随机梯度下降法概述

softmax regression 随机梯度下降数学推导过程1. 引言1.1 概述本文主要介绍softmax regression算法中的随机梯度下降法的数学推导过程。

经典的softmax regression是一种用于多类别分类问题的线性模型，它通过将原始输入映射为各个类别的概率分布来进行分类。

其中随机梯度下降法是优化该模型参数的常用方法之一。

1.2 文章结构本文总共分为5个部分：引言、softmax regression 的基本原理、随机梯度下降法的数学推导过程、实验结果与分析以及结论与展望。

在引言部分，我们将对文章进行一个整体的介绍，并简要说明各个部分内容；在softmax regression 的基本原理部分，我们将对softmax regression模型进行介绍，并推导出其目标函数；在随机梯度下降法的数学推导过程部分，我们将详细讲解梯度下降算法和随机梯度下降算法，并给出其数学推导过程；在实验结果与分析部分，我们将介绍相关的数据集和预处理流程，并描述模型训练与调参过程，最后给出实验结果的详细分析和可视化展示；最后，在结论与展望部分，我们将总结全文内容，并给出未来研究的拓展方向。

1.3 目的本文的主要目的是通过对softmax regression算法中随机梯度下降法的数学推导过程进行详细解释，帮助读者全面理解该优化方法在这一分类问题中的应用。

通过具体的实验结果与分析，我们将验证并评估随机梯度下降法在softmax regression模型中的性能表现。

同时，我们也希望为该领域进一步研究提供一些新的思路和拓展方向。

2. softmax regression 的基本原理2.1 模型介绍softmax regression，也称为多类别逻辑回归或最大熵模型，是一种用于处理多类别分类问题的机器学习算法。

它是逻辑回归的一般化形式，通过将线性模型的输出转化为对应类别的概率来进行分类。

2.2 目标函数及其推导在softmax regression中，我们希望找到一个函数，将输入数据的特征与各个类别之间建立起关联，并预测每个类别的概率。

随机梯度下降法　在求解机器学习算法的模型参数，即⽆约束优化问题时，梯度下降（Gradient Descent）是最常采⽤的⽅法之⼀，另⼀种常⽤的⽅法是最⼩⼆乘法。

这⾥就对梯度下降法做⼀个完整的总结。

1. 梯度 在微积分⾥⾯，对多元函数的参数求∂偏导数，把求得的各个参数的偏导数以向量的形式写出来，就是梯度。

⽐如函数f(x,y), 分别对x,y求偏导数，求得的梯度向量就是(∂f/∂x, ∂f/∂y)T,简称grad f(x,y)或者▽f(x,y)。

对于在点(x0,y0)的具体梯度向量就是(∂f/∂x0, ∂f/∂y0)T.或者▽f(x0,y0)，如果是3个参数的向量梯度，就是(∂f/∂x, ∂f/∂y，∂f/∂z)T,以此类推。

那么这个梯度向量求出来有什么意义呢？他的意义从⼏何意义上讲，就是函数变化增加最快的地⽅。

具体来说，对于函数f(x,y),在点(x0,y0)，沿着梯度向量的⽅向就是(∂f/∂x0, ∂f/∂y0)T的⽅向是f(x,y)增加最快的地⽅。

或者说，沿着梯度向量的⽅向，更加容易找到函数的最⼤值。

反过来说，沿着梯度向量相反的⽅向，也就是 -(∂f/∂x0, ∂f/∂y0)T的⽅向，梯度减少最快，也就是更加容易找到函数的最⼩值。

2. 梯度下降与梯度上升 在机器学习算法中，在最⼩化损失函数时，可以通过梯度下降法来⼀步步的迭代求解，得到最⼩化的损失函数，和模型参数值。

反过来，如果我们需要求解损失函数的最⼤值，这时就需要⽤梯度上升法来迭代了。

梯度下降法和梯度上升法是可以互相转化的。

⽐如我们需要求解损失函数f(θ)的最⼩值，这时我们需要⽤梯度下降法来迭代求解。

但是实际上，我们可以反过来求解损失函数 -f(θ)的最⼤值，这时梯度上升法就派上⽤场了。

下⾯来详细总结下梯度下降法。

3. 梯度下降法算法详解3.1 梯度下降的直观解释 ⾸先来看看梯度下降的⼀个直观的解释。

⽐如我们在⼀座⼤⼭上的某处位置，由于我们不知道怎么下⼭，于是决定⾛⼀步算⼀步，也就是在每⾛到⼀个位置的时候，求解当前位置的梯度，沿着梯度的负⽅向，也就是当前最陡峭的位置向下⾛⼀步，然后继续求解当前位置梯度，向这⼀步所在位置沿着最陡峭最易下⼭的位置⾛⼀步。

《统计学习⽅法》梯度下降的两种应⽤场景这⼏天在看《统计学习⽅法》这本书，发现梯度下降法在感知机等机器学习算法中有很重要的应⽤，所以就特别查了些资料。

⼀.介绍梯度下降法（gradient descent）是求解⽆约束最优化问题的⼀种常⽤⽅法，有实现简单的优点。

梯度下降法是迭代算法，每⼀步需要求解⽬标函数的梯度向量。

⼆.应⽤场景1.给定许多组数据（x i, y i），x i （向量）为输⼊，y i为输出。

设计⼀个线性函数y=h（x）去拟合这些数据。

2.感知机：感知机（perceptron）为⼆类分类的线性分类模型。

输⼊为实例的特征向量，输出为实例的类别，取+1 和 -1 ⼆值。

下⾯分别对这两种应⽤场景进⾏分析。

1.对于第⼀种场景:既然是线性函数，在此不妨设为 h(x) = w0*x0 + w1*x1。

此时我们遇到的问题就是如何确定w0和w1这两个参数，即w=（w0，w1）这个向量。

既然是拟合，则拟合效果可以⽤平⽅损失函数：E(w)=∑ [ h(x)- y ] ^2 / 2 来衡量。

其中w是权重⼆维向量，x是输⼊⼆维向量，x和y都是训练集的数据，即已知。

⾄于后⾯除于2只是为了之后的推导过程中对E求导时候可以消除系数，暂时可以不管。

因此该问题变成了求E(w)最⼩值的⽆约束最优化问题2.对于第⼆种场景:假设输⼊空间(特征向量)为x，输出空间为y = {+1, -1},由输⼊空间到输出空间的如下函数f(x) = sign(w · x + b) w∈R n其中 w 叫做权值或者权值向量, b叫做偏振。

w · x 表⽰向量w和x的点积感知机sign(w · x + b)的损失函数为 L(w, b) = -∑y i(w · x i + b) x ∈M, M为误分类点集合。

