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阶跃函数和冲激函数简介及简单应用

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第二讲阶跃与冲激函数

第二讲阶跃与冲激函数

f ( t )[ ( t t1 ) ( t t 2 )]
o (a)
t
t
o (b)
t
o
t1
t2 (c)
t
（3）积分
第1-5页
( ) d t (t )
■
©海军工程大学电气与信息工程学院
信号与系统 电子教案 2、单位冲激函数
单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大， 作用时间极短一种物理量的理想化模型。
第1-25页
■
©海军工程大学电气与信息工程学院
信号与系统 电子教案 冲激函数的性质总结 （1）取样性
f ( t ) ( t ) f (0) ( t )

（5）冲激偶
f ( t ) ( t ) f (0) ( t ) f (0) ( t )



f ( t ) ( t ) d t f (0)
©海军工程大学电气与信息工程学院
信号与系统 电子教案
(t )
延迟单位阶跃信号
1
O
t
(t t 0 )
0 (t t 0 ) 1
t t0 t t0
,
t0 0
1
O
t0
t
(t t 0 )
0 (t t 0 ) 1
t t 0 t t 0
函数值只在t = 0时不为零； 积分面积为1；
t =0 时， t ，为无界函数。
o
δ (t) (1)
t
第1-9页
■
©海军工程大学电气与信息工程学院
信号与系统 电子教案 δ(t)与ε(t)的关系
γ
1 2
n

阶跃函数和冲激函数

阶跃函数和冲激函数
பைடு நூலகம்
控制系统的性能优化
阶跃函数用于测试控制系统的 性能，通过观察系统对阶跃输 入的响应速度和超调量，可以
评估系统的性能。
冲激函数可用于分析系统的 频率响应，了解系统在不同 频率下的性能表现，为系统
性能优化提供依据。
通过调整控制系统的参数，结 合阶跃函数和冲激函数的特性， 可以优化控制系统的性能指标。
控制系统的故障诊断与修复
在图形上，冲激函数看起来像一个非 常窄的矩形脉冲。
应用场景
在信号处理中，冲激函数常被 用作单位冲激信号，用于表示 某一事件的发生或开始。
在物理学中，冲激函数可以用 于描述瞬间作用或力的作用， 例如碰撞或冲击。
在电路分析中，冲激函数可以 用于描述电路中的瞬态响应或 冲激响应。
03
阶跃函数与冲激函数的 比较
05
阶跃函数和冲激函数在 控制系统中的应用
控制系统的稳定性分析
01
阶跃函数用于分析控制系统的稳定性，通过观察系统
对阶跃输入的响应，可以判断系统是否稳定。
02
冲激函数可用于分析系统的零点和极点，进一步确定
系统的稳定性。
03
通过计算系统的传递函数，结合阶跃函数和冲激函数
的性质，可以判断系统在不同频率下的稳定性。
阶跃函数和冲激函数可用于检测控制系统的故障，通过观察系统对输入信号的响应变化，可以判断系 统是否存在故障。
阶跃函数和冲激函数还可以用于定位故障，通过分析系统在不同输入下的响应特性，可以确定故障发生 的位置。
在故障诊断的基础上，可以利用阶跃函数和冲激函数的特性，制定相应的修复措施，恢复控制系统的正 常运行。
04
阶跃函数和冲激函数在 信号处理中的应用
信号的分离与提取

第四节阶跃函数和冲激函数

第四节阶跃函数和冲激函数

t
x
dx
0,
t,
t<0 t>0
t
t
t
t
x
dx
t
t
'x
dx
tdt 1
'tdt 0
• 四.冲激函数的性质：
• 1.与普通函数的乘积： f t t f 0 t
筛选特性
f
t tdt
f
0 tdt
f
0
f t ' t f 0 ' t f ' 0 t
f
t
' t dt
f
' 0
• 而一些广义函数间乘积无定义如：δ(t)ε(t);δ(t)δ(t);δ(t)δ’(t)等。
第四节 阶跃函数和冲激函数
• 一. 阶跃函数和冲激函数
rn(t)
1
1 .阶跃函数 ：（引入）若有一个函数： 2
n 1
1
t
n
• rn(t)=
0
, t<-1/n 即信号从(-1/n,1/n)区间内从0幅度升高到1。
•
½+nt/2 , -1/n<t<1/n
•
1
, t>1/n
• 若所用时间很短 0，即在0- 0+的时间内由0 1，则定义为单位阶跃函数
波形如图:
t
t 0,t 0
• 冲激函 t
dt
t
t
x
dx
• 二.冲激函数的广义定义
• <1>δ(t)广义定义：对一个性能良好的函数φ(t)（检验函数）有以下定义
则δ(t) 为冲激函数：
(t ) (t )dt
，(0φ)(t)为一般函数，性能良好

