8-3 电场强度通量 高斯定理.

①球对称性：如点电荷，均匀带电球面或球体，均 匀带电同心球面等； (2)轴对称性：如无限长均匀带电直线，无限长均匀 带电圆柱体或圆柱面，无限长均匀带电同轴圆柱面等 (3)面对称性：如无限大均匀带电平面或平板，或若 干个无限大均匀带电平行平面等
S
E
Q
l
O
r
E
p
S
o

均匀带电球壳 均匀带电细棒
r
例3(P27)求无限长均匀带电直线的场强分布。 设线电荷密度为 该电场分布具有轴对称性。 距离导线 r 处一点 p 点的 场强方向一定垂直于带电直导线 沿径向，并且和 P点在同一圆柱 面(以带电直导线为轴)上的各点 场强大小也都相等，都沿径向。
O
S
h
r

E
p
以带电直导线为轴，作一个通过P点， 高为 h 的圆筒形封闭面为高斯面 S， 通过S面的电通量为圆柱侧面和上下 底面三部分的通量。
E
// E
E
dS
1、均匀电场中通过平面S的电通量
定义：矢量面元 dS dS n
dN d e EdS E dS dS dS cos( E n ) dS cos
dS

E
n
dS
大小等于面元的面积，方向取其法线方向。
因此电通量： d e E dS

p E
均匀带电无限大平板
例2(P26)均匀带电的球壳内外的场强分布。 设球壳半径为 R，所带总电量为 Q。 解：场源的对称性决定着场强分布的对称性。
具有与场源同心的球对称性。选同心球 面为高斯面，场强的方向沿着径向，且 在球面上的场强处处相等。
当 r R 高斯面内电荷为Q， 所以：

q
i 1
n
i
在真空静电场中，穿过任一闭合曲面的电场 强度通量，等于该曲面所包围的所有电荷的代数 和除以 ε 0 . 高斯面 连续分布带电体
1 Φe E d S d V S 0 V
第一章 静电学的基本规律
16
电磁学
§1.5
高斯定理 高斯 定理
高斯定理的导出
高斯定理讨论
E
S
E

σ E 2ε0
方向由平面指向两侧
无限大带电平板两侧都是匀强电场。若无限大带 电平板带负电，结论仍成立，不过场强方向是从 两侧指向平板。
第一章 静电学的基本规律
27
电磁学
§1.5
高斯定理
σ
E E E
σ
E
对于有限大带电平面，只要研究的场点P到 平面边缘上任一点的距离远大于P点到平面的垂 直距离，则此平面就可看作“无限大”平面，上 述结论即可应用。
库仑定律 电场强度叠加原理
(1) 高斯面：闭合曲面.
(2) 电通量：穿出为正，穿进为负.
(3) 仅面内电荷对电通量有贡献. (4) 静电场：有源场.
第一章 静电学的基本规律
17
电磁学
§1.5
高斯定理
三、高斯定理的应用
高斯定理从理论上阐述了电场和电荷的关系， 并且提供了一种由源电荷分布计算电场强度的方法。
en

o
en
en E
R
x
6
z
M
Q
第一章 静电学的基本规律
电磁学
§1.5 课堂练习
en
R
高斯定理
1．计算均匀电场中 一圆柱面的电通量。 已知 E 及 R

3.点电荷在封闭曲面之外 e E dS 左 E dS 右 E dS 0
dS1
E2
E1
e S E dS 0
q+ dS 2
4.点电荷系电场中的电通量
使 q1 , q2 , qn 在曲面内；
使 qn1 qnk 在曲面外。 闭合面上各点场强
e S de S E cos dS
e S E dS
S
2）通过闭合曲面的电通量 规定: n 的方向指向曲面的外侧。
dS1 E 1 1 E2
de E dS EdS cos ( E n ) 90 通量为正； ( E n) 90 通量为负。
2.通过高斯面的电通量仅由高斯面内电荷的代数和决 定，而与面外电荷无关。 1 3.若电荷连续分布 e S E dS S dq
0
利用库仑定律和场强叠加原理，验证高斯定理。
1.点电荷位于球面中心
1 q E 4π 0 r 2 1 q e S E dS S dS 2 4π 0 r 1 q dS 2 S 4π 0 r
E0
例：求均匀带电球体的内外场强分布。设球体半径 为 R ，所带总带电为 Q。 解：选取同心的球面 为高斯面。
R
1 n S E dS qi
r
r
o
Q
E
P
0
i 1
1. r R
Qr E 3 4π 0 R
2. r R
Q 4 3 q 3 πr 4πR 3 3
高斯定理概要
一、电场线 性质：静电场的电场线不相交、不中断。 二、电通量 e S E dS 1 n 三、高斯定理 S E dS qi

