随机梯度下降与梯度下降的区别

机器学习中的梯度下降算法机器学习是人工智能的重要分支，其目的是从数据集中学习模型并对未知数据进行预测。

在机器学习中，我们需要对数据进行分析和处理，并根据数据构建模型。

在模型中，不同参数的设置对预测结果有着重要的影响，因此我们需要一种优化算法来调整参数以得到更好的模型。

梯度下降算法是一种常用的优化算法，它通过沿着目标函数梯度的反方向进行参数更新，来最小化误差。

在机器学习中，目标函数通常被定义为损失函数，它是衡量模型预测值和真实值之间误差的函数。

我们的目标是最小化损失函数，从而得到最优模型。

梯度下降算法的核心思想是通过迭代调整参数来最小化损失函数。

每一次迭代，我们根据当前参数计算目标函数的梯度，然后沿着梯度反方向更新参数，重复这个过程直到满足停止条件。

梯度下降算法可以分为批量梯度下降、随机梯度下降和小批量梯度下降三种方式。

批量梯度下降批量梯度下降是指每次迭代使用整个数据集来计算梯度并更新参数。

具体来说，在批量梯度下降中，每一次迭代都需要计算所有样本的误差，并根据这些误差计算梯度。

虽然批量梯度下降的收敛速度较快，但是每一次迭代的时间会比较长，尤其是当数据集比较大的时候。

随机梯度下降随机梯度下降是指每次迭代只使用一个样本来计算梯度并更新参数。

由于在每次迭代中只使用一个样本，随机梯度下降的收敛速度相对于批量梯度下降可能会比较慢，但是每次迭代所需的时间将较短。

此外，随机梯度下降也有助于逃离局部极小值，并且可以在在线学习中进行增量训练。

小批量梯度下降小批量梯度下降是介于批量梯度下降和随机梯度下降之间的一种方法。

具体来说，在小批量梯度下降中，每次迭代使用一个小批量样本来计算梯度并更新参数。

小批量梯度下降的收敛速度较快，同时每次迭代所需的时间也不会太长。

因此，它成为了数据集较大时最常用的优化算法之一。

总结梯度下降算法是机器学习中最基本的优化算法之一。

通过迭代求解损失函数的梯度并根据梯度更新模型参数，梯度下降算法可以得到模型的最优解。

机器学习中常见的几种优化方法阅读目录1. 梯度下降法（Gradient Descent）2. 牛顿法和拟牛顿法（Newton's method & Quasi-Newton Methods）3. 共轭梯度法（Conjugate Gradient）4. 启发式优化方法5. 解决约束优化问题——拉格朗日乘数法我们每个人都会在我们的生活或者工作中遇到各种各样的最优化问题，比如每个企业和个人都要考虑的一个问题“在一定成本下，如何使利润最大化”等。

最优化方法是一种数学方法，它是研究在给定约束之下如何寻求某些因素(的量)，以使某一(或某些)指标达到最优的一些学科的总称。

随着学习的深入，博主越来越发现最优化方法的重要性，学习和工作中遇到的大多问题都可以建模成一种最优化模型进行求解，比如我们现在学习的机器学习算法，大部分的机器学习算法的本质都是建立优化模型，通过最优化方法对目标函数（或损失函数）进行优化，从而训练出最好的模型。

常见的最优化方法有梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法、共轭梯度法等等。

回到顶部1. 梯度下降法（Gradient Descent）梯度下降法是最早最简单，也是最为常用的最优化方法。

梯度下降法实现简单，当目标函数是凸函数时，梯度下降法的解是全局解。

一般情况下，其解不保证是全局最优解，梯度下降法的速度也未必是最快的。

梯度下降法的优化思想是用当前位置负梯度方向作为搜索方向，因为该方向为当前位置的最快下降方向，所以也被称为是”最速下降法“。

最速下降法越接近目标值，步长越小，前进越慢。

梯度下降法的搜索迭代示意图如下图所示：牛顿法的缺点：（1）靠近极小值时收敛速度减慢，如下图所示；（2）直线搜索时可能会产生一些问题；（3）可能会“之字形”地下降。

从上图可以看出，梯度下降法在接近最优解的区域收敛速度明显变慢，利用梯度下降法求解需要很多次的迭代。

在机器学习中，基于基本的梯度下降法发展了两种梯度下降方法，分别为随机梯度下降法和批量梯度下降法。

简述梯度下降法的原理和过程摘要：1.梯度下降法简介2.梯度下降法的原理3.梯度下降法的过程4.梯度下降法的应用与优化5.总结正文：梯度下降法（Gradient Descent）是一种常用的数值优化方法，广泛应用于机器学习、数学建模等领域。