因此该问题变成了求L(w, b)最⼩值的⽆约束最优化问题三.梯度下降⽅法梯度其实就是⾼数求导⽅法，对E这个公式针对每个维数（w0，w1）求偏导后的向量▽E(w)=（∂E/∂w0,∂E/∂w1）1. 对于第⼀种场景对E这个公式针对每个维数（w0，w1）求偏导后的向量▽E(w)=（∂E/∂w0,∂E/∂w1）梯度为最陡峭上升的⽅向，对应的梯度下降的训练法则为： w=w-η▽E(w) 这⾥的η代表学习速率，决定梯度下降搜索中的步长。

梯度下降法最小误差-概述说明以及解释1.引言1.1 概述:梯度下降法是一种优化算法，用于最小化目标函数或误差函数的方法。

通过不断沿着负梯度方向更新参数，使得目标函数值逐渐趋于最小值。

在机器学习领域，梯度下降法被广泛应用于训练模型，如线性回归、逻辑回归和神经网络等。

梯度下降法的核心思想是通过计算目标函数关于参数的梯度，找到目标函数下降最快的方向，并沿着该方向更新参数。

这种迭代更新的过程可以使得模型在训练集上逐渐逼近最优解，从而达到最小化误差的目的。

本文将深入探讨梯度下降法的基本原理、在机器学习中的应用以及其优缺点，希望读者能对梯度下降法有一个更深入的理解，并在实践中灵活运用这一强大的优化算法。

1.2文章结构1.2 文章结构本文将首先介绍梯度下降法的基本原理，包括梯度的概念、损失函数、学习率等相关概念，以帮助读者了解梯度下降法的工作原理。

接着，将探讨梯度下降法在机器学习中的应用，包括线性回归、逻辑回归、神经网络等常见的机器学习算法中如何使用梯度下降法来优化模型参数，提高模型性能。

在讨论梯度下降法的优缺点时，将对其在优化过程中可能遇到的问题进行分析，如局部最优解、学习率调整等，以及与其他优化算法的比较，帮助读者更全面地了解梯度下降法的优势和局限性。

最后，通过总结梯度下降法的重要性、展望未来的发展以及得出结论，将帮助读者形成对梯度下降法的综合认识，促进其在实际应用中的运用和优化。

1.3 目的梯度下降法作为一种常用的优化算法，在机器学习和深度学习领域得到广泛的应用。

本文的目的是通过深入探讨梯度下降法的基本原理、在机器学习中的具体应用以及其优缺点，帮助读者更好地理解和掌握这一重要的算法。

同时，通过总结梯度下降法的重要性，展望其在未来的发展趋势，我们希望读者可以更好地应用梯度下降法解决实际问题，并为未来的研究和发展提供一定的参考和启发。

最终，我们将在结论部分对本文所述内容进行总结和反思，为读者留下深刻印象。

2.正文2.1 梯度下降法的基本原理梯度下降法是一种常用的优化算法，主要用于求解损失函数的最小值。

从SGD到Adam——常见优化算法总结1 概览虽然梯度下降优化算法越来越受欢迎，但通常作为⿊盒优化器使⽤，因此很难对其优点和缺点的进⾏实际的解释。

本⽂旨在让读者对不同的算法有直观的认识，以帮助读者使⽤这些算法。

在本综述中，我们介绍梯度下降的不同变形形式，总结这些算法⾯临的挑战，介绍最常⽤的优化算法，回顾并⾏和分布式架构，以及调研⽤于优化梯度下降的其他的策略。

2 Gradient descent 变体有3种基于梯度下降的⽅法，主要区别是我们在计算⽬标函数（ objective function）梯度时所使⽤的的数据量。

2.1 Batch gradient descent 批梯度下降法计算公式如下：其中η表⽰学习率。

该⽅法在⼀次参数更新时，需要计算整个数据集的参数。

优点：可以保证在convex error surfaces 条件下取得全局最⼩值，在non-convex surfaces条件下取得局部极⼩值。

缺点：由于要计算整个数据集的梯度，因此计算⽐较慢，当数据量很⼤时，可能会造成内存不⾜。

另外，该⽅法也⽆法在线（online）更新模型。

计算的伪代码如下：for i in range ( nb_epochs ):params_grad = evaluate_gradient ( loss_function , data , params )params = params - learning_rate * params_grad其中，params和params_grad均是向量（vector）。

2.2 Stochastic gradient descent（SGD）随机梯度下降计算公式如下：随机梯度下降法每次更新参数时，只计算⼀个训练样本(x(i), y(i))的梯度。

优点：计算速度快，可以⽤于在线更新模型。

缺点：由于每次只根据⼀个样本进⾏计算梯度，因此最终⽬标函数收敛时曲线波动可能会⽐较⼤。

由于SGD的波动性，⼀⽅⾯，波动性使得SGD可以跳到新的和潜在更好的局部最优。

随机梯度下降的基本原理随机梯度下降的基本原理什么是随机梯度下降？•随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent，简称SGD）是一种常用的优化算法。

•在机器学习和深度学习中，SGD被广泛应用于模型训练过程中的参数优化。

•SGD通过迭代的方式，逐步调整模型的参数，使得模型在训练数据上的损失逐渐减小，从而达到优化模型的目的。

基本原理1.初始化模型参数：–首先，需要随机初始化模型的参数。

这些参数将被逐步调整以最小化损失函数。

2.选择一个样本：–从训练集中随机选择一个样本作为本次迭代的输入。

3.计算梯度：–对选择的样本计算损失函数的梯度。

–梯度表示损失函数在当前参数下的下降方向。

4.更新模型参数：–根据计算得到的梯度，更新模型的参数。

–参数的更新方向与梯度的方向相反，以使得损失函数逐渐减小。

–参数更新的步长称为学习率，它决定了参数每次更新的幅度。

5.重复上述步骤：–重复2-4步，直到达到预定的停止条件。

–常见的停止条件有达到一定迭代次数、损失函数的变化小于某个阈值等。

随机梯度下降的特点•快速更新参数：–与传统的梯度下降算法不同，SGD每次只使用一个样本进行参数更新。

–这使得SGD在处理大规模数据集时更加高效。

•容易产生噪声：–由于每次采样的样本不同，SGD更新参数的方向可能存在一定的随机性。

–这导致SGD的参数更新可能带来一定的噪声，可能会影响到模型的收敛性和性能。

•可能陷入局部极小值：–由于使用随机梯度，SGD的更新方向可能不一定是全局最优的。

–这使得SGD容易陷入局部极小值，而无法达到全局最优解。

•可以使用学习率衰减：–为了更好地控制参数更新的幅度，可以使用学习率衰减的策略。

–学习率衰减可以使得模型在训练初期更快地收敛，在后期可以更加稳定地优化模型。

结语随机梯度下降是一种常用的优化算法，广泛应用于机器学习和深度学习领域。

通过使用随机梯度逐步调整模型的参数，我们可以有效地优化模型并提高其在训练数据上的性能。

随机梯度下降算法的优化与改进随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent，简称SGD）算法是一种常用的优化算法，用于求解机器学习中的模型参数。

