集合的概念及表示方法优秀课件

2．(1)已知集合 A 含有两个元素 a 和 a2，若 1∈A，则实数 a 的值为________． (2)已知集合 A 含有两个元素 a 和 a2，若 2∈A，则实数 a 的值为________． (3)已知集合 A 含有两个元素 a 和 a2，则实数 a 的取值范围为________．
【解析】(1)若 1∈A，则 a＝1 或 a2＝1，即 a＝±1. 当 a＝1 时，集合 A 有重复元素，不符合集合中元素的互异性，所以 a≠1； 当 a＝－1 时，集合 A 含有两个元素 1，－1，符合集合中元素的互异性， 所以 a＝－1. 答案：－1 (2)若 2∈A，则 a＝2 或 a2＝2，即 a＝2 或 a＝ 2 或 a＝－ 2 . 答案：2 或 2 或－ 2 (3)若 A 中有两个元素 a 和 a2，则由 a≠a2 解得 a≠0 且 a≠1. 答案：a≠0 且 a≠1
教材认知 掌握必备知识
一、集合与元素 1．集合：把一些能够_确__定__的__、_不__同__的__对象汇集在一起，这些对象组成一个集 合(简称为集). 2．元素：组成集合的每个_对__象__． 3．表示方法：集合通常用英文大写字母A，B，C，…表示，集合的元素通常 用英文小写字母a，b，c，…表示．
3．区间及其表示 (1)一般区间的表示． 设 a，b∈R，且 a<b，规定如下：
[a,b] (a,b)[a,b)
(a,b]
(2)特殊区间的表示．
【批注】1.用数轴表示区间时要特别注意端点是实心点还是空心点； 2．无穷大是一个符号，不是一个数，因而它不具备数的一些性质和运算法则，出现 此符号的一端时，该端必须是小括号．
[诊断]
1．下列说法：
①集合{x∈Z|x3＝x}用列举法表示为{－1，0，1}；

1867年在库默尔指导下以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲 师资格考试，后即在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授。
大学期间康托尔主修数论，但受外尔斯特拉斯的影响,对数学推导的严格性和 数学分析感兴趣。哈雷大学教授H.E.海涅鼓励他研究函数论。他于1870、1871 、1872年发表三篇关于三角级数的论文。在1872年的论文中提出了以基本序列 （即柯西序列）定义无理数的实数理论，并初步提出以高阶导出集的性质作为 对无穷集合的分类准则。函数论研究引起他进一步探索无穷集和超穷序数的兴 趣和要求。
有的性质
例如：book中的字母的集合表示为： ｛x|x是 book中的字母｝
集合的表示方法
{x | x2 2 0}
﹨{ x | 10 x 20}
集合的表示方法
练习 (1) 用列举法表示下列集合 ① A { x N | 0 x 5} ② B { x | x2 5x 6 0}
｛ｂ，ｏ，o，ｋ｝ (×)
集合的表示方法
例1 用列举法表示下列集合：
一个集合中的元素
(1)小于10的所有自然数组成的集合； 的书写一般不考虑 顺序(集合中元素
(2)方程 x2 x 的所有实数根组成的集合； 的无序性).
(3)由1~20以内的所有质数组成的集合.
解：(1)A={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}. (2)B={0，1}. (3)C={2，3，5，7，11，13，17，19}.
解： ①{x|x=3n-2, n ∈ N*且n≤5}
②
{x|x=
n
n
2
, n ∈ N*且n≤5}
2.用列举法表示下列集合：
（1）A=﹛x∈N︱1
6
x∈Z﹜

