§1.4 阶跃函数和冲激函数

阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数在分析线性电路过渡过程时，常使用一些奇异函数来描述电路中的激励或响应。

阶跃函数和冲激函数是两个最常用最重要的函数。

一、单位阶跃函数。

单位阶跃函数定义为：（式8-2-1）图8-2-1其波形如图8-2-1所示。

单位阶跃函数在处有跳变，是一个不连续点。

将单位阶跃函数乘以常数，就得到阶跃函数，又称为开关函数。

因为它可以用来描述电路中的开关动作，如图8-2-2所示。

图8-2-2所示电路在时刻开关S从1切换至2，那么一端口网络的入端电压就可用阶跃函数表示为：，如图8-2-2所示。

图8-2-2延时的单位阶跃函数定义为：（式8-2-2）其波形如图8-2-3所示，同样以图8-2-2为例，若时刻将开关S 从1切换至2，那么一端口网络的入端电压就可用延时阶跃函数表示为：。

二、单位冲激函数单位冲激函数定义为：（式8-2-3）其波形如图8-2-5所示。

为了更好地理解单位冲激函数，先来看单位脉冲函数。

单位脉冲函数定义为：（式8-2-4）图8-2-5其波形如图8-2-5所示。

单位脉冲函数的宽度是，高度是，面积为1。

当脉冲宽度减小，其高度将增大，而面积仍保持为1。

当脉冲宽度趋于无限小时，其高度将趋于无限大，但面积仍然为1。

当脉冲宽度趋于零时，这时脉冲函数就成为单位冲激函数。

将单位冲激函数乘以常数K，就得到冲激强度为K的冲激函数，表示为。

延时的单位冲激函数定义为：（式8-2-5）其波形如图8-2-6所示。

图8-2-6冲激函数不是一般函数，属于广义函数，其更严格的定义可参阅有关数学书中的论述。

知识点1第一章第4节阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数是控制工程和信号处理中常用的数学函数。

它们在描述系统的动态响应以及信号的特性时起到了重要的作用。

本文将详细介绍阶跃函数和冲激函数的定义、性质以及在实际应用中的意义。

一、阶跃函数的定义和性质阶跃函数（Step Function）是一类常见的跃变函数，它在数学上用于描述其中一时刻突然跃变的情况。

阶跃函数通常被表示为u(t)，其中t 为自变量。

阶跃函数的定义如下：1,t≥0u(t)=0,t<0在定义中，当t≥0时，阶跃函数的取值为1；当t<0时，阶跃函数的取值为0。

阶跃函数的图像呈现为一个从0跃变到1的过程。

阶跃函数具有以下性质：1.阶跃函数u(t)在t=0的时刻不可导，因为它在该点没有斜率。

2.在t<0时，阶跃函数的值恒为0；在t>0时，阶跃函数的值恒为13.阶跃函数可用于表示信号的开关状态，如电路的打开和关闭。

二、冲激函数的定义和性质冲激函数（Impulse Function）是另一种重要的数学函数，它在数学上用于描述一个瞬间产生的脉冲信号。

冲激函数通常被表示为δ(t)，其中t为自变量。

冲激函数的定义如下：无穷,t=0δ(t)=0,t≠0在定义中，只有当t=0时，冲激函数的取值为无穷大；其余时刻冲激函数的取值都为0。

冲激函数的图像呈现为在t=0时的一个尖峰。

冲激函数具有以下性质：1.冲激函数δ(t)在t≠0的时刻都为0，只有在t=0时取值为无穷大。

2. 冲激函数是一个特殊的函数，它的积分等于1，即∫δ(t)dt=13.冲激函数可用于描述系统对瞬变信号的响应。

三、阶跃函数和冲激函数在实际应用中的意义阶跃函数和冲激函数在控制工程和信号处理中具有广泛的应用，主要包括以下方面：1.系统响应：阶跃函数和冲激函数可用于描述系统对不同类型输入信号的响应。

通过对系统在不同时刻的输出特性进行测量，可以得到系统的传递函数或冲激响应等重要参数。

§1.4 阶跃信号和冲激信号北京邮电大学电子工程学院尹霄丽t三．单位冲激(impulse)（难点）6页概念引出定义1：狄拉克(Dirac)函数定义2：脉冲信号取极限冲激函数的性质7页定义1：狄拉克(Dirac )函数()⎪⎩⎪⎨⎧≠==∫∞∞−0 0)( 1d )(t t t t δδ00()d ()d 1t t t t δδ+−∞−∞==∫∫¾函数值只在t = 0时不为零；¾积分为1；¾t =0 时，，为无界函数。

()∞→t δ冲激函数的性质10页为了信号分析的需要，人们构造了()tδ函数，它属于广义函数。

就时间t而言，()tδ可以当作时域连续信号处理，因为它符合时域连续信号运算的某些规则。

但由于()tδ是一个广义函数，它有一些特殊的性质。

13页2. 奇偶性(Parity ))()(t t −=δδ证明奇偶性时，主要考察此函数的作用，即和其他函数共同作用的结果。

()d ()(0)f t t f t δ∞−∞=∫(()d )f t t t δ∞−∞−∫∫−∞∞=−−−=)d()()(τττδτf t )0(d )()(f f =−=∫∞∞−τττδ有值只在又因为0)(=t t δ)()(t t −=δδ，故•由定义1，矩形脉冲本身是偶函数，故极限也是偶函数。