它通过迭代的方式不断更新模型参数，以最小化损失函数。

然而，传统的SGD 算法存在一些问题，如收敛速度慢、易陷入局部最优等。

为了解决这些问题，研究者们提出了许多改进和优化的方法。

一、学习率调整方法学习率是SGD算法中一个重要的超参数，它决定了每次迭代中参数更新的幅度。

传统的SGD算法中学习率是固定不变的，在训练过程中容易导致收敛速度过慢或者无法收敛。

为了解决这个问题，研究者们提出了多种学习率调整方法。

1.1 学习率衰减学习率衰减是指在训练过程中逐渐减小学习率。

常用的衰减方式有指数衰减、多项式衰减等。

指数衰减方式通过设置一个衰减因子，在每个迭代步骤中将当前学习率与衰减因子相乘，从而降低学习率的值。

多项式衰减方式则通过设置一个衰减指数，将学习率按照指数衰减的方式递减。

学习率衰减可以在训练初期较大的学习率有助于快速收敛，而在训练后期逐渐降低学习率可以提高模型的精度。

1.2 自适应学习率算法自适应学习率算法是指根据模型参数的梯度信息自动调整学习率的算法。

常用的自适应学习率算法有Adagrad、RMSprop、Adam等。

Adagrad算法根据参数梯度平方和来调整每个参数的学习率，从而使得梯度较大的参数具有较小的更新幅度，梯度较小的参数具有较大的更新幅度。

RMSprop算法则是在Adagrad算法基础上对梯度平方和进行指数加权平均来调整每个参数的学习率。

Adam算法则是结合了动量项和自适应调整因子来更新模型参数。

二、批量大小选择批量大小是指每次迭代中用于计算梯度和更新模型参数所使用样本数量。

传统的SGD算法中，批量大小通常为1，即每次迭代只使用一个样本。

然而，这种方式容易导致模型参数的更新幅度过大或者过小，从而影响模型的收敛速度和精度。

为了解决这个问题，研究者们提出了一些批量大小选择的方法。

梯度下降与随机梯度下降概念及推导过程梯度下降与随机梯度下降概念及推导过程⼀、总结⼀句话总结：> 梯度通俗理解：我们对⼀个多元函数求偏导,会得到多个偏导函数.这些导函数组成的向量,就是梯度.1、利⽤梯度下降法求解梯度的过程？> 1、随机⼀个初始值,在多元线性回归中,我们随机⼀组w,带⼊到损失函数中,得到⼀个初始点.> 2、让这个点按照负梯度的⽅向运动,就是我们前边讲的θ(k)=θ(k-1)-α*g ,梯度的计算如上⽂所述.> 3、迭代第⼆步,当迭代此处达到某⼀个数,或者上⼀步和这⼀步的结果误差⼩于某个数,就认为是最优解了,停⽌迭代.迭代次数和最⼩误差值都是可以设置的.⼆、梯度下降与随机梯度下降概念及推导过程上⼀章中有提到利⽤解析解求解多元线性回归,虽然看起来很⽅便,但是在解析解求解的过程中会涉及到矩阵求逆的步骤.随着维度的增多,矩阵求逆的代价会越来越⼤(时间/空间),⽽且有些矩阵没有逆矩阵,这个时候就需要⽤近似矩阵,影响精度.所以本章我们⼀起来学习求解多元线性回归最常⽤的,也是后边可能会讲的深度学习最常⽤的求解办法:梯度下降与随机梯度下降.其实随机梯度下降才是咱们最常⽤的求解办法,但是不知道梯度下降,理解随机梯度下降就有些直接盖⼆楼的感觉了(我的意思是空中楼阁).那什么是梯度下降呢?从字⾯意思上,我们就可以get到他最重要的点--梯度.所以⾸先我们来看梯度的概念.(事先声明,好多概念纯粹为了⽅便理解)什么是梯度:1-先看官⽅解释:梯度的本意是⼀个向量（⽮量），表⽰某⼀函数在该点处的⽅向导数沿着该⽅向取得最⼤值，即函数在该点处沿着该⽅向（此梯度的⽅向）变化最快，变化率最⼤（为该梯度的模）。

2-通俗理解:我们对⼀个多元函数求偏导,会得到多个偏导函数.这些导函数组成的向量,就是梯度.这⾥需要开拓⼀下你聪明的头脑.⼀元函数的梯度是什么?思考⼀下.它的梯度可以理解为就是它的导数.我们求解⼀元函数的时候有⼀种办法是对函数求导得到导函数,令导函数为零得到这个函数的解析解.那我们可不可以理解为求解⼀元函数时利⽤让⼀元函数的梯度变为0的时候,梯度所在的位置就是函数的最优解呢? (稍稍有点偷天换⽇,但是在⼀元函数中梯度和导数并⽆区别,这块⼀定要理解)梯度中元素(导函数)的个数的个数同未知数的个数是对应,每⼀个未知数都可以像求解⼀元⼀次函数⼀样,通过它所对应的梯度求得最优解.其实求解多元函数和⼀元函数的道理是⼀样的,只不过函数是⼀元的时候,梯度中只有⼀个导函数,函数时多元的时候,梯度中有多个导函数.当我们把梯度中的所有偏导函数都变为0的时候,就可以找到每个未知数的对应解?(事实证明是这样的)附上⼀张梯度的图假设这个曲⾯是⼀个多元函数,我们可以把这个曲⾯看成是由⽆数条曲线组成,每条曲线代表了多元函数的⼀个维度,当所有维度都下降到梯度为0的点,是不是这个点就是多元函数的解的那个点呢?什么是梯度下降:1-还是按照惯例,先看官⽅解释.梯度下降是迭代法的⼀种,可以⽤于求解最⼩⼆乘问题(线性和⾮线性都可以)。

随机梯度下降作用随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent，SGD）是一种常用的机器学习算法优化方法，它在训练模型时可以对大规模数据集进行高效的处理。

本文将介绍随机梯度下降的作用、原理以及一些常用的改进方法。

一、随机梯度下降的作用随机梯度下降是一种优化算法，它的主要作用是最小化目标函数。

在机器学习领域，我们通常会使用一个模型来拟合训练数据，并利用目标函数来衡量模型的拟合程度。

优化算法的目标就是找到能够使目标函数取得最小值的模型参数。

1.高效处理大规模数据集：传统的梯度下降算法需要在每一次迭代中计算所有样本的梯度，对于大规模数据集而言，这样的计算代价非常高昂。

而随机梯度下降仅使用单个样本（或一小批样本）的梯度来更新模型参数，因此可以有效地处理大规模数据集。

2.快速收敛：由于随机梯度下降在每一次迭代中只使用了部分样本的梯度，因此可以更快地更新模型参数。

尤其是在训练数据集较大的情况下，随机梯度下降通常能够更快速地收敛到一个较优的解。

3.适用于在线学习：由于随机梯度下降每次只使用一个样本或一小批样本的梯度来更新模型参数，因此可以很容易地进行在线学习任务。

在在线学习中，新数据会不断地加入到训练集中，而传统的梯度下降算法在每次迭代中都需要遍历全部训练集，这样的计算代价是非常高昂的。

二、随机梯度下降的原理```参数更新公式：θ=θ-α*∇J(θ)```其中，θ表示模型的参数，J(θ)表示目标函数，α表示学习率，∇J(θ)表示目标函数关于参数θ的梯度。

