湖南省湖南师范大学附属中学2016届高三上学期第四次月考文数试题含解析

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.已知i为虚数单位，若复数i z i ⋅=，则||z =（ ）A ．1 BCD ．2【答案】C 【解析】试题分析：根据复数的运算，可知1iz i ==-，所以||z =C ．考点：复数的运算． 2.已知下面四个命题：①“若20x x -=，则0x =或1x =”的逆否命题为“0x ≠且1x ≠，则20x x -≠” ②“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件③命题:p 存在0x R ∈，使得20010x x ++<，则:p ⌝任意x R ∈，都有210x x ++≥④若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题 其中真命题个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C考点：1、命题的真假；2、逻辑关系．3.在等比数列{}n a 中，1n n a a +<，286a a ⋅=，465a a +=，则46a a 等于 （ ） A ．56B ．65C ．23 D ．32【答案】D 【解析】试题分析：由已知：465a a +=，466a a ⋅=，即4a ，6a 为方程2560x x -+=的两解．由于1n n a a +<，所以43a =，62a =，∴4632a a =．故选D ． 考点：1、等比数列的性质；2、方程的解．4.某程序框图如图所示，若输出的57S =，则判断框内为（ ）A ．4?k >B ．5?k >C ．6?k >D ．7?k > 【答案】A考点：1、程序流程图；2、循环结构．5.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cA b<，则ABC ∆为（ ） A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【答案】A 【解析】试题分析：根据定理：sin cos sin c C A b B =<，那么sin sin cos C B A <，根据A B C π++=，所以sin sin()C A B =+，所以sin()sin cos A B B A +<，整理为：sin cos 0A B <，三角形中sin 0A >，所以cos 0B <，那么2B ππ<<．考点：．1、正弦定理；2、三角形形状的判定.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积等于（ ） A．8+ B．11+ C．14+ D ．15【答案】A考点：1、空间几何体的三视图；2、柱体体积的计算．7.已知平面上不重合的四点,,,P A B C 满足0PA PB PC ++=，且0A B A C mA P ++=，那么实数m 的值为（ ） A ．2 B ．3-C ．4D ．5 【答案】B 【解析】试题分析：由题可知，根据向量的减法有，AB PB PA =-，AC PC PA =-，于是有()()PB PA PC PA mPA -+-=，故(2)0m PA PB PC --++=，又因为0PA PB PC ++=，所以21m --=，即3m =-．故选B ． 考点：向量的线性运算．8.一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（ ） A ．964B ．12C ．164D ．18【答案】D 【解析】试题分析：根据几何概型，小蜜蜂安全飞行的轨迹为棱长为2的正方体内部，所以所求的概率：332814648P ===，故选D ．考点：几何概型．9.．关于x 的不等式220x ax +-<在区间[1,4]上有解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,1)-∞ B ．(,1]-∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞【答案】A考点：1、不等式的解集； 2、函数的单调性．10.如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，1212,,,A A B B 为椭圆顶点，2F 为右焦点，延长12B F 与22A B 交于点P ，若12B PA ∠为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）A．⎫⎪⎪⎝⎭B．⎛ ⎝⎭ C．⎛ ⎝⎭ D．⎫⎪⎪⎝⎭【答案】D 【解析】试题分析：由题意，两个向量2122,F B B A 的夹为角钝角；21(,)F B c b =--，22(,)B A a b =-，则20ac b -+<，即220a ac c --<，即210e e +->，解得12e>，即112e <<．故选D ．考点：1、向量的运算；2、椭圆的离心率．11.已知函数()ln(||1)f x x =++()(21)f x f x >-的x 的范围是（ ）A ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】A考点：1、函数的性质；2、不等式的解法．【思路点晴】本题考查函数的奇偶性、单调性，属于中档题目；先根据函数的解析式里面有绝对值和平方，得出该函数是偶函数，再根据函数在[)0,+∞上是增函数，得()(21)f x f x >-等价于()()21f x f x >-，解不等式即可求出x 的取值范围．12.定义在R 上的可导函数()f x ，当(1,)x ∈+∞时，(1)()()0x f x f x '-->恒成立，(2)a f =，1(3)2b f =，1)c f =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．c a b << B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c b a <<【答案】A 【解析】试题分析：构造函数()()1f x g x x =-，当(1,)x ∈+∞时2()(1)()()0(1)f x x f x g x x '--'=>-，即函数()g x 单调递增，∴(2)(2)(2)21f a f g ===-，1(3)(3)(3)231f b f g ===-，1)c f g ===，∴(2)(3)g g g <<，即c a b <<，故选A ． 考点：1、导函数；2、不等式的解法．【易错点晴】本题考查的是导函数的应用、函数比大小的方法，属于难题；该类题目是考试中综合性较强的题，也是易错题；比较几个数的大小，常用的方法有：1、作差比大小；2、作商比大小；3、找中间量法；4、函数的单调性；利用导函数大于零，得到函数是单调递增的，利用函数的单调性可以比较出几个数的大小，做题时要仔细．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.对于实数a 和b ，定义运算(1),(1),a b a b a b b a a b+≥⎧*=⎨+<⎩，则式子1221ln ()9e -*的值为 ．【答案】9 【解析】试题分析：因为(1),(1),a b a b a b b a b a +≥⎧*=⎨+>⎩，而1221ln 239e -⎛⎫=<= ⎪⎝⎭，所以1221ln 3(21)99e -⎛⎫*=⨯+= ⎪⎝⎭.考点：1、对数运算；2、新定义问题．14.已知函数()f x x α=的图象过点(4,2)，令1(1)()n a f n f n =++，n N *∈．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2015S = ．1考点：1、函数的性质；2、数列的性质．15.在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁．为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：附表：参照附表，在犯错误的概率不超过 （填百分比）的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关” ． 【答案】5% 【解析】试题分析：22100(10302040) 4.762 3.84130705050K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”. 考点：1、独立性检验；2、概率．【易错点晴】本题考查的是独立性检验问题，属于简单题；本题给出了2⨯2列联表，按照题目中给出的观测值，根据公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++计算出2K 的值，计算过程是本题最容易出错的地方，记得先约分，一定约到最简再进行运算，很多同学一上来就进行计算，每步都出现估算值，到最后导致误差过大． 16.已知函数21()(0)2xf x x e x =+-<与2()ln()g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是 ．【答案】考点：1、函数的性质；2、参数的取值范围．【思路点晴】本题考查的是函数的图象和性质、函数的零点、函数的单调性、函数的极限等综合知识，属于中档题；由题意知存在0(,0)x ∈-∞满足0220001()ln()2x x e x x a +-=-+-+，根据函数单调性的定义法得出函数1()ln()2x h x e x a =---+是增函数，所以最大值要大于0，得到0a <<a 的取值范围．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题10分）已知函数()cos sin 6f x x x π⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()y f x =的图象向下平移14个单位，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数()y g x =的图象，求使1()2g x >成立的x 的取值集合．【答案】（1）函数()f x 的最小正周期为π；（2）使1()2g x >成立的x 的取值集合为{|,}3x k x k k Z πππ<<+∈．考点：1、函数的周期性；2、三角函数的单调性．18.（本小题12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3(1)2n n S a =-． （1）求1a 的值，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 为等差数列，且35148,20b b b b +=-+=．设n n n c a b =⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ．证明：对任意n N *∈，15()32n n T n ++-⋅是一个与n 无关的常数．【答案】（1）1a 的值为3，数列{}n a 的通项公式3nn a =；（2）证明过程详见试题解析.（2）因为354+28b b b ==-，则44b =-．又1420b b +=，则12b =．………………………………（7分）设{}n b 的公差为d ，则413b b d -=，所以2d =-，所以2(1)(2)42n b n n =+-⨯-=-．………………………………………………………………………（8分）由题设，(42)3nn c n =-⋅，则1232303(2)3(42)3n n T n =⋅+⋅+-⋅++-⋅．………………………（9分）23132303(62)3(42)3n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+-⋅，两式相减，得23223(2)3(2)3(2)3(42)3n n n T n -=⋅+-⋅+-⋅++-⋅--⋅．23162(333)(42)3n n n +=-+++--⋅．………………………………………………………………（10分） 所以1119(13)1553(2)3()31322n n n n T n n -++-=-++-⋅=-+-⋅-．…………………………………………（11分）故1515()322n n T n ++-⋅=-为常数．………………………………………………………………………（12分） 考点：1、等差数列的性质；2、等比数列的通项公式；3、错位相减法．19.（本小题12分）如图1，在Rt ABC ∆中，60ABC ∠=,90BAC ∠=，AD 是BC 上的高，沿AD 将ABC ∆折成60的二面角B AD C --，如图2．（1）证明：平面ABD ⊥平面BCD ；（2）设E 为BC 的中点，2BD =，求异面直线AE 与BD 所成的角的大小．【答案】（I ）证明过程详见试题解析；（II ）异面直线AE 与BD 所成的角的大小为60．（2）取CD 的中点F ，连接EF ，则EF ∥BD ，所以AEF ∠为异面直线AE 与BD 所成的角．…（6分）考点：1、面面垂直的判定定理；2、异面直线所成的角． 20.（本小题12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与抛物线C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =．已知椭圆2222:1x y E a b+=(0)a b >>的右焦点1F 与抛物线C 的焦点重合，且离心率为12． （1）求抛物线C 和椭圆E 的方程；（2）若过椭圆E 的右焦点2F 的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，求三角形OAB （O 为坐标原点）的面积OAB S ∆的最大值．【答案】（1）抛物线C 的方程为24y x =；椭圆E 的方程为22143x y +=；（2）三角形OAB 的面积OAB S ∆的最大值为32．【解析】试题分析：（1）设0(,4)Q x ，代入抛物线方程，得08x p =，根据焦点弦公式得2p =，∴抛物线C 的方程为24y x =．在椭圆E 中，11,2c c a ==，∴22,3a b ==，所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=；（2）由题意可知，设直线AB 的方程为1x my =-，且11(,)A x y 、22(,)B x y ，由221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)690m y my +--=，122634my y m +=+，122934y y m =-+………………（8分）2121211||||||22OABS OF y y y y ∆=⋅-=-==…………………（10分）令21m t +=，则1t ≥，OAB S ∆==1()9g t t t =+在[1,)+∞上单调递增， ∴()(1)10g t g ≥=．∴OS ∆的最大值为32．……………………………………………………………（12分）考点：1、抛物线的性质；2、椭圆的性质；3、最值问题．【思路点睛】本题考查的是抛物线的定义、椭圆的性质、最值问题，属于中档题；先根据抛物线的定义求出p 的值，进而用待定系数法求得椭圆的标准方程；圆锥曲线问题一般都是设而不求的数学思想，把直线方程和椭圆方程联立得到关于x 的二次方程，用韦达定理写出两个根的关系，求出弦长公式，代入三角形面积公式中，由函数的单调性得到最值. 21.已知函数()2x f x e ax =+． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在区间[1,)+∞上的最小值为0，求a 的值． （3）若对于任意0x ≥，()x f x e -≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）当0a ≥时， ()f x 在R 上单调递增，当0a <时，当(,ln(2))x a ∈-∞-时，函数()f x 单调递减；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，函数()f x 单调递增；（2）a 的值为2e -；（3）a的取值范围为[1,)-+∞．①当ln(2)1a -≤，即02ea -≤<时，()f x 最小值为(1)2f a e =+．解20a e +=，得2ea =-，符合题意．……………………………………………………………………（6分）考点：1、函数的单调性；2、最值问题；3、分类讨论的数学思想．【技巧点晴】本题考查的是函数的单调性、最值问题、恒成立问题等，属于难题；此类问题一般分两到三问，前面一问到两问相对简单，利用导函数大于等于0等价于原函数单调递增（导函数小于等于0等价于原函数单调递减）得到单调性；最后一问一般都需要构造新函数，研究新函数的性质，再利用分类讨论的数学思想，从而求出实数a 的取值范围．选做题（请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按第一题记分，作答时请写清题号）22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的参数方程为cos sin x m t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<），射线θϕ=，4πθϕ=+，4πθϕ=-与曲线1C 交于（不包括极点O ）三点,,A B C ．（1）求证：|||||OB OC OA +=； （2）当12πϕ=时，,B C 两点在曲线2C 上，求m 与α的值．【答案】（1）证明过程详见试题解析；（2）m 的值为2，α的值为23π．（2）当12πϕ=时，,B C 两点的极坐标分别为2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，6π⎛⎫- ⎪⎝⎭化为直角坐标为(1(3,B C ，2C 是经过点(,0)m 且倾斜角为α的直线，又因为经过点,B C的直线方程为2)y x =-，所以22,3m πα==． ……………………………………………………………………………………（10分）考点：1、极坐标与直角坐标；2、参数方程．23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数,1()1,01x x f x x x≥⎧⎪=⎨<<⎪⎩，()()|2|g x af x x =--，a R ∈．（1）当0a =时，若()|1|g x x b ≤-+对任意(0,)x ∈+∞恒成立，求实数b 的取值范围；（2）当1a =时，求函数()y g x =的最小值．【答案】（1）实数b 的取值范围为[1,)-+∞；（2）函数()y g x =的最小值为0． 【解析】考点：1、绝对值不等式的解法；2、分段函数；3、最值问题．。