•由抽样性证明奇偶性。

a()页()()()()()()f t t f t t f t t δδδ′′′⎡⎤=+⎣⎦()()()()0f t t f t δδ=与不同。

()()()t f t f t t f δδδ)0()(0)(′−′=′()()()()(00())t f t t f t f δδδ′′⎡⎤=+⎣′⎦()t δ⎯⎯⎯⎯⎯→的抽样性（1）抽样性（5）冲激偶()()()()()。

阶跃函数与冲激函数的关系首先，我们来了解阶跃函数的定义。

阶跃函数又被称为单位跃跃函数或Heaviside阶跃函数，通常用符号u(t)表示。

它的定义如下：\[ u(t)=\begin{cases}0, \quad t<0 \\1, \quadt\geq0\end{cases} \]阶跃函数在t=0处从0跳跃到1，表示的是在该点之前信号为0，在该点及之后信号为1、阶跃函数是一个非常简单的信号，但它可以用来描述很多实际问题，如电路开关的打开时间、物体的运动状态等。

接下来我们来看看冲激函数的定义。

冲激函数又称为单位冲激函数或Dirac冲激函数，通常用δ(t)表示。

它的定义如下：\[ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t)dt=1 \]冲激函数的一个特点是在t=0时刻处取正无穷，而在其他时刻都是0，形状上类似于一个非常窄的脉冲。

冲激函数在数学上是很难准确定义的，但我们可以通过一些近似方法来描述它，如高斯分布等。

阶跃函数和冲激函数之间有着一定的关系。

首先，我们可以把阶跃函数表示为冲激函数的积分形式：\[ u(t)=\int_{-\infty}^{t} \delta(\tau)d\tau \]这个式子表示了在t之前的所有时刻上的冲激函数的叠加，从而得到阶跃函数。

这个等式在数学上可以通过积分的性质予以证明。

另外，冲激函数也可以表示为阶跃函数的导数形式：\[ \delta(t)=\frac{d}{dt}u(t) \]这个式子表示了冲激函数是阶跃函数的导数。

这个等式在微积分中可以通过导数的性质予以证明。

阶跃函数和冲激函数的关系在实际应用中有着重要的意义。

首先，冲激函数常常被用来描述理想的触发脉冲，以及用于控制系统中的激励信号。

阶跃函数则常常被用来描述系统的响应，如单位阶跃响应函数。

在信号与系统的分析中，通过对冲激信号的积分可以得到系统对任意输入信号的响应。

这一过程被称为卷积运算，是信号处理中的一种重要操作。

冲激函数和阶跃函数冲激函数和阶跃函数是数学建模中常用的两个非常重要的函数。

它们在信号处理、电路设计、控制系统等领域起着举足轻重的作用。

在本文中，我们将详细介绍冲激函数和阶跃函数的定义、性质以及其在实际应用中的意义。

首先，让我们来看看冲激函数。

冲激函数是一个在原点处取值无限大，在其他位置取值为零的函数。

它通常用符号δ(t)来表示，其中t为自变量。

冲激函数在时间域上的表示是一个瞬时的、无宽度的脉冲，因此也被称为单位冲击函数。

冲激函数在数学建模中用于描述突发事件或瞬间的冲击信号。

在信号处理中，冲激函数经常被用来分析系统的响应、频率响应、时域响应等。

冲激函数具有一些重要的性质。

首先，冲激函数满足单位面积的条件，即积分值为1。

其次，冲激函数是偶函数，即δ(t) = δ(-t)。

再次，冲激函数具有平移不变性，即δ(t - a)表示将冲激函数在时间轴上向右平移a个单位。

最后，冲激函数与其他函数的卷积运算可以将原函数的特性传递给卷积结果，这在信号处理中非常重要。

接下来，我们来介绍阶跃函数。

阶跃函数是数学建模中常用的一种特殊函数，用符号u(t)来表示。

这个函数在t = 0时取值为0，在t > 0时取值为1。

阶跃函数在数学中用来描述突变现象，比如开关的启动和停止。

在电路设计和控制系统中，阶跃函数非常有用，通常用来描述信号的启动时间、响应时间等。

阶跃函数也有一些重要的性质。

首先，阶跃函数具有连续性，即在t = 0时函数值连续。

其次，阶跃函数是单调非减的，即随着时间的增加，函数值逐渐增加。

再次，阶跃函数在t = 0时的导数是冲激函数，即u'(t) = δ(t)。

最后，阶跃函数与其他函数的卷积运算可以将原函数的特性传递给卷积结果，这在信号处理和控制系统中也非常重要。

冲激函数和阶跃函数在实际应用中有着广泛的意义和指导作用。

在信号处理中，冲激函数可以用来分析复杂系统的频率响应、时域响应等，帮助工程师更好地理解系统的性质和行为。

阶跃函数与冲激函数的关系
阶跃函数和冲激函数是信号与系统中常见的两种函数形式。

阶跃函数表示在某一时刻突然变化的信号，它在变化前是一个常数，变化后为另一个常数。

冲激函数表示在某一时刻瞬间出现的信号，它在该时刻的值为无穷大，其他时刻的值为零。

这两种函数之间存在着密切的关系。

事实上，冲激函数可以看作是阶跃函数的导数。

具体来说，假设阶跃函数为u(t)，则它的导数
可以表示为：
δ(t) = d[u(t)]/dt
其中δ(t)表示冲激函数。

这个式子的意义是，当阶跃函数u(t)在某一时刻发生突变时，它的导数就会在该时刻出现一个冲激信号。

因此，冲激函数可以用来描述一些重要的信号特性，比如系统的冲击响应、频域特性等等。

在信号与系统理论中，阶跃函数和冲激函数是非常基础的概念，对于理解和应用信号与系统的知识都非常重要。

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