本文将对梯度下降法的原理和过程进行详细阐述。

一、梯度下降法简介梯度下降法是一种迭代优化算法，通过沿着负梯度方向不断更新参数，使目标函数值逐步减小。

它在各个领域具有广泛的应用，如线性回归、非线性回归、神经网络训练等。

二、梯度下降法的原理梯度下降法的核心思想是基于目标函数的梯度信息来调整参数。

梯度是表示目标函数在某一点变化率的向量，负梯度方向表示函数值下降最快的方向。

沿着负梯度方向更新参数，可以使目标函数值不断减小。

三、梯度下降法的过程1.初始化参数：设置初始的参数值（如权重、偏置等）。

2.计算梯度：计算目标函数在当前参数下的梯度。

3.更新参数：根据学习率（一个正比例常数）和梯度信息，更新参数值。

4.判断收敛：当梯度模小于预设阈值或达到迭代次数限制时，停止迭代；否则，返回步骤2。

四、梯度下降法的应用与优化1.应用：梯度下降法可应用于各种优化问题，如线性回归、非线性回归、支持向量机、神经网络训练等。

2.优化：为提高梯度下降法的收敛速度和性能，可以采用以下方法：a.动态调整学习率：学习率过小会导致收敛速度缓慢，过大则可能导致振荡或不收敛。

动态调整学习率可以加速收敛。

b.动量法：引入动量概念，使梯度下降过程具有惯性，避免频繁调整导致的振荡。

c.批梯度下降与随机梯度下降：分别对批量数据和单条数据进行梯度计算，减少计算复杂度。

五、总结梯度下降法作为一种常用的优化方法，在机器学习、数学建模等领域具有重要地位。

比较好的梯度下降曲线在机器学习中，梯度下降是一种常用的优化算法，用于最小化函数的损失。

通过迭代更新模型参数，梯度下降可以找到损失函数的局部最小值。

然而，梯度下降的效果很大程度上取决于选取的学习率和初始参数。

本文将比较几种梯度下降曲线，并分析哪一种更适合优化模型。

1. 常规梯度下降曲线常规梯度下降曲线是指在每一次迭代中，都使用全部训练样本来计算梯度，然后根据梯度更新模型参数。

这种方法的优点是每次迭代可以获得最准确的梯度信息，缺点是计算量大，训练速度相对较慢。

常规梯度下降曲线常呈现为一条平稳下降的曲线，最终收敛到最小值。

2. 随机梯度下降曲线随机梯度下降曲线是指在每一次迭代中，都随机选择一个训练样本来计算梯度并更新模型参数。

这种方法的优点是计算速度快，但缺点是每次更新的梯度可能存在较大的噪声，因此随机梯度下降曲线常呈现为波动的曲线，最终收敛到一个较小的范围内。

3. 批量梯度下降曲线批量梯度下降曲线是指在每一次迭代中，选择一小批量的训练样本来计算梯度并更新模型参数。

这种方法综合了常规梯度下降和随机梯度下降的优点，能够更好地平衡计算速度和梯度准确度。

批量梯度下降曲线常呈现为逐渐降低的曲线，最终收敛到最小值。

4. 动量梯度下降曲线动量梯度下降曲线是指在每一次迭代中，不仅使用当前的梯度来更新模型参数，同时累积之前的梯度信息。

这种方法可以加速收敛速度，尤其对于存在平坦区域的损失函数更为有效。

动量梯度下降曲线常呈现为先快速下降后逐渐平缓的曲线，最终收敛到最小值。

5. 自适应学习率梯度下降曲线自适应学习率梯度下降曲线是指在每一次迭代中，根据当前的梯度情况自动调整学习率。

这种方法能够有效地避免学习率设置不当导致的收敛困难或震荡问题。

自适应学习率梯度下降曲线常呈现为先快速下降后逐渐平缓的曲线，最终收敛到最小值。

通过比较上述几种梯度下降曲线，可以发现不同的优化算法具有各自的特点和适用场景。

常规梯度下降对于小数据集和具有平滑损失函数的问题较为适用；随机梯度下降对于大数据集和需要快速收敛的问题较为适用；批量梯度下降则可以取得较好的平衡；动量梯度下降对于存在平坦区域的问题较为有效；自适应学习率梯度下降则可以自动调整学习率，适用于各种问题。

机器学习——批量梯度下降法、随机梯度下降法、⼩批量梯度下降法1 批量梯度下降 在经典的随机梯度下降算法（批量梯度下降）中，迭代下降公式是 x t +1=x t −α∇f x t 以⼀元线性回归的⽬标函数为例 n∑i =1ax i +b −y i 2 其梯度表达为 ∂g ∂a ,∂g ∂b =2n ∑i =1x i ax i +b −y i ,2n ∑i =1ax i +b −y i 可以看到，这⾥的梯度计算，使⽤了所有的样本数据。

倘若数据集有 1000 组数据，那就需要计算 1000 次才可以得到梯度，倘若数据集有⼀亿组数据，就需要计算⼀亿次，其时间复杂度是 O (n ) 。

当样本数据较多时，对于模型的求解，学习⼀次的过程是很浪费时间的。

　 举例：使⽤只含有⼀个特征的线性回归来展开。

线性回归的假设函数为： h θ(x (i ))=θ1x (i )+θ0 其中 i =1,2,...,n ，其中 n 表⽰样本数。

对应的⽬标函数（代价函数）即为： J (θ0,θ1)=12n n∑i =1(h θ(x (i ))−y (i ))2 批量梯度下降法是指在每⼀次迭代时使⽤所有样本来进⾏梯度的更新。