电工基础实用教程5-5阶跃函数简明教程PPT课件

电工基础实用教程5-5阶跃函数简明教程PPT课件

电 工 基 础
如果电路既满足齐次性又满足叠加性，则该 电路是线性的，可表示为
A1 f1(t ) A2 f2 (t ) A1 y f 1(t ) A2 y f 2 (t )
如果电路元件的参数不随时间变化，则该电 路为时不变电路。这时，电路的零状态响应的函 数形式与激励接入电路的时间无关，即
)
t 0 t 0
RC电路在单位阶跃电压激励下的阶跃响应为：
uc (t ) (1 e 1 i(t ) e R


t RC
) (t )
t RC
a)所示电路，若以电流iL为输出，求其阶跃 响应g(t)。
解 根据阶跃响应的定义，令us=ε(t)，它相当于1V电压源在 t=0时接入电路，如图(b)所示，而且电路的初始状态 iL(0+)=iL(0-)=0。
y f (t ) Ag(t ) Ag(t t0 )
单位阶跃响应
电 工 基 础
例：图 (a) 所示电路，其激励 is 的波形如图 (b) 所示。若 以uC为输出，求其零状态响应。 解 激励is可表示为
单位阶 跃响应
is (t ) 2 (t ) 2 (t 2) A
u (t ) 2g (t ) 2g (t 2)V
1 t 2
) (t )V
) (t 2)V
uC (t ) 12(1 e ) (t ) 12(1 e

t 2 2
电 工 基 础
例2： 如图电路，S合在1时已达稳定状态，t =0时 开关由1合向2，在t = τ =RC时，又由2合向1， 用两种方法求t≥0时的电容电压uc. 2
电 工 基 础
5.5阶跃函数与阶跃响应

阶跃响应、冲激响应

阶跃响应、冲激响应

计算方法
对于线性时不变系统，可以通过求解微分方程或传递函数来 计算阶跃响应。
对于离散系统，可以通过差分方程或Z变换来计算阶跃响应。
阶跃响应的特点
1
阶跃响应具有非周期性和非振荡性。
2
阶跃响应的初始值和终值取决于系统的初始状态 和稳态值。
3
阶跃响应的变化速度取决于系统的动态特性和输 入幅度。
02
CATALOGUE
冲激响应
定义
冲激响应是指在单位冲激函数激励下 系统的输出，它是系统对输入信号的 瞬态响应。
冲激响应描述了系统在单位冲激函数 作用下的动态特性，是分析系统稳定 性和性能的重要依据。
计算方法
01
对于线性时不变系统，冲激响应可以通过系统的传 递函数进行计算。
02
对于离散时间系统，冲激响应可以通过系统的差分 方程进行计算。
阶跃响应、冲激响 应
目 录
• 阶跃响应 • 冲激响应 • 阶跃响应与冲激响应的联系与区别 • 阶跃响应与冲激响应的应用 • 阶跃响应与冲激响应的实验分析
01
CATALOGUE
阶跃响应
定义
阶跃响应是指系统在阶跃信号输入下 ，其输出量随时间的变化情况。
阶跃响应是系统对突然变化输入的响 应，其输出量由初始状态逐渐变化到 稳态值。
CATALOGUE
阶跃响应与冲激响应的联系与区别
联系
01 阶跃响应和冲激响应都是系统对输入信号的响应 方式，用于描述系统的动态特性。
02 阶跃响应和冲激响应都是系统对单位阶跃函数和 单位冲激函数的响应，具有相似性。
03 阶跃响应和冲激响应在一定程度上可以相互转换 ，例如通过积分或微分运算。
区别
定义
信号检测

