第二节二元函数的一阶、二阶偏导数
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第二节 二元函数的一阶、二阶偏导数
一、二元函数的一阶偏导数
1、 在某点处的一阶偏导数——已知二元函数)(y x f z ,=在点)(00y x ,处及其附近有定
义,若一元函数)(0y x f z ,=在点0x 处对x 可导,则称此导数值为二元函数)(y x f z ,=在点)(00y x ,处对x 的一阶偏导数,记作)(00y x f x ,',或00|y y x x x z ==',或x
y x f ∂∂)(00,,或00
|y y x x x z ==∂∂; 若一元函数)(0y x f z ,=在点0y 处对y 可导,则称此导数值为二元函数)
(y x f z ,=在点)(00y x ,处对y 的一阶偏导数,记作)(00y x f y ,',或00|y y x x y z ==',或y
y x f ∂∂)(00,,或0
0|y y x x y z ==∂∂。 2、 可导与连续关系:尽管在某点处两个一阶偏导数都存在,却不能保证在该点处连续。
3、 在某区域上的一阶偏导数——若二元函数)(y x f z ,=在区域E 上每一点)(y x ,处都
有对x ,对y 的一阶偏导数,则对于区域E 上每一点)(y x ,都有一个对x 的一阶偏导数值和一个对y 的一阶偏导数值与之对应,于是得到两个新的二元函数,这两个新的二元函数分别称为)(y x f z ,=对x ,对y 的一阶偏导函数,简称一阶偏导数,分别记作)(y x f x ,',或x z ',或
x y x f ∂∂)(,,或x
z ∂∂和)(y x f y ,',或y z ',或y y x f ∂∂)(,,或y z ∂∂。 二、二阶偏导数 1、 定义——二元函数)(y x f z ,=一阶偏导数的一阶偏导数称为二元函数)
(y x f z ,=的二阶偏导数,共有四个,分别记作
x x xx y x f y x f ))(()(''='',,,或xx z '',或22)(x y x f ∂∂,,或22x
z ∂∂ y x xy y x f y x f ))(()(''='',,,或xy z '',或y x y x f ∂∂∂)(2,,或y
x z ∂∂∂2
x y yx y x f y x f ))(()(''='',,,或yx z '',或x y y x f ∂∂∂)(2,,或x y z ∂∂∂2 y y yy y x f y x f ))(()(''='',,,或yy z '',或22)(y y x f ∂∂,,或22y
z ∂∂。