步骤如下： (1)对⽬标函数求偏导 ΔJ (θ0,θ1)Δθj =1n n ∑i =1(h θ(x (i ))−y (i ))x (i )j 其中 i =1,2,...,n ，n 表⽰样本数，j =0,1 表⽰特征数，这⾥使⽤了偏置项 x (i )0=1 (2)每次迭代对参数进⾏更新： θj :=θj −α1n n ∑i =1(h θ(x (i ))−y (i ))x (i )j 注意：这⾥更新时存在⼀个求和函数，即为对所有样本进⾏计算处理，可与下⽂SGD法进⾏⽐较。

优点： (1)⼀次迭代是对所有样本进⾏计算，此时利⽤矩阵进⾏操作，实现了并⾏。

(2)由全数据集确定的⽅向能够更好地代表样本总体，从⽽更准确地朝向极值所在的⽅向。

模型训练策略简介模型训练是机器学习中非常重要的一个环节，它决定了模型的性能和泛化能力。

合理的模型训练策略可以提高模型的准确度、稳定性和可解释性。

本文将介绍一些常用的模型训练策略，并探讨它们在不同场景下的适用性和优劣势。

数据集划分在进行模型训练之前，首先需要将数据集划分为训练集、验证集和测试集。

通常采用的划分比例是70%的数据用于训练，10%用于验证，20%用于测试。

这样可以保证模型在不同数据上进行评估，从而更好地了解其泛化能力。

数据预处理数据预处理是模型训练中必不可少的一步。

它包括数据清洗、特征选择、特征缩放等操作。

数据清洗主要是去除异常值和缺失值，以确保输入数据的质量；特征选择则是选择对目标变量有较大影响的特征，以减少计算负担和降低过拟合风险；特征缩放则是将不同尺度的特征转化为统一的尺度，以提高模型的收敛速度和稳定性。

损失函数选择损失函数是用来衡量模型预测结果与真实值之间的差异程度的指标。

常用的损失函数有均方误差（MSE）、交叉熵损失（Cross Entropy）等。

选择合适的损失函数可以根据任务类型和模型结构来确定。

•对于回归任务，通常使用均方误差作为损失函数，它可以衡量预测值与真实值之间的平均偏差。

•对于分类任务，交叉熵损失是一种常用的选择，它可以衡量预测概率分布与真实概率分布之间的差异。

优化算法选择优化算法决定了模型参数如何更新以最小化损失函数。

常见的优化算法有梯度下降（Gradient Descent）、随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent）和Adam 等。

不同的优化算法在收敛速度、稳定性和泛化能力上有所区别。

•梯度下降是一种基本的优化算法，它通过计算损失函数对参数的导数来更新参数。

但是梯度下降可能会陷入局部最优解，因此需要设置合适的学习率和迭代次数。

•随机梯度下降是一种更加高效的优化算法，它每次更新只使用一个样本，从而减少了计算量。

但是随机梯度下降可能会引入噪声，并且不易收敛到全局最优解。

深度学习⾯试题04：随机梯度下降法、批量梯度下降法、⼩批量梯度下降⽬录在《深度学习⾯试题03改进版梯度下降法Adagrad、RMSprop、Momentum、Adam》中讲到了多种改进的梯度下降公式。

⽽这篇⽂章和03篇描述的不是⼀个事情，我们从⼀个例⼦说起，就知道改良的GD算法和本节介绍的GD算法的不同点了。

举例：以房屋⾯积预测房屋价格假设函数可以设置为每⼀个预测值都与真实值存在⼀个差距，差距的平⽅和就可以作为⼀个代价函数。

因此代价函数为：如下图所⽰（为⽅便观察，做了⼀个截断）代码为：from matplotlib import pyplot as pltimport numpy as npfrom mpl_toolkits.mplot3d import Axes3Dfig = plt.figure()ax = Axes3D(fig)w = np.arange(-5, 8, .25)b = np.arange(-15, 15, .25)x = np.array([1,2,3,4])y = np.array([3.2,4.7,7.3,8.5])w, b = np.meshgrid(w, b)R = 0for i in range(len(x)):R += (w*x[i]+b-y[i])**2R /= len(x)a = R<50R = ~a*50+R*a# ax.plot_surface(w, b, R, rstride=1, cstride=1, cmap='rainbow', )ax.plot_wireframe(w, b, R)plt.title("cost(w,b) = 1/N * Σ(w*x_i+b-y_i)^2")X = np.array([1.85,3.5]) # [ 0 3 6 9 12 15 18 21]Y = np.array([1.3,3.5]) # [ 1 4 7 10 13 16 19 22]R = 0for i in range(len(x)):R += (X*x[i]+Y-y[i])**2R /= len(x)Z = Rax.scatter(X, Y, Z, c='r', label='顺序点')for i in range(len(X)):ax.text(X[i], Y[i], Z[i], "({:.2f},{:.2f},{:.2f})".format(X[i], Y[i], Z[i]), color='red',fontsize=15)plt.xlabel("w")plt.ylabel("b")plt.show()View Code当使⽤梯度下降法求解时，假设初始化(w,b)=(3.5,3.5)代价函数关于w和b的偏导数为：重点来了：Adagrad、RMSprop、Adam等算法都是建⽴在偏导数之上的，他们并不关⼼上式中N的取值，N取1，取100，还是取N，Adagrad、RMSprop、Adam等算法都可以运⾏。