与传统的梯度下降算法不同，随机梯度下降每次迭代仅使用一个样本（或一小批样本）的梯度来更新参数。

这样做的一个显著优势是减少了计算复杂度，特别是对于大规模数据集而言。

此外，每次迭代通过样本的随机选择，使得随机梯度下降可以更好地逼近真实的梯度，从而可能更快地收敛到较优解。

然而，由于随机梯度下降仅使用了一个样本（或一小批样本）的梯度，因此引入了一定的随机性。

SparkMLlib随机梯度下降法概述与实例机器学习算法中回归算法有很多，例如神经⽹络回归算法、蚁群回归算法，⽀持向量机回归算法等，其中也包括本篇⽂章要讲述的梯度下降算法，本篇⽂章将主要讲解其基本原理以及基于Spark MLlib进⾏实例⽰范，不⾜之处请多多指教。

梯度下降算法包含多种不同的算法，有批量梯度算法，随机梯度算法，折中梯度算法等等。

对于随机梯度下降算法⽽⾔，它通过不停的判断和选择当前⽬标下最优的路径，从⽽能够在最短路径下达到最优的结果。

我们可以在⼀个⼈下⼭坡为例，想要更快的到达⼭低，最简单的办法就是在当前位置沿着最陡峭的⽅向下⼭，到另⼀个位置后接着上⾯的⽅式依旧寻找最陡峭的⽅向⾛，这样每⾛⼀步就停下来观察最下路线的⽅法就是随机梯度下降算法的本质。

随机梯度下降算法理论基础在线性回归中，我们给出回归⽅程，如下所⽰：我们知道，对于最⼩⼆乘法要想求得最优变量就要使得计算值与实际值的偏差的平⽅最⼩。

⽽随机梯度下降算法对于系数需要通过不断的求偏导求解出当前位置下最优化的数据，那么梯度⽅向公式推导如下公式，公式中的θ会向着梯度下降最快的⽅向减少，从⽽推断出θ的最优解。

因此随机梯度下降法的公式归结为通过迭代计算特征值从⽽求出最合适的值。

θ的求解公式如下。

α是下降系数，即步长，学习率，通俗的说就是计算每次下降的幅度的⼤⼩，系数越⼤每次计算的差值越⼤，系数越⼩则差值越⼩，但是迭代计算的时间也会相对延长。

θ的初值可以随机赋值，⽐如下⾯的例⼦中初值赋值为0。

Spark MLlib随机梯度下降算法实例下⾯使⽤Spark MLlib来迭代计算回归⽅程y=2x的θ最优解，代码如下：package cn.just.shinelon.MLlib.Algorithmimport java.utilimport scala.collection.immutable.HashMap/*** 随机梯度下降算法实战* 随机梯度下降算法：最短路径下达到最优结果* 数学表达公式如下：* f(θ)=θ0x0+θ1x1+θ2x2+...+θnxn* 对于系数要通过不停地求解出当前位置下最优化的数据，即不停对系数θ求偏导数* 则θ求解的公式如下：* θ=θ-α(f(θ)-yi)xi* 公式中α是下降系数，即每次下降的幅度⼤⼩，系数越⼤则差值越⼩，系数越⼩则差值越⼩，但是计算时间也相对延长*/object SGD {var data=HashMap[Int,Int]() //创建数据集def getdata():HashMap[Int,Int]={for(i <- 1 to 50){ //创建50个数据集data += (i->(2*i)) //写⼊公式y=2x}data //返回数据集}var θ:Double=0 //第⼀步假设θ为0var α:Double=0.1 //设置步进系数def sgd(x:Double,y:Double)={ //随机梯度下降迭代公式θ=θ-α*((θ*x)-y) //迭代公式}def main(args: Array[String]): Unit = {val dataSource=getdata() //获取数据集dataSource.foreach(myMap=>{ //开始迭代sgd(myMap._1,myMap._2) //输⼊数据})println("最终结果值θ为："+θ)}}需要注意的是随着步长系数增⼤以及数据量的增⼤，θ值偏差越来越⼤。

机器学习概念之梯度下降算法（全量梯度下降算法、随机梯度下降算法、批量梯度下降算法） 不多说，直接上⼲货！回归与梯度下降 回归在数学上来说是给定⼀个点集，能够⽤⼀条曲线去拟合之，如果这个曲线是⼀条直线，那就被称为线性回归，如果曲线是⼀条⼆次曲线，就被称为⼆次回归，回归还有很多的变种，如本地加权回归、逻辑回归，等等。

⽤⼀个很简单的例⼦来说明回归，这个例⼦来⾃很多的地⽅，也在很多的开源软件中看到，⽐如说weka。

⼤概就是，做⼀个房屋价值的评估系统，⼀个房屋的价值来⾃很多地⽅，⽐如说⾯积、房间的数量（⼏室⼏厅）、地段、朝向等等，这些影响房屋价值的变量被称为特征(feature)，feature在机器学习中是⼀个很重要的概念，有很多的论⽂专门探讨这个东西。

在此处，为了简单，假设我们的房屋就是⼀个变量影响的，就是房屋的⾯积。

假设有⼀个房屋销售的数据如下： ⾯积(m^2) 销售价钱（万元） 123 250 150 320 87 160 102 220 … … 这个表类似于帝都5环左右的房屋价钱，我们可以做出⼀个图，x轴是房屋的⾯积。

y轴是房屋的售价，如下： 如果来了⼀个新的⾯积，假设在销售价钱的记录中没有的，我们怎么办呢？ 我们可以⽤⼀条曲线去尽量准的拟合这些数据，然后如果有新的输⼊过来，我们可以在将曲线上这个点对应的值返回。

如果⽤⼀条直线去拟合，可能是下⾯的样⼦： 绿⾊的点就是我们想要预测的点。

⾸先给出⼀些概念和常⽤的符号，在不同的机器学习书籍中可能有⼀定的差别。

房屋销售记录表 - 训练集(training set)或者训练数据(training data), 是我们流程中的输⼊数据，⼀般称为x 房屋销售价钱 - 输出数据，⼀般称为y 拟合的函数（或者称为假设或者模型），⼀般写做 y = h(x) 训练数据的条⽬数(#training set), ⼀条训练数据是由⼀对输⼊数据和输出数据组成的 输⼊数据的维度(特征的个数，#features)，n 下⾯是⼀个典型的机器学习的过程，⾸先给出⼀个输⼊数据，我们的算法会通过⼀系列的过程得到⼀个估计的函数，这个函数有能⼒对没有见过的新数据给出⼀个新的估计，也被称为构建⼀个模型。

