山西省运城市新绛县中学2020届高三第一次月考数学试卷含答案

2021一2021学年度上学期2021-2021学年度上学期高三年级第一次质量检测第一次月考-数学（理）试卷—附答案20XX—2021学年度上学期高三年级第一次质量检测数学（理）试题本试卷满分150分考试时间 120分钟一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1.设集合，，若，则（）A．B．C．D．2.在区间上为增函数的是（）A. B. C. D. 3.若则的取值范围是（）A. B. C. D.或 4.下列选项中，说法正确的是（）A.命题“”的否定是“”B.命题“为真”是命题“为真”的充分不必要条C.命题“若则”是真命题D.命题“在中，若,则”的逆否命题为真命题 5.函数在区间（0，3）上的最大值为（）A. B.1 C. 2 D. 6.函数为定义在R上的偶函数，且满足，当时，则（）A．B. C．D．7. 函数的大致图象为（）A B CD 8. 已知函数，若，则的大小关系是（）A．B．C．D．9. 函数恰好有三个不同零点，则（）A. B. C. 2 D. 4 10. 已知函数f(x)的定义域为，部分对应值如下表。

f(x)的导函数的图象如图所示。

下列关于函数f(x)的命题：①函数f(x)在[0，1]是减函数；②如果当时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；③函数有4个零点，则；其中真命题的个数是（）A．3个B．2个C．1个 D．0个 11.设是两个非空集合,定义运算且.已知,则（）12. 已知函数的定义域是，且满足,,如果对于,都有,不等式的解集为（）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在横线上)13.曲线在点A（1，2）处的切线方程是. 14.函数__________. 15.已知函数若 ,则________. 16.已知函数的图象关于原点对称,是偶函数,则=_________. 三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

山西省运城市新绛县中学2020届高三数学第一次月考试题一、选择题（每题5分，共12×5=60分）1．已知集合A={}420，，，B={}202-，，，则=⋃B A （ ） A ．{}20，B ．{}42-，C ．{}20，D ．{}422-0，，，2．设i 为虚数单位，则复数()=+i i 3（ ） A ．1+3iB ．i 31-+C ．i 31-D ．i 31--3．函数()2log 2+=x y 的定义域为（ ） A ．()+∞-,2B ．()+∞,2C ．[)∞+，2-D ．[)∞+，2 4．已知向量()2,2-=a ，()1,2-=b ，则=+b a（ ）A ．1B ．5C ．5D ．255．双曲线191622=-y x 的焦点坐标是（ ） A ．()()0,5,0,5-B ．()()5,0,5,0-C ．()()0,7,0,7-D ．()()7,0,7,0-6．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，已知 45=B ， 30=C ，C=1，则b=（ ）A ．22 B ．23C ．2D ．37．已知直线m l ,和平面α，α⊂m ，则“m l ⊥”是“α⊥l ”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要8．要得到函数()⎪⎭⎫⎝⎛-=42in πx s x f 的图象，只需将函数()x x g 2sin =的图象 A ．向右平移8π个单位 B ．向左平移8π个单位 C ．向右平移4π个单位 D ．向左平移4π个单位9．不等式()22121log 2log x x >+的解集为（ ）A ．{}21>-<x x x 或 B ．{}21<<-x xC ．{}12<<-x xD ．{}212>-<<-x x x 或10．设y x ,满足约条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥+-013y O y x O y x ，则y x z 2-=的最大值为（ ）A ．-5B ．-3C ．1D ．4 11．已知圆C 与y 轴相切于点（0，5），半径为5，则圆C 的标准方程是（ ） A ．()()255522=-+-y xB ．()()255522=-++y xC ．()()55522=-+-y x 或()()55522=-++y xD ．()()255522=-+-y x 或()()255522=-++y x12．若数列{}n a 的通项62-=n a n ，设n n a b =，则数列{}n b 的前7项的和为（ ） A ．14 B ．24 C ．26 D ．28 二、填空题（每题5分，共4×5=20分）13．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()3,4-P ，则=αcos 。

2020年山西运城高三一模数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合，，则等于（ ）．A. B. C. D.2.复数，若复数，在复平面内对应的点关于虚轴对称，则等于（ ）．A. B. C. D.3.已知，则（ ）．A. B. C. D.4.函数的图象大致是（ ）．A.B.C.D.5.已知平面向量，满足，，且，则与的夹角为（）．A.B.C.D.6.公元前世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了米，此时乌龟便领先他米，当阿基里斯跑完下一个米时，乌龟先他米，当阿基里斯跑完下一个米时，乌龟先他米，所以，阿基里斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时，乌龟爬行的总距离为（ ）．A.米B.米C.米D.米7.某人年的家庭总收入为元，各种用途占比如图中的折线图，年家庭总收入的各种用途占比统计如图中的条形图，已知年的就医费用比年的就医费用增加了元，则该人年的储蓄费用为（ ）．0%5%10%15%20%25%30%35%40%储蓄衣食住旅行就医40%35%30%25%20%15%10%5%0%储蓄衣食住旅行就医A.元B.元C.元D.元正视图侧视图俯视图8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（ ）．A.B.C.D.9.已知函数，，且在上是单调函数，则下列说法正确的是（ ）．A.B.C.函数在上单调递减D.