机器学习概念之梯度下降算法（全量梯度下降算法、随机梯度下降算法、批量梯度下降算法） 不多说，直接上⼲货！回归与梯度下降 回归在数学上来说是给定⼀个点集，能够⽤⼀条曲线去拟合之，如果这个曲线是⼀条直线，那就被称为线性回归，如果曲线是⼀条⼆次曲线，就被称为⼆次回归，回归还有很多的变种，如本地加权回归、逻辑回归，等等。

⽤⼀个很简单的例⼦来说明回归，这个例⼦来⾃很多的地⽅，也在很多的开源软件中看到，⽐如说weka。

⼤概就是，做⼀个房屋价值的评估系统，⼀个房屋的价值来⾃很多地⽅，⽐如说⾯积、房间的数量（⼏室⼏厅）、地段、朝向等等，这些影响房屋价值的变量被称为特征(feature)，feature在机器学习中是⼀个很重要的概念，有很多的论⽂专门探讨这个东西。

在此处，为了简单，假设我们的房屋就是⼀个变量影响的，就是房屋的⾯积。

假设有⼀个房屋销售的数据如下： ⾯积(m^2) 销售价钱（万元） 123 250 150 320 87 160 102 220 … … 这个表类似于帝都5环左右的房屋价钱，我们可以做出⼀个图，x轴是房屋的⾯积。

y轴是房屋的售价，如下： 如果来了⼀个新的⾯积，假设在销售价钱的记录中没有的，我们怎么办呢？ 我们可以⽤⼀条曲线去尽量准的拟合这些数据，然后如果有新的输⼊过来，我们可以在将曲线上这个点对应的值返回。

如果⽤⼀条直线去拟合，可能是下⾯的样⼦： 绿⾊的点就是我们想要预测的点。

⾸先给出⼀些概念和常⽤的符号，在不同的机器学习书籍中可能有⼀定的差别。

房屋销售记录表 - 训练集(training set)或者训练数据(training data), 是我们流程中的输⼊数据，⼀般称为x 房屋销售价钱 - 输出数据，⼀般称为y 拟合的函数（或者称为假设或者模型），⼀般写做 y = h(x) 训练数据的条⽬数(#training set), ⼀条训练数据是由⼀对输⼊数据和输出数据组成的 输⼊数据的维度(特征的个数，#features)，n 下⾯是⼀个典型的机器学习的过程，⾸先给出⼀个输⼊数据，我们的算法会通过⼀系列的过程得到⼀个估计的函数，这个函数有能⼒对没有见过的新数据给出⼀个新的估计，也被称为构建⼀个模型。

优化⽅法-梯度下降梯度下降的⽅法与区别梯度下降包括：批量式梯度下降，随机梯度下降，⼩批量梯度下降，此分类是根据每次训练所需的数据量⼤⼩分类。

批量式梯度下降（BGD）在每次计算梯度时，将所有的样本带⼊计算中，通过计算所有样本的误差来更新梯度。

优点：每次迭代是对所有的样本进⾏计算，此时利⽤矩阵进⾏操作，实现了并⾏。

另外，利⽤全体数据集的梯度⽅向能够更好的表达总体信息，从⽽更准确的朝着极值所在的⽅向更新。

当⽬标函数为凸函数，⼀定能够找到全局最优解。

缺点：由于每⼀步都需要花费⼤量的时间和空间，因此⽆法应⽤于⼤规模的场景。

随机梯度下降法（SGD）则反其道⾏之，通过放弃⼀部分梯度的精度，每次迭代通过随机挑选⼀个样本计算其梯度⽅向来训练权值。

优点：每次迭代仅仅使⽤⼀个样本计算梯度，因此⼤⼤节约了内存和时间消耗，因此迭代速度较快。

缺点：准确度下降，即使在⽬标函数为强凸函数的情况下仍然很难做到线性收敛。

由于单个样本的梯度往往⽆法代表全体样本的趋势，因此容易陷⼊局部最优。

更甚情况会陷⼊鞍点和⼭⾕。

并且很难实现并⾏。

⼩批量梯度下降（MIni-batch GD）是 SGD 和 BGD 的⼀种折中，其思想是每次迭代使⽤⼀个 Mini-batch-size 的样本进⾏训练更新参数。

优点：能通过矩阵运算实现并⾏，从⽽每次在⼀个 batch 上优化神经⽹络参数并不会⽐单个数据慢太多。

同时可以加快收敛速度，减少收敛的迭代次数，精度也不会⽐ BGD 差很多。

缺点：选择的 batch-size 的⼤⼩会影响训练效果。

如：较⼩的 batch-size 同样会引起震荡。

SGD ⽅法的改进与⽐较由于随机梯度下降每次选择⼀个样本进⾏训练，因此不同的样本带来的不同的梯度⼤⼩导致其在训练过程中会出现震荡的结果，⽆法稳定的逼近最优点，反⽽容易陷⼊局部最优。