阶跃响应和冲激响应之间的关系

阶跃响应和冲激响应之间的关系

阶跃响应和冲激响应之间的关系阶跃响应和冲激响应是信号处理中常用的概念，它们之间存在着密切的关系。

阶跃响应描述了系统对于单位阶跃信号的输出响应，而冲激响应则描述了系统对于单位冲激信号的输出响应。

本文将从阶跃响应和冲激响应的定义、性质以及它们之间的关系进行详细介绍。

我们来看一下阶跃响应的定义。

阶跃响应是指系统对于单位阶跃信号的输出响应。

单位阶跃信号是一种在时间t=0时从0跳变到1的信号，它在t>0时始终保持为1。

阶跃响应描述了系统对于这种信号的输出情况。

接下来，我们来看一下冲激响应的定义。

冲激响应是指系统对于单位冲激信号的输出响应。

单位冲激信号是一种在时间t=0时瞬时出现，幅度为无穷大的信号，持续时间极短，但面积为1。

冲激响应描述了系统对于这种信号的输出情况。

阶跃响应和冲激响应之间存在着紧密的联系。

事实上，在很多情况下，我们可以通过冲激响应来求得阶跃响应。

这是因为单位阶跃信号可以看作是单位冲激信号的积分。

具体来说，我们可以将单位阶跃信号表示为单位冲激信号的积分形式。

假设单位阶跃信号为u(t)，单位冲激信号为δ(t)，那么单位阶跃信号可以表示为u(t)=∫δ(τ)dτ。

根据线性系统的性质，系统对于单位阶跃信号的输出可以表示为系统对于单位冲激信号的输出的积分形式。

换句话说，我们可以通过对系统的冲激响应进行积分，得到系统的阶跃响应。

这是因为阶跃信号是冲激信号的积分，而系统对于冲激信号的输出又可以通过冲激响应来描述。

阶跃响应和冲激响应之间的关系还可以通过频域的方法来理解。

在频域中，系统的阶跃响应和冲激响应之间存在着简单的关系。

阶跃响应可以通过冲激响应进行傅里叶变换得到，而冲激响应可以通过阶跃响应进行傅里叶变换得到。

总结起来，阶跃响应和冲激响应之间存在着密切的关系。

阶跃响应描述了系统对于单位阶跃信号的输出响应，而冲激响应描述了系统对于单位冲激信号的输出响应。

通过对冲激响应进行积分可以得到阶跃响应，而通过对阶跃响应进行傅里叶变换可以得到冲激响应。

一阶电路(电路原理)阶跃函数和冲激函数

一阶电路(电路原理)阶跃函数和冲激函数
一阶电路阶跃函数和冲激函数
目录
• 引言 • 一阶电路基础知识 • 阶跃函数在一阶电路中应用 • 冲激函数在一阶电路中应用 • 一阶电路与阶跃函数、冲激函数关系探讨 • 实际应用与案例分析数和冲激 函数的作用和影响。
背景
在电路分析中，一阶电路是最基 本的电路模型之一，而阶跃函数 和冲激函数是描述电路动态特性 的重要工具。
等效变换法
等效变换法是通过将复杂电路中的元 件进行等效变换，从而简化电路的分 析过程。
03 阶跃函数在一阶电路中应 用
阶跃函数定义及性质
阶跃函数定义
阶跃函数是一种特殊的连续时间函数，表示在某一时刻瞬间发生的跃变。
阶跃函数性质
在跃变时刻之前，函数值为0；跃变时刻之后，函数值为1（或其他常数）。
阶跃响应概念及求解方法
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
电力电子器件开关过程分析
电力电子器件在开关过程中会产生阶跃或冲激电流和电压，分析这些电流和电压对器件性能和系统稳定性的 影响，有助于提高电力电子系统的可靠性。
系统故障分析与保护
在电力系统中发生故障时，故障电流和电压往往具有阶跃或冲激特性，利用这些特性可以实现对故障的快速 检测和准确定位，为系统保护提供重要依据。
05 一阶电路与阶跃函数、冲 激函数关系探讨
阶跃函数与冲激函数关系
1
阶跃函数和冲激函数都是描述信号突变特性的函 数。
2
阶跃函数表示信号在某一时刻发生跃变，而冲激 函数则表示信号在某一时刻发生瞬时变化。
3
两者之间的关系可以通过微分和积分相互转换， 即冲激函数是阶跃函数的导数，阶跃函数是冲激 函数的积分。
案例分析
滤波器类型与性 能要求

信号与系统阶跃信号和冲激信号

信号与系统阶跃信号和冲激信号
1 sgn( t) 1 t 0 t 0

O
2

2
sgn t
1
O
t
-1
1 sgn( t ) u ( t ) u ( t ) 2 u ( t ) 1 u ( t) [sgn( t) 1 ] 2
三．单位冲激δ(t)（难点）
概念引出 定义1 定义2 冲激函数的性质
冲激导数的抽样情况：利用分部积分运算

(t)f(t) d t


f ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) d t f
f(0 )
3.冲激偶（冲激的导数）
s( t )
1
(t )

1
成为
(1)
O
o
求导
s( t )
集美大学信息工程学院201041414阶跃信号和冲激信号阶跃信号和冲激信号信号函数本身有不连续点跳变点或其导数与积分有不连续点的一类信号函数统称为奇异信号或奇异函数
§1.4 阶跃信号和冲激信号
集美大学信息工程学院 2010.4
本节介绍
信号（函数）本身有不连续点(跳变点)或其导 数与积分有不连续点的一类信号（函数）统称为 奇异信号或奇异函数。 主要内容： •单位斜变信号 •单位阶跃信号 •单位冲激信号 •冲激偶信号
0 u ( t t ) 0 1
t
u( t t 0 )
1
O
1
t t 0 , t 0 0 t t 0
0
t0 u(t t0 )
t
由宗量 t O t t 0 可 t 知 t , 即 时 0 0 ，函数有断点，跳变点 间为 t0 时 宗量>0 函数值为1 宗量<0 函数值为0

