第八章稳恒电流的磁场9页word

第八章 稳恒磁场§8-1、电流的磁场【基本内容】一、毕奥—萨伐尔定律设有通电导线L ，在L 上以电流元l Id ，l Id 到场点P 的矢径为r，如图6.1，则l Id 在场点所产生的B d为：大小：20sin 4r Idl dB ；方向：由l Id 与r的右手定则确定。

真空中磁导率)/(/104270A m T A N二、磁场叠加原理：在若干个电流或电流元产生的磁场中，某点的磁感应强度等于各个电流或电流元单独存在时在该点所产生的磁感应强度的矢量和。

即iiB B或 B d B三、常见载流体的磁场分布1、载流直导线的磁场分布半无限长直导线的磁场分布：无限长直导线的磁场分布： 2、通电圆环轴线上的磁场圆心处x=0：对长为L 的圆弧： 3、长直螺线管、密绕螺绕环内的磁场【典型例题】利用磁场叠加原理求磁场毕萨定律是计算电流产生磁场的一般方法，应按矢量积分的方法计算。

磁场叠加原理：步骤：1、取电流元l Id 并求l Id 产生的B d ，2、由磁场叠原理求B：（1） 若各B d 的方向相同，则直接积分 dB B ； （2） 若各B d的方向不相同，则正交分解后积分q v IAFB R图6.3x xPR 0I图6.20aP【例8-1】 闭合载流导线弯成如图例6-1所示的形状，载有电流I ，试求：半圆圆心O 处的磁感应强度。

【解】 闭合导线是由直导线和圆弧线组成，根据载流直导线和圆弧导线产生的磁场公式，可求得各段直线和圆弧线在O 点产生的磁感应强度分别为：方向：垂直纸面向外。

方向：垂直纸面向外。

方向：垂直纸面向里。

)2(4200RIB B BB DEEF BCO方向：垂直纸面向里。

【例8-2】 在一半径R 的无限长半圆柱形金属薄片中 ，自上而下地有电流I 通过，如图例6-2所示，试求圆柱轴线上任一点P 的磁感应强度。

【解】 建立例6-2图解坐标系，取宽为ｄＬ的无限长直导线，其通有电流该电流元在Ｏ处产生磁感应强度B d大小： d RI R dI dB 20022 方向：各B d方向不同。

【例8-３】 一内半径为a ，外半径为b 的均匀带电圆环，绕过环心O 且与环平面垂直的轴线以角速度ω逆时针方向旋转，如图例6-３。

环上所带电量为＋Ｑ，求环心O 处的磁感应强度。

【解】 该圆环的面电荷密度在圆环上取半径为ｒ，长为dr 的小圆环，如图例6-3图解： 其带电量：rdr dq 2当带电圆环旋转时，产生圆形电流： 该圆形电流在O 点处产生的磁感应强度大小：dr rdIdB 00212方向：垂直纸面向外。

环心O 处的磁感应强度 方向：垂直纸面向外。

§8-2、磁场定理【基本内容】一、磁场的高斯定律1、磁感应线磁感应线上每一点的切线方向表示该处磁感应强度的方向；磁感应线的疏密程度表示磁感应强度的大R例6-1图例DAFExP4R2RRRBCI IR例6-1图例6D0B C A F ExP+Qb4R2RRR 例6-2图R例6-2图解xd BdLIyx例6-2图D例6-2图解R dLEd BIy 2R例6-3图例6-3图解+Qdrrb a小；磁感应线是无头无尾的闭合曲线。

