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离散数学 几个典型的代数系统-1(群)

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离散数学第六章资料

离散数学第六章资料

如例2中的 Z, ，Q, ，R, ， P(A), ，
Zn, 都是阿贝尔群。
例3、Klein四元群。
G e, a,b,c，运算o由下表给出：
3、群的阶。 群 有 无限 限群 群
有限群 G 的阶， 记 G 。 例如： Zn, 的阶为 n ，
Klein 四元群的阶为4。
4、群中元素的幂 xn 。 对于群 G ，定义：xn (x1)n 则可以把独异点中的关于 xn 的定义扩充为： x0 e xn1 xn ox ( n 为非负整数) xn (x1)n ( n 为正整数) 有关幂的两个公式：xm oxn xmn
(xm )n xmn (m, n Z )
5、群中元素 x 的阶 (或周期)。
群 G中元素 x 的阶x
的阶
有限，记 x k 无限(不存在以上的k
)
例如：Klein 四元群中，
a,b, c的阶都是2，记 a b c 2。
e 的阶为1，记 e 1 。
例如： Z , ， N, 都是 Z, 的子半群，
且 N, 是 Z, 的子独异点。
二、群。 1、定义。
代数系统 G,o 满足：
①结合律， ②有幺元， ③任意元有逆元，
则称 G,o 为群。
例2、(1) Z, ，Q, ， R, 都是群， 因任意元素 x 的逆元(x)存在， 而 Z , ，N, 不是群， Z , 没有幺元，
第六章 几个典型的代数系统 第一节 半群与群
内容：半群，群，子群。 重点：1、半群，可交换半群，独异点的定义，
2、群，交换群 (阿贝尔群)的定义及性质， 3、群的阶的定义， 4、循环群，生成元的定义及例子， 5、子群的定义及判定。
一、半群。
1、定义：满足结合律的代数系统 S,o 称为半群。 例1、(1) Z , ，N, ，Z, ，Q, ，

《离散数学》第五章

《离散数学》第五章

⊕4b）⊕4c=
a
c)， 满足结合律。 ⊕4(b ⊕4c)，即⊕4满足结合律。
0是单位元，0的逆元是 ，1和3互为逆元，2的逆 是单位元， 的逆元是 的逆元是0， 和 互为逆元 互为逆元， 的逆 是单位元 元是2。 是一个群。 元是 。 <Z4； 4>是一个群。 ⊕ 是一个群
14
定义5-8:如果群 如果群<G; * >的运算 是可交换的，则称该群为 的运算*是可交换的 定义 的运算 是可交换的，
5
三、 子半群和子独异点
定义5-5 定义
<S； >的子代数，则称<T； >是<S； >的子半群。 ； 的子代数，则称 ； 是 ； 的子半群。 的子代数 的子半群
∗
设<S； >是一个半群 ，若 <T； ； 是一个半群 ； ∗
∗
例6
= {2n | n ∈ N} N3 = {3n | n ∈ N}, N4 = {4n | n ∈ N}, L
交换群或阿贝尔群。 交换群或阿贝尔群。
15
二、循环群
1．群中元素的幂 对于任意a∈ ， 对于任意 ∈G， a0=e,
anƮ=e, ( a−1)n+1 = (a−1)n ∗ a−1 (n=0,1,2,…) （*） ） 引进记号 a−n = (a−1)n = a−1 ∗ a−1 ∗ ⋅ ⋅ ⋅ ∗ a−1 ( n个a-1 ) 个 因此（ 因此（ ）式可表示为 (a −1 )0 = e, a−n−1 = a−n * a−1 对于任意整数
1
5.1 半群和独异点 一、半群 半群 定义5-1 定义
二元运算， 二元运算，如果 是半群。 是半群。∗ > < s; 是一个非空集合， 设S是一个非空集合， 是S上的一个 是一个非空集合 上的一个 是可 结 合 的 , 则 称 代 数 系 统

《离散数学》几个典型的代数系统-1(群)