冲激函数和阶跃函数

冲激函数和阶跃函数

冲激函数和阶跃函数冲激函数和阶跃函数是数学建模中常用的两个非常重要的函数。

它们在信号处理、电路设计、控制系统等领域起着举足轻重的作用。

在本文中，我们将详细介绍冲激函数和阶跃函数的定义、性质以及其在实际应用中的意义。

首先，让我们来看看冲激函数。

冲激函数是一个在原点处取值无限大，在其他位置取值为零的函数。

它通常用符号δ(t)来表示，其中t为自变量。

冲激函数在时间域上的表示是一个瞬时的、无宽度的脉冲，因此也被称为单位冲击函数。

冲激函数在数学建模中用于描述突发事件或瞬间的冲击信号。

在信号处理中，冲激函数经常被用来分析系统的响应、频率响应、时域响应等。

冲激函数具有一些重要的性质。

首先，冲激函数满足单位面积的条件，即积分值为1。

其次，冲激函数是偶函数，即δ(t) = δ(-t)。

再次，冲激函数具有平移不变性，即δ(t - a)表示将冲激函数在时间轴上向右平移a个单位。

最后，冲激函数与其他函数的卷积运算可以将原函数的特性传递给卷积结果，这在信号处理中非常重要。

接下来，我们来介绍阶跃函数。

阶跃函数是数学建模中常用的一种特殊函数，用符号u(t)来表示。

这个函数在t = 0时取值为0，在t > 0时取值为1。

阶跃函数在数学中用来描述突变现象，比如开关的启动和停止。

在电路设计和控制系统中，阶跃函数非常有用，通常用来描述信号的启动时间、响应时间等。

阶跃函数也有一些重要的性质。

首先，阶跃函数具有连续性，即在t = 0时函数值连续。

其次，阶跃函数是单调非减的，即随着时间的增加，函数值逐渐增加。

再次，阶跃函数在t = 0时的导数是冲激函数，即u'(t) = δ(t)。

最后，阶跃函数与其他函数的卷积运算可以将原函数的特性传递给卷积结果，这在信号处理和控制系统中也非常重要。

冲激函数和阶跃函数在实际应用中有着广泛的意义和指导作用。

在信号处理中，冲激函数可以用来分析复杂系统的频率响应、时域响应等，帮助工程师更好地理解系统的性质和行为。

1-2冲击信号

1-2冲击信号

3 系统框图 连续基本单元：积分器、加法器、数乘器、延时器等。 连续基本单元：积分器、加法器、数乘器、延时器等。 离散基本单元：加法器、数乘器、延迟器等。 离散基本单元：加法器、数乘器、延迟器等。
连续系统基本单元 积分器
f (t )
f1 (t )
离散系统基本单元
∫
y (t ) =
∫
t
−ω
f ( x)dx
Aε (t )
u = Aε (t )
2. 定义
1 ε (t ) = 0
ε (t )
t >0 t<0
延时阶跃函数： 延时阶跃函数：
1 ε (t − t 0 ) = 0
(t )
t > t0 t < t0
O
t0
3. 阶跃函数是可积函数
r (t ) = tε (t ) = ε (τ )dτ
三. 冲激函数
1.工程背景 工程背景 力学中瞬间作用的作用力；电学中的雷击电闪等。 力学中瞬间作用的作用力；电学中的雷击电闪等。 2.定义 2.定义 狄拉克（Dirac） 狄拉克（Dirac）定义 极限方式定义 严格数学定义：分配函数（广义函数） 严格数学定义：分配函数（广义函数）定义
δ (t )
与任意函数相乘
+ω
f (t )δ ' (t ) = f (0)δ ' (t ) − f ' (0)δ (t )
f (t )δ ' (t − t 0 ) = f (t 0 )δ ' (t − t 0 ) − f ' (t 0 )δ (t − t 0 )
抽样性
∫
−ω
f (t )δ ' (t ) dt = − f ' (0)

§1.4 阶跃信号和冲激信号

§1.4 阶跃信号和冲激信号
[ f t (t )]' f t (t ) f (t ) t f 0 (t ) f 0 (t ) f (t ) t ， f (t ) t f 0 (t ) f 0 (t )
（对比： f ( t ) ( t ) f 0 t ）
若面积为k，则强度为k。 三角形脉冲，双边指数脉冲，钟形脉冲，抽样函数，取 0极限，都可以认为是冲激函数。P18 图1-30
退出
3. 定义2：狄拉克(Dirac)
( t )dt 1 ( t ) 0, t 0
0 ( t )dt ( t ) dt
R( t ) u( t )
(t )

(1)
( t )
1
1 1 t
0
0
t
0
t
求 导
R(t) ↓ ↑ 积 u ( t) ↓ ↑ 分 ( t)
(-<t< )
退出
退出
冲激偶的标度变换
1 1 at t a a

(k)
1 1 (k) at k t a a
退出
例题
例1： (5t ) f ( t )d ( t )

1 f 0 5
f(5-2t)
(2) t 0 1 2 3 f(5-t)
例 2：已知 f ( 5 2t ) 波形，请画出 f ( t ) 的波形。
( t ) f ( t )dt

t

f ( 0)


( ) f ( )d ( ) ( ) f ( )d f (0)

又 ( t )只在t 0有值 故 ( t ) ( t )