函数的图象关于点对称10.已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，则，的关系为（ ）．A.B.C.D.11.一个正四棱锥形骨架的底边边长为，高为，有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切，则该球的表面积为（ ）．A.B.C.D.12.设是函数的导函数，且满足，若在中，，则（）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则 ．14.设，满足约束条件，则目标函数的最小值为 ．15.已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相切于点，是上一点(不与重合)，若以线段为直径的圆恰好经过，则点到抛物线顶点的距离的最小值是 ．16.已知中，，点是边的中点，的面积为，则线段的取值范围是 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.已知数列的前项和为，且满足，，，，各项均为正数的等比数列满足，．求数列，的通项公式．若，求数列的前项和．（1）（2）18.在创建”全国文明卫生城”过程中，运城市”创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次），通过随机抽样，得到参加问卷调查的人的得分统计结果如表所示：组别频数由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分，近似为这人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），利用该正态分布，求．在（）的条件下，”创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分不低于的可以获赠次随机话费，得分低于的可以获赠次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率为：赠送话费的金额（单位：元）概率现有市民甲参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望．附：参考数据与公式：，若，则，，．19.已知椭圆：的长轴长为，离心率．（1）（2）求椭圆的方程．设，分别为椭圆与轴正半轴和轴正半轴的交点，是椭圆上在第一象限的一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，问与面积之差是否为定值？说明理由．（1）（2）20.已知函数．当时，证明，在恒成立．若在处取得极大值，求的取值范围．图图（1）（2）（3）21.如图，与是处在同一个平面内的两个全等的直角三角形，，，，连接，是边上一点，过作，交于点，沿将向上翻折，得到如图所示的六面体．求证：．设，若平面底面，若平面与平面所成角的余弦值为，求的值．若平面底面，求六面体的体积的最大值．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.曲线的参数方程为（为参数），在以原点О为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程．若直线与曲线，的交点分别为，（，异于原点），当斜率时，求的最小值．23.已知函数．【答案】解析:∵，，∴，故选项正确．解析:由复数，复数、在复数平面内对应的点关于虚轴对称，则，．故选．解析:．故选．解析:的定义域为．∵，∴为偶函数，故排除、．时，，（1）（2）当时，求不等式的解集．，的图象与两坐标轴的交点分别为，，，若三角形的面积大于，求参数的取值范围．C 1.A 2.B 3.A 4.∴．∵时，，且时，恒成立，∴在单调递增．∵时，，且，∴在单调递减．故选．解析:∵，且，∴，即，∴，∴，∴与的夹角为．故选．解析:由题意知，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，且，，，所以乌龟爬行的总距离为．故选．解析:年就医费用（元），年就医费用（元），A 5.D 6.D 7.则费用为（元）．故选．解析:如图所示三棱锥即为三视图还原的直观图，则，，，，∴，∵平面，∴，∴为直角三角形，∴，同理，∵平面，∴，∴为直角三角形，∴，∴该三棱锥最长的棱为．故选．解析:由题意得函数的最小正周期，∵在上单调，所以，得，∵，，D 8.B 9.∴在上单调递减，又∵，，∴，解得，∴，故选项错误；又∵，故选项正确；当时，，所以函数在上单调递增，故选项错误；∵，∴点不是函数图象的对称中心，故选项错误．综上所述，故选．解析:设椭圆的半长轴长，半焦距分别为，，双曲线的实半轴长为，依题意有，，以上两式分别平方相加与相减得：，，在中，由余弦定理有：，所以，，∴，∴．综上所述．故选．解析:如图，正四棱锥中，底面是正方形，A 10.B 11.边长为，高，是中点，则，，∵球的表面与这个四棱锥的每个边都相切，∴球心在上，设球心为，球心到棱的距离为，即，则，则，作，垂足为，则球心到棱的距离为，即，易知，则，即，化简得，解得，则该球的表面积为．故选．解析:的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则，故．故答案为：．解析:D 12.13.14.由题可知：作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，如图，yxO联立，解得：．联立，解得：．的交点为．化目标函数为直线方程的斜截式：．由图可知，当直线过时，直线的截距最小，此时最小，．∴，∴的最小值为．15.解析:不妨设点在轴上方，则，∵，∴，∵，∴，∴所在的直线方程为①由，可知抛物线轴上方的曲线方程为，∴，∴的直线方程为②，联立①②可知，∴点在抛物线的准线上．∴的最小值为．16.解析:∵，且，∴，设，则，在中，由余弦定理知，∵，∴，即，令，则，当时，，∴在单调递减，∴，，即单调递减，，，即单调递增，∴，即，（1）（2）∴，即的取值范围是．解析:∵可化为，∴，∴，∴，又时，，∴，∴数列是从开始成等差数列，∵，代入，得，∴，∴是首项为，公差为的等差数列，∴，∵，，．，，，∴两式相减得，∴．解析:（1），．（2）．17.（1）．（2）．18.（1）（2）（1）（2）由题意得，∴，∵，∴，，综上，．由题意知，，获赠话费的可能取值为，，，，，，，，，．的分布列为：∴．解析:依题意得，解得，则椭圆的方程为．设，则，直线：，令，得，则．直线：，令，得，则，（1）．（2）与面积之差为定值，证明见解析．19.（1）（2）∴．解析:，所以，令，则，所以是的增函数，故，即．