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第六章 几个典型的代 数系统
6.1 半群与群
6.1
半 群 与 群 半群与独异点 - 半群定义与性质 - 交换半群与独异点 - 半群与独异点的子代数和积代数 - 半群与独异点的同态 群 - 群的定义与性质 - 子群与群的直积 - 循环群 - 置换群
7
半群与独异点的子代数
6.1
半 群 与 群 定义 半群的子代数称为子半群，独异点的子代数称 为子独异点。 判断方法： 设 V=<S,>为半群， T 是 S 的非空子集， T是V的子半群当且仅当T对o运算封闭. 设V=<S, , e>为独异点，T是V的子独异点当且仅当T 对o运算封闭，且eT 实例： <Z+,+>, <N,+>是<Z,+>的子半群，<N,+>是<Z,+> 的子独异点， <Z+,+>不是<Z,+>的子独异点.
实例 nZ（n是自然数）是整数加群 <Z,+> 的子 群. 当 n≠1 时, nZ 是 Z 的真子群. 对任何群 G 都存在子群. G 和 {e} 都是 G 的 子群，称为 G 的平凡子群.
22
子群判定定理
6.1
半 群 与 群
判定定理 设 G 为群，H 是 G 的非空子集. H 是 G 的子群 当且仅当 x, y∈H 有 xy1∈H. 证明 H 为 G 的子群的步骤： 通过给出 H 中的元素说明 H 是 G 的非空子集 任取 x, y属于 H，证明 xy-1属于H

离散数学及其应用课件：典型代数系统简介

离散数学及其应用课件：典型代数系统简介

典型代数系统简介
9.3.2 布尔代数的概念与性质 定义9.20 如果一个格是有补分配格,则称它为布尔格或
布尔代数。布尔代数通常记为<B,∨,∧,',0,1>,其中“¢”为求 补运算。
典型代数系统简介
典型代数系统简介
定义9.21 设<B,*,·>是一个格代数系统,*和·是B 上的两 个二元运算,如果*和·满足交换律、分配律、同一律和互补 律,则称<B,*,·>为布尔代数。
(2)若 H 是G 的子群,且 H ⊂G,则称 H 是G 的真子群,记作
H <G。 定理9.6 假设G 为群,H 是G 的非空子集,则 H 是G 的子
群当且仅当下面的条件成立:
(1)∀a,b∈H 必有ab∈H; (2)∀a∈H 有a-1∈H。 证明 必要性是显然的。为证明充分性,只需证明e∈H。 因为 H 非空,必存在a∈H。由条件(2)知a-1∈H,再根据条件(1)
典型代数系统简介
典型代数系统简介
定义9.10 令<R,+,·>是环,若环中乘法·适合交换律,则称R 是交换环。若环中乘法·存在单位元,则称R 是含幺环。 注意
(1)在环中通常省略乘法运算·; (2)为了区别含幺环中加法幺元和乘法幺元,通常把加法 幺元记作0,乘法幺元记作1。可以证明加法幺元0恰好是乘法 的零元。 (3)环中关于加法的逆元称为负元,记为-x;关于乘法的逆 元称为逆元,记为x-1。
有aa-1∈H,即e∈H。
典型代数系统简介
定理9.7 假设G 为群,H 是G 的非空子集,H 是G 的子群当
且仅当∀a,b∈H 有ab-1∈H。
证明 根据定理9.6必要性显然可得出,这里只证充分性。
因为 H 非空,必存在a∈H。根据已知条件得aa-1∈H,即e∈H。 任取a∈H,由e,a∈HH得ea-1∈H,即a-1∈H。任取a,b∈H,知b1∈H .再利用给定条件得a (b-1)-1∈,即ab∈H。

《离散数学》课件第6章 (2)

《离散数学》课件第6章 (2)

〈SS, , 〈Σ*, τ〉不是可交换半群。
定义 6.1.3 含有关于*运算的幺元的半群〈S， *〉， 称
它为独异点(monoid)， 或含幺半群， 常记为〈S, *, e〉(e是
幺元)。
第六章 几个典型的代数系统
【例6.1.4】
〈Z, +〉是独异点， 幺元是0， 〈Z, +, 0〉;
〈Z, ×〉是独异点， 幺元是1， 〈Z, ×, 1〉；
(4) A≠ , 〈P(A), ∩〉是半群， 幺元为A， 非空集合无逆
元， 所以不是群。
(5) A≠ , 〈P(A), 是S， 所以是群。
S∈P(A), S的逆元
(6) 〈Q+, ·〉(正有理数与数乘)为一群， 1为其幺元。 〈Q, ·〉不是群， 因为数0无逆元。
因为零元无逆元， 所以含有零元的代数系统就不会是群。
逻辑关系见图6.1.1。
第六章 几个典型的代数系统
图6.1.1
第六章 几个典型的代数系统
定义 6.1.1 设〈S， *〉是代数系统， *是二元运算， 如果*运算满足结合律， 则称它为半群(semigroups)。
换言之， x, y, z∈S, 若*是S上的封闭运算且满足 (x*y)*z=x*(y*z)， 则〈S， *〉是半群。
设半群〈S, *〉中元素a(简记为a∈S)的n次幂记为an， 递 归定义如下：
a1=a an+1=an*a1 n∈Z+ 即半群中的元素有时可用某些元素的幂表示出来。
因为半群满足结合律， 所以可用数学归纳法证明
am*an=am+n， (am)n=amn。
第六章 几个典型的代数系统
普通乘法的幂、 关系的幂、 矩阵乘法的幂等具体的代 数系统都满足这个幂运算规则。