梯度下降算法来最小化均方误差概述及解释说明1. 引言1.1 概述在机器学习和数据分析领域，梯度下降算法被广泛应用于最小化均方误差。

这种算法通过迭代地调整参数值来寻找使得均方误差最小的模型参数组合。

梯度下降算法基于函数的局部梯度信息，并通过每次迭代沿着梯度负方向更新参数，逐渐接近最优点。

1.2 文章结构本文将详细介绍梯度下降算法以及其在最小化均方误差中的应用。

首先，在第2节中，我们将介绍梯度下降算法的原理，并解释其背后的数学原理。

然后，在第3节中，我们将讨论均方误差（MSE）的定义和计算方法，以及它与梯度下降算法之间的关系。

在第4节中，我们将详细说明如何通过迭代更新参数来最小化均方误差。

最后，在第5节中进行总结并提供实际应用中的注意事项和扩展思考。

1.3 目的本文旨在帮助读者全面了解梯度下降算法以及它在最小化均方误差中的作用。

通过阅读本文，读者将能够理解梯度下降算法的原理和步骤，并掌握如何使用它来优化模型参数。

此外，本文还将强调均方误差在机器学习中的重要性，并解释为什么梯度下降算法是一种有效的方法来最小化该误差。

最后，我们将提供实际应用中的注意事项和扩展思考，以便读者在实践中更好地应用梯度下降算法来解决相关问题。

2. 梯度下降算法2.1 算法原理梯度下降算法是一种常用的优化算法，被广泛应用于机器学习和深度学习领域。

其基本原理是在搜索参数空间中的最小值点，通过迭代求解来逐步优化模型的性能。

梯度下降算法通过计算目标函数关于参数的梯度方向，并朝着使目标函数值减小最快的方向进行参数更新。

2.2 步骤与公式梯度下降算法的步骤如下：- 初始化参数：设置初始参数值，如权重和偏置。

- 计算损失函数：根据当前的参数值计算目标函数（损失函数）的值。

- 计算梯度：计算目标函数对每个参数的偏导数（即梯度），得到一个梯度向量。

- 更新参数：根据学习率和梯度信息，按照指定的更新规则对每个参数进行更新。

- 重复迭代：重复上述步骤，直到达到停止条件（如达到最大迭代次数或误差小于某个阈值）。

随机梯度下降法随机梯度下降法是一种被广泛采用的最优化算法，它常被用于机器学习和深度学习应用中，用于优化神经网络的权值参数。

该算法应用广泛，可以用于多项式回归、逻辑回归、支持向量机，以及SVM等机器学习模型，以及卷积神经网络、循环神经网络等深度学习模型。

随机梯度下降法是基于随机搜索理论的一种算法，其目标是在最小化函数的情况下逐渐改变系统参数以达到最优解。

该算法特点是每次迭代都是从训练集中随机选取一个样本来更新参数，从而有效避免局部最优解的问题，缩短训练时间，并允许一次迭代使用更少的样本。

随机梯度下降法的工作过程是，首先利用训练集计算梯度，然后根据梯度更新参数，重复上述过程，直至参数变化小于预设值，或者达到最大迭代次数。

具体来说，首先初始化参数w，从数据集中随机选取一个样本，计算其对应的梯度，然后根据梯度更新参数，具体的更新过程如下：$$ w^{k+1} = w^k - etaabla f_k(w^k) $$其中$f_k(w^k)$表示第k步的损失函数值，$eta$是学习率，$w^k$和$w^{k+1}$表示第k步和第k+1步参数值。

学习率$eta$是调整算法学习速率的重要参数，可以通过多次实验来确定合适的学习率。

随机梯度下降法有许多变体，如小批量随机梯度下降、随机梯度块下降、自适应学习率随机梯度下降、RMSProp等，这些变体相比随机梯度下降法，可以更好地处理非凸函数、非稳定性函数，提高算法的收敛性。

此外，从硬件角度，也可以使用图形处理器来加速随机梯度下降法的计算，这是因为它有许多可以并行处理的操作，可以大大减少训练时间，为实时模型提供支持，从而为实际应用提供了一种可行的方法。

总的来说，随机梯度下降法已经成为机器学习和深度学习中解决最优化问题的重要算法，可以有效避免局部最优解，缩短训练时间，并可以用硬件加速，为实时应用提供支持。

梯度下降法和牛顿法鞍点概述及解释说明1. 引言1.1 概述在机器学习和优化领域中，梯度下降法和牛顿法是两种常用的优化算法。

它们被广泛运用于解决函数的最小化或最大化问题。

梯度下降法通过迭代地沿着负梯度方向更新参数来逼近目标函数的最小值，而牛顿法利用函数的二阶导数信息进行参数更新，能够更快地收敛到极值点。

1.2 文章结构本文将首先对梯度下降法进行介绍，包括其基本原理和常见的优化算法。

接着我们会详细探讨牛顿法的概念、基本原理以及迭代步骤。

然后，我们将引入鞍点问题并给出定义与概述，并分析影响因素。

最后，我们将讨论鞍点问题的解决方法，并给出相应的探讨。

1.3 目的本文旨在深入理解梯度下降法和牛顿法这两种常用的优化算法，了解它们在机器学习和优化问题中的应用。

同时，希望通过介绍鞍点问题及其解决方法，增强读者对梯度下降法和牛顿法的理解，并为进一步研究这些算法提供参考。

2. 梯度下降法2.1 简介梯度下降法是一种常用的优化算法，用于求解无约束优化问题。

它通过迭代的方式逐步调整参数，使得目标函数值最小化。

该方法基于函数在当前位置的负梯度方向指示了函数下降的方向，因此被称为"梯度下降"。

2.2 基本原理在梯度下降法中，我们首先需要计算目标函数关于参数的偏导数或者梯度。

这个梯度告诉我们函数在当前位置沿着哪个方向增长最快。

然后，我们按照负梯度方向更新参数，从而实现将目标函数值减小的目标。

具体来说，在每次迭代中，我们根据以下更新规则来调整参数：$$\theta_{n+1} = \theta_n - \alpha \cdot \nabla J(\theta)$$其中，$\theta$表示参数向量，$J(\theta)$表示目标函数，$\nabla J(\theta)$表示目标函数关于$\theta$的梯度（即偏导数），$\alpha$表示学习率（步长）。

2.3 优化算法梯度下降法有多种变体和改进型算法。

其中最常见的是批量梯度下降法（BatchGradient Descent）、随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent）和小批量梯度下降法（Mini-Batch Gradient Descent）。

随机梯度下降法概述随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent, SGD）是一种常用的优化算法，用于求解机器学习模型的参数。

