当前位置：文档之家 › 第五章习题几个典型的代数系统

第五章习题几个典型的代数系统

  • 格式：doc
  • 大小：62.51 KB
  • 文档页数：6

第五章习题几个典型的代数系统
5.1.设A={0,1},试给出半群的运算表,其中为函数的复合运算。
5.2.设G={a+bi|a,b∈Z},i为虚数单位,即i2=-1.验证G关于复数加法构成群。
5.3.设Z为整数集合,在Z上定义二元运算如下：
x,y∈Z,xy=x+y-2
问Z关于运算能否构成群？为什么？

5.4.设A={x|x∈R∧x≠0,1}.在A上定义六个函数如下：
f1(x)=x, f2(x)=x-1, f3(x)=1-x,
f4(x)=(1-x)-1, f5(x)=(x-1)x-1, f6(x)=x(x-1)-1
令F为这六个函数构成的集合,运算为函数的复合运算。
(1) 给出运算的运算表。
(2) 验证是一个群。

5.5.设G为群,且存在a∈G,使得 G={ak|k∈Z}, 证明G是交换群。
5.6.证明群中运算满足消去律.

5.7.设G为群,若x∈G有x2=e,证明G为交换群。
5.8.设G为群,证明e为G中唯一的幂等元。
5.9.证明4阶群必含2阶元。
5.10设A={a+bi|a,b∈Z,i2=-1},证明A关于复数的加法和乘法构成环,称为高
斯整数环。
5.12.(1) 设R1,R2是环,证明R1与R2的直积R1×R2也是环。
(2) 若R1和R2为交换环和含幺环,证明R1×R2也是交换环和含幺环。
5.13. 判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域,如果不能构成,说明理
由。
(1) A={a+bi|a,b∈Z},其中i2=-1,运算为复数的加法和乘法。
(2) A={-1,0,1},运算为普通加法和乘法。
(3) A=M2(Z),2阶整数矩阵的集合，运算为矩阵加法和乘法。
(4) A是非零有理数集合Q*,运算为普通加法和乘法。

5.14.设G是非阿贝尔群,证明G中存在元素a和b,a≠b,且ab=ba.
5.15.设H是群G的子群,x∈G,令
xHx-1={xhx-1|h∈H},
证明xHx-1是G的子群,称为H的共轭子群。
5.16.设

(1) G上的二元运算为矩阵乘法,给出G的运算表
(2) 试找出G的所有子群
(3) 证明G的所有子群都是正规子群。

5.17.设G是有限群，K是G的子群，H是K的子群,证明[G:H]=[G:K][K:H].
5.18.令G={Z,+}是整数加群。求商群Z/4Z,Z/12Z和4Z/12Z.
5.19.对以下各小题给定的群G1和G2以及f:G1→G2,说明f是否为群G1到G2的同
态。如果是,说明G是否为单同态,满同态和同构,并求同态像f(G1)和同态核
kerf.
(1) G1=,G2=,其中R*为非零实数的集合,+和·分别表示数的
加法和乘法。

f:Z→R*,f(x)=
(2) G1=,G2=,其中+和·分别表示数的加法和乘法
A={x|x∈C∧|x|=1},其中C为复数集合。
f:Z→A,f(x)=cosx+i sinx
(3) G1=,G2=,+和·以及A的定义同(2).
f:R→A,f(x)=cosx+i sinx

5.20.设f是群G1到G2的同构,证明f-1是G2到G1的同构。

5.21.图中给出六个偏序集的哈斯图。判断其中哪些是格。如果不是格,说明理由。
5.22.下列各集合对于整除关系都构成偏序集,判断哪些偏序集是格。

2,...,2n},n∈Z+
5.23.画出Klein四元群的子群格。
画出模12的整数群Z12的子群格。
画出3元对称群S3的子群格。

5.24.设L是格,求以下公式的对偶式:
∧(a∨b)a
∨(b∧c)(a∨b)∧(a∨c)
∨(c∧a)(b∨c)∧a

5.25.设L是格,a,b,c∈L,且abc,证明
∨b=b∧c

5.26.针对图13.10中的格L1,L2和L3,求出他们的所有子格。

图13.10
5.27.针对图13.9中的每个格,如果格中的元素存在补元,则求出这些补元。
5.28.说明图13.9中的每个格是否为分配格、有补格和布尔格,并说明理由。
5.29.对以下各小题给定的集合和运算判断它们是哪一类代数系统(半群,独异点,群,环,域,
格,布尔代数),并说明理由。

1
={0，1,-1}，运算为普通加法和乘法。
2={a1,a2,...,an},ai,aj∈S2,ai*aj=ai
.这里的n是给定的正整数,且n≥2.
S3={0,1},*为普通乘法。
4
={1,2,5,7,10,14,35,70},和*分别表示求最小公倍数和最大公约数运算。
5
={0,1,2},*为模3加法,为模3乘法。

5.30.设B是布尔代数,B中的表达式f是
∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)

化简f.