离散数学第六章

离散数学第六章

6.1.6 循环群和置换群
§循环群 在循环群G=<a>中, 生成元a的阶与群G的阶是一样 的. 如果a是有限阶元, |a|＝n, 则称G为n阶循环群. 如 果a是无限阶元, 则称G为无限阶循环群. 例如: <Z,+>是无限阶循环群; <Z6,>是n阶循环群. 注意:(1) 对9 无限阶循环群G=<a>, G的生成元是a和a-1; (2) 对n阶循环群G=<a>=<e,a,…,an-1>,G的生成元是at 当且仅当t与n互素, 如12阶循环群中, 与12互素的数 有1、5、7、11. 那么G的生成元有a1=a、a5、a7、 a11. (3) N阶循环群G=<a>, 对于n的每个正因子d, G恰好有 一个d阶子群H=<an/d>.
6.1.3 子群
例如, 群<Z6,>中由2生成的子群包含2的各次 幂, 20=e=0, 21=2, 22=22=4, 23=222=0, 所 以由2生成的子群：<2>={0,2,4}.
对于Klein四元群G={e,a,b,c}来说, 由它的每个 元素生成的子群是 <e>={e}, <a>={e,a}, <b>={e,b}, <c>={e,c}
6.1.6 循环群和置换群
§循环群
定义6.7 在群G中, 如果存在aG使得 G={ak|kZ} 则称G为循环群, 记作G=<a>,称a为G的生成元. ☆ 循环群必定是阿贝尔群, 但阿贝尔群不一定 是循环群. 证明: 设<G,*>是一个循环群, 它的生成元是a, 那么,对于任意x,yG, 必有r,sZ, 使得 x=as,y=at, 而且x*y=as*at=as+t=at*as=y*x 由此可见<G,*>是一个阿贝尔群. 例如,<Z,+>是一个循环群, 其生成元是1或-1.

离散数学第六章

离散数学第六章

第六章几个典型的代数系统6.1 半群与群引言：简略介绍群论产生的背景1. 图形的对称性如正三角形、正方形（一般地正n 边形）、长方形、 等腰三角形、等腰梯形等；三维空间中的正四面体、 正方体、长方体等都各有自己的对称性。

画图解释：2．用根式求解代数方程的根（1）一元二次方程：20x bx c ++=⇒122b x -±=，。

注：①约公元前2000年即出现二次方程求根问题； ②约公元9世纪时，阿拉伯人花拉子米首次得到上述求根公式。

（2）三次及四次方程的求根公式一般三次方程: 320x ax bx c +++=。

先作变换：用3a x -代替x 后可化成 3x mx n +=（不含二次项）， （*）其中 332,3327a ab a m b n c =-=--。

利用恒等式：333()3()u v uv u v u v -+-=-，把它与（*）比较得：33,3,x u v uv m u v n =-=-=。

由后面两个关于33,u v 的方程可得u x u v v ⎫⎪=⎪⇒=-= （即*方程的解） 以上求解三次方程的公式叫做卡丹公式， 出现在公元1545年出版的著作《大书》中。

关于四次方程的求根公式这里从略，可以肯定的是， 四次一般方程也有求根公式，并且也叫卡丹公式。

（3从1545年之后的近300年间，人们都没能找到五次(当然，这并不排除对 某些特殊的五次及五次以上的方程可以求出它们的根）。

直到1830年由法国人Galois （伽珞瓦）解决，证明出：五次及五次以上的一般方程不存在用加、减、乘、除及开方表示的求根公式，所用方法就是现在已广为接受的群的思想。