3．对的理解列举法
(1)元素间用分隔号“，”隔开；
(2)元素不重复；
(3)对于含较多元素的集合，如果构成该集合 的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把 元素间的规律显示清晰后才干用省略号．
4．合理选用集合的表达办法
列举法与描述法各有优点，列举法能够看清集 合的元素，描述法能够看清集合元素的特性， 普通含有较多或无数多个元素时不适宜采用列 举法，由于不能将集合中的元素一一列举出来， 而没有列举出来的元素往往难以拟定．
[例5] 用适宜的办法表达下列集合： (1)24的正约数构成的集合； (2)不不大于3不大于10的整数构成的集合； (3)方程x2＋ax＋b＝0的解集； (4)平面直角坐标系中第二象限的点集；
[分析] 首先搞清晰集合的元素是什么，然 后选用适宜的办法表达集合．
[解析] (1){1,2,3,4,6,8,12,24}； (2){不不大于3不大于10的整数}＝{x∈Z|3＜
(2)不等式2x－1＜5的自然数解构成的集 合．________
(3)古代我国的四大发明构成的集合．________
(4)A＝{x|0<x≤5且x∈N}．________
(5)B＝{x|x2－5x＋6＝0}．________
[解析] (1)6的正约数为1,2,3,6，故所求集合 为{1,2,3,6}
x＝2， y＝2.
∴D＝{(0,6)，(1,5)，(2,2)}．
(5)依题意，p＋q＝5，p∈N，q∈N*，则
p＝0， q＝5；
p＝1， q＝4；
p＝2， q＝3；
p＝3， q＝2；
p＝4， q＝1.
∵x 要满足条件 x＝pq，∴E＝{0，14，23，32，4}．
(2)集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x， ∵当x∈R时，y＝x2＋1故意义． ∴{x|y＝x2＋1}＝R； 集合②{y|y＝x2＋1}的代表元素是y， 满足条件y＝x2＋1的y的取值范畴是y≥1， ∴{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．

(2)列举法和描述法
列举法
描述法
把集合的元一素一列举
用集合所含元素的
_____________出来，并用
共同特征
概念
_______________表示集合的
花括号“{ }”括起来表示集
方法
合的方法
一般
形式 {a1，a2，a3，…，an}
{x∈I|p(x)}
1．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)你班所有的姓氏能组成集合．( √ ) (2)高一·二班“数学成绩好的同学”能组成集合．( × ) (3)一个集合中可以找到两个相同的元素．( × ) (4)集合{x|x>3}与集合{t|t>3}表示的是同一集合．(√ )
2．元素与集合的关系
关系
语言描述
记法
读法
属于 a是集合A中的元素 a∈A a属于集合A
不属于 a不是集合A中的元素 a∉A a不属于集合A
3.常用的数集及其记法
常用的 自然数 数集 集 记法 N
正整数集 N*或N＋
有理数
整数集
实数集
集
Z
QR
4.集合的表示法 (1)自然语言法 用文字叙述的形式描述集合的方法．使用此方法要注意叙述 清楚，如由所有正方形构成的集合，就是自然语言表示的， 不能叙述成“正方形”．
4．当{a，0，－1}＝{4，b，0}时，a＝___4_____，b＝ __－__1____．
集合的概念 判断下列各组对象能否组成一个集合： (1)新华中学高一年级全体学生； (2)我国的大河流； (3)不大于 3 的所有自然数；
(4)平面直角坐标系中，和原点距离等于 1 的点．
(链接教材P3思考) [解] (1)能，(1)中的对象是确定的；(2)不能，“大”无明确标 准；(3)能，不大于 3 的所有自然数有 0、1、2、3，其对象是 确定的；(4)能，在平面直角坐标系中任给一点，可明确地判 断是不是“和原点的距离等于 1”，故能组成一个集合．

有点”组成的集合.
{P│ =1}
2.集合{x∈N│1≤x≤5}可以用列举法表示为 {1,2,3,4,5} .
特别说明：
我们约定，如果从上下文来看，x∈R，x∈N等等是明确的， 那么x∈R，x∈N可以省略，只写其元素x.
比如A={x∈R│x<10 }，可以写成{x│x<10 }.
4 有限集与无限集
A={y│y=x2+2x+3}
B={x│y=x2+2x+3}
学
思 想题
C={(x, y)│y=x2+2x+3} D={ y=x2+2x+3 }
之
其中与集合{y│y=x2+2}相等的有 1 个.
+
函 数 思 想 数 形
分
从元素入手分析，先定性：{y│y=x2+2}是数集，而集合C为点集， 集合D中元素为方程(或说函数式)，故C、D排除；
析 再定量：{y│y=x2+2}={y│y≥2}; （函数图像上点的纵坐标的范围）
由y=x2+2x+3=(x+1)2+2≥2知 A={y│y=x2+2x+3}={y│y=x2+2}，符合！
结
而B={x│y=x2+2x+3}=R≠{y│y≥2} （B为自变量的范围）
合
方
法 判断集合的关系，首先从元素的属性入手；元素同属性的情况下，
高中数学/人教A版/必修一
思维 素养
1 集合该如何表示？
看下列用文字语言给出的集合：
感 (1)A是由“方程 x2-3x+2=0 的所有实数根”组成的集合；
悟
与 (2)B是由“地球上的四大洋”组成的集合；