求f的对偶式f* 。

5.31.设是布尔代数，在B中化简以下表达式：上定义二元运算*，a,b
∈B,

（1）(a∧b)∨(a∧b＇)∨(a＇∨b)
（2）(a∧b)∨(a∧（b∧c)＇)∨c

5.32.对于n=1,...,5,给出所有不同构的n元格,并说明哪些是分配格、有补格和布尔格。
5.33.设是布尔代数,在B上定义二元运算,x,y∈B有
y=(x∧y＇)∨(x＇∧y)
问能否构成代数系统？如果能,指出是哪一种代数系统。为什么？

5.34.设G1为循环群,f是群G1到G2的同态,证明f(G1)也是循环群。
5.35.设G=是15阶循环群。
(1) 求出G的所有的生成元。
(2) 求出G的所有子群。
5.36.设σ,τ是5元置换,且

(1) 计算στ,τσ,σ-1,τ-1,σ-1τσ
(2) 将στ,τ-1,σ-1τσ表成不交的轮换之积。
(3) 将(2)中的置换表示成对换之积,并说明哪些为奇置换,哪些为偶置
换。

5.37设A=﹛1,2,5,10,11,22,55,110﹜是110的正因子集，〈A,≤ 〉 构成的
偏序集，其中≤ 为整除关系。

（1）画出偏序集〈A, ≤〉 的哈斯图。
（2）说明该偏序集是不是构成布尔代数，为什么？

合集下载

math-chap5-5.离散数学_代数系统

math-chap5-5.离散数学_代数系统


庄伯金 bjzhuang@
14
同态与同构

定义：设两代数系统V1=<A,*>和V2=<B,•>，如果 存在映射f:A→B，对任意的x,y∈A，有 f(x*y)=f(x)•f(y)，则称f是V1到V2的同态映射，简 称同态，记为<A,*>∼<B,•>。

若f为满射，则称f为满同态； 若f为单射，则称f为单一同态； 若f为双射，则称f为同构，记作<A,*>≌<B,•>。
庄伯金 bjzhuang@
12
子代数系统

定义：设有代数系统<A,*1,*2,...,*k>，B是A的非 空子集。如果A上的每个运算都在B上是封闭的，且A 与B含有相同的代数常数，则称代数系统 <B,*1,*2,...,*k>为代数系统<A,*1,*2,...,*k>的 子代数系统，或称代数B为代数A的子代数。
庄伯金 bjzhuang@
10
逆元

定理：设•为A上的可结合二元运算，A中存在幺元e 且每个元素都有左逆元，则在A中，每个元素的左逆 元也是该元素的右逆元，且每个元素的逆元唯一。
庄伯金 bjzhuang@
11
代数系统


定义：由非空集合A以及A上的运算*1,*2,...,*n所组 成的系统称为一个代数系统，记作 <A,*1,*2,...,*n>。 定义：如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运 算的元数也相同，且代数常数的个数也相同，则称这 两个代数系统具有相同的构成成分，也称它们是同类 型的代数系统。
庄伯金 bjzhuang@
6
单位元


第五章 代数系统的一般性质 - 嘉应学院

第五章 代数系统的一般性质 - 嘉应学院

15
例 独异点V= .是矩阵乘法。
其中S= 令ϕ : S→ S, 那么对任意x,y∈S都有
，
16
但是
而
不是独异点V的么元,因此,
ห้องสมุดไป่ตู้
ϕ不是独异点V 的自同态。 这就是说,如果把V看作半群,则ϕ是V的自 同态 ;如果把V看作独异点,则ϕ就不是它的 自同态了。
17
18
19
11
半群同态
定义 设V1 =<S1,˚>, V2=<S2,*>为半 群, , ϕ : S1 → S2，且对任意x,y∈S1有 ϕ (x˚y)= ϕ (x)* ϕ (y) 则称ϕ为半群V1到V2的同态．
12
例 半群V=<S,.>,其中S= .是矩阵乘法。令ϕ : S→ S,
那么有 = =
13
=
这说明ϕ 是半群V的自同态,但不是满自同态
2
半群中运算的幂
因为半群V=<S, ˚>中的运算˚是可结合的,可以 定义运算的幂．对任意的x∈S,规定xn是 x1=x, xn+1= xn˚x , n为正整数。
易证x的幂遵从以下规律： xn ˚ xm= xn+m , (xn)m= xnm ,n为正整数．
3
独异点中运算的幂
在独异点V=<S,˚,e>中,如果规定x0=e(x是S 中的任意元素),那么有关半群中幂的定义可 以变成 x0=e xn+1= xn ˚x n为非负整数． 而关于幂的两个运算公式不变,只要其中的 m和n是非负整数就可以了。
独异点的积代数
设V1=<S1,˚,e1> , V2=<S2,*,e2>是独异 点,则它们的积代数是 V1×V2=<S1×S2,.,<e1,e2>> 其中的·定义与积半群一样． 即：对任意<a,b>,<c,d>∈S1×S2有 <a,b>·<c,d>=<a˚c,b*d>
离散数学 ch5.1~2代数系统的概念及性质