可是在当时，很多同时代的大数学家都无法理解和接受他的思想方法。

3．群在其它方面的应用：如编码理论、计算机等。

一．群的定义及简单性质1定义：设,G ⋅是一个具有二元运算⋅的代数系统，如果⋅同时满足（1）结合律：即,,a b c G ∀∈，()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅总成立；（2）存在单位元（也称为幺元，记为e ），即 ,;a e e a a a G ⋅=⋅=∀∈（3）中每个元素a 都有逆元（记为1a -）：即存在1a G -∈，使得11a a a a e --⋅=⋅=，则称G 关于运算⋅构成一个群。

几个典型的代数系统

几个典型的代数系统

本章讨论几类重要的代数结构：半群、群、环、域、格与布尔代数等．我们先讨论最简单的半群．半群定义称代数结构<S，>为半群（semigroups），如果运算满足结合律．当半群<S，>含有关于运算的么元，则称它为独异点（monoid），或含么半群．例 <I+，＋>，<N，·>，< ，并置>都是半群，后两个又是独异点．半群及独异点的下列性质是明显的．定理设<S，>为一半群,那么（1）<S，>的任一子代数都是半群，称为<S，>的子半群．（2）若独异点<S,,e>的子代数含有么元e,那么它必为一独异点,称为<S， , e>的子独异点．证明简单，不赘述．定理设<S，>,<S’，’>是半群,h为S到S’的同态,这时称h为半群同态．对半群同态有（1）同态象<h(S)，’>为一半群．（2）当<S，>为独异点时，则<h(S)，’>为一独异点.定理设<S，>为一半群,那么（1）<S S，○ >为一半群，这里S S为S上所有一元函数的集合，○为函数的合成运算．（2）存在S到S S的半群同态．证（l）是显然的．为证（2）定义函数h:S→S S：对任意a Sh（a）= f af a：S→S 定义如下: 对任意x S，f a（x）= a x现证h为一同态．对任何元素a,b S．h(a b)＝f a b （l1－1）而对任何x S，f a b（x）= a b x = f a（f b（x））= f a○f b （x）故f a b = f a○f b ,由此及式（l1－1）即得h（a b）= f a b = f a○f b ＝h（a）○ h（b）本定理称半群表示定理。

它表明，任一半群都可以表示为（同态于）一个由其载体上的函数的集合及函数合成运算所构成的半群。

离散数学代数结构部分

离散数学代数结构部分

离散数学代数结构部分离散数学是数学的一个分支，主要研究离散的、分离的、离散化的对象和结构。

其中代数结构是离散数学的一个重要部分，涉及到一些常见的代数结构，如群、环和域等。

下面将从群、环和域三个方面展开，对离散数学中的代数结构进行详细介绍。

一、群群是离散数学中的一个基本代数结构，它由三个主要部分组成：集合、运算和满足一定性质的公理。

具体地，一个群G是一个非空集合，也即G={a,b,c,...}，其中的元素a、b、c等叫做群的元素。

除此之外，群还具有一个二元运算，记作"·"，满足以下四个公理：1.封闭性公理：对于群的任意两个元素a、b，它们的乘积c=a·b仍然属于G，即c∈G。

2.结合律公理：对于群的任意三个元素a、b、c，(a·b)·c=a·(b·c)。

3.单位元公理：群中存在一个特殊的元素e，称为单位元，满足对于任意元素a，有a·e=e·a=a。

4.逆元公理：对于群中任意元素a，存在一个元素b，使得a·b=b·a=e，其中e是群的单位元。

群结构的研究对于解决各类数学问题具有重要意义。

例如，在密码学中，通信双方使用群的运算来实现加密和解密的功能。

二、环环是另一个重要的代数结构，在离散数学中有广泛的应用。

一个环R由一个非空集合以及两个满足一定条件的二元运算分别组成。

对于一个环R={G,+,·}，其中G是一个非空集合，"+"和"·"分别是R上的两个二元运算，满足以下四个公理：1.集合G关于"+"构成一个阿贝尔群，即对于任意的a、b、c∈G，满足以下性质：(a+b)+c=a+(b+c)，存在单位元0，对于任意元素a，有a+0=0+a=a，对于任意元素a，存在一个元素-b，使得a+(-b)=-b+a=0，且满足交换律性质：a+b=b+a。