阶跃响应、冲激响应

阶跃响应、冲激响应

iS
iC +
(t)
R
C uC
定性分析
（1） t 在 0- ～ 0+ 间
uC(0)=0，电容相当于短路
iC (t )
0
Δq 0 iCdt 1
uC
(0
)
Δq C
uC
(0
)
1 C
（2） t > 0+ 零输入响应。
解 （1） t 在 0- ～ 0+ 间
C duC uC (t )
dt R
0 C duC dt
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9.1 阶跃函数和冲激函数
一、单位阶跃函数（unit step function）
(t)
1. 定义
(t)
def
0 1
(t 0) (t 0)
1
0
t
用 (t )可描述开关的动作。
S
US
R+ uC C
–
开关在t =0 时闭合
US(t)
R+ uC C –
def 0 (t 0)
US (t) US (t 0)
(t) 线性网络 h(t)
一、卷积积分（convolution）定义 设 f1(t) , f2(t)在 t < 0时均为零
t
f1(t )* f2 (t ) 0 f1( ) f2 (t )d
性质1 f1(t)* f2(t) f2(t)* f1(t)
t
证明 f1(t )* f2 (t ) 0 f1( ) f2 (t )d
01
t
(1< t) f (t) (t 1)
则 f (t) t [ (t) (t 1)] (t 1)
二、单位冲激函数（unit pulse function）

阶跃响应-冲激响应

阶跃响应-冲激响应

例
6 6 2
i(t) As(t) As(t t0 )
τ L 1s R
A(1 e t )ε(t) A[1 e (tt0 ) ]ε(t t 0 )
(2) 当：0 ≤ t ≤ t 0 ， u(t) = A
零输入 响应
i(t)
A
(1
e
t τ
R
)
A(1 e t )， (0
t
t0 )
-A
当：t t0，u(t) 0 i(t0 ) A(1Aε(t t0 ) Aε(t t1) 2Aε(t t2 )
例6-5-2 下图所示为零状态RL电路，求在脉冲电压作用下的电流i(t)，uL(t)。
解： 已知：L=1H，R=1Ω。
零状态 响应
(1)
u(t) Aε(t) Aε(t t0 )
t
s(t) (1 e τ )ε(t)
零输入响应
零状态响应
例6-6-1 t≥0 时RC并联电路如图所示，在电流源iS(t) 的作用下，若R=1Ω，C=1F，iS(t)=2A，uc(0)=1V，试 求uc(t)的稳态响应，瞬态响应和完全响应。
解：
1t
uc (t) uc () [uc (0) uc ()]e RC
稳 态 响 应 U Cp iS R 2 V
i(t) i' (t) i" (t) 5e 0.5tε(t) 2.5e 0.5(t2)ε(t 2)A
三、冲激响应(自学)
重要结论：
对于一个线性时不变电路，如设激励为x时的 响应为y，则当所加激励换为x的导数或积分时， 所得响应必相应地为y的导数或积分。
冲激函数是阶跃函数的一阶导数，因此冲激 响应可以按阶跃响应的一阶导数求得。
§6-5 阶跃响应 冲激响应 The step response & pulse

阶跃函数和冲激函数

阶跃函数和冲激函数

f ( t ) ( t t1 ) f (t1 ) (t t1 ) f (t ) (t t1 )dt f (t1 ) (t t1 )dt f (t1 ) ' f (t ) (t t1 )dt f ' (t1 )
0 r (t ) t
t0 t0
εxdx r t tεt
t
三、有延迟的单位冲激和单位阶跃信号 若冲激不是发生在原点,而是在 t t 0 则记为 ( t t 0 )
(t t0 ) 时移的冲激函数
1
0
t0
t
( t t 0 ) 0 , t t 0 t t 0 dt 1
例如：如图所示的函数：
f t
1
可表示为：
1
0
1
2
t
f t t 1 t 1 t t 1 t t 2
例如：如下图所示的函数：
f t
1
1 0 1 2 t
可表示为：
f t t 1 2 t t 2
0 单位冲激函数
sgnt
符号函数：(Signum)—奇异函数例
1 sgn( t ) 1 t 0 t0
1 (t ) [sgn( t ) 1] 2
O
t
sgn( t ) (t ) (t ) 2 (t ) 1
冲激函数的导数
s(t )
1 1
1/n
t
(虚线代表n增大时的 变化趋势)
该脉冲波形下的面积为1， 不妨称其为函数 pn t 的强度
rn(t)
1 1/2
(t)