离散数学 ch5.1~2代数系统的概念及性质


代数系统：是用代数运算的方法构造数学模型。所 谓代数运算方法就是在建立满足一定规则的运算系 统（集合上定义若干个运算组成的系统）。
5-1 代数结构(系统)的概念
所谓代数结构(系统)，无非是有一个运算对象的集合， 和若干个运算，构成的系统。 一. n元运算(n-Ary Operation) 如何定义运算，先看几个我们熟悉的例子： 取相反数运算“-”、集合的补运算“~” 以及N上的“+” I - I P(E) ~ P(E) N2 + N 。 Φ Φ。 (0,0)。 。 0 2。 。 -2 (0,1)。 。 {a} 。 。 {a} 1 1。 。 -1 (0,2)。 0。 。 。 0 2 {b} 。 。 {b} -1。 。 1 。 -2。 。 3 (1,0)。 2 {a,b} 。 。 {a,b} (1,1)。 (1,2)。 可见运算“-”、“~”、“+” 就是个映射(函数)。 ... ... ... ... ... ... ...
六.逆元 设是X上有幺元e 的二元运算，x∈X，如果存在元素 xL-1∈X，使得，xL-1x=e，则称xL-1是x相对的左逆元 如果存在xR-1∈X，使得xxR -1 =e，则称xR -1是x相对的 右逆元。 如果xL-1 = xR-1 =x-1 ，有x-1x=xx-1=e, 称x-1是x相对的 逆元。也称x-1与x互为逆元。如x-1∈X ,也称x可逆。 -1 xR x 例1实数集合R上的+和×，x∈R S R A L -1 = -x 对加+: x (e=0) S S R A L 对乘×: x-1 =1/x (x≠0) (e=1) 从运算表找x的左 逆元 xL-1 ： x R R A L S A A L S R 在x列向下找到e后，再向左到 xL-1 L -1 。 L S R A 左表头元素即是xL 从运算表找x的右逆元 xR-1： 求R的逆： R-1 =L 在x行向右找到e后，再向上到上表头元素即是xR-1 。
第五章代数系统关于集合是否封闭？

第五章代数系统关于集合是否封闭？

第五章代数系统5-1代数系统的引入5.1.1设集合{1，2，3，…，10}，问下面定义的映射*关于集合是否封闭？a） x*y=max(x,y);b） x*y=min(x,y);c） x*y=GCD(x,y);d） x*y=LCM(x,y);e） x*y=素数p的个数，其中x≤p≤y。

解：a）封闭。

b）封闭。

c）封闭。

d）不封闭。

e）不封闭。

5.1.2在下表所列出的集合和映射中，请根据映射是否在相应集合上封闭，在相应位置上填写“是”或“否”，I表示整数集，N表示自然数集合。

5.1.3设B={0，a，b，1}，S1={ a，1}, S2={ 0，1}, S3={ a，b},二元运算⊕和*定义如下表：⊕0 a b 1 * 0 a b 10 0 a b 1 0 0 0 0 0a a a 1 1 a 0 a 0 ab b 1 b 1 b 0 0 b b1 1 1 1 1 1 0 a b 1试问（S1，*，，⊕）是代数系统吗？是（B，*，⊕，1，0）的子代数系统吗？（S2，*，，⊕，1，0）是（B，*，⊕，1，0）的子代数系统吗？（S3，*，，⊕）是代数系统吗？解：⊕ a 1 * a 1a a 1 a a a1 1 1 1 a 1因此（S1，*，，⊕）是代数系统。

它不是（B，*，⊕，1，0）的子代数系统。

因为S1中缺少0。

（S2，*，，⊕，1，0）是（B，*，⊕，1，0）的子代数系统。

⊕ a b * a ba a 1 a a 0b 1 b b 0 b因为⊕和*在{a，b}上不封闭，所以（S3，*，，⊕）不是代数系统。

5-2运算及其性质5.2.1对于实数集合R，下表所列的二元运算是否具有左边一列中那些性质，请在相应位置上填写“是”或“否”。

∣-y∣max min x-+*结合律交换律有单位元有零元解：max min x∣-y∣-+*结合律是否是是是否交换律是否是是是是有单位元是否是否否否有零元否否是否否否5.2.2设代数系统（{a,b,c}，*）中，*是{a,b,c}上二元运算，下面运算表中分别讨论交换性，等幂性，问有否单位元？若有，问每个元素有否逆元？有否零元？a）b）c）d）* a b c * a b c*a b c* a b ca abc a a b c a a b c a a b cb bc a b b a c b a b c b b b cc c a b c c c c c a b c c c c b解：a）可交换，不等幂，a为单位元，a 的逆元是a，b和c互为逆元。