基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(1)教案(2)
- 格式：doc
- 大小：67.50 KB
- 文档页数：6
1.2.1 几个常用函数的导数
一、课前准备
1.课时目标
1.理解几个常用函数的导数公式的证明过程；
2.掌握常用函数的导数公式，并能灵活使用公式求某些函数的导数；
3.解决与常用函数导数公式相关的问题。
2.基础预探
1．常用函数的导数
(1)函数y＝c(c为常数)的导数y′＝________； (2)函数y＝x的导数y′＝________；
(3)函数y＝x2的导数y′＝________； (4)函数y＝1x的导数y′＝________；
(5)函数y＝x的导数y′＝________.
二、学习引领
1.利用定义求导数的步骤
(1)求函数增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx；
(3)取极限limΔx→0 ΔyΔx.
2.对几个常用函数的导数公式的理解
1.常数的导数为0，其几何意义为f(x)=c在任意点处的切线平行于x轴，其斜率为零。若y=c表示路程关于时间的函数，则y'=0能够解释为某物体作瞬时速度为0，即一直处于静止状态。
2. f(x)=x的导数为1，其几何意义为y=x图像上每一点处的切线斜率为1，若y=x表示路程关于时间的函数，则y'=1能够解释为某物体作瞬时速度为1的匀速运动。
3.函数y＝x2的导数为y′＝2x.y′＝2x表示函数y＝x2图象上点(x，y)处的斜率为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化．若y＝x2表示路程关于时间的函数，则y′＝2x能够解释当某物体做变速运动做，它在时刻x的瞬时速度为2x.
三、典例导析
题型一 利用常用函数的导数公式求导数值
例1 求曲线y＝1x在点M(3,3)处的切线方程．
思路导析：利用(1x)′＝－1x2求出曲线在点M(3,3)切线的斜率，然后利用点斜式写出直线方程． 解析：∵ y′＝(1x)′＝－1x2，∴ 31|9xy.
∴ 过(3,3)点斜率为－19的切线方程为y－3＝－19(x－3)，即x+9y-30=0.
归纳总结：将曲线上点的横坐标代入曲线导数方程便可求出切线的斜率，再代入点斜式即可求出切线方程．
变式训练：求曲线y＝x2在点(1,1)处的切线方程．
题型二 常用函数的导数公式的综合应用
例2 求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．
思路导析：与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短。所以先用导数的几何意义求出切点坐标，再用点到直线的距离公式求出最短距离，
解析：依题意知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x20)．
∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝12，切点坐标为(12，14)．
∴所求的最短距离d＝|12－14－2|2＝728.
归纳总结：几种常见的函数的导数应用广泛，在几何方面常与解析几何联系，主要是考查函数在某点处的导数就是过该点的切线的斜率，及切线相关的问题．
变式训练：设直线l1与曲线y＝x相切于P，直线l2过P且垂直于l1，若l2交x轴于Q点，又作PK垂直于x轴于K点，求KQ的长．
题型三 常见函数导数公式的综合应用
例3 已知f(x)＝x2，g(x)＝1x，求适合f′(x)＋1＝g′(x)的x值．
思路导析：先利用导数的定义求出f′(x)、g′(x)，然后解方程得到x值．
解析：由导数的定义知，f ′(x)＝2x，g(x)＝(1x)′＝－1x2。
∵ f′(x)＋1＝g′(x) ，∴ 2x+1=－1x2，即2x3+x2+1=0即(x+1)( 2x2-x+1) =0，解之得x=-1。
归纳总结：此题综合考查了两种函数的导数公式，巧妙的将求导数与解方程联系在一起．
变式训练：已知函数2()2(1)fxxxf，则f(1)与f(－1)的大小关系是 ( )
A．f(1)＝f(－1) B．f(－1)f(1) D．无法确定
四、随堂练习 1.已知函数f(x)＝36，则()fx＝ ( )
A．3 B．5 C．0 D．不存有
2．函数f(x)＝x，则(3)f＝ ( )
A.36 B．0 C.12x D.32
3．曲线y＝12x2－2在点x＝1处切线的倾斜角α是( )
A．0° B．45° C．135° D．－45°
4.曲线y＝x3在点P处切线的斜率为k，当k＝3时，P点坐标为________。
5．曲线y＝13x3在点(1，13)处的切线与直线x＋y－3＝0的夹角为________．
6．已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
五、课后作业
1．给出以下命题：①若y＝π，则y′＝0；②若y＝3x，则y′＝3；③若y＝1x，则y′＝－12x；④若y′＝3，则y＝3x. 其中准确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．在以下四个命题中，真命题的个数为( )
①曲线y＝x3在原点处没有切线；
②若函数f(x)＝x，则(0)0f；
③加速度是动点位移函数s(t)对时间t的导数；
④函数y＝x5的导函数的值恒非负．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．y＝x在点A(1,1)处的切线方程是________．
4．已知f(x)＝1x，g(x)＝mx，且g′(2)＝1f′(2)，则m＝________.