（3）无限大带电平面电场中的电场线
+
+ + + + + + + +
+
+
+++++++++
3、电场线（E）线的特点: （1）曲线上每一点的切线方向与该点的场强方向相一致； （2）电场线起始于正电荷，终止于负电荷，不形成闭合曲线； （3）任何两条电场线不会相交。 按照电场线的规定所作出的电场线只能定性描述电场的分布，而无法 反映场强的大小。 为了反映场强大小分布，可利用电场线的疏密程度来反映 。密、强； 疏、弱。 4、电场线数密度：垂直穿过单位面积的电场线数 N 均匀电场： 电场线数密度 S E dN N 非均匀电场： 电场线数密度 ds S 规定： 电场线数密度等于场强大小 即 均匀电场： E 非均匀电场：
S
＋
8.3.3 真空中的高斯定理 １、求几种情况下的电场强度通量
（１）包围点电荷球面的电场强度通量 通过
R S
球面上取面元 ds ,
∵球面上： E
ds 的电场强度通量为
d e E ds
q 方向：沿半径向外。 40 R 2 1 q d e E ds ds 2 40 R 1 通过球面的电场强度通量 e E ds
ra
r q0 q a 0
dl θ F q0 E
q0 q q0 q 1 q0 q 1 ( ) 4 0 ra rb 4 0 rb 4 0 ra
（2）任意静电场 元功： 总功：
dA F dl q0 E dl
（２）包围点电荷，任意闭合曲面Ｓ的电场强度通量

（2）当r>R 时，
q l
E 2 0 r
均匀带电圆柱面的电场分布
r
l
E Er 关系曲线
2 0 R
r 1
0
R
r
高斯定理的应用
例3 均匀带电无限大平面的电场. 解：电场分布也应有面对称性，
方向沿法向。
E
E
σ
高斯定理的应用
作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面，底面积为 S，两底面到带电平面距离相同。
高斯定理的应用
3. 高斯定理的应用
条件： 电荷分布具有较高的空间对称性
1. 均匀带电球面的电场 2. 均匀带电圆柱面的电场 3. 均匀带电无限大平面的电场
高斯定理的应用
例1. 均匀带电球面的电场，球面半径为R,带电为q。
解： 电场分布也应有球对称性，方向沿径向。
作同心且半径为r的高斯面.
S E dS
0
合球面的电通量都相等。
高斯定理
（2）高斯定理的验证:
①当点电荷在球心时
②任一闭合曲面S´包围点电荷
e
S
E
dS
q
0
作以q为中心的球面S，由于
电力线的连续性，通过闭合曲面
S和球面S´的电力线根数相等。
因此通过S和S´的电通量相等，
均为
e
S
E
dS
q
0
S
q+
r
S´
高斯定理
（2）高斯定理的验证:
§8-3 高斯定理
1. 电场强度通量 2. 高斯定理 3. 高斯定理的应用
电场强度通量
1. 电场强度通量
(1)定义：通过电场中任一给定面的电力线总数，称
为通过该面的电场强度通量或电通量，用Ψ表e 示。

S vv de E dS '
Eerr dS ' nr
derrS
EdS q d
d
4 0
蜒 e
S
de

q
4 0
d q
S
0
实际上因为电力线不会中断（连续性），所以
通过闭合曲面 S ' 和 S 的电力线数目是相等的。
③ 证明不包围点电荷的任一闭合曲面 S 的
qqi 1
S
S



S
E1 dS
S
E2
dS

S
En
dS 2
e

E dS
S

e1
e2

en

1
0
qi
inside ,i
说明：
① 高斯定律中的场强 E 是由全部电荷产生的。
② 通过闭合曲面的电通量只决定于它所包含的 电荷，闭合曲面外的电荷对电通量无贡献。
二、电场强度通量
E //
E E

1.定义
通过电场中任一曲面的电场线
条数。称为通过这曲面的电场
dS
强度通量（电通量）e
1、均匀电场中通过平面S的电通量
定Qd义SE：矢ddd量SSN面co元s(EvddSvnv) de SdSnvEcdosS
n
dS
dS
E
q 发出的电力线连续的延伸到无穷远。
r
E
q
②证明包围点电荷q 的任一闭合曲面S 的
电通量 e等于 q / 0
立体角solid angle
dS d r 2
q
立体角

2
i
0
q
i
E 4πr 0
E 4 πr
2
q
E 0
0
E
q 4 π 0 r 2
例2 计算均匀带电球体的场强分布，q , R 解： 通量

q 4 πR 3 3
qi 2 Φe E dS E 4πr S 0
r<R r>R 电量
电量
4 3 q π r i 3
S S

n
E
曲面闭合时
Φe E dS E cos dS
S S
S
dS

注： E为dS处的电场强度
n E
例 三棱柱体放置在如图所示的匀强电 场中. 求通过此三棱柱体的电场强度通量. 解
Φe Φei
i 1
5
y
N
S1
P
S2
Φe1 Φe 2
2、高斯 (Gauss) 定理 （1） 证明: 略.书P166-168 （2 ）内容(书P168): 真空中 注:
1 Φe E dS
s
0
q
i 1
n
in i
①公式中S：高斯面(闭合曲面)
②穿过S面的电场强度通量e: 只由S面内的电荷决定
（如图中 q1、q2） ③ E : 面元 dS 处的场强 , 由所有电荷（面内、外电荷） 共同产生（如图中 q1、 q2 、 q3）
；
.
q 8 0
(3) 若将此电荷移到正方体的一 个顶点上，则通过整个 正方体表面的电场强度通量为
1 e E dS
s
0
q