离散数学 第四章 4

离散数学 第四章 4

(3)
S={1,2,3,…,n}到自身的双射称为 元置换, 到自身的双射称为n元置换 到自身的双射称为 元置换 记为σ 记为σ，可表示为
2 n 1 σ = σ (1) σ (2) σ ( n )
上的双射即置换的个数共n!个 上置换 注：S上的双射即置换的个数共 个,S上置换 上的双射即置换的个数共 的全体记作S 的全体记作 n
2 设f是含有格中元素以及符号 是含有格中元素以及符号=,≤,≥，∨和∧ 是含有格中元素以及符号 ， 的公式， 是将f中的符号分别替换成 的公式，令f*是将 中的符号分别替换成 ， 是将 中的符号分别替换成=， ≥ ,≤, ∧与∨所得到的公式，则称 为f的对偶 所得到的公式，则称f*为 的对偶 命题。 命题。 3 对偶原理：f* f 对偶原理：
第六章
几个典型的代数系统
半群与群
格与布尔代数
6.1 半群与群
是一个代数系统, 设V=(G, )是一个代数系统 是一个代数系统 上的二元运算, 是G上的二元运算 上的二元运算 1 若 在G上成立结合律 则称 为半群。 上成立结合律 则称V为半群。 上成立结合律,则称 如：〈Z+, +〉, 〈N, +〉, 〈Z,+〉 〉 〉 〉 2 若 在G上成立结合律 且有单位元，则称 为 上成立结合律 上成立结合律, 有单位元，则称V为 独异点（含幺半群） 独异点（含幺半群）。 如： N, +〉, 〈Z,+〉 〈 〉 〉
轮换其乘法
例 设f=(15342), g=(125)(34) 求fg, g f, f-1, g-1
(4) 设M是非空集合 有n个元素 上所有置换 是非空集合,有 个元素 个元素,M上所有置换 是非空集合
的集合关于置换的乘法(函数的复合运算 构成 的集合关于置换的乘法 函数的复合运算)构成 函数的复合运算 一个群,称为 元对称群， 称为n元对称群 一个群 称为 元对称群， 它的任何子群称为n元置换群 元置换群。 它的任何子群称为 元置换群。 例题: 元对称群。 例题 S3是3元对称群。 元对称群

离散数学几个典型的代数系统

离散数学几个典型的代数系统

{ a, b, c, e, f }是 L2的子格, 并且同构于五角格；
{ a, c, b, e, f }是 L3的子格, 也同构于钻石格.
25
全上界与全下界
定义 设L是格, 若存在 a∈L 使得 x∈L 有 a ≼ x, 则称 a 为 L 的全 下界； 若存在 b∈L 使得 x∈L 有 x ≼ b, 则称 b 为 L 的全 上界. 说明：
对偶原理 交换律、结合律、幂等律、吸收律
格的等价定义 子格 格的同构 特殊的格：分配格、有界格、有补格、布尔格
10
格的定义
定义 设<S, ≼>是偏序集，如果x,y≼S，{x,y}都有 最小上界和最大下界，则称S关于偏序≼作成一个
格. 由于最小上界和最大下界的惟一性，可以把求{x,y} 的最小上界和最大下界看成 x 与 y 的二元运算∨和 ∧，即 x∨y 和 x∧y 分别表示 x 与 y 的最小上界和 最大下界. 注意：这里出现的∨和∧符号只代表格中的运算， 而不再有其他的含义.
由 a ≼ a, a∧b ≼ a 可得 a∨(a∧b) ≼ a (VI)
由式 (V) 和 (VI) 可得 a∨(a∧b) = a 根据对偶原理, a∧(a∨b) = a 得证.
18
格作为代数系统的定义
定理 设<S,∗, >是具有两个二元运算的代数系统, 若对于∗和运算适合交换律、结合律、吸收律, 则 可以适当定义S中的偏序≼,使得<S, ≼>构成格, 且 a,b∈S有 a∧b = a∗b, a∨b = ab.
4
零因子的定义与存在条件
设<R,+,>是环，若存在 ab =0, 且 a0, b0, 称 a 为左零因子，b为右零因子，环 R 不是无零因子 环. 实例 <Z6,,>，其中 23=0，2 和 3 都是零因 子.

