本章讨论几类重要的代数结构：半群、群、环、域、格与布尔代数等．我们先讨论最简单的半群．半群定义称代数结构<S，>为半群（semigroups），如果运算满足结合律．当半群<S，>含有关于运算的么元，则称它为独异点（monoid），或含么半群．例 <I+，＋>，<N，·>，< ，并置>都是半群，后两个又是独异点．半群及独异点的下列性质是明显的．定理设<S，>为一半群,那么（1）<S，>的任一子代数都是半群，称为<S，>的子半群．（2）若独异点<S,,e>的子代数含有么元e,那么它必为一独异点,称为<S， , e>的子独异点．证明简单，不赘述．定理设<S，>,<S’，’>是半群,h为S到S’的同态,这时称h为半群同态．对半群同态有（1）同态象<h(S)，’>为一半群．（2）当<S，>为独异点时，则<h(S)，’>为一独异点.定理设<S，>为一半群,那么（1）<S S，○ >为一半群，这里S S为S上所有一元函数的集合，○为函数的合成运算．（2）存在S到S S的半群同态．证（l）是显然的．为证（2）定义函数h:S→S S：对任意a Sh（a）= f af a：S→S 定义如下: 对任意x S，f a（x）= a x现证h为一同态．对任何元素a,b S．h(a b)＝f a b （l1－1）而对任何x S，f a b（x）= a b x = f a（f b（x））= f a○f b （x）故f a b = f a○f b ,由此及式（l1－1）即得h（a b）= f a b = f a○f b ＝h（a）○ h（b）本定理称半群表示定理。
它表明，任一半群都可以表示为（同态于）一个由其载体上的函数的集合及函数合成运算所构成的半群。
这里<S，>同构于<h(S)，○ > ---- <S S，○ >的一个子代数．群群是最重要的代数结构类，也是应用最为广泛的代数结构类.我们以后要深入研究的代数结构环和域也都是以群为基础的.群及其基本性质定义称代数结构<G，>为群（groups）,如果（1）<G，>为一半群．（2）<G，>中有么元e.（3）<G，>中每一元素都有逆元．或者说，群是每个元素都可逆的独异点．群的载体常用字母G表示，因而字母G也常用于表示群．定义设 <G，>为一群．（1）若运算满足交换律，则称G为交换群或阿贝尔群（Abel group）．阿贝尔群又称加群，常表示为<G，+ >（这里的 + 不是数加，而泛指可交换二元运算．回忆: 常被称为乘）．加群的么元常用0来表示，常用-x来表示x的逆元.（2） G为有限集时，称G为有限群（finite group）,此时G的元素个数也称G的阶（order）；否则，称G为无限群（infinite group）．例（1）<I, + >（整数集与数加运算）为一阿贝尔群（加群）,数0为其么元.< N,+ >不是群．因为所有非零自然数都没有逆元.（2）<Q+ ,·>（正有理数与数乘）为一阿贝尔群，1为其么元. <Q,·>不是群，因为数0无逆元．（3）<N k,＋k>为一k阶阿贝尔群, 数0为其么元 .（4）设P为集合A上全体双射函数的集合，○为函数合成运算.那麽 < P, ○ >为一群．A上恒等函数E A为其么元。
< P, ○ >一般不是阿贝尔群.群的下列基本性质是明显的.定理设<G，>为群，那麽（1）G有唯一的么元，G的每个元素恰有一个逆元．（2）关于x的方程a x＝b，x a＝b都有唯一解．（3）G的所有元素都是可约的．因此，群中消去律成立：对任意a,x,y S a*x = a*y 蕴涵 x = y ; x*a = y*a 蕴涵 x = y（4）当G {e}时, G无零元．（5）么元e是G的唯一的等幂元素.证（1）,（2）,（3）是十分明显的．（4）若G有零元,那么它没有逆元，与G为群矛盾。
（注意，G = {e}时,e既是么元，又是零元.）（5）设G中有等幂元x，那么 x*x = x 又 x = x*e 所以 x*x = x*e由（3）得x = e 。
由（3）我们得知，特别地，当G为有限群时，* 运算的运算表的每一行（列）都是G 中元素的一个全排列．从而有限群<G，*>的运算表中没有一行（列）上有两个元素是相同的．因此，当G分别为1，2，3阶群时, * 运算都只有一个定义方式(即,不计元素记号的不同,只有一张定义 * 运算的运算表,如表所示),于是可以说,1,2,3阶的群都只有一个.定理对群<G，>的任意元素 a,b，（1）(a-1)-1＝a．（2）(a*b) -1＝b-1*a-1（3）(a r) -1 = (a–1)r（记为a–r）（r为整数）．证（2）(a b) (b-1a-1) = a(b b-1)a-1 = e(b-1a-1)(a b) = b-1(a-1a) b = e因此a b的逆元为b-1a-1，即(a b) -1＝b-1a-1．（3）对r归纳.r = 1时命题显然真.