因为，所以，①当时，，所以函数在上单调递增，若，则，若，则，所以函数的单调递增区间是，单调减区间是，所以在处取得极小值，不符合题意；②当时，，所以函数在上单调递减，若，则，若，则，所以的单调递减区间是，单调递增区间是，所以在处取得极大值，符合题意；（1）证明见解析．（2）的取值范围是．20.（1）（2）③当时，，使得，即，但当时，，即，所以函数在上单调递减，所以，即函数在上单调递减，不符合题意，综上所述，的取值范围是．解析:不妨设与的交点为，与的交点为，由题知，，，则有，又，则有，由折叠可知，，所以可证，由，平面，平面，则有平面，又因为平面，所以．依题意，有，平面平面，又平面，则有平面，可证，又由题意知，，以为坐标原点，，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知，，，，由可知，，，则，，，，，，（1）证明见解析．（2）．（3）六面体的体积的最大值是．21.（3）（1）则有，，，，设平面与平面的法向量分别为，，则有，则，所以，易得，解得．设所求几何体的体积为，设，则，∴，∵，∴当时，，当时，，∴在是增函数，在上是减函数，∴当时，有最大值，即，∴六面体的体积的最大值是．解析:曲线的直角坐标方程为：，即，∴曲线的极坐标方程为：，即，（1）曲线的极坐标方程为：，曲线的直角坐标方程为：．（2）．22.（2）（1）（2）∵曲线的极坐标方程为：，即∴曲线的直角坐标方程为：．设直线的极坐标方程为，代入曲线的极坐标方程，得，∴，把直线的极坐标方程代入曲线的极坐标方程，得，即，即，∴ ，∵，即，∴，∴，∴，当且仅当 ，即时取等号，故的最小值为．解析:当时，不等式可化为，当时，不等式化为，解得，当时，不等式化为，解得，当时，不等式化为，解得，综上，不等式的解集为：．，∴的图象与两坐标轴的交点坐标分别为，，，∴三角形的面积：，由，得或（舍），∴．（1）不等式的解集为：．（2）．23.。

2020-2021学年上学期高三第一次月考数学答案一、选择题：1-4:CACD 5—8:BDAB 9:BC 10:ABD 11:BC 12:AD 二、填空题：13、 3365 14、3π15、 32πϕ= 16、>三、解答题：17.（本小题满分10分）解：（1）将代入圆的方程得：y = 在第四象限，∴y =由任意角三角函数的定义得：tan yxθ==……………………………………5分 （2）cos()cos(2)sin cos 2sin cos()sin cos πθθπθθθπθθθ-+-+=++-，由任意角三角函数的定义得：sin 2θ=-，1cos 2θ=，将之代入上式得：1sin cos 2sin cos θθθθ++===-…………………10分18.（本小题满分12分）（1）由题可知()f x 和x 轴两交点为()0,0，()4,0，………2分 故可设()()()40f x ax x a =-≠，…………………………………………3分 由题可知：()()222441f a a =⨯⨯-=-⇒=，………………………………4分 所以()24f x x x =-．…………………………………………6分（2）设()()()()343g x f x t t x t x t t =++=++-+， 则()0g x ≤在[]2,4上恒成立，故有()()()()()()2222243340404444370g t t t t t t g t t t t t ⎧=++-+=+-≤⎪⇒-≤≤⎨=++-+=+≤⎪⎩．…………………12分 ),21(y P 122=+y x ),21(y P19.（本小题满分12分） 解：ABC △中，由sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+ 得sin 2sin cos sin cos cos sin sin cos B B C A C A C A C +=++sin sin cos B A C =+ ………………………………………………………1分∴(2sin sin )cos 0B A C -=…………………………………………………………2分 ∵ABC △不是直角三角形 ∴cos 0C ≠∴2sin sin B A =………………………………………………………………………3分 即2a b =………………………………………………………………………4分∵1b = ∴2a =………………………………………………………………………6分 选①：由1cos 2B =，及0B π<< 得3B π=………………………………………8分由sin sin b aB A= 得sin 1A =>……………………………………………………10分 不合理，故ABC △不存在．……………………………………………………12分 选②：由1cos 2C =得c ==8分 ∴222b c a +=………………………………………………………………………10分 ∴A 为直角，不合题设，故ABC △不存在．…………………………………12分选③：由cos 2C =得c ==12分． 20. （本小题满分12分）（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,A ωϕ===-. 数据补全如下表：且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-． …………………………………………6分（Ⅰ）由（Ⅰ）知 π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-．因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z ． 令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k ∈Z ． 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=， 解得ππ23k θ=-，k ∈Z . 由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6．……………12分 21.（本小题满分12分）解：（1）∵2299()sin cos 1cos cos 88f x x x x x =+-=-+-21cos cos 8x x =-+-， ∴211()cos 28f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，∵[]0,x π∈，∴1cos 1x -≤≤，∴171()88f x -≤≤， ∴()f x 的值域为171,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.