炎德 英才大联考长郡中学2016届高三月考试卷（四）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设集合2{|2},{|30,}x A y y B x x x x R ===-->∈，那么U AC B =（ ） A ．[]1,3- B ．(0,3] C ．(3,)+∞D ．(1,0)(3,)-+∞2、若复数z 满足3(1)i z i -=+，则复数z 的共轭复数z 的虚部为（ ）A ．3B ．3iC ．3-D ．3i -3、已知随机变量X 服从正态分布(3,1)N ，且(24)0.6826P X ≤≤=，则(4)P x >=（ ）A ．0.1588B ．0.1587C ．0.1586D ．0.15854、下列说法中，不正确的是（ ）A ．已知,,a b m R ∈，命题：“22am bm <，则a b <”为真命题B ．命题“2000,0x R x x ∃∈->”的否定是“2,0x R x x ∀∈-≤”C ．命题“p q ∨”为真命题，则命题p 或q 均为真命题D ．“3x >”是“2x >”的充分不必要条件5、若执行右边的程序框图，输出S 的值为4，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．14?k <B ．15?k <C ．16?k <D ．17?k <6、若26(1)(0)x ax a ++>的展开式中2x 系数是66，则实数a 的值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．17、如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C 、B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为125(,)1313-，AOC α∠=，若1BC =，2sin cos 22ααα--的值为（ ）A ．513-B ．513C ．1213- D ．1213 8、若()3ln(1)x f x e ax =++是偶函数，则a 的值等于（ ）A ．52B ．52-C ．32D ．32- 9、如图是函数()sin(2)()2f x A x πϕϕ=+≤图象的一部分，对不同的12,[,]x x a b ∈，若()()12f x f x =，有12()f x x +=，则（ ）A ．()f x 在5(,)1212ππ-上是减函数 B ．()f x 在5(,)36ππ上是减函数 C ．()f x 在5(,)1212ππ-上是增函数 D ．()f x 在5(,)36ππ上增减函数10、一个几何体的三视图如图所示，，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为（ ）A ．83π B ．163π C ．323π D ．643π 11、已知椭圆221:111x C y +=，双曲线22222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，若以1C 的长轴为直径的圆与2C 的一条渐近线交于A 、B 两点，且1C 与该渐近线的两焦点将线段AB 三等分，则2C 的离心率为（ ）A B ．5 C D 12、已知定义在R 上的函数()f x ，当[]0,2x ∈时，()8(11)f x x =--，且对任意实数 1[22,22](,2)n n x n N n +*∈--∈≥，都有()1(1)22x f x f =-，若()()l o g a g x f x x =-有且仅有三个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．[]2,10B ．C ．(2,10)D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