离散数学代数系统总结

离散数学代数系统总结

离散数学代数系统总结离散数学是数学的一个分支，主要研究离散对象和离散结构。

而代数系统是离散数学的一个重要分支，它研究的是一类具有特定性质的运算集合。

在这篇文章中，我们将从代数系统的基本概念、性质和应用几个方面对离散数学中的代数系统进行总结。

一、代数系统的基本概念代数系统是指一个非空集合A，以及在这个集合上定义的一个或多个运算。

根据运算的性质，代数系统可以分为不同的类型，包括群、环、域等。

其中，群是最基本的代数系统，它具有封闭性、结合律、单位元、逆元等性质。

环则在群的基础上增加了乘法运算，并满足了分配律。

域是环的一种扩充，它除了满足环的性质外，还具有乘法逆元。

二、代数系统的性质1. 封闭性：代数系统中的运算结果仍属于该系统，即对于任意a、b∈A，a运算b的结果仍然属于A。

2. 结合律：对于代数系统中的任意元素a、b、c，(a运算b)运算c 与a运算(b运算c)的结果相同。

3. 单位元：代数系统中存在一个元素e，对于任意元素a，a运算e与e运算a的结果均为a。

4. 逆元：代数系统中的每个元素a都存在一个逆元，使得a运算它的逆元等于单位元。

5. 交换律：对于代数系统中的任意元素a、b，a运算b与b运算a 的结果相同。

这些性质是代数系统的基本特征，不同类型的代数系统在这些性质上有所区别，比如群具有结合律和单位元，但不一定满足交换律。

三、代数系统的应用代数系统在数学及其他学科中有着广泛的应用。

以下是几个代数系统应用的例子：1. 编码理论：代数系统的运算可以用于编码和解码信息，例如循环冗余校验码（CRC）就是通过代数系统中的运算实现数据校验。

2. 密码学：代数系统中的数学运算被广泛应用于密码学中，用于加密和解密信息，保护数据的安全。

3. 图论：代数系统的概念和性质在图论中有着重要的应用，例如邻接矩阵和关联矩阵可以用于描述和分析图的结构和特性。

4. 计算机科学：代数系统在计算机科学中有着广泛的应用，例如布尔代数在逻辑电路设计和逻辑编程中的应用。

6几个典型的代数系统

6几个典型的代数系统

不是所有的群都是交换群
7
Algebra
代数
有限群和无限群
设 G, 是一个群。如果 G 是一个有限集，那么称
G, 为有限群， G 中元素的个数通常称为该有限
群的阶数，记为 G ；如果 G 是无限集，则称 G, 为无限群。
就是一个有限群，且 F 4 上例中所述的 F，
8
Algebra
代数
至此， 我们可以概括地说： 代数系统仅仅是一个具 有封闭二元运算的非空集合； 半群是一个具有结合 运算的代数系统； 独异点是具有幺元的半群； 群是 每个元素都有逆元的独异点。即有：
{群} {独异点} {半群} {代数系统}
9
Algebra
代数
定理 2 群中不可能有零元。
证明 当群的阶为 1 时，它的唯一元素视作幺元， 否则不是群 设|G|>1 且群<G,*>有零元θ 。 那么群中任何元素 x∈G，都有 x*θ =θ *x=θ ≠e 所以，零元θ 就不存在逆元，这与<G,*>是群矛盾 故假设不成立，即无零元
20
6.2环与域
是一个代数系统，如果满足： 设 A, ★，
⑴ A, ★ 是阿贝尔群；
⑵ A, 是半群；
Algebra
代数
⑶运算 对于运算★是可分配的，则称 A, ★， 是环。
通常称★为加法运算 *为乘法运算 即对加法是可交换的群,对乘法是半
群,乘法对加法是可分配的.
21
Algebra
注意，存在着非结合的代数系统，不为半群
例如
I,
R, /
都不为半群
2
Algebra
代数
独异点 含有幺元的半群称为独异点。(也称单元半群) 可换半群 运算满足交换律的半群称为可换半群