[跟进训练] 1．判断下列说法是否正确，并说明理由． (1)所有素数能组成一个集合． (2)数轴上的一些点能组成一个集合． (3)集合xx－12x＋1＝0，x∈R有三个元素． (4)集合x∈Rax＝1，a∈R有且仅有一个元素．
[解] (1)正确，素数具有确定性． (2)不正确，“一些点”的标准不明确． (3)不正确，由于“1”是该方程二重根，且集合的元素具有互异 性，所以该集合有且仅有两个元素． (4)不正确，当a＝0时，x∈Rax＝1，a∈R＝∅.
[(1)①②③④都正确，故选D.
(2)对a的可能取值逐个检验，a＝2时，6－a＝4∈A；a＝4时，6
－a＝2∈A；a＝6时，6－a＝0 A，所以a的取值集合是2，4.
(3)由4n＋1＝－7，得n＝－2，即－7＝4×
－2
＋1，所以－
7∈A；由4n＋1＝3，得n＝21，由于12 Z，所以3 A.]
课堂 小结 提素 养
1．下列给出的对象中，能构成集合的是( )
A．一切很大的数
B．好心人
C．营养丰富的食品
D．所有有理数
D [“很大”、“好心”、“丰富”等词所描述的对象没有确
定性，故选D.]
2．由英文单词“book”中的所有字母构成的集合中元素的个数是
() A．1
B．2
C．3
D．4
C [由集合元素的互异性可知，该集合中共有“b”、“o”、“k” 三个元素，故选C.]
∈__
__
(2)常用数集及表示符号
名称 自然数集 正__整__数__集__ 整数集 有__理__数__集__ 实数集 正实数集
符号 _N_
N＋或N*
_Z_
Q
_R _
R＋
3.集合的表示方法

2019/3/28
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7
离散数学 3.1 集合的概念及表示法
二、集合的表示法
2、描述集合中元素的方法
1) 列举法 b、部分列举法：
列举集合的部分元素，其他元素可从列举的元
素 归纳出来 ， 用省略号代替。 例如A表示“全体小写英文字母”的集合， 则 A={a, b, … , y, z} 注： 列举法仅适用于描述元素个数有限的集合 或 元素具有明显排列规律的集合。
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6
离散数学 3.1 集合的概念及表示法
二、集合的表示法
2、描述集合中元素的方法
1) 列举法 a、全部列举法： 以任意顺序写出集合的所有元素, 元素间用逗号 并将其放在花括号内。 隔开， 例如“所有小于5的正整数”， 这个集合的元素为 1, 2, 3, 4, 再没有别的元素了。 如果把这个集合命名为A, 就可记为 A={1, 2, 3, 4}
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3
离散数学 3.1 集合的概念及表示法
一、集合的基本概念
3、集合的分类
1) 有限集合 集合的元素个数是有限的。
2) 无限集合 集合的元素个数是无限的。
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离散数学 3.1 集合的概念及表示法
二、集合的表示法
1、符号表示法
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12

⑵互异性－即集合中的元素是互不相同的，如果出现了两个(或几 个)相同的元素就只能算一个，即集合中的元素是不重复出现的。 ⑶无序性－即集合中的元素没有次序之分．
判断下列各组对象能否描述为集合，若能，则用集合表 示出来，若不能，请说明理由。
（1）大于3小于11的偶数；（2）我国的小河流 （3）很小的有理数；（4）泸高校园的所有大树；
具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符 号及以取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个 集合中元素所具有的共同特征.
一般形式：x Ax 满 足 的 条 件
说明： 1、不能出现未被说明的字母； 2、多层描述时，准确使用“且”、“或”； 3、描述语言力求简明、准确； 4、多用于元素无限多个时。
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
*有限集与无限集*
⑴ 有限集-------含有有限个元素的集合叫有限集 例如: A =｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝.
⑵ 无限集-----含有无限个元素的集合叫无限集
7．小结
• 集合的含义 • 元素与集合之间的关系 • 集合中元素的三个特征
(思考)本节课主要学研究哪些基本内容?集合 的三种表示方法各有怎样的优点?用其表示 集合各应注意什么?
• 记作：aA；
例如，Ａ＝｛能被３整除的整数｝
当a6时,aA 当a7时,aA
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
6.常用的数集及其记法
• 全体非负整数组成的集合称为自然数集，记为 Ｎ • 所有正整数组成的集合称为正整数集，记为 N*或N • 全体整数组成的集合称为整数集，记为 Ｚ • 全体有理数组成的集合称为有理数集，记为 Ｑ • 全体实数组成的集合称为实数集，记为 Ｒ