…………………………………………6分 （2）∵函数21()cos cos 8f x x x =-+-，[]0,x π∈的图像向左平移2π个单位长度后得到函数()h x 的图像， ∴21()cos cos 228h x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21sin sin 8x x =---，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 依题意，不等式()()sin 2m f x h x x >++在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有解， 设5()()sin 2cos sin sin 24y f x h x x x x x =++=--+ 52sin cos cos sin 4x x x x =+--，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令cos sin 4t x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴[]1,1t ∈-，则221142y t t t ⎛⎫=-+-=-- ⎪⎝⎭，[]1,1t ∈-，∴函数()()sin 2y f x h x x =++的值域为9,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.∴min 94m y >=-，故实数m 的取值范围为9,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.…………………………………12分 22. （本小题满分12分） 解：（1）1a =， ∴1()ln ,(0)f x x x x =+> ∴22111'()x f x x x x-=-+= ……1分 令'()0f x =，得1x =当x 变化时，(),'()f x f x 的变化情况如下表：分 ∴当1x =时，函数()f x 有极小值1；函数()f x 的单调减区间为(0,1)，单调增区间为(1,)+∞； ………………5分 （2）若在区间(0,]e 上至少存在一点0x ，使0()0f x <成立，即()f x 在区间(0,]e 上的最小值小于0 ………………6分221()1'(),(0)a x a a f x a x x x-=-+=≠令'()0f x =，得1x a = …………7分 ①当0a <时，'()0f x < ∴函数()f x 在区间(0,]e 上单调递减∴函数()f x 在区间(0,]e 上的最小值为11()ln f e a e a e e=+=+∴由1()0f e a e =+<得1a e <-，即1(,)a e ∈-∞- ………8分②当0a >时，（i ）当1e a ≤即10a e<≤时，'()0f x ≤∴函数()f x 在区间(0,]e 上单调递减 ∴函数()f x 在区间(0,]e 上的最小值为11()ln 0f e a e a e e=+=+>显然，这与()f x 在区间(0,]e 上的最小值小于0不符 ……9分（ii ）当10e<<即1a >时 当x 变化时，的变化情况如下表：∴函数()f x 在区间(0,]e 上的最小值为()lnf a a aa =+………10分∴由11()ln 0f a a a a=+<，得a e >，即(,)a e ∈+∞ ……………11分∴综上述，实数a 的取值范围是1(,)(,)e e-∞-+∞． ………………12分)(),(x f x f '。

2020年山西省运城市高考数学一模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={1,2，3，4，5}，B ={x|x−14−x >0,x ∈Z}，则A ∩B =( )A. {2,3}B. {1,2，3，4}C. {1,2，3}D. {1,2，3，5}2. 若复数z 1=1+3i ，z 2=2+i ，则z1z 2=( )A. 1+iB. 3+3iC. −1+7iD. 3+4i3. 已知角α满足tanα=2，则cos 2α+sin2α等于( )A. √5−1B. 1C. √5+1D. 24. 函数f(x)=lg(|x|+x 2)(|x|−1)x的图象大致为( )A.B.C.D.5. 在△ABC 中，满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12|AB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则∠B =( ) A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°6. 公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿喀琉斯悖论：他提出让乌龟在阿喀琉斯前面1000米处和阿喀琉斯赛跑，并且假定阿喀琉斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿喀琉斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿喀琉斯跑完下一个100米时，乌龟领先他10米；当阿喀琉斯跑完下一个10米时，乌龟仍然领先他1米……所以，阿喀琉斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿喀琉斯和乌龟的距离恰好为10−2米时，乌龟爬行的总距离为( )A. 104−190米 B. 105−1900米 C. 105−990米 D. 104−9900米 7. 如图是1990年−2017年我国劳动年龄(15−64岁)人口数量及其占总人口比重情况：根据图表信息，下列统计结论不正确的是()A. 2000年我国劳动年龄人口数量及其占总人口比重的年增幅均为最大B. 2010年后我国人口数量开始呈现负增长态势C. 2013年我国劳动年龄人口数量达到峰值D. 我国劳动年龄人口占总人口比重极差超过6%8.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则此几何体的最长的棱长为()A. 2√2B. 3√2C. √5D. 39.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈[0,2π))的图像如图所示，则f(1)=()A. 2B. 3C. 4D. 510.