2016年12月份月考数学试题(必修2第一章+第二章)

12月月考高二数学（文科）试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题（每题5分，共60分）1．下面哪些变量是相关关系（）A．出租车费与行驶的里程 B．房屋面积与房屋价格C．身高与体重 D．铁的大小与质量2．在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别（）。

A．23与26 B．31与26C．24与30 D．26与303．某校有行政人员、教学人员和教辅人员共200人，其中教学人员与教辅人员的比为10 1，行政人员有24人，现采取分层抽样容量为50的样本，那么行政人员应抽取的人数为（）A．3 B．4 C．6 D．84（A（B（C（D5．三棱锥S­ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A．6．执行下图中的程序，如果输出的结果是4，那么输入的只可能是（）A ．4-B ．．2或－4 7．执行如图所示的程序框图，若输入）A ．49 B ．67 C 8．将两个数2010,2011a b ==9．下列给出的赋值语句中正确的是（ ）A ．4＝M B ．B ＝A ＝3 C ．x ＋y ＝0 D ．M ＝－M 10．已知如下算法:步骤1:2:步骤3:4）11）AC12AB的中点，则直线AB的方程是（）AC二、填空题（每题5分，共20分）13．某班有学生48人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为6的样本，已知座位号分别为6，14，30，38，46的同学都在样本中，那么样本中另一位同学的座位号应该是 ． 14．已知样本9，10，11，x ，y 的平均数是10，方差是2，则xy= ． 15．在区间[0，2]上随机地取一个数x ，则事件“-1发生的概率为16．如图所示程序执行后输出的结果是___________三、解答题（17题10分，其他12分）17．有7通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组． （1（5分）；（2（5分） 18．某种产品的广告费支出（1）求线性回归方程；（219．铁路部门托运行李的收费方法如下：y 是收费额(单位：元),x 是行李重量(单位：㎏),,按0.35/㎏收费,时,20㎏的部分按0.35元/㎏,超出20㎏的部分,则按0.65元/㎏收费.⑴请根据上述收费方法求出Y关于X的函数式；⑵画出流程图并写出程序。

唐山一中高二年级2016年12月份考试数学试卷（理）说明：1．考试时间120分钟，满分150分。

2．将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上,卷Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答在试卷上.。

3．Ⅱ卷卷头和答题卡均填涂本次考试的考号，不要误填学号，答题卡占后５位。

卷Ⅰ(选择题 共60分)一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分）1．已知向量a =（1，1，0），b =（﹣1，0，2），且k a +b 与2a -b 互相垂直，则k 的值是（ ）A ．1B ． 15C ． 35D ． 752e 为自然底数），则使f （x ）＜1成立的一个充分不必要条件是（ ）A ．0＜x ＜1B ．0＜x ＜4C ．0＜x ＜3D ．3＜x ＜43．设直线m 、n 下列四个命题中，正确的是 （ ）A. B.C. D. 4．若直线2a x ＋b y －2＝0（a ，b ∈R+）平分圆x 2＋y 2－2x －4y －6＝0，则2a +1b的最小值是（ ）A ．1B ．5C ．42D ．3+225．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 （ ）A ． (9+2π) 3 6B ． (8+2π) 3 6C ． (6+π) 3 6D ．6．如图，正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直，且AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，F ，G 分别是线段AE ，BC 的中点，则AD 与GF 所成的角的余弦值为( )A.36 B ．－36 C.33 D ．－337．已知F 1、F 2若椭圆上存在点P 使PF 1→·PF 2→=0，则| PF 1 |•| PF 2 |= （ ）A ．b 2B ．2b 2C ．2bD ．b8．如图，在平行六面体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，底面是边长为1的正方形，若∠A 1AB =∠A 1AD =60°，且A1A =3，则A 1C 的长为（ ）A B ．2 2C D ．17 9.下列四个结论：.其中正确结论的个数是 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个10左右焦点分别为F1、F2，|F1F2|=4，P是双曲线右支上一点，直线PF2交y轴于点A，△A PF1的内切圆切边PF1于点Q，若|PQ|=1，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±33x B．y=±3xC．y=±13x D．y=±3x11．已知球的直径SC=2，A，B是该球球面上的两点，AB=1，∠ASC=∠BSC=30°，则棱锥S﹣ABC的体积为（）A B C D12．如图，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，E是A1A的中点，P为底面ABCD内一动点，设PD1 、PE与底面ABCD所成的角分别为φ1，φ2(φ1，φ2均不为0)．若φ1=φ2，则动点P的轨迹为哪种曲线的一部分. （）A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线卷Ⅱ(非选择题共90分)二．填空题（共4小题，每题5分，计20分）13k的取值范围为___________.14．已知三棱锥D﹣ABC中，AB=BC=1，AD=2，BD AC BC⊥AD，则三棱锥的外接球的表面积为__________________.15．设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为抛物线上不同的三点，点F是△ABC的重心，O为坐标原点，△OF A、△OFB、△OFC的面积分别为S1、S2、S3则S12＋S22＋S32=____________.16．如图，正方体A1B1C1D1－ABCD，则下列四个命题：①P在直线BC1上运动时，三棱锥A－PC D1的体积不变；②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面AC D1所成角的大小不变；③P在直线BC1上运动时，二面角P﹣A D1﹣C的大小不变；④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线其中真命题的个数是__________________个.三．解答题（共6小题，17-21题为必做题，22题为普通班和实验班必做，23题为英才班必做）17.（本小题满分10分）y k的取值范围．18.（本小题满分12分）上一定点A（2，0），B（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点．（1）求线段AP中点的轨迹方程；（2）若∠PBQ=90°，求线段PQ中点的轨迹方程．19.（本小题满分12分）（1（2.20.如图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC是边长为2的等边三角形，AE=1，CD与平面ABDE（1）若F是线段CD的中点，证明：EF⊥面DBC；（2）求二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值．21. （本小题满分12分）AB B的轨迹（Ⅱ）直线AB C，D两点，当B为CD中点时，求直线AB的方程.22.（普通班和实验班必做，本小题满分12分）过焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点(A在第一象限).(Ⅰ),求直线l的方程;(Ⅱ)C M,N,设F到d,23.（英才班必做，本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C（a＞b＞0y=x被椭圆C（ I）求椭圆C的方程．（Ⅱ）直线l是圆O：x2+y2=r2的任意一条切线，l与椭圆C交于A、B两点，若以AB为直径的圆恒过原点，求圆O的方程，并求出|AB|的取值范围．一．选择题：DADDD ABABD AB二．填空题三．解答题17.解：∵命题p：直线y=kx+3与圆x2+y2=1相交于A，B两点，4分）∵命题q表示焦在y轴上的双曲线，k＜0，（8分）∵p∧q为真命题，∴p，q均为真命题，解得k＜﹣10分）18.解：（1）设AP中点为M（x，y），由中点坐标公式可知，P点坐标为（2x﹣2，2y）∵P点在圆x2+y2=4上，∴（2x﹣2）2+（2y）2=4．故线段AP中点的轨迹方程为（x﹣1）2+y2=1．（2）设PQ的中点为N（x，y），在Rt△PBQ中，|PN|=|BN|，设O为坐标原点，则ON⊥PQ，所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2，所以x2+y2+（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2﹣x﹣y﹣1=0．19.20.解：（1）证明：取AB的中点O，连结OC，OD．∵DB⊥平面ABC，DB⊂面ABD，根据直线和平面垂直的判定定理得，面ABD⊥平面ABC．取AB的中点O，连结OC，OD．∵△ABC是等边三角形，∴OC⊥AB，根据平面和平面垂直的性质定理得则OC⊥面ABD，∴OD是CD在平面ABDE上的射影，∴∠CDO即是CD与平面ABDE所成角．∴sin∠∴BD=2．取ED的中点为M，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OM为z轴建立如图空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），⊥面BCD，因为EF⊥面DBC．（2）解：由上面知：BF⊥面DEC，取平面DEC设平面BCEx=1，则由此得平面BCE所以二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值为21.其中，a＝2b＝1，则曲线Γ…5分…12分22.解,因此直线l(2)则点F23.解：（a＞b＞0），a2=b2+c2，∴a2=2c2，∴a2=2b2，设直线与椭圆交于P，Q两点．不妨设P点为直线和椭圆在第一象限的交点，又a2=2b2，解得a2=8，b2=4（Ⅱ）（i）当切线l的斜率不存在时，设x=r（或x=﹣r），代入椭圆方程得：y=∴A（r，B（r，∵以AB为直径的圆恒过原点，∴r2，∴r2∴圆O的方程为x2+y2此时x=﹣r时，上述结论仍然成立），（ii）当切线l的斜率存在时，设l方程为：y=kx+m，∵l与圆O相切，即m2=（1+k2）r2，将直线方程代入椭圆方程并整理得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，①△=8k2+4﹣m2＞0，②设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程①的两个解，由韦达定理得：x1+x2=x1x2y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2∵以AB为直径的圆恒过原点，∴x1x2+y1y2=0，，∴3m2﹣8﹣8k2=0，3m2=8（1+k2），又∵m2=（1+k2）r2，∴3（1+k2）r2=8（1+k2），∴r2此时m21+k2），代入②式后成立，∴圆O的方程为x2+y2此时（i）若k=0，则（ii）若k≠0，则，综上，圆O的方程为x2+y2|AB|的取值范围是．四．选择题：DADDD ABABD AB五．填空题六．解答题17.解：∵命题p：直线y=kx+3与圆x2+y2=1相交于A，B两点，4分）∵命题q表示焦在y轴上的双曲线，k＜0，（8分）∵p∧q为真命题，∴p，q均为真命题，解得k＜﹣10分）18.解：（1）设AP中点为M（x，y），由中点坐标公式可知，P点坐标为（2x﹣2，2y）∵P点在圆x2+y2=4上，∴（2x﹣2）2+（2y）2=4．故线段AP中点的轨迹方程为（x﹣1）2+y2=1．（2）设PQ的中点为N（x，y），在Rt△PBQ中，|PN|=|BN|，设O为坐标原点，则ON⊥PQ，所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2，所以x2+y2+（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2﹣x﹣y﹣1=0．19.20.解：（1）证明：取AB的中点O，连结OC，OD．∵DB⊥平面ABC，DB⊂面ABD，根据直线和平面垂直的判定定理得，面ABD⊥平面ABC．取AB的中点O，连结OC，OD．∵△ABC是等边三角形，∴OC⊥AB，根据平面和平面垂直的性质定理得则OC⊥面ABD，∴OD是CD在平面ABDE上的射影，∴∠CDO即是CD与平面ABDE所成角．∴sin∠∴BD=2．取ED的中点为M，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OM为z轴建立如图空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），⊥面BCD，因为EF⊥面DBC．（2）解：由上面知：BF⊥面DEC，取平面DEC设平面BCEx=1，则由此得平面BCE所以二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值为21.其中，a＝2b＝1，则曲线Γ…5分…12分22.解,因此直线l(2)则点F23.解：（a＞b＞0），a2=b2+c2，∴a2=2c2，∴a2=2b2，设直线与椭圆交于P，Q两点．不妨设P点为直线和椭圆在第一象限的交点，又a2=2b2，解得a2=8，b2=4（Ⅱ）（i）当切线l的斜率不存在时，设x=r（或x=﹣r），代入椭圆方程得：y=∴A（r，B（r，∵以AB为直径的圆恒过原点，∴r2，∴r2∴圆O的方程为x2+y2此时x=﹣r时，上述结论仍然成立），（ii）当切线l的斜率存在时，设l方程为：y=kx+m，∵l与圆O相切，即m2=（1+k2）r2，将直线方程代入椭圆方程并整理得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，①△=8k2+4﹣m2＞0，②设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程①的两个解，由韦达定理得：x1+x2=x1x2y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2∵以AB为直径的圆恒过原点，∴x1x2+y1y2=0，，∴3m2﹣8﹣8k2=0，3m2=8（1+k2），又∵m2=（1+k2）r2，∴3（1+k2）r2=8（1+k2），∴r2此时m21+k2），代入②式后成立，∴圆O的方程为x2+y2此时（i）若k=0，则（ii）若k≠0，则，综上，圆O的方程为x2+y2|AB|的取值范围是．。