2、磁通量：垂直通过某一面积元dS 的磁感应线的根数。

通过有限面积S 的磁通量则为： 3、磁场的高斯定理通过任意闭合曲面的磁通量为零：意义：稳恒磁场是无源场，自然界中没有磁单极存在。

二、安培环路定理1、定理的内容：在稳恒磁场中，磁感应强度沿任意闭合路径的线积分等于通过该闭合环路所包围的的所有电流强度I 的代数和的μ0倍。

ll d B：磁感应强度沿任意闭合回路的积分（环流）。

内I：闭合回路所包围的电流的代数和。

I 的正负：由所取回路的方向按右手定则确定。

2、定理的意义稳恒磁场是一非保守场，是有旋场。

【典型例题】用安培环路定理可求解某些磁场的B，这些磁场分布有对称性，即激发磁场的电流分布，要有一定的对称性。

例如（1）无限长均匀载流圆柱体，无限长均匀载流圆柱面和无限长载流直线产生的磁场B在垂直于圆柱轴线的平面上，以轴线上的任一点为圆心，半径为r 的圆周上各点的B的大小相等，方向沿该点的切线。

若安培环路取这样的圆周，且通过需求B 的点，则可用安培环路定理方便地求出该点的B。

（2）载流长直螺线管，除去边缘效应管内是匀强磁场，方向沿螺线管的轴线，由于磁场分布的对称性，可方便地用安培环路定理求出这种情况中的B。

（3）螺绕环，螺绕环内的磁力线是以环心为圆心的同心圆，这种情况也可用安培环路定理求出B。

步骤：（1）选取积分回路l ，（2）求B沿l 的环流 ll d B ，（3）求l 所包围电流强度的代数和，（4）由 内I l d B l0 求B 。

【例8-4】如例6-4图所示，在半径为R 长直圆柱形导体内，开一个半径为r 圆柱形空洞，空洞的轴线与导体的轴线平行，相距为d ，在导体中沿轴线方向通有均匀分布的电流，其电流密度为j 。

（1） 求O 、/O 处的磁感强度； （2） 证明空腔内磁场均匀。

【解】 将此导体等效地看作一个半径为R ，电流均匀分布的大圆柱体，与另一个半径为r 、电流密度大小相等、方向相反的小圆柱体组合而成，而磁感应强度应为两圆柱体的磁感应强度叠加而成。

（1）O 轴上一点的磁感应强度为10B 和20B 分别为大圆柱和小圆柱在O 轴上一点产生的磁感应强度，如图例6-4题解，由安培环路定理求得 故 djr B 2200，方向：垂直于/OO 轴向上。

/O 轴上一点的磁感应强度为/10B 和/20B 分别为大圆柱和小圆柱在/O 轴上一点产生的磁感应强度。

故 /10/0B B 20jd，方向：垂直于/OO 轴向上。

（2） 设空腔内任一点P 距O 为1r ，距/O 为2r ，明显d r r21。

大圆柱和小圆柱在P 点的磁场大小为方向垂直于1r 和2r ，可得P 点的合磁感强度为大小 B jd 20 ，方向垂直于/OO 轴向上。

【讨论】这种设想用用反向电流填充空腔的方法称为补偿法，它使不对称的系统变成两个对称系统的组合，便于利用已知的结果。

【例8-5】 一根半径为R 的长直圆柱形导体载有电流I ，导体内电流均匀分布。

如图例6-5所示。

在圆柱半径和轴/OO 所确定的平面内有一假想的矩形平面S ，长为L ，宽为R 。

求在何位置时，通过S 的磁通量最大。

【解】以/OO 为轴的圆环为安培环路，当圆环半径R r 时，有可求得同样，当R r 时，rIB 20设矩形平面S 的一边与轴线相距x ，则通过S 的磁通量为故当R x )15(21时，磁通量有最大值。

【讨论】根据磁场的特征，随着x 的增加，磁通量逐渐增加，当x 达到某一值时，磁通量开始减少，直至为0。

因此，本题求极大值时，不必求二阶导数。

+I IOd r O O d r 1r 2B 1B j-jj题解例6-4图B 2例6-5图xLROO /IR§8-3、磁场对运动电荷和电流的作用【基本内容】一、磁场对载流导线的作用1、安培定律 大小： sin IdlB dF ； 方向：由B l Id的方向决定。