如果一椭圆的两个焦点恰好是另一双曲线的两个焦点，则称它们为一对“共焦曲线”现有一对“共焦曲线”的焦点为F1，F2，M是它们的一个公共点，且∠F1MF2=60∘，设它们的离心率分别为e1，e2，则(e1⋅e2)min=()A. 1B. √32C. 2 D. √6411. 已知球O 是某几何体的外接球，而该几何体是由一个侧棱长为2√5的正四棱锥S −ABCD 与一个高为6的正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1拼接而成，则球O 的表面积为( )A.100π3B. 64πC. 100πD.500π312. 已知f(x)为二次函数，其导函数f′(x)满足f′(x)lnx <f(x)x，则有( )A. f(2)<f(e)ln2，2f(e)>f(e 2)B. f(2)<f(e)ln2，2f(e)<f(e 2)C. f(2)>f(e)ln2，2f(e)<f(e 2)D. f(2)>f(e)ln2，2f(e)>f(e 2)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. (√x +2x 2)n 的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于________．14. 若实数x,y 满足约束条件{x +2y ⩾0x −y ⩽0x −2y +2⩾0，则z =3x −y 的最小值等于_____． 15. 已知A 是抛物线y 2=4x 上的一点，以点A 和点B(2,0)为直径的圆C 交直线x =1于M ，N 两点．直线l 与AB 平行，且直线l 交抛物线于P ，Q 两点．(1)求线段MN 的长；(2)若OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3，且直线PQ 与圆C 相交所得弦长与|MN|相等，求直线l 的方程． 16. 在△ABC 中，AC =7，BC =13，D 在边BC 上，BD =10，AD =5，则AB =________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n −2．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{n+1a n}的前n 项和为T n ，求T n ．18.某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出若干根对其直径(单位：mm)进行测量，得出这批钢管的直径X服从正态分布N(65,4.84)．(1)当质检员随机抽检时，测得一根钢管的直径为73mm，他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据；(2)如果钢管的直径X满足60.6mm−69.4mm为合格品(合格品的概率精确到0.01)，现要从60根该种钢管中任意挑选3根，求次品数Y的分布列和数学期望．(参考数据：若X−N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X≤μ+σ)=0.6826；P(μ−2σ<X≤μ+2σ)=0.9544；P(μ−3σ<X≤μ+3σ)=0.9974．19.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，离心率e=√22，且椭圆的短轴长为2．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知直线l1，l2过右焦点F2，且它们的斜率乘积为−12，设l1，l2分别与椭圆交于点A，B和C，D．①求AB+CD的值；②设AB的中点M，CD的中点为N，求△OMN面积的最大值．x3+ax+4(a∈R)在x=2处有极值.20.已知函数f(x)=13(1)求a的值；(2)求f(x)在[0, 3]上的最大值和最小值；21.如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°(如图2所示)，(1)当BD的长为多少时，三棱锥A−BCD的体积最大；(2)当三棱锥A−BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小．)，以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直22.已知曲线C的极坐标方程为ρ=4sin(θ−π3角坐标系xOy．(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)若点P在曲线C上，点Q的直角坐标是(cosφ,sinφ)，其中(φ∈R)，求|PQ|的最大值．23.设函数f(x)=|2x+2|+|2x−3|．(1)求不等式f(x)>7的解集；(2)若关于x的不等式f(x)≤|3m−2|有解，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：B={x|1<x<4,x∈Z}={2,3}；∴A∩B={2,3}．故选：A．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，分式不等式的解法，以及交集的运算．2.答案：A解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．把z1=1+3i，z2=2+i代入z1z2，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵z1=1+3i，z2=2+i，∴z1z2=1+3i2+i=(1+3i)(2−i)(2+i)(2−i)=5+5i5=1+i．故选A．3.答案：B解析：解：∵tanα=2，则cos2α+sin2α=cos2α+2sinαcosαsin2α+cos2α=1+2tanα2=1，故选：B．利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．4.答案：A解析：先判断函数的奇偶性，然后令x =2进行计算，判断函数值的符号是否一致即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性，和特殊值的关系是解决本题的关键． 解：f(−x)=lg(|−x|+(−x)2)(|−x|−1)(−x)=−lg(|x|+x 2)(|x|−1)x=−f(x)，则f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除C ，D ， f(2)=lg(2+4)2=lg62>0，排除B ，故选：A ．5.