与传统的梯度下降算法相比，SGD每次迭代只使用一个样本来进行参数更新，因此在大规模数据集上的训练速度更快。

本文将对SGD的原理、优缺点以及应用进行详细介绍。

一、随机梯度下降法原理SGD的核心思想是通过最小化损失函数来求解模型参数。

算法的每一次迭代都会选择一个样本来计算梯度，并根据梯度的方向和大小更新模型参数。

具体的数学推导如下：1.初始化模型参数θ0。

2. 对于每个样本(xi, yi)，计算损失函数关于参数θ的梯度∇θJ(θ; xi, yi)。

3. 根据学习率η和梯度更新参数θ：θ = θ - η*∇θJ(θ; xi, yi)。

4.重复步骤2和3，直到达到预设的停止条件（如达到最大迭代次数或损失函数收敛）。

由于SGD每次只使用一个样本来计算梯度，因此其计算效率很高，尤其在大规模数据集上表现出色。

此外，SGD还具有一定的随机性，能够跳出局部最优解，有助于避免陷入鞍点。

二、随机梯度下降法优缺点1.优点：(1)计算效率高：由于每次迭代只使用一个样本，SGD的计算复杂度较低，适用于大规模数据集。

(2)可更新样本权重：SGD可以在每次迭代时根据样本权重来选择样本，从而克服不均衡数据集带来的问题。

(3)跳出局部最优解：由于SGD存在一定的随机性，能够避免陷入局部最优解，有助于找到全局最优解。

2.缺点：(1)参数更新的震荡：由于每次迭代只使用一个样本，SGD的更新方向可能不够准确，导致参数更新时的震荡现象。

(2)学习率选择困难：SGD对于学习率非常敏感，学习率选择不当可能导致算法无法收敛或收敛速度过慢。

(3)解决稀疏数据问题困难：对于稀疏数据集，SGD的表现可能会较差，需要进行额外的处理方法。

三、随机梯度下降法应用SGD广泛应用于大规模机器学习问题的求解中，尤其在深度学习领域更为流行。

随机梯度下降算法定义1. 引言随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent，简称SGD）是机器学习中常用的优化算法之一。

它通过迭代地更新模型的参数来最小化损失函数，从而使模型能够更好地拟合样本数据。

与传统的梯度下降算法相比，随机梯度下降采用一种更加高效的计算方式，能够在大规模数据集上快速训练模型。

2. 基本思想随机梯度下降算法的基本思想是通过随机选择一个样本来估计所有样本的梯度，然后根据该梯度来更新模型的参数。

相对于传统的梯度下降算法，随机梯度下降在每一次迭代过程中只用到一个样本，因此具有更低的计算复杂度和更快的收敛速度。

具体而言，对于给定的训练集，我们首先随机初始化模型的参数。

然后，迭代地遍历训练集中的每一个样本，依次计算每个样本的梯度，并利用该梯度来更新模型的参数。

这个过程会一直持续到达到预定的停止条件，比如达到最大迭代次数或者损失函数的变化不再显著。

随机梯度下降的迭代公式如下所示：θ = θ - α * ∇J(θ, xi, yi)其中，θ表示模型的参数，α表示学习率（即每次参数更新的步长），∇J(θ, xi, yi)表示模型在样本(xi, yi)上的梯度，J(θ, xi, yi)表示损失函数。

3. 算法流程随机梯度下降算法的具体流程如下：1.初始化模型参数θ。

2.随机选择一个样本(xi, yi)。

3.计算模型在样本(xi, yi)上的梯度∇J(θ, xi, yi)。

4.根据梯度更新模型的参数：θ = θ - α * ∇J(θ, xi, yi)。

5.如果未达到停止条件，返回步骤2；否则，算法结束。

需要注意的是，样本选择的顺序可以是随机的，也可以是按照一定规则的。

此外，学习率α的选择也非常重要，过大的学习率可能导致模型发散，而过小的学习率则可能导致收敛速度过慢。

4. 优缺点分析随机梯度下降算法具有以下优点：•计算复杂度低：由于每次迭代只使用一个样本，所以随机梯度下降的计算复杂度远低于传统的梯度下降算法，特别是在处理大规模数据集时具有明显的优势。