2016届吉林长春高三数学12月月考试卷（理科附答案）长春市十一高中2015-2016学年度高三上学期阶段考试数学试题（理）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.若复数满足：，则（）A.B.C.D.3.已知，则（）A.B.C.D.4.已知实数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（）A．B．C．或D．或75.已知，，，则（）A．22B．48C．D．326.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.7．某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是,则（）A．B．C．D．8.设，且，则（）A．B．C．D．9.曲线与直线围成的封闭图形的面积是（）A.B.C.D.10．已知为区域（）内的任意一点，当该区域的面积为时，的最大值是（）A.B.C.D.11.是椭圆：上的动点，以为切点做椭圆的切线，交圆于两点，当的面积最大时，直线的斜率（）A.B.C.D.12.如图，正方体的棱长为，动点在对角线上，过点作垂直于的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为，设，则当时，函数的值域为（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是.14.已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，，则此球的表面积等于_______________.15.设为等差数列，从中任取个不同的数，使这4个数仍成等差数列，则这样的等差数列最多有个.16.给定下列四个命题：（1）若，，则；（2）是等比数列的前项和，则必有：；（3）函数的图像有对称轴；（4）是所在平面上一定点，动点P满足：，，则直线一定通过的内心；其中正确命题的序号为.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（本小题满分12分）在中，已知，（1）求的取值范围；（2）若边上的高，求面积的最小值.18.（本小题满分12分）设数列满足：，，，（1）设，求证：为等差数列；（2）设，且的前项和为，证明：.19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，为等边三角形，，点为中点，平面平面.（1）求异面直线和所成角的余弦值；（2）求二面角的大小.20.（本小题满分12分）已知曲线的图形如图所示，其上半部分是半椭圆，下半部分是半圆，（），半椭圆内切于矩形，且交轴于点，点是半圆上异于的任意一点，当点位于点时，的面积最大. （1）求曲线的方程；（2）连接分别交于，求证：是定值.21.（本小题满分12分）设函数，（1）证明：是上的增函数；（2）设，当时，恒成立，求的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，正方形边长为2，以为圆心、为半径的圆弧与以为直径的半圆交于点，连结并延长交于点.（1）求证：；（2）求的值.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为，（是参数，是常数）（1）求的直角坐标方程和的普通方程；（2）若与有两个不同的公共点，求的取值范围.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知：（1）关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）若，且，求的取值范围.长春市十一高中2015-2016学年度高三上学期阶段（12月）考试数学试题（理）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）题号123456789101112答案BDBCABCADDCD二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.且14.15.16.①②三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.解析：（1）在中，，……2分,由，都是锐角，所以，当时……5分有最小值，故……6分（2）设，则，……….8分所以，即：，且，……分10所以：，当时“等号”成立面积的最小值为………12分18.解析：（1）由条件知：时，，所以：.............3分由于，即：，故是首项为，公差的等差数列 (5)分（2）由（1）知：，………….6分所以：…………8分所以：………….12分19.解析：解：取的中点，连接，为等边三角形，，又平面平面，……2分以为原点，过点垂直的直线为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系.，不妨设,依题意可得：………3分（1）,从而,………5分于是异面直线和所成角的余弦值为………….6分（2）因为，所以是平面的法向量，……….8分设平面的法向量为，又，由即，令得………….10分于是………….11分从而二面角的大小为.……………12分20.解析（1）已知点在半圆上，所以，……………2分当半圆在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最大，此时的面积最大.所以，由于，所以，由，所以…………4分曲线C的方程为：或………5分（2），设，则有：：，令，，所以：同理：………8分所以：，又由，得，代入上式得………12分所以为定值21.解：若证明是上的增函数，只需证明在恒成立，即：-------4分设，所以：在上递减，上递增，最小值故：，所以：是上的增函数.------6分（2）由得：在上恒成立，------------8分设,则，所以在递增，递减，递增------------9分所以的最小值为中较小的，，所以：，即：在的最小值为，--------11分只需-------12分22.解：（1）由以D为圆心DA为半径作圆，而ABCD为正方形，∴EA为圆D的切线依据切割线定理得………………2分另外圆O以BC为直径，∴EB是圆O的切线，同样依据切割线定理得………………4分故………………5分（2）连结，∵BC为圆O直径，∴在RT△EBC中，有……………7分又在中，由射影定理得……………10分23.解：（1）由极直互化公式得，所以；---------------2分消去参数得的方程：----------------------4分（2）由（1）知是双曲线，是直线，把直线方程代入双曲线方程消去得：，-------------------------7分若直线和双曲线有两个不同的公共点，则，解得：-----------10分24.解：（1），所以，若，只需，即：---------------------5分（2）由于，所以，，又，所以，这样，所以---------------------10分。