湖南省2016届高三四校联考试题数学（理科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}322≥-=x x x P ，{}42<<=x x Q ，则=Q P （） A ．)4,3[ B ．]3,2( C ．)2,1(- D ．]3,1(- 2.下列命题中，是真命题的是（） A ．0,00≤∈∃x eR xB ．22,x R x x>∈∀C ．已知b a ,为实数，则0=+b a 的充要条件是1-=baD ．已知b a ,为实数，则1,1>>b a 是1>ab 的充分条件 3.以下四个命题中：①在回归分析中，可用相关指数2R 的值判断模型的拟合效果，2R 越大，模拟的拟合效果越好；其中真命题的个数为（）A ．B ．2C ．3D ．44.已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的离心率为25，则C 的渐近线方程为（）A ．x y 41±= B ．x y 31±= C ．x y 21±= D ．x y ±= 5.已知⎰=211xdx S ，⎰=212dx e S x，⎰=2123dx x S ，则321,,S S S 的大小关系为（）A ．321S S S <<B ．231S S S <<C ．123S S S <<D ．132S S S << 6.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F 若a AC =，b BD =，则=AF （）A ．b a 2141+ B ．b a 4121+ C ．b a 3132+ D ．b a 3221+ 7.将函数x y 2cos =的图象向左平移4π个单位，得到函数x x f y cos )(⋅=的图象，则)(x f 的表达式可以是（）A ．x x f sin 2)(-=B ．x x f sin 2)(=C ．x x f 2sin 22)(=D ．)2cos 2(sin 22)(x x x f += 8.某程序框图如图所示，现将输出),(y x 值依次记为：⋅⋅⋅⋅⋅⋅),,(,),,(),,(2211n n y x y x y x 若程序运行中输出的一个数组是)10,(-x ，则数组中的=x （）A ．32B ．24C ．18D ．169.在直角坐标系中，P 点的坐标为)54,53(，Q 是第三象限内一点，1=OQ 且43π=∠POQ ，则Q 点的横坐标为（）A ．1027-B ．523-C ．1227-D ．1328- 10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．6311 B ．3 C ．335 D ．334 11.现定义θθθsin cos i e i +=，其中为虚数单位，e 为自然对数的底数，R ∈θ，且实数指数幂的运算性质对θi e 都适用，若θθθθθ4452325505sin cos sin cos cos C C C a +-=，θθθθθ4553235415sin sin cos sin cos C C C b +-=，那么复数bi a +等于（）A ．θθ5sin 5cos i +B ．θθ5sin 5cos i -C ．θθ5cos 5sin i +D ．θθ5cos 5sin i -12.已知函数x x x x f ln )(+=，若Z k ∈，且)()2(x f x k <-对任意的2>x 恒成立，则k 的最大值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若抛物线)0(22>=p px y 的准线经过双曲线122=-y x 的一个焦点，则=p _____.14.已知实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≤0220332y x y x y ，则目标函数y x z +=3的最大值为______.15.若函数2)(2-+=x a x x f 在),0(+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______. 16.已知平面四边形ABCD 为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧），且2=AB ，4=BC ，5=CD ，3=DA ，则平面四边形ABCD 面积的最大值为______.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 与{}n b 满足))((211*++∈-=-N n b b a a n n n n . （1）若11=a ，53+=n b n ，求数列{}n a 的通项公式；（2）若61=a ，)(2*∈=N n b n n 且λλ22++>n a n n 对一切*∈N n 恒成立，求实数λ的取值范围.18.（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中， 90=∠=∠BAD ABC ，AD BC 2=，PAB ∆与PAD ∆都是等边三角形.（1）证明：CD PB ⊥；（2）求二面角B PD A --的余弦值.19.（本小题满分12分）“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在mL mg 100/80~20（不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在mL mg 100/80（含80）以上时，属醉酒驾车.”2015年“7夕”晚8时开始，长沙市交警队在解放路一交通岗前设点，对过往的车辆进行抽查，经过4个小时共查出喝过酒的驾车者60名.下图是用酒精测试仪对这60名驾车者血液中酒精浓度进行检测后所得结果画出的频率分布直方图.（1）求这60名驾车者中属醉酒驾车的人数；（图中每组包括左端点，不包括右端点） （2）求这60名驾车者血液的酒精浓度的平均值；（3）将频率分布直方图中的七组从左到右依次命名为第一组，第二组，...,第七组，在第五组和第七组的所有人中抽出两人，记他们的血液酒精浓度分别为x 、)100/(mL mg y ，则事件10≤-y x 的概率是多少？20.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知1F 、2F 分别是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的左、右焦点，B A ,分别是椭圆E 的左、右顶点，)0,1(D 为线段2OF 的中点，且0522=+BF AF . （1）求椭圆E 的方程；（2）若M 为椭圆E 上的动点（异于点A 、B ），连接1MF 并延长交椭圆E 于点N ，连接MD 、ND 并分别延长交椭圆E 于点P 、Q ，连接PQ .设直线MN 、PQ 的斜率存在且分别为1k 、2k .试问是否存在常数λ，使得021=+k k λ恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数e e bx ax x f x()12()(2-++=为自然对数的底数). （1）若21=a ，求函数)(x f 的单调区间； （2）若1)1(=f ，且方程1)(=x f 在)1,0(内有解，求实数a 的取值范围. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，EP 交圆于C E ,两点，PD 切圆于G D ,为CE 上一点且PD PG =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F . （1）求证：AB 为圆的直径；（2）若BDAC=，求证：EDAB=.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为ttytx(213231⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为)6sin(4πθρ-=.（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若),(yxP是直线与圆面)6sin(4πθρ-≤的公共点，求yx+3的取值范围.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数aaxxf+-=2)(.（1）若不等式6)(≤xf的解集为{}32≤≤-xx，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n使)()(nfmnf--≤成立，求实数m的取值范围.湖南省2016届高三四校联考试题数学（理科）参考答案一、选择题ADBCB CAAAB AB6.C 【解析】∵=，=，∴OD AO AD +==+= 因为E 是OD 的中点，∴31=EB DE，所以AB DF 31=，∴OA OB DF ((31)(31==-⨯=-==，DF AD AF =+=+=故选C .7.A 【解析】将函数x y 2cos =的图象向左平移4π个单位，得到函数x x x y 2sin )22cos()]4(2cos[-=+=+=ππ的图象，因为x x x cos sin 22sin -=-，所以x x f sin 2)(-=.8.A 【解析】运行第一次，输出)0,1(，3=n ，2=x ，2-=y ；运行第二次，输出)2,2(-，5=n ，4=x ，4-=y ；运行第三次，输出)4,4(-，7=n ，8=x ，6-=y ；运行第四次，输出)6,8(-，9=n ，16=x ，8-=y ；运行第五次，输出)8,16(-，11=n ，32=x ，10-=y ；运行第六次，输出)10,32(-，13=n ，64=x ，12-=y .所以选A .9.A 【解析】设α=∠xOP ，则53cos =α，54sin =α，10272254)22(53)43cos(-=⋅--⋅=+=παQ x 10.B 【解析】由三视图可知该几何体是一个四棱锥，其直观图如图所示，设E 为AD 的中点，则AD BE ⊥.⊥PE 平面ABCD ，PAD ∆为正三角形，四棱锥的底面是直角梯形，上底，下底2，高2；棱锥的高为3，∴体积33]2)21(21[31=⨯⨯+⨯⨯=V ，故选B.11.A 【解析】（θθθsin cos i e i +=其实为欧拉公式）)sin (sin cos )sin (cos sin cos )sin (cos cos 55544532352325415505θθθθθθθθθθi C C i C C i C C bi a ++--+=+sin ()sin (cos )sin (cos )sin (cos )sin (cos cos 555544453323522325415505θθθθθθθθθθi C i C i C i C i C C +++++=θθθθθθ5sin 5cos )()sin (cos 555i e e i i i +===+=⨯.12.B 【解析】先画x x x x f ln )(+=的简图，设)2(-=x k y 与x x x x f ln )(+=相切于)2))((,(>m m f m M 所以2)()(-='m m f m f ，即2ln ln 2-+=+m mm m m ，可化为0ln 24=--m m ， 设m m m g ln 24)(--=，因为08)(22<-=e e g ，010)(33>-=e e g ，所以32e m e <<，)5,4(ln 2)(∈+='m m f 又Z k ∈，所以4max =k ，选B.二、填空题13.22 【解析】抛物线)0(22>=p px y 的准线方程是2p x -=，双曲线122=-y x 的一个焦点)0,2(1-F ，因为抛物线)0(22>=p px y 的准线经过双曲线122=-y x 的一个焦点，所以22-=-p，解得22=p ，所以答案应填：22. 14.7 【解析】作出可行域如图所示：作直线03:0=+y x l ，再作一组平行于0l 的直线z y x l =+3:，当直线经过点M 时，y x z +=3取得最大值，由⎩⎨⎧==--2033y y x 得：⎪⎩⎪⎨⎧==235y x ，所以点M 的坐标为)2,35(，所以72353max =+⨯=z .15.]0,4[- 【解析】∵2)(2-+=x a x x f ，∴⎩⎨⎧<+-≥-+=2,22,2)(22x a ax x x a ax x x f ，又∵)(x f 在),0(+∞上单调递增，∴040222≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-a a a，即实数a 的取值范围是]0,4[-.D D x cos 3034cos 53253222-=⨯⨯-+=，即7cos 8cos 15=-B D ①， 又平面四边形ABCD 面积为)sin 15sin 8(21sin 5321sin 4221D B D B S +=⨯⨯+⨯⨯=， 即S D B 2sin 15sin 8=+②. ①②平方相加得2404)cos(240449)cos cos sin (sin 2402256422-=+-+=-++S D B S D B D B ，当π=+D B 时，S 取最大值302.16.