机器学习：随机梯度下降法（线性回归中的应⽤）⼀、指导思想　# 只针对线性回归中的使⽤算法的最优模型的功能：预测新的样本对应的值；什么是最优的模型：能最⼤程度的拟合住数据集中的样本数据；怎么才算最⼤程度的拟合：让数据集中的所有样本点，在特征空间中距离线性模型的距离的和最⼩；（以线性模型为例说明）怎么得到最优模型：求出最优模型对应的参数；怎么求解最优模型的参数：通过数学⽅法，得到⽬标函数（此函数计算数据集中的所有样本点，在特征空间中到该线性模型的距离，也就是损失函数），通过批量梯度下降法和随机梯度下降法对⽬标函数进⾏优化，得到⽬标函数最⼩值时对应的参数；梯度下降法的⽬的：求解最优模型对应的参数；（并不是为了求⽬标函数的最⼩值，这⼀点有助于理解随机梯度下降法）⼆、批量梯度下降法基础　1）批量梯度下降法的特点1. 运算量⼤：批量梯度下降法中的每⼀项计算：，要计算所有样本（共 m 个）；2. 批量梯度下降法的梯度是损失函数减⼩最快的⽅向，也就是说，对应相同的 theta 变化量，损失函数在梯度⽅向上的变化量最⼤；　2）批量梯度下降法的思路思路：计算损失函数的梯度，按梯度的⽅向，逐步减⼩损失函数的变量 theta，对应的损失函数也不断减⼩，直到损失函数的的变化量满⾜精度要求；梯度计算：变形公式如下梯度是优化的⽅向，损失函数的变量theta 的变化量 = 学习率 X 当前梯度值三、随机梯度下降法（Batch Gradient Descent）　1）基础理解思路：随机抽取 n （⼀般 n = 总样本数 / 3）个样本，在每个样本的梯度⽅向上逐步优化（每随机抽取⼀个样本就对 theta 做⼀次递减优化）变量 theta；分析：批量梯度下降法的优化，是整体数据集的梯度⽅向逐步循环递减变量 theta ，随机梯度下降法，是数据集中的⼀个随机的样本的梯度⽅向，优化变量 theta；特点⼀：直接优化变量 theta，⽽不需要计算 theta 对应的⽬标函数值；特点⼆：不是按整体数据集的梯度⽅向优化，⽽是按随机抽取的某个样本的梯度⽅向进⾏优化；　2）优化⽅向的公式新的搜索⽅向计算公式（也即是优化的⽅向）：；此处称为搜索⽅向，⽽不是梯度的计算公式，因为此公式已经不是梯度公式，⽽表⽰优化损失函数的⽅向；随机梯度下降法的搜索路径：特点：1. 每⼀次搜索的⽅向，不能保证是损失函数减⼩的⽅向；2. 每⼀次搜索的⽅向，不能保证是损失函数减⼩最快的⽅向；3. 其优化⽅向具有不可预知性；意义：1. 实验结论表明，即使随机梯度下降法的优化⽅向具有不可预知性，通过此⽅法依然可以差不多来到损失函数最⼩值的附近，虽然不像批量梯度下降法那样，⼀定可以来到损失函数最⼩值位置，但是，如果样本数量很⼤时，有时可以⽤⼀定的模型精度，换取优化模型所⽤的时间；实现技巧：确定学习率（η：eta）的取值，很重要；1. 原因：在随机梯度下降法优化损失函数的过程中，如果η⼀直取固定值，可能会出现，已经优化到损失函数最⼩值位置了，但由于随机的过程不够好，η⼜是各固定值，导致优化时慢慢的⼜跳出最⼩值位置；2. ⽅案：优化过程中让η逐渐递减（随着梯度下降法循环次数的增加，η值越来越⼩）；　3）η的确定过程⼀：如果η = 1 / i_iters；（i_iters：当前循环次数）1. 问题：随着循环次数（i_iters）的增加，η的变化率差别太⼤；⼆：如果η = 1 / (i_iters + b)；（b：为常量）1. 解决了η的变化率差异过⼤再次变形：η = a / (i_iters + b)；（a、b：为常量）1. 分⼦改为 a ，增加η取值的灵活度；1. a、b：为随机梯度下降法的超参数；2. 本次学习不对 a、b 调参，选⽤经验上⽐较适合的值：a = 5、b = 50；学习率的特点 # 学习率随着循环次数的增加，逐渐递减； # 这种逐渐递减的思想，是模拟在搜索领域的重要思路：模拟退⽕思想； # 模拟退⽕思想：在退⽕过程中的冷却函数，温度与冷却时间的关系；⼀般根据模拟退⽕思想，学习率还可以表⽰：η = t0 / (i_iters + t1)　4）循环次数的确定原则1. 将每个样本都随机抽取到；2. 将每个样本⾄少抽取 n 次，也就是总的循环次数⼀般为：len(X_b) * n；具体操作1. 将变形后的数据集 X_b 的 index 做随机乱序处理，得到新的数据集 X_b_new ；2. 根据乱序后的 index 逐个抽取 X_b_new 中的样本，循环 n 遍；四、实现随机梯度下降法优化⽅向：，结果是⼀个列向量； # array . dot(m) == array . meta 取值：η = a / (i_iters + b)优化结束条件1. 批量梯度下降法：1）达到设定的循环次数；2）找到损失函数的最⼩值2. 随机梯度下降法：达到设定的循环次数随机梯度下降法中不能使⽤精度来结束优化：因为随机梯度下降法的优化⽅向，不⼀定全都是损失函数减⼩的⽅向；　1）代码实现随机梯度下降法模拟数据import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltm = 100000x = np.random.normal(size=m)X = x.reshape(-1, 1)y = 4. * x + 3. + np.random.normal(0, 3, size=m)批量梯度下降法def J(theta, X_b, y):try:return np.sum((y - X_b.dot(theta)) ** 2) / len(y)except:return float('inf')def dJ(theta, X_b, y):return X_b.T.dot(X_b.dot(theta) - y) * 2. / len(y)def gradient_descent(X_b, y, initial_theta, eta, n_iters=10**4, epsilon=10**-8):theta = initial_thetacur_iter = 0while cur_iter < n_iters:gradient = dJ(theta, X_b, y)last_theta = thetatheta = theta - eta * gradientif (abs(J(theta, X_b, y) - J(last_theta, X_b, y)) < epsilon):breakcur_iter += 1return theta# cur_iter：循环次数# initial_theta：theta的初始化值%%timeX_b = np.hstack([np.ones((len(X), 1)), X])initial_theta = np.zeros(X_b.shape[1])eta = 0.01theta = gradient_descent(X_b, y, initial_theta, eta)# 输出：Wall time: 898 mstheta# 输出：array([3.00280663, 3.9936598 ])随机梯度下降法1）通过每⼀次随机抽取的样本，计算 theta 的优化⽅向def dJ_sgd(theta, X_b_i, y_i):return X_b_i.T.dot(X_b_i.dot(theta) - y_i) * 2# X_b_i：是 X_b 中的⼀⾏数据，也就是⼀个随机样本，不在是全部的数据集# y_i：对应的随机抽取的样本的真值2）随机优化过程def sgd(X_b, y, initial_theta, n_iters):# 计算学习率 etat0 = 5t1 = 50# 定义求解学习率的函数def learning_rate(t):return t0 / (t + t1)theta = initial_thetafor cur_iter in range(n_iters):rand_i = np.random.randint(len(X_b))gradient = dJ_sgd(theta, X_b[rand_i], y[rand_i])theta = theta - learning_rate(cur_iter) * gradientreturn theta# 此处的形参中不需要设置 eta 值了，eta 值随着循环的进⾏，在函数内部求取# cur_iter：当前循环次数# rand_i：从 [0, len(X_b)) 中随机抽取的⼀个数# gradient：⼀次循环中，随机样本的优化⽅向# learning_rate(cur_iter) * gradient：⼀次循环的 theta 的变化量3）给初始化数值，预测数据%%timeX_b = np.hstack([np.ones((len(X), 1)), X])initial_theta = np.zeros(X_b.shape[1])theta = sgd(X_b, y, initial_theta, n_iters=len(X_b)//3)# 输出：Wall time: 287 ms4）查看最终优化结果theta# 输出：array([2.9648937 , 3.94467405])　2）封装与调⽤⾃⼰的代码封装：已规范循环次数（代码中的红⾊字样）1def fit_sgd(self, X_train, y_train, n_iters=5, t0=5, t1=50):2"""根据训练数据集X_train, y_train, 使⽤梯度下降法训练Linear Regression模型"""3assert X_train.shape[0] == y_train.shape[0], \4"the size of X_train must be equal to the size of y_train"5assert n_iters >= 167def dJ_sgd(theta, X_b_i, y_i):8return X_b_i * (X_b_i.dot(theta) - y_i) * 2.910def sgd(X_b, y, initial_theta, n_iters, t0=5, t1=50):1112def learning_rate(t):13return t0 / (t + t1)1415 theta = initial_theta16 m = len(X_b)1718for cur_iter in range(n_iters):19 indexes = np.random.permutation(m)20 X_b_new = X_b[indexes]21 y_new = y[indexes]22for i in range(m):23 gradient = dJ_sgd(theta, X_b_new[i], y_new[i])24 theta = theta - learning_rate(cur_iter * m + i) * gradient2526return theta2728 X_b = np.hstack([np.ones((len(X_train), 1)), X_train])29 initial_theta = np.random.randn(X_b.shape[1])30 self._theta = sgd(X_b, y_train, initial_theta, n_iters, t0, t1)3132 self.intercept_ = self._theta[0]33 self.coef_ = self._theta[1:]3435return self# n_iters：对所有数据集循环的遍数；调⽤⾃⼰封装的代码1. 获取原始数据import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom sklearn import datasetsboston = datasets.load_boston()X = boston.datay = boston.targetX = X[y < 50.0]y = y[y < 50.0]2. 数据分割from ALG.data_split import train_test_splitX_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, seed=666)3. 数据归⼀化from sklearn.preprocessing import StandardScalerstandardScaler = StandardScaler()standardScaler.fit(X_train)X_train_standard = standardScaler.transform(X_train)X_test_standard = standardScaler.transform(X_test)# 数据归⼀化，主要是将训练数据集（X_train）和测试数据集（X_test）归⼀化；4. 使⽤线性回归算法：LinearRegressionfrom LR.LinearRegression import LinearRegressionlin_reg = LinearRegression()%time lin_reg.fit_sgd(X_train_standard, y_train, n_iters=2)lin_reg.score(X_test_standard, y_test)# 输出：Wall time: 10 ms0.7865171620468298# 问题：通过score()函数得到的 R^2 值，也就是准确度过⼩# 原因：对所有的 X_train_standard 循环优化的遍数太少：n_iters=25. 循环遍数改为 50：n_iters=50%time lin_reg.fit_sgd(X_train_standard, y_train, n_iters=50)lin_reg.score(X_test_standard, y_test)# 输出：Wall time: 143 ms0.80857287165738356. 循环遍数改为 100：n_iters = 100%time lin_reg.fit_sgd(X_train_standard, y_train, n_iters=100)lin_reg.score(X_test_standard, y_test)# 输出：Wall time: 502 ms0.81259543683252957. 总结：随着循环遍数的增加，模型的准确度也随着增加；　3）调⽤ scikit-learn 中的算法模型SGDRegressor：该算法虽是名为随机梯度下降法的回归器，但其只能解决线性模型，因为，其被封装在了 linear_model 线性回归模块中；学习scikit-learn中的算法的过程：掉包 - 构建实例对象 - 拟合 - 验证训练模型的效果（查看准确度）实现过程：前期的数据处理与步骤（2）相同from sklearn.linear_model import SGDRegressorsgd_reg = SGDRegressor()%time sgd_reg.fit(X_train_standard, y_train)sgd_reg.score(X_test_standard, y_test)# 输出：Wall time: 16 ms0.8065416815240762# 准确度为0.8065 左右，此时循环遍数使⽤默认的 5 遍：max_iter = 5修改循环遍数：max_iter = 100sgd_reg = SGDRegressor(max_iter=100)%time sgd_reg.fit(X_train_standard, y_train)sgd_reg.score(X_test_standard, y_test)# 输出：Wall time: 8 ms0.813372455938393　4）总结与⾃⼰写的算法相⽐，scikit-learn中的算法的实现过程更加复杂，性能更优：1. 通过计算时间就可以看出：n_iters=100时，⾃⼰的算法需要 502ms，scikit-learn中的算法需要 8ms；2. ⾃⼰所学的封装好的算法，只是为了帮助理解算法的原来，⽽scikit-learn中使⽤了很多优化的⽅案。