2015-2016学年河北省唐山市开滦二中高三（上）12月月考数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.）1．已知集合A={x|log2x＜1}，B={x|x2+x﹣2＜0}，则A∪B（）A．C．2．若复数z满足，则z的共轭复数的虚部是（）A．B．C．D．3．已知p：m﹣1＜x＜m+1，q：（x﹣2）（x﹣6）＜0，且q是p的必要不充分条件，则m 的取值范围是（）A．3＜m＜5 B．3≤m≤5 C．m＞5或m＜3 D．m≥5或m≤34．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是（）A．2或2B．2或﹣2C．﹣2或﹣2D．2或﹣25．设变量x，y满足约束条件则z=3x﹣2y的最大值为（）A．0 B．2 C．4 D．36．曲线y=xlnx在点（e，e）处的切线与直线x+ay=1垂直，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣7．世博会期间，某班有四名学生参加了志愿工作．将这四名学生分配到A、B、C三个不同的展馆服务，每个展馆至少分配一人．若甲要求不到A馆，则不同的分配方案有（）A．36种B．30种C．24种D．20种8．为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位9．设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足，，则=（）A．20 B．15 C．9 D．610．一个正三棱柱的主（正）视图是长为，宽为2的矩形，则它的外接球的表面积等于（）A．16π B．12π C．8π D．4π11．已知A是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线上一点，G是△PF1F2的重心，若=λ，则双曲线的离心率为（）A．3 B．2C．4 D．与λ的取值有关12．已知函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=（30.3）f（30.3），b=（logπ3）f（logπ3），c=（log3）f（log3），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸上.）13．设sin （+θ）=，则sin2θ= ．14．从抛物线y 2=4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F ，则cos ∠MPF= ．15．已知函数f （x ）=，若f （x ）﹣kx 有三个零点，则k 的取值范围为 ．16．在△ABC 中，A=30°，BC=2，D 是AB 边上的一点，CD=2，△BCD 的面积为4，则AC 的长为 ．三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．设数列{}a n 的前n 项和为s n ，a 1=1，a n ＞0，4s n =（a n +1）2，n ∈N +． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n 项和s n ．18．由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从某中学随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检査得到每个学生的视力状况的茎叶图（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）如图：（Ⅰ）若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”，求校医从这16人中随机选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；（Ⅱ）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“好视力”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望．19．如图，已知四棱锥P ﹣ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC=60°，E ，F 分别是BC ，PC 的中点． （Ⅰ）证明：AE ⊥PD ；（Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为，求二面角E ﹣AF﹣C 的余弦值．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于A，B两点，设P为椭圆上一点，且满足+=t（O为坐标原点），当|﹣|＜时，求实数t取值范围．21．已知函数f（x）=x2﹣ax+（a﹣1）lnx，a＞1．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）证明：若a＜5，则对任意x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，有．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1；几何证明选讲]22．已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过A 点作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1（1）证明：AC平分∠BAD；（2）求BC的长．[选修4-4；坐标系与参数方程]23．在直角坐标系中，直线l的参数方程为t为参数）．若以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求直线l被曲线C所截得的弦长．[选修4-5；不等式选讲]24．（2014长春四模）已知a＞0，b＞0，且a2+b2=，若a+b≤m恒成立，（Ⅰ）求m的最小值；（Ⅱ）若2|x﹣1|+|x|≥a+b对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围．2015-2016学年河北省唐山市开滦二中高三（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.）1．已知集合A={x|log2x＜1}，B={x|x2+x﹣2＜0}，则A∪B（）A．C．【分析】分别求解对数不等式及一元二次不等式化简A，B，再由并集运算得答案．【解答】解：∵A={x|log2x＜1}={x|0＜x＜2}，B={x|x2+x﹣2＜0}={x|﹣2＜x＜1}，∴A∪B={x|0＜x＜2}∪{x|﹣2＜x＜1}=（﹣2，2）．故选：C．【点评】本题考查并集及其运算，考查了对数不等式及一元二次不等式的解法，是基础题．2．若复数z满足，则z的共轭复数的虚部是（）A．B．C．D．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：满足，∴﹣i（﹣i），∴z=，∴=i．则z的共轭复数的虚部是．故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了计算能力，属于基础题．3．已知p：m﹣1＜x＜m+1，q：（x﹣2）（x﹣6）＜0，且q是p的必要不充分条件，则m 的取值范围是（）A．3＜m＜5 B．3≤m≤5 C．m＞5或m＜3 D．m≥5或m≤3【分析】先解（x﹣2）（x﹣6）＜0得2＜x＜6，而根据q是p的必要不充分条件便得到，解该不等式组即得m的取值范围．【解答】解：p：m﹣1＜x＜m+1，q：2＜x＜6；∵q是p的必要不充分条件；即由p能得到q，而q得不到p；∴，∴3≤m≤5；∴m的取值范围是[3，5]．故选B．【点评】考查解一元二次不等式，以及必要条件，充分条件，必要不充分条件的概念．4．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是（）A．2或2B．2或﹣2C．﹣2或﹣2D．2或﹣2【分析】分x2=8和x3=8时两种情况加以讨论，解方程并比较x2与x3的大小，最后综合即可得到本题的答案．【解答】解：根据程序框图中的算法，得输出的结果可能是x2或x3，①当输出的8是x2时，x可能等于±2∵x2≥x3，∴x≤0，此时x=﹣2；②当输出的8是x3时，x可能等于±2∵x2＜x3，∴x＞0，此时x=2综上所述，得输入的x=2或﹣2故选：D【点评】本题以程序框图为载体，求方程的解x值，着重考查了算法语句与方程、不等式解法等知识，属于基础题．5．设变量x，y满足约束条件则z=3x﹣2y的最大值为（）A．0 B．2 C．4 D．3【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=3x﹣2y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z=3x﹣2y过点D时，在y轴上截距最小，z最大由D（0，﹣2）知z max=4．故选C．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．6．曲线y=xlnx在点（e，e）处的切线与直线x+ay=1垂直，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣【分析】先求出已知函数y在点（e，e）处的斜率，再利用两条直线互相垂直，斜率之间的关系求出未知数a．【解答】解：y′=1+lnx，令x=e解得在点（e，e）处的切线的斜率为2∵切线与直线x+ay=1垂直∴2×（﹣）=﹣1，解得a=2故选A．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及导数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率，两直线垂直斜率乘积为﹣1，属于基础题．7．世博会期间，某班有四名学生参加了志愿工作．将这四名学生分配到A、B、C三个不同的展馆服务，每个展馆至少分配一人．若甲要求不到A馆，则不同的分配方案有（）A．36种B．30种C．24种D．20种【分析】根据题意中甲要求不到A馆，分析可得对甲有2种不同的分配方法，进而对剩余的三人分情况讨论，，①其中有一个人与甲在同一个场馆，②没有人与甲在同一个场馆，易得其情况数目，最后由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，首先分配甲，有2种方法，再分配其余的三人：分两种情况，①其中有一个人与甲在同一个场馆，有A33=6种情况，②没有人与甲在同一个场馆，则有C32A22=6种情况；则若甲要求不到A馆，则不同的分配方案有2×（6+6）=24种；故选C．【点评】本题考查排列、组合的综合运用，注意题意中“每个展馆至少分配一人”这一条件，再分配甲之后，需要对其余的三人分情况讨论．8．为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【分析】利用y=sin2x=cos（2x﹣）及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可选得答案．【解答】解：∵y=sin2x=f（x）=cos（2x﹣），∴f（x+）=cos[2（x+）﹣]=cos（2x+），∴为得到函数y=cos（2x+），的图象，只需将函数y=sin2x的图象向左平移个长度单位；故选C．【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查诱导公式的应用，属于中档题．9．设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足，，则=（）A．20 B．15 C．9 D．6【分析】根据图形得出=+=，==，=（）=2﹣，结合向量结合向量的数量积求解即可．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，点M、N满足，，∴根据图形可得：=+=，==，∴=，∵=（）=2﹣，2=22，=22，||=6，||=4，∴=22=12﹣3=9故选：C【点评】本题考查了平面向量的运算，数量积的运用，考查了数形结合的思想，关键是向量的分解，表示．10．一个正三棱柱的主（正）视图是长为，宽为2的矩形，则它的外接球的表面积等于（）A．16π B．12π C．8π D．4π【分析】连接上下底面中心，连接它的中点和棱柱的顶点，就是球的半径，求出球的表面积即可．【解答】解：正三棱柱的底面边长是，高为2，球心在两个底面中心连线的中点O，球的半径是OA，则AD=OD=1，OA=外接球的表面积是：4πR2=8π故选C．【点评】本题考查球的内接体问题，求出球心和半径，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．11．已知A是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线上一点，G是△PF1F2的重心，若=λ，则双曲线的离心率为（）A．3 B．2C．4 D．与λ的取值有关【分析】由题意，PG=2GO，GA∥PF1，可得2OA=AF1，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意，PG=2GO，GA∥PF1，∴2OA=AF1，∴2a=c﹣a，∴c=3a，∴e==3．故选：A．【点评】本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，比较基础．12．已知函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=（30.3）f（30.3），b=（logπ3）f（logπ3），c=（log3）f（log3），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b【分析】由函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，知f（x）为奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立，所以xf（x）为减函数，由此能判断a，b，c的大小关系．【解答】解：∵当x∈（﹣∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，即：（xf（x））′＜0，∴xf（x）在（﹣∞，0）上是减函数．又∵函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，∴函数y=f（x）是定义在R上的奇函数∴xf（x）是定义在R上的偶函数∴xf（x）在（0，+∞）上是增函数．又∵30.3＞1＞log23＞0＞=﹣2，2=﹣，∴（﹣）f（﹣）＞30.3f（30.3）＞（logπ3）f（logπ3），即（）f（）＞30.3f（30.3）＞（logπ3）f（logπ3）即：c＞a＞b故选B．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意对数函数性质的合理运用．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸上.）13．设sin（+θ）=，则sin2θ=﹣．【分析】利用两角和的正弦公式可得+=，平方可得+sin2θ=，由此解得sin2θ的值．【解答】解：∵sin（+θ）=，即+=，平方可得+sin2θ=，解得sin2θ=﹣，故答案为﹣．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角的正弦的应用，属于基础题．14．从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则cos∠MPF=．