答案：C解析：本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题.由题意利用两个向量的数量积的定义可得BA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BA|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB =−12|AB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，即可求出答案． 解：因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12|AB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 所以BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BA|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB =−12|AB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 所以cosB =−12， 故∠B =120°， 故选C ．6.答案：B解析：本题考查了等比数列的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．由题意知乌龟每次爬行的距离构成等比数列{a n }，写出a 1、q 和a n ，由此求出乌龟爬行的总距离S n ． 解：由题意知，乌龟每次爬行的距离构成等比数列{a n }， 且a 1=100，q =110，a n =10−2； ∴乌龟爬行的总距离为S n=a1−a n q1−q =100−10−2×1101−110=105−1900．故选B．7.答案：B解析：本题考查了读图识图的能力，属于基础题．A选项，2000年我国劳动年龄人口数量增幅约为6000万，是图中最大的，2000年我国劳动年龄人口数量占总人口比重的增幅约为3%，也是最多的．故A对．B选项，2010年到2011年我国劳动年龄人口数量有所增加，故B错．C选项，从图上看，2013年的长方形是最高的，即2013年我国劳动年龄人口数量达到峰值，C对，D选项，我国劳动年龄人口占总人口比重最大为2011年，约为74%，最小为1992年，约为67%，故极差超过6%.D对．故选：B．8.答案：D解析：本题考查了由几何体的三视图求几何体的体积，判断直观图是解题的关键，属于中档题．首先由三视图还原几何体，利用三视图的数据求解几何体的最长棱长即可．解：三视图表示的几何体为三棱锥D−ABC，是正方体的一部分，易知正方体的棱长为：2，则此几何体的最长的棱长为：BD=√CD2+BC2=√4+4+1=3．故选D．9.答案：B解析：本题考查y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，考查推理能力和计算能力，属于一般题．先由图象求出A、ω和φ，再赋值计算即可．解：由题意可知A=3，T=2×(7−3)=8，所以ω=2π8=π4．因为函数f(x)的图像经过点(3,0)，所以3π4+φ=π+2kπ(k∈Z)，φ=π4+2kπ(k∈Z)．又φ∈[0,2π)，所以φ=π4，所以f(1)=3．故选B．10.答案：B解析：本题考查椭圆与双曲线的简单性质，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长a2，焦距2c.由题意与双曲线的定义得到∴|MF1|=a1+a2，|MF2|=a1−a2，在△F1MF2中根据余弦定理可得到1e12+3e22=4，再由基本不等式求最值．解：如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，不妨取第一象限的公共点为M，则根据椭圆及双曲线的定义：|MF1|+|MF2|=2a1，|MF1|−|MF2|= 2a2，∴|MF1|=a1+a2，|MF2|=a1−a2，设|F1F2|=2c，∠F1MF2=60°，在△MF1F2中由余弦定理得，4c2=(a1+a2)2+(a1−a2)2−2(a1+a2)(a1−a2)cos60°，化简得：a12+3a22=4c2，该式可变成：1e12+3e22=4，∴4=1e12+3e22≥2√3e1e2，(当且仅当e2=√3e1时取等号)则e1e2≥√32．∴(e1⋅e2)min=√32．故选：B．11.答案：C解析：设球的半径为R，AB=2x，S到平面ABCD的距离为√20−2x2，列出半径的表达式，由勾股定理可得R2=32+2x2，由此求出R，即可求出球的表面积．本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键．AC=√2x，解：设球的半径为R，AB=2x，12则球心到平面A1B1C1D1的距离为3，，几何体是由一个侧棱长为2√5的正四棱锥S−ABCD与一个高为6的正四棱柱ABCD−A1B1C1D1拼接而成，S到平面ABCD的距离为√(2√5)2−(√2x)2=√20−2x2，则：√20−2x2+3=R，又勾股定理可得R2=32+2x2，∴R=5，x=2√2∴球的表面积为4πR2=100π．故选：C．12.答案：D解析：本题考查了函数的单调性问题，考查函数值的大小比较，是一道中档题．，x∈(0,+∞)，求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数值的大小即可．构造函数g(x)=f(x)lnx，x∈(0,+∞)，解：令g(x)=f(x)lnx故g′(x)=f′(x)lnx−f(x)⋅1x(lnx)2，∵f′(x)lnx <f(x)x，∴f′(x)lnx −f(x)1x <0，∴g(x)在(0,+∞)递减， ∴g(2)>g(e)，即f(2)ln2>f(e)lne，f(2)>f(e)ln2，g(e)>g(e 2)，即f(e)lne >f(e 2)lne 2，2f(e)>f(e 2)，故选D ．13.答案：180解析：本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由(√x +2x 2)n 展开式中只有第六项的二项式系数最大，可得n =10.再利用通项公式即可得出． 解：∵(√x +2x )n 展开式中只有第六项的二项式系数最大，∴n =10． ∴(√x +2x 2)10的通项公式为：T r+1=C 10r(√x)10−r (2x 2)r=2rC 10r x5−5r2， 令5−5r 2=0，解得r =2．∴展开式的常数项=22C 102=180．故答案为180．14.