5．已知曲线y＝5x，求曲线上与直线y＝2x－4平行的切线的方程．
6．曲线y＝1x和y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是多少？
参考答案：
1.2.1 几个常用函数的导数
一、课前准备
2.基础预探
1. 0 1 2x －1x2 12x
三、典例导析
例1 变式训练
解析：∵ y′＝(x2)′＝2x，∴ y′|x＝1＝2，即所求切线的斜率为2.
∴所求切线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
例2 变式训练
解析：设P(x0，y0)，则1lk＝y′|0xx＝12x0.
因为l2与l1垂直，故2lk＝－2x0. 于是 l2：y－y0＝－2x0(x－x0)．
令y＝0，则－y0＝－2x0(xQ－x0)，即－x0＝－2x0(xQ－x0)，
解得xQ＝12＋x0. 易知xK＝x0，于是|KQ|＝|xQ－xK|＝12.
例3 变式训练
解析：由题意可知：()22(1)fxxf ∴(1)22(1)ff，∴(1)2f，
∴f(x)＝x2－4x，∴f(－1)＝5，f(1)＝－3.故C准确．
答案：C。
四、随堂练习
1.解析：∵f(x)＝36为一个常数，∴f′(x)＝0.应选C.
答案：C
2．解析：∵f′(x)＝12x，∴f′(3)＝123＝36.应选A.
答案：A
3．解析：∵f′(x)＝x，∴f′(1)＝1， ∴k＝1，∴α＝45°.应选B.
答案：B
4.解析：设P(x0，y0)，则f′(x0)＝3x20，即3x20＝3，所以x0＝1或x0＝－1，代入y＝x3有P(1,1)或(－1，－1)．
答案：(－1，－1)或(1,1)
5．解析：∵y′＝x2，y′|x＝1＝1，
∴切线的斜率为1，又已知直线的斜率为－1，
∴两直线垂直，故两直线的夹角为90°.∴应填90°.
答案：90°
6．解：y′＝(x2)′＝2x，设切点M(x0，y0)，则00|2xxyx.
因为PQ的斜率k＝4－12＋1＝1，又切线平行于PQ，
所以k＝2x0＝1，即x0＝12，所以切点M(12，14)．
所以所求切线方程为y－14＝x－12，即4x－4y－1＝0.
五、课后作业
1．解析：①②准确．
答案：B
2．解析：y＝x3在(0,0)处的切线为y＝0；f(x)＝x在x＝0处不可导；加速度是动点速度函数v(t)对时间t的导数；y′＝(x5)′＝5x4≥0. 答案：A
3．解析：易知121111||22Axxkyx，
∴切线方程为y－1＝12(x－1)，即x－2y＋1＝0.
答案：x－2y＋1＝0
4．解析：∵f′(x)＝－1x2，∴f′(2)＝－14，又∵g′(x)＝m，∴g′(2)＝m，由g′(2)＝1f′(2)得m＝－4.
答案：－4
5．解：设切点为(x0，y0)由y＝5x得，005|2xxyx.
∵切线与y＝2x－4平行， ∴52x0＝2，解得x0＝2516.
∴y0＝254， ∴所求切线方程为y－254＝2(x－2516)，
即2x－y＋258＝0，即16x－8y＋25＝0.
6．解析：由 y＝1x，y＝x2得交点A的坐标为(1,1)．
由y＝x2得y′＝2x，
∴y＝x2在点A(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
由y＝1x得y′＝－1x2，
∴y＝1x在点A(1,1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即y＝－x＋2，
如右图所示，SΔ＝12×32×1＝34.