【分析】根据抛物线y2=4x，确定焦点坐标与准线方程，利用抛物线的定义，求出P的坐标，利用向量求解cos∠MPF．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为F（1，0），准线方程为x=﹣1根据抛物线的定义，∵|PM|=5，∴不妨设P（4，4）∴，∴cos∠MPF===故答案为：【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查向量知识的运用，确定点P的坐标是关键．15．已知函数f（x）=，若f（x）﹣kx有三个零点，则k的取值范围为．【分析】由题意画出图象，利用导数对x分x=0、x＜0、x＞0三种情况各有一个零点时的k 的取值范围求出来，再求交集即可．【解答】解：由题意画出图象：（1）当x=0时，f（0）=ln1=0，k×0=0，0是函数f（x）﹣kx的一个零点；（2）由函数的图象和单调性可以看出，当x＞0和x＜0时，分别有一个零点．①．当x＜0时，由，化为＜0，解得；②当x＞0时，只考虑即可，令g（x）=ln（x+1）﹣kx，则，A．当k≥1时，则g′（x）＜0，即g（x）在（0，+∞）上单调递减，∴g（x）＜g（0）=0，g（x）无零点，应舍去；B．当时，，g′（x）=，令g′（x）=0，解得，列表如下：由表格可知：当时，g（x）取得极大值，也是最大值，当且仅当时，g（x）才有零点，==k﹣lnk﹣1．下面证明h（k）=k﹣lnk﹣1＞0，．∵=，∴h（k）在上单调递减，∴=h（k）＞h（1）=1﹣ln1﹣1=0，因此0在时成立．综上可知：当且仅当时，函数f（x）﹣kx有三个零点．【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值和最值的方法及数形结合、分类讨论的思想方法是解题的关键．16．在△ABC中，A=30°，BC=2，D是AB边上的一点，CD=2，△BCD的面积为4，则AC的长为或2．【分析】由△BCD的面积为4，求得sin∠BCD 的值，进而求得cos∠BCD 的值，△BCD 中，由余弦定理可得BD 的值，△BCD中，由正弦定理求得sinB 的值．再在△ABC中，由正弦定理求得AC的长．【解答】解：由题意可得CBCDsin ∠BCD=4，即×2×2 sin ∠BCD=4，解得sin ∠BCD=．①当∠BCD 为锐角时，cos ∠BCD=．△BCD 中，由余弦定理可得 BD==4．△BCD 中，由正弦定理可得，即，故 sinB=．在△ABC 中，由正弦定理可得，即，解得 AC=4．②当∠BCD 为钝角时，cos ∠BCD=﹣．△BCD中，由余弦定理可得 BD==4．△BCD 中，由正弦定理可得，即，故 sinB=．在△ABC 中，由正弦定理可得，即，解得 AC=2．综上可得 AC=4或2，故答案为 4或2． 【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，判断三角形的形状的方法，体现了分类讨论的数学思想，讨论∠BCD 为锐角和钝角两种情况，是解题的易错点，是一个中档题目．三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．设数列{}a n 的前n 项和为s n ，a 1=1，a n ＞0，4s n =（a n +1）2，n ∈N +． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n 项和s n ．【分析】（I ）由题意利用a n =s n ﹣s n ﹣1可建立a n 与a n ﹣1之间的递推关系，然后结合等差数列的通项公式可求a n ，（II ）由（I ）可求a n ，结合数列的项的特点，考虑利用错位相减求和可求【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=s1=，解a1=1，与已知相符．当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=整理得：即（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0因为a n＞0，所以a n﹣a n﹣1=2所以数列{a n}是以1为首项，2为公差的等差数列所以a n=2n﹣1（Ⅱ）由（Ⅰ）得=所以=两式相减得：===所以【点评】本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式及数列的错位相减求和方法的应用．18．由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从某中学随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检査得到每个学生的视力状况的茎叶图（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）如图：（Ⅰ）若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”，求校医从这16人中随机选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；（Ⅱ）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“好视力”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望．【分析】（1）由题意知本题是一个古典概型，至多有1人是“好视力”包括有一个人是好视力和有零个人是好视力，根据古典概型公式得到结果（2）由于从该校任选3人，记ξ表示抽到“好视力”学生的人数，得到变量的可能取值是0、1、2、3，结合变量对应的事件，算出概率，写出分布列和期望【解答】解：（1）设A i表示所取的3人中有i个人是“好视力”，设事件A：至多有一个人是“好视力”则P（A）=P（A0）+P（A1）=（2）每个人是“好视力”的概率为ξ的可能取值为0、1、2、3∴ξ的分布列为期望为Eξ=【点评】本题考查茎叶图和离散型随机变量的概率．要求会读茎叶图，掌握互斥事件的概率加法公式和n次独立实验的概率求法．确定变量的取值，正确求概率是关键．属简单题19．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．（Ⅰ）证明：AE⊥PD；（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E﹣AF ﹣C的余弦值．【分析】（1）要证明AE⊥PD，我们可能证明AE⊥面PAD，由已知易得AE⊥PA，我们只要能证明AE⊥AD即可，由于底面ABCD为菱形，故我们可以转化为证明AE⊥BC，由已知易我们不难得到结论．（2）由EH与平面PAD所成最大角的正切值为，我们分析后可得PA的值，由（1）的结论，我们进而可以证明平面PAC⊥平面ABCD，则过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E﹣AF﹣C的平面角，然后我们解三角形ASO，即可求出二面角E﹣AF﹣C的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形．因为E为BC的中点，所以AE⊥BC．又BC∥AD，因此AE⊥AD．因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE．而PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD．又PD⊂平面PAD，所以AE⊥PD．解：（Ⅱ）设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH．由（Ⅰ）知AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角．在Rt△EAH中，，所以当AH最短时，∠EHA最大，即当AH⊥PD时，∠EHA最大．此时，因此．又AD=2，所以∠ADH=45°，所以PA=2．因为PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD．过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E﹣AF﹣C的平面角，在Rt△AOE中，，，又F是PC的中点，在Rt△ASO中，，又，在Rt△ESO中，，即所求二面角的余弦值为．【点评】求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠ESO为二面角E﹣AF﹣C的平面角，通过解∠AOC所在的三角形求得∠ESO．其解题过程为：作∠ESO→证∠ESO是二面角的平面角→计算∠ESO，简记为“作、证、算”．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于A，B两点，设P为椭圆上一点，且满足+=t（O为坐标原点），当|﹣|＜时，求实数t取值范围．【分析】（Ⅰ）由题意知，所以．由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）由题意知直线AB的斜率存在．设AB：y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），由得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0再由根的判别式和嘏达定理进行求解．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，所以．即a2=2b2．（2分）又因为，所以a2=2，故椭圆C的方程为．（4分）（Ⅱ）由题意知直线AB的斜率存在．设AB：y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），由得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0．△=64k4﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0，．（6分），∵∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y），∴，∵点P在椭圆上，∴，∴16k2=t2（1+2k2）．（8分）∵＜，∴，∴∴，∴（4k2﹣1）（14k2+13）＞0，∴．（10分）∴，∵16k2=t2（1+2k2），∴，∴或，∴实数t取值范围为．（12分）【点评】本题考查椭圆方程的求法和求实数t取值范围．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用根的判别式和韦达定理进行解题．21．已知函数f（x）=x2﹣ax+（a﹣1）lnx，a＞1．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）证明：若a＜5，则对任意x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，有．【分析】（1）根据对数函数定义可知定义域为大于0的数，求出f′（x）讨论当a﹣1=1时导函数大于0，函数单调递增；当a﹣1＜1时分类讨论函数的增减性；当a﹣1＞1时讨论函数的增减性．（2）构造函数g（x）=f（x）+x，求出导函数，根据a的取值范围得到导函数一定大于0，则g（x）为单调递增函数，则利用当x1＞x2＞0时有g（x1）﹣g（x2）＞0即可得证．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）．（i）若a﹣1=1即a=2，则故f（x）在（0，+∞）单调增．（ii）若a﹣1＜1，而a＞1，故1＜a＜2，则当x∈（a﹣1，1）时，f′（x）＜0；当x∈（0，a﹣1）及x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0故f（x）在（a﹣1，1）单调减，在（0，a﹣1），（1，+∞）单调增．（iii）若a﹣1＞1，即a＞2，同理可得f（x）在（1，a﹣1）单调减，在（0，1），（a﹣1，+∞）单调增．（2）考虑函数g（x）=f（x）+x=则由于1＜a＜5，故g'（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）单调增加，从而当x1＞x2＞0时有g（x1）﹣g（x2）＞0，即f（x1）﹣f（x2）+x1﹣x2＞0，故，当0＜x1＜x2时，有【点评】考查学生利用导数研究函数单调性的能力，以及基本不等式证明的能力．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1；几何证明选讲]22．已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过A 点作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1（1）证明：AC平分∠BAD；（2）求BC的长．【分析】（1）推导出∠OAC=∠OCA，OC⊥CD，从而AD∥OC，由此能证明AC平分∠BAD．（2）由已知推导出BC=CE，连结CE，推导出△CDE∽△ACD，△ACD∽△ABC，由此能求出BC的长．【解答】证明：（1）∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，（2分）∵CD是圆的切线，∴OC⊥CD，（4分）∵AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠DAC=∠OCA故∠DAC=∠OAC，即AC平分∠BAD．由（1）得：，∴BC=CE，（8分）连结CE，则∠DCE=∠DAC=∠OAC，∴△CDE∽△ACD，△ACD∽△ABC∴，故．（10分）【点评】本题考查角平分线的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的简单性质的合理运用．[选修4-4；坐标系与参数方程]23．在直角坐标系中，直线l的参数方程为t为参数）．若以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求直线l被曲线C所截得的弦长．【分析】（1）曲线的极坐标方程即ρ=cosθ+sinθ，两边同乘以ρ得：ρ2=ρcosθ+ρsinθ，再根据直角坐标与极坐标的互化公式求得C的直角坐标方程．（2）将直线参数方程代入圆C的方程，利用根与系数的关系和弦长公式求得直线l被曲线C所截得的弦长．【解答】解：（1）由得：ρ=cosθ+sinθ，两边同乘以ρ得：ρ2=ρcosθ+ρsinθ，∴x2+y2﹣x﹣y=0，即．（2）将直线参数方程代入圆C的方程得：5t2﹣21t+20=0，∴．∴．【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线的参数方程，弦长公式的应用，属于基础题．[选修4-5；不等式选讲]24．（2014长春四模）已知a＞0，b＞0，且a2+b2=，若a+b≤m恒成立，（Ⅰ）求m的最小值；（Ⅱ）若2|x﹣1|+|x|≥a+b对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围．【分析】（Ⅰ）变形已知表达式，利用柯西不等式，求出a+b的最大值，即可求m的最小值；（Ⅱ）通过2|x﹣1|+|x|≥a+b对任意的a，b恒成立，结合（Ⅰ）的结果，利用x的范围分类讨论，求出实数x的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且a2+b2=，∴9=（a2+b2）（12+12）≥（a+b）2，∴a+b≤3，（当且仅当，即时取等号）又∵a+b≤m恒成立，∴m≥3．故m的最小值为3．…（4分）（II）要使2|x﹣1|+|x|≥a+b恒成立，须且只须2|x﹣1|+|x|≥3．∴或或∴或．…（7分）【点评】本题考查绝对值不等式的解法，函数恒成立的应用，考查计算能力．。