§8-2 静电场的高斯定理
一、电场线
为了形象和直观地描述电场，在电场中画出的一系列 有指向的虚拟曲线，称为电场线。
（1）电场线描述电场
① E方向： 电场线各点的切线方向
② E大小：
E
电场线的疏密反映电场的强弱。
E lim e de 电 场 线 密 度 S0 S dS
电场线密度：（定量描述电力线疏密与电场的强弱的关系）
Φ e
E dS
S
1
ε 0
qi
（λ为沿轴线方向单位长度带电量）
解： r R 高
E dS
S
E dS E dS E dS
斯 面
r
S上
S下
S侧
l
E dS E 2πrl
S侧
E
q r 2l
E r
2 0
§8-3 静电场的环路定理 电势
一、电场力做功
b
Aab q0 E dl
θ
π
2
θ
π
2
Φ e
0
Φ e
0
[例]求均匀电场中一半球面的电通量。
nE
n
n
S1
oR
n
S2
Φ S1
E
dS
S1
E S2
Φ S1
EπR 2
三、高斯定理
在真空中的任意静电场中，通过任一闭合曲面S
的电通量e ,等于该闭合曲面所包围的电荷电量的
代数和除以0 而与闭合曲面外的电荷无关。
Φ e
E
S
dS
ε1 0
a
当带电体在静电场中移动时，静电场力对带电体
要作功，这说明静电场具有能量。
dA F dl q0 E dl q0E cosθdl

S1
Φe 2 0
Φe3
q
0
0
q
S1 S2
q
S3
四
高斯定理的应用
（用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性）
其步骤为
对称性分析； 根据对称性选择合适的高斯面； 应用高斯定理计算.
例一、均匀带电的球面内外的场强分布。设球面半 径为 R，所带总电量为 Q。
解：场源的对称性决定着场 强分布的对称性（说明）。 它具有与场源同心的球 对称性。故选同心球面为高 斯面。场强的方向沿着径向， 且在球面上的场强处处相等。 当r R 高斯面内电荷为Q，所以 Q 2 e E dS E dS E 4 r ， S S 0
其中立体角
dS＇ dΩ 2 r q q Φe dΩ 0 4 π 0
r

dS ＇
dS
点电荷在封闭曲面之外
dΦ E1 dS1 0 1 dΦ2 E2 dS2 0
dΦ dΦ2 0 1
E2
q
dS 2
dS1
E1
E dS 0
在真空中,通过任一闭合曲面的电场强度通量, 等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以 0 . （与面外电荷无关，闭合曲面称为高斯面）
1 Φe E dS
S
请思考：1）高斯面上的 E 与那些电荷有关 ？ 2）哪些电荷对闭合曲面 s的 Φ 有贡献 e
0
q
i 1
n
i自内向外）
的方向为外
例1
如图所示 ，有一
个三棱柱体放置在电场强度
1 E 200i N C 的匀强电
场中 . 求通过此三棱柱体的

Φe前 = Φe后 = Φe下 = ∫ s v v Φe左 = ∫ E ⋅ dS = ES左 cos π = − ES左 s左 v v Φe右斜 = ∫ E ⋅ dS = ES 右斜 cos θ = ES 左 s右斜
z
v Me
Q
v E R x
n
y
N
P
S右
∴Φe = Φe前 + Φe后 + Φe左 + Φe右斜 + Φe下 = 0
电场强度通量 高斯定理
∑ ∫
i （外）
S
v v Ei ⋅ dS
v v Q ∑ ∫ Ei ⋅ dS = 0 S i （外） v v 1 ∴ Φe = ∑ ∫ E i ⋅ d S =
i （内） S
q1
∑
qi
i (内）
q2
v Ev
ε0
高斯定理 Φ
e
=
∫
S
v v 1 E ⋅dS =
ε
∑
n
s
qi
dS qi
0 i (内 )
总 结
(i) 高斯面为封闭曲面. 高斯面为封闭曲面. (ii) 高斯面上的电场强度为所有内外电荷的总电场强度. 高斯面上的电场强度为所有内外电荷的总电场强度 所有内外电荷的总电场强度. (iii) 穿进高斯面的电场强度通量为负，穿出正为. 穿进高斯面的电场强度通量为负，穿出正为. (iv) 仅高斯面内的电荷对高斯面的电场强度通量有贡献. 仅高斯面内的电荷对高斯面的电场强度通量有贡献. 通量有贡献 (v) 静电场是有源场. 即是电荷产生的电场. 静电场是有源场. 即是电荷产生的电场. 有源场
v v dS＇ dS
q dS＇ q dΦ e = = dΩ 2 4 πε 0 r 4 πε 0