【解析】（1）因为)(211n n n n b b a a -=-++，53+=n b n ，所以6)5383(2)(211=--+=-=-++n n b b a a n n n n ， .............4分 所以{}n a 是等差数列，首项为11=a ，公差为6，即56-=n a n . ..........6分 （2）因为n n b 2=，所以1112)22(2+++=-=-n n n n n a a ， 当2≥n 时，112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-+⋅⋅⋅+-+-=--+226222121+=++⋅⋅⋅++=+-n n n ， ...........8分当1=n 时，61=a ，符合上式，所以221+=+n n a ， ...........9分 由λλ22++>n a n n 得1122122+++=+>n n n nn λ， .................10分021221111≤-=-++++n n n n n n ， 所以当2,1=n 时，122++n n n 取最大值43，故λ的取值范围为),43(+∞. ...............12分 18.【解析】（1）取BC 的中点E ，连接DE ，则ADEB 为正方形， 过P 作⊥PO 平面ABCD ，垂足为O ，连接OD OE OB OA ,,,， ................................2分 由PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形可知PD PB PA ==， 所以OD OB OA ==，即点O 为正方形ADEB 对角线的交点. .....................4分 故BD OE ⊥，从而⊥OE 平面PBD ，所以PB OE ⊥， 因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以CD OE ∥，因此CD PB ⊥. ...................6分 （2）由（1）可知，OP OB OE ,,两两垂直.以O 为原点，OE 方向为x 轴正方向，OB 方向为y 轴正方向，OP 方向为z 轴正方向，建立如图所示的直角坐标系xyz O -， ....................7分 设2=AB ，则)0,0,2(-A ，)0,2,0(-D ，)2,0,0(P ，)0,2,2(-=，)2,0,2(=， .......................8分 设平面PAD 的法向量),,(z y x =，022=-=⋅y x ，022=+=⋅z x ，取1=x ，得1,1-==z y ，即)1,1,1(-=n ， ....................10分因为⊥OE 平面PBD ，设平面PBD 的法向量为，取)0,0,1(=m ，由图象可知二面角B PD A --的大小为锐角， ...................11分 所以二面角B PD A --的余弦值为3331cos =θ. .............12分19.【解析】（1）依题意知醉酒驾车者即血液酒精浓度在mL mg 100/80（含80）以上者，共有36005.0=⨯人， .........................3分（2）由图知60名驾车者血液的酒精浓度的平均值)100/(4705.0851.0751.06515.0552.04515.03525.025mL mg =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ...7分（3）第五组和第七组的人分别有：61.060=⨯人，305.060=⨯人. ........9分 10≤-y x 即选的两人只能在同一组中.2136315)10(292326=+=+=<-C C C y x P . .................12分20.【解析】（1）∵0522=+BF AF ，∴B F AF 225=.∵)(5c a c a -=+，化简得c a 32=，点)0,1(D 为线段2OF 的中点，∴2=c ，从而5,3==b a ，左焦点)0,2(1-F ，故椭圆E 的方程为15922=+y x . ............5分 （2）存在满足条件的常数λ，74-=λ， 设),,(),,(),,(),,(44332211y x Q y x P y x N y x M则直线MD 的方程为1111+-=y y x x ，代入椭圆方程1592=+x ，整理得， 0415112211=--+-y y x y y x . .............7分 ∵5)1(11131--=+x x y y y .∴54113-=x y y ， 从而595113--=x x x ，故点)54,595(1111---x y x x P ， ........8分 同理，点)54,595(2222---x y x x Q . ................9分 ∵三点N F M ,,1共线，∴222211+=+x y x y ， 从而)(2211221y y y x y x -=-. ...............10分从而47)(4)(7)(4)(5595595545412121212112211211221143432k x x y y x x y y y x y x x x x x x y x y x x y y k =--=--+-=--------=--=. .....11分 故07421=-k k ，从而存在满足条件的常数λ，74-=λ. .............12分 21.【解析】（1）当21=a ，x e bx x x f -++=)1()(2，x e b x b x x f --+-+-=']1)2([)(2， .....1分令0)(='x f ，得11=x ，b x -=12.当0=b 时，0)(≤'x f . ...........2分当0>b ，11<<-x b 时，0)(>'x f ，b x -<1或1>x 时，0)(<'x f ； ......3分 当0<b ，b x -<<11时，0)(>'x f ，b x ->1或1<x 时，0)(<'x f .所以，0=b 时，)(x f 的单调递减区间为),(+∞-∞；0>b 时，)(x f 的单调递增区间为)1,1(b -，递减区间为)1,(b --∞，),1(+∞； 0<b 时，)(x f 的单调递增区间为)1,1(b -，递减区间为)1,(-∞，),1(+∞-b . .....4分（2）由1)1(=f 得e b a =++12，a e b 21--=，由1)1(=f 得122++=bx ax e x ，设12)(2---=bx ax e x g x ，则)(x g 在)1,0(内有零点.设0x 为)(x g 在)1,0(内的一个零点，则由0)1(,0)0(==g g 知)(x g 在区间),0(0x 和)1,(0x 上不可能单调递增，也不可能单调递减，设)()(x g x h '=，则)(x h 在区间),0(0x 和)1,(0x 上均存在零点，即)(x h 在)1,0(上至少有两个零点. ...........5分b ax e x g x --='4)(，a e x h x 4)(-='. 当41≤a 时，0)(>'x h ，)(x h 在区间)1,0(上递增，)(x h 不可能有两个及以上零点； ......6分当4e a ≥时，0)(<'x h ，)(x h 在区间)1,0(上递减，)(x h 不可能有两个及以上零点； ......7分 当441e a <<时，令0)(='x h 得)1,0()4ln(∈=a x ，所以)(x h 在区间))4ln(,0(a 上递减，在)1),4(ln(a 上递增，)(x h 在区间)1,0(上存在最小值))4(ln(a h . ............8分 若)(x h 有两个零点，则有：0))4(ln(<a h ，0)0(>h ，0)1(>h . ........9分)441(1)4ln(46)4ln(44))4(ln(e a e a a a b a a a a h <<-+-=--= 设)1(,1ln 23)(e x e x x x x <<-+-=ϕ，则x x ln 21)(-='ϕ，令0)(='x ϕ，得e x =. 当e x <<1时，0)(>'x ϕ，)(x ϕ递增，当e x e <<时，0)(<'x ϕ，)(x ϕ递减， 01)()(max <-+==e e e x ϕϕ，所以0))4(ln(<a h 恒成立. ..........10分 由0221)0(>+-=-=e a b h ，04)1(>--=b a e h ，得2122<<-a e . 当2122<<-a e 时，设)(x h 的两个零点为21,x x ，则)(x g 在),0(1x 递增，在),(21x x 递减，在)1,(2x 递增，所以0)0()(1=>g x g ，0)1()(2=<g x g ，则)(x g 在),(21x x 内有零点. 综上，实数a 的取值范围是)21,22(-e . ........12分 22.证明：（1）∵PD PG =，∴PGD DG P ∠=∠，∵PD 为切线，∴DBA DA P ∠=∠. ....2烦恼∵GA E PGD ∠=∠，∴EGA DBA ∠=∠，∴BAD EGA BAD DBA ∠+∠=∠+∠， ∴PFA BDA ∠=∠， .............4分∵EP AF ⊥，∴ 90=∠PFA ，∴ 90=∠BDA ，∴AB 为圆的直径. .......5分（2）连接DC BC ,，∵AB 为圆的直径，∴ 90=∠=∠ACB BDA ， ................6分在BDA RT ∆与ACB RT ∆中，BA AB =，BD AC =，∴ACB RT BDA RT ∆≅∆，∴CBA DAB ∠=∠， .................7分∵DAB DCB ∠=∠，∴CBA DCB ∠=∠， ..........8分∴AB DC ∥，∵EP AB ⊥，∴EP DC ⊥，∴DCE ∠为直角，∴ED 为圆的直径， .......9分∵AB 为圆的直径，∴ED AB =. ..........10分23.【解析】（1）因为圆C 的极坐标方程为)6sin(4πθρ-=， 所以)cos 21sin 23(4)6sin(42θθρπθρρ-=-=， ...............2分 又222y x +=ρ，θρcos =x ，θρsin =y ， 所以x y y x 23222-=+，所以圆C 的普通方程为032222=-++y x y x . .................5分（2）解法1：设y x z +=3，故圆C 的方程4)3()1(03222222=-++⇒=-++y x y x y x ，所以圆C 的圆心是)3,1(-，半径是2， 将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=t y t x 213231代入y x z +=3得t z -=， 又直线过)3,1(-C ，圆C 的半径是2，所以22≤≤-t ，所以22≤-≤-t ，即y x +3的取值范围是]2,2[-. ...........10分 解法2： 直线的参数方程化成普通方程为：23=+y x ， .......6分 由⎩⎨⎧=-++=+4)3()1(2322y x y x 解得)13,31(1+--P ，)13,31(2-+-P ， ..............8分 ∵),(y x P 是直线与圆面)6sin(4πθρ-≤的公共点，∴点P 在线段21P P 上，∴y x +3的最大值是2)13()31(3=-++-， 最小值是2)13()31(3-=++--，∴y x +3的取值范围是]2,2[-. .........10分24.【解析】（1）由62≤+-a a x 得a a x -≤-62，∴a a x a -≤-≤-626， 即33≤≤-x a ，∴23-=-a ，∴1=a . ....................5分（2）由（1）知112)(+-=x x f ，令)()()(n f n f n -+=ϕ， 则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+≤≤--≤-=+++-=21,422121,421,4221212)(n n n n n n n n ϕ， .................8分 ∴)(n ϕ的最小值为4，故实数m 的取值范围是),4[+∞. ..............10分。