2015-2016学年江西省宜春市上高二中高三(上)12月月考数学试卷（理科）一、选择题1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0，x∈R｝，B=｛y|y2﹣3y＜0,y∈Z}，则A∩B=（）A．∅B．｛x｜0＜x≤2｝C．｛x|0＜x≤1｝D．｛x|1≤x≤2，x∈Z｝2．“a=1”是“函数y=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．在复平面内，复数z=的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．4．定积分dx的值为()A．B．C．πD．2π5．已知函数f（x）=sin(ωx+φ）（ω＞0，｜φ｜＜）的最小正周期为π，且其图象向右平移个单位后得到函数g（x）=sin（ωx）的图象，则函数f（x）的图象（）A．关于直线x=对称B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称D．关于点（，0）对称6．如图，点O为坐标原点,点A(1，1），若函数y=a x（a＞0，且a≠1）及log b x（b＞0,且b≠1)的图象与线段OA分别交于点M,N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足（）A．a＜b＜1 B．b＜a＜1 C．b＞a＞1 D．a＞b＞17．已知{a n}为等比数列,a4+a7=2，a5a6=﹣8,则a1+a10=(）A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣78．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a7=9a3，则=（）A．9 B．5 C．D．9．下列函数既是奇函数，又在区间[﹣1，1］上单调递减的是（）A．f（x)=sinx B．f（x)=lnC．f（x)=﹣｜x+1| D．f（x）=10．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a(0＜a＜1）的所有零点之和为（)A．3a﹣1 B．1﹣3a C．3﹣a﹣1 D．1﹣3﹣a11．设函数f（x）=e x+2x﹣4，g(x)=lnx+2x2﹣5，若实数a，b分别是f（x），g（x）的零点,则（）A．g(a）＜0＜f(b)B．f(b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b) D．f（b)＜g（a）＜012．已知f（x）是定义域为R的奇函数，若∀x∈R，f′（x）＞﹣2，则不等式f（x﹣1）＜x2（3﹣2lnx）+3（1﹣2x)的解集是（）A．（0，1) B．（1，+∞）C．（，+∞）D．（，1）二、填空题13．在△ABC中，点O在线段BC的延长线上，且｜|=3|｜,当=,则x﹣y=．14．+=．15．设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是．16．已知数列｛a n｝中,a1=1，S n是数列{a n}的前n项和,对任意n≥2,均有3S n﹣4、a n、2﹣成等差数列，则数列｛a n}的通项公式a n=．三、解答题17．在△ABC中，角A,B，C所对的边分别为Aa,b，c，且满足=（1）若4sinC=c2sinB，求△ABC的面积；（2）若+=4，求a的最小值．18．已知等差数列{a n}的前5项和为105，且a10=2a5,对任意m∈N＊，将数列{a n｝中不大于72m 的项的个数记为b m．（1）求数列{a n｝，{b n}的通项公式；（2）设c n=a n•b n求数列｛c n}的前n项和S n．19．已知向量=（2sinx，sinx),=（sinx，2cosx)，函数f(x）=•．（Ⅰ）求函数f（x)的单调递增区间；(Ⅱ）在△ABC中,内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acosB=bcosC+ccosB，若对任意满足条件的A,不等式f(A）＞m恒成立，求实数m的取值范围．20．已知由整数组成的数列{a n｝各项均不为0，其前n项和为S n，且a1=a,2S n=a n a n+1．（1）求a2的值；(2）求｛a n｝的通项公式；（3）若n=15时，S n取得最小值，求a的值．21．已知函数（a∈R且a≠0)．(Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）记函数y=F（x）的图象为曲线C．设点A（x1，y1），B（x2，y2)是曲线C上的不同两点,如果在曲线C上存在点M（x0，y0），使得：①；②曲线C在M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x)存在“中值相依切线”．试问:函数f(x）是否存在“中值相依切线”，请说明理由．22．（1）解不等式x｜x﹣1|﹣2＜｜x﹣2|;（2）已知x，y，z均为正数．求证：．2015-2016学年江西省宜春市上高二中高三（上）12月月考数学试卷(理科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知集合A=｛x|x2﹣x﹣2≤0，x∈R}，B={y|y2﹣3y＜0，y∈Z｝，则A∩B=(）A．∅B．{x|0＜x≤2} C．{x|0＜x≤1} D．｛x|1≤x≤2，x∈Z｝【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想;集合．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解:由A中不等式变形得：（x﹣2)（x+1)≤0，解得：﹣1≤x≤2，即A=｛x|﹣1≤x≤2｝，由B中不等式变形得：y（y﹣3）＜0，解得：0＜y＜3，y∈Z,即B={y｜0＜y＜3,y∈Z｝,则A∩B={x|1≤x≤2，x∈Z｝,故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．“a=1"是“函数y=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】三角函数的周期性及其求法；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】化简y=cos2ax﹣sin2ax，利用最小正周期为π，求出a，即可判断选项．【解答】解：函数y=cos2ax﹣sin2ax=cos2ax，它的周期是，a=±1显然“a=1"可得“函数y=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”后者推不出前者，故选A．【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法，必要条件、充分条件与充要条件的判断,是基础题．3．在复平面内,复数z=的共轭复数的虚部为（）A．B．C． D．【考点】复数的基本概念．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z，求出,则答案可求．【解答】解:z==,∴，则复数z=的共轭复数的虚部为．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．4．定积分dx的值为（)A．B．C．πD．2π【考点】定积分．【专题】导数的概念及应用．【分析】根据的定积分的几何意义,所围成的几何图形的面积是的四分之一,计算即可．【解答】解：∵y=，∴(x﹣1）2+y2=1表示以（1，0）为圆心,以1为半径的圆，∴定积分dx所围成的面积就是该圆的面积的四分之一,∴定积分dx=，故选：A．【点评】本题主要考查了定积分的几何意义，根据数形结合的思想，属于基础题．5．已知函数f（x）=sin(ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且其图象向右平移个单位后得到函数g（x）=sin（ωx）的图象，则函数f（x)的图象(）A．关于直线x=对称B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称D．关于点（，0）对称【考点】函数y=Asin（ωx+φ)的图象变换．【专题】转化思想；综合法;三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用正弦函数的周期性，以及正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：由函数f(x）=sin（ωx+φ）（ω＞0,|φ|＜）的最小正周期为π，可得=π，求得ω=2,f(x）=sin（2x+φ）．其图象向右平移个单位后得到函数g（x）=sin（2x）的图象,故有sin［2(x﹣）+φ]=sin2x,故可取φ=，f（x）=sin（2x+）．令2x+=kπ+，k∈Z,求得x=+，故函数f（x）的图象的对称轴方程为x=+，k∈Z．令2x+=kπ，k∈Z，求得x=﹣，故函数f（x)的图象的对称中心为(﹣，0），k∈Z，故选:A．【点评】本题主要考查正弦函数的周期性，以及正弦函数的图象的对称性，属于基础题．6．如图,点O为坐标原点，点A（1,1），若函数y=a x(a＞0，且a≠1）及log b x(b＞0,且b≠1)的图象与线段OA分别交于点M，N，且M,N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足（）A．a＜b＜1 B．b＜a＜1 C．b＞a＞1 D．a＞b＞1【考点】指数函数的图像与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】先由图象得到0＜a＜1，0＜b＜1，再根据反函数的定义可以得出y=a x经过点M，则它的反函数y=log a x也经过点M，根据对数函数的图象即可得到a＜b．【解答】解:由图象可知，函数均为减函数，所以0＜a＜1，0＜b＜1,因为点O为坐标原点,点A(1，1），所以直线OA为y=x，因为y=a x经过点M，则它的反函数y=log a x也经过点M,又因为log b x(b＞0,且b≠1）的图象经过点N，根据对数函数的图象和性质，∴a＜b，∴a＜b＜1故选：A．【点评】本题考查了对数函数和指数函数的图象及性质，以及反函数的概念和性质，属于基础题．7．已知｛a n}为等比数列，a4+a7=2,a5a6=﹣8,则a1+a10=(）A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣7【考点】等比数列的性质;等比数列的通项公式．【专题】计算题．【分析】由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7,进而可求公比q,代入等比数列的通项可求a1,a10,即可【解答】解:∵a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8∴a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4当a4=4，a7=﹣2时，，∴a1=﹣8，a10=1，∴a1+a10=﹣7当a4=﹣2,a7=4时，q3=﹣2，则a10=﹣8，a1=1∴a1+a10=﹣7综上可得，a1+a10=﹣7故选D【点评】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，考查了基本运算的能力．8．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a7=9a3，则=（）A．9 B．5 C．D．【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；转化思想;综合法；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项及求和公式，即可得出结论．【解答】解：∵等差数列｛a n}，a7=9a3，∴a1+6d=9（a1+2d），∴a1=﹣d,∴==9，故选：A．【点评】本题考查等差数列的通项及求和公式，考查学生的计算能力，属于中档题．9．下列函数既是奇函数，又在区间[﹣1,1]上单调递减的是(）A．f（x）=sinx B．f（x）=lnC．f(x）=﹣|x+1| D．f（x）=【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】根据正弦函数的单调性，函数导数符号和函数单调性的关系，奇函数的定义，减函数的定义即可判断每个选项的正误，从而得到正确选项．【解答】解:A．f(x）=sinx在[﹣1，1]上单调递增；B．f（x)=，解得该函数的定义域为[﹣2，2]；又f′（x)=；∴f(x)在区间[﹣1,1]上是减函数；又f（﹣x）==﹣f（x）;∴f(x）是奇函数；∴该选项正确；C．f（x）=﹣｜x+1｜,奇函数f（x）在原点有定义时f（0）=0；而这里f（0）=﹣1;∴该函数不是奇函数；D。