设(a r) -1 = (a–1)r,即(a–1)r是a r的逆元.那么a r+1(a–1)r+1 = a r(a a-1)(a–1)r＝a r(a–1)r = e(a–1)r+1 a r+1 = (a–1)r(a-1a) a r＝(a–1)r a r = e 故a r+1的逆元为(a–1)r+1，即(a r+1) -1 = (a–1)r+1．归纳完成, （2）得证.对群<G，*>的任意元素 a,我们可以定义它的幂：a0=e，对任何正整数m，am+1=am*a，又据定理，在群中可引入"负指数幂"'的概念：a-m= (a-1)m，且容易证明: 定理对群<G，>的任意元素 a,b，及任何整数m，n,（l）a m a n = a m+n（2）(a m) n = a mn如果我们用aG和Ga分别表示下列集合aG = {a g g G}， Ga = {g a g G}那么我们有以下定理．定理设<G，>为一群,a为 G中任意元素，那么aG = G = Ga特别地，当G为有限群时，运算的运算表的每一行（列）都是G中元素的一个全排列．证 aG G是显然的．设 g G，那么a–1g G，从而a(a–1g) aG，即 g aG．因此 G Ga．aG = G得证．Ga = G同理可证．这一事实的一个明显推论是：当G为有限群时，运算的运算表的每一行（列）都是G中元素的一个全排列.从而有限群<G，>的运算表中没有一行（列）上有两个元素是相同的．因此，当G为1，2，3阶群时, 运算都只有一个定义方式(即,不计元素记号的不同,只有一张定义运算的运算表,如表所示),于是可以说,1,2,3阶的群都只有一个.表e e a e a bE e e e a e e a ba a e a ab eb b e a定义设<G，>为群，a G，称 a 的阶(order)为n，如果a n = e,且n为满足此式的最小正整数.上述n不存在时,称a有无限阶.例(1)任何群G的幺元e的阶为1,且只有幺元e的阶为1。
(2)<I,+>中幺元0的阶为1，而整数a 1 0时,a有无限阶.(3)<N6 ,+ 6>中1的阶是6,2的阶是3,3的阶是2,4的阶是3,5的阶是6.关于元素的阶有以下性质.定理有限群G的每个元素都有有限阶,且其阶数不超过群G的阶数 G .证设a为G的任一元素,考虑 e = a0 ,a1 ,a2 , … ,a│G│这 G +1个G中元素.由于G中只有 G 个元素,因此它们中至少有两个是同一元素,不妨设a r = a s(0 ≤ r < s ≤ G )于是a s-r = e,因此a有有限阶,且其阶数至多是s-r,不超过群G的阶数 G .定理设<G，>为群,G中元素a的阶为k,那么,a n = e当且仅当k整除n .证先证充分性．设 a k ＝ e，k整除n，那么n = kr（r为整数），因为a k ＝ e，所以a n = a kr = (a k )r = e r = e 。
再证必要性．设 a n ＝ e，n = mk＋ r，其中m为n除以 k的商，r为余数，因此0≤ r＜k 。
于是e＝a n＝a mk+r＝a mk a r＝a r因此,由k的最小性得r = 0，k整除n ．定理设<G，>为群，a为G中任一元素，那么a与a-1具有相同的阶．证只要证 a具有阶n当且仅当a-1具有阶n 。
由于逆元是相互的，即(a-1)-1＝a，同此只需证：当a具有阶n时，a-1也具有阶n 。
设a的阶是n，a-1的阶是m 。
由于(a-1)n＝(a n)-1＝e -1＝ e故m≤n 。
又因为a m＝((a-1)m)-1＝ e -1＝ e故n≤m 。
因此，n＝m 。
子群、陪集和拉格朗日定理定义设<G，>为群．称<H，>为G的子群(subgroups)，如果<H，>为G的子代数，且<H，>为一群．子群有下列特征性(判别法)．定理设<G，>为群，那么<H，>为<G，>子群的充分必要条件是（l）G的么元e H ．（2）若a，b H ，则a b H ．（3）若a H，则a-1H．证先证必要性．设H为子群．那么（2）是显然的（因H为子代数）．为证（l）,设<H，>的么元为e’,那么e’ e’= e’。
由于在G中只有e是等幂元,故e’ = e , e H得证 .为证（3）设<H，>中任一元素a的H中逆元为b,那么a b = b a = e,由逆元的唯一性,b就是a在G 中的逆元,即b = a-1H.充分性是明显的.事实上只要条件（2），（3）便可使<H，>为<G，>子群,因为H不空时条件（2）（3）蕴涵条件（l）.因此，可用（2）,（3）来判别非空子集H是否构成G的子群<H，>。
显然,对任何群G , <{e}，>及<G，>均为其子群,它们被称为平凡子群,其它子群则称为非平凡子群或真子群．例（l）群<N6 ,+ 6>有非平凡子群<{0,3},+ 6> 和 <{0,2,4},+ 6>（2）设E I,E为偶数集。