若导线上的B 处处相同，则B L I F2、电流强度“安培”的定义：设在真空中，两根无限长的平行直导线相距1米，通有大小相同的稳恒电流I ，若导线每米长度上所受的力为2×10-7N ，则每根导线中电流强度的大小规定为1“安培”。

二、磁场对载流线圈的作用1、通过闭合线圈的磁矩m P ：I 0为通过线圈的电流强度、ΔS 为线圈的面积、n为线圈的法向单位矢量，如图6.4。

2、匀强磁场中的载流线圈磁矩为m P 的线圈在均匀磁场中：（1）0 合F ，无平动加速度；（2）B P M m ，若0 M，则产生转动。

讨论： （1） 当2/ 时，M 最大。

（2） 当0 时，M=0，线圈在稳定平衡位置；当 时，M=0，线圈在不稳定平衡位置。

如图6.5。

3、磁感应强度B的定义：磁场中某点处磁感应强度的方向与该点处实验线圈在平衡位置时的法线方向相同。

磁感应强度的数值等于具有单位磁矩的线圈所受到的最大磁力矩。

4、非均匀磁场中的载流线圈在非均匀磁场中的载流线圈：（1）若0 B P M m ，则产生转动；（2）0 合F ，使线圈向B强处移动。

三、磁场对运动电荷的作用1、洛伦兹力洛伦兹力公式：B v q fSId lI 0稳定平衡IPm不稳定平衡图6.4图6.5特点：v f。

洛仑兹力不对运动电荷作功，不改变运动电荷的动能，只改变动量2、霍耳效应当电流垂直磁场方向通过导体（半导体）薄片时，出现横向电压U H ，的现象。

式中，U H 叫霍耳电压，R H 是仅与载流导体材料有关的的系数，叫霍耳系数，b 是导体（半导体）薄片的厚度。

3、带电粒子在均匀磁场中的运动如图6.6，当B v 时： 粒子在均匀磁场中作匀速圆周运动。

B v //时： 粒子在磁场中作匀速直线运动。

v 与B成角度θ时： 粒子在磁场中作螺旋运动。

cos //v v ：使粒子沿B的方向作直线运动。

sin v v ：使粒子垂直于B的方向作圆周运动。

【典型例题】【例8-6】 长直导线通有电流I 1，长为b 的载流导线I 2，距长直导线的距离为a ，与水平方向成θ角，如图例6-6所示，求载流导线I 2所受的安培力。

【解】 在距O 为l 处取电流元l d I 2，l d I 2受力如图例6-6题解所示，1I 在l d I 2处所产生的磁场B为：大小： )cos (210 l a I B；方向：垂直纸面向里。

电流元l d I 2所受的安培力F d；大小：)cos (2102 l a I dl I dF；方向：各F d所受的安培力方向相同。

a3图解例6-6图例6-6题解例6rRI 1I 2d FdrI 1abI 21I aI 2O 0q vq图6.2图6.5Ir Id ld BIB aRP图6.6【例8-7】如图例6-7所示，长直导线通有电流I 1，通有电流为I 2的半圆形载流导线圆心距长直导线I 1的距离为a ，求半圆形载流导线所受的安培力。

【解】 建立图示坐标系，在圆形导线上取电流元l d I 2，1I 在l d I 2所产生的B为：大小：)cos (210 R a I B；方向：垂直纸面向里。

电流元l d I 2所受的安培力F d大小：)cos (2102 R a I dl I dF方向：各F d所受的安培力方向不同，正交分解：【例8-8】 如图例6-8所示，光滑钭面上放有一质量为M ，长为L ，半径为R 的圆柱，其上绕有N 匝导线，置于匀强磁场中，问线圈通有多少电流时，才能使圆柱平衡？【解】 平衡条件，重力与磁力的力矩平衡，即0 m g M M重力所产生的力矩：sin mgR M g 方向：垂直纸面向里。

磁力所产生的力矩： 方向：垂直纸面向外。