答案：−72解析：本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，属于基础题． 作出不等式组对应的平面区域，通过目标函数的几何意义，利用数形结合即可的得到结论． 解：依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：y =3x −z ，则z 的最小值即为动直线在y 轴上的截距的最大值．通过平移可知在A 点处动直线在y 轴上的截距最大．因为A ：{x +2y =0x −2y +2=0解得A(−1,12)，所以z =3x −y 的最小值z min =3×(−1)−12=−72． 故答案为：−72．15.答案：解：(1)设A(y 024,y 0)，圆C 方程为(x −2)(x −y 024)+y(y −y 0)=0， 令x =1，得y 2−y 0y +y 024−1=0，∴y M +y N =y 0，y M y N =y 024−1，|MN|=|y M −y N |=√(y M +y N )2−4y M y N =√y 02−4(y 024−1)=2．(2)设直线l 的方程为x =my +n ，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则 由{x =my +n,y 2=4x消去x ，得y 2−4my −4n =0， y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−4n ，∵OP →⋅OQ →=−3，∴x 1x 2+y 1y 2=−3，则(y 1y 2)216+y 1y 2=−3，∴n 2−4n +3=0，解得n =1或n =3，当n =1或n =3时，点B(2,0)到直线l 的距离为d =2，∵圆心C到直线l的距离等于到直线x=1的距离，∴y028=√1+m2，又m=y024−2y0，消去m得y02⋅y04+6416=64，求得y02=8，此时m=y024−2y0=0，直线l的方程为x=3，综上，直线l的方程为x=1或x=3．解析：(1)根据题意利用弦长公式求出即可得到MN的长；(2)设出直线l的方程为x=my+n，P，Q点的坐标，联立直线和抛物线方程，得到关于n的式子，解出即可得到直线方程．16.答案：5√3解析：本题主要考查解三角形的应用，利用余弦定理和正弦定理是解决本题的关键，要求熟练掌握相应的公式．根据余弦定理弦求出C的大小，利用正弦定理即可求出AB的长度．解：如图所示：∵AD=5，AC=7，DC=3，∴由余弦定理得cosC=AC2+CD2−AD22AC⋅CD =72+32−522×7×3=1114，∴AB=√AC2+BC2−2AC·BC·cosC=√49+169−2×7×13×1114=√75=5√3故答案为5√3．17.答案：解：(1)∵S n=2a n−2，∴n≥2时，a n=S n−S n−1=2a n−2−(2a n−1−2)，化为：a n= 2a n−1．n=1时，a1=2a1−2，解得a1=2．∴数列{a n}是等比数列，首项与公比都为2．∴a n=2n．(2)b n=n+1a n =n+12n，∴数列{b n}前n项和T n=22+322+⋯+n+12n，1 2T n=222+323+⋯+n2n+n+12n+1，∴12T n=1+122+123+⋯+12n−n+12n+1=1+14(1−12n−1)1−12−n+12n+1．∴T n=3−n+32n．解析：(1)S n=2a n−2，可得n≥2时，a n=S n−S n−1，化为：a n=2a n−1.n=1时，a1=2a1−2，解得a1.利用等比数列的通项公式即可得出．(2)b n=n+1a n =n+12n，利用错位相减法与等比数列的求和公式即可得出．本题考查了错位相减法、等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：(1)∵μ=65，σ=2.2，μ−3σ=58.4，μ+3σ=71.6，∴P(X>71.6)=1−P(58.4<X≤71.6)2=1−0.99742=0.0013．∴测得一根钢管的直径为73mm为⼩概率事件，故该质检员的决定有道理．(2)∵μ=65，σ=2.2，μ−2σ=60.6，μ+2σ=69.4，∴P(60.6≤X≤69.6)=0.9544，故该批钢管为合格品的概率约为0.95，∴Y～B(3,0.05)，且P(Y=k)=C3k⋅0.05k⋅0.953−k，k=0，1，2，3．∴次品数Y的分布列列为：∴E(Y)=3×0.05=0.15．解析：(1)计算P(X >μ+3σ)的概率，比较73与μ+3σ的大小得出结论； (2)求出合格品的概率，根据二项分布得出分布列和数学期望． 本题考查了正态分布的性质，二项分布列，属于中档题．19.答案：解：(1)∵椭圆的短轴长为2，∴b =1，又∵e =√1−b 2a2=√1−1a 2=√22，a 2=2,所以椭圆的方程为x 22+y 2=1．(2)①F 2(1,0)，设直线AB 的方程为y =k(x −1),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，{x 2+2y 2=2y =k(x −1)，x 2+2k 2(x 2−2x +1)=2,(1+2k 2)x 2−4k 2x +2k 2−2=0， x 1+x 2=4k 21+2k2,x 1x 2=2k 2−21+2k 2，|x 1−x 2|=√16k 4(1+2k 2)2−4(2k 2−2)(1+2k 2)(1+2k 2)2=2√2√1+k 21+2k 2，|AB|=2√2(1+k 2)1+2k 2， ∵K AB K CD =−12，用−12k 替换上式中的k 得 ∴|CD|=√2(4k 2+1)2k 2+1， |AB|+|CD|=2√2(k 2+1)1+2k 2+√2(4k 2+1)1+2k 2=6√2k 2+3√21+2k 2=3√2．②由①知，x 1+x 2=4k 21+2k 2，M 点的横坐标为2k 21+2k 2，代入直线方程得y =k(2k 21+2k 2−1)=−k1+2k 2， 即M(2k 21+2k 2,−k 1+2k 2)，用−12k 替换M 点坐标k 得N(11+2k 2,k1+2k 2)，MN 的中点T 的坐标为(12,0)，S ΔOMN =12×OT ×|y M −y N |=14×|2k|1+2k 2=12×|k|1+2k 2=12×11|k|+2|k|≤122√2=√28，当且仅当|k|=√22时取等号． ∴ΔOMN 面积的最大值为√28．