几个典型的代数系统

几个典型的代数系统
可交换半群：如果半群V = < S, >中的二元运算 是 可交换的，则称V为可交换半群。
2020/4/24
离散数学
一、半群的概念（续）
含幺半群（独异点）：如果半群V = < S, >的二元 运算 含有幺元，则称V为含幺半群(独异点)。 即 eS，使得对 xS都有e x = x e = x。 独异点亦可记为< S, , e>。
如：<Z, +>, <R–{0}, >, <P(S), >, <Zn, >都是 阿贝尔群。
2020/4/24
离散数学
二、群的概念（续）
群中的幂：设群<G, > ，则对 xG， x0 = e ，xn+1 = xn x，(n为非负整数) x -n= (x -1)n= (xn)-1，(n为正整数)
幂运算的性质： (1) xG，(x -1)-1 = x， (2) x, yG，(x y)-1 = y -1 x –1， (3) xG，xm xn = xm + n ，m, n为整数 (4) xG，(xm)n = xmn ， m, n为整数
如：群<Z6, >, <0> = {0}, <1> = {0, 1, 2, 3, 4, 5} = Z6 , <2> = {0, 2, 4}, <3> = {0, 3}, <4> = <2>, <5> = <1> 。
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离散数学
四、两种常用的群
1、循环群： 元素的阶(周期)：设群<G, >，aG，使ak = e 成立
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离散数学-第三部分-代数结构-第十章 群与环

离散数学-第三部分-代数结构-第十章 群与环
实例： <Z,+>和<R,+>是无限群，<Zn,>是有限群，也是 n 阶群. Klein四元群是4阶群. <{0},+>是平凡群. 上述群都是交换群，n阶(n≥2)实可逆矩阵集合关于矩阵乘法 构成的群是非交换群.
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7
群中元素的幂
定义10.3 设G是群，a∈G，n∈Z，则a 的 n次幂.
e an an1.a
例如，在<Z6,>中， 2和4是3阶元， 3是2阶元， 1和5是6阶元， 0是1阶元.
在<Z,+>中，0是1阶元，其它整数的阶都不存在.
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群的性质：幂运算规则
定理10.1 设G 为群，则G中的幂运算满足： (1) a∈G，(a1)1=a (2) a,b∈G，(ab)1=b1a1 (3) a∈G，anam = an+m，n, m∈Z (4) a∈G，(an)m = anm，n, m∈Z (5) 若G为交换群，则 (ab)n = anbn.
对于阿贝尔群G，因பைடு நூலகம்G中所有的元素互相都可交换，G的中 心就等于G. 但是对某些非交换群G，它的中心是{e}.
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10.3 循环群与置换群
定义10.10 设G是群，若存在a∈G使得 G={ak| k∈Z}
则称G是循环群，记作G=<a>，称 a 为G 的生成元.
循环群的分类：n 阶循环群和无限循环群. 设G=<a>是循环群，若a是n 阶元，则
aiG = {aiaj | j=1,2,…,n} 证明 aiG = G.
证 由群中运算的封闭性有 aiGG. 假设aiGG，即 |aiG| < n.
必有aj,ak∈G使得
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独异点 V 记作 V = <S, , e>
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独异点的幂
6.1 独异点的幂运算定义
半
x0 = e
群
xn+1 = xn x,
与
群
幂运算规则
n∈N
xn xm = xn+m (xn)m= xnm
m, n∈N
5
交换半群和独异点的实例
6.1
例1 （1）<N,+,0>,<Z,+,0>,<Q,+,0>,<R,+,0>都是交 换半群，也是独异点，+ 是普通加法.
半 群
（2）设 n 是大于 1 的正整数，<Mn(R),+>和<Mn(R),·>都是 独异点，其中+和 ·分别表示矩阵加法和矩阵乘法. 加
与 群
法构成交换半群，乘法不是交换半群. （3）<P(B),,>为交换半群和独异点，其中为集合的对
称差运算.
（4）<Zn, ,0>为交换半群与独异点，其中 Zn = {0, 1, …, n1}， 为模 n 加法.
(4) <Zn,>是群. Zn={ 0,1, …, n1}，为模 n 加.
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Klein四元群
设G = { e, a, b, c }，G上的运算由下表给出，
6.1 称为 Klein四元群
半 群 与 群
e a b c 运算表特征： • e为G中的幺元
e e a b c • 对称性---运算可交换
若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交 换群 或 阿贝尔(Abel)群.
与
a 0

