1-2-1.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
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1-2-1.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
一、选择题
1．下列求导运算正确的是()
A.x＋1
x′＝1＋1
x2
B．(log2x)′＝1
xln2
C．(3x)′＝3x·log
3e
D．(x2cosx)′＝－2xsinx
解析：选B.x＋1
x′＝1－1
x2，(3x)′＝3xln3，(x2cosx)′＝2xcosx－x2sinx.
2．正弦曲线y＝sinx上切线斜率等于1
2的点为()
A.π
3，3
2
B.－π
3，－3
2或π
3，3
2
C.2kπ＋π
3，3
2
D.2kπ＋π
3，3
2或2kπ－π
3，－3
2
解析：选D.y′＝cosx，y′|x＝x
0＝cosx
0＝1
2，
∴x
0＝2kπ＋π
3或2kπ－π
3(k∈Z)，y0＝±3
2.
3．曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n等于()
A．1B．2
C．3D．4
解析：选C.对y＝xn进行求导，得n·２n－1＝12，代入验证可得n＝3.
4．已知f(x)＝x3的切线的斜率等于1，则其切线方程有()
A．1条B．2条
C．多于2条D．不能确定
解析：选B.∵f′(x)＝3x2，
∴令3x2＝1，得x＝±3
3.
∴可得切点坐标为3
3，3
9和－3
3，－3
9.
∴f(x)＝x3有两条斜率为1的切线．
5．曲线y＝xsinx在点－π
2，π
2处的切线与x轴、直线x＝π所围成的三角形
的面积为()
A.π2
2B．π2
C．2π2D.1
2(2＋π）2
解析：选A.曲线y＝xsinx在点－π
2，π
2处的切线方程为y＝－x，所围成的
三角形的面积为π2
2.
6．正弦曲线y＝sinx上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的
倾斜角的范围是()
A.0，π
4∪3π
4，π
B．[0，π）
C.π
4，3π
4D.0，π
4∪π
2，3π
4
解析：选A.设切点P的坐标为(x
0，y
0)，切线的倾斜角为α.
∵y′＝cosx，∴tanα＝y′|x＝x
0＝cosx0.
∵－1≤cosx
0≤1，∴－1≤tanα≤1.
又0≤α<π，∴α∈0，π
4∪3π
4，π
.
二、填空题
7．曲线y＝lnx在点M(e,1)处的切线的斜率是________，切线方程为
________．
解析：∵y′＝(lnx)′＝1
x，∴y′|
x＝e＝1
e.
∴切线方程为y－1＝1
e(x－e)，即x－ey＝0.
答案：1
ex－ey＝0
8．已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a
＝________.
解析：∵f′(x)＝3ax2＋1，
∴f′(1)＝3a＋1.
又f(1)＝a＋2，
∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．
∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.
答案：1
9．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令
a
n＝lgx
n，则a
1＋a
2＋…＋a
99的值为________．
解析：y′＝(n＋1)xn，曲线在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，
令y＝0，得x
n＝n
n＋1.
a
n＝lgx
n＝lgn
n＋1＝lgn－lg(n＋1)，
则a
1＋a
2＋…＋a
99＝lg1－lg2＋lg2－lg3＋…＋lg99－lg100＝－lg100＝
－2.
答案：－2
10．已知函数f(x)＝ax＋bex图象上在点P(－1,2)处的切线与直线y＝－3x平
行，则函数f(x)的解析式是________．
解析：由题意可知，f′(－1)＝－3，
∴a＋be－1＝－3，又f(－1)＝2，
∴－a＋be－1＝2，解之得a＝－5
2，b＝－1
2e，
故f(x)＝－5
2x－1
2ex＋1.
答案：f(x)＝－5
2x－1
2ex＋1
三、解答题
11．求满足下列条件的函数f(x)：
(1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0；
(2)f′(x)是一次函数，x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1.
解：(1)设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c
由f(0)＝3，可知d＝3，由f′(0)＝0可知c＝0，
由f′(1)＝－3，f′(2)＝0
可建立方程组f′1＝3a＋2b＝－3
f′2＝12a＋4b＝0，解得a＝1
b＝－3，
所以f(x)＝x3－3x2＋3.
(2)由f′(x)是一次函数可知f(x)是二次函数，则可设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)
f′(x)＝2ax＋b，把f(x)和f′(x)代入方程，得x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx
＋c)＝1
整理得(a－b)x2＋(b－2c)x＋c＝1
若想对任意x方程都成立，则需
a－b＝0
b－2c＝0
c＝1，解得a＝2
b＝2
c＝1，所以f(x)＝2x2＋2x＋1.
12．设直线l
1与曲线y＝x相切于点P，直线l
2过点P且垂直于l
1，若l
2交
x轴于Q点，又作PK垂直于x轴于点K，求KQ的长．
解：如图，设P(x
0，y
0)，
即kl
1＝y′|x＝x
0＝1
2x
0.
∵直线l
1与l2垂直，
则kl
2＝－2x
0，
∴直线l
2的方程为y－y
0＝－2x
0(x－x
0)．
∵点P(x
0，y0)在曲线y＝x上，
∴y
0＝x
0.
在直线l
2的方程中令y＝0，则－x0＝－2x0(x－x0)．
∴x＝1
2＋x
0，即x
Q＝1
2＋x
0.
又x
K＝x
0，∴|KQ|＝x
Q－x
K＝1
2＋x
0－x
0＝1
2.
13．已知曲线y＝x，求：
(1)曲线上与直线y＝2x－4平行的切线方程；
(2)求过点P(0,1)且与曲线相切的切线方程．
解：(1)设切点为(x
0，y
0)，由y＝x，得
y′|x＝x
0＝1
2x
0.
∵切线与y＝2x－4平行，
∴1
2x
0＝2，
∴x
0＝1
16，∴y
0＝1
4.
则所求切线方程为y－1
4＝2x－1
16，
即16x－8y＋1＝0.
(2)∵点P(0,1)不在曲线y＝x上，
故需设切点坐标为M(t，u)，则切线斜率为1
2t.
又∵切线斜率为u－1
t，
∴1
2t＝u－1
t＝t－1
t，
∴2t－2t＝t，得t＝4或t＝0(舍去)
∴切点为M(4,2)，斜率为1
4，
∴切线方程为y－2＝1
4(x－4)，
即x－4y＋4＝0.