2016届安徽省蚌埠二中高三上学期12月月考理科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。

1．如图所示的韦恩图中，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合。

若x,y∈R，A={x|y=，B={y | y=3x,x>0），则A B为( )A、{x|0<x<2)B、{xll<x≤2)C、{x|0<x<1或x>2}D、{x|0≤x<1或x>2)2．己知命题p: x∈R，9x2-6x+l+a_b>0；命题q: x∈R ,sinx+cosx-a=0且p是q的充分非必要条件，则b的范围是( )A.（一∞，-2] B．[一2，2] C.（一∞，-2）D.[2，+∞）3．阅读右面的程序框图，则输出的k=A． 4 B．5 C．6 D．74．已知函数f(x)为偶函数，若将f(x)的图像向右平移一个单位又得到一个奇函数，若f(2)=-1，则f(1)+f(2)+…+f(2015)等于( )A．-1 B．0 C．-1003 D.10035．己知a=则展开式中，x的一次项系数为( )6．方程X=0.l+sinx的解的个数有（)个A．0 B．1 C．2 D．37．在△ABC中，设AB=6，BC=7，AC=4，O为△ABC的内心，若，则等于（）A． B. C．2 D.38．已知等差数列{a n}满足a1>0，8a s=13a l1，则前n项和S n取最大值时，n的值为( ) A．19 B.20 C．22 D．239．在边长为2的正方形ABCD中任取一点P，则△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面积均大于的概率是( )A. B. C．D．10.在半径为5的球面上有不共面的四个点A、B、C、D，且AB=CD=x，BC=DA=y，CA=BD=z，则x2+y2+z2=A．120 B．140 C．180 D．20011.己知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=l处有极值10，则f(2)+f'（2）+2等于( )A．11 B．12 C 19 D12或1912.已知焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程是：x±2y=0，双曲线上动点P到点A(5，0)的距离的最小值为6，则双曲线的准线方程是( )A. x=±55B．x=±255C．y=±55D．y=±255二。

唐山一中高二年级2016年12月份考试数学试卷（理）说明：1．考试时间120分钟，满分150分。

2．将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上,卷Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答在试卷上.。