2016届湖南师范大学附中高三上学期月考（三）数学（文）试题及解析一、选择题1．已知i为虚数单位，若复数i z i⋅=，则||z=（）A．1 BCD．2【答案】C【解析】试题分析：根据复数的运算，可知1izi==--，所以||z==C．【考点】复数的运算．2．已知下面四个命题：①“若20x x-=，则0x=或1x=”的逆否命题为“0x≠且1x≠，则20x x-≠”②“1x<”是“2320x x-+>”的充分不必要条件③命题:p存在x R∈，使得20010x x++<，则:p⌝任意x R∈，都有210x x++≥④若p且q为假命题，则p，q均为假命题其中真命题个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】试题分析：由题可知，①正确，②为充分不必要的条件，②正确，特称命题的否定为全称命题，所以③显然正确；若p且q为假命题，则,p q至少有一个是假命题，所以④的推断不正确．【考点】1、命题的真假；2、逻辑关系．3．在等比数列{}na中，1n na a+<，286a a⋅=，465a a+=，则46aa等于（）A．56B．65C．23D．32【答案】D【解析】试题分析：由已知：465a a+=，466a a⋅=，即4a，6a为方程2560x x-+=的两解．由于1n na a+<，所以43a=，62a=，∴4632aa=．故选D．【考点】1、等比数列的性质；2、方程的解．4．某程序框图如图所示，若输出的57S=，则判断框内为（）A ．4?k >B ．5?k >C ．6?k >D ．7?k > 【答案】A【解析】试题分析：2k =时，2124S =⨯+=，否，进入循环，当3k =时，24311S =⨯+=，否，进入循环，当4k =时，211426S =⨯+=，否，进入循环，当5k =时，226557S =⨯+=，是，输出57，根据选项判定，54>成立，所以选A ． 【考点】1、程序流程图；2、循环结构．5．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cA b<，则ABC ∆为（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形 【答案】A【解析】试题分析：根据定理：sin cos sin c C A b B =<，那么sin sin cos C B A <，根据A B C π++=，所以sin sin()C A B =+，所以sin()sin cos A B B A +<，整理为：sin cos 0A B <，三角形中sin 0A >，所以cos 0B <，那么2B ππ<<．【考点】．1、正弦定理；2、三角形形状的判定．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积等于（ ）A ．822+B ．1122+．1422+．15【答案】A【解析】试题分析：根据三视图可知，该几何体为一个直四棱柱，底面是直角梯形，两底边长分别为1，2，高为1，直四棱柱的高为2，所以底面周长为221121142++++=+(42)282+⨯=+A ．【考点】1、空间几何体的三视图；2、柱体体积的计算．7．已知平面上不重合的四点,,,P A B C 满足0PA PB PC ++=，且0AB AC mAP ++=，那么实数m 的值为（ ）A ．2B ．3-C ．4D ．5 【答案】B【解析】试题分析：由题可知，根据向量的减法有，AB PB PA =-，AC PC PA =-，于是有()()PB PA PC PA mPA -+-=，故(2)0m PA PB PC --++=，又因为0PA PB PC ++=，所以21m --=，即3m =-．故选B ．【考点】向量的线性运算．8．一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（ ） A ．964 B ．12 C ．164D ．18【答案】D【解析】试题分析：根据几何概型，小蜜蜂安全飞行的轨迹为棱长为2的正方体内部，所以所求的概率：332814648P ===，故选D ．【考点】几何概型．9．关于x 的不等式220x ax +-<在区间[1,4]上有解，则实数a 的取值范围为（ ）A．(,1)-∞ B．(,1]-∞ C．(1,)+∞ D．[1,)+∞【答案】A【解析】试题分析：因为[1,4]x∈，则不等式220x ax+-<可化为：222xa xx x-<=-，设2()f x xx=-，[1,4]x∈，由题意得只需max[()]a f x<，因为函数()f x为区间[1,4]上的减函数，所以max[()](1)1f x f==，故选A．【考点】1、不等式的解集；2、函数的单调性．10．如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，1212,,,A AB B为椭圆顶点，2F为右焦点，延长12B F与22A B交于点P，若12B PA∠为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（）A．52⎫-⎪⎪⎝⎭B．52⎛-⎝⎭C．51⎛-⎝⎭D．51⎫-⎪⎪⎝⎭【答案】D【解析】试题分析：由题意，两个向量2122,F B B A的夹为角钝角；21(,)F B c b=--，22(,)B A a b=-，则20ac b-+<，即220a ac c--<，即210e e+->，解得512e>，即5112e<<．故选D．【考点】1、向量的运算；2、椭圆的离心率．11．已知函数2()ln(||1)1f x x x=++，则使得()(21)f x f x>-的x的范围是（）A．1,13⎛⎫⎪⎝⎭B．()1,1,3⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭C．()1,+∞ D．1,3⎛⎫-∞⎪⎝⎭【答案】A【解析】试题分析：函数()f x为偶函数，且当0x≥时，()()2ln11f x x x=+++增函数；所以使得()(21)f x f x >-的x 满足21x x x -<-<，即得113x <<，正确答案为A ．【考点】1、函数的性质；2、不等式的解法．【思路点晴】本题考查函数的奇偶性、单调性，属于中档题目；先根据函数的解析式里面有绝对值和平方，得出该函数是偶函数，再根据函数在[)0,+∞上是增函数，得()(21)f x f x >-等价于()()21f x f x >-， 解不等式即可求出x 的取值范围．12．定义在R 上的可导函数()f x ，当(1,)x ∈+∞时，(1)()()0x f x f x '-->恒成立，(2)a f =，1(3)2b f =，1)c f =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．c a b << B ．b c a << C ．a c b << D ．c b a << 【答案】A【解析】试题分析：构造函数()()1f x g x x =-，当(1,)x ∈+∞时2()(1)()()0(1)f x x f x g x x '--'=>-，即函数()g x 单调递增，∴(2)(2)(2)21f a f g ===-，1(3)(3)(3)231f b f g ===-，1)c f g ===，∴(2)(3)g g g <<，即c a b <<，故选A ．【考点】1、导函数；2、不等式的解法．【易错点晴】本题考查的是导函数的应用、函数比大小的方法，属于难题；该类题目是考试中综合性较强的题，也是易错题；比较几个数的大小，常用的方法有：1、作差比大小；2、作商比大小；3、找中间量法；4、函数的单调性；利用导函数大于零，得到函数是单调递增的，利用函数的单调性可以比较出几个数的大小，做题时要仔细． 二、填空题13．对于实数a 和b ，定义运算(1),(1),a b a b a b b a a b+≥⎧*=⎨+<⎩，则式子1221ln ()9e -*的值为 ．【答案】9【解析】试题分析：因为(1),(1),a b a b a b b a b a +≥⎧*=⎨+>⎩，而1221ln 239e -⎛⎫=<= ⎪⎝⎭，所以1221ln 3(21)99e -⎛⎫*=⨯+= ⎪⎝⎭．【考点】1、对数运算；2、新定义问题．14．已知函数()f x x α=的图象过点(4,2)，令1(1)()n a f n f n =++，n N *∈．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2015S = ．1【解析】试题分析：由函数()f x x α=的图象过点(4,2)得：142,2αα==，从而()f x =∴n a ==，从而2015(20161S =+++=．【考点】1、函数的性质；2、数列的性质． 15．已知函数21()(0)2x f x x e x =+-<与2()ln()g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是 ． 【答案】【解析】试题分析：由题意可得存在0(,0)x ∈-∞满足0220001()ln()2x x e x x a +-=-+-+，即001ln()02x e x a ---+=有负根，∵当x 趋近于负无穷大时001ln()2x e x a ---+也趋近于负无穷大，且函数1()ln()2x h x e x a =---+为增函数（或令100000x a e =-<时，100001()100002a eh x e -=--<，令120x x <<时，可知21()()0h x h x ->，所以()h x 为增函数），∴1(0)ln 02h a=->，即1ln 2a <，∴0a <<，∴a 的取值范围是．【考点】1、函数的性质；2、参数的取值范围．【思路点晴】本题考查的是函数的图象和性质、函数的零点、函数的单调性、函数的极限等综合知识，属于中档题；由题意知存在0(,0)x ∈-∞满足0220001()ln()2x x e x x a +-=-+-+，根据函数单调性的定义法得出函数1()ln()2x h x e x a =---+是增函数，所以最大值要大于0，得到0a <<以求出实数a 的取值范围．三、解答题16．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁．为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表： 感 染 未感染 总 计 服用 10 40 50 未服用 20 30 50 总计 30 70 100附表：2()P K k ≥ 0．100．05 0．025 k2．7063．8415．024参照附表，在犯错误的概率不超过（填百分比）的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关” ． 【答案】5%【解析】试题分析：22100(10302040) 4.762 3.84130705050K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”． 【考点】1、独立性检验；2、概率．【易错点晴】本题考查的是独立性检验问题，属于简单题；本题给出了2⨯2列联表，按照题目中给出的观测值，根据公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++计算出2K 的值，计算过程是本题最容易出错的地方，记得先约分，一定约到最简再进行运算，很多同学一上来就进行计算，每步都出现估算值，到最后导致误差过大． 17．已知函数()cos sin 6f x x x π⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()y f x =的图象向下平移14个单位，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数()y g x =的图象，求使1()2g x >成立的x 的取值集合．【答案】（1）函数()f x 的最小正周期为π；（2）使1()2g x >成立的x 的取值集合为{|,}3x k x k k Z πππ<<+∈．【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式、和差公式，把函数()f x 的解析式化简成11sin 2264x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭，所以函数的最小正周期为π；（2）根据三角函数的性质，使1()2g x >成立，即1sin 262x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，解不等式5222,666k x k k Zπππππ+<+<+∈即得到x 的取值集合为{|,}3x k x k k Z πππ<<+∈．试题解析：（1）因为211()cos cos 2cos cos 22f x x x x x x x ⎫=+=+⎪⎪⎝⎭．1111112(1cos 2)2cos 2sin 2442224264x x x x x π⎛⎫⎛⎫=++=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以()f x 的最小正周期T π=．（2）由题设，()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 由1()2g x >，得1sin 262x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，则5222,666k x k k Z πππππ+<+<+∈．所以3k x k πππ<<+，k Z ∈．故x 的取值集合时{|,}3x k x k k Z πππ<<+∈．【考点】1、函数的周期性；2、三角函数的单调性． 18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3(1)2n n S a =-． （1）求1a 的值，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 为等差数列，且35148,20b b b b +=-+=．设n n n c a b =⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ．证明：对任意n N *∈，15()32n n T n ++-⋅是一个与n 无关的常数．【答案】（1）1a 的值为3，数列{}n a 的通项公式3nn a =；（2）证明过程详见试题解析． 