解：⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋2i ）·i 100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 52－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 220 ＝[]（1＋2i ）·1＋（－i ）52－i 10＝(1＋i)2－i 10＝1＋2i.7．复数z ＝（1＋i ）2＋3（1－i ）2＋i ，若z 2＋a z ＜0，求纯虚数a .解：z ＝（1＋i ）2＋3（1－i ）2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i ＝1－i.∵a 为纯虚数，∴设a ＝m i(m ≠0)， 则z 2＋az＝(1－i)2＋m i 1－i＝－2i ＋m i －m2＝－m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2－2i ＜0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－m2＜0，m 2－2＝0，∴m ＝4.∴a ＝4i.8．已知1＋i 是实系数方程x 2＋ax ＋b ＝0的一个根． (1)求a 、b 的值；(2)试判断1－i 是否是方程的根． 解：(1)∵1＋i 是方程x 2＋ax ＋b ＝0的根， ∴(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝0，即(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2. ∴a 、b 的值为a ＝－2，b ＝2. (2)方程为x 2－2x ＋2＝0， 把1－i 代入方程，左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝－2i －2＋2i ＋2＝0显然方程成立． ∴1－i 也是方程的一个根.。

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2 复数的四则运算第1课时复数的加减与乘法运算已知复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)．问题1：多项式的加减实质是合并同类项,类比想一想复数如何加减?提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加（减)．问题2:复数的加法满足交换律和结合律吗?提示：满足．1．复数的加法、减法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R），则z1＋z2＝（a＋b i)＋（c＋d i)＝（a＋c)＋(b＋d）i,z－z2＝(a＋b i)－（c＋d i)＝（a－c)＋(b－d）i．1即两个复数相加（减）就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加（减)．2．复数加法的运算律(1）交换律:z1＋z2＝z2＋z1；(2)结合律：（z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3）.设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，(a，b，c，d∈R）问题1:如何规定两复数相乘?提示：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．即z1z2＝（a＋b i）(c＋d i）＝ac＋bc i＋ad i＋bd i2＝(ac－bd)＋（bc＋ad）i.问题2：试验复数乘法的交换律．提示：z1z2＝(a＋b i）(c＋d i）＝(ac－bd)＋（bc＋ad）i，z 2z1＝(c＋d i)（a＋b i)＝(ac－bd）＋(bc＋ad)i.故z1z2＝z2z1。

高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数的四则运算自我小测 苏教版选修1-21．若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z ＝__________.2．(2012江苏高考，3)设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝117i 12i --(i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为__________．3．设a ∈R ，且1i 1i 2a -++是实数，则a ＝__________. 4．已知i 为虚数单位，则 2 0121i 1i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭__________.5．已知z 1＝1＋2i ，z 2＝m ＋(m －1)i ，且两复数的乘积z 1z 2的实部和虚部为相等的正数，则实数m 的值为__________．6．已知复数22i (1i)z +=+，则z 的共轭复数的虚部为__________． 7．若复数z 满足z －2i ＝1＋z i(i 为虚数单位)，则z ＝______.8．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝__________. ∴z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝(2－3)＋(2＋8)i ＝－1＋10i.9．计算： (1)112i 2i 22⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)(3＋2i)＋2)i ；(3)(1＋2i)＋(i ＋i 2)＋(3＋4i)；(4)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)． 10．已知复数2(1i)3(1i)2iz -++=-. (1)求复数z ；(2)若z 2＋az ＋b ＝1－i ，求实数a ，b 的值．参考答案1答案：6－2i 解析：由已知z ＝(3－i)＋(3－i)＝6－2i.2答案：8 解析：∵a ＋b i ＝117i 12i--，∴a ＋b i ＝(117i)(12i)(12i)(12i)-+-+＝5＋3i.