3．Ⅱ卷卷头和答题卡均填涂本次考试的考号，不要误填学号，答题卡占后５位。

卷Ⅰ(选择题 共60分)一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分） 1．已知向量a =（1，1，0），b =（﹣1，0，2），且k a +b 与2a -b 互相垂直，则k 的值是（ ）A ．1B ．15C ．35D ．752．设函数xx ex f 32)(-=（e 为自然底数），则使f （x ）＜1成立的一个充分不必要条件是（ ）A ．0＜x ＜1B ．0＜x ＜4C ．0＜x ＜3D ．3＜x ＜43．设直线m 、n 和平面βα、,下列四个命题中，正确的是 （ ） A. 若n m n m //,//,//则αα B. 若βαββαα//,//,//,,则n m n m ⊂⊂C. 若βαβα⊥⊂⊥m m 则,,D. 若ααββα//,,,m m m 则⊄⊥⊥4．若直线2a x ＋b y －2＝0（a ，b ∈R+）平分圆x 2＋y 2－2x －4y －6＝0，则2a +1b 的最小值是（ ）A ．1B ．5C ．42D ．3+225．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 （ ）A ．(9+2π) 3 6B ．(8+2π) 3 6C ．(6+π) 3 6D ．(8+π) 3 66．如图，正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直，且AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，F ，G 分别是线段AE ，BC 的中点，则AD 与GF 所成的角的余弦值为( )A.36B ．－36 C.33D ．－337．已知F 1、F 2是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，若椭圆上存在点P 使PF 1→²PF 2→=0，则| PF 1 |•| PF 2 |= （ ）A ．b 2B ．2b 2C ．2bD ．b 8．如图，在平行六面体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，底面是边长为1的正方形，若∠A 1AB =∠A 1AD =60°，且A1A =3，则A 1C 的长为（ ）A ．5B ．2 2C ．14D ．179.下列四个结论：①若0>x ，则x x sin >恒成立；②命题“若0,0sin ==-x x x 则”的逆命题为“若0sin ,0≠-≠x x x 则”； ③“命题q p ∨为真”是“命题q p ∧为真”的充分不必要条件； ④命题“0ln ,>-∈∀x x R x ”的否定是“0ln ,000≤-∈∃x x R x ”.其中正确结论的个数是 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个10．如图，已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点分别为F 1、F 2，|F 1F 2|=4，P 是双曲线右支上一点，直线PF 2交y 轴于点A ，△A PF 1的内切圆切边PF 1于点Q ， 若|PQ |=1，则双曲线的渐近线方程为 （ ）A ．y=±33x B ．y=±3xC ．y=± 13x D ．y=±3x11．已知球的直径SC=2，A ，B 是该球球面上的两点，AB=1，∠ASC=∠BSC=30°，则棱锥S ﹣ABC 的体积为 （ ）A B C D12．如图，在正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，E 是A 1A 的中点，P 为底面ABCD 内一动点，设PD 1 、PE 与底面ABCD 所成 的角分别为φ1，φ2(φ1，φ2均不为0)．若φ1=φ2， 则动点P 的轨迹为哪种曲线的一部分. （ ）A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线卷Ⅱ(非选择题 共90分)二．填空题（共4小题，每题5分，计20分）13．曲线241x y -+=与直线4)2(+-=x k y 有两个交点，则实数k 的取值范围为___________.14．已知三棱锥D ﹣ABC 中，AB=BC=1，AD =2，BD =5，AC =2，BC ⊥AD ，则三棱锥的外接球的表面积为__________________.15．设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 、B 、C 为抛物线上不同的三点，点F 是△ABC 的重心，O 为坐标原点，△OF A 、△OFB 、△OFC 的面积分别为S 1、S 2、S 3则S 12＋S 22＋S 32=____________. 16．如图，正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD ，则下列四个命题： ①P 在直线BC 1上运动时，三棱锥A －PC D 1的体积不变；②P 在直线BC 1上运动时，直线AP 与平面AC D 1所成角的大小不变； ③P 在直线BC 1上运动时，二面角P ﹣A D 1﹣C 的大小不变；④M 是平面A 1B 1C 1D 1上到点D 和C 1距离相等的点，则M 点的轨迹是过D 1点的直线 其中真命题的个数是__________________个.三．解答题（共6小题，17-21题为必做题，22题为普通班和实验班必做，23题为英才班必做）17. （本小题满分10分）命题p ：直线3y kx =+与圆221x y +=相交于,A B 两点；命题q ：曲线2216x yk k-=-表示焦点在y 轴上的双曲线，若p q ∧为真命题，求实数k 的取值范围．18. （本小题满分12分）已知圆224x y += 上一定点A （2，0），B （1，1）为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． （1）求线段AP 中点的轨迹方程；（2）若∠PBQ=90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．19. （本小题满分12分）已知三棱柱111C B A ABC -，底面三角形ABC 为正三角形，侧棱⊥1AA 底面ABC ，4,21==AA AB ，E 为1AA 的中点，F 为BC 的中点（1）求证：直线//AF 平面1BEC （2）求C 到平面1BEC 的距离.20.如图，在多面体ABCDE 中，DB ⊥平面ABC ，AE ∥DB ，且△ABC 是边长为2的等边三角形，AE=1， CD 与平面ABDE 所成角的正弦值为．（1）若F 是线段CD 的中点，证明：EF ⊥面DBC ； （2）求二面角D ﹣EC ﹣B 的平面角的余弦值．21. （本小题满分12分）已知圆22:4O x y +=，点A ，以线段AB 为直径的圆内切于圆O ，记点B 的轨迹为Γ.（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）直线AB 交圆O 于C ，D 两点，当B 为CD 中点时，求直线AB 的方程.22. （普通班和实验班必做，本小题满分12分）已知抛物线2:4C x y =,过焦点F 的直线l 与抛物线交于A,B 两点(A 在第一象限). (Ⅰ)当2OFA OFB S S ∆∆=时,求直线l 的方程;(Ⅱ)过点()22,A t t 作抛物线C 的切线1l 与圆()2211x y ++=交于不同的两点M,N,设F 到1l 的距离为d,求MNd的取值范围 23.（英才班必做，本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，直线y=x被椭圆C截得的线段长为．（ I）求椭圆C的方程．（Ⅱ）直线l是圆O：x2+y2=r2的任意一条切线，l与椭圆C交于A、B两点，若以AB为直径的圆恒过原点，求圆O的方程，并求出|AB|的取值范围．一．选择题：DADDD ABABD AB二．填空题 13.53,124⎛⎤⎥⎝⎦14.6π 15.3 16.(1)(3)(4)三．解答题17.解：∵命题p：直线y=kx+3与圆x2+y2=1相交于A，B两点，∴圆心到直线的距离，∴，（4分）∵命题q：曲线﹣=1表示焦在y轴上的双曲线，∴，解得k＜0，（8分）∵p∧q为真命题，∴p，q均为真命题，∴，解得k＜﹣2．（10分）18.解：（1）设AP中点为M（x，y），由中点坐标公式可知，P点坐标为（2x﹣2，2y）∵P点在圆x2+y2=4上，∴（2x﹣2）2+（2y）2=4．故线段AP中点的轨迹方程为（x﹣1）2+y2=1．（2）设PQ的中点为N（x，y），在Rt △PBQ 中，|PN|=|BN|， 设O 为坐标原点，则ON ⊥PQ ， 所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2， 所以x 2+y 2+（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=4．故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2+y 2﹣x ﹣y ﹣1=0． 19.20.解：（1）证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OD ．∵DB ⊥平面ABC ，DB ⊂面ABD ，根据直线和平面垂直的判定定理得，面ABD ⊥平面ABC ． 取AB 的中点O ，连结OC ，OD ． ∵△ABC 是等边三角形，∴OC ⊥AB ，根据平面和平面垂直的性质定理得则OC ⊥面ABD ， ∴OD 是CD 在平面ABDE 上的射影， ∴∠CDO 即是CD 与平面ABDE 所成角．////////∴sin∠CDO=，而OC=，∴CD=2，∴BD=2．取ED的中点为M，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OM为z轴建立如图空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），，取BC的中点为G，则G（，，0），则AG⊥面BCD，因为，所以，所以EF⊥面DBC．（2）解：由上面知：BF⊥面DEC，又，取平面DEC的一个法向量设平面BCE的一个法向量，则又，所以，令x=1，则y=，z=2．由此得平面BCE的一个法向量．则，所以二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值为．21.其中，a＝2，c=b＝1，则曲线Γ的方程为2214xy+=．…5分+=．…12分yy-=022.解:(1),.设,,则, 故,.因此直线l的方程为.(2)因为,因此,故切线的方程为,化简得,则圆心到的距离为,且,故.则,则点F到的距离,则,令,. 则,故.23.解：（Ⅰ）椭圆方程+=1（a＞b＞0），a2=b2+c2，∵，∴a2=2c2，∴a2=2b2，设直线与椭圆交于P，Q两点．不妨设P点为直线和椭圆在第一象限的交点，又∵弦长为，∴，∴，又a2=2b2，解得a2=8，b2=4，∴椭圆方程为．（Ⅱ）（i）当切线l的斜率不存在时，设x=r（或x=﹣r），代入椭圆方程得：y=±∴A（r，），B（r，﹣），∵以AB为直径的圆恒过原点，∴⊥，∴r2﹣=0，∴r2=，∴圆O的方程为x2+y2=，此时|AB|=2=（同理当x=﹣r时，上述结论仍然成立），（ii）当切线l的斜率存在时，设l方程为：y=kx+m，∵l与圆O相切∴=r，即m2=（1+k2）r2，将直线方程代入椭圆方程并整理得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，①△=8k2+4﹣m2＞0，②设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程①的两个解，由韦达定理得：x1+x2=﹣，x1x2=，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，∵以AB为直径的圆恒过原点，∴⊥，∴x1x2+y1y2=0，∴+=0，∴3m2﹣8﹣8k2=0，3m2=8（1+k2），又∵m2=（1+k2）r2，∴3（1+k2）r2=8（1+k2），∴r2=，此时m2=（1+k2），代入②式后成立，∴圆O的方程为x2+y2=，此时|AB|=•，=•，=••，=••，=•，=•，=•；（i）若k=0，则|AB|=，（ii）若k≠0，则|AB|=•∈（，2]，综上，圆O的方程为x2+y2=，|AB|的取值范围是[，2]．四．选择题：DADDD ABABD AB五．填空题 13.53,124⎛⎤⎥⎝⎦14.6π 15.3 16.(1)(3)(4)六．解答题17.解：∵命题p：直线y=kx+3与圆x2+y2=1相交于A，B两点，∴圆心到直线的距离，∴，（4分）∵命题q：曲线﹣=1表示焦在y轴上的双曲线，∴，解得k＜0，（8分）∵p∧q为真命题，∴p，q均为真命题，∴，解得k＜﹣2．（10分）18.解：（1）设AP中点为M（x，y），由中点坐标公式可知，P点坐标为（2x﹣2，2y）∵P点在圆x2+y2=4上，∴（2x﹣2）2+（2y）2=4．故线段AP中点的轨迹方程为（x﹣1）2+y2=1．（2）设PQ的中点为N（x，y），在Rt△PBQ中，|PN|=|BN|，设O为坐标原点，则ON⊥PQ，所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2，所以x2+y2+（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2﹣x﹣y﹣1=0．19.////20.解：（1）证明：取AB的中点O，连结OC，OD．∵DB⊥平面ABC，DB⊂面ABD，根据直线和平面垂直的判定定理得，面ABD⊥平面ABC．取AB的中点O，连结OC，OD．∵△ABC是等边三角形，∴OC⊥AB，根据平面和平面垂直的性质定理得则OC⊥面ABD，∴OD是CD在平面ABDE上的射影，∴∠CDO即是CD与平面ABDE所成角．∴sin∠CDO=，而OC=，∴CD=2，∴BD=2．取ED的中点为M，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OM为z轴建立如图空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），，取BC的中点为G，则G（，，0），则AG⊥面BCD，因为，所以，所以EF⊥面DBC．（2）解：由上面知：BF⊥面DEC，又，取平面DEC的一个法向量设平面BCE的一个法向量，则又，所以，令x=1，则y=，z=2．由此得平面BCE的一个法向量．则，所以二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值为．21.其中，a＝2，c=b＝1，则曲线Γ的方程为2214xy+=．…5分+=．…12分-=0yy22.解:(1),.设,,则, 故,.因此直线l的方程为.(2)因为,因此,故切线的方程为,化简得,则圆心到的距离为,且,故.则,则点F到的距离,则,令,. 则,故.23.解：（Ⅰ）椭圆方程+=1（a＞b＞0），a2=b2+c2，∵，∴a2=2c2，∴a2=2b2，设直线与椭圆交于P，Q两点．不妨设P点为直线和椭圆在第一象限的交点，又∵弦长为，∴，∴，又a2=2b2，解得a2=8，b2=4，∴椭圆方程为．（Ⅱ）（i）当切线l的斜率不存在时，设x=r（或x=﹣r），代入椭圆方程得：y=±∴A（r，），B（r，﹣），∵以AB为直径的圆恒过原点，∴⊥，∴r2﹣=0，∴r2=，∴圆O的方程为x2+y2=，此时|AB|=2=（同理当x=﹣r时，上述结论仍然成立），（ii）当切线l的斜率存在时，设l方程为：y=kx+m，∵l与圆O相切∴=r，即m2=（1+k2）r2，将直线方程代入椭圆方程并整理得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，①△=8k2+4﹣m2＞0，②设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程①的两个解，由韦达定理得：x1+x2=﹣，x1x2=，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，∵以AB为直径的圆恒过原点，∴⊥，∴x1x2+y1y2=0，∴+=0，∴3m2﹣8﹣8k2=0，3m2=8（1+k2），又∵m2=（1+k2）r2，∴3（1+k2）r2=8（1+k2），∴r2=，此时m2=（1+k2），代入②式后成立，∴圆O的方程为x2+y2=，此时|AB|=•，=•，=••，=••，=•，=•，=•；（i）若k=0，则|AB|=，（ii）若k≠0，则|AB|=•∈（，2]，综上，圆O的方程为x2+y2=，|AB|的取值范围是[，2]．。

2015～ 2016 学年度高一年级月考数学试题一、选择题 ( 本大题共 12 小题， 每题 5 分，共 60 分 . 在每题给出的四个选项中， 只有一项是切合题目要求的 )1、已知 sin0, tan0 ，则1 sin 2化简的结果为（ ）A 、 cos B、cosC、cosD、以上都不对 2、若sin(x)3，且x 2 ，则 x 等于 ()22A 、4B、7C、5D、 1136363、设 e 1 ， e 2 是平面内全部向量的一组基底，则下边四组向量中， 不可以作为基底的是 （ ）A 、 e 1 与 e 1 - e 2B、 e 1 + e 2 与 e 1 -3 e 2C 、 e 1 -2 e 2 与－ 3 e 1 +6 e 2D、 2 e 1 +3 e 2 与 e 1 -2 e 24、如图，已知AB a, ACb, BD 3DC ，用 a,b 表示 AD ，则 AD =（ ）A 、 a3 bB、 1a3 b44 4C 、 1a 1 bD 、 3a1 b 44445、若向量 a, b 知足 : a 1, a b a, 2abb, 则 b（ ）A 、 2B、2C、 1D、222AB ACBA BC CA CB ，则ABC 是（6、在 ABC 中，若 AB ）A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形7、函数 f ( x)cos( x)( x R, 0) 的最小正周期为, 为了获得函数 y f (x) 的图3象, 只要将函数 g(x)sin(x) 的图象（）3A 、向左平移 个单位长度B、向右平移 个单位长度22C 、向左平移个单位长度D、向右平移个单位长度44y 8、函数 f ( x)2 sin( x )( x R ,0,| |π 2) 的部分图象2如下图，则, 的值分别是（）- πO35π12xA 、 2,πB 、 πC 、 4,πD、 4,π32,6369、函数 f ( x)xcos x 在(0 ，＋∞ ) 内 ()A 、没有零点B、有且仅有一个零点C 、有且仅有两个零点D、有无量多个零点10、给出以下命题：①函数 ycos( 2x) 是奇函数；32②若 ,是第一象限角且 ，则 tan tan ；③ x是函数 y sin( 2x5 ) 的一条对称轴；84④ 函 数 ysin( 2x) 的图象对于点( ,0) 成中心对称．此中正确命题的序号为312（）．A、①③B 、②④C 、①④D 、②③11、已知 O 是△ ABC 内一点， OA2OB 3OC0 ，则△ AOC 与△ BOC 的面积比为（ ）A 、3B 、5C 、 2D 、 32312、如图，菱形ABCD 的边长为 2 ， A60 , M 为 DC 的中点，若 N 为菱形内随意一点（含界限），则 AMAN 的最大值为（）A 、 3B 、 2 3C 、 9D、 6二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分 )13、一个扇形的面积为4，周长为 8，则扇形的圆心角为．14、函数 f ( x) = ( 1 )|cosx| 在,上的单一减区间为 __ ___315、已知四边形 ABCD 是矩形 , AB2,AD 3, E 是线段 BC 上的动点 , F 是 CD 的中点 .若 AEF 为钝角 , 则线段 BE 长度的取值范围是 ____16、定义平面向量的一种运算：a b | a || b | sin a,b，给出以下命题：① ab b a ；② (a b)( a)b ；③ (a b )c ( a c) (bc ) ；④若a ( x 1 , y 1 ),b ( x 2 , y 2 )，则a b | x 1 y 2 x 2 y 1 |。