一阶电路(电路原理)阶跃函数和冲激函数.ppt

一阶电路(电路原理)阶跃函数和冲激函数.ppt

f(0)(t)
同理有： f ( t ) ( t t ) d t f ( t ) 0 0


* f(t)在 t0 处连续
(t)
(1)
f(t) t
例
t t ) ( t ) d t (sin 6



f(0)
0
sin 1 . 02 6 6 2 6
1
t
= L/R
3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。
4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。
时间常数 的简便计算： 例1 + R1 R2 L R1
R2
L
= L / R等 = L / (R1// R2 )
例2
R等
C
= R等C
§6-5 一阶电路的零状态响应
零状态响应：储能元件初始能量为零的电路在输入激励作用 下产生的响应 一. RC电路的零状态响应 K(t=0) US R
i()d
0
uC (0+) = uC (0-) q (0+) = q (0-)
电荷守恒
当iC为冲激函数时，即 iC (t)
0 1 1 uC (0 ) u ( 0 ) u ( 0 ) ( ) d C C 0 C C
uC (0 )
结论 换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
§6-3 电路的初始条件
一. 关于 t = 0+与t = 0-
f(t)
t 0- 0 0+
换路在 t=0时刻进行
00+ t = 0 的前一瞬间 t = 0 的后一瞬间
初始条件为 t = 0+时u ，i 及其各阶导数的值

阶跃响应和冲激响应的关系

阶跃响应和冲激响应的关系

阶跃响应和冲激响应的关系阶跃响应和冲激响应，这两个名词听起来就像是那些复杂的数学公式，咱们普通人一听就感觉头大。

不过，别急，今天就来聊聊这两个家伙，保证让你听得轻松有趣，心里明白透彻。

阶跃响应就像是你早上起床时的第一杯咖啡，突然的提神，让你瞬间清醒过来。

你可以想象一下，早上赖床的你，突然听到闹钟响起，那一瞬间，你的身体就像被电击了一样，瞬间进入了“工作状态”。

这种反应其实就是阶跃响应，系统对一个突如其来的输入（比如你闹钟的响声）作出的反应。

而冲激响应呢，简单来说，就是系统对一个瞬间信号的反应。

想象一下，朋友们一起聚会，突然有人拍了一下桌子，整个房间的注意力瞬间都被吸引过去。

这一拍就是冲激信号，大家的反应就是冲激响应。

看，原来这两个概念在生活中随处可见，不管是喝咖啡的清醒还是拍桌子的注意力，都在告诉我们，反应其实是很有趣的事情。

这两者之间的关系就像是亲兄弟。

阶跃响应可以说是冲激响应的积累。

想象一下，你喝了第一口咖啡，然后喝第二口、第三口，直到你感觉整个人都充满了能量。

每一口咖啡就是一次小小的冲击，而最终的清醒状态就是阶跃响应的结果。

学术上说，阶跃响应是冲激响应在时间上的积分，听起来复杂，但其实就是一个简单的累积过程，没啥好担心的。

有趣的是，这种关系在信号处理和控制系统中非常重要。

比如说，你设计一个自动驾驶的系统。

它需要在感知到障碍物时快速反应。

这个时候，系统的冲激响应决定了它的灵敏度，而阶跃响应则决定了它的最终反应时间。

换句话说，如果你的系统冲击响应不够好，可能就会导致“撞车”事件。

哈哈，是不是听起来有点吓人，但这就是技术的魅力所在，能把抽象的概念变得生动起来。

在日常生活中，咱们也可以用简单的例子来理解这些概念。

比如说，看一部电影，突然有一个惊悚的情节出现，你的心脏会猛跳一下，这就是冲激响应。

而电影的节奏随着情节的推进而变得紧张，这个过程就是阶跃响应的体现。

换句话说，冲激和阶跃就像是电影中的快节奏和慢节奏交替，制造着情感的高兴与低谷，让人欲罢不能。

第一章(2)阶跃函数和冲激函数

第一章(2)阶跃函数和冲激函数

2、移位 在t
= t1
处的冲激函数为 δ ( t − t 1 ) 则：
f ( t )δ ( t − t 1 ) = f ( t 1 )δ ( t − t 1 ) ∞ ∞ ∫−∞ f (t )δ (t − t1 )dt = f (t1 )∫−∞ δ (t − t1 )dt = ∞ ' f ( t ) δ ( t − t1 )dt = − f ' ( t1 ) ∫− ∞
1.4 阶跃函数和冲激函数
0, 1 n γ n (t ) = + t , − 1 < t < 1 ; 我们 来讨论这样的一个函数： n n 2 2 1 1, t > n
一、阶跃函数和冲激函数
1 t < − n
rn(t)
1 1/2
pn(t) 求导 1/n t -1/n 0
n/2
ε(t)
1
t ε(t) = ∫−∞δ (τ )dτ
可见它们不同于普通函数。 可见它们不同于普通函数。
0 单位阶跃函数
t
δ(t)
(1)
0 单位冲激函数
t
ε (t )与 (t )之 的 系 δ 间 关 ：
dε (t ) δ (t ) = dt
ε(t)
1
t ε(t) = ∫−∞δ (τ )dτ
乘积。 乘积。 解： t δ ( t ) = 0
f (t )δ ' (t ) = f (0 )δ ' (t ) − f ' (0 )δ (t )
f (t )δ (t ) = f (0 )δ (t )
e −αtδ ( t ) = δ ( t )
tδ ' ( t ) = − δ ( t ) e − α t δ ' ( t ) = δ ' ( t ) + αδ ( t )