根据复数相等的充要条件可得a ＝5，b ＝3，故a ＋b ＝8.3答案：－1 解析：1i (1i)1i (1)(1)i 1i 2222a a a a ---+-++=+=+. 则当此复数为实数时，有a ＋1＝0，∴a ＝－1.4答案：1 解析：∵21i (1i)i 1i 2--==-+. ∴ 2 0121i 1i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭＝(－i)2 012＝i 2 012＝i 4×503＝i 0＝1. 5答案：34解析：z 1z 2＝(1＋2i)[m ＋(m －1)i] ＝m ＋(m －1)i ＋2m i －2(m －1)＝(2－m )＋(3m －1)i ，由已知得2－m ＝3m －1＞0，解得m ＝34. 6答案：1 解析：∵22i 2i (2i)(i)12i 1i (1i)2i 222z +++--=====-+，∴1i 2z =+，即z 的共轭复数的虚部为1.7答案：13i 22-+ 解析：由已知得z －z i ＝1＋2i ， ∴12i (12i)(1i)13i 1i (1i)(1i)2z +++-+===--+ ＝13i 22-+. 8答案：－1＋10i 解析：∵z 1＋z 2＝(x ＋2i)＋(3－y i)＝(x ＋3)＋(2－y )i ， 又z 1＋z 2＝5－6i ，∴3526x y +=⎧⎨-=-⎩，，∴28. xy=⎧⎨=⎩，∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i.9答案：解：(1)原式＝1122i22⎛⎫⎛⎫+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝55i 22 -；(2)原式＝3＋(22)i＝3i；(3)原式＝(1＋2i)＋(i－1)＋(3＋4i)＝(1－1＋3)＋(2＋1＋4)i＝3＋7i；(4)原式＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i＝8＋2i.10答案：解：(1)2i33i3i(3i)(2i)1i 2i2i5z-+++++====+--.(2)把z＝1＋i代入得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i，所以121a ba+=⎧⎨+=-⎩，，解得34.ab=-⎧⎨=⎩，。

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学 习 资 料 专 题3.2 复数的四则运算习题课 课时目标 1.进一步理解复数的四则运算.2.了解解复数问题的基本思想．1．复数乘方的性质：对任何z ，z 1，即z ∈C 及m 、n ∈N *，有z m ·z n ＝________(z m )n ＝z mn(z 1z 2)n ＝z n 1z n 22．n ∈N *时，i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i.一、填空题1．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是____________．2．设z 的共轭复数是z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则z z ＝______.3．设C ，R ，I 分别表示复数集、实数集、纯虚数集，取C 为全集，下列命题正确的是____________(请填写相应的序号)．①R ∪I ＝C ；②R ∩I ＝{0}；③C ∩I ＝∁I R ；④R∩I ＝∅.4．1＋i 1－i表示为a ＋b i(a ，b ∈R )，则a ＋b ＝________. 5．设复数z 1＝1＋i ，z 2＝x ＋2i (x ∈R )，若z 1·z 2为实数，则x ＝________.6．已知复数z 满足z ＋(1＋2i)＝10－3i ，则z ＝________.7．复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________.8．若x 是实数，y 是纯虚数且满足2x －1＋2i ＝y ，则x ＝________，y ＝________.二、解答题9．已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z .10．解方程x 2－(2＋3i)x ＋5＋3i ＝0.能力提升11．已知z 是虚数，且z ＋1z 是实数，求证：z －1z ＋1是纯虚数．12．满足z ＋5z是实数，且z ＋3的实部与虚部互为相反数的虚数z 是否存在，若存在，求出虚数z ；若不存在，请说明理由．1．对于复数运算中的分式，要先进行分母实数化．2．充分利用复数相等的条件解方程问题．习题课答案知识梳理1．z m ＋n作业设计1．3－3i解析 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i 的实部为－3，故所求复数为3－3i.2．±i解析 设z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )，则z ＝x －y i ，依题意2x ＝4且x 2＋y 2＝8，解之得x ＝2，y ＝±2. ∴z z ＝z 2z ·z ＝28＝±i.3．④解析 复数的概念，纯虚数集和实数集都是复数集的真子集，但其并集不是复数集，当ab ≠0时，a ＋b i 不是实数也不是纯虚数，利用韦恩图可得出结果．4．1解析 ∵1＋i 1－i ＝＋22＝i ，∴a ＝0，b ＝1， 因此a ＋b ＝1.5．－2 6.9＋5i7．2＋i解析 z ＝4＋3i 1＋2i ＝＋－5＝10－5i 5＝2－i. ∴z ＝2＋i.8．122i 解析 设y ＝b i (b ≠0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1＝0b ＝2，∴x ＝12. 9．解 设z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，则z ＝a －b i (a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ，即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3. 