上海交通大学附属中学2016-2017学年度第一学期高二数学月考试卷2016.12一. 填空题1. 124312⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭2. △ABC 顶点(0,0)A 、(1,2)B 、(3,1)C -，则该三角形面积为3. 已知方程22146x y k k+=-+表示椭圆，则实数k 的取值范围是 4. 若关于,x y 的二元一次方程组12ax y a x ay a+=+⎧⎨+=⎩无解，则a =5. 已知点F 是抛物线24y x =的焦点，M 、N 是该抛物线上两点，||||6MF NF +=， 则MN 中点的横坐标为6. 过原点的直线l 与双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左右两支分别相交于A 、B 两点，(F 是双曲线的左焦点，若||||4FA FB +=，0FA FB ⋅=，则双曲线的方程是7. 点(1,1)M 到抛物线2y ax =的准线的距离是2，则a =8. △ABC 外接圆半径为1，圆心为O ，3450OA OB OC ++= ，则OC AB ⋅=9. 已知圆22:(1)(1)4M x y -+-=，直线:60l x y +-=，A 为直线l 上一点，若圆M 上 存在两点B 、C ，使得60BAC ︒∠=，则点A 横坐标取值范围是10. 已知1F 、2F 分别是椭圆2214x y +=的两焦点，点P 是该椭圆上一动点，则12PF PF ⋅ 的取值范围是11. 若直线240ax by -+=(0,0)a b >>被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4， 则ab 的最大值是12. 已知1F 、2F 分别为椭圆2214x y +=左右焦点，点P 在椭圆上，12||PF PF += ， 则12F PF ∠=13. 已知20a b ab +-=(0,0)a b >>，当ab 取得最小值时，曲线||||1x x y y a b-=上的点到直线y =的距离的取值范围是14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:16O x y +=，点(2,2)P ，M 、N 是圆O 上相异两点，且PM PN ⊥，若PQ PM PN =+ ，则||PQ的取值范围是二. 选择题15. 若(2,3)a = ，(4,7)b =-，则a 在b 方向上的投影为（ ）D. 16. 已知过定点(2,0)P 的直线l与曲线y =相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为（ ）A. 150︒B. 135︒C. 120︒D. 不存在17. 已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左右焦点分别为1F 、2F ，点O 为双曲线的中心，点P 在双曲线右支上，△12PF F 内切圆的圆心为Q ，圆Q 与x 轴相切于点A ，过2F 作直线PQ 的垂线，垂足为B ，则下列结论中成立的是（ ） A. ||||OA OB > B. ||||OA OB < C. ||||OA OB = D. ||OA 、||OB 大小关系不确定18. 若椭圆2212211:1x y C a b +=11(0)a b >>和椭圆2222222:1x y C a b +=22(0)a b >>的焦点相同，且12a a >，给出如下四个结论：① 椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点；②1122a b a b >； ③ 22221212a ab b -=-；④ 1212a a b b -<-；其中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④三. 解答题19. 已知,x y 满足约束条件10230x y x y --≤⎧⎨--≥⎩，当目标函数z ax by =+(0,0)a b >>在该约束条件下取到最小值22a b +最小值；20. 已知△ABC的三边长||AB =||4BC =，||1AC =，动点M 满足CM =CA CB λμ+ ，且14λμ=；（1）求cos ACB ∠；（2）求||CM最小值；21. 双曲线2222:1x y E a b-=(0,0)a b >>；（1）点1(,0)A a -、2(,0)A a ，动点P 在E 上，作11AQ A P ⊥，22A Q A P ⊥，求点Q 的 轨迹方程；（2）点00(,)M x y 、00(,)N x y --为E 上定点，点P 为E 上动点，作MP MQ ⊥，NP NQ ⊥，求Q 的轨迹方程；22. 两圆221111:0C x y D x E y F ++++=（圆心1C ，半径1r ），与2222:C x y D x +++ 220E y F +=（圆心2C ，半径2r ）不是同心圆，方程相减（消去二次项）得到的直线 121212:()()0l D D x E E y F F -+-+-=叫做圆1C 与圆2C 的根轴；（1）求证：当1C 与2C 相交于,A B 两点时，AB 所在直线为根轴l ；（2）对根轴上任意点P ，求证：22221122||||PC r PC r -=-；（3）设根轴l 与12C C 交于点H ，12||C C d =，求证：H 分12C C 的比2221222212d r r d r r λ+-=-+；23. 已知椭圆2222:1x y E a b+=(0)a b >>上动点P 、Q ，O 为原点；（1）若2222||||OP OQ a b +=+，求证：||OP OQ k k ⋅为定值； （2）点(0,)B b ，若BP BQ ⊥，求证：直线PQ 过定点； （3）若OP OQ ⊥，求证：直线PQ 为定圆的切线；参考答案一. 填空题 1. 810⎛⎫⎪⎝⎭2. 72 3. (6,1)(1,4)--- 4. 1- 5. 2 6.2212x y -= 7. 112-或14 8. 15- 9. [1,5] 10. [2,1]-11. 1 12. 2π 13. 14.二. 选择题15. C 16. A 17. C 18. B三. 解答题19. 4； 20.（1）12；（2 21.（1）22224a x b y a -=；（2）2222222200a xb y a x b y -=-； 22. 略； 23. 略；。

2015—2016学年度上学期12月月考 高二（17届）数学试题（理科）说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分2.客观题涂在答题卡上，主观题答在答题纸上第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 集合{|lg 0}M x x =>，2{|4}N x x =≤，则M N = （ ） A ． (1,2) B ． [1,2) C ． (1,2] D ．[1,2]2. 复数)()2(2为虚数单位i ii z -=,则=||z （ ）A ．25B ．C ．5D ．3. 已知2log 3log a =+2log 9log b =-，3log 2c =则的大小关系是A ． a b c =<B ．a b c =>C ．a b c <<D ． a b c >> （ ）4. 已知直线l 、m ，平面α，且m ⊂α，则l ∥m 是l ∥α的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5. 已知A 、B 、C 是圆O ： x 2＋y 2＝r 2上三点，且，则等于（ ）A ．0 B.12 C.32 D ．－326. 函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x·f (x )>e x＋1的解集为（ ）A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1，或x >1}D ．{x |x <－1，或0<x <1} 7. 函数f (x )＝x －a x 在x ∈[1,4]上单调递减，则实数a 的最小值为 （ ）A ．1B ．2C ．4D ．58.已知等比数列{a n }的公比q ＝2，它的前9项的平均值等于5113，若从中去掉一项a m ，剩下的8项的平均值等于14378，则m 等于 （ ）A ．5B ．6C ．7D ．89. 存在两条直线x ＝±m 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)相交于A 、B 、C 、D 四点，若四边形ABCD 为正方形，则双曲线的离心率的取值范围为 （ ）A ．(1，2)B ．(1，3)C ．(2，＋∞)D ．(3，＋∞) 10.已知数列{an }的各项均为正数，如图给出程序框图，当k ＝5时，输出的S ＝511，则数列{a n }的通项公式为（ ）A ．a n ＝2n －1B ． a n ＝2nC ．a n ＝2n ＋1D ．a n ＝2n －311. 若抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，准线是l ，则经过点F 和M (4,4)且与l 相切的圆共有 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个12. 已知双曲线221916x y -=，过其右焦点F 的直线交双曲线于,P Q 两点，PQ 的垂直平分线交x 轴于点M ，则MF PQ的值为 （ ）A ．53 B ．56 C ．54 D ．58第Ⅱ卷 （非选择题 共90分） 二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 若关于x 的不等式m (x －1)>x 2－x 的解集为{x |1<x <2}，则实数m 的值为________． 14.已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若7＋a t ＝7a t， (a 、t 均为正实数)，则类比以上等式，可推测a 、t 的值，a ＋t ＝________.15.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )＝5＋cos x ，x ∈(－1,1)，且f (0)＝0，如果f (1－x )＋f (1－x 2)<0，则实数x 的取值范围为________．16.已知函数22(2)e ,0,()43,0,x x x x f x x x x ⎧-=⎨-++>⎩≤()()2g x f x k =+，若函数()g x 恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围为 ．三、 解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）若函数2()sin sin cos (0)f x ax ax ax a =->的图象与直线y m =（m>0）相切，并且切点的横坐标依次成公差为2π的等差数列。