【解析】试题分析： （1）当已知数列{}n a 的前n 项和nS ，求通项时要分1n =和2n ≥两种情况讨论，利用1n n n a S S -=-，得到数列{}n a 是首项为3，公比为3的等比数列，故111333n n nn a a q --=⋅=⋅=；由等差数列的性质，得2(1)(2)42n b n n=+-⨯-=-，所以(42)3nn c n =-⋅；则1232303(2)3(42)3nn T n =⋅+⋅+-⋅++-⋅，再由错位相减法可得1515()322n n T n ++-⋅=-，因此对任意n N *∈，15()32n n T n ++-⋅是一个与n 无关的常数．试题解析：（1）当1n =时，113(1)2S a =-，即11233a a =-，所以13a =． 因为3(1)2n n S a =-，则113(1)2n n S a --=-(2)n ≥． 两式相减，得13()2n n n a a a -=-，即13n n a a -=(2)n ≥．所以数列{}n a 是首项为3，公比为3的等比数列，故111333n n nn a a q --=⋅=⋅=．（2）因为354+28b b b ==-，则44b =-．又1420b b +=，则12b =．设{}n b 的公差为d ，则413b b d-=，所以2d =-， 所以2(1)(2)42n b n n=+-⨯-=-．由题设，(42)3nn c n =-⋅，则1232303(2)3(42)3nn T n =⋅+⋅+-⋅++-⋅．23132303(62)3(42)3n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+-⋅，两式相减，得23223(2)3(2)3(2)3(42)3n nn T n -=⋅+-⋅+-⋅++-⋅--⋅．23162(333)(42)3n n n +=-+++--⋅．所以1119(13)1553(2)3()31322n n n n T n n -++-=-++-⋅=-+-⋅-． 故1515()322n n T n ++-⋅=-为常数． 【考点】1、等差数列的性质；2、等比数列的通项公式；3、错位相减法．19．如图1，在Rt ABC ∆中，60ABC ∠=,90BAC ∠=，AD 是BC 上的高，沿AD 将ABC ∆折成60的二面角B AD C --，如图2．（1）证明：平面ABD ⊥平面BCD ；（2）设E 为BC 的中点，2BD =，求异面直线AE 与BD 所成的角的大小． 【答案】（I ）证明过程详见试题解析；（II ）异面直线AE 与BD 所成的角的大小为60． 【解析】试题分析：（I ）由题意得AD CD ⊥，AD BD ⊥；又CD BD D =，则AD ⊥平面BCD ；因为AD ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面BCD ．（2）取CD 的中点F ，连接EF ，则EF ∥BD ，所以AEF ∠为异面直线AE 与BD 所成的角；连结AF 、DE ，由2BD =，则1EF =；由勾股定理和余弦定理求得2221AF AD DF =+=、225AE AD DE =+=．在AEF∆中，由余弦定理得2221cos 22AE EF AF AEF AE EF +-∠==⋅，所以异面直线AE 与BD 所成的角的大小为60．试题解析：（1）因为折起前AD 是BC 边上的高，则当ABD ∆折起后，AD CD ⊥，AD BD ⊥．又CDBD D =，则AD ⊥平面BCD ．因为AD ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面BCD ．（2）取CD 的中点F ，连接EF ，则EF ∥BD ，所以AEF ∠为异面直线AE 与BD 所成的角．连结AF 、DE ．由2BD =，则1EF =，23AD =6CD =，3DF =． 在Rt ADF ∆中，2221AF AD DF =+=在BCD ∆中，由题设60BDC ∠=，则2222cos 28BC BD CD BD CD BDC =+-⋅∠=，即27BC =从而172BE BC ==222cos 227BD BC CD CBD BD BC +-∠==⋅． 在BDE ∆中，2222cos 13DE BD BE BD BE CBD =+-⋅∠=．在Rt ADE ∆中，225AE AD DE =+=．在AEF ∆中，2221cos 22AE EF AF AEF AE EF +-∠==⋅． 所以异面直线AE 与BD 所成的角的大小为60．【考点】1、面面垂直的判定定理；2、异面直线所成的角．20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与抛物线C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =．已知椭圆2222:1x y E a b +=(0)a b >>的右焦点1F 与抛物线C 的焦点重合，且离心率为12． （1）求抛物线C 和椭圆E 的方程；（2）若过椭圆E 的右焦点2F 的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，求三角形OAB （O 为坐标原点）的面积OAB S ∆的最大值．【答案】（1）抛物线C 的方程为24y x =；椭圆E 的方程为22143x y +=； （2）三角形OAB 的面积OAB S∆的最大值为32．【解析】试题分析：（1）设0(,4)Q x ，代入抛物线方程，得08x p =，根据焦点弦公式得2p =，∴抛物线C 的方程为24y x =．在椭圆E 中，11,2c c a ==，∴22,3a b ==，所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=；（2）由题意可知，设直线AB 的方程为1x my =-，11(,)A x y 、22(,)B x y ，直线方程与椭圆方程联立得22(34)690m y my +--=，根据韦达定理得12y y +、12y y 的表达式，代入面积公式2121211||||||22OAB S OF y y y y ∆=⋅-=-中，根据基本不等式和函数的单调性得()(1)10g t g ≥=，因此OAB S∆的最大值为32．试题解析：（1）设0(,4)Q x ，代入22(0)y px p =>，得08x p =，∴8||PQ p =，又5||||||24p QF PQ PQ =+=，85824p p p +=⨯，∴2p =． ∴抛物线C 的方程为24y x =．在椭圆E 中，11,2c c a ==，∴2222,3a b a c ==-=．椭圆E 的标准方程为22143x y +=．（2）由题意可知，设直线AB 的方程为1x my =-，且11(,)A x y 、22(,)B x y ，由221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)690m y my +--=，122634m y y m +=+，122934y y m =-+ 2121211||||||22OABS OF y y y y ∆=⋅-=-==令21m t +=，则1t ≥，OAB S ∆==，又∵1()9g t t t =+在[1,)+∞上单调递增，∴()(1)10g t g ≥=．∴OAB S∆的最大值为32．【考点】1、抛物线的性质；2、椭圆的性质；3、最值问题．【思路点睛】本题考查的是抛物线的定义、椭圆的性质、最值问题，属于中档题；先根据抛物线的定义求出p 的值，进而用待定系数法求得椭圆的标准方程；圆锥曲线问题一般都是设而不求的数学思想，把直线方程和椭圆方程联立得到关于x 的二次方程，用韦达定理写出两个根的关系，求出弦长公式，代入三角形面积公式中，由函数的单调性得到最值．21．已知函数()2xf x e ax =+． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在区间[1,)+∞上的最小值为0，求a 的值． （3）若对于任意0x ≥，()xf x e -≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）当(,ln(2))x a ∈-∞-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；（2）a 的值为2e-；（3）a 的取值范围为[1,)-+∞．【解析】试题分析：（1）分0a ≥和0a <两种情况对函数求导，通过导函数的正负，得到原函数的单调性；由（1）可知，当0a ≥时，函数()20xf x e ax =+>，不符合题意．当0a <时，()2x f x e a '=+，因为，当(,ln(2))x a ∈-∞-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增．分ln(2)1a -≤和ln(2)1a ->两种情况分别讨论，得2e a =-；（3）构建新函数()2x xg x e e ax -=-+，()2x x g x e e a -'=++．经分析可知当1a ≥-时，对于任意0x ≥都有()0g x ≥成立；当1a <-时，存在0(0,ln(x a ∈-，使0()0g x <，不符合题意．所以，a 的取值范围为[1,)-+∞．试题解析：（1）当0a ≥时，函数()20xf x e a '=+>，()f x 在R 上单调递增； 当0a <时，()2xf x e a '=+，令20x e a +=，得ln(2)x a =-，所以，当(,ln(2))x a ∈-∞-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增．（2）由（1）可知，当0a ≥时，函数()20xf x e ax =+>，不符合题意． 当0a <时，()2xf x e a '=+，因为，当(,ln(2))x a ∈-∞-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增．①当ln(2)1a -≤，即02ea -≤<时，()f x 最小值为(1)2f a e =+．解20a e +=，得2ea =-，符合题意．②当ln(2)1a ->，即2ea <-时，()f x 最小值为(ln(2))22ln(2)f a a a a -=-+-． 解22ln(2)0a a a -+-=，得2e a =-，不符合题意．综上，2ea =-．（3）构建新函数()2x x g x e e ax -=-+，()2x xg x e e a -'=++． ①当22a ≥-，即1a ≥-时，因为2x x e e -+≥，所以()0g x '≥．（且1a =-时，仅当0x =时，()0g x '=．）所以()g x 在R 上单调递增．又(0)0g =，所以，当1a ≥-时，对于任意0x ≥都有()0g x ≥．…（10分）②当1a <-时，解20x x e e a -++<，即2()210x x e ae ++<，得x a e a -<<-其中01a <-<，1a ->．所以ln(ln(a x a -<<-+，且ln(0a -<，ln(0a ->．所以()g x 在(0,ln(a -上单调递减．又(0)0g =，所以存在0(0,ln(x a ∈-，使0()0g x <，不符合题意． 综上，a 的取值范围为[1,)-+∞．【考点】1、函数的单调性；2、最值问题；3、分类讨论的数学思想．【技巧点晴】本题考查的是函数的单调性、最值问题、恒成立问题等，属于难题；此类问题一般分两到三问，前面一问到两问相对简单，利用导函数大于等于0等价于原函数单调递增（导函数小于等于0等价于原函数单调递减）得到单调性；最后一问一般都需要构造新函数，研究新函数的性质，再利用分类讨论的数学思想，从而求出实数a 的取值范围．22．选修4—4：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的参数方程为cos sin x m t y t αα=+⎧⎨=⎩（t为参数，0απ≤<），射线θϕ=，4πθϕ=+，4πθϕ=-与曲线1C 交于（不包括极点O ）三点,,A B C ．（1）求证：|||||OB OC OA +=；（2）当12πϕ=时，,B C 两点在曲线2C 上，求m 与α的值．【答案】（1）证明过程详见试题解析；（2）m 的值为2，α的值为23π．【解析】试题分析：（1）依题意先表示出||OA ，||OB ，||OC ，根据三角函数公式得||||OB OC +=|OA ϕ=．（2）把,B C 两点的极坐标2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，6π⎛⎫- ⎪⎝⎭化为直角坐标为(3,B C ，又因为经过点,B C的直线方程为2)y x =-，所以22,3m πα==．试题解析：（1）依题意||4cos OA ϕ=，||4cos()4OB πϕ=+，||4cos()4OC πϕ=-． 则||||4cos()4cos()44OB OC ππϕϕ+=++-sin )sin )|OA ϕϕϕϕϕ=-++==．（2）当12πϕ=时，,B C 两点的极坐标分别为2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，6π⎛⎫- ⎪⎝⎭化为直角坐标为(3,B C ，2C 是经过点(,0)m 且倾斜角为α的直线，又因为经过点,B C 的直线方程为2)y x =-，所以22,3m πα==．【考点】1、极坐标与直角坐标；2、参数方程． 23．选修4—5：不等式选讲已知函数,1()1,01x x f x x x≥⎧⎪=⎨<<⎪⎩，()()|2|g x af x x =--，a R ∈．（1）当0a =时，若()|1|g x x b ≤-+对任意(0,)x ∈+∞恒成立，求实数b 的取值范围； （2）当1a =时，求函数()y g x =的最小值．【答案】（1）实数b 的取值范围为[1,)-+∞；（2）函数()y g x =的最小值为0． 【解析】试题分析：（1）当0a =时，()|1||1||2|g x x b b x x ≤-+⇔-≤-+-等价于|1||2||(1)(2)|1x x x x -+-≥---=，所以实数b 的取值范围是[1,)-+∞．当1a =时，先写出函数()g x 的表达式，再分段讨论每个区间的最小值；依题意得当1x =时，函数()y g x =取得最小值0． 试题解析：（1）当0a =时，()|2|g x x =--(0)x >，()|1||1||2|g x x b b x x ≤-+⇔-≤-+-|1||2||(1)(2)|1x x x x -+-≥---=，当且仅当12x ≤≤时等号成立．所以实数b 的取值范围是[1,)-+∞．（2）当1a =时，12,01()22,122,2x x x g x x x x ⎧+-<<⎪⎪=-≤≤⎨⎪>⎪⎩，当01x <<时，1()220g x x x =+->=；当1x ≥时，()0g x ≥，当且仅当1x =等号成立； 故当1x =时，函数()y g x =取得最小值0．【考点】1、绝对值不等式的解法；2、分段函数；3、最值问题．。

