高中数学排列组合-平均分组(分配问题)

解:（2）先拿3个指标分给二班1个，三班2个， 然后，问题转化为7个优秀指标分给三个班， 2 每班至少一个.由（1）可知共有 C6 种分法 15
注：第一小题也可以先给每个班一个指标， 然后，将剩余的4个指标按分给一个班、两 个班、三个班、四个班进行分类，共有
C 3C 3C C 126
c n 1 c n c n
m
m
m 源自文库1
注:1 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数 之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标 较大的相同的一个组合数． 2 此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学 习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用．
排列组合中的分组(堆)分配问题
1 3!
5775
二、均分有分配对象的问题
例2：6本不同的书按2∶2∶2平均分给甲、乙、丙三 个人，有多少种不同的分法？ 方法：先分再排法。分成的组数看成元素的个数·
解：均分的三组看成是三个元素在三个位 置上作排列
2 C6
2 2 C4 C2 3 A3
3 A3
2 2 2 C 6 C 4 C 2 =90
三、部分均分有分配对象的问题
例3 12支笔按3：3：2：2：2分给A、B、C、D、E五 个人有多少种不同的分法？ 方法：先分再排法。分成的组数看成元素的个数·
解：均分的五组看成是五个元素在五个位置上 作排列
2 3 2 2 3 C 12C 9 C 6 C 4 C 2 3 2 A3 A2 5 A5
四、部分均分无分配对象的问题
1 6 2 6 3 6 4 6
种分法.
C
将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一 个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个 空隙中，所有分法数为 一 二 三 四 五 六 m1 七 班 班 班 班 班 班 n1 班
C
练习、 （1）10个优秀指标分配给6个班级，每个班级至少 一个，共有多少种不同的分配方法？ （2）10个优秀指标分配到1、2、 3三个班，若名 额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？
分析：（1）这是同种元素的“不平均分组”问题.本小题可 构造数学模型 ，用5个隔板插入10个指标中的9个空隙，
5 9 种方法。按照第一个隔板前的指标数为1班的
即有 C
指标，第一个隔板与第二个隔板之间的指标数为2班的指
标，以此类推，因此共有
C 126 种分法.
5 9
（2）10个优秀指标分配到1、2、 3三个班，若名 额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？
ab ac ad bc bd cd cd bd bc ad ac ab
1.把abcd分成平均两组有_____多少种分法？ 2 2 C4 C2 cd ab 3 2 bd ac A2 ad bc 这两个在分组时只能算一个 bc ad bd ac cd ab 2.平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况， 所以分组后要除以Amm，即m!，其中m表示组数。
C61C52C33
七、非均分组分配对象不固定问题
例7 六本不同的书分给3人，1人1本，1人2本,1人3本 有多少种分法
C61C52C33 A33
注意：非均分组有分配对象要把组数当作元素 个数再作排列。
五、当堂训练
练习1
1：12本不同的书平均分成四组有多少 种不同分法？
C CCC 4 A4
3 12
例4 六本不同的书分成3组一组4本其余各1本有多少 种分法
C64C21C11 A22
五、非均分组无分配对象问题
例5 6本不同的书按1∶2∶3分成三堆有多少种 不同的分法？
C61C52C33
注意：非均分问题无分配对象只要按比例分完 再用乘法原理作积
六、非均分组分配对象确定问题
例6 六本不同的书按1∶2∶3分给甲、乙、丙三个人有 多少种不同的分法？
2 2 2 C6C4 C2 (2) C 1 C 2 C 3 6 5 3 1 2 3 (3) C 6 C5 C3
(1)
4 (4) C 6 3 A3
1 C2
1 C1
二、分类组合,隔板处理 例4.有10个运动员名额，再分给7个班，每班至少一个, 有多少种分配方案？ 解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相 邻名额之间形成９个空隙。 在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７ 份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种 6 分法共有___________ 种分法。 9
点拨提高
一、均分无分配对象的问题
例1：12本不同的书 （1）按4∶4∶4平均分成三堆有多少种不同的分法？ （2）按2∶2∶2∶6分成四堆有多少种不同的分法？ 4 4 4 C C C 8 4 12 (1) 3 A3 2 6 2 2 C C C C 8 10 6 12 (2) 3 A3
12! 8! 4!· 8! 4!· 4!
m n! A n(n 1)(n 2)(n m 1) m m n Cn Cn m Am m! m !(n m)!
我们规定：Cn 1.
0
定理 1:
C
m n
Cn
nm
性质2
证明 :
m n
c n 1 c n c n
m1 n
m
m
m 1
C C
n! n! m!(n m)! (m 1)![n (m 1)]! n!( n m 1) n! m ( n m 1 m) n! m!( n m 1)! m!( n 1 m)! (n 1)! m C n 1 . m![(n 1) m]!
——组合应用题
复习巩固：
1、组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成 一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 2、组合数: 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个 数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 m 表示. Cn 3、组合数公式:
3 9
3 6
3 3
练习2
2：10本不同的书
（1）按2∶2∶2∶4分成四 堆有多少种不同的分法？
(1) ( 2)
（2）按2∶2∶2∶4分给甲、 乙、丙、丁四个人有多少 种不同的分法？
C C C C 3 A3 C C C C
2 10 2 8 2 6
2 10
2 8
2 6
4 4
4 4
3 有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，按下条 件，各有多少种不同的分法？ （1）每人各得两本； （2）甲得一本，乙得两本，丙得三本； （3）一人一本，一人两本，一人三本； （4）甲得四本，乙得一本，丙得一本；