另外还容易陷⼊⼭⾕或者鞍点。

当进⼊⼭⾕时，准确的下降⽅向应该是沿⼭道向下，但是 SGD 会在⼭⾕两侧的⼭壁上来回震荡，降低精度和收敛速度。

梯度下降和随机梯度下降的区别
1、标准梯度下降是在权值更新前对所有样例汇总误差，而随机梯度下降的权值是通过考查某个训练样例来更新的。

2、在标准梯度下降中，权值更新的每一步对多个样例求和，需要更多的计算。

3、标准梯度下降，由于使用真正的梯度，标准梯度下降对于每一次权值更新经常使用比随机梯度下降大的步长。

4、如果标准误差曲面有多个局部极小值，随机梯度下降有时可能避免陷入这些局部极小值中。

相关知识：
1、梯度下降法是一个最优化算法，通常也称为最速下降法。

最速下降法是求解无约束优化问题最简单和最古老的方法之一，虽然现在已经不具有实用性，但是许多有效算法都是以它为基础进行改进和修正而得到的。

最速下降法是用负梯度方向为搜索方向的，最速下降法越接近目标值，步长越小，前进越慢。

2、随机并行梯度下降算法，简称SPGD算法。

作为一种无模型优化算法，比较适用于控制变量较多，受控系统比较复杂，无法建立准确数学模型的最优化控制过程。

缺点：
（1）靠近极小值时收敛速度减慢。

（2）直线搜索时可能会产生一些问题。

（3）可能会“之字形”地下降。

梯度下降法原理
梯度下降法是一种常用的优化算法，用于找到一个函数的最小值。

它的核心思想是通过迭代的方式，更新参数的值，使得目标函数的值逐渐减小。

在梯度下降法中，需要定义一个损失函数或者目标函数。

这个函数常常被定义为一个关于参数的函数，我们的目标是找到这个函数的最小值。

损失函数可以用来衡量模型在给定参数下预测值与真实值之间的差距。

梯度下降法的基本原理是沿着损失函数的梯度方向逐步调整参数的值。

梯度指示了函数变化最快的方向，因此我们可以通过不断地朝着梯度的反方向更新参数，逐渐接近最小值。

具体而言，算法首先随机初始化参数的值，然后计算损失函数对参数的偏导数，得到梯度。

接下来，根据学习率和梯度的方向，更新参数的值。

这个过程不断迭代，直到满足停止条件，比如达到最大迭代次数或者参数的变化很小。

梯度下降法有两种常见的变体：批量梯度下降法和随机梯度下降法。

批量梯度下降法在每一次迭代中，使用训练集的所有样本来计算梯度。

而随机梯度下降法则是每次迭代中只使用一个样本来计算梯度，从而加快了算法的速度。

值得注意的是，梯度下降法可能会陷入局部最小值，无法达到全局最小值。

为了解决这个问题，可以使用一些改进的算法，如随机梯度下降法的变种——小批量梯度下降法，或者使用其
他的优化算法。

总之，梯度下降法是一种基于迭代的优化算法，通过沿着损失函数的梯度方向更新参数的值，逐步寻找函数的最小值。

梯度下降法和随机梯度下降法1. 梯度 在微积分⾥⾯，对多元函数的参数求∂偏导数，把求得的各个参数的偏导数以向量的形式写出来，就是梯度。

⽐如函数f(x,y), 分别对x,y求偏导数，求得的梯度向量就是(∂f/∂x, ∂f/∂y)T,简称grad f(x,y)或者▽f(x,y)。

对于在点(x0,y0)的具体梯度向量就是(∂f/∂x0, ∂f/∂y0)T.或者▽f(x0,y0)，如果是3个参数的向量梯度，就是(∂f/∂x, ∂f/∂y，∂f/∂z)T,以此类推。

那么这个梯度向量求出来有什么意义呢？他的意义从⼏何意义上讲，就是函数变化增加最快的地⽅。

具体来说，对于函数f(x,y),在点(x0,y0)，沿着梯度向量的⽅向就是(∂f/∂x0, ∂f/∂y0)T的⽅向是f(x,y)增加最快的地⽅。

或者说，沿着梯度向量的⽅向，更加容易找到函数的最⼤值。

反过来说，沿着梯度向量相反的⽅向，也就是 -(∂f/∂x0, ∂f/∂y0)T的⽅向，梯度减少最快，也就是更加容易找到函数的最⼩值。

2.梯度下降法什么是梯度下降法呢/举个例⼦，我们在下⼭的时候，如果⼭中浓雾太⼤，⽽且我们有不清楚路线，那我们可以以当前的所处的位置为基准，寻找这个位置最陡峭的地⽅，然后朝着⼭的⾼度下降的地⽅⾛，同理，如果我们的⽬标是上⼭，也就是爬到⼭顶，那么此时应该是朝着最陡峭的⽅向往上⾛。