湖南师大附中2016届高三考试卷（六）数学（文科)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1。

在复平面内，复数65,23i i--+对应的点分别为A B、,若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是（)A．48i+B．82i+C．2i-D．4i+2。

设命题:66p m-≤≤，命题:q函数2()9()f x x mx m R=++∈没有零点，则p是q 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3.点(,3)P a到直线4310x y-+=的距离等于4，且在230x y+-<表示的平面区域内，则a的值为( )A．3 B．7 C．—3 D．-74。

如图所示的程序框图运行的结果是（）A．20142015B．20152016C．20142013D．201520145。

一个多面体的三视图分别是正方形、等腰三角形和矩形，其尺寸如图,则该多面体的体积为( )A ．348cm B ．324cm C ．332cm D ．328cm6。

已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，13()f x x =,则在(2,0)-上，下列函数中与()f x 的单调性相同的是( ） A ．21y x=-+ B ．1y x =+ C ．xy e =D ．321,01,0x x y x x -≥⎧=⎨+<⎩7。

已知ABC ∆中，030A ∠=，,AB BC 32,32中项，则ABC ∆的面积等于（ ） A 3B 3C 33D 338.从2010名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2010人中剔除10人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人,则在2010人中，每人入选的概率( ） A ．不全相等 B ．均不相等 C ．都相等，且为5201D ．都相等，且为1409。

已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均与圆22:650C x y x +-+=相切,则该双曲线离心率等于（ ) A 35 B 6C ．32 D 510. (,1),(2,),(4,5)A a B b C 为坐标平面内三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC方向上的投影相同，则,a b 满足的关系式为（ ) A ．453a b -= B ．543a b -= C ．4514a b += D ．5414a b += 11。

湖南师大附中2016届高三月考试卷（六）数学（理科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。

1。

已知复数221z i i=++，则下列结论中正确的是（ ）A ．z 的虚部为iB ．2z =C ．2z 为纯虚数D ．1z i =-+2.已知条件:p ()()30x m x m --->；条件:q 2340xx +-<．若p 是q 的必要不充分条件,则实数m 的取值范围是（ ）A ．()(),71,-∞-+∞B ．(][),71,-∞-+∞C ．()7,1-D ．[]7,1-3.已知3sin cos αα+=，且()0,απ∈,则cos2α的值为（ ）A ．15B ．14- C 15D ．144.执行如图所示的程序框图，如果输入6n =，4m =，则输出的p 等于( ）A ．60B ．240C ．300D ．3605.用1,2，⋅⋅⋅，9这九个数字组成无重复数字的三位数，记为abc ,其中a ，b ，c 三个数字之积能被10整除的三位数共有(）A ．96个B ．132个C ．168个D ．180个6.已知某三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥的外接球的体积为（ )A ．43π B ．332π C ．32π D ．3π7.已知函数()()sin f x x ωϕ=A +(0A >，0ω>，2πϕ<）在一个周期内的图象如图所示,则4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．12C ．1-D ．12-8.某公司近六年投入某种产品的年宣传费x （单位：万元）和年销售量y (单位：万件）之间的样本数据如下表所示：则当年宣传费为15万元时，年销售量的预报值为（ ) A ．45万件 B ．48万件 C ．50万件D ．55万件参考公式:在回归直线方程ˆybx a =+中，1221ni ii nii x y n x yb xn x==-⋅⋅=-⋅∑∑，a y bx =-．10.如图，边长为2的正方形CD AB 的顶点A ，B 分别在两条互相垂直的射线OP ，Q O 上滑动，则C D O ⋅O 的最大值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．811.设双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >)的两条渐近线分别为1l ，2l ，左焦点为F ．若点F 关于直线1l 的对称点P 在2l 上,在双曲线的离心率为（ ）。