所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.10．解 设x ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，则有a 2－b 2＋2ab i －[(2a －3b )＋(3a ＋2b )i]＋5＋3i ＝0，根据复数相等的充要条件得 ⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2－a －3b ＋5＝0，2ab －a ＋2b ＋3＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1. 故方程的解为x ＝1＋4i 或x ＝1－i. 11．证明 设z ＝a ＋b i (a 、b ∈R )，于是 z ＋1z ＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝a ＋b i ＋a －b i a 2＋b 2 ＝a ＋a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －b a 2＋b 2i. ∵z ＋1z ∈R ，∴b －b a 2＋b 2＝0. ∵z 是虚数，∴b ≠0，∴a 2＋b 2＝1且a ≠±1.∴z －1z ＋1＝a －＋b i a ＋＋b i＝a －＋b a ＋－b i]a ＋2＋b 2 ＝a 2－1＋b 2＋a ＋b －a －b ]i a 2＋b 2＋2a ＋1＝0＋2b i 1＋2a ＋1＝b a ＋1i.∵b ≠0，a ≠－1，a 、b ∈R ， ∴b a ＋1i 是纯虚数，即z －1z ＋1是纯虚数． 12．解 设存在虚数z ＝x ＋y i (x 、y ∈R 且y ≠0)．因为z ＋5z ＝x ＋y i ＋5x ＋y i＝x ＋5x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －5y x 2＋y 2i. 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ y －5y x 2＋y 2＝0，x ＋3＝－y .因为y ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝5，x ＋y ＝－3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝－1.所以存在虚数z ＝－1－2i 或z ＝－2－i 满足以上条件．。

3.2 复数的四则运算（一）学习目标 1.掌握复数代数形式的加减运算.2.理解复数乘法运算法则，能进行复数的乘法运算.3.理解共轭复数的概念及应用．知识点一复数的加减法已知复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)．思考1 多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？思考2 复数的加法满足交换律和结合律吗？1．复数的加法、减法法则(1)条件：z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(其中a，b，c，d均为实数)．(2)加法法则：z1＋z2＝__________________，减法法则：z1－z2＝__________________.2．运算律(1)交换律：z1＋z2＝____________.(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝________________.知识点二复数的乘法思考如何规定两个复数相乘？1．复数的乘法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝____________________. 2．乘法运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有知识点三共轭复数思考复数z1＝a＋b i与z2＝a－b i(a，b∈R)有什么关系？试求z1·z2的积．1．定义：实部相等，虚部互为相反数的两个复数，即复数z＝a＋b i的共轭复数是z＝____________.2．关系：若z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1，z2互为共轭复数⇔________________ 3．当复数z＝a＋b i的虚部b＝0时，z＝z，也就是说实数的共轭复数仍是它本身．类型一复数的加减法运算例1 已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．设z＝z1－z2且z＝13－2i，求z1，z2.反思与感悟(1)复数的加减法可以推广到多个复数连续加减．(2)把i看成一个字母，复数的加减法可以类比多项式的合并同类项．跟踪训练1 (1)计算：(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2 011－2 012i)．(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z.类型二 复数的乘法运算例2 (1)若复数(m 2＋i)(1＋m i)是实数，则实数m ＝________.(2)若(1＋i)(2＋i)＝a ＋b i ，其中a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则a ＋b ＝________. 反思与感悟 (1)复数的乘法运算可以把i 看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i 2化为－1，进行最后结果的化简．第(2)题利用复数相等条件求a ，b .(2)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．跟踪训练 2 (1)已知复数z 1＝4＋8i ，z 2＝6＋9i ，则复数(z 1－z 2)i 的实部与虚部分别为________．(2)(－12＋32i)(32＋12i)(1＋i)＝________.类型三 共轭复数例3 复数z 满足z ·z ＋2i z ＝4＋2i ，求复数z 的共轭复数．反思与感悟 (1)紧紧抓住复数相等的充要条件，把复数问题转化成实数问题是解决本题的关键．