然后每⾛⼀段距离，都反复采⽤同⼀个⽅法，最后就能成功的抵达⼭⾕。

梯度下降法的过程与这个例⼦很相似，⼀个函数可微分。

这个函数就代表着⼀座⼭。

我们的⽬标就是找到这个函数的最⼩值，也就是⼭底。

根据之前的场景假设，最快的下⼭的⽅式就是找到当前位置最陡峭的⽅向，然后沿着此⽅向向下⾛，对应到函数中，就是找到给定点的梯度，然后朝着梯度相反的⽅向，就能让函数值下降的最快！因为梯度的⽅向就是函数之变化最快的⽅向，所以，我们重复利⽤这个⽅法，反复求取梯度，最后就能到达局部的最⼩值，这就类似于我们下⼭的过程。

理解算法中的梯度下降和随机梯度下降梯度下降和随机梯度下降是机器学习中常用的优化算法。

它们在训练模型、求解最优化问题等方面发挥着重要的作用。

本文将从数学原理、应用场景和优缺点三个方面来深入探讨这两种算法。

一、数学原理梯度下降是一种迭代优化算法，通过不断更新参数的值来最小化损失函数。

其核心思想是沿着梯度的反方向进行参数更新，以期望找到损失函数的最小值点。

具体而言，梯度下降的更新公式为：θ = θ - α * ∇J(θ)其中，θ表示待更新的参数，α为学习率，∇J(θ)是损失函数J(θ)对参数θ的梯度。

通过不断迭代更新，最终收敛到损失函数的局部最小值点。

随机梯度下降是对梯度下降的一种改进。

与梯度下降每次使用全部样本计算梯度不同，随机梯度下降每次只使用一个样本计算梯度。

这样做的好处是降低了计算复杂度，加快了训练速度。

更新公式为：θ = θ - α * ∇J(θ;x_i,y_i)其中，(x_i,y_i)表示随机选择的一个样本，∇J(θ;x_i,y_i)是损失函数J(θ)对该样本的梯度。

二、应用场景梯度下降和随机梯度下降广泛应用于机器学习中的各个领域。

梯度下降适用于数据集较小、计算资源充足的情况。

例如，在线性回归、逻辑回归等模型的训练中，可以使用梯度下降算法来优化参数。

此外，梯度下降还可以用于神经网络的训练，通过不断调整神经元之间的连接权重，实现模型的学习和预测。

随机梯度下降则适用于数据集较大、计算资源有限的情况。

在大规模数据集上，每次计算全部样本的梯度是非常耗时的，而随机梯度下降通过随机选择样本来计算梯度，大大减少了计算时间。

因此，随机梯度下降在深度学习等需要处理大规模数据的任务中得到广泛应用。

三、优缺点梯度下降和随机梯度下降各有优缺点。

梯度下降的优点是收敛性好，能够找到全局最优解。

然而，梯度下降的缺点也很明显，即计算复杂度高，对内存要求大。

在处理大规模数据集时，梯度下降的效率较低。

相比之下，随机梯度下降的优点是计算速度快，对内存要求低。

梯度向量与梯度下降法的应用随着人工智能技术的快速发展,机器学习已经成为了最受关注的方向之一。

梯度向量与梯度下降法作为核心算法,在机器学习中的应用非常广泛。

一、梯度向量梯度向量是一个向量，它的每个分量表示对应函数在这个方向上的变化率。

在机器学习中，我们通常使用梯度向量来表示损失函数的导数。

例如，如果我们有一个函数 f(x,y)，我们想要求它在某个点的梯度。

根据微积分的定义，这个梯度应该是这个函数在该点处的偏导数向量。

在三维空间中，梯度的计算公式如下：如果我们想在某一点处计算 f(x,y)，我们需要计算 f(x,y) 在每个方向上的变化率，然后使用这些变化率构建一个向量。

这个向量就是梯度向量。

在机器学习中，我们使用梯度向量来优化损失函数，使得模型的预测结果与真实结果的误差最小化。

这个过程称为梯度下降。

二、梯度下降法梯度下降法是一种优化算法，可以用来最小化损失函数。

它的基本思想是在每次迭代中，沿着梯度向量的反方向移动一小步，以达到逐渐逼近损失函数最小值的目的。

具体来说，对于一个参数向量 w，我们定义损失函数 J(w) ，它表示模型预测结果和真实结果之间的误差。

我们想要找到一个参数向量 w*，使得函数 J(w*) 最小化。

梯度下降法就是通过反复迭代来逐渐调整参数向量，以使得损失函数 J(w) 最小化。

这个过程的迭代公式可以表示为：其中，α 是学习率，它控制每一步迭代的大小。

当α 过大时，会导致算法不收敛，甚至会发散。

当α 过小时，算法收敛速度缓慢。

虽然梯度下降法很简单，但在实际应用中，有一些需要注意的点：1.初始化参数向量：在开始迭代之前，我们需要初始化参数向量 w。

通常，我们将它们赋为随机的小值。

2.批量和随机梯度下降：在梯度下降迭代的过程中，我们可以使用整个训练集或者一小部分训练集（随机选择）来计算梯度。

前者称为批量梯度下降，后者称为随机梯度下降。

两者的选择取决于数据集的大小等因素。

3.收敛条件：由于损失函数通常非常复杂，所以梯度下降可能会陷入局部最优解。

强化学习算法中的梯度下降方法详解强化学习（Reinforcement Learning, RL）是一种机器学习方法，旨在使代理程序在与环境互动的过程中学习最佳的行为策略。