长郡中学2016届高三月考试卷（四）数学（文科）一、选择题: 本大题共12小题， 每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}1log |{2<=x x A ，则=A C R （ ）DA ．)2,0(B ．]0,(-∞C ．),2[+∞D ．)2[]0,(∞+-∞ 2．已知为虚数单位，复数ii+12在复平面内对应的点位于（ ）Ａ A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．“函数()266f x x mx =-+的减区间为(],3-∞”是“1m =”的（ ）ＣA ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4．若点(1,1)P 为圆22(3)9x y -+=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为（ ）D A ．230x y +-= B ．210x y -+= C ．230x y +-=D ．210x y --=5．已知曲线23ln 2x y x =-的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为（ ）ＡA ．3B ．2C ．1D ．126．已知两个不同的平面αβ、和两条不重合的直线m 、n ，有下列四个命题： ①若//,m n m α⊥，则n α⊥；②若,,m m αβ⊥⊥则//αβ； ③若,//,m m n n αβ⊥⊂，则αβ⊥； ④若//,,//m n m n ααβ⋂=则.其中正确命题的个数是（ ）D A ．0 B ．1C ．2D ．37．设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤≥+-24022y x y x 表示的平面区域为D ．在区域D 内随机取一个点，则此点到直线+2=0y 的距离大于2的概率是（ ）A A ．925 B ．825C ．413 D ．5138．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中π0,2A ϕ><）的部分图象如右图所示，为了得到x x g 2sin )(=的图象，则只需将()f x 的图象（ ）AA ．向右平移π6个长度单位 B ．向右平移π12个长度单位 C ．向左平移π6个长度单位 D ．向左平移π12个长度单位9．执行右侧的程序框图，输出的结果S 的值为（ ）CA ．23-B ．0C ．23D ．310．已知“若点),(00y x P 在双曲线:C )0,0(12222>>=-b a by a x 上，则C 在点P 处的切线方程为12020=-byy a x x ”．现已知双曲线1124:22=-y x C 和点)3)(,1(±≠t t Q ，过点Q 作双曲线C 的两条切线，切点分别为N M ,，则直线MN 过定点（ ）C A ．)32,0(B ．)32,0(-C ．)0,4(D ．)0,4(-11．已知点(,)P a b 与点(1,0)Q 在直线2310x y -+=的两侧，给出下列命题： ①2310a b -+>； ②0a ≠时，ba有最小值，无最大值； ③存在正实数m m >恒成立 ； ④0a >且1a ≠，0b >时, 则1ba -的取值范围是12(,)(,)33-∞-+∞.其中正确的命题是（ ）D A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④12．已知偶函数)(x f y =是定义域为R ，当0≥x 时，⎪⎩⎪⎨⎧>+≤≤=-1,1210,2sin3)(2x x x x f x π．函数)(12)(22R a a ax x x g ∈-+-=．若函数))((x f g y =有且仅有6个零点，则实数a 的取值范围为（ ）Ｂ A ．]2,1(B ．)2,1(C ．]3,2(D ．)3,2(二、填空题: 本大题共4小题， 每小题5分， 共20分．13．某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到频率分布直方图(如图所示)．则分数在[70,80)内的人数是_____．3014．已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2a =，3b =，4cos5B =，则sin A 的值为__________．2515．如右图，设A 、B 、C 、D 为球O 上四点，若AB 、AC 、AD 两两互相垂直，且6==AC AB ，2=AD ，则球O 的体积为 ．32π16．已知)2,2(),0,4(),1,1(C B A -．平面区域D由所有满足)1,1(b a AC AB AP ≤<≤<+=μλμλ的点),(y x P 组成．若区域D 的面积为8，则的b a 4+最小值为 ．9三、解答题: 本大题共6小题， 共70分．解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在等比数列{}n a 中，a 2=4，368a a =． （1）求n a ；（2）令n n a b 2log =，求数列}1{1+⋅n n b b 的前n 项和n T ．【解析】（1）设数列{}n a 的公比q ，则⎩⎨⎧==2151184qa q a q a ，解得21=a ，2=q ∴)(2*N n a n n ∈=； ……………6分（2）由（1）知，n b n n ==2log 2，∴)111()4131()3121()211()1(1431321211+-++-+-+-=+⋅++⨯+⨯+⨯=n n n n T n 1111+=+-=n nn 即1+=n nT n ……………12分18．（本小题满分12分）为了了解学生的校园安全意识，某学校在全校抽取部分学生进行了消防知识问卷调查，问卷由三道选择题组成，每道题答对得5分，答错得0分，现将学生答卷得分的情况统计如下表：已知被调查的所有女生的平均得分为8.25分，现从所有答卷中抽取一份，抽到男生的答卷且得分是15分的概率为101． （1）求y x ,的值；（2）现要从得分是15分的学生中用分层抽样的方法抽取6人进行消防知识培训，再从这6人中随机抽取2人参加消防知识竞赛，求所抽取的2人中至少有1名男生的概率． 【解析】（1）因为被调查的所有女生的平均得分为8.25分，∴25.8603020601510305=+++⨯+⨯+x x ，解得90=x ，从所有答卷中抽取一份，共有结果y y +=+++++++270)60309020()352510(种，∴，抽到男生且得分是15分的概率101270=+y y ，解得30=y ，因此90=x ， 30=y ； ……………4分 （2）从得15分的学生中，用分层抽样方法抽取6人，则抽样比为151906=， ∴女生抽4人，记4321,,,A A A A ，男生抽2人，记为21,B B ，现从这6人中随机抽取2人，则所有可能结果为：1A 2A ，1A 3A ，1A 4A ，1A 1B ，1A 2B ，2A 3A ，2A 4A ，2A 1B ，2A 2B ，3A 4A ，3A 1B ，3A 2B ，4A 1B ，4A 2B ，1B 2B 共15种，设“取出的2人中至少有一名男生”为事件A ，则A 包含的基本事件有： 1A 1B ，1A 2B ，2A 1B ，2A 2B ，3A 1B ，3A 2B ，4A 1B ，4A 2B ，1B 2B 共9种，∴53159)(==A P ，3因此所抽取的2人中至少有1名男生的概率为．……………12分519．（本小题满分12分）如图1，由正四棱锥ABCD P -和正四棱柱1111D C B A ABCD -所组成的几何体的三视图如图2. （1）求证：⊥PC 平面BD A 1； （2）求点P 到平面BD A 1的距离． 【解析】（1）如图，连接AC 交BD 于O ，并连接PO 、O A 1．正四棱锥ABCD P -， ∴BD PC ⊥，又由三视图知，2=PO ，2==BC AB ，∴22=AC ，故PC PA ⊥，又易知21==AA PO 且1//AA PO ，∴四边形A POA 1为平行四边形，∴1//OA PA ，故PC OA ⊥1，又O BD OA = 1，因此⊥PC 平面BD A 1； ……………6分（2）由（1）知1//OA PA ，故点P 到平面BD A 1的距离即为点A 到平面BD A 1的距离，又易知平面⊥O AA 1平面BD A 1，且平面⋂O AA 1平面O A BD A 11=，故过A 作⊥AE O A 1，垂足为E ，则⊥AE 平面BD A 1，AE 即为点A 到平面BD A 1的距离，又由已知，21==AA AO ，∴21=O A ，故111=⋅=OA AA AO AE ，因此点P 到平面BD A 1的距离为1．……………12分20．（本小题满分12分）设点M G ,分别是ABC ∆的重心和外心，)0,1(-A ，)0,1(B ，且AB GM //．（1）求点C 的轨迹E 的方程；A1A P1B 1C 1D DBC1图2图A1A P1B 1C 1D DBCo（2）已知点)0,21(-D ，是否存在直线，使过点)1,0(并与曲线E 交于Q P ,两点，且PDQ ∠为钝角．若存在，求出直线的斜率k 的取值范围；若不存在，说明理由． 【解析】（1）设)0)(,(≠y y x C ，则)3,3(y x G ，AC 的中点)2,21(yx F -，又AB GM //，则)3,0(y M ，又M 是ABC ∆的外心，所以0=⋅AC MF ，即06)1(21=⋅++⋅-y yx x ， 化简得，)0(1322≠=+y y x ，即点C 的轨迹E 的方程为)0(1322≠=+y y x (5)分（2）假设存在满足条件的直线，并设其方程为1+=kx y ，则联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+11322kx y y x 消去y 得022)3(22=-++kx x k ，则024122>+=∆k ， 设),(),,(2211y x Q y x P ，则32321+-=+k kx x ，32321+-=⋅k x x ， 由PDQ ∠为钝角，有0<⋅DQ DP ，即)1)(1()21)(21()21)(21(21212121+++++=+++kx kx x x y y x x045))(21()1(21212<+++++=x x k x x k整理得，74112>-+k k ，解得1-<k 或117>k ， ……………10分 又当1=k 时，直线过点)0,1(-A ，而A 不在曲线E 上，此时直线与曲线E 只有一个交点，不符合题意，故舍去，因此，综上可知符合条件的直线存在，且其斜率的取值范围为1-<k 或1117<<k 或1>k ．……………12分21．（本小题满分12分）已知函数2ln 2)(x x x f -=．（1）求函数)(x f y =在区间],1[e e的最值；（e 为自然对数的底数）（2）如果函数ax x f x g -=)()(的图象与x 轴交于两点)0,(),0,(21x B x A 且210x x <<，求证：0)2(21/<+x x g ． 【解析】（1）函数)(x f 的定义域为),0(+∞，且求导得：xx x x x x f )1)(1(222)(/+-=-=， 则当]1,1[ex ∈时，0)(/>x f ，当],1[e x ∈时，0)(/<x f ， 即)(x f 在]1,1[e上单调递增，在],1[e 单调递减，又1)1(,2)(,12)1(22-=-=--=f e e f e e f ，且)()1(e f ef > 因此，当1=x 时，)(x f 取得最大值1-，当ex =时，)(x f 取得最小值22e - ……………………………5分（2）方程0)(=-ax x f 有两个不等实根21,x x ，则有⎪⎩⎪⎨⎧=--=--0ln 20ln 222221211ax x x ax x x ，两式相减得，)()ln (ln 2212121x x x x x x a +---=， 又由已知a x x x g --=22)(/，则)]()ln (ln 2[)(4)(4)2(2121212121212121/x x x x x x x x x x a x x x x x x g +----+-+=-+-+=+ 即21212121/)ln (ln 24)2(x x x x x x x x g ---+=+； 因此，0)2(21/<+x x g )0(ln ln )(20)ln (ln 2421212121212121x x x x x x x x x x x x x x <<->+-⇔<---+⇔212121ln 1)1(2x x x x x x >+-⇔令)1,0(,ln 1)1(2)(∈-+-=t t t t t h ，则0)1()1(1)1(4)(222/<+--=-+=t t t t t t h ，即函数)(t h 在)1,0(上递减，所以，当)1,0(∈t 时，0)1()(=>h t h ，即)10(ln 1)1(2<<>+-t t t t ， 因此，当210x x <<时，212121ln 1)1(2x x x x x x >+-成立，即0)2(21/<+x x g 成立． ………………………12分请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，∠BAC 的平分线与BC 和外接圆分别相交于D 和E ，延长AC 交过D 、E 、C 三点的圆于点F ． （1）求证：EA ED EF ⋅=2；（2）若6=AE ，3=EF ，求AC AF ⋅的值．【解析】（1）如图，连接CE ，DF ． ∵AE 平分∠BAC ∴∠BAD=∠DAC 在圆内又知∠DCE=∠EFD，∠BCE=∠BAE．∴∠EAF=∠EFD 又∠AEF=∠FED， ∴ΔAEF∽ΔFED ， ∴EFAE ED EF =，∴EA ED EF ⋅=2……………5分（2）由（1）知EA ED EF ⋅=2，∵EF =3，AE =6， ∴23=ED ，29=AD ∴27296=⨯=⋅=⋅AE AD AC AF ……………………………………10分 23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，直线的参数方程为⎩⎨⎧+=+-=ααsin 1cos 3t y t x （为参数）．取原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=．（1）把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C 的形状；（2）若直线经过点)4,0(，点P 是曲线上任意一点，求点P 到直线的距离的最小值． 【解析】（1）曲线C 直角坐标方程的直角方程为：x y 42=， ∴曲线C 是顶点为)0,0(O ，焦点为)0,1(F 的抛物线； ……………………5分（2）直线的参数方程为⎩⎨⎧+=+-=ααsin 1cos 3t y t x （为参数），故直线过点)1,3(-；又若直线经过点)4,0(，∴直线的普通方程为：04=+-y x ，由已知设)4,4(2t t P ，则点P 到直线的距离2|3)21(4|2|444|22+-=+-=t t t d ， 所以当21=t ，即点)2,1(P 时，d 取得最小值223，11 因此点P 到直线的距离的最小值为223． ……………………10分24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲：已知函数|1|)(-=x x f ，)(|3|)(R a a x x g ∈++-=．（1）当6=a 时，解关于x 的不等式)()(x g x f <；（2）若函数)(2x f y =的图象恒在函数)(x g y =的图象的上方，求实数a 的取值范围．【解析】（1）当6=a 时，不等式)()(x g x f >即为6|3||1|<++-x x ；①当3-<x 时，不等式即为6)3()1(<+---x x ，解得4->x ，此时34-<<-x ； ②当13<≤-x 时，不等式即为6)3()1(<++--x x ，即64<成立，此时13<≤-x ； ③当1≥x 时，不等式即为6)3()1(<++-x x ，解得2<x ，此时11<≤x ；因此，综上可知所求不等式的解集为)2,4(-； ………………………５分（2）函数)(2x f y =的图象恒在函数)(x g y =的图象的上方，故0)()(2>-x g x f 恒成立，即|3||1|2++-<x x a ，令⎪⎩⎪⎨⎧≥+<≤-+--<--=++-=1,1313,53,13|3||1|2)(x x x x x x x x x h ，则)(x h 在]1,(-∞上递减，在),1[+∞上递增，故当1=x 时，)(x h 取得最小值4)1(=h ，故4<a ，即当4<a 时，函数)(2x f y =的图象恒在函数)(x g y =的图象的上方．………………………10分。

湖南师大附中2016届高三月考试卷（二）数学（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，满分60分） 1.已知复数，则｜z ｜＝（ ）A. 4B.2 C. 2 D. 1【答案】C【解析】因为z ＝－2i ，所以｜z ｜＝2，故选C 2.已知向量,则向量b 可以为A.（1，2） B ．（1，一2) C.（2，1） D.（2，一1） 【答案】A 【解析】设3.某大学共有学生5 400人，其中专科生有1 500人，本科生有3 000人，研究生有900人．现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为180人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取A. 55人，80人,45人B. 40人，100人，40人C. 60人，60人，60人D. 50人，100人,30人【答案】D【解析】专科生：本科生：研究生＝1500：3000：900＝5：10：3抽取专科生人数：518018⨯＝50人，抽取本科生人数：1018018⨯＝100人， 抽取研究生人数：318018⨯＝30人，故选D 。

4.设S n 为等比数列｛a n ｝的前n 项和，8a 2+ a 5=0，则52S S ＝ A. 11 B. 5 C.一8 D.一11 【答案】D 【解析】5.当n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为A、30B、14C、8D、6【答案】B【解析】当k＝1时，1≤3，是，进入循环S=2，k＝,2时，2≤3，是，进入循环S＝6，k＝3时6.函数2lnxyx=的图象大致为：【答案】D【解析】7.若，且，则sin 2α的值为（）8.已知,αβ是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，现给出下列命题：①若，则；②若③若④若.其中正确命题的个数是A. 0B.1C. 2D. 39.如图，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个纸巢，将体积为43π的球放在纸巢上方，则球的最高点与纸巢底面的距离为10．对于使f(x)≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值叫做f（x）的上确界，若且的上确界为11、已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>与抛物线y2＝8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若｜PF｜＝5，则双曲线的离心率e为12、已知函数的两个极值点分别为，且点P（m，n）表示的平面区域为D，若函数的图像上存在区域D内的点，则实数a的取值范围是（）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）13.设集合14.直线y＝x+ 2被圆M：所截得的弦长为15一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213,134等）．若，且a,b,c互不相同，任取一个三位自然数，则它为“有缘数”的概率是16．如图，椭圆,椭圆C的左、右焦点分别为F1, F2，过椭圆上一点P和原点O作直线l交圆O于M，N两点，若｜PF1｜·｜PF2｜=6，则｜PM｜·｜PN｜的值为三、解答题：（70分）17、（本是满分10分）在△ABC中，a、b、c分别为角A，B，C的对边，且(1)求cosB；(2)若AB＝2，点D是线段AC中点，且，若角B大于600，求△DBC的面积。