由此能总结出集合元素有什么特性？
互异性 一个集合中的任何两个元素都互不相同。
也就是说，集合中的元素互不相同
探究3： 将某学校高一（1）班全体学生组成的集合记为集合A， 改变这个班同学的座次，集合A是否发生改变？
集合A不发生改变，即不管班里的学生怎么改变座次，学生改 变座次后的集合仍然还是学生改变座次之前的集合.
描述法 通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法。
一般地可将集合表示为{x及x的范围|x满足的条件}
例如，集合 D={x∈R|x<10}也可表示为D={x|x<10}； 集合E={x∈Z|x=2k+1,k∈Z}也可表示为E={x|x=2k+1,k∈Z}.
思考：你能用列举法表示不等式 x-7<3的解集吗?
如上述思考中不等式x-7<3的解是x<10，因为满足x<10的实数 有无数个，所以x-7<3的解集无法用列举法表示，
但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即：x是实数， 且x<10，因此把解集表示为{x|x<10}.
整数集Z可以分为奇数集和偶数集。 对于每一个x∈Z，如果它能表示为x=2k+1(k∈Z)的形式，那么它 是一个奇数;反之，如果x是一个奇数，那么它能表示为x=2k+1(k∈Z) 的形式。 所以，x=2k+1(k∈Z)是所有奇数的一个共同特征，于是奇数集可 以表示为：{x|x=2k+1,k∈Z}.
5、集合的表示方法
思考：从上面的例子看到，我们可以用自然语言描述一个集合。 除此之外，还可以用什么方式表示集合呢? 列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来 表示集合的方法叫做列举法。
“地球上的四大洋”组成的集合可以表示为{太平洋，大西洋， 印度洋，北冰洋}； “方程x2-3x+2=0的所有实数根”组成的集合可以表示为{1，2}.

核心素养
1.会用列举法表示有限集．
1.数学抽象：列举法、描述法表示
2.理解描述法的格式及其适用情况， 集合．
并会用描述法表示相关集合．
2.数学运算、直观想象：用描述法
3.学会在集合的不同表示法中作出选 表示的集合转化为用列举法表示的
择和转换．
集合．
【解】 若集合A只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0， 当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2.此时集合A＝{2}． 当k≠0时，则关于x的一元二次方程kx2－8x＋16＝0时方程解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足．
综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}．
解：当 a＝0 时，方程 ax2＋2x＋1＝0，即 2x＋1＝0， 解得 x＝－12 .此时 A＝－12 ； 当 a≠0 时，若集合 A 中有且只有一个元素，则方程 ax2＋2x＋1＝0 有两 个相等的实数根， 所以Δa≠＝04，－4a＝0， 解得 a＝1，此时 A＝{－1}． 综上，当 a＝0 或 a＝1 时，集合 A 中有且只有一个元素， 所以 a 的值组成的集合 B＝{0，1}．
(2)方程组
2x＋y＝8， x－y＝1
的解组成的集合 B.
解：解方程组2xx－＋y＝y＝18，
x＝3， 得y＝2，
所以 B＝{(3，2)}．
新知探究：集合的表示方法
思考 (1)你能用自然语言描述集合{0,3,6,9}吗?
“10以内能被3整除的所有自然数”
(2)你能用列举法表示不等式 x-7<3的实数解集吗? 满足“x<10”的实数有无数个，无法一一列举.
(2)3和4的所有正的公倍数构成的集合； 解：3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x ＝12n，n∈N*}．