在强化学习中，代理程序通过与环境互动获得奖励和惩罚，从而逐步优化其行为策略。

梯度下降是一种常用的优化方法，也被广泛应用于强化学习算法中。

本文将详细介绍梯度下降在强化学习中的应用原理和方法。

一、梯度下降简介梯度下降是一种常用的数值优化方法，旨在通过沿着目标函数的负梯度方向迭代更新参数，从而找到目标函数的极小值点。

在强化学习中，梯度下降被广泛应用于值函数的优化和策略的更新过程中。

在强化学习中，值函数通常用于评估状态或动作的价值，而策略则用于决定在特定状态下采取何种动作。

梯度下降方法可以用于值函数的拟合和策略的更新，从而使代理程序能够逐步优化其行为策略。

二、值函数的梯度下降值函数的梯度下降通常用于估计值函数的参数。

在强化学习中，值函数可以分为状态值函数和动作值函数。

状态值函数用于评估在特定状态下的价值，而动作值函数则用于评估在特定状态下采取特定动作的价值。

梯度下降可以通过优化值函数的参数，从而使值函数能够较好地拟合环境的奖励信号。

在值函数的梯度下降中，通常需要定义一个损失函数，用于衡量值函数的预测值与实际奖励之间的差距。

然后，通过计算损失函数的梯度，可以使用梯度下降方法来更新值函数的参数。

梯度下降的步骤包括计算损失函数的梯度、更新值函数的参数和迭代优化过程。

三、策略的梯度下降策略的梯度下降通常用于更新代理程序的行为策略。

在强化学习中，代理程序的策略可以表示为一个参数化的概率分布，用于决定在特定状态下采取何种动作。

梯度下降可以通过优化策略的参数，从而使代理程序能够逐步优化其行为策略。

在策略的梯度下降中，通常需要定义一个性能指标，用于衡量代理程序的行为策略在与环境互动过程中的表现。

然后，通过计算性能指标的梯度，可以使用梯度下降方法来更新策略的参数。

从泰勒级数展开和梯度的数学概念出发简述梯度下降算法的原理及其改进方法梯度下降算法是机器学习和优化算法中常用的一种方法，用于寻找函数最小值点的过程。

本文将从泰勒级数展开和梯度的数学概念出发，详细介绍梯度下降算法的原理及其常见的改进方法。

一、初识泰勒级数展开和梯度的数学概念在介绍梯度下降算法之前，我们先了解一下两个数学概念：泰勒级数展开和梯度。

1. 泰勒级数展开：泰勒级数展开是一种将一个函数展开为多项式的方法，可以近似描述函数在某一点附近的行为。

泰勒级数展开的一般形式为：f(x) = f(a) + (x-a)f'(a) + (x-a)^2f''(a)/2! + (x-a)^3f'''(a)/3! + ...其中，f(x)表示函数在点x处的值，f(a)表示函数在点a处的值，f'(a)表示函数在点a处的一阶导数的值，f''(a)表示函数在点a处的二阶导数的值，以此类推。

2. 梯度：梯度是向量微积分中的一个概念，表示函数在某一点处的变化率最大的方向。

对于函数f(x1, x2, ..., xn)，其梯度可以表示为一个向量：∇f(x1, x2, ..., xn) = (∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn)其中，∂f/∂xi表示函数f对变量xi的偏导数。

二、梯度下降算法的原理梯度下降算法的目标是通过迭代的方式寻找函数的最小值点。

算法的思想可以通过泰勒级数展开和梯度的概念进行解释。

对于一个函数f(x)，我们可以选择一个初始点x0，然后通过迭代的方式更新x的值，使得函数在每一次迭代中都取得更小的值。

具体来说，我们通过泰勒级数展开来对函数进行近似，即：f(x0 + α∇f(x0)) ≈f(x0) + α∇f(x0)·∇f(x0)其中，α表示学习率或步长，用来控制每一次迭代中更新的幅度。

当学习率足够小时，我们可以将近似的泰勒级数展开式化简为：f(x0 + α∇f(x0)) ≈f(x0) - α∥∇f(x0)∥^2这里，∥∇f(x0)∥表示梯度向量的模长。