解析：本题考查椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系，属于中档题． (1)由b 根据离心率求出a 即可；(2)①设直线AB 的方程为y =k(x −1),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，根据弦长公式求出|AB|，再根据斜率的关系求出|CD|，整理即可；②求出M，N的坐标，代入面积公式，利用基本不等式即可求解．20.答案：解：(Ⅰ)f′(x)=x2+a，∴f′(2)=4+a=0，解得a=−4．经过验证满足条件．(Ⅱ)f(x)=13x3−4x+4，f′(x)=x2−4=(x+2)(x−2)，令f′(x)=0得x=−2或x=2．当x变化时如下表：x0(0,2)2(2,3)3f′(x)−10+f(x)4单调递减极小值−43单调递增1因此，当x=2时，f(x)有极小值，并且极小值为f(2)=−43．又由于f(0)=4，f(3)=1．因此函数f(x)在[0,3]上最大值为4，最小值为−43．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(Ⅰ)f′(x)=x2+a，f′(2)=4+a=0，解得a.经过验证即可得出．(Ⅱ)f(x)=13x3−4x+4，f′(x)=x2−4=(x+2)(x−2)，令f′(x)=0得x=−2或x=2.列出表格即可得出单调性极值与最值．21.答案：解：(1)设BD=x，则CD=3−x∵∠ACB=45°，AD⊥BC，∴AD=CD=3−x∵折起前AD⊥BC，∴折起后AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩DC=D∴AD⊥平面BCD∴V A−BCD=13×AD×S△BCD=13×(3−x)×12×x(3−x) =16(x3−6x2+9x)设f(x)=16(x3−6x2+9x)x∈(0,3)，∵f′(x)=12(x −1)(x −3)，∴f(x)在(0,1)上为增函数，在(1,3)上为减函数 ∴当x =1时，函数f(x)取最大值∴当BD =1时，三棱锥A −BCD 的体积最大； (2)以D 为原点，建立如图直角坐标系D −xyz ，由(1)知，三棱锥A −BCD 的体积最大时，BD =1，AD =CD =2∴D(0,0，0)，B(1,0，0)，C(0,2，0)，A(0,0，2)，M(0,1，1)，E(12,1，0)，且BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，1) 设N(0,λ,0)，则EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,λ−1,0) ∵EN ⊥BM ，∴EN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 即(−1,1，1)⋅(−12，λ−1，0)=12+λ−1=0，∴λ=12，∴N(0,12,0) ∴当DN =12时，EN ⊥BM设平面BMN 的一个法向量为n ⃗ =(x,y ，z)，由{n ⃗ ⋅BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0及BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,12,0)得{y =2xz =−x，取n⃗ =(1,2，−1) 设EN 与平面BMN 所成角为θ，则EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,−12,0) sinθ=|cos <EN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >|=|EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ ||=|−12−1|√6×√22=√32∴θ=60°∴EN 与平面BMN 所成角的大小为60°解析：(1)设BD =x ，先利用线面垂直的判定定理证明AD 即为三棱锥A −BCD 的高，再将三棱锥的体积表示为x 的函数，最后利用导数求函数的最大值即可；(2)由(1)可先建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标和相关向量的坐标，设出动点N 的坐标，先利用线线垂直的充要条件计算出N 点坐标，从而确定N 点位置，再求平面BMN 的法向量，从而利用夹角公式即可求得所求线面角本题主要考查了线面垂直的判定，折叠问题中的不变量，空间线面角的计算方法，空间向量、空间直角坐标系的运用，有一定的运算量，属中档题22.答案：解：(1)曲线C 的极坐标方程为ρ=4sin(θ−π3)，展开为ρ2=4ρ(12sinθ−√32cosθ)，可得直角坐标方程：x2+y2=2y−2√3x.即曲线C的直角坐标方程为：x2+y2+2√3x−2y=0．(2)曲线C可化为(x+√3)2+(y−1)2=4，可得圆心C(−√3,1)，半径r=2，|OC|=2，点Q的直角坐标是(cosφ,sinφ)，(φ∈R)，可知：点Q在x2+y2=1圆上．∴|PQ|≤|OC|+2+1=5，即|PQ|的最大值是5．解析：本题考查了直角坐标方程与极坐标方程的互化、涉及圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)曲线C的极坐标方程为ρ═4sin(θ−π3)，展开为ρ2=4ρ(12sinθ−√32cosθ)，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．(2)曲线C配方可得圆心及其半径，点Q的直角坐标是(cosφ,sinφ)，(φ∈R)，可知：点Q在x2+y2=1圆上，由|PQ|≤|OC|+R+r可得最值．23.答案：解：(1)∵f(x)>7，∴|2x+2|+|2x−3|>7，当x≤−1时，不等式为：−2x−2−2x+3>7，∴解得x<−32；当−1<x<32时，不等式为：2x+2−2x+3>7，∴无解；当x≥32时，不等式为：2x+2+2x−3>7，∴解得x>2；∴综上，不等式f(x)>7的解集是{x|x<−32或x>2};(2)∵f(x)=|2x+2|+|2x−3|≥|2x+2−2x+3|=5，当且仅当(2x+2)(2x−3)≤0，时取等号，即−1≤x≤32∴f(x)的最小值为5，∵关于x的不等式f(x)≤|3m−2|有解，∴|3m−2|≥5，∴3m−2≥5或3m−2≤−5，∴解得m≤−1或m≥7，3,+∞)．∴实数m的取值范围是(−∞,−1]∪[73解析：本题考查了绝对值不等式的应用，解不等式．(1)根据绝对值不等式，讨论得到不等式的解集；(2)根据绝对值不等式的性质，得到f(x)的最小值为5，得|3m−2|≥5，求得m的范围．。