(2)有关复数z及其共轭复数的题目，注意共轭复数的性质：①设z＝a＋b i，则z·z＝a2＋b2，②z∈R⇔z＝z.跟踪训练3 若把例题中复数z满足的条件改为“3z＋(z－2)i＝2z－(1＋z)i”，试求复数z.1．若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2＝____________.2．复数z＝1＋i，z为z的共轭复数，则z·z－z－1＝________.3．设复数z1＝x＋2i，z2＝3－y i(x，y∈R)，若z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝____________. 4．计算：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)；(2)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)．1．复数的加减法中规定，两复数相加减，是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，复数的加减法可推广到多个复数相加减的情形．2．复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数．3．理解共轭复数的性质：(1)z∈R⇔z＝z.(2)当a，b∈R时，有a2＋b2＝(a＋b i)(a－b i)，这是虚数问题实数化的一个重要依据．答案精析问题导学 知识点一思考1 两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i. 思考2 满足．1．(2)(a ＋c )＋(b ＋d )i (a －c )＋(b －d )i 2．(1)z 2＋z 1 (2)z 1＋(z 2＋z 3) 知识点二思考 类似于多项式的乘法，相当于把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，运算过程中要把i 2换成－1，然后把实部与虚部分别合并． 1．(ac －bd )＋(ad ＋bc )i 2．z 2z 1 z 1(z 2z 3) z 1z 2＋z 1z 3 知识点三思考 两复数实部相等，虚部互为相反数；z 1·z 2＝a 2＋b 2，积为实数． 1．a －b i2．a ＝c 且b ＝－d . 题型探究例1 解 z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i] ＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ， 又∵z 1－z 2＝13－2i ，∴(5x －3y )＋(x ＋4y )i ＝13－2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.∴z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i ，z 2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.跟踪训练1 解 (1)原式＝(1－2＋3－4＋…＋2 009－2 010＋2 011)＋(－2＋3－4＋5＋…＋2 011－2 012)i ＝1 006－1 007i. (2)由z ＋1－3i ＝5－2i ，得z ＝(5－2i)－(1－3i)＝(5－1)＋(－2＋3)i ＝4＋i.例2 (1)－1 (2)4解析 (1)∵(m 2＋i)(1＋m i)＝m 2－m ＋(m 3＋1)i ， 又∵(m 2＋1)(1＋m i)是实数， ∴m 3＋1＝0，则m ＝－1.(2)∵a ＋b i ＝(1＋i)(2＋i)＝1＋3i ， ∴a ＝1，b ＝3. ∴a ＋b ＝4.跟踪训练2 (1)1，－2 (2)－3＋12＋1－32i 解析 (1)由题意得，z 1－z 2＝－2－i ， 则(z 1－z 2)i ＝(－2－i)i ＝－2i －i 2＝1－2i ， ∴(z 1－z 2)i 的实部是1，虚部是－2. (2)原式＝[(－34－34)＋(34－14)i](1＋i) ＝(－32＋12i)(1＋i) ＝(－32－12)＋(12－32)i ＝－3＋12＋1－32i. 例3 解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＝x －y i. ∵z ·z ＋2i z ＝4＋2i ， ∴x 2＋y 2＋2i(x ＋y i)＝4＋2i ， 因此(x 2＋y 2－2y )＋2x i ＝4＋2i ，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝4，2x ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，∴z ＝1＋3i 或z ＝1－i.因此z 的共轭复数z ＝1－3i 或z ＝1＋i.跟踪训练3 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i. ∵3z ＋(z －2)i ＝2z －(1＋z )i ，∴3(a ＋b i)＋(a －2－b i)i ＝2(a －b i)－(1＋a ＋b i)i ， ∴3a ＋b ＋(3b ＋a －2)i ＝2a ＋b －(2b ＋a ＋1)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝2a ＋b ，3b ＋a －2＝－2b －a －1，解得a ＝0且b ＝15，故所求的复数z ＝i 5.达标检测 1．4＋2i解析 z 1·z 2＝(1＋i)(3－i)＝4＋2i. 2．－i解析 ∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ， ∴z ·z ＝(1＋i)(1－i)＝2， ∴z ·z －z －1＝2－(1＋i)－1＝－i. 3．－1＋10i解析 ∵z 1＋z 2＝x ＋2i ＋(3－y i)＝(x ＋3)＋(2－y )i ， ∴(x ＋3)＋(2－y )i ＝5－6i(x ，y ∈R )， 由复数相等定义，得x ＝2，且y ＝8， ∴z 1－z 2＝2＋2i －(3－8i)＝－1＋10i. 4．解 (1)原式＝1－i 2＋(－1)＋i ＝1＋i. (2)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i) ＝－20＋15i.。