梯度下降与随机梯度下降概念及推导过程梯度下降与随机梯度下降概念及推导过程⼀、总结⼀句话总结：> 梯度通俗理解：我们对⼀个多元函数求偏导,会得到多个偏导函数.这些导函数组成的向量,就是梯度.1、利⽤梯度下降法求解梯度的过程？> 1、随机⼀个初始值,在多元线性回归中,我们随机⼀组w,带⼊到损失函数中,得到⼀个初始点.> 2、让这个点按照负梯度的⽅向运动,就是我们前边讲的θ(k)=θ(k-1)-α*g ,梯度的计算如上⽂所述.> 3、迭代第⼆步,当迭代此处达到某⼀个数,或者上⼀步和这⼀步的结果误差⼩于某个数,就认为是最优解了,停⽌迭代.迭代次数和最⼩误差值都是可以设置的.⼆、梯度下降与随机梯度下降概念及推导过程上⼀章中有提到利⽤解析解求解多元线性回归,虽然看起来很⽅便,但是在解析解求解的过程中会涉及到矩阵求逆的步骤.随着维度的增多,矩阵求逆的代价会越来越⼤(时间/空间),⽽且有些矩阵没有逆矩阵,这个时候就需要⽤近似矩阵,影响精度.所以本章我们⼀起来学习求解多元线性回归最常⽤的,也是后边可能会讲的深度学习最常⽤的求解办法:梯度下降与随机梯度下降.其实随机梯度下降才是咱们最常⽤的求解办法,但是不知道梯度下降,理解随机梯度下降就有些直接盖⼆楼的感觉了(我的意思是空中楼阁).那什么是梯度下降呢?从字⾯意思上,我们就可以get到他最重要的点--梯度.所以⾸先我们来看梯度的概念.(事先声明,好多概念纯粹为了⽅便理解)什么是梯度:1-先看官⽅解释:梯度的本意是⼀个向量（⽮量），表⽰某⼀函数在该点处的⽅向导数沿着该⽅向取得最⼤值，即函数在该点处沿着该⽅向（此梯度的⽅向）变化最快，变化率最⼤（为该梯度的模）。

2-通俗理解:我们对⼀个多元函数求偏导,会得到多个偏导函数.这些导函数组成的向量,就是梯度.这⾥需要开拓⼀下你聪明的头脑.⼀元函数的梯度是什么?思考⼀下.它的梯度可以理解为就是它的导数.我们求解⼀元函数的时候有⼀种办法是对函数求导得到导函数,令导函数为零得到这个函数的解析解.那我们可不可以理解为求解⼀元函数时利⽤让⼀元函数的梯度变为0的时候,梯度所在的位置就是函数的最优解呢? (稍稍有点偷天换⽇,但是在⼀元函数中梯度和导数并⽆区别,这块⼀定要理解)梯度中元素(导函数)的个数的个数同未知数的个数是对应,每⼀个未知数都可以像求解⼀元⼀次函数⼀样,通过它所对应的梯度求得最优解.其实求解多元函数和⼀元函数的道理是⼀样的,只不过函数是⼀元的时候,梯度中只有⼀个导函数,函数时多元的时候,梯度中有多个导函数.当我们把梯度中的所有偏导函数都变为0的时候,就可以找到每个未知数的对应解?(事实证明是这样的)附上⼀张梯度的图假设这个曲⾯是⼀个多元函数,我们可以把这个曲⾯看成是由⽆数条曲线组成,每条曲线代表了多元函数的⼀个维度,当所有维度都下降到梯度为0的点,是不是这个点就是多元函数的解的那个点呢?什么是梯度下降:1-还是按照惯例,先看官⽅解释.梯度下降是迭代法的⼀种,可以⽤于求解最⼩⼆乘问题(线性和⾮线性都可以)。

随机梯度下降、mini-batch梯度下降以及batch梯度下降训练神经⽹络的时候，基本就是三个步骤：1. 正向计算⽹络输出；2. 计算Loss；3. 反向传播，计算Loss的梯度来更新参数(即梯度下降)。

在⼩的训练集上联系的时候，通常每次对所有样本计算Loss之后通过梯度下降的⽅式更新参数(批量梯度下降)，但是在⼤的训练集时，这样每次计算所有样本的Loss再计算⼀次梯度更新参数的⽅式效率是很低的。

因此就有了随机梯度下降和mini-batch梯度下降的⽅式。

下⾯来具体讲讲。

批量梯度下降（Batch Gradient Descent）上⾯说了，批量梯度下降就是每个epoch计算所有样本的Loss，进⽽计算梯度进⾏反向传播、参数更新：其中，m为训练集样本数，l为损失函数，ϵ表⽰学习率。

批量梯度下降的优缺点如下：优点每个epoch通过所有样本来计算Loss，这样计算出的Loss更能表⽰当前分类器在于整个训练集的表现，得到的梯度的⽅向也更能代表全局极⼩值点的⽅向。

如果损失函数为凸函数，那么这种⽅式⼀定可以找到全局最优解。

缺点每次都需要⽤所有样本来计算Loss，在样本数量⾮常⼤的时候即使也只能有限的并⾏计算，并且在每个epoch计算所有样本Loss后只更新⼀次参数，即只进⾏⼀次梯度下降操作，效率⾮常低。

随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent）先贴上随机梯度下降的伪代码随机梯度下降每次迭代(iteration)计算单个样本的损失并进⾏梯度下降更新参数，这样在每轮epoch就能进⾏m次参数更新。

看优缺点吧：优点参数更新速度⼤⼤加快，因为计算完每个样本的Loss都会进⾏⼀次参数更新缺点1.计算量⼤且⽆法并⾏。

批量梯度下降能够利⽤矩阵运算和并⾏计算来计算Loss，但是SGD每遍历到⼀个样本就进⾏梯度计算和参数下降，⽆法进⾏有效的并⾏计算。

2.容易陷⼊局部最优导致模型准确率下降。

因为单个样本的Loss⽆法代替全局Loss，这样计算出来的梯度⽅向也会和全局最优的⽅向存在偏离。