阶跃函数和冲激函数简介及简单应用

阶跃函数和冲激函数简介及简单应用
■


第 21 页
(2) 当a = –1时 ( n ) (t ) (1) n ( n ) (t ) 所以， δ(– t) = δ (t) 为偶函数， δ’(– t) = – δ’ (t)为奇函数
▲ ■ 第 14 页
举例
已知f(t)，画出g(t) = f ’(t)和 g(2t)
f (t)
4 -2 o 2
▲ ■ 第 13 页
3. 对(t)的尺度变换
1 at t a
1 1 at t a a
证明

(n)
举例
1 1 (n) (at ) n (t ) |a| a
推论: 1 (1) (at ) (t )
|a|
t0 1 (at t 00.5 ) δ (t) (t ) δ(2 t)= |a| a
▲ ■ 第 20 页
k
(k ) (k j )
j 0
取样性质举例
2 sin( t ) (t ) sin( ) (t ) (t ) 4 4 2


2 sin( t 4 ) (t ) d t 2



sin( t ) (t 1) d t ? 0 3 4
f′(t) = 2δ(t +1)-2δ(t -1)
▲
■
第 9页
三． 冲激函数的性质
取样性 冲激偶 尺度变换 复合函数形式的冲激函数
▲
■
第 10 页
1. 取样性(筛选性)
如果f(t)在t = 0处连续，且处处有界，则有
( t ) f ( t ) f (0) ( t )
f (t )
o 2 t

阶跃函数与冲击函数

阶跃函数与冲击函数

(t ) ( t )
冲激函数奇偶性证明
•由定义1，矩形脉冲本身是偶函数，故极限也是偶函数。
•由抽样性证明奇偶性。
证明奇偶性时，主要考察此函数的作用，即和其他函数 共同作用的结果。



(t ) f (t ) d t f (0)
( t ) f (t ) d t
t
（2）奇偶性 ( t ) (t )


例1



(5t ) f ( t )dt ?
1 f 0 5
f(5-2t)
例2
已知信号f (5 2t )的波形， 请画出f ( t )的波形。 f (5 2t ) 2 (t 3)
f (5 2t ) f (5 t ) 展宽一倍
4. 对(t)的标度变换
冲激偶的标度变换
1 at t a
1 1 at t a a

(k )
1 1 (k ) at k t a a
冲激信号尺度变换的证明
从 ( t )定义看：
pt 1
pat 1




2 t
门函数：也称窗函数
f t u t u t 2 2
1 f t G τ t t
其他函数只要用门函数处理(乘以 门函数)，就只剩下门内的部分。 符号函数：(Signum)
1 sgn( t ) 1 t 0 t0

而


1 1 (t ) f ( t )dt f (0) a a
四.总结： R(t)，u(t)， (t) 之间的关系
R( t ) 1
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f (t ) (t ) d t f (0)
t
（2）奇偶性 ( t ) (t ) （3）比例性 1 (at ) t a （4）微积分性质
d (t ) (t ) dt


( t ) d t (t )
( t ) ( t )
f ( 0 ) ( t )



(t ) f (t ) d t f (0)
o
证明 对于平移情况：
t
f (t ) (t t 0 ) f (t0 ) (t t 0 )
举例



(t t0 ) f (t ) d t f (t0 )
▲
■
第 11 页
2.冲激偶
s( t )
证明
(t ) f (t ) d t (1) f
n (n)
δ(n)(t)的定义： δ’(t)的平移： ③







(n)
(0)
(t t 0 ) f (t ) d t f (t 0 )

t

(t ) d t t
2
d 例 (t 2) ' (t ) d t [(t 2) 2 ] t 0 2(t 2) t 0 4 dt
1
(t )

(1)


o
s( t )

1
t
O
t
τ↓
0
( t )
2


O 1 2
t
O
t
▲
■
第 12 页
冲激偶的性质
① f(t) δ’(t) = f(0) δ’(t) – f ’(0) δ (t) ② 证明



' (t ) f (t ) d t f ' (0)
δ (t )
求导
o t
t
(1) o
▲ ■
(t ) ( ) d

d (t ) (t ) dt
t
第 8页
引入冲激函数之后，间断点的导数也存在
f (t ) 2
f '(t)
求导
o 1 t
(2) -1 o
1
t (- 2)
-1
f(t) = 2ε(t +1)-2ε(t -1)
δ (k )
1 -1 o 1 k
f(k)δ(k –k0) = f(k0)δ(k –k0)
k
f (k ) (k ) f (0)
k

•例
k
(k ) ?