神经网络的梯度下降法-梯度下降法介绍-特点Python神经网络中典型的梯度下降法有这些：全量梯度下降法、随机梯度下降法、小批量梯度下降法、Momentum梯度下降法、NAG 梯度下降法、AdaGrad、AdaDelta、RMSProp、Adam。

1、全量梯度下降法(Batch gradient descent)：每次学习都使用整个训练集，所以最终能确保收敛于极值点，凸函数收敛于全局极值点，非凸函数可能收敛于局部极值点，缺点是由于使用整个训练集，学习时间过长，消耗资源。

2、随机梯度下降法(Stochastic Gradient Descent)：只使用随机选择的数据进行一轮迭代，学习时间快。

如果目标函数有最小区域，会使优化方向从当前的局部极小点跳到另一个更好的局部极小点，关于非凸函数，最终可能收敛于一个较好的局部极值点，甚至是全局极值点。

3、小批量梯度下降法(Mini-Batch Gradient Descent)：一轮迭代中随机选取一些数据进行迭代，兼具收敛速度快和收敛时不浮动的特征。

4、Momentum梯度下降法：在更新模型参数时，在计算过程中有一个超参数Momentum，称为动量，在当前梯度方向上，用与前一个梯度方向相同的参数进行强化，使这些方向上加快。

同时，对当前的梯度方向与上一个梯度方向不同的参数进行削减，在这些方向上减速。

这些振荡在较陡峭的方向上被削弱，因此可以得到更快的收敛和更少的振荡。

5、NAG梯度下降法：不仅增加了动量项，并且在计算参数梯度时，还从损失函数中减去了动量项。

6、AdaGrad：一种基于梯度的优化算法，可以适应每个参数的不同学习速率，关于稀疏特征可以得到较大的学习更新，关于非稀疏特征可以得到较小的学习更新，所以这种优化算法合适处理稀疏特征数据。

7、AdaDelta：自适应地为每个参数分配不同的学习率的算法，其学习率随着其更新的总距离增加而减慢。

8、RMSProp：Adadelta的一种中间形式，它可以改善"Adagrad "中学习率快速衰减的问题。

随机梯度下降例题一、梯度下降法概述梯度下降法是一种最优化算法，用于寻找一个函数的局部最小值或局部最大值。

它是通过迭代的方式，不断更新当前解，使得函数值不断减小或增大，直到收敛到局部最小值或局部最大值。

二、随机梯度下降法概述随机梯度下降法是梯度下降法的一种变体，它在每次迭代时，只使用训练数据的一部分来计算梯度，而不是使用全部训练数据。

这使得随机梯度下降法在处理大规模训练数据时，可以节省大量计算时间。

三、随机梯度下降法例题假设我们有一个函数：f(x)=x2+2x+1我们希望找到这个函数的局部最小值。

1. 步骤1：初始化首先，我们需要初始化一些参数。

这些参数包括：•学习率α：这个参数控制着每次迭代中，当前解更新的幅度。

•当前解x：这个参数表示当前的解。

•梯度g：这个参数表示函数f(x)在当前解x处的梯度。

2. 步骤2：计算梯度接下来，我们需要计算函数f(x)在当前解x处的梯度。

对于这个例子来说，梯度可以表示为：g(x)=2x+23. 步骤3：更新当前解接下来，我们需要更新当前解x。

新的解可以通过以下公式计算得出：x new=x old−αg(x old)其中，α是学习率，g(x_{old})是函数f(x)在当前解x_{old}处的梯度。

4. 步骤4：重复步骤2和步骤3我们需要重复步骤2和步骤3，直到函数值收敛到局部最小值。

5. 步骤5：输出结果当函数值收敛到局部最小值后，我们将这个局部最小值作为函数f(x)的局部最小值。

四、随机梯度下降法的优缺点随机梯度下降法具有以下优点：•计算速度快：随机梯度下降法在每次迭代时，只使用训练数据的一部分来计算梯度，这使得它在处理大规模训练数据时，可以节省大量计算时间。

•鲁棒性强：随机梯度下降法对训练数据的噪声和异常值具有较强的鲁棒性。

随机梯度下降法也存在以下缺点：•可能收敛到局部最小值：随机梯度下降法可能会收敛到函数的局部最小值，而不是全局最小值。

•可能出现震荡：随机梯度下降法在迭代过程中可能会出现震荡，这使得它在收敛到局部最小值时可能需要更多的时间。