群
S


0
d

|
a,
d

R
令同态：,不S是S独,异 点a0
0
d

V2
的自 a0同00态,，因是为半它群没V有1 的将自V2
的单位元映到 V2 的单位元.
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群的定义与实例
定义 设<G, >是代数系统，为二元运算. 如果
n∈Z+
与
群
幂运算规则：
xn xm = xn+m
(xn)m= xnm
m, n∈Z+
证明方法：数学归纳法
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特殊的半群
6.1 定义 设V = <S, >是半群
半
(1) 若 运算是可交换的，则称V 为交换半群 .
群
(2) 若 e∈S 是关于 运算的幺元，则称 V 是含幺半群
与 群
，也叫做 独异点.
6.1 运算是可结合的，存在幺元 e∈G，并且对 G 中
半 的任何元素 x 都有 x1∈G，则称 G 为 群.
;>,<Q,+>,<R,+>是群；<Z+,+>,<N,+>不是群.
(2) <Mn(R),+>是群，而<Mn(R),·>不是群. (3) <P(B),>是群，为对称差运算.
6.1 半群与群
6.1
半群与独异点 - 半群定义与性质
半
- 交换半群与独异点
群 与
- 半群与独异点的子代数和积代数
群
- 半群与独异点的同态
群
- 群的定义与性质
- 子群与群的直积
- 循环群
- 置换群
1
半群的定义与实例
定义 设 V=<S, o> 是代数系统，o为二元运算，如果 运
6.1
算是可结合的，则称 V 为半群.
群 与
<a,b>·<c,d> = < ac, b∗d >
群
称 <S,·>为 V1 和 V2 的 积半群（直积），记作
V1×V2.
若 V1 = <S1,, e1> 和 V2 = <S2,∗, e2> 是独
异点，则 V1×V2 = <S1×S2, ·,<e1,e2>> 也是独异
点, 称为独异点的 积独异点 (直积).
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半群和独异点的同态
6.1 定义 (1) 设V1= <S1, >，V2= <S2,∗>是半群，：
半 S1→S2. 若对任意的 x, y∈S1有
群
(xy) = (x) ∗ (y)
与
群 则称 为半群 V1 到 V2 的同态映射，简称 同态.
(2) 设V1 = <S1, ,e1>，V2 = <S2,∗,e2> 是独异点，
半 群
实例 （1）<Z+,+>,<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是半群，+ 是普通加法.
与 （2）设 n 是大于1的正整数，<Mn(R),+>和<Mn(R),·>都是
群
半群，其中+和 ·分别表示矩阵加法和矩阵乘法.
（3）<P(B),>为半群，其中为集合的对称差运算.
（4）<Zn, >为半群，其中 Zn={0,1, …, n1}，为模 n 加 法.
a a e c b • 主对角线元素都是幺元
b bcea
---每个元素是自己的逆元
c c b a e • a, b, c 中任两个元素运算
都等于第三个元素.
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群中的术语
6.1 若群 G 是有穷集，则称 G 是有限群，否则称
半
为无限群.
群 与
群 G 的基数（元素个数）称为群G的 阶
群
有限群 G 的阶记作|G|.
（5）<AA, >为半群，其中 为函数的复合运算.
（6）<R*,>为半群，其中R*为非零实数集合，运算定义
如下：x, y∈R*, x y =y
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元素的幂运算性质
由于半群中的运算是结合的，可以定义运算的 6.1 幂。设V=<S, >为半群，对任意 x∈S，规定：
半
x1 = x
群
xn+1 = xnx,
: S1→S2. 若对任意的 x, y∈S1有 (xy) = (x) ∗ (y) 且 (e1) = e2,
则称 为独异点 V1 到 V2 的同态映射，简称 同态.
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同态的实例
6.1
半 群
例2 设半群 V1 = <S,·>，独异点 V2= <S,·,e>. 其中 · 为矩阵乘法，e 为 2 阶单位矩阵,
（5）<AA, ,IA>为独异点，不是交换半群，其中 为函数 的复合运算.
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半群与独异点的子代数
6.1 定义 半群的子代数称为子半群，独异点的子代数称
半 为子独异点。
群 判断方法：
与
设 V=<S,>为半群， T 是 S 的非空子集，
群
T是V的子半群当且仅当T对o运算封闭.
设V=<S, , e>为独异点，T是V的子独异点当且仅当T 对o运算封闭，且eT
实例：
<Z+,+>, <N,+>是<Z,+>的子半群，<N,+>是 <Z,+>
的子独异点， <Z+,+>不是<Z,+>的子独异点.
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半群与独异点的积代数
6.1
定义 设 V1=<S1, >，V2=<S2,∗> 是半群 (或独异 点)，令S = S1×S2，定义 S 上的 ·运算如下：
半
<a,b>,<c,d>∈S，