(k 5) (k ) ?

i
▲
(k i ) ?
■ 第 19 页
1 2
1 o
(t )
1 n
0, t 0 def 1 (t ) lim n (t ) , t 0 n 2 1, t 0
1 n
t
1
O
▲ ■
t
第 2页
2. 延迟单位阶跃信号
1
(t )
O
t
(t t 0 )
0 (t t 0 ) 1
f′(t) = 2δ(t +1)-2δ(t -1)
▲
■
第 9页
三． 冲激函数的性质
取样性 冲激偶 尺度变换 复合函数形式的冲激函数
▲
■
第 10 页
1. 取样性(筛选性)
如果f(t)在t = 0处连续，且处处有界，则有
( t ) f ( t ) f (0) ( t )
f (t )
■


第 21 页
§1.4 阶跃函数和冲激函数
函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积 分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异 函数。 阶跃函数 冲激函数
是两个典型的奇异函数。
阶跃序列和单位样值序列
■
第 1页
一、单位阶跃函数
1. 定义 下面采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数。
γ
n
选定一个函数序列γn(t)如图所示。

2. 单位阶跃序列ε(k) 定义
•定义
1, k 0 (k ) 0, k 0
def
ε (k)
1 -1 o1 2 3 … k
•ε(k)与δ(k)的关系 δ(k) = ε(k) –ε(k –1) 或
(k )
i

(i)
ε(k) = δ(k)+ δ(k –1)+…
o
1 n
t
(t ) lim p n (t )
n
高度无穷大，宽度无穷小，面积为1的对称窄脉冲。
▲ ■ 第 7页
3. δ(t)与ε(t)的关系
γ
1 2
n
1 o
1 n
求导
n 2
pn (t )
1 n
d n (t ) p n (t ) dt
t
n→∞

1 n
o
1 n
t
ε (t ) 1
0 (t t0 ) 1
t t0 , t0 0 t t0
t t 0 , t0 0 t t 0
1
O
t0
(t t 0 )
t
1
t0 O
▲ ■
t
第 3页
3. 阶跃函数的性质
（1）可以方便地表示某些信号 f(t) = 2ε(t)- 3ε(t-1) +ε(t-2)
o 2 t
■ 第 16 页
ε( t 2 – 4) =1 –ε(t+2)+ε(t – 2)
1 d 1 2 [t 4] [ (t 4)] [ (t 2) (t 2)] 2t d t 2t 1 1 1 1 (t 2) (t 2) (t 2) (t 2) 2 2 2 2 4 4
(2) 当a = –1时 ( n ) (t ) (1) n ( n ) (t ) 所以， δ(– t) = δ (t) 为偶函数， δ’(– t) = – δ’ (t)为奇函数
▲ ■ 第 14 页
举例
已知f(t)，画出g(t) = f ’(t)和 g(2t)
f (t)
4 -2 o 2
o 1 2 t f (t) 2
（2）用阶跃函数表示信号的作用区间
f (t) f(t)ε (t)
-1
f(t)[ε (t-t1)-ε (t-t2)]
o (a)
t
t
o (b)
t
o
t1
t2 (c)
t
（3）积分
( ) d t (t )
▲
■
第 4页
二．单位冲激函数
单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大， 作用时间极短一种物理量的理想化模型。
d d f (t ) { [ f (t )]} [ f (t )] dt dt
-2 o -4 2
1 d [ f (t )] { [ f (t )]} f ' (t ) d t
t
ε[f(t)]图示说明： 例f(t)= t2 – 4
ε [f (t) ]
1 -2
▲
ε(t2 – 4)=1 –ε(t+2)+ε(t – 2)
求导，得g(t)
t
(4) -2
g(t) = f '(t)
2
o -1
t
压缩，得g(2t)
(2) -1 o -1
g(2t)
1
t
▲ ■ 第 15 页
4. 复合函数形式的冲激函数
实际中有时会遇到形如δ[f(t)]的冲激函数，其 中f(t)是普通函数。并且f(t) = 0有n个互不相等的 实根 ti ( i=1，2，…，n) f (t)
1
0


9
1
2 sin( t ) (t ) d t ? 2 4
t


2t , 1 t 1 2 ( t ) d ? 0, 其它 1

1
( 1) 2 ( ) d ? ε(t)
d 2t e (t ) e 2t (t ) 2 e 2t (t ) (t ) 2 e 2t (t ) dt



( t ) d t 0
( ) d (t )
t
▲
■
第 18 页
四. 序列δ(k)和ε(k)
这两个序列是普通序列。
1. 单位(样值)序列δ(k)
def 1, k 0 •定 (k ) 义 0, k 0 •取样性质：f(k)δ(k) = f(0)δ(k)
2
一般地， [ f (t )]
i 1
n
1 (t t i ) f ' (t i )
这表明，δ[f(t)]是位于各ti处，强度为 函数构成的冲激函数序列。 1 1 1 1 2 (4t 1) (t ) (t ) 4 2 4 2 注意：如果f(t)=0有重根，δ[f(t)]无意义。 #
▲
1 的n个冲激 f ' (t i )
■
第 17 页
冲激函数的性质总结
（1）取样性
f ( t ) ( t ) f (0) ( t )
（5）冲激偶 f (t ) (t ) f (0) (t ) f (0) (t )

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